一 . 长方体的体积 :

1cm3

长方体体积为多少？

V 长方体 =abc

V 长方体 =sc

二 . 柱的体积

s

h

S S

底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。

V 柱体 =sh

类似的 , 底面积相等 , 高也相等的两个锥体的体积也相等 .

V 锥体 =1sh

3S 为底面积 ,h 为高 .

s s

三 . 锥体的体积

s

s/

s

s/

h

x

四 . 台体的体积

V 台体 = 1h(s+ ss'+s')

3

上下底面积分别是 s/,s, 高是 h ，则

V 台体 =1h(s+ ss'+s')

3

V 柱体 =sh

V 锥体 =1sh

3

s

s/

s

s/

s

S/=0

S=S’

R RO O

RR

五 . 球的体积一个半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为 R 的半球的体积相等。

球1V =

232

= πR3

3球

4V = πR

3

R RO O

RR

2 21πR R- πR R

3

s3

s1s2

O

R

六 . 球的表面积设想一个球由许多顶点

在球心 , 底面在球面上的“准锥体”组成 , 这些准锥体的底面并不是真的多边形 , 但只要其底面足够小 , 就可以把它们看成真正的锥体 .

R

s3

s1s2

O

3球

1 2 3

4V = πR

31 1 1

= RS+ RS + RS +...3 3 3

1 2 3

球表

1= R(S+S +S +...)31

= RS3

S 球表 =4πR2

七 . 公式的应用例 1 有一堆相同规格的六角帽毛坯共重6kg . 已知底面六边形的边长是 12mm,高是 10mm, 内孔直径是 10mm. 那么约有毛坯多少个 ?( 铁的比重为 7.8g/cm3)

解 . V 正六棱柱 =

V 圆柱 =

V=

1210

12

3.741×103-0.785×103

≈2.956×103 （ mm3 ） =2.956cm3

一个毛坯的体积为

约有毛坯 6×103÷ （ 7.8×2.956)≈260( 个）答．

例 2 如图是一个奖杯的三视图 , 单位是 cm ，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积 .( 精确到 0.01cm)

8 6

6

18

5

15

15

11

11

x/

y/

z/

这个奖杯的体积为V=V 正四棱台 +V 长方体 + V 球

其中 V 正四棱台2 21

5 (15 15 11+11 ) 851.6673

V 正方体 =6×8×18=864

V 球 = 113.097343

3

所以这个奖杯的体积为

V=1828.76cm3

例３．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 a ，①求 B1 到平面 A1C1B 的距离 ; ② 求 AC 到平面 A1C1B 的距离 .

A1

C1

BA

C

A B

CD

A1 B1

C1D1

在四棱柱中 ,A1A,AB,AD 两两成 60 度角 , 设AB=a,BC=b,A1A=c, 求四棱柱体积 .

OE

F

E

A B

CD

A1 B1

C1D1

练习：设正三棱锥 P-ABC 的侧棱长为 l，∠ APB=30° ，EF 分别是 BP 、 CP 上的点，

求△ AEF 周长的最小值。P

F

E

C

B

A

p

A

B

C

A

1. 计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱，锥，台，球等常见的几何体的体积。 2. 记住常见几何体的体积公式 .

小结

V 柱体 =sh V 锥体 =1sh

3

V 台体 =1h(s+ ss'+s')

3

214

3R R 3

球4

V = πR3