7.1 市场经济中的蛛网模型

7.2 减肥计划——节食与运动

7.3 差分形式的阻滞增长模型

7.4 按年龄分组的种群增长

第七章 差分方程模型

7.1 市场经济中的蛛网模型

问 题

供大于求现象

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定

当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

价格下降 减少产量

增加产量 价格上涨 供不应求

描述商品数量与价格的变化规律

数量与价格在振荡

蛛 网 模 型

g

x0

y0 P0

f

x

y

0

xk~ 第 k 时段商品数量； yk~ 第 k 时段商品价格

消费者的需求关系 )( kk xfy

生产者的供应关系

减函数

增函数供应函数

需求函数

f 与 g 的交点 P0(x0,y0) ~ 平衡点

一旦 xk=x0 ，则 yk=y0,

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

)(1 kk yhx

)( 1 kk xgy

x

y

0

f g

y0

x0

P0

设 x1 偏离 x0

x1x2

P2y1P1

y2 P3P4

x3

y3

32211 xyxyx

0321 PPPP 00 , yyxx kk

P0 是稳定平衡点

P1

P2

P3 P4

P0 是不稳定平衡点

gf KK

x

y

0

y0

x0

P0

f g

)( kk xfy )(1 kk yhx )( 1 kk xgy

00 , yyxx kk

gf KK 曲线斜率

蛛 网 模 型

0321 PPPP

)( kk xfy

)(1 kk yhx

在 P0 点附近用直线近似曲线)0()( 00 xxyy kk

)0()( 001 yyxx kk

)(001xxxx

kk )()(

0101xxxx k

k

1

P0 稳定

P0 不稳定

0xxk

kx

fK gK/1

)/1(

)/1(

1

方 程 模 型

gf KK

gf KK

方程模型与蛛网模型的一致

)( 00 xxyy kk

~ 商品数量减少 1 单位 , 价格上涨幅度)( 001 yyxx kk

~ 价格上涨 1 单位 , ( 下时段 ) 供应的增量

考察 , 的含义

~ 消费者对需求的敏感程度

~ 生产者对价格的敏感程度

小 , 有利于经济稳定

小 , 有利于经济稳定

结果解释xk~ 第 k 时段商品数量； yk~ 第 k 时段商品价格

1 经济稳定

结果解释

经济不稳定时政府的干预办法

1. 使 尽量小，如 =0

以行政手段控制价格不变

2. 使 尽量小，如 =0

靠经济实力控制数量不变

x

y

0

y0

g

f

x

y

0 x0

g

f

结果解释

需求曲线变为水平

供应曲线变为竖直

]2/)[( 0101 yyyxx kkk

模型的推广

• 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。

)( 00 xxyy kk

生产者管理水平提高

设供应函数为

需求函数不变

,2,1,)1(22 012 kxxxx kkk

二阶线性常系数差分方程

x0 为平衡点 研究平衡点稳定，即 k, xkx0 的条件

)(1 kk yhx

2

11

kkk

yyhx

4

8)( 2

2,1

012 )1(22 xxxx kkk

方程通解 kk

k ccx 2211 (c1, c2 由初始条件确定 )

1, 2~ 特征根，即方程 的根

02 2

平衡点稳定，即 k, xkx0 的条件 : 12,1

2平衡点稳定条件

比原来的条件 放宽了1

22,1

模型的推广

7.2 减肥计划——节食与运动

背景

• 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持

• 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标

分析

• 体重变化由体内能量守恒破坏引起

• 饮食（吸收热量）引起体重增加

• 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少

• 体重指数 BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25

~ 正常； BMI>25 ~ 超重 ; BMI>30 ~ 肥胖 .

模型假设1 ）体重增加正比于吸收的热量——每 8000 千卡增加体重 1 千克；2 ）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗 200 千卡 ~ 320 千卡 ( 因人而异 ),

相当于 70 千克的人每天消耗 2000 千卡 ~ 3200 千卡；3 ）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；

4 ）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.

5 千克，每周吸收热量不要小于 10000 千卡。

某甲体重 100 千克，目前每周吸收 20000 千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至 75 千克。

第一阶段：每周减肥 1 千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（ 10000 千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标

2 ）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。

1 ）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。

减肥计划

3 ）给出达到目标后维持体重的方案。

)()1()()1( kwkckwkw

千卡）千克 /(80001

• 确定某甲的代谢消耗系数

即每周每千克体重消耗 20000/100=200 千卡

基本模型w(k) ~ 第 k 周 ( 末 ) 体重

c(k) ~ 第 k 周吸收热量

~ 代谢消耗系数 ( 因人而异 )

