เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

จุด CM ของระบบอนุภาค1. มวล m1 = 4 Kg และ m2 = 6 kg วางหา่งดังรูป ก. และ ข.

จงหา xCM , yCM

วธิทีำา วธิทีำา

= = = =

= = = =

จุด c.m. อยูท่ี่ ( , ) ตอบ จุด c.m. อยูท่ี่ (, ) ตอบ

2. มวล m1 = 2 kg , m2 = 4 kg และ m3 = 6 kg วางห า่ ง ก ัน ด ัง ร ูป จ ง ห าจุดศูนยก์ลางมวลของระบบ (

)

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

วธิทีำา =

= = = ตอบ

3. จงหาตำาแหน่งของจุดศูนยก์ลางมวลของระบบอนุภาค ดังรูป

วธิทีำา = = = =

ตอบ = = = =

ตอบ

4. มวล m1 = 2 kg , m2

= 3 kg และ m3 = 4 kg ว า ง ห า่ ง ก ัน ด ัง ร ูป จ ง ห าจุดศูนยก์ลางมวลของระบบ

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

วธิทีำา

= =

= = ตอบ

5. แผ่นทองแดงบางรูปสีเ่หล่ียมผืนผ้าขนาด 6 cm 12 cm มชีอ่งขาดสีเ่หล่ียมขนาด 4 cm 4 cm อยูท่ี่ตำาแหน่ง 10 cm หา่งจากแกน x ดังรูป จงหาจุดศูนยก์ลางมวลของทองแดงแผ่นน้ี

วธิทีำา มวล m1 = = จุด c.m.

อยูท่ี่ (4,0)มวล m2 = =

จุด c.m. อยูท่ี่ (10,2.5)มวล m3 = =

จุด c.m. อยูท่ี่ (10,-2.5)

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

=

= = =

= =

จุด c.m. ของรูปน้ีอยูท่ี่ ( , ) m ตอบหรอืสามารถคำานวณหาจุด c.m. ของรูปน้ีได้ดังน้ี

วธิทีำา มวล m1 = = จุด c.m.

อยูท่ี่ (6,0)มวล m2 = =

จุด c.m. อยูท่ี่ (10,0)

= = =

= = จุด c.m. ของรูปน้ีอยูท่ี่ ( , ) m ตอบ

6. กระดาษบางวงกลมรศัม ี3 cm มรูีขาดรศัม ี1 cm ท่ีจุดหา่งจากจุดศูนยก์ลาง 2 cm ดังรูป จงหาจุดศูนยก์ลางใหมข่องกระดาษแผ่นน้ี

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

วธิทีำามวล m1 = = จุด c.m. อยูท่ี่ (0,0)มวล m2 = = จุด c.m. อยูท่ี่ (2,0)

= = = = = จุด c.m. ของรูปน้ีอยูท่ี่ ( , ) m ตอบ

จุด CM ของวตัถเุนื้อเดียว7. จงแสดงใหเ้หน็วา่เสน้ลวดยาว d มวล m จะมจุีดศูนยก์ลาง

มวลอยูท่ี่ d/2

yวธิทีำา x

x dx

คำานวณหาจุด cm ของวตัถไุด้ดังน้ี

โดยท่ี = dV ซึ่ง dV = Adx โดย A คือพื้นที่หน้าตัดของวตัถ ุ และ dx คือความยาวสว่นท่ีพจิารณา ดังนัน้ = Adx แทนค่า

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

เน่ืองจากวตัถอุยูบ่นแกน x ดังนัน้ จะได้ตำาแหน่งจุดศูนยก์ลางมวลของวตัถอุยูท่ี่

8. จงแสดงใหเ้หน็วา่แผ่นโลหะบางกวา้ง H ยาว L ดังรูป จะมีจุดศูนยก์ลางมวลอยูท่ี่ L/2

คำานวณหาจุด cm ของวตัถไุด้ดังน้ี

โดยท่ี = ซึ่ง dA = Hdx โดย dx คือความยาวสว่นท่ีพจิารณา ดังนัน้ = แทนค่า

เน่ืองจากวตัถอุยูบ่นแกน x ดังนัน้ จะได้ตำาแหน่งจุดศูนยก์ลางมวลของวตัถอุยูท่ี่

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

9. จงหาจุดศูนยก์ลางมวลของแท่งทรงกระบอกตัน รศัม ีR สงู H ท่ีตัง้อยูบ่นจุดกำาเนิดดังรูป

