ตัวแบบเช ิงคณิตศาสตรhome.npru.ac.th/teerawat/pdf/math3.pdf ·...

ตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical Modelling)

รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบตร คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

สถาบนราชภฏนครปฐม

คานา

ตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical Modelling) รศ.ธรวฒน นาคะบตร

คานา

ตวแบบเชงคณตศาสตร เปนคณตศาสตรประยกตแขนงหนงทนาคณตศาสตรสาขาตาง ๆ ไปประยกตใชเพอชวยในการแกปญหา การวางแผนงาน หรอการคาดคะเนเหตการณตาง ๆ ในอนาคต คาตอบของตวแบบจะเชอถอไดหรอถกตองตามความเปนจรงมานอยเพยงใดขนอยกบ ขอมลเบองตนทเกบรวบรวมได ขอสมมตฐานทกาหนด การสรางตวแบบทใกลเคยงกบความเปนจรง การตรวจสอบตวแบบ ในตาราเลมน ผเรยบเรยงไดแนะนาใหผอานรจกตวแบบ ตวแบบชนดตาง ๆ โดยเฉพาะอยางยงตวแบบเชงคณตศาสตร การสรางตวแบบเชงคณตศาสตรรปแบบตาง ๆ การตรวจสอบตวแบบ และการจาลองแบบปญหา โดยเนนใหเหนตวอยางทหลากหลาย เพอใหผอานเหนแนวทางในการนาไปประยกตใช ผเรยบเรยงขอขอบคณ สถาบนราชภฏนครปฐม ทใหทนสนบสนนการเรยบเรยงตาราในครงน

รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบตร 9 สงหาคม 2546

สารบญ


สารบญ

หนา คานา สารบญ บทท

1 บทนา 1 2 การสรางตวแบบ 5 3 การตรวจสอบตวแบบ 27 4 ตวแบบดสกรต 39 5 ตวแบบตอเนอง 65 6 ตวแบบชวงเวลา 89 7 การสรางตวแบบอตราการเปลยนแปลง 109 8 การสรางตวแบบโดยใชสมการเชงอนพนธ 131 9 การสรางตวแบบโดยใชอนทเกรต 163 10 การสรางตวแบบโดยใชเลขสม 181 11 การจาลองแบบปญหา 197

บรรณานกรม 217 เฉลยคาตอบ 219

บทท 1 บทนา 1


บทท 1 บทนา (Introduction)

โลกแหงความเปนจรง (Real World) มกจกรรมทตองดาเนนการเปนจานวนมาก ซงในแตละกจกรรมจะมลกษณะงาน ขนาด และความเสยง ในการดาเนนการทแตกตางกน กจกรรมขนาดใหญทใชเงนลงทนสง กจกรรมทไมสามารถลองผดลองถกได หรอกจกรรมทมความเสยงสงมผลกระทบตอชวตและทรพยสนของผคนจานวนมาก กจกรรมลกษณะนจะตองดาเนนการดวยความระมดระวง ตองมการศกษาขอมลเบองตน มการออกแบบ หรอ สราง ตวแบบ (Model) เพอศกษาผลลพธ และวางแผนการดาเนนการทรอบคอบกอนนาไปดาเนนการจรง เพอลดความเสยง ประหยดเวลาและคาใชจายในการดาเนนการ คณตศาสตรเปนวชาหนงทมบทบาทในการเตรยมการในเรองน โดยเฉพาะอยางยง คอ การนามาใชในการสรางตวแบบ

โลกของคณตศาสตร (Mathematical World) เปนโลกของนามธรรมทมการกาหนดสญลกษณแทนนามธรรมเหลานน มการนยามขอตกลงตาง ๆ เพอใชในการศกษาระบบ และพสจนผลทไดเปนกฎหรอทฤษฎเพอการนาไปใช ดงนนการสรางตวแบบเชงคณตศาสตร จงจดวาเปนการจาลองสงทอยในโลกแหงความเปนจรง ใหเปนตวแบบเชงคณตศาสตรทอยในรปนามธรรม และใชกฏเกณฑทางคณตศาสตรหาคาตอบของตวแบบเพอนาผลกลบไปประยกตใชกบโลกแหงความเปนจรง ซงสามารถสรปเปนขนตอนได 6 ขนตอน ดงตอไปน 1. Identify the real 2. Forrmulate a 3. Solve the problem mathematical mathematical

model model 6. Write a report 5. Compare with 4. Interpret the and/or present reality mathematical the result solution

2 บทนา (Introduction)


ขนท 1 ทาความเขาใจปญหา (Identify the real problem) การทาความเขาใจปญหาเปนขนตอนแรกในการสรางตวแบบ ตองวเคราะหใหทราบวา ปญหาคออะไร มอะไรบางทเกยวของกบปญหา มคาถามมากมายทตองทาความเขาใจโจทยปญหาในสถานการณจรง เชน ปญหานตองการทราบอะไร มวตถประสงคและเปาหมายอะไร จะตดสนผลทออกมาอยางไร แหลงขอมลมาจากไหนเชอถอไดหรอไม มคาตอบเปนแบบเดยวหรอไม จาแนกปญหาวาเปน แบบมคาตอบแนนอน(deterministic) หรอ แบบมคาตอบไมแนนอน (stochastic) ตองใชการสรางสถานการณจาลอง (simulation) หรอไม คาถามหรอคาตอบ ดงกลาวมาแลวตอง นยาม กาหนดขอบเขต ใหตรงประเดนและชดเจน ขนท 2 สรางตวแบบเชงคณตศาสตร (Formulate a mathematical model) ขนตอนนเปนขนตอนการสรางตวแบบเชงคณตศาสตร จากปญหาทไดวเคราะหหรอทาใหชดเจนแลวในขนท 1 ทดลองสรางตวแบบทซบซอนนอยทสดกอน เขยนแผนภาพตามความเหมาะสม เขยนรายการปจจยทเกยวของ รวบรวมขอมลและทดสอบเนอหารายละเอยดอธบายพฤตกรรมของตวแปร รวบรวมขอมลเพมเตมถาจาเปน แสดงตวแปรแตละตวดวยสญลกษณทเหมาะสมพรอมทงกาหนดหนวย กาหนดขอสมมตทตองการสราง เขยนความสมพนธและสมการของตวแปรในโจทย โดยใชความรทางคณตศาสตร เชน การเปนสดสวน ความสมพนธเชงเสนและไมเชงเสน ความสมพนธจากการทดลอง หลกการ input-output กฎการเคลอนทของนวตน สมการเชงผลตางและสมการเชงอนพนธ เมทรกซ ความนาจะเปน การกระจายเชงสถต เปนตน ขนท 3 หาผลลพธของตวแบบ (Solve the mathematical model) การหาคาตอบทางคณตศาสตรของตวแบบ อาจจะใชวธเกยวกบพชคณต หรอใชวธเชงตวเลข ใชแคลคลสและกราฟ เขยนโปรแกรมคอมพวเตอร หรอใชโปรแกรมสาเรจรปทเหมาะสม หาคาของตวแปรทตองการ อาจจะเปนรปแบบตารางหรอรปภาพ ขนท 4 แปลความหมายของผลลพธ (Interpret the mathematical solution) ขนตอนนเปนการแปลความหมาย และตรวจสอบผลลพธทหาได จากวธการเชงคณตศาสตร เชน พจารณาคาของตวแปรทหาได วามเครองหมาย และขนาดถกตองหรอไม มคาเพมหรอลดตามทควรจะเปนหรอไม พจารณาคามากและคานอยของตวแปรเพอตรวจสอบ

บทท 1 บทนา 3


พฤตกรรมความไวตอสงกระตน ไดคาตอบทดทสดตามทคาดไวหรอไม หรอตองเปลยน เงอนไขเรมตน ขนท 5 ตรวจสอบผลลพธกบขอมลจรง (Compare with reality) ผลลพธทไดสามารถตรวจสอบกบขอมลจรงไดหรอไม คาตอบเชงคณตศาสตรมความหมายหรอไม การทานายสอดคลองกบขอมลจรงหรอไม ประเมนตวแบบทสรางขนวาไดครบตามวตถประสงคหรอไม ตวแบบสามารถปรบปรงใหดขนไดอกหรอไม ผลลพธทไดกอนหนาน ชใหเหนวาตองคานวณหาคาตวแปรจากตวแบบทปรบปรงใหมเพอความแมนยาทดกวาหรอไม ถาตองการทาใหมกตองกลบไปเรมทขนท 1 หรอถาไมตองกใหไปทขนท 6 ขนตอนนสาคญมาก เพราะมบอยครงทตองสรางตวแบบหลายรอบกอนทจะไดผลเปนทนาพอใจ ขนท 6 เขยนรายงาน (Write a report) การเขยนรายงานตองทราบวาเขยนเพอใคร ผอานตองการทราบอะไร ตองการ รายละเอยดในรายงานมากนอยเพยงใด จะสรางรายงานอยางไร จงจะทาใหลกษณะทสาคญ ชดเจน และผลทตองการทราบปรากฏอย ขนตอนนอาจจะไมตองทา ถาไมทราบวาจะเขยนใหใครอาน

การจาแนกตวแบบ

เราสามารถจาแนกตวแบบออกไดดงน

1. ตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical Model) หรอตวแบบนามธรรม (Abstract Model) เปนตวแบบทประกอบดวยสญลกษณ มกอยในรปสมการ อสมการหรอฟงกชนเชงคณตศาสตร

2. ตวแบบรปธรรม (Physical Model) เปนตวแบบทสามารถจบตองได เชน แบบจาลองอาคาร แบบหนจาลองตาง ๆ

3. ตวแบบรปภาพ (Visual Model) เปนตวแบบลกษณะรปภาพทสามารถมองเหนได เชน กราฟ แผนท แบบแปลน ลายแทง

4 บทนา (Introduction)


ในตาราเลมนจะกลาวถง เฉพาะตวแบบเชงคณตศาสตรเทานน ซงตวแบบเชงคณตศาสตร สามารถจาแนกออกตามลกษณะได 3 ลกษณะ คอ

1. จาแนกตามกาลเวลา ซงจาแนกไดเปนตวแบบสถต กบตวแบบพลวต (Static and Dynamic) ตวแบบสถต เปนตวแบบทไมเกยวของกบเวลา สวนตวแบบพลวต เปนตวแบบทมเวลาเขามาเกยวของ คาตอบของตวแบบขนอยกบชวงเวลา

2. จาแนกตามความแนนอน ซงจาแนกไดเปน ตวแบบแนนอน กบตวแบบความ นาจะเปน (Deterministic and Probabilitic) ตวแบบแนนอน เปนตวแบบทม ขอมลนาเขาทแนนอนซงทาใหคาตอบของตวแบบมผลทแนนอน สวนตวแบบความนาจะเปน เปนตวแบบทขอมลนาเขาอยางนอย 1 ตว อยในรปตวแปรสม ซงตาตอบของตวแบบจะไดในเชงการคาดคะเน

3. จาแนกตามความตอเนอง ซงจาแนกไดเปน ตวแบบตอเนอง กบตวแบบไมตอเนอง (Continuous and Discrete) ตวแบบตอเนอง เปนตวแบบทมขอมลนาเขา ตอเนองตลอดเวลา เชนการเปลยนแปลงของระดบนา สวนตวแบบไมตอเนอง เปนตวแบบทมขอมลนาเขาไมตอเนอง เชน จานวนลกคาทมาใชบรการของธนาคาร จะเปลยนแปลงเมอมลกคาเขาหรอออกจากธนาคารเทานน

