บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนช ิเอตและกา...

2301114 บทท 11

1

บทท 11

การดฟเฟอเรนชเอตและการอนทเกรต

ฟงกชนตรโกณและฟงกชนตรโกณผกผน

ฟงกชนตรโกณพฒนามาจากอตราสวน

ตรโกณ ซงมคาขนอยกบขนาดของมมของรปสาม

เหลยมมมฉาก การวดขนาดของมมนนเราวดไดดวย

ความยาวสวนโคงของวงกลมรศมหนงหนวยทมจด

ศนยกลางทจดยอดของมม

เชนมม AOB ในรปขวามอ

ขนาดของมมนวดไดดวยความ

ยาวสวนโคงของวงกลมรศมหนง

หนวยจดศนยกลางท O

เราจงตองเรยนรวธคานวณหา

ความยาวเสนโคงกนเสยกอน

§11.1 ความยาวเสนโคงและพนทสวนของวงกลม

เสนโคงทเราจะพจารณาหาความยาวในทน จะไม

จากดเฉพาะสวนโคงของวงกลมเทานน หากแตจะ

ครอบคลมเสนโคงทเปนกราฟของฟงกชนทมอนพนธ

เปนฟงกชนตอเนอง

ให f เปนฟงกชนทอนพนธ f ′ มความตอเนองใน

ชวง [ , ]a b เราจะพจารณาหาสตรสาหรบใชในการคา

นวณความยาวของเสนโคง ( )y f x= สวนทอยในชวง

[ , ]a b

ให 0 1 2 3 1n na x x x x x x b−= < < < < < < =K

เปนการแบงชวง [ , ]a b ออกเปน n ชวงยอย

เราจะประมาณความยาวเสนโคงสวนทอยในชวงยอย

แตละชวงดวยความยาวของเสนตรงทโยงจดหวกบจด

ทายของเสนโคงในชวงนนๆ

ดงรปขวามอ

หากแบงชวงละเอยดขน

ผลบวกจะมคาใกลความยาวเสนโคงยงขน

B

O

A

2301114 บทท 11

2

ผลบวกดงกลาวกคอ 2 2

1 1( ) ( ( ) ( ))i i i ix x f x f x− −− + −∑

โดยการใชทฤษฎบทคามชฌมกบพจน 1( ( ) ( ))i if x f x −−

แลวแยกแฟคเตอร 1( )i ix x −− ออกนอกเครองหมายรท

จะไดผลบวกเปน * 2

11 ( ( )) ( )i i if x x x −′+ −∑

ซงเหนไดวาเปนผลบวกรมนนของ? _____________

ผลบวกนจงมลมตเปน

21 ( ( ))b

af x dx′+∫

เราจงไดวา

ความยาวเสนโคง (กราฟของ f )สวนทอยในชวง [ , ]a b

21 ( ( ))b

af x dx′= +∫

หมายเหต

ทกาหนดไววา f เปนฟงกชนทอนพนธ f ′ เปน

ฟงกชนทมความตอเนองนน กเพอให

2(*) 1 ( ( ))f x′+

เปนฟงกชนทอนทเกรตได

เงอนไขทออนกวาขอกาหนดดงกลาวทยงคง

ทาให (*) เปนฟงกชนทอนทเกรตไดกม เชน กาหนด

วา f ′ มขอบเขตและมจดทไมตอเนองเพยงจานวน

จากด เปนตน

ตวอยาง 11.1 จงประมาณความยาวเสนโคง 2y x= สวนทอยใน

ชวง [1,3] โดยใชเกณฑของซมปสนในการอนทเกรต

วธทา ในทน 2( )f x x= ( ) 2f x x′ =

ดงนน ความยาวเสนโคง

32

11 (2 )

8.268145901

x dx= +

≈∫

2301114 บทท 11

3

บทนยาม 11.1

สาหรบมมใดๆ ขนาดของมมนนกคอ ความยาว

ของสวนโคงของวงกลมรศม 1 หนวยจดศนยกลางท

จดยอดของมม ทอยระหวางแขนทงสองของมม

เราเรยกหนวยของการวดนวาเรเดยน

สวนของวงกลมทอยระหวางแขนของมมทจดยอด

อยทจดศนยกลางของวงกลมเปน เซกเตอรหนงของ

วงกลมวงนน

รปขวามอเปนตวอยางหนงของ

เซกเตอร ในรปน OA กบ OB

กคอรศมสองเสนทเปนแขนของ

มมซงมจดยอดอยทจดศนยกลางของวงกลม

มมภายนอกกทาใหเกดเซกเตอรอกเซกเตอรหนง

ขอสงเกต

ในรปขวามอ AOB เปน

เซกเตอรของวงกลมทม

รศมยาว R (คอ OA=OB=R)

