บทที่5 lineintegrals(อินทิกรัลตามเสน) 1.อิ...
TRANSCRIPT
1
บทท 5
Line Integrals (อนทกรลตามเสน)
1. อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง2. อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร3. ทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลตามเสน4. ทฤษฎบทของกรน (Green’s Theorem)
2
อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง
สมการเชงพารามเตอรของเสนโคง(Parametric Equations of Curves)เสนโคงบนระนาบสามารถกำหนดไดดวยสมการเชงพารามเตอร
x = x(t), y = y(t) เมอ a ≤ t ≤ b
หรออาจเขยนในรปสมการเวกเตอร
r(t) =(x(t), y(t)
) เมอ a ≤ t ≤ b
จดตน= r(a)
จดปลาย= r(b)
เสนโคงในปรภมสามมต กำหนดไดดวยสมการเชงพารามเตอร
x = x(t), y = y(t), z = z(t) เมอ a ≤ t ≤ b
หรออาจเขยนในรปสมการเวกเตอร
r(t) =(x(t), y(t), z(t)
) เมอ a ≤ t ≤ b
3
ตวอยางสมการเชงพารามเตอรของวงกลมหรอสวนโคงวงกลม
x = cos t, y = sin t
ตวอยางสมการเชงพารามเตอรของวงรหรอสวนโคงวงร
x = a cos t, y = b sin t
4
ตวอยางสมการเชงพารามเตอรของเสนตรงหรอสวนของเสนตรง
x = a + (b− a)t, y = c + (d− c)t
ตวอยางสมการเชงพารามเตอรของเกลยววงร
x = a cos t, y = b sin t, z = ct
5
ความยาวของเสนโคงความยาวของเสนโคงทมสมการ r(t) เมอ a ≤ t ≤ b คอ
L =
ˆ b
a∥r′(t)∥ dt
สำหรบเสนโคงบนระนาบ
∥r′(t)∥ =
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2สำหรบเสนโคงในปรภมสามมต
∥r′(t)∥ =
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2+(z′(t)
)2
6
ตวอยางความยาวเสนรอบวงของวงกลม
r(t) = (a cos t, a sin t), 0 ≤ t ≤ 2π
ตวอยางความยาวของเกลยวกลม
r(t) = (a cos t, a sin t, bt), 0 ≤ t ≤ 2π
7
การหาคาอนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรงDe nition: อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรงถาฟงกชนคาจรง f (x, y) นยามบนเสนโคงเรยบ C
แลวอนทกรลของ f ตามเสนโคง C คอˆCf (x, y) ds = lim
n→∞
n∑i=1
f (x∗i , y∗i )∆si
เมอลมตมคา
สำหรบเสนโคง C : r(t) =(x(t), y(t)
) เมอ a ≤ t ≤ b
เนองจาก ds = ∥r′(t)∥ dt จงไดวาˆCf (x, y) ds =
ˆ b
af(r(t)
)∥r′(t)∥ dt
=
ˆ b
af(x(t), y(t)
)√(x′(t))2 + (y′(t))2 dt
8
ตวอยางจงหาคาของ
ˆC(xy + 2) ds เมอ C เปนเสนโคงตอไปน
1. วงกลมหนงหนวย x2 + y2 = 1 ในทศทวนเขมนา กา
2. สวนของเสนตรงจากจด (−2,−1) ถงจด (1, 2)
9
ตวอยางจงหาคาของ
ˆCy sin z ds
สำหรบเกลยวกลม C :(cos t, sin t, t
), 0 ≤ t ≤ 2π
10