1 ）不运动情况的两阶段减肥计划

每周吸收 20000 千卡 w=100 千克不变

wcww 025.01008000

20000

w

c

• 第一阶段 : w(k) 每周减 1 千克 , c(k) 减至下限 10000千卡 1)1()( kwkw

k20012000

)()1()()1( kwkckwkw

第一阶段 10 周 , 每周减 1 千克，第 10 周末体重 90千克

10k

kwkw )0()(

)1(1

)0()1( kwkc

80001025.0

9,1,0,20012000)1( kkkc吸收热量为

1 ）不运动情况的两阶段减肥计划

]1)([1

)1( kwkc

10000 mC

])1()1(1[)()1()( 1 nm

n Ckwnkw

• 第二阶段：每周 c(k) 保持 Cm, w(k) 减至 75千克

代入得以 10000,8000

1,025.0 mC

50]50)([975.0)( kwnkw n

mmn CC

kw ])([)1(

1 ）不运动情况的两阶段减肥计划

)()1()()1( kwkckwkw 基本模型

mCkwkw )()1()1(

nnkwkw 求，要求已知 75)(,90)(

50)5090(975.075 n

• 第二阶段：每周 c(k) 保持 Cm, w(k) 减至 75千克 50]50)([975.0)( kwnkw n

第二阶段 19 周 , 每周吸收热量保持 10000 千卡 , 体重按

减少至 75 千克。)19,,2,1(50975.040)( nnw n

19975.0lg

)40/25lg(n

)028.0()025.0( t24,003.0 tt 即取

运动 t=24 ( 每周跳舞 8 小时或自行车 10 小时 ), 14 周即可。

2 ）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量 ( 千卡 ):

跑步 跳舞 乒乓 自行车 ( 中速 ) 游泳 (50 米 /分 )

7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t~ 每周运动时间 ( 小时 )

)()(

)1()()1(

kwt

kckwkw

基本

模型

6.44)6.4490(972.075 n 14n

mmn CC

kwnkw ])([)1()(

3 ）达到目标体重 75 千克后维持不变的方案

)()()1()()1( kwtkckwkw

每周吸收热量 c(k) 保持某常数 C ，使体重 w 不变

wtCww )( wt

C)(

)(1500075025.08000 千卡C• 不运动

)(1680075028.08000 千卡C• 运动 ( 内容同前 )

)1()(N

xrxtx

,2,1),1(1 kN

yryyy k

kkk

7.3 差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型 (Logistic 模型 )

t, xN, x=N 是稳定平衡点 ( 与 r 大小无关 )离散形式

x(t) ~ 某种群 t 时刻的数量 ( 人口 )

yk ~ 某种群第 k 代的数量 ( 人口 )