ขอสงเกต การจาแนกประเภทของตวแบบตามลกษณะตาง ๆ ของตวแบบ ดงทกลาวมาแลว

เปนไปเพอการศกษาเทานน ในความเปนจรงยงมตวแบบทมลกษณะผสมผสานใน

หลายลกษณะในตวแบบเดยวกน

บทท 2 การสรางตวแบบ 5


บทท 2 การสรางตวแบบ (Setting up Models)

เราสรางตวแบบเพอใชในการแกปญหา ซงปญหาสวนใหญในชวตจรงมกจะไมอยในรปแบบเชงคณตศาสตร และคาตอบของปญหากอาจจะไมอยในรปแบบเชงคณตศาสตรดวยเชนกน อยางไรกตามวธการทางคณตศาสตรยงคงมสวนสาคญในการหาคาตอบ จงมความ จาเปนทจะตองทาความเขาใจ ศกษาและวเคราะหปญหา จาแนกองคประกอบของปญหา เพอกาหนดตวแปร และเขยนความสมพนธเหลานนในเชงคณตศาสตร ศกษาความสมพนธทางคณตศาสตรเหลานนแทนสถานการณจรง เมอไดวธการหาคาตอบแลว จงนาตวแบบทสรางขนนไปทดสอบ เพอปรบปรงแกไข และนาไปใชในการแกปญหาตามสถานการณจรงตอไป

จากขนตอนการสรางตวแบบ 6 ขนตอน ในบทนา โดยเฉพาะขนท 1 ทาความเขาใจปญหา และขนท 2 สรางตวแบบเชงคณตศาสตร นน เปนขนตอนการสรางตวแบบ เพอใหการสรางตวแบบดงกลาวสมบรณยงขน ควรมขนตอนละเอยด ดงน

1. การทาความเขาใจปญหา (Clarify the problem)

2. การจาแนกรายการองคประกอบตาง ๆ (List the factors)

3. การจาแนกรายการของขอสมมต (List the assumptions)

4. การสรางสตรในการแกปญหา (Formulate a precise problem statement)

การทาความเขาใจปญหา (Clarify the problem)

ปญหาในชวตจรงทนามาสรางตวแบบสวนใหญจะไมอยในรปแบบเชงคณตศาสตร คาตอบของปญหาทตองการ ตองตความ และเขยนในเชงบรรยายทไมใชสญลกษณทางคณตศาสตร ดงนนกอนทจะสรางตวแบบจงมความจาเปนทจะตองศกษาและทาความเขาใจธรรมชาตของปญหาทปรากฏอยางแทจรง วเคราะหขอมลเทาทมอย เปนพนฐานในการวางแผนการแกปญหา ซงอาจมความจาเปนตองหาขอมลเพมเตม จะตองทาความเขาใจเกยวกบธรรมชาตของขอมล อาจจะตองมการกาหนดวตถประสงคเฉพาะ เพอทาการศกษาปญหา

6 การสรางตวแบบ (Setting up Models)


และอาจจะมความจาเปนตองละทงขอมลบางตวเพอทาใหงายตอการแกปญหาเปนตน อยางไรกตามการศกษาปญหาจะงายขน ถาขณะทศกษาปญหาไดพยามยามตอบคาถามตอไปน

1. ใครเปนผใชตวแบบ มความตองการความละเอยดและความสมบรณของคาตอบมากนอยเพยงไร

2. พฤตกรรมทางดานกายภาพ ทางดานวทยาศาสตรของขอมล เปนอยางไรบาง

3. การเปลยนแปลงของขอมล ตองมการเกบขอมลเพมเตมหรอไม

4. อะไรเปนขอสมมตทซอนเรนอยและอะไรเปนขอสมมตททาใหปญหางายขน

5. ตองการคาตอบเมอไร ชวงเวลาตาง ๆ ทกาหนดใหการแกปญหาเสรจสน

6. รปแบบของคาตอบเปนอยางไร การเขยนรายงานและการนาเสนอเปนอยางไร

7. มการขดแยงของผลลพธเกยวกบในดานการเงนหรอไม เชน คาใชจายในการนาไปใช แตกตางจากคาใชจายในการปฏบตจรง

การจาแนกรายการองคประกอบตาง ๆ (List the factors)

องคประกอบของปญหามสวนชวยในการหาคาตอบของปญหา แตละปญหาประกอบดวยองคประกอบในจานวนทแตกตางกน ในขนแรกของการสรางตวแบบ เราตองจาแนก รายการองคประกอบตาง ๆ ของปญหา เพอพจารณา ประเภท สญลกษณ และหนวยขององคประกอบ ในตวแบบเชงคณตศาสตรเราตองการองคประกอบเชงปรมาณ เชน ตวแปรทเปนตวเลข(ทมหนวยกากบ) องคประกอบเชงปรมาณงายตอการจาแนกวาเปน ตวแปร พารามเตอร หรอเปนตวคงท และสามารถแยกแยะไดวา เปนแบบตอเนอง, แบบดสกรต หรอแบบสม ซงเราสามารถจาแนกองคประกอบไดดงน

1. ตวแปรตอเนอง (Continuous) คอตวแปรทมคาตอเนองตลอดชวงเวลา เชน เวลา ความเรว ความยาว ราคา พนท เปนตน

2. ตวแปรดสกรต (Discrete) คอเปนตวแปรทมคาแยกเฉพาะตวเทานน เชน จานวนคน



3. ตวแปรสม (Random) คอตวเลขสมทไดจากตารางเลขสมตามหลกการทางสถต หรอ เลขสมทไดจากโปรแกรมคอมพวเตอร ใชพยากรณความนาจะเปนในอนาคต

4. ตวคงท (Constants) คอปรมาณทมคาไมเปลยนแปลง อนไดแก ตวคงททางคณตศาสตร เชน คา π หรอ คาคงททางฟสกส เชน แรงโนมถวงของโลก ความเรวของแสง เปนตน

5. พารามเตอร (Parameters) คอปรมาณทมคาคงท ในขณะทนาตวแบบไปใช ในแตละครง ซงสามารถเปลยนแปลงคาเปนอยางอนได เมอนาไปใชในสถานการณหรอกรณอน ๆ ตวอยาง เชน คาใชจายคงทในตวแบบทางธรกจอยางงาย ขนาดหอง ราคาตว ความหนาแนนของของเหลว คาเฉลยของเวลามาถงของรถบรการ

6. ตวแปรนาเขา (Input variables) คอปรมาณทตองใชในการคานวณตวแบบ เชน อตราฝนตก จานวนคนทเขาใชบรการในสถานบนเทง จานวนเดอนทใชรถยนต เปนตน ตวแปรนาเขา อาจไดจากสงทกาหนดให การสมมต หรอการคาดเดา ซงเปนคาทเปลยนแปลงได

7. ตวแปรผลลพธ (Output variables) คอปรมาณทเปนผลลพธของตวแบบ ทไดจากการประมวลผลของ ตวแปรนาเขา ตวคงท และพารามเตอร

หมายเหต ในการจาแนกองคประกอบตาง ๆ ดงทกลาวมาแลวอาจมการซาซอนและเกยวเนองกนได เชน ตวแปรนาเขา/ตวแปรผลลพธ สามารถเปนไดทง ตวแปรตอเนอง ตวแปรดสกรต หรอ ตวแปรสม

ในทางปฏบตเพอใหงายและสะดวก เรามกจะกาหนดองคประกอบตาง ๆ ดงทกลาวมาแลวขางบนอยในรปสญลกษณ และมหนวยกากบ เชน

รายการ ประเภท สญลกษณ หนวย

ความเรว ตวแปรนาเขา V Ms-1



การจาแนกรายการของขอสมมต (List the assumptions)

ขอสมมตเปนขอความทเชอมโยงองคประกอบตาง ๆ เขาดวยกน ขอสมมตเปนสงทชวยทาใหการสรางตวแบบงาย ชดเจน และบรรลวตถประสงค มากยงขน เราสามารถจาแนกขอสมมตไดดงน

1. ขอสมมตทมองคประกอบอยหรอไมมองคประกอบอยอยางชดเจน

2. ขอสมมตทกลาวถงขนาดผลกระทบของการเปลยนแปลงองคประกอบ

3. ขอสมมตทในรปความสมพนธระหวางองคประกอบ

ในชวงแรกของการสรางตวแบบเราจะตองเลอกขอสมมตททาใหตวแบบงายทสดมาพจารณากอน ขอสมมตตามแบบท 2. ชวยใหเราเลอกใชองคประกอบทจาเปน ขอสมมตตามแบบท 3. เปนหวใจของตวแบบ ทจะใชในการพฒนาตวแบบ ในการใชขอสมมตแฝงอาจจะตองใชโดยปราศจากขอมลจรง พยายามศกษาทาความเขาใจกบทกขอสมมต

การสรางสตรในการแกปญหา (Formulate a precise problem statement)

จากขนตอนการทาความเขาใจปญหา เราจะตองแยกแยะและวเคราะหสวนประกอบตาง ๆ ทไดเหลานนใหอยในแตละสวนดงน

1. สงทกาหนดให

2. สงทจะตองหา

3. เงอนไขทสอดคลองกบวตถประสงค

ผลของขอสรปทงหลายเราสามารถนามาสรางเปนประโยคคาถาม (problem statement) แยกแยะตามองคประกอบ ซงจะเขยนขอความน อยในรปแบบทวไป ดงน

สงทกาหนดให{ตวแปรนาเขา, พารามเตอร, ตวคงท} สงทตองการหา {ตวแปรผลลพธ} ทสอดคลองกบ {เงอนไขทสอดคลองกบวตถประสงค}



รปแบบดงกลาวชวยทาใหการสรางประโยคคาถามงายขนและชวยในการสรางตวแบบ ปญหาเดยวกนเราสามารถสรางประโยคคาถามทแตกตางกนไดหลายรปแบบ แตสงสาคญทตองพจารณา คอ สงทกาหนดให และสงทตองการใหตวแบบคนหาคาตอบ

การสรางประโยคคาถาม สามารถสรปขอควรคานงในการสรางตวแบบไดดงน

1. ตองมความแนชดวาอะไรคอสงตองการหา

2. จาแนกองคประกอบทงหมดกาหนดใชในการสรางตวแบบ แตละองคประกอบตองพจารณาประเภทขององคประกอบ กาหนดสญลกษณแทนองคประกอบเหลานน และเขยนหนวยขององคประกอบกากบไว

3. จาแนกขอสมมตทงหมดนามาใชสรางตวแบบ

4. สรางสตรของตวแบบ ทอยในรปแบบ สงทกาหนดให…. สงทตองการหา….