สมมตวามม AOB มขนาด θ เรเดยน

ดงนนเมอเขยนวงกลมรศม 1 หนวยทมจดศนยกลาง

ท O ตดแขนของมมท A′ กบB′ สวนโคง A B′ ′ กม

ความยาว θ

เราจะไดวาสวนโคง AB มความยาว Rθ

และ เซกเตอร OAB มพนท 212

Rθ

ตอไปนเปนแนวทางพจารณาหาสตรทงสองน

สาหรบสตรแรก ความยาวสวนโคง AB = Rθ

เราพจารณาไดจากรปเดม

แตลากเสนแนวดงจาก B กบ

B′มาตงฉากกบแกน X

B

O

A

A′

A

B′B

O

A′

A

B′B

O

2301114 บทท 11

4

สมมตวาจดเชงเสนตงฉากม

พกดเปน b กบ b′ ตามลาดบ

เราคานวณความยาวสวนโคง AB กบ A B′ ′ ไดโดย

การอนทเกรตบนชวง [0,b] กบ [0,b′ ] ตามลาดบ

จากผลลพธทงสองเราจะไดสตรทตองการ

สาหรบสตรทสอง พนทเซกเตอร OAB = 212

Rθ

เราพจารณาไดจากรปขวามอ

จะเหนไดวา

พนทเซกเตอร OAB

= พนท OABC - พนท OBC

OBC เปนรปสามเหลยม จงคานวณหาพนทไดโดย

ใชสตรพนทรปสามเหลยม

สวน พนท OABC นนหาได

โดยการอนทเกรต 2 2R x−

บนชวง [0, b]

และเมอใชการอนทเกรตทละสวน จะไดพจนหนงท

มความยาวสวนโคง AB เปนแฟคเตอร

เมอทาเปนผลสาเรจ กจะไดสตรทตองการ

รายละเอยด ใหนสตทาเปนแบบฝกหด

A

B

O C

A

B

O C

2301114 บทท 11

5

ตวอยางโจทย

1. ขวามอเปนรปดงทกลาวมา

ขางตน

1.1) จงเขยนความยาว A'B'

