คณ คณิตศาสตร คณิตศาสตร สำหรับ ... ·...

สำนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร

คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร

ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ

หนงสอนไดรบทนสนบสนนการเขยนตำราจากมหาวทยาลยธรรมศาสตร พ.ศ. 2555

ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณคณ

ตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร


ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณอาจารยประจำภาควชาคณตศาสตรและสถต คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยธรรมศาสตรการศกษา: • วทยาศาสตรบณฑต (ศกษาศาสตร) มหาวทยาลยสงขลานครนทร วทยาเขตปตตาน • วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสตรประยกต) มหาวทยาลยมหดล • Master of Arts in Mathematics, Western Michigan University, USA. • Doctor of Philosophy in Mathematics, Western Michigan University, USA.ผลงานตำรา: • แคลคลส 1, พมพครงท 4, 2555 • พชคณตเชงเสน, พมพครงท 3, 2556 • คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร, 2557

คณตศาสตรเปนเคร�องมอทสำคญในการขบเคล�อนสงคม นวตกรรม เทคโนโลย และวทยาศาสตรกอใหเกดการทดลองตางๆ ทเปนรปธรรม หรอกลาวไดวาคณตศาสตรชวยใหวทยาศาสตรทำงานไดงายขนนอกจากนคณตศาสตรยงมบทบาทสำคญยงตอการพฒนาสตปญญา ทำใหมความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผลและเปนระบบ สามารถวเคราะหปญหาหรอสถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ รจกวางแผนในการแกปญหา และนำไปใช ในชวตประจำวนไดอยางถกตองเหมาะสม พชคณตเชงเสน แคลคลสและสมการเชงอนพนธ เปนสวนหนงของคณตศาสตรทชวยใหนกศกษาสามารถนำไปประยกตใช ในการอธบายกฎเกณฑทางธรรมชาต โดยใชวธการแปลงปญหาในธรรมชาตใหเปนปญหาเชงสญลกษณ และแกปญหาจากสญลกษณเหลานน

http://www.thammasatpress.com

ราคา 270 บาทหมวดวทยาศาสตร

ISBN 978-616-314-089-0

9 786163 140890

สน 1.3 ซม.

ตวอยาง

หนงสอทไดรบทนสนบสนนการเขยนตÓราจากมหาวทยาลยธรรมศาสตร พ.ศ. 2555

อจฉรา ปาจนบรวรรณ.

คณตศาสตรสำาหรบวทยาศาสตร.

1. คณตศาสตร.

QA37.3

ISBN 978-616-314-089-0

ลขสทธของดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณสงวนลขสทธ

ฉบบพมพครงท 1 เดอนมถนายน 2557

จำานวน 500 เลม

จดพมพและจำาหนายโดยสÓนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตรอาคารธรรมศาสตร 60 ป ชน U1 มหาวทยาลยธรรมศาสตร

ถนนพระจนทร กรงเทพฯ 10200

โทร. 0-2223-9232, 0-2613-3801-2

โทรสาร 0-2226-2083

(สÓนกงานศนยรงสต โทร. 0-2564-2859-60)e-mail address: [email protected]

พมพทบรษทไอดออล ดจตอลพรนท จÓกด นายธศษฎ วราภาสกล ผพมพผโฆษณา

ราคาเลมละ 270.-บาท

Math&Science(��)(1)-(9).indd 4 5/22/57 BE 10:18 AM

eISBN 978-616-314-149-1

ฉบบอเลกทรอนกส (e-book) มกราคม 2558

หนงสอทไดรบทนสนบสนนการเขยนตÓราจากมหาวทยาลยธรรมศาสตร พ.ศ. 2555

อจฉรา ปาจนบรวรรณ.

คณตศาสตรสำาหรบวทยาศาสตร.

1. คณตศาสตร.

QA37.3

ISBN 978-616-314-089-0

ลขสทธของดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณสงวนลขสทธ

ฉบบพมพครงท 1 เดอนมถนายน 2557

จำานวน 500 เลม

จดพมพและจำาหนายโดยสÓนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตรอาคารธรรมศาสตร 60 ป ชน U1 มหาวทยาลยธรรมศาสตร

ถนนพระจนทร กรงเทพฯ 10200

โทร. 0-2223-9232, 0-2613-3801-2

โทรสาร 0-2226-2083

(สÓนกงานศนยรงสต โทร. 0-2564-2859-60)e-mail address: [email protected]

พมพทบรษทไอดออล ดจตอลพรนท จÓกด นายธศษฎ วราภาสกล ผพมพผโฆษณา

ราคาเลมละ 270.-บาท


ตวอยาง

สารบญ

หนา


ตวอยาง

(6)