ตอไปนเปนตวอยางการสรางตวแบบ และเพอใหเหนขนตอนการสรางตวแบบอยางชดเจน จะใชตวอกษรกากบแตละขนตอนในตวอยาง ดงน

Q : ปญหา (Question)

F : องคประกอบ (Factor)

A : ขอสมมต (Assumption)

P : ประโยคคาถาม (Problem statement)

ตวอยาง 2.1 สมาคมแหงหนงออกรานจบฉลาก ตองการทากาไรจากการขายฉลาก

Q : - จะทาอยางไรทจะขายฉลากในราคาคงท และเปนราคาเดยวกน

- มรางวลจานวนเทาไร

- มลคาของแตละรางวลเปนอยางไร

- มคาใชจายตอหวเทาไร

- ถามบางเหตการณทตองยดหยนในการซอฉลาก จะดาเนนการอยางไร

F : องคประกอบตาง ๆ สามารถจาแนกได ดงน




ราคาฉลาก พารามเตอร p บาท

จานวนฉลาก ตวแปรนาเขา n ใบ

มลคารางวลท 1 ตวแปรนาเขา C1 บาท

มลคารางวลท 2 และอน ๆ ตวแปรนาเขา C2 บาท

เงนรวมของรางวล ตวแปรนาเขา C บาท

ตนทนตอหว ตวคงท O บาท

กาไร ตวแปรผลลพธ P บาท

A : ขอสมมตคอ ฉลากทงหมดขายในราคาเดยวกน

P : ปญหาคอ ขายฉลากไดเทาไรจงจะไดกาไร

ซงสามารถเขยนในรปแบบของสญลกษณขางบน ไดขอความวา

กาหนดให p, C1, C2, …, C, O จงหา n ททาให P > 0

วธทา C = C1 + C2 + … และ P = np/100 – (C + O) ดงนน ในกรณทตองทาใหไดกาไร (P > 0) นนคอ จะตองไดวา n > 100(C + O)/p

เหตการณจะเปนอยางไร ถา

1. ราคาฉลากเพมขน

2. ราคาฉลากบางฉบบขายลดราคา

ตวอยาง 2.2 หนวยรกษาความปลอดภยมความตองการทราบเวลาทงหมดทใชในการขนยายผคนออกจากตก หรอเครองบนในยามฉกเฉน ทางออกและทางเดนมเพยงพอกบการขนยาย ผคนจานวนมากหรอไม



Q : - อะไรคอสงจาเปนสาคญคงท

- หาคาตอบของการขนยายสาหรบหนงหอง (หรอหนงตอนของเครองบน) ไดหรอไม

- อะไรคอสงทตองการหา (ผลลพธ) เชน มจานวนผคนเทาไรทจะตองขนยาย หลงจาก 2 นาท 5 นาท …

- กอนทจะมเหตฉกเฉน มจานวนผคนเรมตนเทาไร

- จานวนผคนมการเปลยนแปลง ปรมาณสงสดเปนเทาไร

- ขดจากดในการขนยายมอะไรบาง เชน ความเกาแกหรอความมงคงแขงแรงของตก ควการขนยาย

F : เราจะพจารณาเพยงหองเดยวสาหรบตวแบบแรก เพอหาวาผคนมการเปลยนแปลงอยางไรในการขนยายออกจากหอง องคประกอบคอ จานวนผคนทอยในหอง ความเรวในการขนยาย และ อน ๆ ดงตอไปน


จานวนผคนทถกขนยาย พารามเตอร N คน

เวลาทผานไปหลงจากเสยงเตอนดง

ตวแปรนาเขา t นาท

จานวนผคนทถกขนยาย ณ เวลา t

ตวแปรผลลพธ n คน

เวลารวมในการขนยายทกคน

ตวแปรผลลพธ T นาท

ระยะหางของการขนยาย พารามเตอร d เมตร

ความเรวของการขนยาย พารามเตอร v ms-1

เวลาทเสยไปกอนทจะมการขนยายคนแรก

ตวคงท t0 นาท

A : ขอสมมตของการขนยาย คอ พารามเตอร d และ v เปนตวคงท และไมมสงกดขวางหรอขอบงคบในการขนยาย



P : ขนยายผคนไดจานวนเทาไรในเวลา t นาท และใชเวลาทงหมดเทาไรในการ ขนยาย ซงสามารถเขยนในรปสญลกษณได คอ

กาหนดให N, v, d, t0, และ t จงหา n และ T

วธทา n = 1 + 60v(t – t0)/d และ T = t0 + (N – 1)d/(60v)


1. ถามคนตงแต 2 คน ขนไป ตองถกขนยายอยางตอเนองไปตามระเบยงทเชอมตอ แตละหอง

2. มหลายทางออก เชน ทางออกฉกเฉนของเครองบน

ตวอยาง 2.3 การแขงขนเทนนสแบบพบกนหมด มความแตกตางกนในเรองเวลาทใชในการแขงขนแตละค

Q : - มคแขงขนกค

- มสนามแขงขนกสนาม

- ใชเวลาในการแขงขนแตละคเทาไร

- ใชเวลาในการแขงขนทงหมดเทาไร

- มขอจากดอน ๆ ททาใหตองเสยเวลาระหวางการเปลยนคแขงขนหรอไม

F : มองคประกอบ ดงน


จานวนคในการแขงขน ตวแปรนาเขา N ค

เวลาทใชทงหมด พารามเตอร T ช.ม.

เวลาในการแขงขน ตวแปรนาเขา tm นาท

จานวนสนาม พารามเตอร n สนาม

เวลาวางระหวางแขงขน พารามเตอร tg นาท

จานวนรวมการแขงขน ตวแปรผลลพธ M ครง



A : สมมตวาไมตองคดเวลาทใชพกระหวางการแขงขน และเวลาทใชในการแขงขนทกคเทากน

P : กาหนดให มสนาม 2 สนาม และ ม 8 คแขงขน จะตองหา

(a) เวลาทใชในการแขงขนทงหมด

(b) ลาดบการแขงขน

วธทา จานวนรวมของการแขงขน คอ M = NC2

เวลาทใชในการแขงขน คอ T = (tm × M/2)/60

เนองจากไมมขอจากดในเรองของลาดบการแขงขน จงไมตองมรปแบบของลาดบการแขงขน ยกเวน เมอม 2 สนาม มความจาเปนตองวางแผนการแขงขน

เหตการณจะเปนเชนไร ถา

1. มกฎวา หามคแขนขนใดแขงขน 2 ครง ตดตอกน

3. มคแขงขนขอหยดเลนกระทนหน

4. จานวนสนามมมากขน

ตวอยาง 2.4 จะซอมนฝรงจานวนมาก หรอจานวนนอยจงจะดกวากน โดยการเปรยบเทยบในเรองของเวลา และการสญเสยจากการปอกเปลอกมนฝรง

Q : - มนฝรงทงสองแบบมาจากแหลงเดยวกนหรอไม

- การนามนฝรงไปปรงอาหารคานงถงขนาดหรอไม

- ราคาของมนฝรงขนอยกบขนาดหรอไม

- การปอกเปลอกมนฝรงแตละขนาดกระทาเหมอนกนหรอไม

- การปอกเปลอกมนฝรงหวเลกงายกวามนฝรงหวใหญหรอไม

- อะไรเปนวตถประสงคโดยรวม

F : องคประกอบ ประกอบดวย นาหนก และขนาดของมนฝรง ความหนาของเปลอก และเวลาทใชในการปอกเปลอก มนฝรงซอขายกนตามนาหนก ดงนน ตวแปรทใชในการคานวณ จะขนอยกบนาหนกของมนฝรง ซงองคประกอบตาง ๆ ม ดงน




น.น.ของภาชนะบรรจ พารามเตอรนาเขา W kg

น.น.มนฝรงหวเลก พารามเตอรนาเขา ws g

น.น.มนฝรงหวใหญ พารามเตอรนาเขา wl g

จานวนมนฝรงหวเลก ตวแปรผลลพธ ns

จานวนมนฝรงหวใหญ ตวแปรผลลพธ nl

เสนผานศนยกลางของมนฝรงหวเลก

พารามเตอรนาเขา ds cm

เสนผานศนยกลางของมนฝรงหวใหญ

พารามเตอรนาเขา dl cm

เวลาทใชปอกเปลอกหวเลก พารามเตอรนาเขา T s

จานวนมนฝรงหวเลกทใชทาอาหารคา

ตวแปรผลลพธ As kg

จานวนมนฝรงหวใหญทใชทาอาหารคา

ตวแปรผลลพธ Al kg

จานวนคนทรบประทานอาหารคา

ตวแปรนาเขา N

เวลาทใชตมมนฝรงหวเลก ตวแปรผลลพธ ts min

เวลาทใชตมมนฝรงหว

ใหญ

ตวแปรผลลพธ tl min

A : สมมตวามนฝรงม 2 ขนาด คอ เลก และใหญ สมมตวาการปอกเปลอกของทกหวไมแตกตางกน ดงนนความหนาของเปลอกจงเปนคาคงท สมมตวารปทรงของมนฝรงเปนทรงกลมและมความหนาแนนเทากน



P : กาหนดจานวนคนทรบประทานอาหารคาให และกาหนดใหแขกไมเลอกขนาดของมนฝรง สงทจะตองหา คอ

(a) เวลาทใชในการตมมนฝรงกอนการทาอาหาร

(b) ขนาดของภาชนะปกตทใชบรรจมนฝรง


(1) เวลาในการทาอาหารรวมอยในเวลาทงหมด

(2) ความหนาของเปลอกมความแตกตางระหวาง 2 ขนาด

ตวอยาง 2.5 ผผลตนาอดลมกระปองขนาด 330 ml มความประสงคใหผบรโภคใชดมไดพอดใน 1 ครง รปรางของกระปองควรจะเปนอยางไรจงจะเหมาะสม และจะทาอยางไรทจะใหคาใชจายในการผลตกระปองตาทสด

Q : ปญหานเปนการหาคาใชจายทนอยทสดในการสรางบรรจภณฑใสสงของ โดยมเงอนไขวา วสดทใชทาฝาดานบนมราคาสงกวาวสดททาดานขางและกนกระปอง ทเปดกระปองดานบนมราคาคงท

F : องคประกอบตาง ๆ ม ดงน


ปรมาณของกระปอง คาคงท V ml

รศมของฐานกระปอง ตวแปรนาเขา r cm

ความสงของกระปอง ตวแปรนาเขา h cm

รศมของสวนบนทคงท คาคงท R cm

ความสงของสวนทเรยวของกระปอง

ตวแปรนาเขา x cm

พนทผวของวสด ตวแปรผลลพธ S cm2



A : สมมตวา กระปองเปนรปทรงกระบอก และสวนทเปดกระปองตดอยดานบน และสมมตวากระปองมปรมาตร S ไมรวมสวนบนของกระปอง นนคอปรมาตรทหาคานอย ทสดสาหรบตวแปร r, h และ x

P : กาหนด ปรมาตรของนาอดลมให จงหาคาใชจายตาสดของวสดทใชทากระปอง ซงมฝาบนทมขนาดคงท


(1) คาตอบทางคณตศาสตรนาไปสการออกแบบในทางปฏบต

(2) กระปองตองมนาหนกเบาและมขนาดทถอไดถนดมอ

ตวอยาง 2.6 สถานททรถบสจอดรบผโดยสารโดยใชแนวขางถนน บรษทรถบสตองการใหผโดยสารไดใชบรการมากทสด แตไมสามารถจอดรถไดตามตองการ

Q : - รถบสตองจอดตอกนในแนวเสนตรงหรอไม

- ทาไมไมใหรถบสสองสามคนจอดรบผโดยสารตามแนวขางถนน

- มความถเทาไรในการใชบรการรถบส

- มตวเลอกสถานทแหงใหมทใกล ๆ นหรอไม

F : องคประกอบควรมรายละเอยดเกยวกบถนนและบาน เวลารถออก คาโดยสาร


ความยาวของถนน ตวแปรนาเขา L M

จานวนบาน ตวแปรนาเขา N หลง

จานวนคนตอบาน พารามเตอรนาเขา p คน

ระยะหางของทารถบสจากหวถนน ตวแปรนาเขา x เมตร

ระยะหางระหวางบาน พารามเตอรนาเขา s เมตร

ระยะทางเดนถงทารถบส ตวแปรผลลพธ d M

ความจของรถแตละแบบ พารามเตอรนาเขา C คน

ความถของรถทมาถง พารามเตอรนาเขา T นาท



A : สมมตวามการสรางทารถเพยงทาเดยว และจากทางมาลายถงทจอดรถไมมผลตอการเดนทางเทาของผโดยสาร และสมมตวาความจของรถและเวลารถออกไมเปนองคประกอบสาคญ

P : กาหนดความยาวของถนน และความหนาแนนของบานให จงหาสถานทจอดรถททาใหระยะทางเดนมาขนรถสนทสด


(1) มทารถสองทา

(2) กรณเวลาเรงดวน และมความแตกตางดานขนาดของทารถ

(3) ทางมาลายโดยทวไปไมมผลกระทบในการใช

การแปลงประโยคขอความเปนประโยคสญลกษณ

ในกระบวนการสรางตวแบบขนตอนหนง คอ การแปลงประโยคภาษาใหอยในรปแบบประโยคสญลกษณ ตวอยาง เชน

“เมอ y เพมขน x เพมขน” มความหมายวา y แปรผนตรงกบ x ซงเทากบ ขอความทางคณตศาสตรทวา y ∝ x หรอเปนสมการ y = kx เมอ k เปนตงคงท

“ y ลดลง เมอ x เพมขน ” กรณนเปนแปรผกผน นนคอ y ∝ 1/x หรอ y = k/x เมอ k เปนตงคงท ซงทาให y ลดลง

รปแบบเชงเสน y = ax + b ซงเทากบประโยคภาษาทวา “y เพมขน a หนวย สาหรบทก ๆ หนวยทเพมขนของ x และ y = b เมอ x = 0” ซงรวมไปถงกรณท y ลดลง เมอ x เพมขน ในกรณน พารามเตอร a มคาเปนลบ การแปลงประโยคขอความเปนประโยคสญลกษณ มขนตอนดงน

1. แทนตวแปรตาง ๆ ดวยสญลกษณทางคณตศาสตร

2. สรางขอสมมตความสมพนธระหวางตวแปร

3. แปลงขอสมมตใหอยในรปสมการหรออสมการทางคณตศาสตร



การเลอกใชสญลกษณ ควรเลอกใชอกษรตวเดยว และเพอใหจางายควรใชตวอกษรทเปนชอของตวแปรนน เชน t แทนเวลา (time) ควรใชอกษรกรก เชน α , β , θ และ φ แทนมม

การเลอกขอสมมต ควรเลอกขอสมมตทงายทสดและทมพฤตกรรมใกลเคยงกบตวแปรจรง ซงจะทาใหสรางตวแบบงาย และการปรบปรงตวแบบใหเหมาะสมได

การแปลงประโยคภาษาใหเปนประโยคสญลกษณ ควรแปลงใหอยในรปแบบทงายโดยแบงออกเปนสวน ๆ เพอความสะดวกในการแปลงและนามาประกอบกนภายหลง

ประโยคภาษา สญลกษณทางคณตศาสตร

บวก/ผลบวก +

ผลตางระหวาง -

นอยกวา <

มากกวา >

อยางนอย ≥

ไมมากกวา ≤

สดสวน /

y แปรผนตรงกบ x y = kx

y แปรผกผนกบ x y = k/x

y เปน x% ของ z y = (x/100)z

y เปน x% เพมจาก z y = (1 + x/100)z

อตราการเปลยนแปลงของ y ดวยเวลา, t

dy/dt



ควรระมดระวงคาวา “ความตาง” และ “สดสวน” ความตางของ A และ B หมายความวา A – B หรอหมายถงขนาดของความตางของ A กบ B เมอ A > B, แตจะหมายถง B – A เมอ A < B ซงสามารถรวมกนเปนสญลกษณเดยวไดคอ |A – B| ในทานองเดยวกน “สดสวนของ A และ B” สามารถแปลงไดเปน A/B หรอ B/A

“การเพมขนของ x” แปลงเปน “+ x” ขณะท “การเพมขนของ z%” แปลงเปน “การคณดวย (1 + z/100)” ในทานองเดยวกน “a ลดลง w%” จะเทากบ “การคณดวย (1 – w/100)”

ตวอยาง 2.7 จงแปลงประโยคขอความตอไปนเปนประโยคสญลกษณ

(a) กาไรคอผลตางระหวางราคาขายกบราคาทน และผลกาไรคอกาไรเมอเทยบกบรอยละของทน

(b) X นอยกวา 3 เทาของผลตางระหวาง Y กบ Z

(c) ผลตางระหวาง A และ B มากกวาผลบวกของกาลงสองของ C และ D อยอยางนอย 1

วธทา (a) P = S – C และ ผลกาไร คอ (P/C) ×100%

(b) X < 3|Y – Z|

(c) |A – B| ≥ 1 + C2 + D2

ตวอยาง 2.8 สนคารายการหนงราคาชนละ P บาท มการลดราคาสนคารายการนชนละ Q บาท ทก ๆ สปดาห ผจดการรานคาคาดคะเนวาแตละ 1 บาท ทลดราคา จะมลกคาซอ สนคารายการอนมากกวา N ชนในแตละสปดาห จากขอสมมตขางตนสงตอไปนจะเปนอยางไร

(a) จานวนขายตอสปดาห

(b) รายไดจะเปนเทาไรเมอราคาสนคาเปน X บาท

วธทา จากขอสมมตทวา “แตละ 1 บาท ทลดราคา จะมลกคาซอสนคารายการอนมากกวา N ชน” ดงนนสาหรบการลดราคา P – X บาท จะสามารถขายสนคาไดมากกวา N(P – X) ชน



ซงจะไดคาตอบขอ (a) จานวนขายเมอราคาสนคาเปน X คอ Q + N(P – X) และขอ (b) รายได คอ [Q + N(P – X)]X

ตวอยาง 2.9 อางอาบนาใบหนงเปดนาเขาอางใชเวลา 3 นาทจงจะเตมอาง และเปดนาทง 4 นาทจงจะหมดอาง อยากทราบวาเปดนาขณะทเปดวาวนาทงดวยนาจะเตมอางเมอไร และคาตอบจะเปนอยางไรถา เปดนาเขาอางใชเวลา F นาทจงจะเตม และเปดนาทง E นาท นาจงจะหมดอาง

วธทา ใน 1 นาทเปดนาเขาอางจะได 1/3 ของอาง ขณะทปลอยนาทงได 1/4 ของอาง

ดงนนจะเหลอนาสทธ 1/3 – 1/4 = 1/12 ของอาง นนคอจะตองใชเวลา 12 นาท

นาจงจะเตมอาง

ในกรณทวไป ใน 1 นาท จะเหลอนาสทธ 1/F – 1/E ของอาง นนคอจะตองใชเวลา 1/(1/F – 1/E) = FE/(E – F) นาท นาจงจะเตมอาง โดยมขอแมวา E > F

ตวอยาง 2.10 ถาคนงาน n คน ทางานชนหนง เสรจใน t วน อยากทราบวา

(a) จะใชเวลานานเทาไรถาใชคนงาน m คน ในการทางานชนน

(b) จะตองใชคนงานกคนทจะทางานชนนเสรจใน d วน

วธทา จากสงทกาหนดให กาลงทตองใชทางานชนนคอ nt คน-วน ถาคน m คน ทางานชนนเสรจใน d วน จะไดวา md = nt นนคอไดคาตอบของขอ (a) d = nt/m

จากสมการเดยวกนเราจะไดคาตอบของขอ (b) วา m = nt/d ซงคาดวาคงไมไดจานวนเตม แต m เปนจานวนคน ตองเปนจานวนเตม ดงนนคาตอบจะเปนจานวนเตมทมคาไมนอยกวา m



ตวอยาง 2.11 สมมตวาคณตองเลอกเขาควชาระเงนในหางสรรพสนคาแหงหนง ระหวาง 2 คว ตอไปน ควท 1 มผชอ m1 คน แตละคนม n1 รายการสนคา ขณะทควท 2 มผซอ m2 คน แตละคนม n2 รายการสนคา ถาใชเวลาชาระเงน t วนาทตอหนงรายการสนคา และ p วนาทตอหนงผซอ 1 คน จงเขยนเงอนไขททาให ควท 1 เรวกวา ควท 2

วธทา เวลาทใชในการชาระเงนของผซอคนหนงของควท 1 คอ p + n1t ดงนนเวลาทใชในการชาระเงนทงหมดของควท 1 m1(p + n1t) ในทานองเดยวกน เวลาทใชในการชาระเงนทงหมดของควท 2 คอ m2(p + n2t) ดงนนเงอนไขททาใหควท 1 เรวกวา ควท 2 คอ

m1(p + n1t) < m2(p + n2t)

ตวอยาง 2.12 คนขายไอศกรมในงานฤดรอนคาดคะเนวาจานวนขายไอศกรมตอวนควรเปนเชนไร

(a) แปรผนตรงกบจานวนคนทมาเทยวงาน

(b) แปรผนตรงกบอณหภมทเพมขนจาก 10 oC

(c) แปรผกผนกบราคาขายของไอศกรม

จงรวมขอสมมตเขาในตวแบบเพอพยากรณจานวนขายไอศกรม

วธทา ให N เปนจานวนไอศกรมทขาย

n เปนจานวนคนมาเทยวงาน

T เปนอณหภมของอากาศ

p เปนราคาของไอศกรม

จากขอสมมต สามารถแทนไดดวยสญลกษณ ดงน N ∝ n, N ∝ (T – 10) และ N ∝ 1/p ซงสามารถรวมขอสมมตไดวา N = kn(T – 10)/p หรอ

N = INT[kn(T – 10)/p] เมอ N จานวนเตม มขอสงเกต ดงน

(1) ตวแบบกาหนดให N = 0 เมอ n = 0 และ N = 0 เมอ T = 10 ใน ขอสมมต (b)

(2) ตวแบบจะเปนจรง เมอ T ≥ 10 เทานน



ตวอยาง 2.13 มวล Mm ของนมเยนทอณหภม Tm จะเพมขนดวยมวล Mc ของกาแฟรอนทอณหภม Tc อยากทราบอณหภมของกาแฟหลงจากการผสมนม วธทา หลกของพลง : พลงงานความรอนของมวล M ทอณหภม T คอ McT เมอ c เปนความจความรอนเฉพาะของวสดทเปนภาชนะ สมมตวาคา c ของนมและกาแฟมคาเทากน ดงนนกอนการผสมพลงงานความรอนของนมและกาแฟจะเปน MmcTm และ MccTc ตามลาดบ และหลงจากผสมแลวถาใหอณหภมของของผสมเปน T พลงงานจะเปน (Mm + Mc)cT ซงเทากบผลบวกของพลงงานกอนผสม และไดวา

(Mm + Mc)cT = MmcTm + MccTc ดงนน

T = (MmTm + McTc)/(Mm + Mc) แบบฝกหดบทท 2

1. จากสถานการณตอไปน จงเขยนรายการขององคประกอบ

(a) การถายภาพ

(b) การทาไวน

(c) การผสมคอนกรต

(d) การวางแผนจดงานเลยงสงสรรคอาหารคา

(e) การเลอกวนหยด

(f) การเลอกซอรถ

2. จากขอยอยตอไปน (1) จงทาความเขาใจปญหา (2) แจกแจงองคประกอบ และ

(3) สรางสตรเพอแกปญหา

(a) มรถผานขณะทมสญญาณไฟสเขยวไดกคน

(b) ควรเปดสญญาณไฟสแดงนานเทาไร

(c) จะตองทามมเทาไรในการพงแหลนทดทสด

(d) ลอจกรยาน ขนาดเทาไร จงจะดทสด



3. จงสรางสตรสาหรบแกปญหาตอไปน ในพจนทวดได อะไรเปนขอมลทตองเกบและจะเกบอยางไร อะไรเปนขอสมมตทจะทาใหไดคาตอบ

(a) มรถจานวนเทาไรบนถนนในกรงเทพฯ ในป พ.ศ. 2545

(b) มรายการโทรทศนทสงเสรมการใชความรนแรงใหเดกดจานวนกรายการ

(c) ผชายแขงแรงกวาผหญงใชหรอไม

(d) ปจจบนคาจางแรงงานเฉลยของเมองไทยเปนเทาไร

(e) มมความสมพนธระหวางความยากจนกบการกระทาผดกฎหมายหรอไม

4. จงประมาณคา และเขยนขอสมมตของการประมาณคา ในปญหาตอไปน

(a) คาเฉลยของอายของรถ 10 คน ทแลนผานหนาคณ

(b) พนทรวมของพมไม

(c) เงนททานจะใชจายทงหมดในปตอไป

5. ในขอยอยตอไปน จงเขยนองคประกอบ ขอสมมต และสรางสตรในพจนขององคประกอบ

(a) การตกแตงภายใน : เราตองการทจะลดราคาคาตกแตงภายในหองใหเหลอนอยทสด ใหเหมาะสมกบคณภาพของกระดาษปดฝาผนงทใช และเวลาในการตกแตง

(b) ความเรวบนทางดวน : ในเวลาทการจราจรคบคงบนทางดวน ผดแลทางดวนตองการใหมสญญานเตอนผขบข ใหขบรถในความเรวทปลอดภยสงสด หรอ ขบโดยใชระยะทางทสนทสด (โดยการเขยนขอความทพนถนน) ควรใชวธการเตอนแบบใดจงจะดทสด และควรจะใชขอความใดในการเตอน

(c) ทปดนาฝน : กระจกหลงของรถมทปดนาฝนเพยงอนเดยว จะออกแบบอยางไรทจะทาใหการปดนาฝนไดผลดทสด

6. จงแปลงประโยคตอไปนในรปสญลกษณ (a) Y มคามากกวา X เทากบ 5 หนวย (b) ความตางระหวาง X และ Y คอ 2 (c) สดสวนของ Y กบ X คอ 2 (d) ผลตางระหวาง A กบ B คอ สามเทาของสดสวนของ C กบ D (e) Y เปน 5% ของ X



(f) Y เปน 5% นอยกวา X (g) Y เปน 5% มากกวา X (h) Y นอยกวา 5% ของ X (i) Y ตางจาก X อยางนอย 10 (j) Y มากกวา X อยางนอย 50% (k) W แปรผนตรงกบกาลงสองของผลตางระหวาง X กบ Y (l) W แปรผกผนกบรากทสองของผลตางระหวาง U และผลบวกของ V กบ

X (m) ตวแปร y บวกดวยตวแปร x มคาเทากบ 120% ของตวแปร z (n) X มคาไมเกน 90% ของ Y (o) ผลบวกของ a และ b แปรผนตรงกบผลตางระหวางกาลงสองของ x และ

y (p) ผลคณของ a และ b แปรผกผนกบกาลงสองของผลตางระหวาง x และ y 7. รายการลดราคาใด ดกวา

(a) ลด 30 % (b) ลด 20 % จากราคาทลดแลว 10 %

8. เลขจานวนนคออะไร “ถาสองเทาของจานวนนนบวกดวย 10 แลวหารดวย 2 ลบดวย จานวนนนมคาเทากบ 5 ” 9. มานะหนกกวามาน , มาน หนกมากกวา 2 เทาของ ชใจ , นาหนกของมานะกบชใจรวม กน มากกวา นาหนกของมาน , ชใจเบากวามานะ 35 กโลกรม จงแปลงเปนสญลกษณ 10. จงแปลงประโยคสญลกษณตอไปนเปนขอความ

(a) )(ab = |x – y2| (b) q ∝ 1/(x2 + y2)

11. ถาหนงสอนม P หนา แตละหนาม L บรรทด แตละบรรทดม W คา อยากทราบวาหนงสอนมทงหมดกคา

12. คณมเงนอย N บาท จาย S บาท ตอสปดาห โดยคณมรายรบ Q บาท ( < S ) ตอสปดาห อยากทราบวา คณสามารถใชเงนไดนานเทาไร



13. จงแปลงขอความตอไปนใหอยในรปสญลกษณ (a) ความเขมของแสงลดลงตามกาลงสองของระยะทางจากดวงไฟ (b) แรงดงดดของโลกระหวางวตถสองชนด (M1 และ M2) แปรผนตรงกบมวล

และ แปรผกผนกบกาลงสองของระยะทางระหวางวตถทงสอง (c) มวลของดาวแปรผนตรงกบความหนาแนนและรศม 14. จงแปลงขอความตอไปนใหอยในรปสมการอยางงาย (a) คณมเงน (M) มากขน คณกจาย (S) มากขน (b) เวลา (T) ในการเดนทางลดลง ถาคณเพมความเรว (V) (c) เมอราคาสนคา (P) เพมขน ความตองการ (D) จะลดลง 15. แบงเงน M บาท ใหกบคนสองคน โดยท

(a) ใหคนหนงไดรบ x เทาของอกคนหนง (b) ใหคนหนงไดรบ มากกวาอกคนหนง x บาท

16. คนงาน ก. และ ข. แตละคนมความสามารถในการทางานไมเทากน เมอทงสองคนชวยกนทางานจะแลวเสรจใน d วน ถาคนงาน ก. ทางานนเพยงคนเดยวจะเสรจใน x วน อยากทราบวาถาใหคนงาน ข. ทางานนเพยงคนเดยวจะเสรจในกวน

17. นกศกษา A. และ B. ยนอยขางถนน(เปนเสนตรง)หางกน d กโลเมตร มรถยนตวงมาในทศทางเดยวกน สองคน (1 และ 2) นกศกษาทงสองจบเวลาทรถแตละคนผาน ไดเวลา TA1, TA2, TB1 และ TB2 ตามลาดบ จงหา (a) ความเรวของรถแตละคน (b) ระยะหางของรถทงสอง เมอรถคนท 2 อย ณ ตาแหนงนกศกษา B.

18. คนงาน n1 คน ทางาน t1 วน ไดงาน x1 หนวย อยากทราบวา (a) คนงาน n2 คน ทางาน x2 หนวย เสรจในกวน (b) คนงาน n2 คน ทางาน t2 วน จะไดงานกหนวย (c) ทางาน x2 หนวย ในเวลา t2 วน จะตองใชคนงานกคน

19. ตอไปนขอความใดบางทสมมลกน



(a) (V1 + V2)(V3 + V1) (b) V1V2(V1 + V2 + V3 + 1) (c) V1

2+ V2V3 + V1(V2 + V3) (d) V1

2+ V1V2V3 + V1V3 + V32V1

(e) V12V2+ V1V2V3+ V1V2

2+ V1V2 20. ตอไปนสมการใดบางทสมมลกน

(a) x/y – y/x = u2 – v2 (b) (x-y)/(u-v) = (u+v)xy/(x+y) (c) u/v – v/u = x2 – y2 (d) (x – y)/xy = (u2 – v2)/(x + y) (e) u2 – v2 = uv(x2 – y2) (f) x2 - y2 = xy(u2 – v2)

บทท 3 การตรวจสอบตวแบบ 27


บทท 3 การตรวจสอบตวแบบ (Checking Models)

ตวแบบเปนสงทสรางขนเพอจาลองสถานการณจรง ตวแบบทดจะตองใหผลลพธทแมนยาหรอใกลเคยงกบความเปนจรงมากทสด การตรวจสอบตวแบบเปนกระบวนการหนงททาใหตวแบบทได เปนตวแบบทด การตรวจสอบตวแบบในขนนเปนการตรวจตวแบบอยางคราว ๆ เพอใหไดตวแบบทถกตองสมบรณยงขน การตรวจสอบตวแบบในขนนควรคานงถงสงตอไปน

1. ความคงเสนคงวา (consistent) 2. พฤตกรรม (behaviour) 3. คาตอบ (answer) 4. ความงาย (simple)

ความคงเสนคงวา (Consistency) ของตวแบบ เราสามารถตรวจสอบความคงเสน

คงวาของตวแบบ ได 2 ลกษณะ คอ ความคงเสนคงวาทางตรรกะ (logically consistent) และความคงเสนคงวาทางมต (dimensionally consistent)

การตรวจสอบความคงเสนคงวาทางตรรกะของตวแบบ เปนการตรวจสอบการเปลยนแปลงของตวแปรในตวแบบเมอขอสมมตของตวแปรเปลยนไป โดยไมมความขดแยง (contradiction)

สาหรบการตรวจสอบความคงเสนคงวาทางมต เปนการตรวจสอบมตของตวแปรในสมการ(ตวแบบ) ใหมตทงสองขางของสมการเทากน (สอดคลองกน) หรอกลาวอกนยหนงวา เปนการตรวจสอบหนวยของตวแปรในสมการ เชนเดยวกบการตรวจสอบหนวยทางฟสกส มตเบองตนของตวแปรในตวแบบ คอ มวล mass (M), ความยาว length (L) และ เวลา time (T)

พฤตกรรม (Behaviour) ของตวแบบ เราสามารถตรวจสอบพฤตกรรมของตวแบบจากการพยากรณของตวแบบในดานปรมาณและคณภาพ

การตรวจสอบพฤตกรรมของตวแบบดานปรมาณ เปนการตรวจสอบการเปลยนแปลงของตวแบบเมอเปลยนแปลงตวแปรเพยงตวเดยว ตวอยางเชน “เมอ x เพมขน 1/x มคา ลดลง” “เมอ a, b เปนจานวนบวก เศษสวน a/b เพมขน เมอ a เพมขน และลดลง เมอ b เพมขน” “เมอ a, b, c เปนจานวนบวก F = ax/(bx + c) เพมขน เมอ x เพมขน [ทงน

28 ตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical Modelling)


เพราะเมอนา x หารทงเศษและสวนจะไดวา F = a/(b + c/x) เมอ x เพมขน คา c/x จะ ลดลง นนคอสวนทงหมดจะลดลงทาให F เพมขน]”

การตรวจสอบพฤตกรรมของตวแบบดานคณภาพ เปนการตรวจสอบการเปลยนแปลงของตวแบบดวยตวแปรทงหมด ซงโดยทวไปมกจะตรวจสอบพฤตกรรมของตวแบบเฉพาะ ตวแปรทนาสนใจเทานน เชน ตวแปรทเปนตวแปรแบบสดสด (extreme values) [กลาวคอ เมอตวแปรมคานอยกนอยทสด หรอเมอตวแปรมคามากกมากทสด] ตวแปรทมคาสงสดสมพทธหรอตาสดสมพทธ ตวแปรทมคาเปนศนย ตวแปรทมคาเปนคาอนนต ทงนเพราะมตวแปรบางตวในชวงไมมความหมายในเชงการเปลยนแปลง

คาตอบของตวแบบ เนองจากในขนตอนการพฒนาตวแบบจาเปนตองมการประมาณคาใหงายและลงตว ดงนนในขนของการตรวจสอบคาตอบจะตองพจารณาวา การประมาณคาใหงายและลงตวนนไดเปนไปตามหลกเกณฑหรอไม เชน

ถา x มคานอยแลว x2 จะยงมคานอย ถา x มคามากแลว x2 จะยงมคามาก

ถา x มคานอยแลว x1 จะยงมคามาก และ 2

1x

เปนจานวนคทมคามาก

ถา x มคามากแลว x1 จะยงมคานอย และ 2

1x

เปนจานวนคทมคานอย

หารดวยจานวนทมคานอยมาก ๆ จะไดผลลพธทมคามาก หารดวยจานวนทมคามาก ๆ จะไดผลลพธทมคานอยมาก ๆ คณดวยจานวนทมคานอยมาก ๆ จะไดผลลพธทมคานอยมาก ๆ

ยทธศาสตรตอไปน อาจพบ ในการทาใหคาตอบเปนคาตอบทงายและลงตว เชน นาจานวนทมคานอยมาก ๆ ออกจากการบวกหรอลบ ปรมาณทมคามาก ๆ ปรบจานวนใหมคาใกลคากาลงสองกอนทจะถอดรากทสอง ทง เลขดชนบวกจานวนมาก ๆ ของจานวนทมคานอยมาก ๆ ทงจานวนทมสวนชวยเหลอนอยในการไดมาซงคาตอบออก



ความงาย ตวแบบทดจะตองไดคาตอบทงายและเปนไปได ซงการทจะไดตวแบบ ดงกลาว จะตองใชการเปรยบเทยบตวแปรทประกอบกนเปนตวแบบ ตวแปรทงหมดเปน ตวแปรทมความจาเปนหรอไม เชน ตวแบบในทางกลศาสตรจะมตวแปรของแรงเสยดทานหรอความตานทานของอากาศ ในแตละสวนของสมการเราสามารถพจารณาแตละพจนทสาคญ ดงน

1. เปรยบเทยบลาดบตามขนาดของพจนทมการเปลยนแปลงในตวแบบและตดสนใจ ละทงพจนทมคานอย ๆ

2. พจารณาผลกระทบของพจนทมการเปลยนแปลงซงมผลตอคาตอบ ถาเราตองการคาตอบทเขาใกลคาแทจรง 1% เราจะตองกาหนดใหพจนทมผลตอ คาตอบ ดวยคาทไมตองการเพยง 0.1 %

มตพนฐาน(ของบางปรมาณ)ทางฟสกส

ปรมาณ มต หนวย SI ความเรว ความเรง แรง ความดน พลงงาน

LT-1 LT-2 MLT-2 ML-1T-2 ML-2T-3

ms-1 ms-2 N หรอ kg m s-2 Pa หรอ N m-2 หรอ kg m-1s-2 W หรอ Js-1

ตวอยางท 3.1 ตวแปร w มความสมพนธกบสามตวแปร x, y และ z ดงน w แปรผกผนกบตวแปร x และแปรผนตรงกบผลบวกของตวแปร y และ z สมการตอไปน สมการใดเปนสมการทแทนความสมพนธดงกลาว ก. w = ay/x + bz/x ข. w = ay/x + az/x

ค. w = a(y + z) + b/x ง. w = a(y + z)/x + b/x เฉลย คาตอบทถกตองคอ ขอ ค.



ตวอยางท 3.2 ตวแปร y ขนอยกบสองตวแปร w และ z และขอความตอไปนเปนจรง (1) เมอ w เพมขน y ลดลง (2) เมอ z เพมขน y เพมขน (3) เมอ w และ z เปน 0 แลว y จะเปน 0 ดวย เมอ a, b และ c เปนจานวนบวก สมการตอไปนสมการใดเปนสมการทแทนความสมพนธดงกลาว ก. y = aw + bz ข. y = bz – aw + c

ค. y = cz/w ง. y = cwz จ. y = az – bw

เฉลย มเพยง ขอ จ. เทานนทสอดคลองกบสงทกาหนดให ขอ ก. และ ง. ตางกเกดขอขดแยง (contradiction) กบขอ (1) และ ขอ ข. และ ค. ตางกเกดขอขดแยงกบขอ (3) ตวอยางท 3.3 ตวแบบการพยากรณปรมาณ F ทอยในรปสมการ F = ax/(c - bx) เมอ a, b, และ c เปนจานวนบวก และ x เปนตวแปรทมคาอยระหวาง 0 และ c/b จงพยากรณปรมาณ F ในกรณตอไปน (a) เมอ a เพมขน

(b) เมอ b เพมขน (c) เมอ c เพมขน (d) เมอ x เพมขน

เฉลย (a) เมอ a เพมขน ทาใหเศษมคาเพมขน ดงนน F จะมคาเพมขน (b) เมอ b เพมขน ทาใหสวนมคาลดลง ดงนน F จะมคาเพมขน (c) เมอ c เพมขน ทาใหสวนมคาเพมขน ดงนน F จะมคาลดลง (d) เมอ x เพมขน ทาใหสวนมคาลดลง ดงนน F จะมคาเพมขน และมคามาก

ทสด เมอ x มคาเขาใกล c/b



ตวอยางท 3.4 ถา V เปนปรมาตร M เปนมวล ρ เปนความหนาแนน x เปนความยาว A เปนพนท และ k เปนตวคงททไมมมต สมการตอไปนสมการใดบางทมความคงเสนคงวาทางมต 1. M = ρAx 2. V = A/x + M/ρ 3. A = V/x + M/ρ 4. x = kV/A 5. A/V = k/x + ρA/M 6. A/x = k/V + M/ρ วธทา สมการท 1. [ρAx] = (ML-3)(L2)(L) = M ซงมมตเทากบดานซายมอ ดงนน สมการท 1. มความคงเสนคงวาทางมต สมการท 2. เนองจาก [V] = L3 แต [A/x] = (L2)/(L) = L ซงแสดงใหเหนวา สมการท 2. ไมคงเสนคงวาทางมต สมการท 3. เนองจาก [A] = L2 , [V/x] = L3/L = L2 แต [M/ρ] = M/(ML-3) = L3 ซงแสดงใหเหนวาสมการท 3. ไมคงเสนคงวาทางมต สมการท 4. [x] = L2 , [kV/A] = (L3)/(L2) = L ดงนน สมการท 4. มความคงเสนคงวาทางมต สมการท 5. [A/V] = (L2)/(L3) = L-1 , [k/x] = L-1 และ [ρA/M] = (ML-3)(L2)/M = L-1 ดงนน สมการท 5. มความคงเสนคงวาทางมต สมการท 6. [A/x] = L2/L = L แต [k/V] = (L3)-1 = L-3 ซงแสดงใหเหนวา สมการท 6. ไมคงเสนคงวาทางมต ตวอยางท 3.5 จงประมาณคาทลงตว โดยไมใชเครองคดเลข ของจานวนตอไปน

2)015.0(10015.37

+

วธทา เนองจากตวเศษ เราสามารถประมาณคาจานวน 37.15 ใหเปนจานวนกาลงสองทใกลทสดคอ 36 ซงสามารถถอดรากทสองได 6 สาหรบสวน เมอพจารณา (0.015)2 เมอเปรยบเทยบกบ 100 แลวจะเหนวามคานอยมากซงอาจจะตดทงได ดงนน คาประมาณของจานวนดงกลาว จงเหลอเพยง 6/100 = 0.06



แบบฝกหดบทท 3 1. ตวแปร w มความสมพนธกบสามตวแปร x, y และ z ดงตอไปน w แปรผกผนกบ x และแปรผนตรงกบ ผลรวมของ y และ z ขอความตอไปนขอความใดเปนไปตามความสมพนธดงกลาว (a) w = ay/x + bz/x (b) w = ay/x + az/x (c) w = a(y + z) + b/x (d) w = a(y + z)/x + b/x 2. ตวแปร y ขนอยกบสองตวแปร w และ z ตามเงอนไขตอไปน

2.1 เมอ w เพมขน y จะเพมขนดวย 2.2 เมอ z เพมขน y จะลดลง 2.3 เมอ z มคานอยมาก ๆ y จะมคามาก

ขอความตอไปนขอความใดเปนจรง (a) y = a/w + bz (b) y = a/(z + bw) (c) y = a/z + bw (d) y = aw – bz 3. ตวแบบพยากรณปรมาณ F นยามวา F = (ax – b)/(cx + d) เมอ a, b, c และ d เปนจานวนบวก และ x เปนตวแปรทมคามากกวา b/a ตวแบบ F จะเปนอยางไรบางถา

3.1 a มคาเพมขน 3.2 b มคาเพมขน 3.3 c มคาเพมขน 3.4 d มคาเพมขน 3.5 x มคาเพมขน

4. พจนตอไปนพจนใดเพมขน และพจนใดลดลง ตามเงอนไข ตอไปน (เมอ a, b และ c เปนจานวนบวก)

4.1 เมอ a มคาเพมขน 4.2 เมอ b มคาเพมขน 4.3 เมอ c มคาเพมขน

(a) cb1

a

+ (b)

aba

cb

+− (c) 2bca

abc+



5. ตวแบบใดตอไปน สอดคลองกบกราฟในรปท 3.1 (เมอ a และ b เปนจานวนบวก)

รปท 3.1

(a) y = b(a – x) (b) y = a + bx (c) y = b(x + a) (d) y = b(x – a) 6. ขอความใดสอดคลองกบเงอนไขตอไปน

6.1 มคามาก เมอ x มคาบวกทนอย ๆ 6.2 มคาเพมขน สาหรบทก ๆ คาของ x 6.3 มคานอยมาก ๆ เมอ x มคามาก 6.4 ไมมขอบเขตเมอ x มคามาก ๆ (a) x + 1/x (b) 1/(1 + x) (c) x/(1 + x2) (d) 1 - e-x (e) 1 + ex (f) xe-x (g) x log x

7. จงอธบายผลของการเปลยนแปลงคาของ a, b และ c ของขอความตอไปน (a) a + be-cx (b) c + axe-bx 8. ตวแบบชวงเวลาของการแกวงลกตมทมกานยาว l คอ T = 2π )g/l( เมอ g เปน ความโนมถวงของโลก จงตรวจสอบความคงเสนคงวาทางมตของตวแบบดงกลาว 9. ถา x และ L เปนความยาว t และ T เปนเวลา ขอความตอไปนขอความใดมมตเหมอน กน (a) sin(x) cos(x) (b) sin(x/L) cos(t/T) (c) ln(1+ x/t) (d) ln(1 + t/T) (e) exp(xt/LT) (f) sin(x + t) (g) exp{(x + L)t/T} (h) sin(x/L + t/T)

x

y

B

c

0-a a

a

A



10. เมอ p เปนความดน u เปนความเรว ณ ความลก z โดยม ρ เปนความหนาแนน จงพจารณาตวแบบตอไปน ตวแบบใดมความคงเสนคงวาทางมต (a) p + ρz + u2/2 = constant (b) p + gz + u2/2 = constant (c) p + ρgz + ρu2/2 = constant (d) p + ρgz + u2/2 = constant 11. ถา A เปนพนท x, y และ z เปนความยาว t เปนเวลา u เปนความเรว ตอไปนสมการใดมความคงเสนคงวาทางมต (a) A = xy + yz (b) u = x/t + y/t (c) At = xyz/u (d) A/t = xu (e) A = ut + xy (f) x = Au + y (g) A = xy + xyt (h) y = A/x 12. ให p เปนแรงดน ณ ความลก h ใตพนผวของของเหลวทมความหนาแนน ρ เขยน เปนตวแบบ ไดดงน p = p0 + ρgh เมอ p0 เปนแรงดน ณ พนผวของของเหลว และ g เปนแรงดงดดของโลก จงตรวจสอบตวแบบดงกลาววามความคงเสนคงวา ทางมตหรอไม 13. ตวแบบพยากรณความสง h(t) ของนาในแทงกทรงกระบอก ณ เวลา t นยามดงน

220 )rπ/t)2/a(ah(h −= เมอ h0 เปนความสงของนา ณ เวลา t0 , r เปนรศม

ของสวนตดของแทงก a เปนพนทของสวนตดของกอกปลอยนา และ g เปนแรงโนมถวงของโลก จงตรวจสอบตวแบบวามความคงเสนคงวาทางมตหรอไม

14. อนภาคทมมวล m เคลอนทขนจากผวโลกทางแนวดงดวยความเรว u ณ เวลา t = 0 ถาแรงตานทานของอากาศมคาเทากบ kv2 เมอ v เปนความเรว ณ เวลาใด ๆ ตวแบบใน การพยากรณเวลากลบถงพนดนของอนภาคน คอ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+++= −

mgkU1

mgkUln

mgkUtan

kgmT

21 เมอ v = U/

mgkU1

2+

จงตรวจสอบตวแบบวามความคงเสนคงวาทางมตหรอไม 15. จงหาคาประมาณของจานวนตอไปนโดยไมใชเครองคานวณ

(a) ( )( ){ }3.9908.100 (b) (101/9.98 + 6/(143)2)3 (c) (3 + 1/177) 008.4 / 145 (d) { } { }2)210/(13/)998.2)(001.4( +



(e) 5

4 ])e1(100/[101⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++ −

(f) {14,016.5 + 5,908 + sin(1.438)}2 16. กาลงสามของนาหนกของเหลกเทากบ 40 ตน อยากทราบวาเหลกนมขนาดใหญเทาไร 17. จงประมาณจานวนมวนของกระดาษปดผนงทมความสง 90 ฟต ยาว 16 ฟต ถากระดาษ

มวนหนงกวาง 20.5 นว และยาว 11 หลา 18. เรอขนาด 50,000 ตน มขนาดใหญเทาไร 19. กาหนดให คาประมาณ ตอไปน

(a) รศมของโลกประมาณ 4,000 ไมล (b) พนทผวของโลกเปนนาประมาณ ¾ สวน และพนดน ¼ สวน (c) 70 % ของพนดนบนโลกสามารถอยอาศยได (d) คน 1 คน ใชพนทในการอยอาศย 100 ฟต × 100 ฟต (e) ปรมาณประชากรโลกในป พ.ศ. 2450 และ 2500 มจานวน 1.6 × 109 และ 2.4 × 109

ตามลาดบ จงประมาณจานวนประชากรสงสดทโลกสามารถรบได และจะเกดขนในป พ.ศ.ใด

20. ถา a และ b คอ 10,000 และ 10 ตามลาดบ แทนคาในพจนตอไปน

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

3

2

b1a

ba1

(a) จงหาคาประมาณของจานวนขางบน (b) จงหาคาทมากทสด และคาทนอยทสด (c) จงแทนคาดงกลาวดวยนพจนอยางงาย

21. จงแทนนพจน x/1x)xe( 22)x/1x( 3+++ ดวยรปแบบอยางงาย

(a) เมอ x มคานอย ๆ (b) เมอ x มคามาก ๆ

22. จงแทนนพจน xyyxyx

yx

y2

332 +++

ดวยรปแบบอยางงาย

(a) เมอ x มคานอย ๆ (b) เมอ y มคานอย ๆ



23. จงแทนนพจน 1 + a sin(Ωt) + a2Ω2 cos(Ωt) ดวยรปแบบอยางงาย (a) เมอ t มคานอย ๆ (b) เมอ a มคานอย ๆ (c) เมอ Ω มคานอย ๆ

24. สาหรบคานอย ๆ ของ θ และ sin θ ทลงตวมคาเทากบ θ เมอ θ มหนวยเปนเรเดยน อยากทราบวาเมอ θ มคามากขน การประมาณดงกลาวยงคงถกตองในชวง 10 % หรอไม

25. ในแบบฝกหดตอไปน กาหนดให a = 0.1, b = 0.01 และ c = 0.001 และให x เปนตวแปรทอยในชวง [1, 11] (a) จงหาคานอยทสด และคามากทสด ของพจนตอไปน

(1) x/b + a/x + c (2) ax/b + bx2 + ab (3) a/x + bx3/a + c/(ax2)

(b) จงทาใหนพจนตอไปนอยในรปอยางงาย โดยการทงพจนทมคานอย (1) x2 – 2cx + a (2) ac + bx2 + a/x (3) b sin x + a x

(c) จงทาใหนพจนตอไปนอยในรปอยางงาย โดยการทงพจนทอยในรป 10-n เมอ n > 2 (1) bx3(1 – b3x + cx – x2c2) (2) (b3 + 2c/x + a2)/(c3x +b) (3) )(cx + c sin x + be-x

(d) จงทาใหนพจนตอไปนอยในรปอยางงาย โดยเปลยนแปลงเฉพาะพจนทใหญทสด

(1) cxxb

xa

++ 102

(2)

cxcxb

axx2

2

++

+

(4) )(

))(sin( 32

cbxaxbxcax

+++



26. จงเขยนตวแปรตอไปนใหอยในรปมตทใชสญลกษณ M, L, T และใชหนวยในระบบ SI เงนมหนวยเปน บาท

(a) แรง (= มวล × ความเรง) (b) พลงงาน (= แรง × ระยะทาง) (c) กาลง (= อตราของพลงงานทออกมา) (d) ความหนาแนนของวตถ (= มวลตอหนวยของปรมาตร) (e) ราคาตอหนวยพนทของสานกงาน (f) อตราของการเปลยนแปลงอณหภมในหอง (g) อตราการไหลของมวลในทอ (= มวลของของเหลวทไหลผานจดในเวลาตาง ๆ) (h) ความดนของอากาศในยางรถ

บทท 4 ตวแบบดสกรต 39


บทท 4 ตวแบบดสกรต (Discrete Models)

เราสรางตวแบบขนมาเพอใชในการหาคาตอบหรอพยากรณเหตการณในอนาคต เชน พยากรณการพฒนาการของระบบในอนาคต พยากรณแนวโนมในอนาคต หรอใชประกอบการตดสนใจ ตวแปรของตวแบบนบวาเปนสวนประกอบทสาคญทมผลโดยตรงตอคาตอบของตวแบบ สงทตองพจารณาเกยวกบตวแปร คอ คาของตวแปรและอตราการเปลยนแปลงของ ตวแปร เชน

1. คาของตวแปร X ในปจจบน

2. คาของตวแปร X กอนหนา

3. คาของตวแปรอน ๆ

4. อตราการเปลยนแปลงของตวแปรอน ๆ

5. เวลา , t

ความสมพนธทอยในตวแบบ เปนความสมพนธทอธบายการเปลยนแปลงของตวแปร X ตามเวลา t ซงมดวยกน 2 แบบ คอ

1. ความสมพนธท X(t) เปนฟงกชนตอเนองของเวลาตอเนอง t ซงเขยนอยในรปฟงกชนชดเจน X(t) ในพจนของ t และเรยกตวแบบทมความสมพนธลกษณะนวา ตวแบบตอเนอง (Continous Model)

2. ความสมพนธทใชคา X เฉพาะบางจดในชวงเวลา เชน ชวง 1 ชวโมง, ชวง 1 เดอน กรณนใชสญลกษณ Xn แทนคาของ X หลงชวงเวลา n ทผานมา และเรยกตวแบบทมความสมพนธลกษณะนวา ตวแบบดสกรต (Descrete Model)

ความสมพนธในตวแบบดสกรต จะอยในรปสมการ ทมรปแบบตอไปน

คาตอไป = ฟงกชนของ {คาปจจบน, คากอนหนา และเวลาทเปนไปได}

เขยนในรปสญลกษณไดวา



Xn+1 = f(Xn, Xn-1, …, t)

เรยกสมการนวา สมการความแตกตาง (difference equation)

พจารณา สมการความแตกตาง ตอไปน ให Pn เปนผลผลตของโรงงานในปท n และการผลตไดผลผลตเปนสองเทาของปกอนหนาทก ๆ ป ดงนน จะไดสมการความแตกตาง วา

ผลผลตของปตอไป = 2 × ผลผลตของปน

นนคอ Pn+1 = 2 Pn

ถา P0 = ผลผลตของป 0 ดงนน P1 = 2P0 , P2 = 2P1 = 2(2P0) = 22P0 และ P3 = 2P2 = 2(22P0) = 23P0 จะเหนรปแบบชดเจน จงสรป ไดวา Pn = 2nP0

ในลกษณะทคลายคลงกนเราสามารถประยกตใชเปอรเซนตคงทของอตราการเจรญเตบโต เชน ถาอตราการเจรญเตบโตคอ 25 % ตอป ดงนนสมการความแตกตางเปน Pn+1 = (1.25)Pn ซงจะไดวา Pn = (1.25)nP0

สมการความแตกตางทอยในรป Xn+1 = aXn เมอ a เปนตวแปรเพมขนทอยในรปของอตราสวน(เปอรเซนต)คงท ในทกขนของเวลา คาตอบของสมการนคอ Xn = anX0 สมการ Xn+1 = aXn และ Xn = anX0 เปนสมการทสมมลกน โดยสมการท 1 เปนสมการความแตกตาง และสมการท 2 เปนคาตอบของสมการท 1

ในการกเงนระบบดอกเบยทบตน ทมอตราดอกเบยทบตนคงท r % ตอป ถา P0 เปนเงนตน และ Pn เปนเงนรวมเมอสนปท n แลว จะไดสมการความแตกตาง

Pn+1 = (1 + r/100)Pn ทมคาตอบของสมการคอ Pn = (1 + r/100)nP0

รปแบบอยางงาย ของสมการความแตกตางตอไป คอ กรณสมประสทธคงทเชงเสนอนดบ 1 (the first-order linear constant coefficient case) อยในรป