เปนอนทกรล

1.2) จงเขยนความยาว AB เปนอนทกรล

1.3) ใชการเปลยนตวแปรของการอนทเกรต

ใน ขอ 1.2 ใหไดอนทกรลในขอ 1.1

1.4) ใช 1.1-1.3 อธบายใหไดสตรแรก

2. ขวามอเปนรปดงทกลาวมา

ขางตนสาหรบสตรทสอง

2.1) จงใชสตรหาพนทของรป

สามเหลยม OBC

2.2) จงเขยนพนท OABC เปน อนทกรล

2.3) ทาการอนทเกรตทละสวนกบอนทกรลใน 2.2

2.4) ใช 2.1 กบ 2.3 หาพนทของ OAB

และแสดงใหเหนวาผลลพธกคอสตรทสอง

3. จากทนยามไววา π คอพนทของวงกลมรศมหนง

หนวย จงใชนยามนแสดงการพจารณาตอบคาถาม

ตอไปน

3.1) เสนรอบวงของวงกลมรศมหนงหนวยยาว

เทาใด

3.2) มมฉากมขนาดกเรเดยน

3.3) เสนรอบวงของวงกลมรศม R มความยาว

เทาใด

A′

A

B′B

O

A

B

O C

2301114 บทท 11

6

§ 11.2 สตรดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณ

ฟงกชนตรโกณเกยวของกนดวยเอกลกษณตางๆ

เมอเรามสตรดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณฟงกชน

ใดฟงกชนหนง เรากจะหาสตรดฟเฟอเรนชเอตฟงก

ชนตรโกณอนๆทเหลอไดโดยอาศยเอกลกษณตางๆ

เหลานน

ในทน เราจะพจารณาหาสตรสาหรบดฟเฟอเรนช

เอต sine แลวจงใชผลลพธทไดหาสตรสาหรบดฟ

เฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณอนๆ

ในการน เราจะใชคณสมบตของ sine ทวา

0

sinlim 1θ

θθ→

=

ซงไดจากอสมการ

sin

cos 1θ

θθ

≤ ≤

กบความตอเนองของ cosine ซงทาใหเราไดวา

0lim cos 1θ

θ→

=

ตอไปนจะแสดงการพจารณาใหไดอสมการดงกลาว

เราจะพจารณาเซกเตอรของวงกลมรศม 1 หนวย

ทมมมทจดศนยกลาง θ เปรยบเทยบกบรปสามเหลยม

สองรป รปหนงบรรจภายในเซกเตอร อกรปหนงลอม

เซกเตอร

ในรปขวามอ สามเหลยม OAB

บรรจอยภายในเซกเตอร OAB

และสามเหลยม OTB ลอมเซกเตอร OAB

จงเปรยบเทยบพนทกนไดวา

พนทสามเหลยม OAB ≤ พนทเซกเตอร OAB

และ พนทเซกเตอร OAB ≤ พนทสามเหลยม OTB

ในทนมม OBT เปนมมฉาก จงได BT = tan θ

O

A

B

T

2301114 บทท 11

7

สามเหลยม OTB จงมพนท =1

tan2

θ

ลาก AC ตงฉากกบ OB ท C

ไดสวนสงของสาม เหลยม OAB

คอ AC = sin θ

สามเหลยม OAB จงมพนท = 1

sin2

θ

และเซกเตอร OAB มพนท =12θ

อสมการทงสองจงกลายเปน

1 1

sin2 2

θ θ≤

กบ 1 1

tan2 2θ θ≤

ตามลาดบ

จากอสมการทงสอง เราไดวา sin

1θ

θ≤

และ sin

cosθ

θθ

≤

ซงรวมกนเปนอสมการขางตนทเราทตองการ

ดงนนเราจงไดวา

0 0

0

sincos 1

sinlim cos lim 1

sin1 lim 1

θ θ

θ

θθ

θθ

θθθ

θ

→ →

→

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

คอไดวา

0

sinlim 1θ

θθ→

=

ตอไปนจะพจารณาหาสตรดฟเฟอเรนชเอต sine

คอหาสตรสาหรบ sin ( )x′ ในการน เราตองหาลมต

0

sin( ) sin( )limh

x h xh→

+ −

ซงทาไดดงตอไปน

O

A

B

T

C

2301114 บทท 11

8

1) หาผลตาง sin( ) sin( )x h x+ − โดยการใชเอกลกษณ

ตรโกณ ซงจะไดวา

sin( ) sin( ) 2 cos( )sin( )2 2h h

x h x x+ − = +

2) หาเศษสวน sin( ) sin( )x h x

h+ −

ซงจะไดวา

sin( ) sin( ){2 cos( )sin( )}/

2 2

cos( ){sin( )/( )}2 2 2

x h x h hx h

hh h h

x

+ −= +

= +

3) หาลมตของเศษสวนในขอ 2) เปนคาของ sin ( )x′

ซงจะไดวา

sin ( ) cos( )x x′ =

สาหรบฟงกชน v ใดๆทดฟเฟอเรนชเอตได เราจง

ไดวา

sin( ( )) sin( ( )) ( )( )

( )cos( ( ))

d v x d v x dv xdx dv x dx

dv xv x

dx

=

=

จงไดเปนสตรวา

sin( )cos( )

d v dvv

dx dx=

เมอไดสตรดฟเฟอเรนชเอต sine แลว เรากหา

สตรดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณอนๆเชน cosine

และ tangent ไดโดยใชเอกลกษณทเขยนฟงกชนเหลา

นนในพจนของ sine :-

cos( ) sin( )2

sin( )tan( )

cos( )

x x

xx

x

π= −

=

( แสดงการหาสตร cos ( )x′ กบ tan ( )x′ ในชนเรยน)

2301114 บทท 11

9

รวมสตรดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณ:-

2

2

sin( )1) cos( )

cos( )2) sin( )

tan( )3) sec ( )

csc( )4) csc( )ctn( )

sec( )5) sec( )tan( )

ctn( )6) csc ( )

d v dvv

dx dx

d v dvv

dx dx

d v dvv

dx dx

d v dvv v

dx dx

d v dvv v

dx dx

d v dvv

dx dx

=

= −

=

= −

=

= −

ตวอยาง 11.2

1. จงหาสตรเทเลอรพรอมเศษเหลอของ cos(x)

รอบ 0 (วด x เปนเรเดยน)

2. สาหรบ x ทมคาเปนบวกและไมเกน 1 หาก

ตองการใหเศษเหลอมคาไมเกน 0.0005 พจน

สดทายของสตรเทเลอรคออะไร

3. จงประมาณ cosine ของ 1 เรเดยน โดยการใช

สตรในขอ 2.

( อภปรายวธทาในชนเรยน )

ตวอยาง 11.3 กาหนดให ( ) cos( ), 0 4f x x x x π= − ≤ ≤

1. จงพจารณาวา f เพมขนหรอลดลงในชวงใดบาง

2. จงพจารณาวากราฟของ f มลกษณะเวาลางหรอ

เวาบนในชวงใดบาง

3. จงรางกราฟของ f

4. ถากราฟของ f ตดแกน x จงใชวธของนวตน

ประมาณรากชองสมการ x - cos(x) = 0

( อภปรายวธทาในชนเรยน )

2301114 บทท 11

10


จงดฟเฟอเรนชเอต

2 2

2

2

1. ( ) sin( ) 2. ( ) sin( )

3. ( ) sin ( ) 4. ( ) sin( )

sin( ) 2 sin( )5. ( ) 6. ( )

1 2 cos( )

7. ( ) tan( ) 8. ( ) sec(2 ) tan(2 )

x

f x x x f x x

f x x f x e

x x xf x f x

x x

f x x x f x x x

= =

= =

−= =

+ −= = +

9. จงแสดงวาสตรของเทเลอรพรอมดวยเศษเหลอของ

ฟงกชน sine รอบจด 0 เปนดงตอไปน

3 5 (2 1)

2 2( 1)

sin( ) ( 1)3! 5! (2 1)!

sin( )( 1)

(2 2)!