若 yk=N, 则 yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即 k, ykN ？

y*=N 是平衡点

kk yNr

rx

)1(

1rb记

)1()1(1 N

yryyy k

kkk

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性

kkk yNr

ryry

)1(1)1(1

)2()1(1 kkk xbxx

一阶 ( 非线性 ) 差分方程

(1) 的平衡点 y*=N

讨论 x* 的稳定性

变量代换

(2) 的平衡点 br

rx

11

1*

(1) 的平衡点 x*—— 代数方程 x=f(x) 的根

稳定性判断

)2())(()( ***1 xxxfxfx kk (1) 的近似线性方

程x* 也是 (2) 的平衡点

1)( * xf x* 是 (2) 和 (1) 的稳定平衡点

1)( * xf x* 是 (2) 和 (1) 的不稳定平衡点

补充知识一阶非线性差分方程 )1()(1 kk xfx 的平衡点及稳定性

)21()( ** xbxf

1)( * xf

0

y

x

xy

)(xfy

4/b

*x 2/1 1

)1()( xbxxfx

)1(1 kkk xbxx 的平衡点及其稳定性平衡点

bx

11*

稳定性

31 b

2/1/11* bx

*xxk （单调增）0x

1x

1x 2x

x* 稳定

21)1( b

)1)((3 * xfb x* 不稳定

另一平衡点为 x=0

1rb

1)0( bf

不稳定

b2

3)3( b

0 1/2 1

y

4/bxy

)(xfy

0x 1x *x 2x x

32)2( b

2/1/11* bx

*xxk （振荡地）

y

0 x

xy

)(xfy

0x 1x 2x*x2/1 1

4/b

*xxk （不）

)1(1 kkk xbxx 的平衡点及其稳定性

)1(1 kkk xbxx

初值 x0=0.2

数值计算结果

bx

11* b <3, x

b=3.3, x两个极限点

b=3.45, x4 个极限点

b=3.55, x8 个极限点

0.4118100

0.411899

0.411898

0.411897

0.411896

0.411895

0.411894

0.411893

0.411892

0.411891

0.37963

0.33662

0.27201

0.20000

b=1.7k

0.6154

0.6154

0.6154

0.6154

0.6154

0.6154

0.6154

0.6154

0.6154

0.6154

0.6049

0.6317

0.4160

0.2000

b=2.6

0.8236

0.4794

0.8236

0.4794

0.8236

0.4794

0.8236

0.4794

0.8236

0.4794

0.4820

0.8224

0.5280

0.2000

b=3.3

0.8469

0.4327

0.8530

0.4474

0.8469

0.4327

0.8530

0.4474

0.8469

0.4327

0.4322

0.8532

0.5520

0.2000

b=3.45

0.8127

0.3548

0.8874

0.5060

0.8278

0.3703

0.8817

0.5405

0.8127

0.3548

0.3987

0.8711

0.5680

0.2000

b=3.55

))(( xffx

)(),( *1

*2

*2

*1 xfxxfx

b

bbbx

2

321 2*

2,1

(*))())(()( )2(12 kkkk xfxffxfx )(1 kk xfx

倍周期收敛—— x* 不稳定情况的进一步讨论 *xxk （不） *

212

*

12 , xxxx kk 子序列

单周期不收敛 2倍周期收敛

(*) 的平衡点 b

x1

1*

10 *

2

**

1 xxx

x* 不稳定，研究 x1*, x2

* 的稳定性

)1()( xbxxf )]1(1)[1( xbxxbxb

3.3b

)()())(())(( *2

*1

)2()2(*2

*1

xfxfxfxfxxxx

)21)(21())(( *2

*1

2

,

)2(*2

*1

xxbxfxxx

1))(( *2,1

)2( xf

倍周期收敛

*

212

*

12 , xxxx kk

449.361 b

)21()( xbxf

b

bbbx

2

321 2*

2,1

的稳定性2)2( )]([])([ xfxf

x1* x2

*x*

b=3.4

y=f(2)(x)

y=x

x0

倍周期收敛的进一步讨论

1))'((45.3 *2,1

)2( xfb

出现 4 个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3

)()4(

4 kk xfx 平衡点及其稳定性需研究

544.3449.3 b 时有 4 个稳定平衡点

2n倍周期收敛 , n=1,2,… bn~ 2n倍周期收敛的上界

b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … n, bn3.57

x1*, x2

* (及 x*) 不稳定

b>3.57, 不存在任何收敛子序列 混沌现象

4倍周期收敛

)1(1 kkk xbxx 的收敛、分岔及混沌现象

b

7.4 按年龄分组的种群增长• 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同

• 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律

假设与建模• 种群按年龄大小等分为 n 个年龄组，记 i=1,2,… , n• 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记 k=1,2,…

• 以雌性个体数量为对象

• 第 i 年龄组 1雌性个体在 1 时段内的繁殖率为 bi

• 第 i 年龄组在 1 时段内的死亡率为 di, 存活率为 si=1- di

1,,2,1),()1(1 nikxskx iii

假设与

建模

xi(k)~ 时段 k 第 i 年龄组的种群数量

)()1( kLxkx

)0()( xLkx k

T

n kxkxkxkx )](),(),([)( 21

~ 按年龄组的分布向量

预测任意时段种群按年龄组的分布

00

0

000

1

2

1

121

n

nn

s

s

s

bbbb

L

~Leslie矩阵 (L矩阵 )

)()1(1

1 kxbkx i

n

ii

( 设至少 1 个 bi>

0)

稳定状态分析的数学知识nkk ,3,2,1 • L矩阵存在正单特征根 1 ，

• 若 L矩阵存在 bi, bi+1>0, 则

nkk ,,3,2,1

)0()( xLkx k 11 )],([ PdiagPL n

P 的第 1列是x*

)0()0,0,1()(

lim 1

1

xPPdiagkxkk

T

n

nssssssx

1

1

121

2

1

21

1

1* ,,,,1

特征向量

*

1

)(lim cx

kxkk

, c 是由 bi, si, x(0) 决定的常数

且

解释

L对角化 11 )],([ PdiagPL k

nkk

*cx

*)()1 xckx k

)()1()2 kxkx

稳态分析—— k 充分大种群按年龄组的分布

*

1

)(lim cx

kxkk

~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布 , 与初始分布无关。

~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率

Tnssssssx 121211

* ,,,1

)()1( kxkx ii

)()1( kLxkx 与基本模型 比较3 ） =1时

*)()1( cxkxkx ~ 各年龄组种群数量不变

~ 1 个个体在整个存活期内的繁殖数量为 1

1121121 nn sssbsbb

稳态分析

T

nssssx ],,,,1[ 1211

*

,)()4 *xckx k

~存活率 si 是同一时段的 xi+1 与 xi之比（与 si 的定义 比较）

)()1(1 kxskx iii

1,,2,1),()(1 nikxskx iii

3 ） =1时

** xLx Tnssssssx 121211* ,,,1

00

0

000

1

2

1

121

n

nn

s

s

s

bbbb

L