บทท 1ไฟฟาสถต (Electrostatics)

เอกสารประกอบการสอนรายวชาPHYS 1103 ฟสกสทวไป 2อ.จกรกฤษ แกวนคม

หองท ำงำน 1322 อำคำร 13 ชน 2, มหำวทยำลยรำชภฏเชยงใหมโทรศพท 053-885632

ไฟฟาสถต

ฟลกซของสนามไฟฟา

กฎของเกาส

การท าใหเกดประจไฟฟาโดยการเหนยวน า

การเหนยวน า (induction) ใหเกดประจไฟฟานน จะตองไมมการสมผสระหวางวตถทน ามาเหนยวน ากน

ตวอยางการเหนยวน า1. สมมตวามทรงกลมโลหะ ทมจ านวนประจบวกและลบ เทาๆกน (เปนกลางทางไฟฟา)

2. น าแทงประจ (เชนแทงพลาสตกทถกเสยดสจนเกดประจ) มาไวใกลกบทรงกลม (โดยไมสมผสกน) จะท าใหประจไฟฟาบวกและลบแยกกนดงรป

3. ตอสายดน (ground) กบทลงกลมโลหะ อเลกตรอนบางสวนจะวงไปตามสายดน

4. น าแทงประจออกหางจากทรงกลมโลหะ เราจะไดทรงกลมโลหะทถกเหนยวน าใหเกดประจบวก (เพราะประจบวกเปนสวนเกน)

ฉนวนไฟฟา ( Insulator )

คอวตถซงประจไฟฟาไมสามารถเคลอนทไดอยางอสระวสดเชน แกว ยาง จดอยในพวกฉนวนไฟฟา โดยวสดเหลานสามารถท าใหมประจไดโดยการขดถ โดยพนททเกดการขดถจะเกดประจขนแตประจ ท เ กดขนไมสามารถเคลอนทไปทอนได

ฉนวนกสามารถเหนยวน าไดในขบวนการทคลายกน ในโมเลกลทเปนกลางทวไปศนยกลางประจบวกเปนจดเดยวกบศนยกลางประจลบ ในการแสดงตววาเปนวตถทมประจจดศนยกลางของฉนวนจะมการเลอนเลกนอยเปนผลท าใหมประจบวกทดานหนงมากกวาอกดานหนงท าใหเกดการเหนยวน าประจทผวดานหนงของฉนวนไดดงรป

ไฟฟาสถต ทเกดจากการเสยดสกนของโมเลกล

ไฟฟาสถต ทเกดจากการเสยดสกนของโมเลกลในเถาภเขาไฟ

กฎของคลอมบ (Coulomb’s law)

กฎของคลอมบ (Coulomb’s law)

คอ คาคงตวของคลอมบ (Coulomb’s constant) ในหนวย SI คาของ คอ

คา สามารถเขยนไดอกรปแบบหนงคอ

เมอ ( อานวา เอบซลอน)

• ประจไฟฟา 𝑞 มหนวยเปนคลอมบ (ใชสญลกษณ C )• ประจไฟฟามมวล (แตนอยมากๆ)• 𝑒 คอหนวยทเลกทสดของประจไฟฟา (ยกเวน ควารก)

• 1 𝑒 = 1.6 × 10−19 C

• ดงนน ประจ 1 C จะประกอบไปดวย อเลกตรอน (หรอโปรตอน) ประมาณ 6.12 × 1018 ตว

• อยาลมวาแรงระหวางประจเปนปรมาณเวกเตอรมนมทศทางเสมอ

แทนคาประจโปรตอน 𝑞1 = 𝑒 = 1.6 × 10−19 C

แทนคาประจอเลกตรอน 𝑞2 = −𝑒 = −1.6 × 10−19 C

ประจทงสองอยหางกน 𝑟 = 5.3 × 10−11 m

เหนไดชดวา แรงทางไฟฟา ม ”ความแรง” กวาแรงดงดดระหวางมวลถง

เทา!