วธิทีำา เน่ืองจากวตัถสุมมาตรแกน x , y ดังนัน้ xcm = ycm = 0 คำานวณหา zcm ดังน้ี

zcm =

จากรูปขา้งต้นจะแบง่แท่งวตัถอุอกเป็นมวลยอ่ยๆ dm โดยdm = dV = (abdz)

zcm =

=

= =

Zcm = จุดศูนยก์ลางมวลของแท่งวตัถอุยูท่ี่ ( 0 , 0 , )ตอบ

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

Momentum แรงดล การดล

1. ขวา้งลกูบอลมวล 200 กรมั กระทบกำาแพงโดยก่อนกระทบกำาแพงลกูบอลเคล่ือนท่ีในแนวระดับไปทางซา้ยด้วยความเรว็ 20 m/s และสะท้อนกลับหลังจากชนกำาแพงด้วยความเรว็ 20 m/s ไปทางขวา ถ้าลกูบอลสมัผัสกับกำาแพงเป็นเวลา 0.01 วนิาที จงหา

ก. อัตราการเปล่ียนโมเมนตัมข. การดลของแรงท่ีกระทำาต่อลกูบอล ค. แรงเฉล่ียท่ีเกิดกับลกูบอลขณะกระทบกำาแพง

วธิทีำาก. อัตราการเปล่ียนโมเมนตัม

กำาหนดใหค้วามเรว็ลกูบอลก่อนกระทบกำาแพงเป็น ลบ และความเรว็ลกูบอลหลังกระทบกำาแพงเป็นบวก

= =

= ตอบ

ข. การดลท่ีลกูบอลกระทำากับผนัง =

=

= ตอบ

ค. แรงดลเฉล่ียท่ีลกูบอลกระทำาต่อผนัง =

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

= = ตอบ

2. ลกูบอลมวล 0.5 kg วิง่เขา้ชนกับพื้นในแนวระดับด้วยความเรว็ v1 = 10 m/s ซึ่งเอียงทำามุม 60 องศากับแนวดิ่ง และสะท้อนออกจากพื้นด้วยอัตราเรว็เท่าเดิมดังรูป จงหาการเปล่ียนแปลงโมเมนตัมเชงิเสน้ของลกูบอล

วธิทีำาพจิารณาการดลตามแกน x; =

= 0.5(10sin60o) - 0.5(10sin60o)

= 4.33 - 4.33= 0 N.s

พจิารณาการดลตามแกน y ; = = 0.5(10cos60o) - 0.5(-

10cos60o) = 2.5 + 2.5= 5 N.s

ดังนัน้การดลที่เกิดกับวตัถมุคี่า = =

= 5 N.s ทิศไปตามแกน y ตอบ

การชนกันแบบยดืหยุน่

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

3. กำาหนดให ้ มวล 0.6 kg เคล่ือนที่ด้วยความเรว็ 3 m/s ไปทางขวา เขา้ชนมวล 0.4 kg ซึ่งเคล่ือนที่ด้วยความเรว็ 4 m/s ไปทางซา้ย ถ้าหลังจากชนกันแล้วมวล 0.4 kg เคล่ือนที่กลับไปทางขวาด้วยความเรว็ 2 เมตรต่อวนิาที จงหาความเรว็หลังชนของมวล 0.6 kg

วธิทีำา ก่อนชน = หลังชน

= (0.6kg)(3m/s) + (0.4kg)(-4m/s) =

(0.6kg)v + (0.4kg)(2m/s) 1.8 – 1.6 = 0.6v +

0.8 v = =

มวล 0.6 kg เคล่ือนที่ไปทางซา้ยด้วยความเรว็ 1 m/s ตอบ4. วตัถ ุมวล 5 kg วิง่ด้วยความเรว็ 2 m/s เขา้ชนวตัถมุวล 3

kg ซึ่งวิง่สวนทางมาด้วยความเรว็ 2 m/s ถ้าเป็นการชนการแบบยดืหยุน่สมบูรณ์ จงหาความเรว็ของวตัถทัุง้สอง หลังการชน และผลรวมของพลังงานจลน์หลังชน

วธิทีำา ก่อนชน = หลังชน

= (5kg)(2m/s) + (3kg)(-2m/s) =

(5kg)v1 + (3kg)v2 10 – 6 =5v1 + 3v2

4 = 5v1 + 3v2 (1)

ก่อนชน = หลังชน

=

2 + v1 = -2 + v2

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

v1 = -4 + v2 (2)

แทน (2) ใน (1)4 = 5(-4 + v2 ) + 3v2 4 = -20 +8v2

v2 = = 3 m/s ตอบ

แทน v2 ใน(2) v1 = -1 m/sตอบ

ผลรวมของพลังงานจลน์หลังชน = + = + = + = ตอบ

การชนกันแบบไมย่ดืหยุน่

5. กระสนุมวล 10 กรมั วิง่มาตามแนวระดับด้วยความเรว็ 300 m/s ไปกระทำาท่อนไมห้นัก 1 kg ตัง้อยูบ่นพื้น โดยลกูกระสนุเหลือความเรว็ 100 m/s พบวา่ ไมจ้ะเคลื่อนที่ไปได้ 0.2 m จากตำาแหน่งเดิม จงคำานวณหา สมัประสทิธิค์วามเสยีดทานของพื้นและท่อนไม ้