kk

kk

x x xx x

k

c xk

+

++

= − + − + −+

+ −+

…

โดยท c อยระหวาง 0 กบ x

10. กาหนดให

( ) sin( ) 0 42x

f x x x π= − ≤ ≤

1) จงพจารณาวา f เพมขนหรอลดลงในชวงใดบาง

2) จงพจารณาวากราฟของ f มลกษณะเวาลางหรอ

เวาบนในชวงใดบาง

3) จงรางกราฟของ f

4) ถากราฟของ f ตดแกน x จงใชวธของนวตน

ประมาณรากของสมการ sin( ) 02x

x − =

2301114 บทท 11

11

§ 11.3 การดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนผกผน

ในหวขอตอไปเราจะกลาวถงฟงกชนตรโกณผกผน

และหาสตรดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนเหลานน

ในหวขอนเราจะกลาวถงการดฟเฟอเรนชเอตได

ของฟงกชนผกผนโดยทวๆไป และสตรสาหรบดฟ

เฟอเรนชเอตฟงกชนผกผนเสยกอนเพอจะไดใชใน

การดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณผกผนในหวขอ

ถดไป

ทฤษฎบท 11.1

ถา f เปนฟงกชนเพมบนชวง [ , ]a b และมความตอ

เนองบน [ , ]a b ฟงกชนผกผน 1f − ยอมเปนฟงกชนเพม

ทมความตอเนองบน [ , ]a b ดวย และถา f เปนฟงกชน

ทดฟเฟอเรนชเอตไดท x ใน ( , )a b และ ( ) 0f x′ ≠

ยอมไดวา 1f − กเปนฟงกชนทดฟเฟอเรนชเอตไดท ( )f x

และไดวา

1 1( ( ))

( )f f x

f x− ′ =

′

ทฤษฎบท 11.2

ถา f เปนฟงกชนลดบนชวง [ , ]a b และมความตอ

เนองบน [ , ]a b ฟงกชนผกผน 1f − ยอมเปนฟงกชนลด

ทมความตอเนองบน [ , ]a b ดวย และถา f เปนฟงกชน

ทดฟเฟอเรนชเอตไดท x ใน ( , )a b และ ( ) 0f x′ ≠

ยอมไดวา 1f − กเปนฟงกชนทดฟเฟอเรนชเอตไดท ( )f x

และไดวา

1 1( ( ))

( )f f x

f x− ′ =

′

ขอสงเกต

ถาเราเขยน ( )y f x= เราจะไดวา 1( )x f y−=

เหนไดวา 1 ( ( ))f f x− ′ กคอ dxdy

2301114 บทท 11

12

ดงนนสตรในทฤษฎบททงสองกคอ

1 1( )

