1

值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函

多元函数极值问题有两种基本类型 ( 以二元函数为例 )

§8.8 多元函数的极值

在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函数的极值和最值问题 . 同一元函数类似，其最值也与其极

数微分法先来讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的最值 .

类型Ⅰ：讨论 z=ƒ(x,y) 的极值——无条件极值类型Ⅱ：讨论 z=ƒ(x,y) 在约束条件 φ(x,y)=0 下的极值——条件极值

2

一 . 无条件极值

若对于其相应去心邻域内的所有点 (x,y) ，恒有

0 0( , )x y

函数的极大值、极小值统称为极值 .

0 0( , ) ( , ) f x y f x y 0 0( ( , ) ( , ) )f x y f x y或

0 0 ( , ) ( , )f x y f x y则称 为函数 的极大值 ( ).或极小值

使函数取得极值的点统称为极值点 .

注 1 与一元函数类似，函数的极值概念是“局部”概念：

定义 10 设函数 z=ƒ(x,y) 在点 的某个邻域内有定义 ,

与函数极值比较大小的，只是极值点邻近各点的函数值 .

3

定理 8 ( 极值存在的必要条件 ) 若函数 ƒ(x,y) 在点

0 0( , )x y

0 0 0 0( , ) 0, ( , ) 0.x yf x y f x y

一定有同一极值，故

0 0( , )x y

0y y 0( , ) z f x y 0x

0 0( , ) 0;xf x y

0 0 ( , ) 0.yf x y 同理可证

0 0 0 0( , ) 0 ( , ) 0x yf x y f x y 和

0 0( , )x y 称为函数 ƒ(x,y) 的驻点 .

处有极值 , 且在该点的偏导数存在 , 则必有

证 因二元函数 ƒ(x,y) 在点 处有极值，

故固定 时有一元函数 在点 处也

定义 11 能使 同时成立的点

4

( 因 z(0,0)=1, 而 z(0,y)>1, z(x,0)<1).

2 2z x y

2 2 1z y x

同一元函数一样，有如下充分条件：定理 9 ( 充分条件 ) 若函数 z=ƒ(x,y)点

0 0( , )x y

0 0( , )x y

注 2 由定理 8 知：在偏导数存在条件下 , 极值点必为驻点 .

但驻点却不一定是极值点 . 如点 (0,0) 是函数

的驻点 , 又是极小值点 z(0,0)=0;

但点 (0,0) 是函数 的驻点 , 但却不是极值点 .

怎样判断驻点 是极值点呢？

有连续的二阶偏导数，且

的某邻域内

是驻点 . 令

0 0 0 0( , ), ( , ),xx xyA f x y B f x y 0 0( , ),yyC f x y 则

5

20 0(1). 0, 0, ( , ) ;B AC A f x y 若 且 则 是极大值

20 0(2). 0, 0, ( , ) ;B AC A f x y 若 且 则 是极小值

20 0(3). 0, ( , ) ;B AC f x y 若 则 不是极值

20 0(4). 0, ( , ) .B AC f x y 若 则 是否为极值需另法判别

其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识，在此略去 .

3 3 2 229 ( , ) 3 3 9 .f x y x y x y x 例 确定函数 的极值点2

2

( , ) 3 6 9 0

( , ) 3 6 0x

y

f x y x x

f x y y y

解 由方程组 得驻点

(1,0),(1,2),( － 3,0),( － 3,2).

6

6 6, 0, 6 6,xx xy yyf x f f y 而

则在点 (1,0) 处有 A=12,B=0,C=6;2 12 6 0 , 12 0,B AC A 从而 ，且

( , ) (1,0);f x y f那么 有极小值

则在点 (1,2) 处有 A=12,B=0,C=−6, 从而∆ >0, 故 ƒ(1,2) 非极值 .

则在点 (−3,0) 处有 A=−12,B=0,C=6, 从而∆ >0, 故 ƒ(−3,0) 非极值 .

则在点 (−3,2) 处有 A=−12,B=0,C=−6, 从而∆ <0, 且 A<0 故有极大值 ƒ(−3,0).

故此函数的极大值点为 (−3,2) ，极小值点为 (1,0).