หนา


ตวอยาง

(7)

หนา


ตวอยาง

คำ�นำ�

ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณมถนายน 2557


ตวอยาง

บทท 1เมทรกซบทท 1

เมทรกซ�

1.1 เมทรกซ�และการดำเนนการบนเมทรกซ�กล�มของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเป�นรปสเหลยมมมฉาก หรอทเรยกว�า เมทรกซ� ได�ถกนำมาใช�ในหลายสาขาวชา เมทรกซ�จดว�าเป�นหนงในเครองมอทสำคญมากทางด�านคณตศาสตร� ในหวข�อนเราจะเรยนร�บทนยามเบองต�นของเมทรกซ� การดำเนนการบวกลบ และคณเมทรกซ�

สญลกษณ�ของเมทรกซ�

บทนยาม 1.1 เมทรกซ� (matrix) คอ กล�มของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเป�นรปสเหลยมมมฉากและบรรจภายในเครองหมาย [ ] หรอ ( ) จำนวนซงนำมาจดเรยงแต�ละจำนวนเรยกว�า สมาชก (element หรอ entry) ของเมทรกซ�

ตวอย�างเช�น

2 3

−1 2

0 −5

(1.1)

(

1 −1 0

0 5 2

)

(1.2)[

1√2 π 0

]

(1.3)และ

2

−3

7

(1.4)

1

Math&Science1 1-6.indd 1 5/15/57 BE 8:08 PM

ตวอยาง

2 บทท 1 เมทรกซ2 บทท 1 เมทรกซ�

สมาชกซงจดเรยงกนในแนวนอนเรยกว�า แถว ของเมทรกซ� ในขณะทสมาชกซงจดเรยงในแนวตงเรยกว�า หลก ของเมทรกซ� ตวอย�างเช�นแถวทสามของเมทรกซ� (1.1) ประกอบด�วยสมาชก 0 และ −5 และสมาชกในหลกทหนงเมทรกซ� (1.1) คอ 2, −1 และ 0

สำหรบเมทรกซ�ทม m แถว และ n หลก เรากล�าวว�าเมทรกซ�นนม มต (dimension)หรอ อนดบ (order) m×n ดงนนเมทรกซ� (1.1) มมต 3×2 เมทรกซ� (1.2) มมต 2×3

และเมทรกซ� (1.3) มมต 1× 4

เมทรกซ�ทมเพยงแถวเดยว หรอเมทรกซ�มต 1×n เรยกว�า เมทรกซ�แถว (row ma-trix) หรอ เวกเตอร�แถว (row vector) ในขณะเดยวกนเมทรกซ�ทมเพยงหลกเดยวหรอเมทรกซ�มต m× 1 เรยกว�า เมทรกซ�แนวตง (column matrix) หรอ เวกเตอร�แนวตง (column vector) ดงนนเมทรกซ� (1.3) คอ เมทรกซ�แถวหรอเวกเตอร�แถว และเมทรกซ� (1.4) คอ เมทรกซ�แนวตงหรอเวกเตอร�แนวตง

โดยทวไปเรานยมใช�ตวอกษรพมพ�ใหญ�เช�น A,B,C, . . . แทนเมทรกซ� ในขณะทสมาชกของเมทรกซ�จะเขยนแทนด�วยตวพมพ�เลกทมดชนล�าง 2 ตว เช�น aij หมายถงสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ� ดงนนรปทวไปของเมทรกซ�มต 2 × 4

สามารถเขยนแทนด�วย

A =

[

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

]

และรปทวไปของเมทรกซ�มต m× n คอ

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... ...

am1 am2 · · · amn

(1.5)

เพอความสะดวกในการนำไปใช� บางครงเราเขยนแทนเมทรกซ� A ในรป

[aij ]m×n หรอ [aij ]

โดยทสญลกษณ�ตวแรกจะใช�เมอต�องการทราบมตของเมทรกซ� ในขณะทสญลกษณ�ตวทสองจะใช�เมอไม�จำเป�นต�องกล�าวถงมตของเมทรกซ�

นอกจากนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ� A อาจจะเขยนแทนด�วยสญลกษณ� (A)ij ดงนนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ� (1.5) สามารถเขยนแทนด�วย