dxdydy f xdx

= =′

สตรนเปนสตรทจาไวใชไดงาย

ตวอยาง 11.4 ให 2( )f x x= โดยท x ≥ 0 จงแสดงการพจารณาหา

อนพนธของ 1f −

วธทา ในทน f เปนฟงกชนเพมทมความตอเนอง

และม ( ) 0f x′ ≠ ใน (0, )+∞ จงใชทฤษฎบท 11.1 ได

เขยน 2y x= แลวใชสตร จะไดวา 1 1 1

2 2dx

dydy x ydx

= = =


1. ให 2( )f x x= โดยท 0x ≤ จงแสดงการพจารณาหา

อนพนธของ 1f −

2. ให 3( )f x x= โดยท x−∞< <+∞ จงพจารณาวา 1f −

ดฟเฟอเรนชเอตไมไดทจดใดบาง

จงหาอนพนธของ 1f − ทจดซง

1f − ดฟเฟอเรนชเอต

ได

3. จงใชสตรดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนผกผนหาอนพนธ

ของฟงกชนผกผนของ ln( )x

2301114 บทท 11

13

§ 11.4 การดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณผกผน

ฟงกชนตรโกณแตละฟงกชนลวนไมเปนฟงกชนหนง

ตอหนง ความสมพนธผกผนของมนจงไมเปนฟงกชน

แตถาเราจากดโดเมนของแตละฟงกชนใหแคบลง เชน

ถากาหนดให ( ) sin( ),2 2

f x x xπ π

= − ≤ ≤

เราจะไดวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง

ยงกวานน f ยงเปนฟงกชนทสอดคลองเงอนไขของ

ทฤษฎบท 11.1 อกดวย ดงนนฟงกชนผกผนของ f จง

ดฟเฟอเรนชเอตได และใชสตรหาอนพนธทใหไวได

สาหรบฟงกชนตรโกณอนๆกเชนกน เราอาจกาหนด

โดเมนใหแคบลงใหใชทฤษฎบท 11.1 ได หรอไมกใช

ทฤษฎบท 11.2 ได ฟงกชนตรโกณผกผนจงหมายถง

ฟงกชนผกผนของฟงกชนตรโกณทถกจากดโดเมนให

แคบลงดงทกลาวมาแลว เราตองเขาใจและระลกไววา

1f −ไมใช

1sin−เพราะ

1sin−ไมเปนฟงกชน แต

1f −เปน

ฟงกชน เราจงไมใชสญลกษณ 1sin− เขยนเพอแสดง

ถง 1f − สญลกษณทเราจะใชคอ arcsin

ดงนน ถา sin( ) xθ =

เรายอมไดวา arcsin( )x θ=

โดยทในทนละไวเปนทเขากนวา 2 2π π

θ− ≤ ≤

หมายเหต อนทจรงการจากดโดเมนของ sine ใหได

ฟงกชนหนงตอหนงนน มชวงอนๆทใชไดอกมากมาย

แตใชวาตางคนจะกาหนดเอาเองตามชอบ เพอให

ทฤษฎใชไดรวมกนเปนสากล นกคณตศาสตรกาหนด

ความหมายของฟงกชนตรโกณผกผนไวดงน

2301114 บทท 11

14

(1) arcsin( )x θ= หมายความวา sin( ) xθ = โดยท

2 2π π

θ− ≤ ≤

(2) arccos( )x θ= หมายความวา cos( ) xθ = โดยท

0 θ π≤ ≤

(3) arctan( )x θ= หมายความวา tan( ) xθ = โดยท

2 2π π

θ− ≤ ≤

(4) arcctn( ) arctan( )2

x xπ

= −

(5) arcsec( ) arccos(1/ ), | | 1x x x= ≥

(6) arccsc( ) arcsin(1/ ), | | 1x x x= ≥

การดฟเฟอเรนชเอต arcsine ทาไดดงน

2

arcsin( )

sin( )

cos( ) 1

x

x

dxx

d

θ

θ

θθ

=

=

= = −

ใชสตร ได 2

1 1

1

ddxdx xd

θ

θ

= =−

นนคอ ไดวา

(1) 2

1arcsin( ) , 1 1

1

dx x

dx x= − < <

−

สตรดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณผกผนอนๆไดแก

(2) 2

1arccos( ) , 1 1

1

dx x

dx x

−= − < <

−

(3) 2

1arctan( )

1d

xdx x

=+

(4) 2

1arcctn( )

1d

xdx x

−=

+

(5) 2

1arcsec( ) , | | 1

| | 1

dx x

dx x x= >

−

(6) 2

1arccsc( ) , | | 1

| | 1

dx x

dx x x

−= >

−

จะละการหาสตรเหลานไวเปนแบบผกหด

2301114 บทท 11

15

อนงเมอใชกฏลกโซประกอบกบสตรเหลานเราจะ

ไดสตรททวไปกวา เชน

2

1arctan( )

1d dv

vdx v dx

=+


สาหรบแตละฟงกชน f ตอไปนใหถอวาโดเมนของ f

ประกอบดวย x ทงหลายทสตรทกาหนดใหมความ

หมาย ในแตละขอจงหา ( )f x′

2

2

1. ( ) arcsin(2 ) 2. ( ) arccos( )

3. ( ) arctan(tan ( )) 4. ( ) arctan( )

5. ( ) arccos(1/ ) 6. ( ) arcsin(sin( ) cos( ))

7. ( ) ln(arccos(1/ ))

f x x f x x

f x x f x x x

f x x f x x x

f x x

= =

= = −

= = −

=

2301114 บทท 11

16

§ 11.5 การอนทเกรตฟงกชนตรโกณ

จากสตรดฟเฟอเรนชเอตฟงกชนตรโกณทรวบรวมไว

ขางตน เราไดสตรดฟเฟอเรนเชยลตอไปน ตามลาดบ

2

2

1) sin( ) cos( )

2) cos( ) sin( )

3) tan( ) sec ( )

4) csc( ) csc( )ctn( )

5) sec( ) sec( )tan( )

6) ctn( ) csc ( )

d v v dv

d v v dv

d v v dv

d v v v dv

d v v v dv

d v v dv

=

= −

=

= −

=

= −

และจากสตรดฟเฟอเรนเชยลเหลาน เราไดสตร

อนทเกรตตอไปน

2

2

1) cos( ) sin( )

2) sin( ) cos( )

3) sec ( ) tan( )

4) csc( )ctn( ) csc( )

5) sec( )tan( ) sec( )

6) csc ( ) ctn( )

v dv v C

v dv v C

v dv v C

v v dv v C

v v dv v C

v dv v C

= +

= − +

= +

= − +

= +

= − +

∫∫∫∫∫∫

ตอไปนเปนตวอยางแสดงการใชสตร และจะใหโจทย

แบบฝกหดทใกลเคยงคกนไป

ตวอยาง 11.5 จงอนทเกรต sin(2 )x dx∫

วธทา ให v = 2x 1

sin(2 ) sin( )2

1( cos( ) )

21

cos(2 )2

x dx v dv

v C

x C

=

= − +

′= − +

∫ ∫

2301114 บทท 11

17

(ใหนสตทาตอ)

ตวอยางโจทย จงอนทเกรต

2

1. cos(3 1) 2. sin( 2 )6

3. sec ( ) 4. csc( )ctn( )

x dx x dx

x dx x x dx

π

π π π

+ −∫ ∫

∫ ∫

ตวอยาง 11.6 จงอนทเกรต cos(4 )sin(2 )dθ θ θ∫

แนวคด

เนองจากเราเขยนผลคณ sin(A)cos(B) ไดเปน

1sin( )cos( ) (sin( ) sin( ))