จงค านวณหาแรงไฟฟาของโปรตอนสองตวทอยหางกนเปนระยะ 2 fm(57.5 N)

ตวอยางท 2

กฎของคลอมบในรปของเวกเตอร

ในรปของเวกเตอร กฎของคลอมบเขยนไดดงนคอ

റ𝐹21

റ𝐹21

റ𝐹12

റ𝐹12

റ𝐹12

• ในทน คอแรงทกระท ำบนประจ 𝑞2 โดยประจ 𝑞1• “12” แสดงทศของเวกเตอรหนวย ทชไปยงประจทถก

กระท ำ นนคอ 𝑞2• ประจ 𝑞1 ถกกระท ำเชนกนตำมกฎของแรงคกรยำ-ปฏกรยำ

ซงมขนำดเทำกน แตทศทำงตรงกนขำม นนคอ

റ𝐹12

จะเกดแรงรวมทกระท ากบประจ 𝑞1 มคาเปน

วธท าหาขนาดของแรงกอน

ในรปของเวกเตอรจะได23

ˆ( 9.0 ) NF iค านวณขนาดของ

13F

ในรปของเวกเตอรจะได

13 13 13 13 13ˆ ˆ ˆ ˆ cos 45 sin 45

ˆ ˆ = (11cos 45 11sin 45 ) N

ˆ ˆ = (11 2/2 11 2/2 ) Nˆ ˆ (7.9 7.9 ) N

x yF F F F Fi j i j

i j

i j

i j

ดงนน แรงลพธทกระท ากบประจ 𝑞3 คอ

23 13ˆ ˆ( 9.0 7.9) + 7.9 N

ˆ ˆ ( 1.1 + 7.9 ) N

F F F i j

i j

13F

13ˆx

F i

13ˆy

F j

45

สนามไฟฟา (Electric Field)

ขนาดของสนามไฟฟามหนวยเปน นวตนตอคลอมบ (N/C)

26

สนามไฟฟา (Electric Field; E) หมายถง บรเวณโดยรอบประจไฟฟา ซงประจไฟฟาสามารถสงอ านาจไปถง หรอ บรเวณทเมอน าประจไฟฟาเขาไปวางแลวจะเกดแรง กระท าบนประจไฟฟานน

𝐸 คอ สนามไฟฟา (N/C)റ𝐹 คอ แรงไฟฟา (N)𝑞 คอ ประจไฟฟาทใหก าเนดสนาม (C)

ตามจดตางๆ ในบรเวณสนามไฟฟายอมมความเขมของสนามไฟฟาตางกนจดทอยใกลประจไฟฟาจะมความเขมของสนามไฟฟาสงกวาจดทอยหางไกลออกไป

เนองจาก และ

ดงนน

เชน ถาประจมการเรยงตวดงรป สนามไฟฟา ณ จด จะมขนาดเทากบ .𝑃 𝑃റ𝑟1

റ𝑟2 റ𝑟3

𝑞1

𝑞2 𝑞3

1 2 31 2 32 2 2

1 2 3

ˆ ˆ ˆe e e

q q qE k k k

r r rr r r

เสนสนามไฟฟาของประจบวก (a) และประจลบ (b)

รปการเรยงตวของผงตะไบเหลกในสนามไฟฟา (รปบน) เทยบกบแบบจ าลองเสนสนามไฟฟา (รปลาง)

สนามไฟฟาทเกดจากแผนประจ

สนามไฟฟารวม กรณทประจบวกมขนาดมากกวาประจลบสองเทา

ตวอยางท 6

ประจ q1 = 7.0 C อยทจดก าเนด และประจ q2 = -5.0 C อยบนแกน x หางจากจดก าเนด 0.3 m ดงรป จงหาสนามไฟฟาทต าแหนง P ซงมพกดท (0, 0.40) m

วธท า เรมแรกใหหาขนาดของสนามไฟฟาทจด P ทเกดจากประจแตละตว สนาม E1 เกดจากประจ 7.0 C และ E2 เกดจากประจ -5.0 C