7

2 2 230 2 2 8 8 0

.

x y z yz z z 例 求由方程 所确定的的极值

解 方程两边微分得4xdx+4ydy+2zdz+8zdy+8ydz － dz=0

4 (4 8 ) 4 (4 8 )

2 8 1 2 8 1 2 8 1

xdx y z dy xdx y z dydz

z y z y z y

4 4 8,

2 8 1 2 8 1

z x z y z

x z y y z y

0, 0 0, ,2

z z yx z

x y

由 得

1 2 1 2 2, 16 7; 1, 8 7.y y z z 则代入原方程有

8

(0, 2), (0,16 7).从而有驻点

2

4(2 8 1) 8 ,

(2 8 1)x

xx

z y xzz

z y

而2

4 (2 8),

(2 8 1)y

xy

x zz

z y

2

( 4 8 )(2 8 1) (4 8 )(2 8).

(2 8 1)y y

yy

z z y y z zz

z y

(0, 2,1) 4 15 0, 0, 4 15A B C 从而在点 处有2 0B AC

故 z=z(x,y) 在驻点 (0, −2) 处有极小值 z=1.

28 105,C 2 0B AC

故 z=z(x,y) 在驻点 (0, 16/7) 处有极大值 z=−8/7.

(0,16 7, 8 7) 28 105 0, 0,A B 而在点 处有

9

注 3 在讨论函数极值问题时，也会遇到函数在个别点

2 21z x y

2 2 2 2 , ,x y

x yz z

x y x y

因

(0,0) 1;z 但

即 z(0,0)=1 为极大值 .

只是此时定理 9 失效，只能用定义 10 给予判定 . 如函数

处偏导数不存在的情况；但它们也可能是函数的极值点；

(0,0) x yz z 则在 处 及 均不存在；

2 2( , ) (0,0) , ( , ) 1 1.x y z x y x y 当 时

10

二 . 二元函数的最值定义 12 设函数 z=ƒ(x,y) 在区域 D 上有定义且

函数的最大值、最小值统称为最值 .

0 0( , ) ( , ) f x y f x y 0 0( ( , ) ( , ) )f x y f x y或

0 0 ( , ) ( , )f x y f x y D则称 是函数 在 上的最大值 ( ).或最小值

使函数取得最值的点统称为最值点 .

0 0( , )x y D

函数 z=ƒ(x,y) 的极大 ( 小 ) 值是函数 ƒ 在 D(ƒ) 的某个邻域内的

若对任意的 (x,y)∈D ，恒有

注 4 极值与最值的区别：

最大 ( 小 ) 值；而 ƒ 的最大 ( 小 ) 值是相对整个区域 D 来说的 .

11

函数 ƒ 的极大 ( 小 ) 值是它所对应的曲面 z=ƒ(x,y) 在该邻域内

从几何角度而言：

面 z=ƒ(x,y) 在整个区域 D 上的最高 ( 低 ) 点的竖坐标 .

的最高 ( 低 ) 点的竖坐标 .而 ƒ 的最大 ( 小 ) 值是它所对应的曲

故多元函数的最值点 ,只可能是极值点或边界点 .

故欲求闭区域 D 上多元函数的最值 , 只须先求出 ƒ(x,y)在 D内全部驻点的函数值、一阶偏导不存在的点的函数值以

及区域 D 的边界上的最值 ,值 , 最小者为最小值 .

再比较大小 , 其最大者为最大

但此法要求 ƒ 在区域 D 的边界上的最值 , 就是一个相当不易解决的问题 .

12

(1). 若问题本身有最大 ( 小 ) 值且驻点唯一 , 则该驻点必为

(2). 若 ƒ(x,y) 在驻点处有极大 ( 小 ) 值且驻点唯一 , 则该驻点

必为最大 ( 小 ) 值点 .

实际问题中 , 通常用下述原则来确定函数的最值 :

最大 ( 小 ) 值点 .

例 31 建筑容积一定的矩形封闭食用水池 , 问怎样设计才

能使建筑材料最省 ?解 设此水池的长、宽、高分别为 x 、 y 、 z, 设容积为 V,则z=V/xy, 从而其表面积为 S=2(xy+yz+xz)

2( )V V

xyx y

(x>0 、 y>0)

13

0,

0x

y

S

S

令 得

2

2

2( )

2( )

x

y

VS y

xV

S xy

x y

而 S(x,y) 仅有一个驻点 , 故当

3x y z V

S有最小值 , 从而所用材料最省 .

2

2

Vy

xV

xy

3x y z V

由题知使材料最省 , 只须表面积最小 .

时 ,

14

例 32 某厂生产甲产品 x 吨 , 乙产品 y 吨时 , 总成本为2 220 10 7 100 358 10000( ),C x y xy x y 元

当甲、乙产量各为多少吨时 , 总成本 C 最低 ?

40 7 100 0

20 7 358 0x

y

C x y

C y x

解 令

6, 20.x y

由题知最低成本总是存在的 . 而 C(x,y) 仅有一个驻点 ,

故 (6,20) 就是函数 C 的最小值点 . 即当生产甲产品 6 吨 ,乙产

品 20 吨时 , 总成本 C 达到最小值 .