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

วธิทีำา ก่อนชน = หลังชน

= (0.010kg)(300m/s) + (1kg)(0m/s) =

(0.010kg)(100m/s) + (1kg)v2 v2 = 3 – 1 = 2

m/s = -

= -

= =

ตอบ

6. กระสนุขนาด 10 กรมั ถกูยงิออกมาด้วยความเรว็ 80 m/s เขา้ชนลกูตุ้มหนัก 5 kg แขวนอยูบ่นเสน้เชอืกยาว 1 m จงคำานวณหาวา่ มวล 5 kg จะแกวง่ขึ้นไปสงูเท่าใดถ้ากระสนุฝังในลกูตุ้ม

วธิทีำา ก่อนชน = หลังชน

= (0.010kg)(80m/s) + (5kg)(0m/s) =

(0.01+5)v2 v2 = 0.16 m/s

= =

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

= = = ตอบ

ความสมัพนัธ ์ Work & Momentum

7. ปล่อยวตัถมุวล 1 kg จากปลายสว่นโค้ง ¼ ของวงกลม รศัม ี 1 m เขา้ชนมวล 2 kg ซึ่งวางอยูท่ี่จุดตำ่าสดุของสว่นโค้ง หลังจากชนแล้วคิดกันไปตามแนวราบ ซึ่งม ี = 0.2 จงหาวา่มวลทัง้สองจะเคลื่อนที่ไปหยุดหา่งจากจุดเดิมของมวล 2 kg เท่าใด A

B C

วธิทีำา พจิารณากล่องเคล่ือนท่ีจากจุด A ไปยงัจุด B โดยพื้นล่ืน EA = EB

mgh = =

= = 4.43 m/s

ก่อนชน = หลังชน

= (1kg)(4.43m/s) + (2kg)(0m/s) =

(1+2)v2 v2 = 1.48 m/s

จากสมการ = - = -

=

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

= ตอบ

8. ยงิกระสนุปืน 6 g(กรมั) เขา้ชนแท่งไมม้วล 2 kg ซึ่งวางอยูนิ่่งตรงขอบโต๊ะดังรูป โต๊ะมคีวามสงู 1 เมตร ลกูปืนฝังเขา้ไปในแท่งไม ้และตกลงท่ีพื้นหา่งจากขาโต๊ะ 2 เมตร จงหาความเรว็ก่อนชนของกระสนุปืน

วธิทีำา ก่อนชน = หลังชน

= (0.006kg)u1+ (2kg)(0m/s) =

(0.006+2)v2

v2 = (1)

คิดโปรเจกไตล์ จากโจทย ์ , , =

คิดแกน y ; = +

= + = =

คิดแกน x ; =

= = m/s

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

แทน ใน (1) = =

m/s ตอบ

การชนกัน 2 มติิ9. มวล m1 = 3 kg เคล่ือนที่ไปทาง

ตะวนัตก และพุง่เขา้ชนมวล m2 = 7 kg ซึ่งกำาลังเคล่ือนท่ีไปทางเหนือ หลังจากชนแล้วมวลทัง้สองเคล่ือนที่ติดกันไปด้วยความเรว็ 10 m/s ในทิศทำามุม 37 ทางตะวนัตกเฉียงเหนือ ดังรูป จงหาความเรว็ของมวลทัง้สองก่อนชนกัน

ก่อนชน = หลังชน

= =

คิดแกน x ; = = m/s

ตอบคิดแกน y ; =

By Preya Anupongongongarch

เฉลยการบา้นครัง้ท่ี 1(Final)

= m/sตอบ

10. วตัถมุวล m เคลื่อนที่ด้วยความเรว็คงที่ในแกน +x ด้วยอัตราเรว็ 50 m/s เมื่อยูห่า่งจากจุดกำาเนิด 5 เมตร ได้ระเบดิออกเป็นสองสว่น โดยมมีวลอัตราสว่น 1 : 3 สว่นมวลก้อนใหญ่ยงัเคล่ือนท่ีไปตามแนว +x ด้วยอัตราเรว็ 60 m/s คงท่ี สว่นชิน้เล็กเคล่ือนที่ทำามุม 60 องศา กับแกน +x จงหาความเรว็ของมวลชิน้เล็ก

วธิทีำา ก่อนชน = หลังชน

= =

คิดแกน x ; = +

= ตอบคิดแกน y ; =

= ตอบ

By Preya Anupongongongarch