32

𝐸1 มเฉพาะองคประกอบในแนวแกน y เปน 𝐸1𝑦 = 𝟑.𝟗 × 105N/C

และแกน – 𝑦 เปน 𝐸2𝑦 = −𝐸2sin𝜃 = −4

5𝐸2 = −1.4 × 105N/C

ดงนนเขยนในรปเวกเตอรได ดงน

สนามลพธ 𝐸 ทจด 𝑃 เปน

แบบฝกหด จงหาแรงไฟฟาทกระท าตอประจ 2x10-8 C ทจด 𝑷ตอบ 5.4x10-3 𝐍 มทศเดยวกบสนามไฟฟา 𝑬

𝐸2 มองคประกอบในแนวแกน 𝑥 เปน 𝐸2𝑥 = 𝐸2cos𝜃 =3

5𝐸2 = 1.1 × 105N/C

5 5 5

1 2ˆ ˆ ˆ(3.9 10 ) , (1.1 10 ) (1.4 10 )E Ej i j

5 5 5

1 25 5

ˆ ˆ(0 1.1 10 ) (3.9 10 1.4 10 )ˆ ˆ (1.1 10 ) (2.5 10 )

E E E i j

i j

จะได 𝐸 มขนาด 2 2 5 2 5 2 5

x y(E ) (E ) (1.1 10 ) (1.1 10 ) 2.7 10 N/C

ตวอยางท 7

วธท าทจด ขนาดของสนาม E1 และ E2 ทเกดจากประจทงสองมขนาดเทากนเนองจากจด P มระยะหางจากประจทงสองเทากน สนามรวมทงหมดคอ

ไดโพลไฟฟา (an electric dipole) นยามคลายกบวาเปนคประจ +q และประจ -q อยหางกนเปนระยะทางคาหนง ดงรป จงหาสนามไฟฟา E ทจด P ทเกดจากประจทซง P มระยะทาง y >> a จากจดก าเนด

องคประกอบในแนวแกน y ของ E1 และ E2 หกลางกนและกน องคประกอบในแนวแกน x น ามาบวกกนเนองจากเวกเตอรทงสองมทศในแกนบวก x ทงค ดงนน E จะขนานกบแกน x มขนาดเทากบ

เพราะวา 2 2

cosa a

r y aดงนน

ถา y มคาไกลมากๆเราจะสามารถประมาณไดวา

q

สนามไฟฟาทจด 𝑷 เนองมาจากประจ ∆𝒒 คอ

เนองจากประมาณการกระจายของประจเปนแบบตอเนอง

โดยท าการอนทเกรต ตลอดชวงของการกระจายของประจ

dA

d

สนามไฟฟาทเกดจากเสนประจ

การกระจายของประจเปนแบบเชงเสน ดงนน dq dx

จะได

สนามไฟฟานอยทเกดจาก ∆𝑞 คอ

เนองจากประจมการกระจายตวอยางตอเนอง ดงนน 𝜆 จงเปนคาคงตว จงสามารถ ดงไวนอกการอนทเกรตได

สนามไฟฟาตรงแนวกงกลางของวงแหวนประจ

จากรป พบวา

เนองจากสนามไฟฟาในแนวตงฉากกบแกน 𝑥 ไดหกลางกนไปหมดดงนน จงเหลอเพยง

ในการทดลองหนง อเลกตรอนตวหนงถกจดใหเคลอนทในแนวระนาบเขาไปในบรเวณทมสนามไฟฟาสม าเสมอดงรป ก าหนดใหอเลกตรอนมความเรวตน 𝑣0 = 1 × 107 m/s และสนามไฟฟามขนาด 𝐸 = 9.1 × 103 N/C จงหาต าแหนง ความเรว และความเรงของอเลกตรอนหลงจากเคลอนทไปในสนามไฟฟาดงกลาวแลวเปนเวลา 1 ns

ฟลกซไฟฟา (The electric flux)

