25

บทที่ 3 การขับเคลื่อนมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงด้วยการควบคุมแบบวงรอบปิด

หากจะกล่าวกนัไปแลว้อตัราความเร็วรอบของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงจะมีการเปล่ียน

แปลตามแรงบิดโหลด ดงันั้นการรักษาอตัราเร็วรอบใหค้งท่ีจึงควรมีการปรับเปล่ียนค่าแรงดนัของอาร์เมเจอร์และหรือฟิลดอ์ยา่งต่อเน่ืองเพื่อ ควบ คุมกระแสใหส้อดคลอ้งกบัแรงบิดโหลด โดยทั้งน้ีเราสามารถกระท าไดโ้ดยการปรับมุมขบัน าหรือมุม จุดชนวนของวงจรชอปเปอร์ ซ่ึ งในทางปฏิบติัระบบขบัเคล่ือนท่ีมีความตอ้งการการท างานท่ีแรงบิดคงท่ีมกัจะเป็นการควบคุมแบบวงรอบปิด (Close Loop Control) เกือบทั้งหมดซ่ึงระบบการควบคุมดงักล่าวจะมีขอ้ดีในแง่ของความแม่นย าการตอบสนองพลวตัหรือไดนามิกส์ท่ีรวดเร็ว และลดผลของการรบกวนหรือเปล่ียนแปลงโหลดรวมทั้งระบบท่ีไม่เป็นเชิงเสน้และในล าดบัต่อไปน้ีเราจะมาศึกษากนัถึงระบบควบคุมตามชนิดของสญัญาณดงัน้ี

-ตวัควบคุมแบบสดัส่วน (P-Controller) -ตวัควบคุมแบบบูรณาการรวมหน่วย (I-Controller) -ตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์(D-Controller) -ตวัควบคุมแบบสดัส่วนรวมกบัแบบบูรณาการรวมหน่วย (PI-Controller) -ตวัควบคุมแบบสดัส่วนรวมกบัแบบอนุพนัธ ์(PD-Controller) -ตวัควบคุมแบบสดัส่วนรวมกบัแบบบูรณาการรวมหน่วยและอนุพนัธ ์(PID-Controller)

3.1 ตวัควบคุมแบบสัดส่วน (Proportional Controller) ตวัควบคุมแบบสดัส่วน (P-Controller) น้ีเป็นตวัควบคุมท่ีไม่มีการหน่วง (Delay) ระหว่าง

สญัญาณทางออก แต่สญัญาณทางออกจ ะเป็นสดัส่วนกบัสญัญาณทางเขา้ ซ่ึ งมีอตัราขยายเป็น พารามิเตอร์ท่ีท าใหข้นาดของสญัญาณทางเขา้ และสญัญาณทางออกเกิดความแตกต่างกนั สามารถเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี uout t = gp . uin t (3.1) โดยท่ี uout t = สญัญาณทางออกของตวัควบคุม uin t = สญัญาณผดิพลาดท่ีเกิดข้ึนหรือสญัญาณทางเขา้ gp t = ความไวของสดัส่วน หรือตัราขยาย

26

เราสามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอน (Transfer Function) ไดเ้ป็น

F s =Uout (s)

U in (s) = G p (3.2)

และจากฟังกช์ัน่ถ่ายโอนในสมการท่ี (3.1) น้ีเราก็สามารถเขียนเป็นภาพบลอ็ก (Block Diagram) ได้ดงัภาพท่ี 3.1 ภาพท่ี 3.1 บลอ็กไดอะแกรมของตวัควบคุมแบบสดัส่วน

เมื่อ Ur(s) = เป็นสญัญาณอา้งอิงหรืออาจจะเขียนแสดงในภาพของผลตอบสนองต่อ

ฟังกช์ัน่ขั้นบนัได (Step Response)

ภาพท่ี 3.2 ผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัไดของตวัควบคุมแบบสดัส่วน

Uout (s) Uin (s) Ur(s)

+

+

-

+

𝐺𝑃

Gp

Gp . uin (t)

uout (t)

uin (t)

uin (t)

27

ซ่ึงสามารถสร้างวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ ท่ีท าหนา้ท่ีเป็นตวัควบคุมแบบสดัส่วนดงัภาพท่ี 3.3

ภาพท่ี 3.3 วงจรตวัควบคุมแบบสดัส่วน

จากภาพท่ี 3.3 เป็นตวัควบคุมแบบสดัส่วน ซ่ึงสร้างจากวงจรขยายผกผนั (Inverting Amplifier) ของออปแอมป์โดยท่ีสามารถหาฟังกช์ัน่ถ่านโอน (Transfer Function) ไดด้งัน้ี