(A)ij = aij


ตวอยาง

31.1 เมทรกซและการดำาเนนการบนเมทรกซ1.1 เมทรกซ�และการดำเนนการบนเมทรกซ� 3

และสำหรบเมทรกซ�

A =

3 6 −1

4 2 0

1 −3 −5

เราได�ว�า a12 = 6, a21 = 4 และ a33 = −5

เมทรกซ� A ทม n แถว และ n หลก เรยกว�า เมทรกซ�จตรส (square matrix) มตn × n หรอ เมทรกซ�จตรสอนดบ n และสมาชก a11, a22, . . ., ann ในเมทรกซ� (1.6)คอสมาชกทอย�ใน เส�นทแยงมมหลก (main diagonal) ของ A

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... ...

an1 an2 · · · ann

(1.6)

เมทรกซ�จตรสทสมาชกใต�เส�นทแยงมมหลกทกตวเป�นศนย�เรยกว�า เมทรกซ�แบบสามเหลยมบน (upper triangular matrix) เมทรกซ�จตรสทสมาชกเหนอเส�นทแยงมมหลกทกตวเป�นศนย� เรยกว�า เมทรกซ�แบบสามเหลยมล�าง (lower triangle matrix) และเมทรกซ�จตรสทสมาชกทอย�นอกแนวเส�นทแยงมมหลกทกตวเป�นศนย�เรยกว�า เมทรกซ�ทแยงมม (diagonal matrix)

เมทรกซ�ทน�าสนใจอกเมทรกซ�หนงคอ เมทรกซ�จตรสทสมาชกในเส�นทแยงมมหลกทกตวมค�าเท�ากบ 1 และสมาชกทอย�นอกแนวเส�นทแยงมมหลกทกตวมค�าเท�ากบ 0

ตวอย�างเช�น[

1 0

0 1

]

,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

เมทรกซ�ในรปแบบนเรยกว�า เมทรกซ�เอกลกษณ� (identity matrix หรอ unit matrix)และเขยนแทนด�วย I แต�หากต�องการแสดงมตของเมทรกซ� เราจะเขยนแทนเมทรกซ�เอกลกษณ�มต n× n ด�วย In

เมทรกซ�มต m× n ทสมาชกทกตวเป�นศนย� เรยกว�า เมทรกซ�ศนย� (zero matrixหรอ null matrix) และเขยนแทนด�วย 0m×n หรอ 0 ตวอย�างต�อไปนเป�นตวอย�างของเมทรกซ�ศนย�

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,

[

0 0 0

0 0 0

]

,

0

0

0

และ

[

0 0 0 0]


ตวอยาง


การดำเนนการบนเมทรกซ�

บทนยาม 1.2 กำหนดให� A และ B เป�นเมทรกซ�ใดๆ สมาชก aij และ bkp เป�น สมาชกทสมนยกน (corresponding entries) กต�อเมอ i = k และ j = p หรอกล�าวอกนยหนงว�าสมาชกของ A สมนย กบสมาชกของ B กต�อเมอ สมาชกทงสองอย�ในตำแหน�งเดยวกน

ตวอย�างเช�น ถ�า

A =

[

1 2 3

4 5 6

]

และ B =

[

7 8 9

−1 −2 −3

]

แล�ว 1 สมนยกบ 7, 2 สมนยกบ 8 และ 4 สมนยกบ −1

หมายเหต เรากล�าวถงการสมนยกนของสมาชกถ�าเมทรกซ�ทง 2 เมทรกซ�มมตเท�ากน

บทนยาม 1.3 (การเท�ากนของเมทรกซ�) เมทรกซ� A และ B จะ เท�ากน และเขยนแทนด�วย A = B ถ�าเมทรกซ�ทงสองมมตเท�ากน และสมาชกทสมนยกนของเมทรกซ�ทงสองมค�าเท�ากน

หรอกล�าวได�ว�า ถ�า A = [aij ] และ B = [bij] เป�นเมทรกซ�ทมมตเท�ากน แล�วA = B กต�อเมอ aij = bij สำหรบทก i และ j

ตวอย�าง 1.1 จงพจารณาว�าเมทรกซ�ใดต�อไปนเท�ากน

A =

[

1 2 −1

4 0 1 + 2

]

, B =

[

1 2

4 0

]

, C =

[

1 42 −1

4 0 3

]

, D =

[

1 2 −1

4 0 1

]

วธทำ ในทน A และ C เป�นเมทรกซ�เพยงค�เดยวทเท�ากน ดงนน A = C �

บทนยาม 1.4 (ผลบวกของเมทรกซ�) กำหนดให� A และ B เป�นเมทรกซ�ทมมตเท�ากนผลบวก ของ A และ B ซงเขยนแทนด�วย A+ B คอ เมทรกซ�ทได�จากการบวกสมาชกทสมนยกนของ A และ B

หรอกล�าวได�ว�า ถ�า A = [aij ] และ B = [bij] เป�นเมทรกซ�ทมมตเท�ากน แล�วC = A+B กต�อเมอ cij = aij + bij สำหรบทก i และ j

ตวอย�าง 1.2 จงหาเมทรกซ� C ทเป�นผลบวกของเมทรกซ�

A =

3 6

−1 5

0 2

และ B =

12 −4

−2 0

−3 −2


ตวอยาง

51.1 เมทรกซและการดำาเนนการบนเมทรกซ


ตวอยาง


ตวอย�าง 1.5 กำหนดให� A และ B เป�นเมทรกซ�ต�อไปน จงหาผลคณ AB และ BA

(ถ�าหาได�)

(a) A =

3 −2

2 4

1 −3

, B =

[

−2 1 3

4 1 6

]

(b) A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, B =

x

y

z

วธทำ (a) ในทน A เป�นเมทรกซ�มต 3×2 และ B เป�นเมทรกซ�มต 2×3 ดงนนจำนวนหลกของ A เท�ากบจำนวนแถวของ B ทำให�ผลคณ AB สามารถหาได� และมมต 3× 3

ถ�าให� C = AB แล�วจะได�ว�า

c11 = (3)(−2) + (−2)(4) = −14

c12 = (3)(1) + (−2)(1) = 1

c13 = (3)(3) + (−2)(6) = −3

c21 = (2)(−2) + (4)(4) = 12

c22 = (2)(1) + (4)(1) = 6

c23 = (2)(3) + (4)(6) = 30

c31 = (1)(−2) + (−3)(4) = −14

c32 = (1)(1) + (−3)(1) = −2

c33 = (1)(3) + (−3)(6) = −15

ดงนน

C =

−14 1 −3

12 6 30

−14 −2 −15

ในทำนองเดยวกน จำนวนหลกของ B เท�ากบจำนวนแถวของ A ดงนนผลคณ BA

สามารถหาได� และมมต 2× 2 และถ�ากำหนดให�

D = BA =

[

−2 1 3

4 1 6

]

3 −2

2 4

1 −3

แล�วจะได�ว�า

d11 = (−2)(3) + (1)(2) + (3)(1) = −1

d12 = (−2)(−2) + (1)(4) + (3)(−3) = −1


ตวอยาง

71.1 เมทรกซและการดำาเนนการบนเมทรกซ1.1 เมทรกซ�และการดำเนนการบนเมทรกซ� 7

d21 = (4)(3) + (1)(2) + (6)(1) = 20

d22 = (4)(−2) + (1)(4) + (6)(−3) = −22

ดงนนD =

[

−1 −1

20 −22

]

นอกจากนจะเหนได�ว�า AB �= BA เนองจาก AB และ BA มมตต�างกน

(b) เนองจากจำนวนหลกของ A เท�ากบจำนวนแถวของ B ดงนนผลคณ AB สามารถหาได� และมมต 3× 1 และจะได�ว�า

AB =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

x

y

z

=

x+ 2y + 3z

4x+ 5y + 6z

7x+ 8y + 9z

อย�างไรกตาม ผลคณ BA ไม�สามารถหาได� เนองจากจำนวนหลกของ B (เท�ากบหนง) ไม�เท�ากบจำนวนแถวของ A (เท�ากบสาม) �

หมายเหต จากตวอย�างข�างต�นจะเหนได�ว�าการคณของเมทรกซ� จะแตกต�างจากการคณของจำนวน กล�าวคอ การคณของจำนวนมสมบตการสลบท นนคอ ถ�า a และ b เป�นจำนวนใดๆ แล�ว ab = ba แต�การคณของเมทรกซ�ไม�มสมบตดงกล�าว

อย�างไรกตาม สถานการณ�หนงททำให� AB และ BA สามารถหาได� (แต�อาจจะไม�เท�ากน) คอ เมอเมทรกซ� A และ B มมตเท�ากนและเป�นเมทรกซ�จตรส

เมทรกซ�สลบเปลยน

บทนยาม 1.9 กำหนดให� A เป�นเมทรกซ�มต m×n ใดๆ เมทรกซ�สลบเปลยน ของ A

(transpose of A) เขยนแทนด�วย AT คอเมทรกซ�มต n×m ทได�จากการสลบแถวและหลกของ A นนคอ หลกท j ของ AT คอแถวท j ของ A

หรอกล�าวได�ว�า B = AT กต�อเมอ bij = aji สำหรบแต�ละค�าของ i และ j

ตวอย�าง 1.6 จงหาเมทรกซ�สลบเปลยนของเมทรกซ�ต�อไปน

(a) A =

[

1 2 3

4 5 6

]