ถามสนามไฟฟาคงตวสม าเสมอ โดยเสนสนามทะลผานพนผวสเหลยมผนผาพนท 𝐴ซงตงฉากกบสนาม ผลคณของขนาดของสนามไฟฟา 𝐸 และพนผว 𝐴 ซงตงฉากกบสนามเรยกอกอยางวา ฟลกซไฟฟาΦ𝐸 (ใชตวอกษรกรก ‘Phi’ ตวใหญเปนสญลกษณ)

รป เสนสนามแสดงสนามไฟฟาสม าเสมอทะลผานระนาบทมพนท A ฟลกซไฟฟา ทพงผานมขนาดเทากบ EA

นยามของฟลกซไฟฟาคอ

โดย ฟลกซไฟฟาเปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปน

ฟลกซไฟฟาทพงผานทรงกลมรศม 1 เมตรซงมประจ +1 C อยทศนยกลางทรงกลมมคาเทาไรขนาดของสนามไฟฟา E ทหางจากประจเปนระยะ 1 เมตร มขนาดเทากบ

สนามจะมทศชออกในแนวรศมและจะตงฉากกบพนผวทรงกลมในทกจด

ตวอยางท 12

ทรงกลมมพนทผว𝐴 = 4𝜋𝑟2

= 4 3.24 1 2

= 12.6 m2

ดงนนฟลกซทผานผวทรงกลมคอ

แบบฝกหด (ก) สนามไฟฟามคาเทาไร (ข) ฟลกซทพงผานทรงกลมรศม 0.5 m มคาเทาไรเฉลย (ก) 3.6x104 N/C (ข) 1.13x105 N.m2/C

ถาพนผวไมตงฉากกบสนามไฟฟาททะลผาน ฟลกซไฟฟาทผานพนผวนนจะมคานอยลง

จากรปสนามไฟฟาสม าเสมอ 𝐸 ท ามม 𝜃 กบพนท 𝐴 และตงฉากกบพนท 𝐴⊥ โดยท 𝐴⊥ = 𝐴cos 𝜃

ดงนนสนามไฟฟาสม าเสมอพงผานพนท 𝐴 จะมคาเทากบกบฟลกซไฟฟาทพงผานพนท𝐴⊥ซงจะมคาเทากบ

จากสมการนจะเหนวา Φ𝐸 จะมคามากทสดเทากบ 𝐸𝐴 เมอ 𝜃 = 0° และ Φ𝐸 จะมคานอยทสดซงเทากบ 0 เมอ 𝜃 = 90°

ในกรณทวไป ถาพนผวทสนามไฟฟาทะลผาน ไมใชพนผวแบนราบ และไมตงฉากกบสนามไฟฟา การหาฟลกซจะตองคด จากสนามไฟฟา 𝐸𝑖 ททะลผานพนทนอยๆ ∆ റ𝐴𝑖 ≡ Δ𝐴ෝ𝐧𝑖 (เมอ ෝ𝐧𝒊 คอเวกเตอรหนวยทตงฉากกบพนผวนอยๆ 𝛥𝐴 ) แลวน ามารวมกน ดงนน

ฟลกซไฟฟารวมทงหมด หาไดจากการน าฟลกซไฟฟา Φ𝐸,𝑖

แตละสวนมารวมกน นนคอ

เมอเราไดใชการดอทของเวกเตอร

ถาพนผว ∆𝑨𝒊 มความราบเรยบและตอเนองเราจะไดวา

ในกรณพนผวเปนแบบปด (closed surface) ดงรป เวกเตอร ของแตละพนผวชในทศทางทตาง ๆ กน ดงนน ฟลกซไฟฟา ณ ต าแหนงตางๆกนบนพนผวจะมคาตางๆกน

จาก

รปท 1: 𝜃1 < 90°

จะไดวา

Φ𝐸,1 > 0

รปท 2: 𝜃2 = 90° Φ𝐸,2 = 0

รปท 3: 90° < 𝜃3 < 180° Φ𝐸,3 < 0

ตวอยางท 13

พจารณาสนามไฟฟาสม าเสมอ 𝐸 ทพงออกมาตามแนวแกน x ดงรป จงหาฟลกซไฟฟาสทธทพงผานลกบาศกทมดานยาว ℓ