21

sin(2 )cos(4 ) (sin(6 ) sin(2 ))2

A B A B A B

θ θ θ θ

= + + −

= −

วธทา 1

sin(2 )cos(4 ) (sin(6 ) sin(2 ))2

1 1(sin(6 ) sin(2 ))

2 2?

d d

d d

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= −

= −

=

∫ ∫

∫ ∫


1. sin(5 )cos( ) 2. cos(3 )cos( )

3. sin( )sin(3 )

x x dx x x dx

x x dx

∫ ∫∫

แนวคดทใชในการอนทเกรตในตวอยาง 11.6 นน

สามารถใชกบการอนทเกรตทม sine หรอ cosine เปน

แฟคเตอรอยหลายแฟคเตอรกได เชน

ตวอยาง 11.7 จงอนทเกรต

sin( )cos(2 )sin(3 )x x x dx∫

( อภปรายแนววธทาในชนเรยน )

2301114 บทท 11

18

(ใหนสตทาตอ)

ตวอยาง 11.8 จงอนทเกรต 3sin ( )cos( )dθ θ θ∫

แนวคด

เนองจาก cos( ) sin( )d dθ θ θ= จงไดวา

3 3

3

sin ( )cos( ) sin ( ) sin( )d d

u du

θ θ θ θ θ=

=

∫ ∫∫

วธทา ให sin( )u θ=

cos( )du dθ θ=

ดงนน 3 3

4

4

sin ( )cos( )

41

sin ( )4

d u du

uC

C

θ θ θ

θ

=

= +

= +

∫ ∫

ตวอยางโจทย จงอนทเกรต 5 4

3 2 6

1. sin ( )cos( ) 2. cos ( )sin( )

3. tan ( )sec ( ) 4. tan( )sec ( )

x x dx x x dx

x x dx x x dx

∫ ∫∫ ∫

ตวอยาง 11.9 จงอนทเกรต 3 5cos ( )sin ( )dθ θ θ∫

แนวคด

เนองจาก cos( ) sin( )d dθ θ θ= จงไดวา

3 5 2 5

2 5

2 5

cos ( )sin ( ) cos ( )sin ( )cos( )

(1 sin ( ))sin ( )cos( )

(1 sin ( ))sin ( ) sin( )

d d

d

d

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

=

= −

= −

∫ ∫∫∫

วธทา ให sin( )u θ= 3 5 2 5

2 5

2 5

cos ( )sin ( ) cos ( )sin ( )cos( )

(1 sin ( ))sin ( ) sin( )

(1 )

?

d d

d

u u du

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ

=

= −

= −

=

∫ ∫∫∫

2301114 บทท 11

19

ตวอยางและโจทยแบบฝกหดตางๆทกลาวมาแลว

เปนตวอยางของการอนทเกรตในรป

sin ( )cos ( )m nx x dx∫

sec ( )tan ( )m nx x dx∫

sin( )cos( )mx nx dx∫

สาหรบ

sin ( )cos ( )m nx x dx∫

ในกรณท ทง m และ n เปนเลขค เราใชเอกลกษณ

2

2

1 1sin ( ) cos(2 )

2 21 1

cos ( ) cos(2 )2 2

θ θ

θ θ

= −

= +

ดงในตวอยางตอไป (11.10)

ตวอยาง 11.10 จงอนทเกรต 2sin ( )dθ θ∫

วธทา

{ }2 1 1sin ( ) cos(2 )

2 21 1

cos(2 )2 2

1sin(2 )

2 4

d d

d d

C

θ θ θ θ

θ θ θ

θθ

= −

= −

= − +

⌠⌡

⌠ ⌠⌡ ⌡

∫

ตวอยาง 11.11 จงอนทเกรต sec( )dθ θ∫

วธทา

แนวคด

วธนอาศยกลเมดเลกนอย

สงเกตวา

อภปรายในชนเรยนวา

วธการทใชในตวอยาง

ใชไดกบการอนทเกรต

เหลานเพยงบางสวน

มกรณทใชวธการใน

ตวอยางไมได !

2301114 บทท 11

20

sec( ) tan( )sec( ) sec( )

sec( ) sec( )

tan( ) sec( )sec( ) sec( )

tan( ) tan( )

dd d

dd d

θ θθ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θθ θ

= =

= =

จงเหนไดวา

( )( )

( )( )

( )( )

2


sec( ) tan( )

sec ( ) sec( )tan( ) tan( ) sec( )

sec( ) tan( ) sec( ) tan( )

d d

d d

θ θθ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ

+=

+

+ += =

+ +

วธทา

( )( )

( )( )


sec( ) tan( )

tan( ) sec( )

sec( ) tan( )

ln sec( ) tan( )

d d

d

C

θ θθ θ θ θ

θ θ

θ θθ θ

θ θ

+=

+

+=

+

= + +

⌠⎮⌡

⌠⎮⌡

∫

ตวอยาง 11.12 จงอนทเกรต 3sec ( )dθ θ∫

ใชการอนทเกรตทละสวน โดยให

2sec ( )dv dθ θ=

ตองมการพลกแพลงเลกนอย

(อภปรายวธทาในชนเรยน)