จากภาพท่ี 3.3 พิจารณาท่ีขาลบ (-) จะได ้

I2 = - I1 (3.3)

u in = I1 R1

U out = I2 R2 = - I1 R2

ดงันั้น F s =Uout (s)

U in (s)=

−I1R2

I1R1=

−R2

R1= Gg (3.4)

โดยท่ี Gp คือพร็อบโพชนัเนิลเกรน (Proportional Gain; Gp) แต่เน่ืองจากตวัควบคุมแบบสดัส่วน (P-Controller) เราตอ้งการอตัราการขยายตวัเป็น 1 ถึง 10 เท่า โดยการปรับท่ี R2 หรือ R1

สรุป ตวัควบคุมสดัส่วนน่ีจะได ้ -สญัญาณทางออกจะเป็นสดัส่วนกบัสญัญาณทางเขา้ -ตอบสนองไดเ้ร็วนั้นคือไม่มีการหน่วงเวลา (Delay) นัน่เอง

−Vcc

+Vcc

Uout

I1

Uin

R1

R2

+

-

I2

28

3.2 ตวัควบคุมแบบบูรณการรวมหน่วย (Integral Controller)

ตวัควบคุมแบบ บูรณาการหน่วย จะ เป็นตวัควบคุมท่ีใชส้ญัญาณทางออกเป็นสดัส่วนโดยตรงกบัสญัญาณผดิพลาด หรือสญัญาณทางเขา้ ซ่ึงสญัญาณออกท่ีออกจากตวัควบคุ มก็คือพ้ืนท่ีของสญัญาณผดิพลาดหรือสญัญาณเขา้นัน่เอง เขียนเป็นสมการเชิงอนุพนัธ ์ (Differential Equation) ดงัน้ี

\

𝑢𝑜𝑢𝑡 𝑡 =1

𝑇𝑖 𝑢𝑖𝑛𝑑𝑡

𝑡

0 (3.5)

𝑢𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑢𝑖𝑛 (𝑡)1

𝑇𝑖

เมื่อ Ti =เป็นค่าคงท่ีปรับค่าไดห้รือเวลาของการบูรณาการรวมหน่วย (Integral Time) จากสมการดงักล่าวสามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอน (Transfer Function) ได ้

𝐹 𝑠 = 𝑈𝑜𝑢𝑡 (𝑠)

𝑈𝑖𝑛 (𝑠)=

1

𝑇𝑖(𝑠)= 𝐾𝑖 (3.6)

และฟังกช์ัน่ถ่ายโอนน้ี สามารถเขียนเป็นบลอ็ก (Block Diagram) และแสดงผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัได ไดด้งัภาพท่ี 3.4ก.และ ข.

ก.

Uout (s) Um (s) UR (s)

-

+

+

+

1

𝑇𝑖𝑠

29

ข.

ภาพท่ี 3.4 Block Diagram ฟังกช์ัน่ถ่ายโอนแบบบูรณาการรวมหน่วย

ก. ภาพบลอ็กของตวัควบคุมแบบบูรณาการรวมหน่วย ข. ผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัไดของตวัควบคุมแบบบรูณาการหน่วย

จากสมการอนุพนัธ ์จะพบว่าถา้สญัญา ณทางเขา้เพ่ิมข้ึนเป็นสองเท่า ท าใหอ้ตัราการ

เปล่ียนแปลงของสญัญาณทางออกของตวัควบคุม ความเร็วข้ึนเป็นสองเท่าดว้ยและสญัญาณทางเขา้เป็นศนูยค่์าของสญัญาณทางออกจะคงท่ีท่ีค่าๆหน่ึง ในการควบคุมแบบน้ีบางคร้ังเรียกว่าการควบคุมจดัใหม ่(Reset Control)”

เมื่อพิจารณาวงจรขยายผกผนั (Inverting Amplifier) ถา้เปล่ียนตวัตา้นทานท่ีป้อนกลบัให้

เป็นประจุแทนดงัภาพท่ี 3.5 วงจรน้ีจะกลายเป็นวงจรอินทิเกรต (Integral) ซ่ึงสามารถหาฟังกช์ัน่ถ่ายโอนของวงจรได ้และสามารถสร้างวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ข้ึนมาท าหนา้ท่ีไดด้งัภาพท่ี 3.5

ภาพท่ี 3.5 วงจรตวัควบคุมแบบบูรณาการรวมหน่วย

uin (t)

uin (t)

uin (t)

uout (t)