ตวอยางจงหาคาของ
ˆCxy ds เมอ C เปนเสนขอบ
ของรปสามเหลยมทมจดยอดท (0, 0), (1, 0), (1, 1)
11
การประยกตของอนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง
1. วตถทเปนเสนโคง C และมความหนาแนนเชงเสน ρ(r)
• มวล m =
ˆCρ(r) ds
• จดศนยกลางมวล
x =1
m
ˆCx ρ(r) ds
y =1
m
ˆCy ρ(r) ds
z =1
m
ˆCz ρ(r) ds
• โมเมนตความเฉอยรอบแกนพกด
Ix =
ˆC
(y2 + z2
)ρ(r) ds
Iy =
ˆC
(x2 + z2
)ρ(r) ds
Iz =
ˆC
(x2 + y2
)ρ(r) ds
2. ผวทสรางบนเสนโคง C และมความสง h(r)
พนทผว =
ˆCh(r) ds
12
ตวอยางเสนลวดครงวงกลม y =
√1− x2 มความหนาแนนท
ตำแหนงใด ๆ เปนสดสวนตรงกบระยะจากตำแหนงนนถงเสนตรง y = 1 จงหาจดศนยกลางมวลของลวดเสนน
13
อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร
สนามเวกเตอร (vector eld)De nition1. สนามเวกเตอรสองมตแทนไดดวยฟงกชนคาเวกเตอร
F : D → R2 เมอ D ⊆ R2 กลาวคอ มการกำหนดคาเวกเตอร F(x, y) ใหกบแตละจด (x, y) ∈ D
2. สนามเวกเตอรสามมตแทนไดดวยฟงกชนคาเวกเตอรF : E → R3 เมอ E ⊆ R3 กลาวคอ มการกำหนดคาเวกเตอร F(x, y, z) ใหกบแตละจด (x, y, z) ∈ E
ตวอยาง
F(x, y) = −y i + x j F(x, y, z) = y i + z j + xk
14
งานของแรงเมอวตถเคลอนทไปตามเสนโคงพจารณาเสนโคง C : r(t), a ≤ t ≤ b
เวกเตอรสมผสหนวยของเสนโคง C คอ T(t) =r′(t)
∥r′(t)∥
ถาวตถเคลอนทภายใตแรง F ไปตามเสนโคง Cงานเนองจากแรง F นคอ
W =
ˆCF ·T ds
=
ˆ b
aF(r(t)) · r′(t)
∥r′(t)∥∥r′(t)∥ dt
=
ˆ b
aF(r(t)) · r′(t) dt
15
บทนยามของอนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร
De nition: อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอรถาฟงกชนคาเวกเตอร F นยามบนเสนโคงเรยบ C
ซงมสมการเวกเตอร r(t) เมอ a ≤ t ≤ b
แลวอนทกรลของ F ตามเสนโคง C คอˆCF · dr =
ˆCF ·T ds =
ˆ b
aF(r(t)) · r′(t) dt
16
อนทกรลตามเสนบนระนาบใหฟงกชนคาเวกเตอร F(x, y) =
(P (x, y), Q(x, y)
)และเสนโคง C : r(t) =
(x(t), y(t)
) เมอ a ≤ t ≤ b
จะเหนวา dr = (dx, dy)ˆCF · dr =
ˆCP (x, y) dx +Q(x, y) dy
=
ˆ b
a
[P(x(t), y(t)
)x′(t) +Q
(x(t), y(t)
)y′(t)
]dt
อนทกรลตามเสนในปรภมสามมตใหฟงกชนคาเวกเตอร
F(x, y, z) =(P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
)และเสนโคง C : r(t) =
(x(t), y(t), z(t)
) เมอ a ≤ t ≤ b
จะเหนวา dr = (dx, dy, dz)ˆCF · dr =
ˆCP dx +Qdy +Rdz
=
ˆ b
a
[P · x′(t) +Q · y′(t) +R · z′(t)
]dt
17
ตวอยางวตถเคลอนทภายใตแรง F(x, y) = (−y, 2x) จากจด (1, 0)
