ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI ẨNVÀ CÁC ỨNG DỤNG

A. Lí thuyết. 1. Đa thức hai ẩn x, y không đổi khi thay x bởi y và y bởi x gọi là đa thức đối xứng (đtđx) hai ẩn. Ví dụ : P(x, y) = x3y + xy3 ; Q(x, y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 là các đtđx. Các đa thức U(x, y) = 2x - 3y ; V(x, y) = x2 - y2 không phải là các đtđx. 2. Các đa thức t1 = x + y và t2 = xy gọi là đtđx cơ bản. 3. Kí hiệu Sn = xn + yn (n thuộc N*) thì Sn đều biểu diễn được theo t1, t2. Ví dụ : S1 = x + y = t1

S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = t12 - 2t2

S3 = x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) = t13 - 3t1t2

S4 = x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = S22 - 2t2

2 = t14 - 4t1

2t2 + 2t22

... * Công thức truy hồi : Sk = t1.Sk - 1 - t2.Sk - 2. 4. Mọi đtđx hai ẩn x, y đều có thể viết dưới dạng đa thức hai ẩn t1, t2. B. Các ứng dụng. I. Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán 1 : Phân tích đa thức : f(x, y) = x5 + 3xy4 + y5 + 3x4y + x2y3 + 3x2y2 + x3y + xy3 thành nhân tử. Lời giải : Ta có : f(x, y) = x5 + 3xy4 + y5 + 3x4y + x2y3 + 3x2y2 + x3y + xy3

= (x5 + y5) + 3xy(x3 + y3) + xy(y2 + y2) + x2y2(x + y) + 3x2y2 = t1

5 - 5t13t2 + 5t1t2

2 + 3t2(t13 - 3t1t2) + t2(t1

2 - 2t2) + t22t1 + 3t2

2 = t1

5 - 2t13t2 - 3t1t2

2 + t12t2 + t2

2 = t1

5 - 3t13t2 + t1

2t2 + t2t13 - 3t1t22+ t2

2 = (t1

2 + t2)(t13 - 3t1t2 + t1)

= (x2 + y2 + 3xy).(x3 + y3 + xy) II. Giải hệ phương trình. Bài toán 2 : Giải hệ :

Lời giải : Đặt t1 = x + y , t2 = xy thì hệ trở thành :

Thế t1 = 3 ta có :2 t2

2 - 36 t2 + 64 = 0 => t2 = 16 ; t2 = 2. Do đó x, y là các nghiệm của phương trình u2 - 3u + 16 = 0 hoặc u2 - 3u + 2 = 0. Từ đó ta có x = 1 & y = 2 hoặc x = 2 & y = 1. III. Giải phương trình. Bài toán 3 : Giải phương trình sau :

Lời giải :

Từ kết quả bài toán trên ta có a, b và từ đó có nghiệm của phương trình là x = -15 hoặc x = 0. IV. Chứng minh đẳng thức. Bài toán 4 : Cho x + y = 1, x3 + y3 = a, x5 + y5 = b. Chứng minh 5a.(a + 1) = 9b + 1. Lời giải : Ta có : x3 + y3 = t1

3 - 3t1t2 = a => t2 = (1 - a)/3 ; b = x5 + y5 = t1

5 - 5t13t2 + 5t2

2t1 (áp dụng công thức truy hồi) => b = 1 + 5t2

2 - 5t2 = (5a2 + 5a - 1)/9 Vậy 9b = 5a2 + 5a - 1 hay 9b + 1 = 5a.(a + 1). V. Lập phương trình bậc hai. Bài toán 5 : Hãy lập phương trình có hai nghiệm :y1 = x1

3 - 2x2 ; y2 = x23 - 2x2 với x1, x2 là nghiệm của phương trình : x2 - x - 5 = 0.

Lời giải : Theo Vi-et ta có t1 = x1 + x2 = 1 ; t2 = x1.x2 = -5.

= (-5)3 - 2.(14 - 4.(-5) + 2.(-5)2) + 4.(-5)= -125 - 2.(1 + 20 + 50) - 20= -125 - 142 - 20 = -287Vậy y1, y2 là nghiệm của phương trình : y2 - 14y - 287 = 0. VI. Tìm cực trị. Bài toán 6 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của :

Lời giải :

C. Một số bài tập.1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) f(x, y) = 10x4 - 27x3y - 110x2y2 - 27xy3 + 10y4. b) 2x4 - x3y + 3x2y2 - xy3 + 2y4. 2. Lập phương trình bậc hai z2 + pz + q = 0 có các nghiệm là : z1 = x1

6 - 2x22 , z2 = x2

6 - 2x12 , với x1, x2 là nghiệm của x2 - x - 3 = 0.

3. Cho x, y dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 8.(x4 + y4) + 1/xy ≥ 5 4. Giải hệ : 5. Chứng minh : (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2.6. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x3 + y3 + 1 = 3xy.7. Giải phương trình :

Đàm Duy Đông(GV trường THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên)