1

บทที่ 6

สมการเชิงอนุพันธเบื้องตน

1. สมการแยกตัวแปรได (Separable Equations)2. สมการเอกพันธุ (Homogeneous Equation)3. สมการแมนตรง (Exact Equations)

• ตัวประกอบอินทิเกรต (Integrating Factors)4. สมการเชิงเสน (Linear Equations)

• สมการเชิงเสนอันดับหนึ่ง• สมการแบรนูลลี (Bernoulli Equations)

2

ตัวอยางปญหาสมการเชิงอนุพันธ

1. การเติบโตของประชากร

• ภายใตเงื่อนไขอุดมคติที่ไมมีขอจำกัดทางทรัพยากรdP

dt= kP

• เมื่อทรัพยากรมีจำกัด และจำกัดจำนวนประชากรที่ MdP

dt= k

(1− P

M

)P

2. ระบบมวลติดสปริง

• เมื่อไมมีแรงหนวง: F = −kx

md2x

dt2= −kx

• เมื่อมีแรงหนวง: F = −kx− bv

md2x

dt2= −kx− b

dx

dt

3. วงจร RLCLd2I

dt2+R

dI

dt+

I

C= 0

3

ศัพทพื้นฐานในเรื่องสมการเชิงอนุพันธ

• สมการเชิงอนุพันธ (differential equation) คือ สมการที่มีฟงกชันที่ไมทราบคาและอนุพันธของฟงกชันนั้น

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0

• อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธ คือ อันดับสูงสุดของอนุพันธที่ปรากฏในสมการ

• เรียกผลเฉลยทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ ซึ่งจะมีคาคงตัวไมเจาะจงวา ผลเฉลยทั่วไป (general solution)หากกำหนดคาใหกับคาคงตัวไมเจาะจงเหลานั้น จะเรียกผลเฉลยที่ไดวา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution)

สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งdy

dx= f (x, y) หรือ M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0

4

1. สมการแยกตัวแปรได

สมการแยกตัวแปรได คือ สมการที่สามารถเขียนไดในรูปdy

dx= g(x)f (y)

ถาให h(y) =1

f (y)จะไดวา

h(y)dy = g(x)dx

ซึ่งสามารถอินทิเกรตทั้งสองขางของสมการไดˆh(y) dy =

ˆg(x) dx

ตัวอยาง

1. จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ dy

dx=

x2

y2

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะเมื่อ y(0) = 2

5

ตัวอยางจงแกสมการเชิงอนุพันธ

1. dydx

=6x2

2y + cos y

2. y′ = x2y

6

ตัวอยางกำหนดใหอัตราการเปลี่ยนของจำนวนประชากรในประเทศหนึ่งเปนสัดสวนตรงกับจำนวนประชากร สมมติวาในป ค.ศ. 2000และ 2010 มีประชากรเปนจำนวน A และ B ตามลำดับจงหาจำนวนประชากรในป ค.ศ. 2005, 2008 และ 2015

7

2. สมการเอกพันธุ

บทนิยามจะเรียกฟงกชัน f (x, y) วาฟงกชันเอกพันธุดีกรี nก็ตอเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง

f (tx, ty) = tnf (x, y) สำหรับทุก t, x, y

ตัวอยางจงตรวจสอบฟงกชันตอไปนี้วาเปนเอกพันธหรือไม1. f (x, y) = x3 − xy2 + x2y

2. f (x, y) = x2 − y2

x2 + y2

3. f (x, y) = 1

xysin

(x

y

)4. f (x, y) = 1

5. f (x, y) = x sin(y)

8

บทนิยามจะเรียกสมการเชิงอนุพันธM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

วาสมการเอกพันธุ ก็ตอเมื่อ M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุที่มีดีกรีเทากัน

การแกสมการเอกพันธุโดยการเปลี่ยนตัวแปร y = vx

M(x, y) dx +N(x, y) dy = 0

M(x, vx) dx +N(x, vx) d(vx) = 0

xnM(1, v) dx + xnN(1, v) (vdx + xdv) = 0

[M(1, v) + vN(1, v)] dx + xN(1, v) dv = 0

ซึ่งเปนสมการแยกตัวแปรไดในรูปของตัวแปร x และ v

(อยาลืมแทนคา v =y

xอีกครั้งในคำตอบสุดทาย)

9

ตัวอยางจงแกสมการเชิงอนุพันธ

1. dydx

=y2 + 2xy

x2

2. x(1 + ln

y

x

)y′ = y

10

3. สมการแมนตรง

พิจารณาตัวอยางตอไปนี้1. d(xy) = y dx + x dy

∴ y dx + x dy = 0 มีผลเฉลย xy = c

2. d(x2y3) = 2xy3 dx + 3x2y2 dy

∴ 2xy3 dx + 3x2y2 dy = 0 มีผลเฉลย x2y3 = c

3. d (xy + sinx) = (y + cosx) dx + x dy

∴ (y+cos x) dx+x dy = 0 มีผลเฉลย xy+sin x = c

บทนิยามเรียกสมการเชิงอนุพันธ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

