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第 9 章 向量微分，梯度，散度，旋度9.1 二度與三度空間向量9.2 內積（點積）9.3 向量積（叉積）9.4 向量函數與純量函數，場，導數9.5 曲線，弧長，曲率，扭率9.6 微積分複習：多變數函數（選讀）9.7 純量場的梯度，方向導數9.8 向量場的散度9.9 向量場的旋度

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定義 1 梯度

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▽f 這個符號延伸自微分運算子▽（讀做 nabla 或 del），並定義為

(1*)

梯度可用在許多方面，尤其提供 f (x, y, z) 在空間任一方向的變化率，在求曲面的法線向量，以及由純量場導出向量場，

都將在本節討論。

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定義 2 方向導數

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由微積分知道 (1) 式的偏導數提供 f (x, y, z) 在三個座標軸方向的變化率。我們很自然的推導它，並要求 f 在空間任意方向的變化率。此導出下列觀念。

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圖188 方向導數

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下一步觀念是使用直角 xyz 一座標，以及單位向量 b。那麼直線 L 可如下表示

(3)

其中 p0 為 P 點的位置向量。那麼 (2) 式顯示 Db f ＝ df/ds為函數 f (x(s), y(s), z(s)) 對 L 的弧長 s 的導數。因此，若假定f 為連續偏導數，且應用鎖鏈法則[在前一節的 (3) 式]，則得到

(4)

此處「’」代表對 s 的導數（在 s ＝ 0 計算），但這裡對(3) 式微分得 r’ ＝ x’i＋y’j＋z’k ＝ b。因此 (4) 式只是 grad f與 b [見8.2 節 (2) 式] 的內積；亦即

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(5)

注意！若以任意長度（≠ 0）的向量 a 表示為已知方向，則

(5*)

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求 f (x, y, z) ＝ 2x2＋3y2＋z2 在點 P: (2, 1, 3) 沿 a ＝ [1, 0, －2] 方向之方向導數。

解 grad f ＝ [4x, 6y, 2z] 代入 P 點，其向量梯度 grad f (P) ＝[8, 6, 6]。由此點與 (5*) 式得到，又因

此負號顯示函數 f 在 P 點沿 a 方向逐漸減少。

範例 1 梯度，方向導數

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定理 1 梯度的向量特性，最大值增加

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定理 1 證明

P.370第8章 向量微分，梯度，散度，旋度

由 (5) 式以及內積 [8.2 節 (1) 式] 的定義得

(6)

其中γ為 b 與 grad f 間夾角，於是 f 為純量函數，在 P 點的梯度值取決於 P 點而不是座標的特別選擇。同理，對圖188 的線 L 的弧長 s 成立，故對 Db f 亦為真，如此一來，(6) 式顯示 Db f 在 cos γ＝ 1, γ＝0 下為最大，且為 Db f ＝ �grad f �。此得證 grad f 的長度與方向均與座標的選擇無關。既然γ＝ 0，若且唯若 b 有grad f 的方向，後者為 f 在 P 的最大值增加的方向。

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以梯度作為曲面法線向量

P.371第8章 向量微分，梯度，散度，旋度

梯度有一重要的應用是與曲面有關聯的，亦即如下當作曲

面的法線向量。假設 S 為以 f (x, y, z) ＝常數所表示的曲面，其中 f 為可微分的。如此之曲面稱為 f 的等位曲面（level surface），而不同 C 值具不同位勢曲面。那麼令 C 為 S 通過其內點 P 的曲線，如空間的曲線，C 表為 r(t) ＝ [x(t), y(t), z(t)]。因為 C 落在曲面 S 上，r(t) 的分量必定滿足 f (x, y, z) ＝ C，亦即

(7)

因而，C 的切線向量是 r’ (t) ＝ [x’(t), y’(t), z’(t)] 。再者，在 S 上通過 P 點所有曲線的切線向量構成一平面，稱為 S 在P 的切平面（tangent plane）（例外出現在 S 的邊緣或尖端

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點，例如，圖190 的圓錐頂點）。此平面的法線（通過 P 的直線且與切平面垂直）稱為 S 在 P 點的曲面法線（surface normal）。在曲面法線方向的向量稱為 S 在 P 點的曲面法線向量（surface normal vector）。我們可相當簡單地將 (7) 式對 t 微分而得此一向量，利用鎖鏈法則，

因此 grad f 與切平面上所有向量 r’ 正交，所以它是 S 在 P點的法線向量。我們將結果呈現如下（見圖 189）。

P.371第8章 向量微分，梯度，散度，旋度

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圖189 以梯度曲面法線向量

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定理 2 以梯度曲面法線向量

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範例 2 以梯度曲面法線向量，圓錐

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求迴轉圓錐z2 ＝4(x2＋y2) 在 P: (1, 0, 2) 的單位法線向量 n。

解 圓錐是 f (x, y, z) ＝ 4(x2＋y2) －z2 的零位曲面 f ＝ 0，因此（圖 190），

n 指向下，係因它的 z 分量為負之故，此圓錐在 P 點的另一單位法線向量是 －n。

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範例 2（圖190）

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純量場（「位勢」）梯度的向量場

P.372第8章 向量微分，梯度，散度，旋度

在本節開始，我們曾提及某些向量場擁有一優點，即它們

可從較容易處理的純量場求得，如此向量場係以向量 v(P) 提出，它是以當作純量場的梯度來求得，即 v(P) ＝ grad f (P)。此函數 f (P) 稱為 v(P) 的位勢函數或位勢（potential）。如此的 v(P) 與其對應的向量場稱為保守的（conservative），因為能量可在此一向量場保守下來，亦即，當由點 P 移動物體至該場上另一點然後回到 P 時，並無能量損失（或獲增）。我們將在 9.2 節證明此點。

保守的場在物理與工程上扮演一重要角色，基礎應用之一

在探討重力（見8.4 節範例 3），以及顯示保守的場具有位勢滿足拉普拉斯方程（Laplace’s equation），即物理與其應用上極重要的偏微分方程。

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定理 3 重力場，拉普拉斯方程

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定理 3 證明

P.372第8章 向量微分，梯度，散度，旋度

距離為 r ＝ ((x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2)1/2。此時關鍵觀察是我們可以部分微分求得 p ＝ [p1, p2, p3] 的分量

(10a)

同理

(10b)

從以上可看出，p 的確是純量函數 f ＝ c/r 的梯度，本定理的第二敘述以對 (10) 式部分微分推斷，即

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然後將以上三個表示式加起來，其共同分母是 r5，因此其中三項 －1/r3 貢獻 －3r2 到分子，剩餘其它三項的和得

所以分子和為零，我們得證 (9) 式。

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▽2 f 亦可記為 △f，此微分運算子

(11)

（讀做「nabla squared」or「delta」）稱為拉普拉斯運算子（Laplace operator）。我們可證明由任意分佈質點所產生的力場是由純量函數 f 的梯度，即向量函數所得到，而且在不具物質的區域 f 滿足 (9) 式。拉普拉斯方程的重大重要性起因於此在物理上還有其它與

牛頓重力定律具有相同形式的定律。例如，在靜電學中，兩

相反（或相似）電荷 Q1 與 Q2 間吸引力（或排斥力）為

(12)

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