15

三 . 条件极值 前面研究的极值问题 , 除了自变量须在定义域内取值

外 , 无其它限制条件 ; 但在实际中遇到的大多极值问题 , 除

了自变量须在定义域内取值外 ,

我们常将前者称为无条件极值 , 后者称为条件极值 .

还对各自变量有一定的约束条件 .

在约束条件 φ(x,y)=0 下 ,讨论函数 z=ƒ(x,y) 的极值 .条件极值的典型形式是 :

其解法有两种 : 代入法和拉格朗曰乘数法 .

16

设 z=ƒ(x,y) 在 D 上具有连续偏导数 , 又若 φ(x,y) 在 D上也

( , ) 0,y x y

( , )

( , )x

y

x ydy

dx x y

若能从 φ(x,y)=0 中解出 y=ψ(x), 则可将其代入 z=ƒ(x,y)

1. 代入法 : 将条件极值转化为无条件极值 .

确定了一个可微函数 y=ψ(x), 且其导数为

具有连续偏导数 , 且 则由定理 6 知方程 φ(x,y)=0

中得 ,z=ƒ(x,ψ(x));

从而原问题变成了讨论一元函数的无条件极值问题 .

17

例 33 求函数 的自变量适合条件2 29 ( )z x y

2 29 ( ) ,z x y 代入 中有

2 2 29 2 ) 5 4 2z x x x x （

显然 z 是 x 的一元函数，则1221

(5 4 2 ) (4 4 ) 02

dzx x x

dx 令 ，得

驻点 x=1, 对应的 y=1.

故点 (x,y)= (1,1) 为原函数满足约束条件下的极大值点 ,

φ(x,y)=x+y － 2=0

2 ,y x 解 由约束条件得

此一元函数只有一个极大值 .

故 z=ƒ(1,1)= 为极大值 .7

的极大值 .

18

2. 拉格朗曰乘数法 : 要想从 φ(x,y)=0 中解出 y=ψ(x),很

但由一元函数 z=ƒ(x,ψ(x)) 极值存在的必要条件，得

( , ) ( , ) 0x y

dyf x y f x y

dx

( , )( , ) ( , ) 0

( , )y

x xy

f x yf x y x y

x y

( , ) ,

( , )y

y

f x y

x y

令 则有方程组( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0x x

y y

f x y x y

f x y x y

而极值点 (x,y) 还必须满足 φ(x,y)=0, 则方程组Ⅰ

不容易！

19

上述确定条件极值问题的可能极值点的方法称为拉0 0 ( , ) .x y的解 就是我们所要求的可能极值点

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

x x

y y

f x y x y

f x y x y

x y

格朗曰乘数法 .

注 5 方程组Ⅰ实际上就是函数 F(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y) 对 x,y的一阶偏导数等于零和约束条件 φ(x,y)=0 构成的方程组；故用拉格朗曰乘数法求条件极值时，可按下述步骤进行：(1). 构造拉格朗曰函数： F(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y) ；(2). 求解方程组Ⅰ，得可能极值点；(3). 判断 .

20

实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否为极值点，并能得出是最大值点还是最小值点 .

例 34 求周长为 a 而面积最大的长方形 .解 设长方形的长、宽分别为 x 、 y, 则其面积为 S=xy.

令函数 F(x,y)=xy+λ(2x+2y-a) 则由方程组( , ) 2 0

( , ) 2 0

2 2 0

x

y

F x y y

F x y x

x y a

.4

ax y

因问题本身有最大值且驻点唯一 , 故( , )4 4

a a

4

a

问题变为在约束条件 2x+2y=a 下求函数 S=xy 的最大值 .

故周长为 a 而面积最大的长方形是边长等于

是最大值点 .

的正方形 .

21

2 235 4 4 , 2 3 6 0

.

x y x y 例 在椭圆 上求一点使其到直线的距离最短

解 设所求点为 (x,y), 到直线 2x+3y － 6=0 的距离为 d, 则

2 22 3 64 4 0.

13

x yd x y

且约束条件为

2 0, ( ) .d d d但 与 同时在一点取得最大小值则可令2

2 2(2 3 6)( , ) ( 4 4)

13

x yF x y x y

从而有方程组2 2

4(2 3 6) 2 0

136

(2 3 6) 8 013

4 4 0

x y x

x y y

x y

22

8 8

5 5 .3 3

5 5

x x

y y

， 8 3 8 3( , ) ( , )5 5 5 5

1 11, .

13 13d d

而

因问题本身有最小值，故 为所求点 .8 3( , )

5 5

例 36 某商品的生产函数为 其中 Q 为产品产量 , L 为劳动投入 ,K 为资本投入 ; 又知资本投入价格为 4,劳动力投入价格为 3, 产品销售价格为 p=2. 求 : (1). 该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大利润 ; (2). 若投入总额限定在 60 个单位范围内 , 求此时取最大利润时的投入及最大利润 .

1 1

3 26 ,Q K L

解 由题意知：成本函数为 C(K,L)=4K+3L ，收益函数为 R(K,L)=Qp=2Q ，则

23

1 1

3 212 4 3K L K L G(K,L)= R(K,L)−C(K,L)=

(1). 此问题属于无条件极值 .2 1

3 2

1 1

3 2

4 4 0

6 3 0

K

L

G K L

G K L

由8

, (8,16),16

K

L

得 从而有唯一驻点

则最大利润为 max (8,16) 16.G

利润函数为

(2). 此问题属于条件极值 . 其约束条件为C(K,L)=4K+3L=60

则可令函数 F(x,y)=G(K,L)+λ(4K+3L−60)1 1

3 212 4 3 (4 3 60)K L K L K L

24

则由方程组

2 1

3 2

1 1

3 2

4 4 4 0

6 3 3 0

4 3 60 0

K L

K L

K L

6, (6,12),

12

K

L

得 从而有唯一驻点 max (6,12) 15.53.G

同学们课后可用用拉格朗曰乘数法去求解例 31.

注 6 类似地，可建立求三元函数 u=ƒ(x,y,z) 在约束条件

( 约束条件 的个数应少于自变量的个数 )

g(x,y,z)=0 ， h(x,y,z)=0

下的极值的拉格朗曰乘数法 .

25

例 37 欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为 侧面 造价为 现想用 36 元造一容积为最大的容器，求它的尺寸 .

23 ,m元21 ,m元

解 设长方体的长、宽、高分别为 x 、 y 、 z, 设容积为 V,则

V=xyz(x>0,y>0,z>0), 且约束条件为 3xy+2(yz+xz)=36.

因 xyz 与 lnx+lny+lnz 同时在一点取得最大 ( 小 ) 值，则令函数F(x,y,z)=lnx+lny+lnz+λ( 3xy+2yz+2xz － 36)

则由方程组

1 (3 2 ) 0

1 (3 2 ) 0

1 (2 2 ) 0

3 2 2 36 0

y zx

x zy

x yz

xy xz yz

26

3, (2,2,3).

23 2 2 36

x y

z y

xy xz yz

得 从而有唯一驻点

因问题本身有最大值，故 (2,2,3) 为最大值点 .

故长方体的长、宽、高分别为 2 、 2 、 3 时，长方体的容积最大 .

例 38 求 w=lnx+lny+3lnz 在球面 上的极大值 (x>0,y>0,z>0), 并利用此结论证明当 a>0,b>0,c>0 时，

2 2 2 25x y z R

3 527( ) .5

a b cabc

恒有

27

2 2 2 2 ( , , ) ln ln 3ln ( 5 )F x y z x y z x y z R 解 令

则由方程组2 2 2 2

1 2 0

1 2 0

3 2 0

5 0

x x

y y

z z

x y z R

, ( , , 3 ).3

x y RR R R

z R

得 从而有唯一驻点

因问题本身有极大值 , 则 3 5max ln( ( 3 ) ) ln(3 3 )w R R R R

52 2 23 2ln ln 3ln ln ln[3 3 ( ) ].

5

x y zw x y z xyz

3 3 2 2 2 2 31 1 ln ln( ) ln ( ) ;

2 2xyz xyz x y z 而 则

28

52 2 22 2 2 3 2

1ln ( ) ln[3 3 ( ) ].

2 5

x y zx y z

2 2 2, , , a x b y c z 当令 则

53 2ln 2ln[3 3 ( ) ]

5

a b cabc

3 527( ) .5

a b cabc

53 2

1ln ln[3 3 ( ) ],

2 5

a b cabc

注 7 此例提供了一种证不等式的方法，即利用极值或

当然此不等式也可利用函数凹凸性来证 .

最值证明不等式；

29

提示：令 z=ƒ(x)=−lnx, 可证它在 (0,x) 上是凹函数 , 从而有

1 2 1 2ln ln lnln n nx x x x x x

n n

两边取反对数得1

1 21 2( ) nn

n

x x xx x x

n

1 2 3 4 55, , ,3

cn x a x b x x x 取 即可