เนองจากพนททขนาดกบสนามไฟฟา ฟลกซจะมคาเปนศนย จงเหลอดานทฟลกซไฟฟาไมเปนศนยอย 2 ดานคอ ดานท 1 และ ดานท 2 ดงนน

วธท า

ส าหรบดานท 1:

ส าหรบดานท 2:

ดงนน ฟลกซไฟฟาสทธมคาเทากบ:

กฎของเกำสกลำววำ ฟลกซไฟฟำสทธ Φ𝐸 ทผำนผวเกำสเซยนจะเทำกบประจไฟฟำสทธ

ภำยในผวนนหำรดวย 𝜖0 กลำวคอ

โดยสญลกษณ ∮ คอ ปรพนธแบบปด (closed integral) ดงนนเครองหมายปรพนธในสมการดานบนจงหมายถง การหาปรพนธทวทงพนผวปด กฎของเกาสจงใชไดกบพนผวปดเทานน

จากตวอยางท 12 ฟลกซไฟฟาทพงผานทรงกลมรศม 1 เมตรซงมประจ +1 C อยทศนยกลางทรงกลมมคาเทาไร

ตวอยางท 14

ประจทถกปดลอมดวยพนผวเกาสเซยน

1 m

พนผวเกาสเซยนวธท า จากกฎของเกาส Φ𝐸 =

𝑞in𝜖0จะได

Φ𝐸 =1 × 10−6 C

8.85 × 10−12 C2/N ∙ m2= 1.13 × 105 N ∙ m2/C

ซงใหผลเชนเดยวกนกบตวอยางท 12

สรปไดวา ฟลกซสทธทผานผวปดใดๆไมขนอยกบรปทรงของพนผว ฟลกซสทธทผานผวปดใดๆ ทลอมรอบประจ𝑞 มคาเทากบ 𝑞/𝜖0

นอกจากน กฎของเกาสจะเปนจรงเสมอไมวาพนผวปดจะเปนแบบใดกตาม ดงรปพนผว 𝑆1 เปนทรงกลม พนผว 𝑆2 และ 𝑆3ไมเปนทรงกลม

ฟลกซไฟฟาสทธทพงผานพนผวปดทไมไดปดลอมประจดงรป จะมคาเปนศนย

พนผว 𝑆:พนผว 𝑆 ลอมรอบประจ𝑞1 ดงนนประจสทธทผานผวปด 𝑆 คอ 𝑞1/𝜖0

จากรป ในกรณทมประจหลายตว สามารถใช หลกการซอนทบ ซงแสดงสนามไฟฟาเนองจากจดประจเหลานนดวยผลรวมแบบเวกเตอรของสนามไฟฟาเนองจากแตละจดประจ:

พนผว 𝑆′:พนผว 𝑆′ ลอมรอบประจ 𝑞2 และ 𝑞3ดงนนประจสทธทผานผวปด 𝑆′ คอ(𝑞2+𝑞3)/𝜖0

พนผว 𝑆′′:พนผว 𝑆′′ ไมไดลอมรอบประจใดๆไวเลย ดงนนประจสทธทผานผวปด 𝑆′′ คอ 0

ตวอยางท 15: ประจทกระจายอยางสม าเสมอบนทรงกลม

ทรงกลมตนซงเปนฉนวนมความหนาแนนประจเชงปรมาตรสม าเสมอ 𝜌เปนประจบวก𝑄(a) จงค านวณหาขนาดของสนามไฟฟาทจดภายนอกทรงกลม(b) จงค านวณหาขนาดของสนามไฟฟาทจดภายในทรงกลม

วธท ำ (a) เนองจากการกระจายประจเปนสมมาตรทรงกลม เราจงเลอกพนผวเกาสเซยนแบบทรงกลมซงมจดศนยกลางเดยวกนกบทรงกลมตนดงนน