วา สมการแมนตรง ก็ตอเมื่อมี F (x, y) ซึ่ง

dF (x, y) = M(x, y) dx +N(x, y) dy

11

การตรวจสอบวาเปนสมการแมนตรงหรือไม

M(x, y) dx +N(x, y) dy = 0 เปนสมการแมนตรง⇕

∂M

∂y=

∂N

∂x

ตัวอยางจงตรวจสอบวาเปนสมการแมนตรงหรือไม1. x dy + y dx = 0

2. 2y dx + 3x dy = 0

3. 2xy3 dx + 3x2y2 dy = 0

4. (y + cosx) dx + x dy = 0

5.(y + cosx + ex

2)dx +

(x + arctan(y2)

)dy = 0

12

การหา F (x, y) สำหรับสมการแมนตรงถา dF (x, y) = M(x, y) dx +N(x, y) dy แสดงวา

∂F

∂x= M(x, y)

∂F

∂y= N(x, y)

จาก ∂F

∂x= M(x, y) จะไดวา

F (x, y) =

ˆM(x, y) dx + C(y)

ใหแทน F (x, y) ที่ไดลงใน ∂F

∂y= N(x, y) แลวจึงหา C(y)

สำหรับสมการแมนตรงที่ไมซับซอน กระบวนการขางตนจะทำไดโดยงาย จนเรียกไดวาใชเพียงการพินิจพิเคราะหก็สามารถหา F (x, y) ได

13

ตัวอยางจงแกสมการเชิงอนุพันธ1. x3 − y3 − 3xy2y′ = 0

2. (2x + 5y)y′ = (5x− 2y)

3.(ln y

x+ cosx

)dx +

(lnx

y+ sin y

)dy = 0

14

ตัวประกอบอินทิเกรต (Integrating Factors)ถา M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 ไมเปนสมการแมนตรงแตมี µ(x, y) ซึ่งทำให

µ(x, y)M(x, y) dx + µ(x, y)N(x, y) dy = 0

เปนสมการแมนตรงแลวจะเรียก µ(x, y) วาตัวประกอบอินทิเกรตตัวอยางจงหาตัวประกอบอินทิเกรต1. 2y dx + x dy = 0

2. y dx− x dy = 0

3. ay dx + bx dy = 0

15

การหาตัวประกอบอินทิเกรตµM dx + µN dy = 0 เปนสมการแมนตรง ก็ตอเมื่อ

∂

∂y(µM) =

∂

∂x(µN)

µ∂M

∂y+M

∂µ

∂y= µ

∂N

∂x+N

∂µ

∂x

กรณี µ เปนฟงกชันของ x เพียงตัวเดียวµ

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)= N

dµ

dx

1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)=

1

µ

dµ

dx

∴ 1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)ตองเปนฟงกชันของ x เพียงตัวเดียว

และหา µ ไดจาก

µ = e´

1N (

∂M∂y −

∂N∂x ) dx

16

กรณี µ เปนฟงกชันของ y เพียงตัวเดียวµ

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)= M

dµ

dy

1

M

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)=

1

µ

dµ

dy

∴ 1

M

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)ตองเปนฟงกชันของ y เพียงตัวเดียว

และหา µ ไดจาก

µ = e´

1M (

∂N∂x−

∂M∂y ) dy

ขอสังเกต

1. ตัวประกอบอินทิเกรตมีไดมากกวาหนึ่งตัว2. กรณีขางตนทั้งสองกรณีสามารถเกิดขึ้นพรอมกันได3. ตัวประกอบอินทิเกรตไมไดจำกัดแคสองกรณีขางตน

เชน อาจพิจารณา µ = xayb เปนตน

17

ตัวอยางจงแกสมการเชิงอนุพันธ1. 2x2y dx + (x3 + 2xy) dy = 0

2. (xy + y − 1) dx + x dy = 0

3. 1 + (x tan y − 2 sec y)y′ = 0 และ y(−1) = π

18

4. สมการเชิงเสน

dy

dx+ P (x) y = Q(x)

ตัวประกอบอินทิเกรตคือ µ = e´P (x) dx

µdy

dx+ µP (x) y = µQ(x)

d

dx(µy) = µQ(x)

µy =

ˆµQ(x) dx + c

y =1

µ

(ˆµQ(x) dx + c

)

19

ตัวอยางจงแกสมการเชิงอนุพันธ1. xy′ + y =

√x

2. (2y − 4)dx + dy = 0

3. y dx + (3x− y2) dy = 0

20

สมการแบรนูลลี (Bernoulli Equations)dy

dx+ P (x) y = Q(x)yn

กรณีที่ n = 0 หรือ 1 สมการนี้จะเปนสมการเชิงเสนสำหรับกรณีของ n คาอื่น ๆ ใหแทนคา z = y1−n

y−ndy

dx+ P (x)y1−n = Q(x)

ใหสังเกตวา dz

dx= (1− n)y−ndy

dx

dz

dx+ (1− n)P (x)z = (1− n)Q(x)

ซึ่งเปนสมการเชิงเสนของตัวแปร z กับ x

(อยาลืมแทนคา z = y1−n อีกครั้งในคำตอบสุดทาย)

21

ตัวอยางจงแกสมการเชิงอนุพันธ1. xy′ + y = −xy2

2. y′ + 2

xy =

y3

x2

3. xdydx

+ y + 3 = (xy + 3x)3