−Vcc

+Vcc

Uout

I1 I2

Uin

R1

+

-

C

+

-

30

พิจารณาจากวงจร จะได ้

I1 + I2 = 0 (3.7)

uin

R1+ I2

duin

dt= 0

C duin

dt= −

uin

R1

duout = −1

R1udt (3.8)

Take Laplace Transform ในสมการท่ี (3.8) ไดเ้ป็น

Uout (s) = −1

R1CsUin (s) (3.9)

สามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอนได ้

F(s) = Uout (s)

U in (s)=

1

R1Cs=

1

Ti s= Ki (3.10)

โดยท่ี อินทิกรัลไทม ์(Integral Time; Ti) = R1C หรือเรียกว่า Time Constant จากวงจรสามารถปรับค่า Ti ไดท่ี้ R1 และ C1 นัน่เอง สรุป การควบคุมแบบบูรณาการรวมหน่วยน้ี จะท าใหร้ะบบมีความแม่นย าซ่ึงก็หมายถึงสญัญาณทางออกท่ีออกจากตวัควบคุมจะติดตามสญัญาณทางเขา้ไดต้ลอดเวลา

3.3 ตวัควบคุมแบบอนุพนัธ์ (Derivative Controller)

ตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์จะเป็นตวัควบคุมท่ีใหส้ญัญาณทางออกเป็นสดัส่วนโดยตรงกบัอตัราการเปล่ียนแปลงของค่าความผดิพลาด (Error) สามารถเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี

31

uout (t) = Tddu out (t)

dt (3.11)

เมื่อ Td= เป็นค่าคงท่ีปรับค่าไดห้รือเวลาของการอนุพนัธ ์(Derivative Time) จากสมมาการดงักล่าวสามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอน (Transfer Function) ได ้

F(s) =Uout (s)

U in (s)= Td s = Kd (3.12)

และฟังกช์ัน่ถ่ายโอนน้ี สามารถเขียนเป็นบลอ็ก (Block Diagram) และแสดงผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัได ไดด้งัภาพท่ี 3.6(ก) และ (ข)

ก.

ข. ภาพท่ี 3.6 ภาพบลอ็กของตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์

ก. ภาพบลอ็กของตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์ ข. ผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัไดของตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์

Uout (s) Um (s) UR (s)

-

+

+

+

1

𝑇𝑑𝑠

Uin (t)

uin (t) uout (t)

uin (t)

32

ในการควบคุมแบบน้ีบา้งคร้ังเรียกว่า “การควบคุมอตัรา” (Rate Control) เมื่อพิจารณา ภาพท่ี 3.6 สามารถสร้างวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ข้ึนมาท าหนา้ท่ีไดด้งัภาพท่ี 3.7

ภาพท่ี 3.7 วงจรแบบอนุพนัธ ์

พิจารณาจากวงจร จะได ้ I1 + I2 = 0 (3.13)

C

du in

dt+

uout

R1= 0

uout

R1= −C

du in

dt

uout = −R1C1 (3.14) Take Laplace Transform ในสมการท่ี (3.14) ไดเ้ป็น Uout (s) = −R1C1sR1Uin (s) (3.15) สามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอน F(s) =

Uout (s)

Uin (𝑠)= R1C1s = Td s = Kd (3.16)

−Vcc

+Vcc

Uout

Uin

I1 I2

R1

C1

+

-

33

โดยท่ี ดีริฟเวอร์ทีฟไทม ์(Derivative Time ;Td) = R1C1 หรือเรียกว่า Time Constant จากวงจรสามารถปรับค่า Td ไดท่ี้ R1 และ C1 นัน่เอง

3.4 ตวัควบคุมแบบสัดส่วนร่วมกับแบบบูรณาการร่วมหน่วยและอนุพนัธ์ (Proportional Integral Derivative Controller)

เป็นการน าคุณสมบติัของตวัควบคุมวงจร P-Controller, I-Controller, D-Controller มารวมกนั จะไดส้ญัญาณท่ีออกจากตวัควบคุมชนิดน้ีก็คือ

uout (t) = gp uin (t) +

1

Ti uin (t) +

t

0Td

d

dtuin (t)

= gp uin (t) +

1

Tiuin (t) + Td

d

dtuin (t) (3.17)

หรือเขียนในรูปของฟังกช์ัน่ถ่ายโอนได ้

Uout (s) = Gp Uin (s) +1

TiUin (s) + TdsUin (s)

= Gp Uin (s)(1 +1

TiGp+

Td s

Gp)

Uout (s) = Gp (1 +1

Ti Gp s+

Td s

Gp) (3.18)

เมื่อให ้ Uin = TiGp

Uin =Td

Gp

หรือเขียนใหอ้ยูใ่นรูปฟังกช์ัน่ถ่ายโอนได ้ F(s) =

Uout (s)

U in (s)= Gp(1 +

1

Ti s+ Tds) Tds (3.19)

34

โดยท่ี Gp = Proportional Gain Ti = Integral Time Td = Derivative Time

จากสมการท่ี (3.19) น ามาเขียนฟังกช์ัน่ถ่ายโอนในรูปของ Gain ไดด้งัน้ี F(s) = Gp +

Gp

Ti s+ Gp Tds (3.20)

= Gp +Ki

s+ Kd s

เมื่อ Gp = K

\

Ki =Gp

Ti

Kd = GpTd

จากสมการฟังกช์ัน่ถ่ายโอน น ามาเขียนเป็นภาพบลอ็กไดอะแกรมไดด้งัภาพท่ี 3.8 ภาพท่ี 3.8 ภาพบลอ็กไดอะแกรมสดัส่วนร่วมกบับูรณาการหน่วยและอนุพนัธ ์ เมื่อพิจารณาจากภาพท่ี 3.8 สามารถสร้างวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ข้ึนมาท าหนา้ท่ีไดด้งัภาพท่ี 3.9

-

+

+

+

Uout (s) Um (s) UR (s) Gp(1 +

1

𝑇𝑑𝑠+ Td𝑠)

35

ภาพท่ี 3.9 วงจรตวัควบคุม พีไอดี (PID-Controller) จากภาพท่ี 3.9 สามารถเขียนฟังกช์ัน่ถ่ายโอนได ้

U(s)

Uin (𝑠) =

−Z2

𝑍1

Z1 = R1//C1 = R1 ×

1

SC1

R1 +1

SC1

= R1 ×

1

SC1

R1 +1

SC1

Z1 = R1 + C2 = R2 + 1

C2s

= R1C2 + 1

C2s

∴U s

Uin s =

− R2C2s+1

C2s

R1

R1C1s+1

+Vcc

U

−Vcc

R2

+

-

I1

I2

R1

C1 C2

R3

−Vcc

R2

+

-

I3

+Vcc

+Uout

36

= R2C2s+1

sC 2 R1C1+1

sC 1 (3.21)

Uout (s)

U(𝑠) =

−R4

R3

Uout (s)

U(𝑠)

U(s)

U 𝑖𝑛 (s) =

Uout (s)

U in (s)

=R4R2

R3R1

𝑅1𝐶1𝑠 + 1 𝑅2𝐶2𝑠 + 1

R2C2s

=R4R2

R3R1

𝑅1𝐶1 + 𝑅1𝐶1

𝑅2𝐶2

+1

𝑅2𝐶2𝑠+ 𝑅1𝐶1𝑠

= R4R4 𝑅1𝐶1+𝑅2𝐶2

R3R1C2 1 +

1

R1C1+R2C2 𝑠+

𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2s

𝑅1C1+R2C2 (3.22)

โดยท่ี

Kp =R4R1C1 + R2C2

R1C1 + R2C2

Ki =R4

R3R1C2

Kd =R4 R2C1

R3

37

3.5 ระบบควบคุมพไีอดี (PID Controller)

การควบคุมแบบพีไอดีจากภาพท่ี 3.10 ถา้การค านวณทางคณิตศาสตร์ของส่ิงท่ีจะควบคุม (Plant) สามารถตั้งสมมุติฐานไดว้่า ปัญหาท่ีเกิดข้ึนนั้นสามารถประยกุตก์ารออกแบบไดจ้ากการหาค่าพารามิเตอร์ของระบบควบคุมจะเห็นไดว้่าตอ้งใชร้ายละเอียดจากสภาวะชัว่ขณะ (Transient) และสภาวะคงตวั (Steady State) จากคุณสมบติัของระบบแบบปิด (Close Loop System) ถึงแมว้่าถา้แพลน นั้นจะซบัซอ้นจะใชว้ิธีทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถท าใหห้าค่าไดง่้าย ดงันั้นการวิเคราะห์และการออกแบบพีไอดี ก็ไม่สามารถท าได ้เราจึงตอ้งอาศยัการทดลองหาค่าใกลเ้คียงจากการปรับเปล่ียนระบบควบคุมพีไอดีในกระบวนการเลือกการควบคุมค่า พารามิเตอร์ให้ ไดป้ระสิทธิภาพหาไดจ้ากกฎของ Single –Nichol ท่ีจะแนะน าการปรับตวัควบคุม พี ไอ ดี (หมายถึงการตั้งค่า Kp ,Ti และ Td)

จากการทดลอง ผลตอบสนอง (Step Responses) หรือพ้ืนฐานบนค่าของ Kp ผลลพัธท่ี์เช่ือได ้เมื่อ

อตัราส่วนการควบคุมท่ีใช ้กฎของ ซิงเกิล-นิโคล ท่ีซ่ึงไดส้รุปมา ดงันั้นกฎจะแนะน าใหต้ั้งค่าของKp

,Ti และ Td ใหก้ารท างานของระบบใหม้ีเสถียรภาพ (Stable Operation) อยา่งไรก็ตามผลลพัธข์องระบบอาจจะมีค่าโอเวอร์ชูท้ มากในผลตอบสนอง ท่ียอมรับไม่ได ้เพราะฉะนั้น ตอ้งปรับใหจ้นกระทั้งผลลพัธเ์ป็นท่ียอมรับได ้

ภาพท่ี 3.10 การควบคุมแบบพีไอดีของระบบ 3.5.1 กฎของซิงเกลิ-นิโคล

ส าหรับการปรับการควบคุมพีไอดี (Ziegler-Nichols Rules for Tuning PID Controllers) ซิงเกิล- นิโคลไดเ้สนอกฎส าหรับการก าหนดค่า อตัราขยาย พรอพรึชนันอล Kp อินทิเกริลไทม์และดิวลิเวอร์ทีฟไทม ์Td บนพ้ืนฐานในการตอบสนองแบบชัว่ขณะ (Transient) ดงันั้นการก าหนดค่าพารามิเตอร์ของ การควบคุมพีไอดี สามารถท าไดโ้ดยวิศวกรท่ีไดจ้ากการทดลอง

-

+

+

+

Um (s) kp (1 +

1

𝑇𝑖𝑠+ Td𝑠)

Uout (s) 𝑃𝑙𝑎𝑛

UR (s)

38

3.5.2 วธิีที่หนึ่ง (First Method) ในวิธีน้ีจะไดจ้ากการทดลองผลตอบสนอง (Response) ของระบบ (Plan) ท่ีป้อน Unit Step

Input ใหก้บัแพลนดงัภาพท่ี 3.10 โดยค่าของผลตอบสนองท่ีได ้(Response) อาจจะเห็นเป็นลกัษณะ S(S- shaped) ดงัภาพท่ี 3.12

รูปกราฟ S น้ีจะเป็นคุณลกัษณะของค่าคงท่ี 2 ตวั คือ ดีเลยไ์ทม ์ (Delay Time) L และค่าไทมค์อนสตนัท ์(Time Constant) T ทั้งสองค่าน้ีจะไดจ้ากการลากเสน้ตรงสมัผสั (Tangent Line) กบักราฟจุดส่วนโคง้ (Inflection Point) และผลจากการตดักนัระหว่าง เสน้ตรงสมัผสักบั c(t) จะมีค่าเท่ากบั K ดงัภาพท่ี 3.12

u(t) ภาพท่ี 3.11 ผลการตอบสนองของแพลนจากการป้อนอินพุทยนิูตสเต็ป

ภาพท่ี 3.12 การตอบสนองรูปเอส

I

Plant

c t

L T

c(t)

0

K

Tangent line at inflection point

39

ตารางท่ี 3.1 กฎการปรับของซิงเกิล-นิโคลพ้ืนฐานบน Step Response ของ Plant (อนัดบัหน่ึง)

Type of Controller

Kp

Ti

Td

P 𝑇𝐿 𝛼 0

PI 0.9 𝑇𝐿 𝐿

0.3 0

PID 1.2 𝑇𝐿 2𝐿 0.5L

ค่าของทรานเฟอร์ฟังกช์ัน่ (Transfer Function) C(s)

U(s) อาจประมาณโดยวิธีอนัดบัหน่ึงจะได้

สมการดงัน้ี

C(s)

U(s)=

Ke−Ls

Ts +1 (3.23)

ซิงเกิล-นิโคลแนะน าท่ีจะตั้งค่าของ ค่าของ Kp,Ti และ Td ข้ึนอยูก่บัรูปแบบท่ีแสดงในตารางท่ี 3.1 ขอ้สงัเกตในระบบควบคุม PID นั้นจะปรับโดยวิธีอนัดบัหน่ึงโดยกฎของซิงเกิล-นิโคลได ้

Gc s = KP1 +

1

Ti s+ Tds

= 1.2T

L 1 +

1

2Ls+ 0.5s

= 0.6T s +

1

L

2

s

ดงันั้นการควบคุม PID จะมีค่า Zeros ท่ี S = −

1

L