ไปตามวงกลม x2+ y2 = 1 หนงรอบ ในทศทวนเขมนา กาจงหางานในการเคลอนทน
18
ตวอยางจงหาคาของ
ˆCF · dr
เมอกำหนดฟงกชนคาเวกเตอร F(x, y, z) = (y, z, x)
และเสนโคง C : (t, t2, t3) เมอ 0 ≤ t ≤ 1
19
ตวอยางจงหาคาของ
ˆC2y dx + x dy
เมอ C เรมตนจากจด (0,−1) ไปยงจด (1, 0)
ตามแนวเสนโคงตอไปน1. เสนตรง x = y + 1
2. เสนโคงพาราโบลา x = 1− y2
20
ตวอยางจงหาคาของ
ˆCy2 dx + x2 dy เมอ C เปนเสนขอบ
ในทศทวนเขมนา กาของรปสามเหลยมทมจดยอดทจด(0, 0), (1, 0), (1, 1)
21
ผลของทศทางของเสนโคงทมตออนทกรลตามเสนสำหรบเสนโคง C ใด ๆกำหนดให−C เปนเสนโคงเดยวกบC แตมทศทางตรงกนขาม
C −C
• อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรงทศทางของเสนโคงไมมผลตอคาอนทกรลตามเสนˆ
−Cf (x, y) ds =
ˆCf (x, y) ds
• อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอรˆ−C
F · dr = −ˆCF · dr
ˆ−C
P (x, y) dx = −ˆCP (x, y) dx
ˆ−C
Q(x, y) dy = −ˆCQ(x, y) dy
22
ทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลตามเสน
สนามเวกเตอรอนรกษและฟงกชนศกย
De nitionถามฟงกชนสเกลาร f ซง F = ∇f
แลวเรยกสนามเวกเตอร F วาเปนสนามเวกเตอรอนรกษและเรยกฟงกชน f วาฟงกชนศกยของสนามเวกเตอร F
ตวอยาง
1. f (x, y) = x2y − y3
เปนฟงกชนศกยของสนามเวกเตอรอนรกษF(x, y) = ∇f (x, y) =
(2xy, x2 − 3y2
)2. f (x, y, z) = 1√
x2 + y2 + z2
เปนฟงกชนศกยของสนามเวกเตอรอนรกษF(x, y, z) = ∇f (x, y, z) = − 1
(x2 + y2 + z2)3/2(x, y, z)
23
ทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลตามเสนทฤษฎบทหลกมล (บททสอง) ของแคลคลส
ˆ b
aF ′(x) dx = F (b)− F (a)
Theorem: ทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลตามเสนให C เปนเสนโคงเรยบทกำหนดดวย r(t), a ≤ t ≤ b
ให f เปนฟงกชน differentiable ซง ∇f ตอเนองบน CˆC∇f · dr = f
(r(b)
)− f
(r(a)
)Proof.ˆ
C∇f · dr =
ˆ b
a∇f
(r(t)
)· r′(t) dt
=
ˆ b
a
(∂f
∂x
dx
dt+∂f
∂y
dy
dt+∂f
∂z
dz
dt
)dt
=
ˆ b
a
d
dtf(r(t)
)dt
= f(r(b)
)− f
(r(a)
)
24
ตวอยาง
1. จงหาคาของˆC2xy dx +
(x2 − 3y2
)dy
เมอ C เปนครงขวาของวงกลมหนงหนวยในทศทวนเขมนา กาจากจด (0,−1) ถงจด (0, 1)
2. จงหาคาของˆCF · dr
เมอ F(x, y, z) =1
(x2 + y2 + z2)3/2(x, y, z)
และC เปนสวนของเสนตรงจากจด (1, 2, 2) ถงจด (2, 3, 6)
25
ความเปนอสระจากวถ (Independence of Path)De nition
ถาˆC1
F · dr =ˆC2
F · dr
สำหรบเสนโคง C1 และ C2 ใด ๆ ในบรเวณ D
โดยเสนโคงทงสองมจดตนเดยวกน และมจดปลายเดยวกนแลวจะกลาววาอนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน D
สำหรบสนามเวกเตอรอนรกษ F = ∇f
เราทราบวา ˆC1
∇f · dr =ˆC2
∇f · dr
สำหรบเสนโคง C1 และ C2 ทมจดตนเดยวกนและมจดปลายเดยวกนกลาวคอ อนทกรลตามเสนของสนามเวกเตอรอนรกษมคาขนกบจดตนและจดปลายเทานน
อนทกรลตามเสนของสนามเวกเตอรอนรกษเปนอสระจากวถ
26
เสนโคงปดเสนโคงปด คอเสนโคงทมจดตนและจดปลายเปนจดเดยวกน
TheoremˆCF · dr เปนอสระจากวถใน D
กตอเมอˆCF · dr = 0 สำหรบทกเสนโคงปด C ใน D
Proof.(⇒)ˆCF·dr =
ˆC1
F·dr+ˆC2
F·dr =ˆC1
F·dr−ˆ−C2
F·dr = 0
(⇐)
0 =
ˆCF·dr =
ˆC1
F·dr+ˆ−C2
F·dr =ˆC1
F·dr−ˆC2
F·dr
∴ˆC1
F · dr =ˆC2
F · dr
27
สนามเวกเตอรอนรกษเทานนทอนทกรลตามเสนเปนอสระจากวถ
De nitionให D เปนบรเวณในระนาบ R2
1. เรยก D วาบรเวณเปด (open) เมอทกจด P ∈ D
จะมวงกลมทมจดศนยกลางท P และอยภายใน D
ทงวง กลาวคอ D ไมรวมจดขอบ2. เรยก D วาบรเวณเชอมโยง (connected) เมอจด
สองจดใด ๆ ใน D เชอมถงกนไดดวยวถทอยใน D
Theoremให F เปนสนามเวกเตอรทตอเนองบนบรเวณ D
ทเปดและเชอมโยงถาˆCF · dr เปนอสระจากวถ
แลว F เปนสนามเวกเตอรอนรกษบน D
กลาวคอมฟงกชน f ซง ∇f = F
28
เงอนไขทจำเปนสำหรบสนามเวกเตอรอนรกษ
Theoremถา F(x, y) =
(P (x, y), Q(x, y)
) เปนสนามเวกเตอรอนรกษ และ P และ Q มอนพนธอนดบหนงตอเนองบนโดเมน D แลวจะไดวา
∂P
∂y=
∂Q
∂xทวโดเมน D
Proof.ถา F =
(P,Q
) เปนสนามเวกเตอรอนรกษแสดงวามฟงกชน f ซง F = ∇f
นนคอ P =∂f
∂xและ Q =
∂f
∂y
ถา P และ Q มอนพนธอนดบหนงตอเนอง จะไดวา∂P
∂y=
∂2f
∂y∂x=
∂2f
∂x∂y=
∂Q
∂x
ในกรณทวไป บทกลบของทฤษฎบทนไมเปนจรง กลาวคอเงอนไข ∂P
∂y = ∂Q∂x เปนเงอนไขทจำเปน แตไมพอเพยง
ทจะสรปวา (P,Q) เปนสนามเวกเตอรอนรกษ
29
ตวอยางให P (x, y) = 2xy3 และ Q(x, y) = 3x2y2
1. จงแสดงวา ∂P∂y = ∂Q
∂x สำหรบทก (x, y) ∈ R2
2. จงแสดงวา F(x, y) =(P (x, y), Q(x, y)
)เปนสนามเวกเตอรอนรกษ
30
ตวอยางใหF(x, y) =
(P (x, y), Q(x, y)
)=
(− y
x2 + y2,
x
x2 + y2
)1. จงแสดงวา ∂P
∂y = ∂Q∂x เมอ (x, y) = (0, 0)
2. จงแสดงวา F(x, y) = ∇(arctan y
x
) เมอ x = 0
และ F(x, y) = ∇(− arctan x
y
)เมอ y = 0
3. จงหาคาของˆCF · dr
เมอ C เปนวงกลม x2 + y2 = 1 ในทศทวนเขมนา กา
31
เงอนไขทพอเพยงตอการเปนสนามเวกเตอรอนรกษเงอนไข ∂P
∂y = ∂Q∂x ไมเพยงพอทจะสรปวา (P,Q) เปนสนาม
เวกเตอรอนรกษ เวนแตบรเวณD มสมบตเพมเตมบางประการ
บรเวณเชอมโยงเชงเดยว บรเวณเชอมโยงหลายเชง(Simply Connected Region) (Multiply Connected Regions)
Theoremให F(x, y) =
(P (x, y), Q(x, y)