ผลทไดเหมอนกบกรณจดประจ

เนองจาก 𝑞in = 𝑄 จะได

ถาเราก าหนดให ปรมาตรทถกปดลอมดวยพนผวเกาสเซยนคอ 𝑉′ จะได

/ 3

in

4

3q V r

ดงนน จากกฎของเกาส

จะได

เนองจากวา 𝜌 =𝑄

𝑉=

𝑄4

3𝜋𝑎3

จะได

(b) ในกรณนเลอกผวเกาสเซยนแบบทรงกลมรศม 𝑟 < 𝑎 มศนยกลางรวมกบทรงกลมตนดงรป (b)

รปกราฟระหวาง𝐸 และ 𝑟 :

เมอ 𝑟 < 𝑎 สนามไฟฟาจะแปรผนแบบเชงเสนกบ 𝑟 เมอ 𝑟 > 𝑎 สนามไฟฟาจะแปรผนกบ 1/𝑟2

ผลทไดส าหรบคา 𝐸 แตกตางจากขอ (a) โดยมนแสดงวา 𝐸 0 เมอ 𝑟 0 นนคอ จะไมเกดปญหาทต าแหนง 𝑟 = 0ซงถาหาก 𝐸 แปรผนกบ 1/𝑟2 ภายในทรงกลมเหมอนกบกรณภายนอกทรงกลม เมอ𝑟 < 𝑎 สนามไฟฟาจะมคาเปนอนนตท𝑟 = 0 ซงเปนไปไมไดในทางฟสกส

สนามไฟฟาทไดจาก (a) และ (b) มคาเทากนท 𝑟 = 𝑎

แบบฝกหดท 5

เปลอกทรงกลมบางรศม 𝑎 มประจสทธ𝑄 กระจายอยางสม าเสมอบนพนผวดงรป จงใชกฎของเกาสหาสนามไฟฟาทจด (a) ภายนอกทรงกลม(b) ภายในทรงกลม

เฉลย (a): 𝐸 = 𝑘𝑒𝑄

𝑟2

(b): 0

ตวอยางท 16: สนามไฟฟาของเสนประจยาวอนนต

จงหาสนามไฟฟาทระยะ 𝑟 ใดๆหางจากเสนของประจบวกทมความยาวอนนตและประจตอหนงหนวยความยาวมคาคงทดงรป

วธท า สรางพนผวเกาสเซยนลอมรอบเสนประจดงรป ซงเปนรปรางทรงกระบอกรศม 𝑟 มความยาวอนนต จากกฎของเกาส จะได

แทนคาพนทผวทรงกระบอก 𝐴 = 2𝜋𝑟ℓ ดงนน

หรอ

ตวอยางท 17: สนามไฟฟาของแผนประจขนาดอนนต

จากกฎของเกาสจะได

ดงนน

แบบฝกหดท 6

แผนประจสองอนอยหางกน 𝑑 = 20 cm ในแนวขนานกนดงรป โดยแตละแผนมพนท𝐴 = 400 cm2 เทากน ก าหนดใหแผนแรกมประจ 𝑞1 = +𝑄 = 1𝜇C และแผนท 2 มประจ 𝑞2 = −𝑄 = −1𝜇C โดยทงสองแผนมประจกระจายอยางสม าเสมอ จงหาขนาดและทศทางของสนามไฟฟาทอยบรเวณตรงกลางระหวางแผนประจทงสอง

แบบฝกหดท 7

ทรงกลมสองอนซอนกนดงรป ทรงกลมดานในเปนฉนวนมประจ 2𝑄 และมรศม 𝑎 ทรงกลมดานนอกเปนตวน าไฟฟามประจ −𝑄 ทรงกลมนเปนแบบกลวงหนา มรศมภายใน 𝑏 และภายนอก 𝑐 จงหาสนามไฟฟาบรเวณ 1, 2, 3 และ 4

(4) รศ.ดร.สนต แมนศร, เอกสารประกอบการสอนรายวชาฟสกส 2, มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร