ความรูพ้ืนฐานเกี่ยวกับการวิเคราะหขอมูล

สํานักงานสถิติแหงชาติกระทรวงเทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร

ความรูพ้ืนฐานเกี่ยวกับการวิเคราะหขอมูล

หนวยงานเจาของเรื่องกลุมสงเสริมวิชาการสํานักนโยบายและวิชาการสถิติสํานักงานสถิติแหงชาติโทรศัพท 0 2281 0333 ตอ 1302-1303โทรสาร 0 2281 3814ไปรษณียอิเล็กทรอนิกส:tstmeth@nso.go.th

หนวยงานที่เผยแพร สํานักสถิติพยากรณสํานักงานสถิติแหงชาติถนนหลานหลวง เขตปอมปราบศัตรูพาย กทม.10100โทร 0 2281 0333 ตอ 1413โทรสาร 0 2281 6438ไปรษณียอิเล็กทรอนิกส : binfodsm@nso.go.th

ปที่จัดพิมพ 2547

ISBN 974-339-247-5

คํานํา

จากการสํามะโนและการสํารวจตาง ๆ ของสํานักงานสถิติแหงชาติ เมื่อมีการเก็บรวบรวมขอมูลจากงานสนาม ขอมูลที่ไดนั้นยังไมสามารถนําไปใชไดทันที จะตองผานการบรรณาธิกรและลงรหัส การตรวจสอบความถูกตองครบถวนของขอมูลดวยโปรแกรม การประมวลผล การวิเคราะหขอมูล รวมทั้งการแปลความหมาย ในการวเิคราะหขอมลูจะมทีัง้การวเิคราะหขอมลูเบือ้งตนและการวเิคราะหขอมลูขัน้สงู ในเอกสารฉบับนี้จะกลาวถึงเฉพาะการคํานวณขั้นพื้นฐานและการวิเคราะหขอมูลเบื้องตน ซ่ึงการวิเคราะหขอมูลเบือ้งตน ไดแก การแจกแจงความถี ่ การวดัคาตาํแหนง (ควอรไทล เดไซล และเปอรเซน็ไทล เปนตน) การวดัแนวโนมสูสวนกลาง (คาเฉลีย่ คามธัยฐาน และคาฐานนยิม เปนตน) การวดัการกระจาย (พสัิย ความแปรปรวนคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน พิสัยควอรไทล และสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน เปนตน) และคะแนนมาตรฐาน (Standard Score)

กลุมสงเสรมิวชิาการหวงัเปนอยางยิง่วา เอกสารฉบบันีจ้ะอาํนวยประโยชนตอผูใชและผูสนใจไมมากก็นอย สวนความบกพรองตาง ๆ ในเอกสารนี้ ผูรวบรวมจะปรับปรุงใหถูกตองตอไปในโอกาสอันควร

กลุมสงเสริมวิชาการ สํานักนโยบายและวิชาการสถิติ สิงหาคม 2547

สารบัญหนา

คํานํา1. การคํานวณขั้นพื้นฐาน 1 1.1 รอยละ (Percent) 1 1.2 สัดสวน (Proportions) 3 1.3 อัตราสวน (Ratios) 5 1.4 การปดเศษทศนิยม 62. การแจกแจงความถี่ 7 2.1 การแจกแจงความถี่ดวยตาราง 7 2.1.1 การแจกแจงความถี่แบบไมจัดกลุม (Ungrouped Data) 7 2.1.2 การแจกแจงความถี่แบบจัดกลุม (Grouped Data) 8 2.2 การแจกแจงความถี่ดวยกราฟหรือแผนภูมิ 12 2.2.1 ฮิสโตแกรม (Histogram) 12 2.2.2 รูปหลายเหลี่ยมแหงความถี่ (Frequency Polygon) 12 2.2.3 โคงแหงความถี่ (Curve of Frequency Distribution) 13 2.2.4 โคงความถี่สะสม (Ogive) 133. การวัดคาตําแหนง 15 3.1 ควอรไทล (Quartiles) 15 3.2 เดไซล (Deciles) 16 3.3 เปอรเซ็นไทล (Percentiles) 174. การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง 21 4.1 คาเฉลี่ย (Mean) 21 4.1.1 กึ่งพิสัย (Mid Range) 21 4.1.2 คาเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) 21 4.1.3 คาเฉลี่ยแบบถวงน้ําหนัก (Weighted Mean) 26 4.1.4 คาเฉลี่ยรวม (Combined Mean) 27 4.1.5 มัชฌิมเรขาคณิต (Geometric Mean) 28 4.1.6 มัชฌิมฮารโมนิค (Harmonic Mean) 30

หนา 4.2 มัธยฐาน (Median) 32 4.3 ฐานนิยม (Mode) 34 4.4 ความสัมพันธของคาเฉลี่ย คามัธยฐาน และคาฐานนิยม 36 4.5 การเลือกใชคาเฉลี่ย คามัธยฐาน และคาฐานนิยม 375. การวัดการกระจาย 39 5.1 พิสัย (Range) 39 5.2 สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation : MD หรือ Average Deviation : AD) 39 5.3 ความแปรปรวน (Variance) และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) 41 5.4 กึ่งพิสัยควอรไทล (Semi-Inter Quartile Range) 44 5.5 สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน (Coefficient of Variation ) 446. คะแนนมาตรฐาน 45 6.1 คะแนนมาตรฐานแบบ Z (Z-Score) 45 6.2 คะแนนมาตรฐานแบบ T (T-Score) 46 6.3 คะแนนมาตรฐานรวมแบบใชน้ําหนัก 47ภาคผนวก - ความหมายของคํา -1- - ตารางลอการิทึมสามัญ -3-บรรณานุกรม

1. การคํานวณขั้นพื้นฐาน

การคํานวณขั้นพื้นฐาน จะกลาวถึงการคํานวณที่พบเห็นและใชกันมากโดยทั่วไป ไดแกการคํานวณในรูปรอยละ (Percent) สัดสวน (Proportions) และอัตราสวน (Ratios) เปนตน

1.1 รอยละ (Percent)การจัดทําขอมูลใหอยูในรูปรอยละ จะกระทําโดยนําคาของขอมูลที่ตองการศึกษาหารดวย

จํานวนขอมูลทั้งหมดแลวคูณดวย 100 (คําวา Percent หมายถึง ตอสวน 100)

วิธีการคํานวณให N = จํานวนขอมูลทั้งสิ้น

N1, N2, N3, N4 = จํานวนขอมูลของชุดที่ 1, 2, 3 และ 4 ตามลําดับซ่ึง N1+ N2+ N3+N4 = NPercent ของ ชุดที่ 1 = N1/N x 100

ชุดที่ 2 = N2/N x 100ชุดที่ 3 = N3/N x 100ชุดที่ 4 = N4/N x 100

ขอสังเกตุ1) ผลรวมของรอยละตั้งแตชุดที่ 1 ถึง 4 เทากับ 100 โดยมีเงื่อนไขวาขอมูลแตละตัวที่นํามาคาํนวณ

จดัอยูในชดุใดชดุหนึง่เพยีงชดุเดยีว (mutually exclusive) เชน การจาํแนกตามเพศ จะนบัไวในเพศใดเพศหนึ่งเทานั้น

2) การคํานวณรอยละ คํานวณไดทั้งแนวตั้งและแนวนอน มีความหมายแตกตางกันไปแลวแตเรือ่งที่สนใจศกึษา จากตวัอยางที ่ 1 จะเหน็วาในเขตเทศบาลมเีพศชาย ประมาณรอยละ 49.4 เพศหญงิประมาณรอยละ 50.6 สวนนอกเขตเทศบาลมเีพศชาย ประมาณรอยละ 51.2 เพศหญงิประมาณรอยละ 48.8

ตัวอยางที่ 1 จํานวนและอัตรารอยละของเด็กและเยาวชนอายุ 3 - 24 ป จําแนกตามเพศ และเขตการปกครอง พ.ศ. 2545

เพศ รวม ในเขตเทศบาล นอกเขตเทศบาลจํานวน รอยละ จํานวน รอยละ จํานวน รอยละ

รวม 24,065,875 100.0 7,465,368 100.0 16,600,507 100.0ชาย 12,193,850 50.7 3,691,425 49.4 8,502,425 51.2หญิง 11,872,025 49.3 3,773,944 50.6 8,098,082 48.8

1

3) การคํานวณรอยละ มักจะแสดงทศนิยม 1 หรือ 2 ตําแหนง ซ่ึงสวนใหญใช 1 ตําแหนง4) ในกรณีที่มีขอมูลหลายชุด การคํานวณรอยละของยอดรวมของทุกชุดเมื่อทราบคาประชากรจะ

ตองคํานวณจากคาจริง การที่จะนําคารอยละของแตละชุดมาบวกกันแลวเฉลี่ยนั้นไมถูกตอง ดังตัวอยางที่ 2 และ 3

5) โดยทั่วไปจะไมนิยมใช การนําเสนอคารอยละที่มีคาเกิน 100 แตจะใชอัตราสวนแทน

ตวัอยางที ่2 จาํนวนลกูจางทีม่าจากตางประเทศทีท่าํงานประมงทะเลหรอืเพาะเลีย้งชายฝง จาํแนกตามประเทศ และเขตประมง พ.ศ. 2543

เขตประมง พมา(N=25,422)

กัมพูชา(N=4,892)

อ่ืน ๆ(N=592)

รวม 100.0 100.0 100.0เขตที่ 1 1.2 45.4 0.3เขตที่ 2 53.7 7.2 10.3เขตที่ 3 8.6 3.7 -เขตที่ 4 6.7 43.5 73.5เขตที่ 5 29.8 0.2 15.9

จากตัวอยางที่ 2 การคํานวณรอยละของจํานวนลูกจางที่มาจากตางประเทศในสดมภรวม จะใชวิธีนํารอยละของทุกชาติบวกกันแลวหาร 3 เปนวิธีที่ไมถูกตอง เนื่องจากไมไดคํานึงถึงความแตกตางของจํานวนลูกจางในแตละชาติ วิธีเฉลี่ยแบบนี้จะใชไดก็ตอเมื่อจํานวนลูกจางในแตละชาติเทากัน

วิธีคํานวณที่ถูกตองจะคํานวณขอมูลแตละตัวกลับไปเปนจํานวนคนตามเดิม เชน เขตประมงที่ 1 จํานวนลูกจางพมา จะเทากับ 0.012 คณูดวยจํานวนลูกจางพมาทั้งหมด 25,422 คน ไดเทากับ 305 คน จํานวนลูกจางกัมพูชาเทากับ 0.454 x 4,892 = 2,221 คน และลูกจางชาติอ่ืน ๆ เทากับ 0.003 x 592 = 2 คน หลังจากนั้น จึงรวมยอดเขตการประมงที่ 1 ของลูกจางตางชาติทุกชาติเขาดวยกัน กอนจะนําไปคํานวณรอยละ ดังตัวอยางที่ 3

2

ตัวยางที่ 3 จาํนวนลกูจางทีม่าจากตางประเทศทีท่าํงานประมงทะเลหรอืเพาะเลีย้งชายฝง จาํแนกตามประเทศ และเขตประมง พ.ศ. 2543

(หนวย : คน)รวม พมา กัมพูชา อื่น ๆเขตการ

ประมง จํานวน รอยละ จํานวน รอยละ จํานวน รอยละ จํานวน รอยละ

รวม 30,906 100.0 25,422 100.0 4,892 100.0 592 100.0เขตที่ 1 2,528 8.2 305 1.2 2,221 45.4 2 0.3เขตที่ 2 14,065 45.5 13,652 53.7 352 7.2 61 10.3เขตที่ 3 2,367 7.7 2,186 8.6 181 3.7 - -เขตที่ 4 4,266 13.8 1,703 6.7 2,128 43.5 435 73.5เขตที่ 5 7,680 24.8 7,576 29.8 10 0.2 94 15.9

1.2 สัดสวน (Proportions)

สัดสวน หมายถงึ จาํนวนยอยทีต่องการศกึษาตอจาํนวนรวมทัง้สิน้ของขอมลูนัน้ เชน สัดสวนของคนทาํงานเพศหญงิตอคนทาํงานทัง้สิน้ สัดสวนของโรงงานอตุสาหกรรมผลติอาหารตอโรงงานอตุสาหกรรมทุกประเภท เปนตน โดยใหถือวาจํานวนทั้งหมดเปน 1

วิธีการคํานวณให N = จํานวนขอมูลทั้งสิ้นN1, N2, N3, N4 = จํานวนขอมูลของชุดที่ 1, 2, 3 และ 4 ตามลําดับโดย N1+ N2+ N3+N4 = NProportion ของชุดที่ 1 = N1/N

ชุดที่ 2 = N2/N ชุดที่ 3 = N3/N

ชุดที่ 4 = N4/N ดังนั้น N1/N + N2/N + N3/N + N4/N = N/N = 1

3

ตัวอยางที่ 4 จํานวนผูที่สูบบุหร่ีเปนประจําอายุ 11 ปขึ้นไป จําแนกตามหมวดอายุและเพศ พ.ศ. 2544 (หนวย : พันคน)

รวม ชาย หญิงหมวดอายุ จํานวน สัดสวน จํานวน สัดสวน จํานวน สัดสวน

รวม 10,557.1 1.0000 9,997.7 1.0000 559.4 1.000011 - 14 ป 5.8 0.0006 4.6 0.0005 1.2 0.002215 - 24 ป 1,545.2 0.1464 1,511.0 0.1511 34.2 0.061125 - 59 ป 7,779.0 0.7369 7,390.7 0.7392 388.3 0.6942

60 ปขึ้นไป 1,227.1 0.1162 1,091.4 0.1092 135.7 0.2425

เมื่อคํานวณสัดสวนแลว สามารถเปรียบเทียบขอมูลจํานวนผูสูบบุร่ีของเพศทั้งสองไดชัดเจนมากขึน้ จะเหน็วาจาํนวนผูสูบบหุร่ีเพศหญงิหมวดอาย ุ11-14 ป และวยัผูสูงอาย ุ(หมวดอาย ุ60ปขึน้ไป) สูงกวาเพศชายคอนขางมาก สวนวัยทํางาน (หมวดอายุ 15-59 ป) เพศชายสูงกวาเพศหญิง

ขอสังเกตุ1) ผลรวมของสัดสวนทุกหมวดอายุจะมีคาเทากับ 1 เสมอ การคํานวณดวยเครื่อง

คอมพิวเตอร ถาผลรวมไมเทากับ 1 ใหปดจุดทศนิยมหลักสุดทายของรายการที่มากที่สุด เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงคาของสัดสวนที่มากจะมีผลตอขอมูลนอยกวาการเปลี่ยนคา สัดสวนตัวที่นอยกวา

2) คาสัดสวนที่คํานวณไดอาจนําเสนอในรูปรอยละ โดยการคูณดวย 1003) การคํานวณโดยวิธีหาสัดสวน มีขอสมมุติฐานอยูวา ขอมูลที่จะนํามาคํานวณสัดสวนจะ

ตองเปนขอมูลที่จําแนกประเภทไวในประเภทใดประเภทหนึ่งที่กําหนดขึ้น เพียงประเภทเดียวเทานั้น ถาขอมูลตัวใดตัวหนึ่งสามารถนํามาจําแนกไดมากกวา 1 ประเภท จะคํานวณโดยวิธีหาสัดสวนไมได เชน การอบรมหลักสูตรจํานวน 8 หลักสูตรใหแกขาราชการจํานวน 100 คน โดยผูเขารับการอบรมสามารถเขารับการอบรมไดมากกวาหนึ่งหลักสูตร จะคํานวณหาสัดสวนของผูเขารับการอบรมในแตละหลักสูตรไมได

4

1.3 อัตราสวน (Ratios)

อัตราสวนเปนการเปรียบเทียบจํานวนขอมูลสองกลุมในรูปของเศษสวน เชน อัตราสวนของ A ตอ B หมายถึง A หารดวย B

วิธีการคํานวณให A = จํานวนขอมูลกลุมที่ 1

B = จํานวนขอมูลกลุมที่ 2อัตราสวน A ตอ B = A/B หรือ

= A : B

ตัวอยาง 5 จํานวนลูกจางที่จบการศึกษาระดับประถมศึกษา มัธยมศึกษา และอุดมศึกษามีจํานวน430 คน 360 คนและ 140 คนตามลําดับ

อัตราสวนลูกจางที่จบการศึกษาระดับประถมศึกษาและมัธยมศึกษาตอลูกจางที่จบระดับอุดมศึกษา = (430 + 360 ) / 140

= 790 / 140= 79/14 หรือ 79: 14= 5.64 / 1 หรือ 5.64 : 1

ขอสังเกตุ1) อัตราสวนมักจะทอนทั้งตัวตั้งและตัวหารใหไดตัวเลขต่ําที่สุด2) ตัวตั้งอาจจะใชขอมูลมากกวาหนึ่งกลุมรวมกันก็ได ดังตัวอยางที่ 5 ไดรวมลูกจางที่

จบการศึกษาระดับประถมศึกษา และมัธยมศึกษาเขาดวยกัน เพื่อเปรียบเทียบกับระดับอุดมศึกษา

3) ตัวหารอาจจะคํานวณใหมีคาเทากับ 1 หรือ 100 ก็ได เชน อัตราสวนระหวางเพศ (Sex Ratio) ชายตอหญิงมีคาเทากับ 105 หมายถึง มีจํานวนชาย 105 คนตอหญิง 100 คน

4) การคาํนวณอตัราสวน มกัใชเฉพาะในการเปรยีบเทยีบขอมลูเพยีง 1 หรือ 2 หรือ 3 เรือ่งเทานัน้ ถาตองการเปรยีบเทยีบขอมลูหลายตวัหรือหลายเรือ่ง ควรใชรอยละหรอืสัดสวน จะทําใหเขาใจงาย

5) ตัวหารหรือฐานที่มีคา 1,000 หรือ 10,000 หรือ 100,000 ใชในการคํานวณคาอัตรา (Rates) ซ่ึงจัดเปนอตัราสวนอกีประเภทหนึง่ เชน อัตราเกดิตอประชากร 1,000 คน หรืออัตราการฆาตวัตายตอประชากร 100,000 คน เปนตน

5

6) อัตราเพิ่ม (Rates of Increase) ก็เปนอัตราสวนอีกประเภทหนึ่ง คํานวณโดยการนําสวนที่เปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นหรือลดลง หารดวยจํานวนเดิมกอนการเปลี่ยนแปลง และนิยมเสนอในรูปรอยละ เชน จํานวนโรงงานที่ผลิต Software เครื่องคอมพิวเตอรในประเทศไทย พ.ศ.2529 และพ.ศ. 2539 มีจํานวน 500 และ 650 แหงตามลําดับ อัตราเพิ่มของโรงงานเทากับ (650-500)/500 = 0.30 หรือ รอยละ 30 เปนตน

1.4 การปดเศษทศนิยม

ในการนําเสนอตารางอัตรารอยละ อาจรวมกันแลวไมกระทบรอย จึงตองปดทศนิยมใหม เพื่อใหมีความคลาดเคลื่อนจากการสะสมของเศษลดนอยลง ดงันี้

1) ทศนยิมทีล่งทายมคีานอยกวา 5 จะปดลง เชน 68.82 ปดเปน 68.8 เปนตน2) ทศนยิมทีล่งทายมคีามากกวา 5 จะปดขึน้ เชน 52.38 ปดเปน 52.4 เปนตน3) ทศนยิมทีล่งทายมคีาเทากบั 5 นั้น จะพิจารณาวา

- ถาเลขกอนหนา 5 เปนเลขคูจะปดลง เชน 38.45 ปดเปน 38.4 เปนตน- ถาเลขกอนหนา 5 เปนเลขคี่จะปดขึ้น เชน 46.75 ปดเปน 46.8 เปนตน

6

2. การแจกแจงความถี่

การแจกแจงความถีเ่ปนการนาํขอมลูทีเ่กบ็รวบรวมไดไมวาจะเปนขอมลูเชงิปรมิาณ หรือขอมลูเชิงคุณภาพมาจัดรูปใหสะดวกตอการวิเคราะหในขั้นตอไป การแจกแจงความถี่ ทําได 2 แบบ คือ

1) การแจกแจงความถี่ดวยตาราง 2) การแจกแจงความถี่ดวยกราฟหรือแผนภูมิ ดังนี้

- ฮิสโตแกรม (Histograms)- รูปหลายเหลี่ยมความถี่ (Frequency Polygon)- โคงความถี่ (Frequency Curve)- โคงความถี่สะสม (Ogive)

2.1 การแจกแจงความถี่ดวยตาราง

การแจกแจงความถี่ดวยตาราง หรือ ตารางแจกแจงความถี่ เปนการนําขอมูลดิบมาจัดใหเปนระเบียบ เปนหมวดหมู เพื่อชวยใหเขาใจรายละเอียดตาง ๆ ของขอมูลไดงายขึ้น เห็นภาพรวมของขอมูลวามีการกระจายอยางไร ขอมูลสวนใหญมีคาเทาใด ขอมูลที่มีคาสูงสุดและต่ําสุดเปนเทาใด และชวยใหสามารถอธิบายหรือนําไปทําการวิเคราะหไดงาย สะดวกและรวดเร็วขึ้นวิธีการแจกแจงความถี่ ทําได ดังนี้

2.1.1 การแจกแจงความถี่แบบไมจัดกลุม (Ungrouped Data)

เปนการนาํขอมลูดบิมาเรยีงลําดบัจากมากไปนอยหรือนอยไปมาก จะทาํใหทราบวามคีาสงูสดุและต่ําสุดเทาไร ถาตองการทราบรายละเอียดอื่น ๆ ก็จะตองทําการ แทลลิ (Tally) หรือ การขีดจํานวนขอมูล ทลีะหนึง่คา โดยจดัขอมลูใหมในรปูตารางแจกแจงความถีแ่บบไมจดักลุม นยิมใชกบัขอมลูทีม่จีาํนวนไมเกนิ 50

ตัวอยาง 6 สํารวจจํานวนรถยนตของครัวเรือนจํานวน 30 ครัวเรือน ดังนี้

1 3 5 0 1 4 0 0 1 02 0 1 2 3 2 3 1 3 23 4 6 2 2 1 1 1 4 3

นําขอมูลมาแจกแจงความถี่ โดยเรียงขอมูลจากนอยไปหามาก ดังนี้

7

จํานวนรถตอครัวเรือน รอยคะแนน ความถี่

0 51 82 63 64 35 16 1

รวม 30

ขอดี- ทําใหทราบวาขอมูลแตละคามีคาซ้ํากันกี่จํานวนหรือมีความถี่เทาใด- เมื่อนําขอมูลการแจกแจงความถี่แบบไมจัดกลุมไปทําการวิเคราะหทางสถิติ จะ

ทําใหคาสถิติตาง ๆ ตรงกับความจริงมาก (ขอมูลที่การแจกแจงความถี่แบบจัดกลุมจะใชคากึ่งกลางเปนตัวแทน)

ขอเสีย- ถาคาสงูสดุกบัคาต่าํสดุตางกนัมาก ๆ จาํนวนขอมลูทีต่องเขยีนเรยีงลําดบัลดหลัน่

กันลงมามีจํานวนมาก ซ่ึงบางจํานวนอาจไมมีขอมูล

2.1.2 การแจกแจงความถี่แบบจัดกลุม (Grouped Data)

เปนการนําขอมูลดิบมาแจกแจงความถี่คลายกับการแจกแจงความถี่แบบไมจัดกลุม แตไมไดจัดขอมูลเรียงลําดับทีละหนึ่งคา โดยจะจัดขอมูลเปนกลุมหรือเปนชวงแทน เหมาะกับขอมูลที่มีจํานวนมาก (มากกวา 50) หรือขอมูลมีความแตกตางกันมาก

ขั้นดําเนินการ1) หาพสัิย (Range) ของขอมูล คือ หาคาความแตกตางระหวางคาสูงสุดและคาต่ําสุดของ

ขอมูลชุดนั้นพิสัย (R) = คาสูงสุด (Xmax) - คาต่ําสุด (Xmin)

///

//////// /////// ///// /

//

8

2) กําหนดจํานวนชั้นของขอมูล (k) โดยทั่วไปจะกําหนดใหจํานวนชั้นอยูระหวาง 5 – 20 ช้ัน ถามีการจัดนอยช้ันคาสถิติตาง ๆ ที่หาไดจะมีความคลาดเคลื่อนมาก แตถาจัดใหมีจํานวนชั้นมาก ใชเวลามาก และอาจมีบางชั้นที่ไมมขีอมลู ในกรณทีีไ่มทราบวาควรกาํหนดใหตารางแจกแจงความถีม่กีีช้ั่น หาไดจากสตูร

k = 1 + 3.3 log N ; N คือ จํานวนขอมลูทั้งหมด3) คาํนวณหาความกวางของชัน้ (Class Interval : I) หรือ ความหางของคะแนนแตละชัน้

ความกวางของชั้น (I) = =

ถา I เปนคาทศนิยม ใหปดขึ้นเปนจํานวนเต็ม (ไมวาเศษจะมีคามากวาหรือนอยกวา 0.5) โดยทั่วไปจะกําหนดใหความกวางของแตละชั้นเทากันหมด แตในทางปฏิบัติอาจจะใหความกวางของแตละชัน้ไมเทากนั หรืออาจกาํหนดใหเปนชัน้เปดกไ็ด เชน อายตุัง้แต 60 ป หรือ อายุนอยกวา 15 ป ซ่ึงจะกําหนดชั้นเปดใหเปนชั้นแรกหรือช้ันสุดทาย

4) คํานวณหาขีดจํากัดชั้น (Class limit) จะกําหนดใหขีดจํากัดลาง (Lower class limit) ของช้ันแรก (ช้ันที่มีคาต่ําสุด) ครอบคลุมขอมูลที่มีคาต่ําสุดหรือใชสูตร

ขีดจํากัดลางของชั้นแรก = คาต่ําสุด – ([I ( k) – R]/2)ขีดจํากัดบนของชั้นแรก = ขีดจํากัดลางของชั้นแรก + I -1

และชองวางระหวางชั้น คือ คาขีดจํากัดบนในชั้นเหนือกวากับคาขีดจํากัดลางในชั้นถัดลงมาจะมีคาแตกตางกันเทากับ 1, 0.1, 0.01 เปนตน

5) คํานวณหาขอบเขตจํากัดชั้น (Class boundaries) กําหนดใหขอบเขตชั้นมีจํานวนหลักหลังจุดทศนิยมมากกวาคาของขอมูลจริงอยู 1 หลักเสมอ เชน ถาขอมูลจริงเปนเลขจํานวนเต็ม ขอบเขตจํากัดชั้นจะมีจุดทศนิยม 1 หลัก ในทางปฏิบัติ สามารถหาคาขอบเขตของชั้นได ดังนี้ ขอบเขตจํากัดบนของชั้น = (ขีดจํากัดบนของชั้น + ขีดจํากัดลางของชั้นถัดลงไป)/2 ขอบเขตจํากัดลางของชั้น = (ขีดจํากัดลางของชั้นนั้น+ขีดจํากัดบนของชั้นถัดขึ้นไป)/2 ขอบเขตจํากัดลางของชั้นแรก = ขอบเขตจํากัดบนของชั้นแรก – ความกวางของชั้น คากึ่งกลาง (mid point) = (ขอบเขตจํากัดบน + ขอบเขตจํากัดลาง)/2 หรือ

= (ขีดจํากัดบน + ขีดจํากัดลาง)/2ขอสงัเกต ุ: ขอบเขตจาํกดับนของชัน้ทีส่นใจจะเทากบัขอบเขตจาํกดัลางของชัน้ถัดลงมา

6) นับจํานวนคาของขอมูล (ความถี่) ในแตละชั้นหลังจากสรางขอบเขตจํากัดชั้นแลว ตรวจสอบวาขอมูลคาใดอยูในชั้นใดบาง

แลวจึงนับจํานวนขอมูลในแตละชั้น (ความถี่ของชั้น)

พิสัยจํานวนชั้น

Rk

9

ตัวอยางที่ 7 บริษัท ก.มีพนักงานจํานวน 60 คน โดยมีอายุของพนักงาน ดังนี้

20 50 45 51 23 48 26 42 22 3545 51 38 46 29 32 22 36 34 4235 28 25 52 32 36 36 54 42 3760 25 65 40 46 44 49 42 36 5055 35 60 47 54 42 47 21 28 4235 40 49 31 53 36 38 35 29 39

จงสรางตารางแจกแจงความถี่

วิธีทํา 1. หาคาพิสัย (R) คาสูงสุด = 65 คาต่ําสุด = 20พิสัย = 65 – 20 = 45

2. กําหนดจํานวนชั้น (k)k = 1 + 3.3 log N

N = 60 แลว log 60 = 1.7782k = 1 + 3.3 (1.78) = 6.87 ≈ 7 ช้ัน

3. หาความกวางของชั้น (I)

I =

= = 6.43 ≈ 7

4. หาขีดจํากัดชั้นขีดจํากัดลางของชั้นแรก = คาต่ําสุด - [(I (k) - R)/2]

= 20 – [(7(7) – 45)/2 ]= 20 – 2= 18

ขีดจํากัดบนของชั้นแรก = ขีดจํากัดลางของชั้นแรก+ความกวางของชั้น–1 = 18 + 7 - 1

= 24

Rk457

10

ชองวางระหวางชั้น จะมีคาแตกตางกัน 1ขีดจํากัดชั้นทั้งหมด คือ 18-24, 25-31, 32-38, 39-45, 46-52,

53-59, และ 60-665. หาขอบเขตจํากัดชั้น ขอบเขตจํากัดบนของชั้น = (ขีดจํากัดบนของชั้น + ขีดจํากัดลางของชั้นถัดไป)/2 ขอบเขตจํากัดบนของชั้นแรก=(ขีดจํากัดบนของชั้นแรก+ขีดจํากัดลางของชั้นที่2)/2

= (24 + 25)/2 = 24.5

ขอบเขตจํากัดลางของชั้นแรก=ขอบเขตจํากัดบนของชั้นแรก – ความกวางของชั้น = 24.5 - 7 = 17.5

ขอบเขตจํากัดชั้นทั้งหมด คือ 17.5-24.5, 24.5-31.5, 31.5-38.5, 38.5-45.5,45.5-52.5, 52.5-59.5, และ 59.5-66.5

6. นับจํานวนคาของขอมูล พรอมทั้งสรางตารางแจกแจงความถี่ในแตละชั้น

ขีดจํากัดชั้น ขอบเขตจํากัดชั้น คากึ่งกลาง จํานวนคาของขอมูล ความถี่ ความถี่สะสม18-24 17.5 - 24.5 21 //// 5 525-31 24.5 – 31.5 28 //// /// 8 1332-38 31.5 – 38.5 35 //// //// //// / 16 2939-45 38.5 – 45.5 42 //// //// // 12 4146-52 45.5 – 52.5 49 //// //// // 12 5353-59 52.5 – 59.5 56 //// 4 5760-66 59.5 – 66.5 63 /// 3 60

รวม 60

11

2.2 การแจกแจงความถี่ดวยกราฟหรือแผนภูมิ

2.2.1 ฮสีโตแกรม (Histogram) เปนการแจกแจงความถีด่วยแผนภมูแิทง โดยใหความสงูของแตละแทงแทนขนาดของความถีข่องคะแนนแตละชัน้ ความกวางของแทงแทนขอบเขตจาํกดัชัน้ จากตวัอยางที่ 7 จะสรางแผนภูมิไดดังรูป

2.2.2 รูปหลายเหลี่ยมแหงความถี่ (Frequency Polygon) คือแผนภูมิเสนที่แสดงการแจกแจงความถี่ของคะแนนแตละชั้น วิธีสรางจะสราง Histogram ขึ้นกอนแลวเขียนรูปหลายเหลี่ยมแหงความถี่ไดโดยลากเสนตรงเชือ่มจดุกึง่กลางของกราฟแทงตามลาํดบั หรือจะไมสราง Histogram ขึน้กอนกเ็ขยีนรปูหลายเหลีย่มแทนความถีไ่ดโดยลากเสนตรง เชือ่มจดุทกุจดุทีป่ระกอบดวยความถีแ่ละจดุกึง่กลาง(mid point)ของคะแนนแตละช้ัน จากตวัอยางที ่7 จะสรางแผนภมู ิไดรูป

ความถี่

02468

1012141618

อายุ 17.5 24.5 31.5 38.5 45.5 52.5 59.5 66.5

ความถี่

02468

1012141618

อายุ 17.5 24.5 31.5 38.5 45.5 52.5 59.5 66.5

12

2.2.3 โคงแหงความถี่ (Curve of Frequency Distribution) มีลักษณะคลายรูปหลายเหลี่ยมแหงความถี่ แตปรับรูปหลายเหลี่ยมใหเปนเสนโคง การปรบัตองพยายามทาํใหพืน้ทีส่วนเกนิมากเทากบัพื้นที่สวนที่ขาดหายไป จากตัวอยางที่ 7 จะสรางได ดังรูป

2.2.4 โคงความถี่สะสม (Ogive) เกิดจากการ Plot กราฟเสนดวยความถี่สะสม ซ่ึงใชแสดงแนวโนมของความถี่จากนอยไปมากหรือมากไปนอย เพื่อแสดงใหเห็นถึงอัตราการเพิ่มขึ้นหรือลดลง จากตัวอยางที่ 7 จะสรางกราฟได ดังรูป

513

29

41

5357 60

0

10

20

30

40

50

60

70

17.5 24.5 31.5 38.5 45.5 52.5 59.5 66.5อายุ

ความถี่

ความถี่

02468

1012141618

อายุ 17.5 24.5 31.5 38.5 45.5 52.5 59.5 66.5

13

4)1N(q +

3. การวัดคาตําแหนง

เปนวิธีการที่จะบอกคาของตําแหนงขอมูล ซ่ึงคาแสดงตําแหนงของขอมูล มีดังนี้- ควอรไทล (Quartiles)- เดไซล(Deciles)- เปอรเซ็นไทล (Percentiles)

3.1 ควอรไทล (Quartiles)

เปนการแบงขอมูลออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน เมื่อเรียงขอมูลตามลําดับจากคานอยไปหามาก หรือจากคามากไปหานอย มีจุดแบงอยู 3 จุด คือ Q1, Q2 และQ3

ความหมายของควอไทล เชน Q1 (ควอรไทลที่ 1) หมายความวา คาที่แสดงใหทราบวามีขอมูลอยู 1/4 ที่มีคานอยกวาหรือเทากับคานี้ และอีก 3/4 ที่มีคามากกวาคานี้ Q2 (ควอรไทลที่ 2) หมายความวา คาที่แสดงใหทราบวามีขอมูลอยู 1/2 ที่มีคานอยกวาหรือเทากับคานี้ และอีก 1/2 ที่มีคามากกวาคานี้ (ควอรไทลที่ 2 คือ คามัธยฐาน) Q3 (ควอรไทลที่ 3) หมายความวา คาที่แสดงใหทราบวามีขอมูลอยู 3/4 ที่มีคานอยกวาหรือเทากบัคานี้ และอีก 1/4 ที่มีคามากกวาคานี้

การหาควอรไทล

3.1.1 ขอมูลท่ีไมไดจัดกลุม

1) เรียงลําดับขอมูล N คา จากนอยไปหามาก

2) คาของควอรไทลที่ q คือ คาของตําแหนงที่

15

3.1.2 ขอมูลท่ีจัดกลุม

fF)4

qN(ILQq

−+=

โดยที่ L = ขอบเขตลางของชั้นที่ตําแหนงควอรไทลนั้นตกอยู I = ความกวางของชั้น F = ความถี่สะสมของชั้นกอนชั้นที่ตําแหนงควอรไทลนั้นตกอยู f = ความถี่ของชั้นควอรไทลนั้น

N = จํานวนขอมูลทั้งหมด

3.2 เดไซล (Deciles)

เปนการแบงขอมูลออกเปน 10 สวนเทา ๆ กันเมื่อเรียงขอมูลตามลําดับจากคานอยไปหามาก หรือจากคามากไปหานอย มีจุดแบงอยู 9 จุด คือ D1 , D2 , D3 ,D4 , ... และD9

ความหมายของเดไซล เชน

D1 (เดไซลที่ 1) หมายความวา คาที่บอกใหทราบวามีขอมูล 1/10 ที่นอยกวาหรือเทากับคานี้อีก 9/10 ที่มากกวาคานี้ D2 (เดไซลที่ 2) หมายความวา คาที่บอกใหทราบวามีขอมูล 2/10 ที่นอยกวาหรือเทากับคานี้อีก 8/10 ที่มากกวาคานี้ D3 (เดไซลที่ 3) หมายความวา คาที่บอกใหทราบวามีขอมูล 3/10 ที่นอยกวาหรือเทากับคานี้อีก 7/10 ที่มากกวาคานี้ D5 (เดไซลที่ 5) หมายความวา คาที่บอกใหทราบวามีขอมูล 5/10 ที่นอยกวาหรือเทากับคานี้อีก 5/10 ที่มากกวาคานี้ (D5 คือ คามัธยฐานหรือควอรไทลที่ 2)

16

10kN

การหาเดไซล

3.2.1 ขอมูลท่ีไมไดจัดกลุม 1) เรียงลําดับขอมูล N คาจากนอยไปมาก 2) คาของเดไซลที่ k คือ คาของขอมูลตําแหนงที่

3.2.2 ขอมูลท่ีจัดกลุม

fF)10

kN(ILD k

−+=

โดยที่ L = ขอบเขตลางของชั้นที่ตําแหนงเดไซลนั้นตกอยู I = ความกวางของชั้น F = ความถี่สะสมของชั้นกอนชั้นที่ตําแหนงเดไซลนั้นตกอยู f = ความถี่ของชั้นเดไซลนั้น

N = จํานวนขอมูลทั้งหมด

3.3 เปอรเซ็นไทล (Percentiles)

เปนการแบงขอมูลออกเปน 100 สวนเทาๆ กัน เมื่อเรียงขอมูลตามลําดับจากคานอยไปหามาก หรือจากคามากไปหานอย มีจุดแบงอยู 99 จุด คือ P1, P2, P3, …,P99

ความหมายของเปอรเซ็นไทล เชน P1 (เปอรเซ็นไทลที่ 1) หมายความวา มีขอมูลจํานวน 1% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคาต่ํากวาP1 และมีจํานวนขอมูลที่เหลืออีก 99% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคามากกวา P10 (เปอรเซ็นไทลที่ 10) หมายความวา มีขอมูลจํานวน 10% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคาต่ํากวาP10 และมีจํานวนขอมูลที่เหลืออีก 90% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคามากกวา (P10 = D1) P25 (เปอรเซ็นไทลที่ 25) หมายความวา มีขอมูลจํานวน 25% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคาต่ํากวาP25 และมีจํานวนขอมูลที่เหลืออีก 75% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคามากกวา P25 (P25 = Q1) P50 (เปอรเซ็นไทลที่ 50) หมายความวา มีขอมูลจํานวน 50% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคาต่ํากวาP50 และมีจํานวนขอมูลที่เหลืออีก 50% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคามากกวา P50 (P50 = Q2 =D5=คามัธยฐาน)

17

1001)Nr( +

P75 (เปอรเซน็ไทลที ่75) หมายความวา มขีอมลูจาํนวน 75% ของขอมลูทัง้หมดทีม่คีาต่าํกวาP75 และมีจํานวนขอมูลที่เหลืออีก 25% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคามากกวา P75 (P75 = Q3) P99 (เปอรเซ็นไทลที่ 99) หมายความวา มีขอมูลจํานวน 99% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคาต่ํากวาP99 และมีจํานวนขอมูลที่เหลืออีก 1% ของขอมูลทั้งหมดที่มีคามากกวา P99

การหาเปอรเซ็นไทล

3.3.1 ขอมูลท่ีไมไดจัดกลุม

1) เรียงลําดับขอมูล N คา จากนอยไปมาก

2) คาของเปอรเซ็นไทลที่ r คือ คาของตําแหนงที่

3.3.2 ขอมูลท่ีจัดกลุม

fF)100

rN(ILPr

−+=

โดยที่ L = ขอบเขตลางของชั้นที่มีเปอรเซ็นไทลที่ r I = ความกวางของชั้นที่มีเปอรเซ็นไทลที่ r F = ความถี่สะสมของชั้นกอนชั้นที่มีเปอรเซ็นไทลที่ r f = ความถี่ของชั้นที่มีเปอรเซ็นไทลที่ r

ตัวอยาง 8 ใหคํานวณหาคา Q1, Q3, D4, D9, P15 และ P85 จากตารางการแจกแจงอายุการใชงานของหลอดไฟฟาจํานวน 1,000 หลอด

ชั้นท่ี อายุการใชงาน (เดือน) ขอบเขตจํากัดชั้น จํานวนหลอดไฟ ความถี่สะสม

1 3.50 – 3.90 3.45 – 3.95 50 502 4.00 – 4.40 3.95 – 4.45 150 2003 4.50 – 4.90 4.45 – 4.95 430 6304 5.00 – 5.40 4.95 – 5.45 200 8305 5.50 – 5.90 5.45 – 5.95 110 9406 6.00 – 6.40 5.95 – 6.45 60 1,000

18

คํานวณควอไทล

จาก fF)4

qN(ILQq

−+=

ตําแหนงที่ Q1 ตกอยู = N/4 = 1,000/4 = 250 อยูชั้นที่ 3

Q1 = 4.45 + = 4.45 + 0.058 = 4.508

ตําแหนงที่ Q3 ตกอยู = 3N/4 = 3(1,000)/4 = 750 อยูชั้นที่ 4

Q3 = 4.95 + = 4.95 + 0.3 = 5.25

คํานวณเดไซล

จาก fF)10

kN(ILD k

−+=

ตําแหนง D4 คือ = = 400 อยูระหวางชั้น 2 – 3

D4 = 4.45 +

= 4.45 + 0.233

= 4.683

ตําแหนง D9 คือ = = = 900 ซึ่งอยูระหวางชั้น 4 – 5

D9 = 5.45 + 0.5

= 5.45 + 0.318 = 5.768

9N10

9(1,000)10

4 N10

4 (1,000)10

900-830110

4302002505.0 −

4302007505.0 −

4302004005.0 −

19

คํานวณเปอรเซ็นไทล

จาก fF)100

rN(ILPr

−+=

ตําแหนง P15 คือ = = 150 อยูระหวางชั้น 1- 2

P15 = 3.95 + 0.5

= 3.95 + 0.333= 4.283

ตําแหนง P85 คือ = = 850 อยูระหวางชั้น 4- 5

P85 = 5.45 + 0.5

= 5.45 + 0.091 = 5.541

15N100

15(1,000) 100

85N100

85(1,000) 100

150-50150

850-830110

20

4. การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง

เมื่อจะกลาวถึงขอมูลที่รวบรวมได มักจะใชคา ๆ หนึ่ง แทนคาขอมูลที่มีอยู ซึ่งคานั้นจะเปนคาที่อยูกลาง ๆ ของขอมูลท้ังหมด และคากลางนี้จะวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง (Measure ofCentral Tendency) ของขอมูลเหลานั้น ซึ่งมีอยูดวยกันหลายคา ดังนี้

- คาเฉลี่ย (Mean) - มัธยฐาน (Median)

- ฐานนิยม (Mode)

4.1 คาเฉล่ีย (Mean)

คาเฉลี่ยเปนคากลางของขอมูลลักษณะหนึ่ง สามารถคํานวณได ดังนี้- กึ่งพิสัย (Mid Range)- คาเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean)- คาเฉลี่ยแบบถวงน้ําหนัก (Weighted Mean)- คาเฉลี่ยรวม (Combined Mean)- มัชฌิมเรขาคณิต (Geometric Mean)- มัชฌิมฮารโมนิค (Harmonic Mean)

4.1.1 ก่ึงพิสัย (Mid Range)

เปนจุดกึ่งกลางระหวางคาต่ําสุดกับคาสูงสุดของขอมูล ใชหาคากลางไดรวดเร็ว แตไมไดใชคาขอมูลทุกคามาคํานวณ ปจุบันไมนิยมใช มีสูตรดังนี้

กึ่งพิสัย = (คาต่ําสุด + คาสูงสุด) / 2

4.1.2 คาเฉล่ียเลขคณิต (Arithmetic Mean)

หมายถึง ผลรวมของขอมูลทั้งหมดหารดวยจํานวนขอมูลทั้งหมด นิยมใชกันมากเนื่องจากไดนําขอมูลมาใชทุกคา ทําใหคาเฉลี่ยเปนตัวแทนขอมูลที่ดีตัวหนึ่ง การคํานวณแบงได 2 กรณี คือ

21

NX

N

1ii∑

−

xn

xn

1ii∑

=

nx

n

1ii∑

=)x(

4.1.2.1 ขอมูลไมไดจัดกลุม (Ungrouped Data)

ใชกับขอมูลปริมาณนอย ๆ

คาเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร (µ) == ( X1 + X2 + X3 + … + XN) / N

คาเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอยาง = = ( x1 + x2 + x3 + … + xn)/n

โดยที่ Xi เปนคาขอมูลของประชากรตัวที่ ixi เปนคาขอมูลของตัวอยางตัวที่ iN เปนจํานวนของประชากรn เปนจํานวนของตัวอยาง

ตัวอยาง 9 สุมตวัอยางคนไทยทีม่อีาย ุ30 ป จาํนวน 30 คน เพือ่คาํนวณความสงูโดยเฉลีย่ขอมลู ความสูงจากหนวยตัวอยาง มีดังนี้

162 170 150 183 143 165 136 174 127 137121 186 132 149 177 146 182 189 153 164173 156 138 171 167 159 166 148 156 185

วิธีทํา จาก =

x = [162 + 170 + 150 + 183 + 143 + 165 +…+ 148 + 156 + 185] / 30 = 4,765 / 30 = 158.83 ซ.ม.

ดังนั้น คนไทยที่มีอายุ 30 ป มีความสูงเฉลี่ย 158.83 ซ.ม.

4.1.2.2 ขอมูลจัดกลุม (Grouped Data)

ใชกบัขอมลูเปนจาํนวนมาก ๆ โดยการสรางตารางแจกแจงความถี ่ยกเวนการแจกแจงความถี่ที่มีชั้นแรกหรือชั้นสุดทายเปนชั้นเปด จะไมสามารถหาคาเฉลี่ยเลขคณิตได

22

∑

∑

=

=N

1ii

N

1iii

f

Xf

∑

∑

=

== N

1ii

N

1iii

f

xfx

∑

∑

=

==µ N

1ii

N

1iii

f

Xf

1) กรณีที่ทราบคาขอมูลทุกหนวยในประชากร

µ =

โดยที่ Xi เปนคากึ่งกลางชั้นที่ ifi เปนความถี่ของชั้นที่ i

2) กรณีที่ทราบคาขอมูลบางหนวยในประชากร

ตัวอยาง 10 จากตัวอยาง 7 อายุของพนักงานในบริษัท ก. จํานวน 60 คน

ขอบเขตจํากัดชั้น ความถี่ (fi) คากึ่งกลาง (Xi) fiXi

17.5 – 24.5 5 21 10524.5 – 31.5 8 28 22431.5 – 38.5 16 35 56038.5 – 45.5 12 42 50445.5 – 52.5 12 49 58852.5 – 59.5 4 56 22459.5 – 66.5 3 63 189

รวม 60 2,394

= 2,394 / 60

= 39.9

ดังนั้น อายุเฉลี่ยของพนักงานบริษัท ก เทากับ 39.9 ป

23

N

dN

1ii∑

=

n

dn

1ii∑

=

N

IdfN

1iii∑

=

′

n

Idfn

1iii∑

=

′

การคํานวณหาคาเฉลี่ยเลขคณิตโดยวิธีลัด

ในการหาคาเฉลี่ยนี้จะตองบวกคา xi สําหรับกรณีที่ขอมูลไมไดจัดกลุม และหาผลบวกของ fixi สําหรับกรณีที่ขอมูลจัดกลุมแลว ถาคา xi มีคามาก จะยุงยากในการคํานวณ จึงไดมีผูคิดวิธีลัด โดยทําใหคา xi มีคานอย ๆ สะดวกตอการคูณหารตัวเลข สามารถคํานวณได 2 กรณี ดังนี้

ก. ขอมูลไมไดจัดกลุมให A เปนคาคงที่ใด ๆ และนําคา A ลบออกจากทุกตัว

di = xi - A

คาเฉลี่ยประชากร (µ) = A +

คาเฉลี่ยตัวอยาง ( x ) = A +

หมายเหตุ : นิยมให A เปนคาคงที่ที่ทําใหผลรวมของ di = 0

ข. ขอมูลจัดกลุม สามารถคํานวณได 2 แบบ คือ

1) ให A = คากึ่งกลางของชั้นท่ีอยูตรงกลางของจํานวนชั้นท้ังหมดdi = ( xi – A) / I

คาเฉลี่ยประชากร (µ) = A +

คาเฉลี่ยตัวอยาง ( x ) = A +

โดยที่ xi เปนคากึ่งกลางของชั้นที่ i

I เปนความกวางของชั้น (Class Interval)

di′ เปนคาเบี่ยงเบนของชั้นที่ i (I เทากันทุกชั้น)

24

Ndf

N

1iii∑

=

′

ndf

n

1iii∑

−

′

N

IdfN

1iii∑

=

′

ตัวอยาง 11 จากตัวอยาง 7 อายุของพนักงานในบริษัท ก จํานวน 60 คน (I=7 A=42)

ขอบเขตจํากัดชั้น ความถี่ (fi) คากึ่งกลาง (Xi) di′=(Xi-42)/7 fidi′17.5 – 24.5 5 21 (21-42)/7 = -3 -1524.5 – 31.5 8 28 -2 -1631.5 – 38.5 16 35 -1 -1638.5 – 45.5 12 42 0 045.5 – 52.5 12 49 1 1252.5 – 59.5 4 56 2 859.5 – 66.5 3 63 3 9

รวม 60 0 -18

µ = A +

= 42 + [(-18)(7)] / 60

= 42-2.1

= 39.9 ป

ดังนั้น อายุเฉลี่ยพนักงานบริษัท ก คือ 39.9 ป

2) ให A = คาคงที่ใด ๆdi = xi - A

คาเฉลี่ยประชากร (µ) = A +

คาเฉลี่ยตัวอยาง ( x ) = A +

หมายเหตุ: ในทางปฏิบัติ จะกําหนดให A = คากึ่งกลางของชั้นที่อยูตรงกลางของจํานวนชั้นทั้งหมด ซ่ึงตารางแจกแจงความถี่จะแบงขอมูลเปน k ชั้น ถา k เปนเลขคี่จะกําหนด A เปนคากึ่งกลางของชั้นที่ (k+1)/2 แตถา k เปนเลขคูจะกําหนด A เปนคากึ่งกลางของชั้นที่ k/2

25

∑

∑

=

=k

1ii

k

1iii

W

XW

Ndf

N

1iii∑

=

′

ตัวอยาง 12 จากตัวอยาง 7 อายุของพนักงานในบริษัท ก จํานวน 60 คน (I=7 A=42)

ขอบเขตจํากัดชั้น ความถี่ (fi) คากึ่งกลาง (Xi) di′= Xi-42 fidi′

17.5 – 24.5 5 21 21-42 = -21 -105

24.5 – 31.5 8 28 -14 -112

31.5 – 38.5 16 35 -7 -112

38.5 – 45.5 12 42 0 0

45.5 – 52.5 12 49 7 84

52.5 – 59.5 4 56 14 56

59.5 – 66.5 3 63 21 63

รวม 60 0 -126

µ = A +

= 42 + (-126 / 60)

= 42 – 2.1

= 39.9 ป

ดังนั้น อายุเฉลี่ยพนักงานบริษัท ก คือ 39.9 ป

4.1.3 คาเฉล่ียแบบถวงน้ําหนัก (Weighted Mean)

ใชในกรณีที่ขอมูลที่นํามาศึกษามีความสําคัญไมเทากัน จึงตองถวงน้ําหนักตามความสําคัญ

คาเฉลี่ยแบบถวงน้ําหนัก X =

โดยที่ Xi เปนคาของขอมูลตัวที่ i ; i = 1, 2, 3,…, k

Wi เปนคาน้ําหนักของขอมูลตัวที่ i

26

∑

∑

=

=r

1ii

r

1iii

n

xn

∑

∑

=

=k

1ii

k

1iii

W

XW

ถาเปรยีบเทยีบการหาคาเฉลีย่เลขคณติกบัคาเฉลีย่แบบถวงน้าํหนกั ในกรณขีอมลูมกีารจดักลุม จะพบวา คาความถี่ (fi) เปรียบเสมือนคาถวงน้ําหนัก (Wi)

ตัวอยาง 13 นายธวัชชัยไดสอบเขาทํางานในบริษัท ก วิชาที่สอบไดแก บัญชี อังกฤษ และความรูรอบตัว โดยมีหนวยกิตในแตละวิชาดังนี้ 3, 3, 2 ตามลําดับ อยากทราบวา นายธวัชชัยจะไดคะแนนเทาไร ถาสอบไดวิชาบัญชี 65 คะแนน อังกฤษ 82 คะแนน และความรูรอบตัว 79 คะแนน

วิธีทํา X =

= [ 3(65) + 3(82) + 2(79) ] / (3 + 3 + 2) = (195 + 246 + 158) / 8

= 599 / 8= 74.875

ดังนั้น นายธวัชชัยไดคะแนนเฉลี่ย 74.875 คะแนน

4.1.4 คาเฉล่ียรวม (Combined Mean)

ใชเพื่อตองการทราบคาเฉลี่ยรวมจากขอมูลหลาย ๆ ชุด ที่มีการคํานวณคาเฉลี่ยไวแลว

x =

27

∑

∑

=

=r

1ii

r

1iii

n

xn

nxlog

n

1ii∑

=

ตัวอยาง 14 การสํารวจรายจายของคนที่มีอาชีพตาง ๆ จํานวน 390 ครัวเรือน ดังนี้

อาชีพ จํานวน (บาท) ครัวเรือนตัวอยาง คาขาย 33,654 70 รับราชการ/รัฐวิสาหกิจ 23,104 80 พนักงานบริษัท 32,354 60 นักศึกษา 12,295 100 อื่น ๆ 23,252 80

รวม 390

วิธีทํา จาก x =

= [70(33,654) + 80(23,104) +…+ 80(23,252)] / 390= 9,235,000 / 390= 23,679.49 บาท

ดังนั้น รายจายเฉลี่ยตอครัวเรือน 23,679.49 บาท

4.1.5 มัชฌิมเรขาคณิต (Geometric Mean)มชัฌมิเรขาคณติ หมายถงึ คากลางของขอมลูทีเ่กดิจากการถอดรากที ่ N ของขอมลู N คา เราจะ

ใชมัชฌิมเรขาคณิต ในการหาคากลางของขอมูลที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลง1) ขอมูลท่ีไมไดจัดกลุม ถามีขอมูล x1, x2, x3, …, xn รวม n ตัว

มัชฌิมเรขาคณิต (G) = nn321 x...xxx

เรามักใชลอการิทึมชวย ดังนี้ Log G =

=

แลวใช Antilog หาคา G

log x1 + log x2 + log x3 + … + log xn

n

28

n afa

3f3

2f2

1f1 x...xxx

nxlogf

n

1iii∑

=

nxlog

n

1ii∑

=

∑=

=a

1iifn

2) ขอมูลท่ีจัดกลุม ถามีขอมูล x1, x2, x3, …, xa ปรากฏขึ้นรวม f1, f2, f3, … fa ครั้ง ตามลําดับ โดย

มัชฌิมเรขาคณิต (G) =

Log G =

=

แลวใช Antilog หาคา G

ตัวอยางที่ 15 อัตราเงินเฟอ 7 ปติดตอกัน มีคาเปนรอยละ 1.8, 2.2, 2.7, 2.9, 3.4, 3.6 และ 4.3 อยากทราบวามีอัตราเงินเฟอเฉลี่ยเทาไร

วิธีทํา จาก Log G =

=

=

=

= 0.4590

Anti-log G = 2.877

นั่นคือ อัตราเงินเฟอเฉลี่ย = 2.877 %

f1log x1 + f2log x2 + f3log x3 + … + falog xa

n

log 1.8+log 2.2+log 2.7+log 2.9+log 3.4+log 3.6+log 4.37

0.2553+0.3424+0.4314+0.4624+0.5315+0.5563+0.63357

3.21287

29

∑=

n

1i ix1

n

∑=

n

1i i

ixf

n

∑=

n

1i ix1

n

∑=

=a

1iifn

4.1.6 มัชฌิมฮารโมนิค (Harmonic Mean)

เปนสวนกลับของมัชฌิมเลขคณิตของสวนกลับของคาขอมูล ใชในการหาคากลางของขอมูลที่ประกอบดวยอัตราเร็วตาง ๆ ที่เคลื่อนที่ในระยะทางที่เทากัน หรือใชคํานวณหาราคาเฉลี่ยของส่ิงของตาง ๆ ที่ซ้ือมาภายในวงเงินเดียวกัน

1) ขอมูลท่ีไมไดจัดกลุม ถามีขอมูล x1, x2, x3, …, xn รวม n ตัว

มัชฌิมฮารโมนิค (H) =

2) ขอมูลท่ีจัดกลุม ถามีขอมูล x1, x2, x3, …, xa ปรากฏขึ้นรวม f1, f2, f3, … fa ครั้ง ตามลําดับ โดย

มัชฌิมฮารโมนิค (H) =

ตัวอยาง16 ราคากาแฟสาํเรจ็รปูชนดิหนึง่ ขนาด 500 กรมั ซ่ึงซือ้ 3 ครัง้ หางครัง้ละ 1 เดอืน มิถุนายน ราคา 76 บาท กรกฎาคม ราคา 81 บาท และสิงหาคม ราคา 83 บาท อยากทราบวากาแฟสําเร็จรูปชนิดนี้มีราคาเฉลี่ยเทาไร

วิธีทํา จาก H =

H =

=

= 79.89นั่นคือ กาแฟสําเร็จรูปชนิดนี้มีราคาเฉลี่ย 79.89 บาท

31 + 1 + 1

76 81 83

30.0376

30

∑

∑

=

=a

1i ii

a

1ii

vs

s

∑

∑

=

=a

1i ii

a

1ii

vs

s

กรณทีีข่อมลูประกอบดวยอัตราเรว็ตาง ๆ ทีเ่คลือ่นทีใ่นระยะทางทีแ่ตกตางกนั ตองใชคาเฉลีย่ฮารโมนิคถวงน้ําหนัก (Weighted Harmonic Mean) ดังนี้

ถาเคลื่อนที่ในระยะทาง s1, s2, s3, … , sa ดวยอัตราเร็ว v1, v2, v3, …, va แลว

W.H. =

ตัวอยาง 17 เครื่องบินลําหนึ่งบินไดระยะทาง 2,500 1,700 และ 800 ไมล ดวยอัตรา 550420 และ 240 ไมลตอช่ัวโมง ตามลําดับ อยากทราบอัตราเร็วเฉลี่ยของการบิน

ครั้งนี้

วิธีทํา จาก W.H. =

W.H. =

=

= 419.24นั่นคือ อัตราเร็วเฉลี่ยของการบินครั้งนี้ = 419.24 ไมลตอช่ัวโมง

2,500 + 1,700 + 8002,500 + 1,700 + 800 550 420 240

5,00011.926

31

4.2 มัธยฐาน (Median)มัธยฐาน คือ คาของขอมูลที่มีตําแหนงอยูตรงกลางของชุดขอมูล เมื่อเรียงลําดับขอมูลจาก

มากไปหานอย หรือนอยไปหามากแลว สามารถคํานวณได 2 กรณี คือ4.2.1 ขอมูลไมไดจัดกลุม

4.2.1.1 จํานวนขอมูลเปนเลขคี่คาของขอมูลอยูที่ตําแหนง = (N + 1) / 2

ตัวอยาง 18 รายจายของเกษตรกรจํานวน 7 ครัวเรือน ในหมูบานแหงหนึ่ง มีดังนี้ 36,420 19,877 27,853 21,436 29,472 31,025 25,320 บาท อยากทราบวาคามัธยฐานรายจายของเกษตรกรทั้ง 7 ครัวเรือน

วิธีทํา เรียงลําดับคาจากนอยไปหามาก ไดดังนี้19,877 21,436 25,320 27,853 29,472 31,025 36,420

คาของขอมูลอยูที่ตําแหนง = (N + 1) / 2 = (7 + 1) / 2 = 4

ดังนั้น คามัธยฐานรายจายของเกษตรกร คือ 27,853 บาท

4.2.1.2 จํานวนขอมูลเปนเลขคูคามธัยฐานเทากบัคาเฉลีย่ระหวางขอมลูทีอ่ยูตาํแหนงที ่ N/2 และตาํแหนงที ่(N/2)+1

ตัวอยาง 19 คะแนนของพนักงานที่ไดรับการประเมินจากหัวหนาในบริษัท ก จํานวน 10 คนมีดังนี้ 82 79 86 90 71 65 96 77 85 89 ใหหาคามัธยฐานของขอมูลนี้

วิธีทํา เรียงลําดับขอมูลจากนอยไปมากได65 71 77 79 82 85 86 89 90 96คามัธยฐาน = คาเฉลี่ยระหวางขอมูลที่อยูตําแหนงที่ N / 2 และ (N / 2) + 1

= 10 / 2 , (10 /2 ) + 1= 5 , 6

ดังนั้น คามัธยฐาน จะอยูระหวาง 82 และ 85 นั่นคือ (82+85)/2 = 83.5

32

4.2.2 ขอมูลจัดกลุมช้ันที่มีมัธยฐานอยู คือ ช้ันแรกที่มีความถี่สะสมมากกวา N / 2 สามารถคํานวณได 2 วิธี คือ

4.2.2.1 การเทียบบัญญัติไตรยางค

ตัวอยาง 20 จากตัวอยาง 7 อายุของพนักงานในบริษัท ก จํานวน 60 คน

ชั้นท่ี ขอบเขตจํากัดชั้น คากึ่งกลาง ความถี่ ความถี่สะสม1 17.5 – 24.5 21 5 52 24.5 – 31.5 28 8 133 31.5 – 38.5 35 16 294 38.5 – 45.5 42 12 415 45.5 – 52.5 49 12 536 52.5 – 59.5 56 4 577 59.5 – 66.5 63 3 60

รวม 60

วิธีทํา ช้ันที่มีความถี่สะสมมากกวา 60/2 = 30 คือ ช้ันที่ 4ความถี่สะสมที่ 30 จะอยูลําดับที่ 30-29 = 1 ในชั้นที่ 4ช้ันที่ 4 มีความถี่ 12 หนวย ความกวางของชั้นเปน 7

ความถี่ 1 หนวย ความกวางของชั้นเปน 7 / 12 = 0.58มัธยฐาน = ขอบเขตจํากัดลางของชั้นที่ 3 + 0.58

= 38.5 + 0.58 = 39.08 ป

4.2.2 ใชสูตรMedian (Med) =

โดยที่ L = คาขอบเขตจํากัดลางของชั้นที่มีคามัธยฐานอยู CF = ความถี่สะสมของชั้นที่มีคามัธยฐานอยู f = ความถี่ของชั้นที่มีคามัธยฐานอยู

I = ความกวางของชั้น

f)CF2

N(IL

−+

33

ตัวอยาง 21 จากตัวอยาง 20 N = 60 L = 38.5 CF = 29 f = 12 I = 7

Med = f)CF2

N(IL

−+

N / 2 = 60/2 = 30Med = 38.5 + 7( 30 – 29)/12

= 38.5 + 7(0.083 )= 38.5 + 0.583= 39.08

ดังนั้น คามัธยฐาน คือ 39.08 ป

ขอดีของมัธยฐาน คือ ถาขอมูลมีคาผิดปกติ คามัธยฐานจะไมถูกกระทบกระเทือนขอเสียของมัธยฐาน คือ ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณ

4.3 ฐานนิยม (Mode)

ฐานนิยม หมายถึง คาของขอมูลที่เกิดขึ้นบอย ๆ หรือมีความถี่สูงสุด ในการคํานวณกระทําได2 กรณี ดังนี้

4.3.1 ขอมูลไมไดจัดกลุมฐานนิยมเปนคาของขอมูลที่เกิดขึ้นหลาย ๆ ครั้ง หรือเกิดซ้ํา ๆ

ตัวอยาง 22 จากตัวอยาง 6

จํานวนรถยนตตอครัวเรือน 0 1 2 3 4 5 6ความถี่ 5 8 6 6 3 1 1

ดังนั้น คามัธยฐาน = 1 (ความถี่สูงสุด = 8)

34

)ff()ff(ffIL

AMBM

BM−+−

−+

4.3.2 ขอมูลจัดกลุม

ฐานนิยมเปนคาของขอมูลที่มีความถี่สูงสุด

ฐานนิยม (Mode) =

โดยที่L = ขอบเขตจํากัดลางของชั้นที่มีความถี่สูงสุด

fM = ความถี่ของชั้นที่มีความถี่สูงสุดfB = ความถี่ของชั้นกอนชั้นที่มีความถี่สูงสุดfA = ความถี่ของชั้นหลังชั้นที่มีความถี่สูงสุดI = ความกวางของชั้น

ตัวอยาง 23 จากตัวอยาง 7 สํารวจอายุของพนักงานในบริษัท ก จํานวน 60 คน

ขอบเขตจํากัดชั้น ความถี่17.5 - 24.5 524.5 – 31.5 831.5 – 38.5 1638.5 – 45.5 1245.5 – 52.5 1252.5 – 59.5 459.5 – 66.5 3รวม 60

วิธีทํา L = 31.5 fM= 16 fB= 8 fA =12 I = 7ฐานนิยม = 31.5 + 7 [(16-8)/{(16-8)+(16-12)}]

= 31.5 + 7[8/(8+4)]= 31.5 + 4.67= 36.17 ป

35

ModeMedian

Mean

ขอดีของฐานนิยม1) ถาขอมูลมีคาผิดปกติไป จะไมมีผลตอคาฐานนิยม2) ใชกับขอมูลเชิงคุณภาพที่วัดแบบมาตรานามบัญญัติ เชน ความพึงพอใจ(มากที่สุด มาก

ปานกลาง นอย นอยที่สุด) เปนตนขอเสียของฐานนิยม

1) ถาขอมูลไมมีคาซ้ํากัน ก็จะไมมีคาฐานนิยม2) กรณีที่ขอมูลจัดกลุม ถาการจําแนกชั้นเปลี่ยนไปคาฐานนิยม ก็จะเปลี่ยนไปดวย3) ในขอมูลชุดหนึ่ง ๆ อาจมีคาฐานนิยมมากกวา 1 คา (ถาขอมูลมีฐานนิยม 2 คา เรียกวา

Bi-model ถาขอมูลมีฐานนิยมมากกวา 2 คาขึ้นไป เรียกวา Multi-model)

4.4 ความสัมพันธของคาเฉล่ีย คามัธยฐาน และคาฐานนิยม4.4.1 ขอมูลที่มีลักษณะแบบสมมาตร (Symmetry) เปนขอมูลที่มีการเบี่ยงเบนจากคากลางไปทาง

บวกและลบเทากัน ( คาเฉลี่ย (Mean) = คามัธยฐาน (Median) = คาฐานนิยม (Mode) )

4.4.2. ขอมูลที่มีลักษณะแบบเบขวา (Skew to the right หรือ Positively Skewed) เปนขอมูลที่ สวนใหญมีคานอย ( คาเฉลี่ย (Mean) > คามัธยฐาน (Median) > คาฐานนิยม (Mode) )

MeanMedianMode

36

sdModex −คาเฉลี่ย – ฐานนิยม

สวนเบี่ยงเบนมาตร3(คาเฉลี่ย – มัธยฐาน)สวนเบี่ยงเบนมาตร sd

)Medx(3 −

4.4.3 ขอมลูทีม่ลัีกษณะแบบเบซาย (Skew to the left หรือ Negatively Skewed) เปนขอมลูทีส่วนใหญมีคามาก ( คาเฉลี่ย (Mean) < คามัธยฐาน (Median) < คาฐานนิยม (Mode) )

4.4.4 สูตรความสัมพันธ กรณีที่ขอมูลมีลักษณะไมสมมาตร (เบซายหรือเบขวา)Mean – Mode = 3 (Mean - Med)

หรือ Mode = 3 Med – 2 Mean

4.4.5 ความเบ (Skewness) คือ ขนาดของความไมสมมาตรของขอมูล ซ่ึงคาของความเบจะอยูระหวาง –3 ถึง 3

ความเบ = =

หรือ = =

4.5 การเลือกใชคาเฉล่ีย คามัธยฐาน และคาฐานนิยม1) คาเฉลี่ย ควรใชเมื่อ

- ขอมูลควรอยูในมาตราอันตรภาค (Interval Scale) หรือ มาตราอัตราสวน (Ratio Scale)- ขอมูลมีลักษณะสมมาตร คาเฉลี่ยจะเปนตัวแทนที่ดีที่สุด (แตสามารถใชไดทั้ง 3 คา เนื่อง

จากคาทั้ง 3 เทากัน)- นําคาเฉลี่ยไปใชในการหาคาสถิติอ่ืน ๆ เชน การหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เปนตน

2) คามัธยฐาน ควรใชเมื่อ- ขอมลูทีว่ดัแบบมาตราเรยีงอนัดบั (Ordinal Scale) ซ่ึงจะคาํนงึถึงการเรยีงลําดบัของขอมลู- ขอมูลที่มีลักษณะไมสมมาตร

3) คาฐานนิยม ควรใชเมื่อ- ขอมูลเปนขอมูลเชิงคุณภาพแบบมาตรานามบัญญัติ (Nominal Scale)- ตองการทราบคาความถี่เทานั้น

MedianModeMean

37

5. การวัดการกระจาย

การวัดการกระจาย (Measure of Variation) เปนการบอกถงึความแตกตางหรอืลักษณะการกระจายของขอมลู และใชเปนปจจยัในการตดัสนิใจในการเลือกใชชุดขอมูลที่เหมาะสม มีวิธีการหาได ดังนี้

- พิสัย (Range)- สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation หรือ Average Deviation)- ความแปรปรวน (Variance) และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)- กึ่งพิสัยควอไทล (Semi-Inter Quartile Range)- สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน (Coefficient of Variation)

5.1 พิสัย (Range)

เปนการวัดการกระจายอยางหยาบ ซ่ึงมีวิธีคํานวณที่งายที่สุด

5.1.1 ขอมูลไมไดจัดกลุมคาพิสัย (R) = คาสูงสุด - คาต่ําสุด

5.1.2 ขอมูลจัดกลุมคาพิสัย (R) = คาสูงสุดของชั้นที่มีคามากที่สุด – คาต่ําสุดของชั้นที่มีคานอยที่สุด

ตัวอยาง 24 จากตัวอยาง 7 สํารวจอายุพนักงานบริษัท ก (คาสูงสุดของชั้นที่มีคามากที่สุดเปน 66.5คาต่ําสุดของชั้นที่มีคานอยที่สุดเปน 17.5)

คาพิสัย (R) = คาสูงสุดของชั้นที่มีคามากที่สุด – คาต่ําสุดของชั้นที่มีคานอยที่สุด= 66.5 – 17.5= 49

5.2 สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation : MD หรือ Average Deviation : AD)

เปนการวัดการกระจายหรือความแตกตางเฉลี่ยระหวางขอมูลกับคาเฉลี่ยที่คํานวณจากทุกคาของขอมูล คํานวณได 2 กรณี ดังนี้

39

N

XXN

1ii∑

=−

∑

∑

=

=−

N

1ii

N

1iii

f

XXf

∑

∑

=

=−

N

1ii

N

1iii

f

XXf

609.39633...9.3935169.392889.39215 −++−+−+−

5.2.1 ขอมูลไมไดจัดกลุม

MD =5.2.2 ขอมูลจัดกลุม

MD =

ตัวอยาง 25 จากตัวอยาง 10 อายุของพนักงานในบริษัท ก จํานวน 60 คน โดยมีอายุของพนักงานเฉลี่ย 39.9 ป อยากทราบวามีสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยอายุของพนักงานเทาไร

ขอบเขตจํากัดชั้น ความถี่ (fi) คากึ่งกลาง (Xi) fiXi

17.5 – 24.5 5 21 10524.5 – 31.5 8 28 22431.5 – 38.5 16 35 56038.5 – 45.5 12 42 50445.5 – 52.5 12 49 58852.5 – 59.5 4 56 22459.5 – 66.5 3 63 189

รวม 60 2,394

วิธีทํา จาก MD =

MD =

MD =

= 8.937นั่นคือ สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยอายุของพนักงานบริษัท ก = 8.937 ป

536.260

40

N)X(

N

1i

2i∑

=µ−

1n)xx(

n

1i

2i

−−∑

=

2

n

1i

2i

x1nx−−

∑=

2

N

1i

2i

NX

µ−∑=

2

N

1i

2i

NX

µ−∑=

2

n

1i

2i

x1nx−−

∑=

5.3 ความแปรปรวน (Variance) และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ความแปรปรวน เปนการวัดที่ชี้ใหเห็นถึงการกระจายของขอมูลวามีความหางจากคาเฉลี่ยมากนอยเพียงใด ถาความแปรปรวนนอย ก็แสดงวาลักษณะของขอมูลที่รวบรวมมามีความแตกตางกันไมมาก แตถาความแปรปรวนมากลักษณะของขอมูลที่รวบรวมมามีความแตกตางกันมาก ซึ่งถานําคาความแปรปรวนที่มีแตกตางมากไปประมาณคาประชากร จะทําใหเกิดความคลาดเคลื่อนมาก

ความแปรปรวน จะใชวดัสวนเบีย่งเบนกาํลงัสอง ทาํใหหนวยของความแปรปรวนเปนกาํลงัสองดวย และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเปนรากที่สองของความแปรปรวน โดยคํานวณได 2 กรณี คือ

5.3.1 ขอมูลไมไดจัดกลุม

ความแปรปรวนของประชากร = σ2 =

=

ความแปรปรวนของตัวอยาง = SD2 =

=

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร = σ =

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอยาง = SD =

41

N)X(f

N

1i

2ii∑

=µ−

1n)xx(f

n

1i

2ii

−−∑

=

2

N

1i

2ii

N)Xf(µ−

∑=

1n)xx(

n

1i

2i

−−∑

=

2

n

1i

2ii

x1n)xf(−−

∑=

2

N

1i

2ii

N)Xf(

µ−∑=

2

n

1i

2ii

x1n)xf(−−

∑=

ตัวอยาง 26 จากตัวอยาง 9 สุมตัวอยาง 30 คน คาเฉลี่ยของความสูงเปน 158.83 ซม.

SD2 =

= [(162-158.83)2+(170-158.83)2+ … +(185-158.83)2)] /(30-1) = [(3.17)2+(11.17)2+…+(26.17)2] / 29 = 346.006SD = √346.006 = 18.60

ดังนั้น ความแปรปรวนความสูงของคนไทยที่มีอายุ 30 ป = 346.006 ซม.2

และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 18.60 ซม.5.3.2 ขอมูลจัดกลุม

ความแปรปรวนของประชากร = σ2 =

=

ความแปรปรวนของตัวอยาง = SD2 =

=

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร = σ =

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอยาง = SD =

42

2

N

1i

2ii

N)Xf(µ−

∑=

ตัวอยาง 27 จากตัวอยาง 10 อายุเฉลี่ยของพนักงานบริษัท ก เทากับ 39.9 ป

ขอบเขตจํากัดชั้น ความถี่ (fi) คากึ่งกลาง (Xi) Xi2 fiXi

2

17.5 – 24.5 5 21 441 2,205

24.5 – 31.5 8 28 784 6,272

31.5 – 38.5 16 35 1,225 19,600

38.5 – 45.5 12 42 1,764 21,168

45.5 – 52.5 12 49 2,401 28,812

52.5 – 59.5 4 56 3,136 12,544

59.5 – 66.5 3 63 3,969 11,907

รวม 60 102,508

σ2 =

= (102,508 / 60) - (39.9)2

= 1,708.47 – 1,592.01= 116.46

ดังนั้น ความแปรปรวนของความสูงของคนไทยที่มีอายุ 30 ป = 116.46 ซม.2

และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = √116.46 = 10.79 ซม.

สิ่งท่ีควรทราบเกี่ยวกับความแปรปรวนและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน1. การนาํคาคงทีไ่ปบวกหรอืลบกบัแตละคาของขอมลูชดุหนึง่ ๆ ความแปรปรวนของขอมลู

ชุดใหมที่ได จะเทากับความแปรปรวนของขอมูลชุดเดิม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดใหมจะเทากับสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดเดิม

2. การนาํคาคงทีไ่ปคณูหรอืหารกบัแตละคาของขอมลูชดุหนึง่ ๆ ความแปรปรวนของขอมลูชุดใหมที่ได จะเทากับความแปรปรวนของขอมูลชุดเดิมคูณหรือหารดวยกําลังสองของคาคงทีน่ัน้ และสวนเบีย่งเบนมาตรฐานของขอมลูชดุใหมจะเทากบัสวนเบีย่งเบนมาตรฐานของขอมูลชุดเดิมคูณหรือหารดวยคาคงที่นั้น

43

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานคาเฉลี่ย

5.4 ก่ึงพิสัยควอรไทล (Semi-Inter Quartile Range)

เปนคาแตกตางระหวางควอไทลบน (Q3) และควอไทลลาง(Q1) ใชวัดการกระจายของขอมูลแตไมเปนที่นิยม เนื่องจากไมไดนําขอมูลทุกตัวมาใช

กึ่งพิสัยควอไทล = (Q3 – Q1)/2

5.5 สัมประสิทธ์ิของความแปรผัน (Coefficient of Variation)

เปนการแสดงถึงลักษณะการกระจายของขอมูล ใชในการเปรียบเทียบการกระจายของขอมูลตั้งแต 2 ชุดขึ้นไปที่มีหนวยวัดของขอมูลแตละชุดที่ตางกัน และคาที่ไดไมมีหนวย

สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน (CV) =

ตัวอยาง 28 ในหมูบานแหงหนึ่ง ตองการทราบการกระจายขอมูลรายไดของชาวนาและชาวสวนโดยมีขอมูล ดังนี้รายไดเฉลี่ยของชาวนา = 54,376 บาทตอป สวนเบี่ยงเบน = 111.6 บาทตอปรายไดเฉลี่ยของชาวสวน = 72,413 บาทตอป สวนเบี่ยงเบน = 132.1 บาทตอป

วิธีทํา CV รายไดของชาวนา = 111.6 / 54,376= 0.00205 ≈ 0.205 %

CV รายไดของชาวสวน = 132.1 / 72,413= 0.00182 ≈ 0.182 %

จะไดวา การกระจายขอมูลรายไดของชาวนาสูงกวาของชาวสวนนั่นคือ ขอมูลรายไดของชาวนามีการกระจายมากกวาขอมูลรายไดของชาวสวน

44

x

sdxx

Zi

i−

=

6. คะแนนมาตรฐาน

คะแนนมาตรฐาน (Standard Score) ใชในการเปรยีบเทยีบขอมลูตัง้แต 2 ชดุขึน้ไป จะมหีนวยของขอมูลเหมือนกันหรือตางกันก็ได ในการเปรียบเทียบขอมูลจะตองทาํใหขอมูลเปนรูปแบบเดียวกันกอน (เนือ่งจากขอมลูแตละชดุนัน้มรูีปแบบการคาํนวณทีแ่ตกตางกนั) ซึ่งมีวิธีการแปลงขอมูลไดหลายวิธี ดังนี้

- คะแนนมาตรฐานแบบ Z (Z-Score)- คะแนนมาตรฐานแบบ T (T-Score)- คะแนนมาตรฐานรวมแบบใชน้ําหนัก

6.1 คะแนนมาตรฐานแบบ Z (Z-Score)

เปนการแปลงขอมูลที่รวบรวมมา ใหมีคะแนนเฉลี่ยเทากับ 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 1 ดังสูตร

เมื่อ Zi เปนคะแนนมาตรฐาน เปนคาเฉลี่ยของขอมูล

sd เปนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตัวอยาง 29 การสํารวจคาใชจายตอเดือนของครัวเรือนในหมูบานแหงหนึ่ง มีคาเฉลี่ย 5,162 บาท และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 139 บาท อยากทราบวาครัวเรือนใดมีคาใชจายมากที่สุด โดยครัวเรือนนาย ก มีคาใชจาย 5,310 บาท ครัวเรือนนาย ข มีคาใชจาย 4,827 บาท และครัวเรือนนาย ค มีคาใชจาย 5,086 บาท

วิธีทํา จาก

Z นาย ก = (5,310-5,162) / 139 = 1.065Z นาย ข = (4,827-5,162) / 139 = -2.41Z นาย ค = (5,086-5,162) / 139 = -0.55

sdxx

Zi

i−

=

45

sdxx

Zi

i−

=

จากคา Z-Score ทีไ่ดจะเหน็วา ครวัเรอืนนาย ก มคีา Z-Score มากทีส่ดุ รองลงมาเปนครวัเรอืนนาย ค และครัวเรือนนาย ข ตามลําดับ

ดังนั้น ครัวเรือนนาย ก จึงมีคาใชจายมากที่สุด

6.2 คะแนนมาตรฐานแบบ T (T-Score)

เนื่องจากคะแนนมาตรฐานแบบ Z มีทั้งคาบวกและคาลบ จะแปลความหมายไดยาก จึงทําใหเกดิคะแนนมาตรฐานแบบ T ซึง่ปรบัจากคะแนนมาตรฐานแบบ Z ใหมแีตคาบวก โดยจะแปลงขอมลูทีร่วบรวมมาใหมีคะแนนเฉลี่ยเทากับ 50 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 10 ดังสูตร

Ti = 10 Zi + 50 เมื่อ

ตัวอยาง 30 จากโจทยตัวอยาง 29วิธีทํา จาก Ti = 10 Zi + 50

T ครัวเรือนนาย ก = 10(1.065) + 50 = 60.65T ครัวเรือนนาย ข = 10(-2.41) + 50 = 25.9T ครัวเรือนนาย ค = 10(-0.55) + 50 = 44.5

จากคา T-Score ทีไ่ดจะพบวา ครวัเรอืนนาย ก มคีา T-Score มากทีส่ดุ รองลงมาเปนครัวเรือนนาย ค และครัวเรือนนาย ข ตามลําดับ

ดังนั้น ครัวเรือนนาย ก จึงมีคาใชจายมากที่สุด

ครัวเรือนนาย ข ครัวเรือนนาย ค

0 1 2 3-2-3 -1

ครัวเรือนนาย ก

Z

46

sdxx iZi

−=

∑=

=t

1iii ZWZ

∑

∑

=

== t

1ii

t

1iii

W

ZWZ

6.3 คะแนนมาตรฐานรวมแบบใชน้ําหนัก

ใชในการเปรยีบเทยีบคะแนนของนกัเรยีนแตละคน โดยคดิคะแนนรวมจากคะแนนมาตรฐานและน้ําหนักของแตละวิชา ดังสูตร

เมื่อ

Wi เปนน้ําหนักที่กําหนดของคะแนนมาตรฐาน Zi

t เปนจํานวนคะแนนมาตรฐานที่นํามาคิด Z เปนคะแนนมาตรฐานรวมแบบใชน้ําหนัก

คะแนนมาตรฐานรวมเฉลี่ยแบบใชน้ําหนัก

ตัวอยาง 31 คะแนนมาตรฐานแบบ Z ของนักเรียน ในหมวดวิชาตาง ๆ

คะแนนมาตรฐานนั

กเรียนคณิ

ตศาสตรวิทยาศาสตร ภาษาอังกฤษ ภาษาไทย สังคมศึกษา

น 1.00 1.08 0.18 -1.11 -0.60ว -0.29 -0.67 1.05 -0.11 0.60ม 0.59 0.92 -1.27 0.61 0.00

โดยความสาํคญัของวชิาคณติศาสตร วทิยาศาสตร ภาษาองักฤษ ภาษาไทย และสงัคมศกึษามอีตัราสวนเปน 10:10:9:4:4 อยากทราบวาใครสอบไดคะแนนดีกวากัน

วิธีทํา จาก

∑

∑

=

== t

1ii

t

1iii

W

ZWZ

47

∑=

t

1iiW = 10+10+9+4+4 = 37

คะแนนมาตรฐานเฉลี่ยของ น = [10(1.00)+10(1.08)+9(0.18)+4(-1.11)+4(-0.60)] / 37 = 15.58 / 37 = 0.42

คะแนนมาตรฐานเฉลี่ยของ ว = [10(-0.29)+10(-0.67)+9(1.05)+4(-0.11)+4(0.60)] / 37 = 1.81 / 37 = 0.05

คะแนนมาตรฐานเฉลี่ยของ ม = [10(0.59)+10(0.92)+9(-1.27)+4(0.61)+4(0.00)] / 37 = 6.11 / 37 = 0.17

ดังนั้น น สอบไดคะแนนดีกวา ว และ ม และ ม สอบไดคะแนนดีกวา ว

ทุกวันนี้ จะทําอะไรกันทีก็ตองใชขอมูลมาชี้ มาวัดทั้งนั้นแหละ ถาอยากไดขอมูลดี ๆ ลองมาเที่ยวบานเราซิ มีขอมลเยอะ

48

ภาคผนวก

ความหมายของคําประชากร (Population, Universe) หมายถงึ หนวยทัง้หมดของสิง่ตาง ๆ ทีต่องการจะศกึษา

หรือหาขอมูล เชน ประชากรทั้งหมด ครัวเรือนทัง้หมด โรงงานอตุสาหกรรมทัง้หมด เปนตน ถาในประชากรนั้นประกอบไปดวยจํานวนหนวยที่นับไดแนนอน ก็เรียกวา Finite Population แตถาในประชากรนั้นประกอบไปดวยจํานวนหนวยที่นับจํานวนไมไดแนนอน ก็เรียกวา Infinite Population

ตัวอยาง (Sample) หมายถงึ สวนหนึง่ของประชากรทีถู่กเลอืกขึน้มาเปนตวัแทนของประชากรนั้น ๆ แลวนําขอมูลที่ไดไปประมาณคาหรือสรุปไปใชอางอิงกับประชากร

หนวยตัวอยาง (Sampling Unit) หมายถงึ หนวยทีก่าํหนดขึน้เพือ่ใชในการเลอืกตวัอยาง เชนครัวเรือน หมูบาน เปนตน

ขอมูล (Data) หมายถงึ ลักษณะหรอืคณุสมบตัขิองสิง่ตางๆ ทีเ่กบ็รวบรวมมาเพื่อทําการศึกษา วิเคราะห หาขอสรุป

ขอมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data) ไดแก ขอมลูทีแ่สดงขอเทจ็จรงิเกีย่วกบัหนวยตวัอยางทีเ่ปนปริมาณวัดไดเปนตัวเลข เชน ความสูง อายุ เปนตน

ขอมูลเชิงคุณภาพ (Quanlitative Data) ไดแก ขอมูลที่แสดงขอเท็จจริงเกี่ยวกับหนวยตัวอยางเปนคุณสมบัติไมสามารถวัดเปนตัวเลขได เชน เพศ สีผม เปนตน

มาตรานามบัญญัติ (Nominal Scale) เปนการวัดในลักษณะของการจําแนกสิ่งตาง ๆ ออกเปนจําพวก ประเภท หรือชนิด ตามลักษณะหรือคุณสมบัติ หรือคุณภาพ อาจกําหนดเปนชื่อ หรือเปนตัวเลขใหกับการจําแนกนั้น ๆ เชน จําแนกคนตามเพศ กําหนดชื่อเปน ชาย หญิง เปนตน

-1-

มาตราเรียงอันดับ (Ordinal Scale) เปนการวดัในลกัษณะของการเปรยีบเทยีบภายในกลุม โดยกาํหนดอนัดบัทีใ่หกบัสิง่ตางๆ ตามลกัษณะหรอืคณุสมบตัิหรือคณุภาพของสิง่นัน้ ๆ จะวดัเกีย่วกบั ความสวย ความดีความซื่อสัตย เปนตน ซึ่งไมสามารถบอกความแตกตางในเชิงปริมาณได

มาตราอันตรภาค (Interval Scale) เปนการวดัทีม่กีารแบงเปนชวงๆ แตละชวงมขีนาดเทาๆ กนัโดยมีจุดเริ่มตนที่เปนศูนยไมแท (Arbitrary Zero) นั่นคือ ศูนยนี้ไมไดหมายหมายความวา ไมมีคา ในการวัดนี้จะบอกไดวาสิ่งใดมีปริมาณมากกวาสิ่งใด แตไมสามารถบอกไดวาเปนกี่เทาของสิ่งนั้น เชน อุณหภูมิของน้ําในแกวมี 20 ๐C อุณหภูมิของน้ําในกาตมน้ํามี 80 ๐C ผลการวัดจะบอกไดวาอุณหภูมิของน้ําในกาสูงกวาอุณหภูมิของน้ําในแกว 60 ๐C แตไมไดหมายความวาอุณหภูมิของน้ําในกาสูงกวาในแกว 4 เทา เปนตน

มาตราอัตราสวน (Ratio Scale) เปนการวัดที่มีการแบงเปนชวง ๆ แตละชวงมีขนาดเทากันตลอด โดยมีจุดเริ่มตนที่เปนศูนยแท (Absolute Zero) นั่นคือ ศูนยนี้หมายหมายความวาไมมีคา ในการวัดนี้จะบอกไดวาสิ่งใดมีปริมาณมากกวาสิ่งใด และสามารถบอกไดวาเปนกี่เทาของสิ่งนั้น

ความถี่ (Frequency) คือ จํานวนคะแนนแตละคาหรือแตละชั้นคะแนน

ความถี่สะสม (Cumulative Frequency) คอื ผลรวมของความถีจ่ากชัน้ทีห่นึง่ไปจนถงึชัน้ทีต่องการ

การกระจาย (Distribution) หมายถึง ความแตกตางของขอมูลในชุดหนึ่ง ๆ

-2-

-3-

-4-

บรรณานุกรม

1. HUBERT M.BLALOCK ; SOCIAL STATISTICS second edition, 19682. EARL K. BOWEN/MARTIN K.STARR ; BASIC STATISTICS FOR BUSINESS AND ECONOMICS

4th printing , 19873. STANLEY S.LANK; DESCRIPTIVE STATISTICS , 19684. WILLIAM L. HAYS ; STATISTICS FOR THE SOCIAL SCIENCES second edition, 19725. ดร.ประชุม สุวัตถี ; การวิเคราะหสถิติ , 25286. จรัญ จันทลัขณา และอนันตชัย เขื่อนธรรม ; สถิติเบื้องตน , 25297. ประสบสุข หอมหวลและพัชนี ศิรตานนท; หลักสถิติ, 25328. ดร.มยุรี ศรีชัย ; สถิติพื้นฐาน , 25369. ดร.ชัยสิทธิ์ เฉลิมมีประเสริฐ; สถิติเพื่อการวิเคราะหขอมูล ,253710. นางสุนี ลีโนทัย ; เทคนิคการวิเคราะหขอมูลเบื้องตน , 253911. ดร.กัลยา วานิชยบัญชา ; หลักสถิติ , 254112. อัจฉรีย จันทลักขณา ; หลักสถิติเพื่อการวิเคราะหขอมูลทั่วไป , 254113. วิชัย สุรเชิดเกียรติ และคณะ ; ทฤษฎีและตัวอยางโจทยสถิติ , 254214. ดร.ธีรยุทธ พึ่งเพียร ; สถิติเบื้องตนและการวิจัย , 254315. The World of Math Online ; http://www.math.com16. The Math League ; http://www.mathleague.com17. American community Survey ; http://www.ubalt.edu18. The Math forum ; http://www.mathforum.org