การอนทเกรตฟงกชนตรรกยะของฟงกชนตรโกณ

เชน

sin( )

3 sin( ) 4 cos( )

dθ θ

θ θ+⌠⎮⌡

เราทาไดโดยการแทนคา tan( )2

uθ

=

ในการแทนคาน จะไดวา

2

2 2

2 1sin( ) cos( )

1 1u uu u

θ θ−

= =+ +

และ 2

21

dud

uθ =

+

2301114 บทท 11

21

ตวอยาง 11.13 จงอนทเกรต sin( )

3 sin( ) 4 cos( )

dθ θ

θ θ+⌠⎮⌡

วธทา ให tan( )2

uθ

=

จะไดวา

2

2 2 2

2 1 2sin( ) cos( )

1 1 1u u du

du u u

θ θ θ−

= = =+ + +

เมอแทนคาลงไปและจดพจน จะได

sin( )2

3 sin( ) 4 cos( ) (2 1)( 2)(1 )(1 )d udu

u u u uθ θ

θ θ= −

+ + − − +⌠ ⌠

⎮⎮ ⌡⌡

ซงทา (เปนแบบฝกหด) ไดโดยการแยกเศษสวนยอย

ตวอยาง 11.14 จงอนทเกรต sec( )dθ θ∫

โดยการแทนคาดวย tan( )2

uθ

=

วธทา 2

sec( )cos( ) (1 )(1 )

d dud

u uθ

θ θθ

= =− +

⌠ ⌠⎮ ⎮⌡ ⌡∫

| 1 |

ln| 1 |

uC

u+

= +−

2 2

2 2 2

1 (1 ) 1 2sec( ) tan( )

1 1 1 1u u u uu u u u

θ θ+ + +

= = + = +− − − −

2301114 บทท 11

22

§ 11.6 การอนทเกรตโดยใชฟงกชนตรโกณ

ในหวขอนเราจะอนทเกรตฟงกชนตางๆโดยการ

ใชวธการแทนคาดวยฟงกชนตรโกณ เชนถาฟงกชน

ทเราจะอนทเกรตมแฟคเตอร

2 2a v− ซงตดรากทสองอย เรากอาจใชการแทนคา

sin( )v a θ=

ซงจะทาใหแฟคเตอรดงกลาวไมตดรากทสอง

ตวอยาง 11.15 จงอนทเกรต 2 2

( 0)dv

aa v

>−

⌠⎮⌡

วธทา ให sin( )v a θ=

ดงนนเราไดวา

2 2

cos( )

cos( )

a ddvd C

aa v

θ θθ θ

θ= = = +

−

⌠⌠⎮ ⎮⌡ ⌡ ∫

แตเนองจาก sin( )va

θ = จงไดวา arcsinva

θ ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

จงไดคาตอบวา 2 2

arcsindv v

Caa v

⎛ ⎞⎟⎜= +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠−⌠⎮⌡

หมายเหต

เนองจากในทนเราใชฟงกชน arcsin การแทนคา

sin( )v θ= นนจงถอไดวา 2 2π π

θ− < < จงได cos( ) 0θ >

ผลลพธทวา 2 2

arcsindv v

Caa v

⎛ ⎞⎟⎜= +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠−⌠⎮⌡

ถอเปนสตรอนทเกรตสตรหนง จะจาไวใชกได หรอจะ

อนทเกรตโดยการแทนคาดงแสดงไวในตวอยางกได

อยางไรกตาม การอนทเกรตโดยการแทนคาดวย

ฟงกชนตรโกณเปนวธทใชไดกวางขวางกวา จงตอง

เรยนรไว

หวขอจะแสดงตวอยางการแทนคาดวยฟงกชนตร

โกณตางๆ

2301114 บทท 11

23

a

ตวอยาง 11.16 จงอนทเกรต 2 2 ( 0)dv

aa v

>+

⌠⌡

วธทา ให tan( )v a θ=

ดงนนเราไดวา 2 2

2 2 2 2 2 2 2

sec ( ) sec ( )

tan ( ) sec ( )

1 1 1arctan

a d a ddva v a a a

vd C C

a a a a

θ θ θ θ

θ θ

θ θ

= =+ +

⎛ ⎞⎟⎜= = + = +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⌠ ⌠⌠ ⎮ ⎮⌡ ⌡ ⌡

⌠⌡

ผลลพธนเปนสตรหนงทควรจาไวใช(เคยใชมาแลว!)


( 0)dv

aa v

>+

⌠⎮⌡

วธทา ให tan( )v a θ=

ดงนนเราไดวา 2

2 2

2 2

2 2

2 2

sec ( )sec( )

sec( )

ln | sec( ) tan( ) |

ln | |

ln | | ln( )

ln | |

a ddvd

aa v

C

a v vC

a a

a v v a C

a v v C

θ θθ θ

θ

θ θ

= =+

= + +

+= + +

= + + − +

′= + + +

⌠⌠⎮⎮⌡ ⌡ ∫


( 0)dv

av a

>−

⌠⎮⌡

วธทา ให sec( )v a θ=

ดงนนเราไดวา

2 2

sec( )tan( )

| tan( ) |

a ddvav a

θ θ θ

θ= =

−

⌠⌠⎮ ⎮⌡ ⌡

…

( อภปรายวธจดการกบคาสมบรณ ในชนเรยน)

θ

v

2 2a v+

2301114 บทท 11

24

ตวอยาง 11.19 จงอนทเกรต 2 6 13xdx

x x+ +⌠⌡

แนววธทา สงเกตวา 2 2 26 13 ( 3) 2x x x+ + = + +

จงควรกาหนดการแทนคา 3 2 tan( )x θ+ =

(แสดงวธทาในชนเรยน ถงคาตอบ

และแสดงการตรวจสอบคาตอบ)


xdx

x x+ −⌠⎮⌡

แนววธทา สงเกตวา 2 2 25 4 3 ( 2)x x x+ − = − −

จงควรกาหนดการแทนคา 2 3 sin( )x θ− =

( รวมกนทาในชนเรยน แลวตรวจสอบคาตอบ )

ตวอยาง 11.21 จงอนทเกรต 2

( 2)

10 75

x dx

x x

+

+ −

⌠⎮⌡

แนววธทา สงเกตวา 2 2 210 75 ( 5) 10x x x+ − = + −

จงควรกาหนดการแทนคา 5 10 sec( )x θ+ =



dx

x x +⌠⎮⌡

แนววธทา สงเกตวา 2 2 29 4 (3 ) 2x x+ = +

จงควรกาหนดการแทนคา 3 2 tan( )x θ=



2 2

2 2

2 2

1. 2.25 16

( 2)3. 4.

6 25 5 2

5. 6.8 2 4

dx dxx x

x dx x dx

x x x xx dx dx

x x x x

+ +−

+ + + +

+ − +

⌠⌠ ⎮⌡ ⌡

⌠⌠⎮⎮⌡ ⌡

⌠ ⌠⎮ ⎮⌡⌡

2301114 บทท 11

25

§ 11.7 เทคนคการอนทเกรตอนๆ

การอนทเกรตททามาในหวขอตางๆกอนหนาน อน

ทจรงเปนการหาปฎยานพนธ นสตไดเหนประโยชน

มาบางแลว อาจจาแนกประโยชนไดเปนสองประเภท

ดงน

1. ใชคานวณอนทกรลจากดเขต เชนใชในการ

คาณวณ พนท ปรมาตร งาน โมเมนต

2. ใชหาผลเฉลยของสมการดฟเฟอเรนเชยล ซงใช

ในการหาความสมพนธระหวางปรมาณตางๆ

การอนทเกรตใหไดผลลพธออกมาเปนสตรนนใชวา

จะทาไดเสมอไป ขนอยกบวาเรามฟงกชนใดไวใชบาง

เชน ถาเรายงไมมฟงกชน ln เรากยงทาอนทเกรต

dxx∫

ไมได เปนตน

เมอพบกบฟงกชนทอนทเกรตออกมาเปนสตรไม

ได เรากใชวธเชงตวเลข(numerical method) เชน

การใชเกณฑของซมปสน

การอนทเกรตนนบางกรณเราตองใชเทคนคตางๆ

หลายแบบประกอบกน

ตอไปนเปนตวอยางโจทยระคน

( รวมทากนในชนเรยน)

ตวอยาง 11.23 จงอนทเกรต x x

dxe e−+∫

แนววธทา เขยนใหมไดเปน

2 1

x

x

e dxe +∫

ใชการแทนคา xu e=

ตอบ arctan( )xe C+

2301114 บทท 11

26

ตวอยาง 11.24 จงอนทเกรต

x

x x

e dxe e−+∫

แนววธทา ใชการแทนคา

xu e=

ตอบ 21

ln( 1)2

xe C+ +

ตวอยาง 11.25 จงอนทเกรต sin(2 )xe x dx∫

แนววธทา ลองใชการอนทเกรตทละสวน ?xdv e dx= sin(2 ) ?dv x dx=

ตอบ ( )1sin(2 ) 2 cos(2 )

5x xe x e x C− +

ตวอยาง 11.26 จงอนทเกรต cos(3 )x x dx∫

แนววธทา ใชการอนทเกรตทละสวน cos(3 )dv x dx=

ตอบ 1 1

sin(3 ) cos(3 )3 9

x x x C+ +

ตวอยาง 11.27 จงอนทเกรต arcsin( )x dx∫

แนววธทา ใชการอนทเกรตทละสวน

dv dx= ตอบ

2arcsin( ) 1x x x C+ − +


1. arctan( )x dx∫ 2. arctan( )x x dx∫

3. arcsin( )x x dx∫ 4. 3 24x x dx−∫

5. 2 2

x

x x

e dx

e e−−∫ 6. 2

3

9

dx

x−∫

7. 2 sin(3 )x x dx∫ 8. 2 sin(3 )xx e x dx−∫

บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนช ิเอตและกา...

Documents