) เปนสนามเวกเตอรบนบรเวณ D ทเปดและเชอมโยงเชงเดยวถา P และ Q มอนพนธอนดบหนงตอเนองและ
∂P
∂y=
∂Q
∂xทวบรเวณ D
แลว F เปนสนามเวกเตอรอนรกษบนบรเวณ D
ตวอยางจงยกตวอยางบรเวณD ททำใหF(x, y) =
(− y
x2+y2 ,x
x2+y2
)เปนสนามเวกเตอรอนรกษบนบรเวณ D
32
การหาฟงกชนศกยของสนามเวกเตอรอนรกษ
ตวอยางจงหาฟงกชนศกยของสนามเวกเตอรอนรกษตอไปน1. F(x, y) = (
3 + 2xy, x2 − 3y2)
2. F(x, y) = (x + y + y cosxy, x− y + x cosxy)
3. F(x, y, z) = (2x + y2, 1 + 2xy + z, y + 2z
)
4. F(x, y, z) = (yexy + zexz, xexy, xexz)
33
ตวอยางจงหาคาของ
ˆ (π,3)
(−1,π)y cos xy
6 dx + x cos xy6 dy
ตวอยางให F(x, y, z) =
(y2, 2xy + e3z, 3ye3z
)จงหาคาของ
ˆ (3,2,0)
(2,0,1)F · dr
34
ทฤษฎบทของกรน (Green’s Theorem)
ทฤษฎบทของกรนแสดงความสมพนธระหวาง
อนทกรลตามเสนโคงปดอยางงาย C กบอนทกรลสองชนบนบรเวณ D ทปดลอมดวย C
(เสนโคงอยางงาย คอ เสนโคงทไมตดกนเอง)
ทศของเสนโคง
ทศบวก ทศลบ
35
Theorem: ทฤษฎบทของกรนให C เปนเสนโคงปดอยางงายทเรยบเปนชวง ๆและมทศบวก และให D เปนบรเวณทปดลอมดวย C
ถา P และ Q มอนพนธอนดบหนงตอเนองบนบรเวณเปดทครอบคลม D แลว‰
CP dx +Qdy =
¨
D
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dA
อาจใชสญลกษณ ∂D แทนเสนขอบของบรเวณ D ได
36
ตวอยางจงหาคาของ
‰Cx4 dx + xy dy
เมอ C เปนเสนขอบในทศทวนเขมนา กาของรปสามเหลยมทมจดยอดเปน (1, 1), (3, 1), (3, 3)
37
ตวอยางจงหาคาของ
‰C
(3y − esinx
)dx +
(7x +
√y4 + 1
)dy
เมอ C เปนวงกลม x2 + y2 = 9
38
ตวอยางจงหาคาของ
‰Cy2 dx + 3xy dy เมอ C เปนเสนขอบของ
ครงวงแหวนบนระหวางวงกลม x2+y2 = 1 กบ x2+y2 = 4
39
ตวอยางให A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคงปด C จงแสดงวา1. A =
‰Cx dy
2. A = −‰Cy dx
3. A =1
2
‰Cx dy − y dx
40
ตวอยางจงหาพนทภายในวงร x
2
a2+y2
b2= 1
41
บทขยายทฤษฎบทของกรนสำหรบบรเวณเชอมโยงหลายเชง
¨
D
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dA
=
¨
D′
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dA +
¨
D′′
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dA
=
‰∂D′
P dx +Qdy +
‰∂D′′
P dx +Qdy
=
‰C1
P dx +Qdy +
ȷC2
P dx +Qdy
=
‰CP dx +Qdy
42
ตวอยางให F(x, y) =
(− y
x2 + y2,
x
x2 + y2
)และให C เปนเสนโคงปดอยางงายทไมผานจดกำเนด
จงแสดงวา‰CF · dr =
0 เมอ C ไมลอมจดกำเนด2π เมอ C ลอมจดกำเนด
43
ตวอยางให C เปนเสนโคงปดอยางงายทไมผานจดกำเนด
จงหาคาของ‰C
4x
4x2 + 9y2dx +
9y
4x2 + 9y2dy