(b) B =

−3 2 1

4 3 2

1 2 5

(c) C =

2

3

5

วธทำ (a) AT =

1 4

2 5

3 6

(b) BT =

−3 4 1

2 3 2

1 2 5

(c) CT =

[

2 3 5]

�


ตวอยาง


บทนยาม 1.10 ถ�า A เป�นเมทรกซ�จตรสใดๆ แล�ว รอย (trace) ของ A เขยนแทนด�วยtr(A) คอ ผลบวกของสมาชกทอย�ในเส�นทแยงมมหลกของ A แต�ถ�า A ไม�ใช�เมทรกซ�จตรส แล�ว tr(A) หาค�าไม�ได�

ตวอย�าง 1.7 จงหารอยของเมทรกซ�ต�อไปน

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, B =

−3 1 7 0

2 4 −8 4

1 −2 5 0

8 3 −1 0

วธทำ tr(A) = a11 + a22 + a33 และ tr(B) = −3 + 4 + 5 + 0 = 6 �

เราจะจบหวข�อนโดยการกล�าวถงสมบตพชคณตของเมทรกซ�ต�อไปน

ทฤษฎบท 1.1 (สมบตพชคณตของเมทรกซ�) กำหนดให� A, B และ C เป�นเมทรกซ�ใดๆและ a และ b เป�นสเกลาร�ใดๆ และสมมตให�มตของเมทรกซ�ในแต�ละการดำเนนการเป�นไปตามบทนยาม พชคณตของเมทรกซ�ต�อไปนสมเหตสมผล

(a) A+B = B +A (กฎการสลบทสำหรบการบวก)

(b) A+ (B + C) = (A+B) + C (กฎการจดหม�สำหรบการบวก)

(c) A(BC) = (AB)C (กฎการจดหม�สำหรบการคณ)

(d) A(B + C) = AB +AC (กฎการแจกแจงทางซ�าย)

(e) (B + C)A = BA+ CA (กฎการแจกแจงทางขวา)

(f) A(B − C) = AB −AC (g) (B −C)A = BA−CA

(h) a(B + C) = aB + aC (i) a(B −C) = aB − aC

(j) (a+ b)C = aC + bC (k) (a− b)C = aC − bC

(l) (ab)C = a(bC) (m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

(n) A+ 0 = 0+A = A (o) A−A = 0

(p) 0−A = −A (q) A0 = 0, 0A = 0

(r) AI = A


ตวอยาง

สำนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร


ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ

หนงสอนไดรบทนสนบสนนการเขยนตำราจากมหาวทยาลยธรรมศาสตร พ.ศ. 2555

ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณคณ

ตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร


ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณอาจารยประจำภาควชาคณตศาสตรและสถต คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยธรรมศาสตรการศกษา: • วทยาศาสตรบณฑต (ศกษาศาสตร) มหาวทยาลยสงขลานครนทร วทยาเขตปตตาน • วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสตรประยกต) มหาวทยาลยมหดล • Master of Arts in Mathematics, Western Michigan University, USA. • Doctor of Philosophy in Mathematics, Western Michigan University, USA.ผลงานตำรา: • แคลคลส 1, พมพครงท 4, 2555 • พชคณตเชงเสน, พมพครงท 3, 2556 • คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร, 2557

คณตศาสตรเปนเคร�องมอทสำคญในการขบเคล�อนสงคม นวตกรรม เทคโนโลย และวทยาศาสตรกอใหเกดการทดลองตางๆ ทเปนรปธรรม หรอกลาวไดวาคณตศาสตรชวยใหวทยาศาสตรทำงานไดงายขนนอกจากนคณตศาสตรยงมบทบาทสำคญยงตอการพฒนาสตปญญา ทำใหมความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผลและเปนระบบ สามารถวเคราะหปญหาหรอสถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ รจกวางแผนในการแกปญหา และนำไปใช ในชวตประจำวนไดอยางถกตองเหมาะสม พชคณตเชงเสน แคลคลสและสมการเชงอนพนธ เปนสวนหนงของคณตศาสตรทชวยใหนกศกษาสามารถนำไปประยกตใช ในการอธบายกฎเกณฑทางธรรมชาต โดยใชวธการแปลงปญหาในธรรมชาตใหเปนปญหาเชงสญลกษณ และแกปญหาจากสญลกษณเหลานน

http://www.thammasatpress.com

ราคา 270 บาทหมวดวทยาศาสตร

ISBN 978-616-314-089-0

9 786163 140890

สน 1.3 ซม.

ตวอยาง

คณ คณิตศาสตร คณิตศาสตร สำหรับ ... ·...

Documents