Xn+1 = aXn + b ……………………. (*)

เรมตนดวย X0 จะไดวา

X1 = aX0 + b

และ

X2 = aX1 + b = a(aX0 + b) + b = a2X0 + (a + 1)b



และไดวา

X3 = aX2 + b = a(a2X0 + (a + 1)b) + b = a3X0 + (a2 + a + 1)b

ทาเชนนเรอย ๆ จะไดวา

Xn = anX0 + (an-1 + … + a2 + a + 1)b

= anX0 + (an – 1)b/(a – 1) เมอ a ≠ 1

สาหรบกรณท a = 1 จะไดวา X2 = X0 + 2b, X3 = X0 + 3b และตอไปเรอย ๆ ซงสรป ไดวา Xn = X0 + nb

ในบางตวแบบดสกรต พบวา เมอ n เพมขน คาของ Xn มคา เขาส ลมต (limit) หรอ สภาพคงท (equilibrium) ซงหมายถงเมอ n มคามาก ๆ Xn+1 = Xn = L จากสมการความแตกตาง (*) จะไดวา L = aL + b และคาดลภาพ (equilibrium value) L = b/(1 – a) เมอ a ≠ 1 และ ถาเราเรมตนท X0 = L แลวจะไดแนนอนวา Xn = L

อบดบของสมการความแตกตาง

เราเรยกสมการความแตกตางทมพจน Xn+1 และ Xn ทตอเนองกน โดยไมมพจน X อน ๆ ทหางไกลออกไปวา สมการความแตกตางอนดบหนง (first-order) และเรยกสมการความแตกตางทมพจนถดไปเพมขนอก เชน Xn-1 หรอ Xn+2 วา สมการความแตกตางอนดบสอง (second order) และจะเรยกอนดบถดไปในลกษณะนตอไปเรอย ๆ หรอกลาวอกนยหนงวา อนดบของสมการความแตกตางคอความแตกตางของตวหอยสงสดและตาสดทอยในสมการ

สมการความแตกตางเชงเสน

นอกจากคณสมบตดานอนดบของสมการความแตกตางแลว ยงมคณสมบตดานเชงเสน อก ตวอยางตอไปนเปนตวอยางของสมการความแตกตางอนดบสองเชงเสน เชน

Xn+1 = 2Xn + 3Xn-1 + n2 + 7

ขอสงเกต n2 ไมทาใหสมการขาดคณสมบตเชงเสน และพจน X สามารถคณไดกบตวคงทเทานน และตวอยางของสมการความแตกตางไมเชงเสน เชน



Xn+1 = aXn(1 – Xn)

ทงนเพราะมพจน Xn2 อยในสมการ

คาตอบของสมการไมเชงเสน มลกษณะยงยากมากและมพฤตกรรมทแปรผนมากกวาคาตอบของสมการเชงเสน ในบางกรณ แสดงในรปของพฤตกรรมทยงเหยง ไมเปนระเบยบ ‘chaos’

สมการความแตกตางโฮโมจเนยส

สมการความแตกตางทสามารถจดใหอยในรป Xs เทากบ 0 ได จะเรยนสมการความแตกตางนนวาเปน โฮโมจเนยส (homogeneous) เชน Xn+2 + 3Xn+1 – Xn = 0 เปน โฮโมจเนยส ขณะท Xn+1 – 3Xn = 3n +1 ไมเปนโฮโมจเนยส โดยปกตสมการความแตกตางทเปนโฮโมจเนยส จะหาคาตอบของสมการงาย และจะหาคาตอบงายมากขนถาสมประสทธของ X เปนตวคงท

ตวอยาง เชน Xn+2 – 3Xn+1 + Xn = 0 ขณะท Xn+2 + 3nXn+1 + Xn = 0 สมประสทธของ X ไมใชตวคงท

วธการหาคาตอบของสมการความแตกตางในทางคณตศาสตรมอกมาก สาหรบ เนอหาในบทนมจดประสงคเพยงการสรางตวแบบ ทอยในรปของสมการความแตกตาง และการประยกตใชทเปนไปได

ตวแบบทมตวแปรมากกวาหนงตวแปร

สมมตวา ในการสรบกนระหวาง กองกาลงฝาย A และกองกาลงฝาย B ในชวงเวลาหนง ตางฝายตางกตองสงหารฝายตรงกนขาม สมมตวา ทหารหนงคนของกองกาลง B สามารถสงหารทหารของกองกาลง A ไดจานวน b คนในแตละชวงเวลา และในทานองเดยวกนทหารหนงคนของกองกาลง A สามารถสงหารทหารของกองกาลง B ไดจานวน a คน ในแตละชวงเวลา เชนกน

ให An เปนจานวนพลของกองกาลง A ทสารวจหลงจากชวงเวลา n และ ในทานองเดยวกนให Bn เปนจานวนพลของกองกาลง B ทสารวจหลงจากชวงเวลา n



จานวนพลทถกสงหารของกองกาลง A ในชวงเวลาหนงคอ bBn ทงนเพราะทหารหนงคนในจานวน Bn คนของกองกาลง B สามารถสงหารทหารของกองกาลง A ได b คน ดงนน ผลการสารวจจานวนทหารทเหลอของกองกาลง A กอนการรบชวงเวลาตอไป คอ

An+1 = An – bBn

ในทานองเดยวกน ผลการสารวจกองกาลง B กอนการรบชวงเวลาตอไป คอ

Bn+1 = Bn – aAn

ถาทราบจานวนทหารเรมตน A0 , B0 และคาของ a , b แลว เราสามารถหาคา A1 และ B1 ไดโดยตรงจากสมการขางตน สาหรบในกรณอน ๆ เราสามารถใชวธการแทนคาได ดงน

An+2 = An+1 – bBn+1

= An+1 – b(Bn – aAn)

= An+1 + abAn + (An+1 – An)

ซงจะไดวา

An+2 – 2An+1 + (1 – ab)An = 0

เปนสมการความแตกตางอนดบสอง จากลาดบ An ถาเราทราบคาเรมตนสองคา (A0 และ A1 ) เราสามารถหาคา An ใด ๆ ได ดงตวอยาง 4.9

ตวแบบเมทรกซ (Matrix Models)

เราสามารถเขยน สมการความแตกตางเชงเสนทมตวแปรมากกวาหนงตว ใหอยในรป เวคเตอร หรอ เมทรกซ ได เชน การสรบดงทกลาวมาแลวสามารถเขยนในรปเวคเตอรได คอ

Xn = [An, Bn]

และสมการคของสมการความแตกตางสามารถเขยนได เปน

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+

n

n

1n

1n

BA

1ba1

BA

ซงเขยนแทนดวย Xn+1 = MXn เมอ M เปนเมทรกซ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1ba1

และคาตอบสามารถเขยนในรป Xn = MnX0



วธการดงกลาวขางตนใชในการสรางตวแบบทเกยวกบการเปลยนแปลงระหวางภาวะ (state หรอ compartment) สาหรบประชากร เชน การพยากรณจานวนประชากร ในทกชวงเวลา ประชากรของมนษยประกอบไปดวยกลมคนทมความแตกตางกนในเรองอาย เพศ อาชพ ฯลฯ ในการวางแผนการใชทรพยากรตาง ๆ ในอนาคต เชน โรงเรยน โรงพยาบาล มความจาเปนตองพยากรณจานวนประชากรตามความแตกตางของกลมคน

ลองพจารณาประชากรของสตวซงเปนแบบงาย ๆ ทมการเปลยนแปลงจากสตวแรกเกดไปถงเปนสตวผใหญ ทมการแบงแตละกลมใชชวง 1 ป โดยกาหนดสญลกษณตามจานวนประชากรของแตละกลมของชวงเวลา n ดงตอไปน

Bn = จานวนลกสตวแรกเกดทมอายไมถง 1 ป

An = จานวนสตววยรนทมอายตงแต 1 ป แตไมถง 2 ป

Sn = จานวนสตวผใหญทมอาย 2 ป และ มากกวา 2 ป

ซงมอตราการเกดและการตายของแตละกลมดงน

กลม อตราการเกด อตราการตาย

B 0 0.1

A 0.3 0.2

S 0.1 0.3

90 % ของสตวแรกเกดจะเปลยนแปลงเปนสตวผใหญ และ 10 % ของสตวผใหญจะตองตายไป

เราสามารถสรางเมทรกซจากขอมลตาง ๆ ไดดงน

n1nSAB

7.08.00009.01.03.00

SAB

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

หาจานวนประชากรไดจากการคณเมทรกซ (เรยกเมทรกซนวา transition matrix) ซงคาตอบจะขนอยกบขนาดของ eigenvalue λ

• ถา λ > 1 แลว การเจรญเตบโตของประชากรจะไมมลมต

• ถา λ = 1 แลว จานวนประชากรจะลเขาส eigenvector ทสอดคลองกบ λ



• ถา λ < 1 แลว จานวนประชากรจะลดลงอยางตอเนอง

ตวอยาง 4.1 ในการกเงนระบบดอกเบยทบตนดวยอตราดอกเบย r % ตอป อยากทราบวาจะใชเวลานานเทาไรทจะทาใหเงนรวมเปนสองเทาของเงนตน

วธทา จากตวแบบอยางงาย Pn = (1 + r/100)nP0 จะตองหา n ททาให คา Pn = 2P0

แทนคา Pn ดวย 2P0 ในตวแบบ จะไดวา (1 + r/100)n = 2

หาคา n ไดวา n ln(1 + r/100) = ln 2

นนคอ )

100r1ln(

2lnn+

=

เชน r % = 10 % คานวณหาคา n ไดวา n = ln 2/ln (1.1) ≈ 7.3 ป

หมายเหต อตราดอกเบย r % ตอป จะไมเทากบ r/12 % ตอเดอน

สมมตใหอตราดอกเบยตอเดอนเปน x % ตอเดอน ดงนนภายหลง 12 เดอน จะไดเงนรวม P = (1 + x/100)12P0 ซงจะเทากบ (1 + r/100)P0

ทาให x และ r มความสมพนธกน ดงน 1 + x/100 = (1 + r/100)1/12

ตวอยางเชน อตราดอกเบย 12 % ตอป นนคอ r = 12 แทนคา r ในความสมพนธขางบน จะได x = 100(1.12)1/12 – 1 = 0.9489

นนคอ อตราดอกเบย 12 % ตอป ไมเทากบอตราดอกเบย 1 % ตอเดอน

ตวอยาง 4.2 จงหาเงนรวม จากการฝากเงนคงทประจาทกป

วธทา สมมตวาเรมฝากเงนจานวน P0 บาท และฝากเงนเพมจานวนคงท a บาท ทกสนป ดงนน เงนรวมเมอสนปท n หาไดจาก

เงนรวมของปน = เงนรวมของปกอน + ดอกเบย + เงนฝากครงสดทาย

นนคอ Pn+1 = (1 + r/100)Pn + a



หรอ Pn+1 = RPn + a เมอ R = 1 + r/100

เปนสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง ทมสมประสทธคงท ซงสามารถเขยนอยในรปของ เงนรวมเมอสนปท n หรอ Pn ไดดงน

Pn = RnP0 + a(Rn - 1)/(R - 1)

ตวอยาง 4.3 จงสรางตวแบบการสงเงนคนรายเดอน จากการกยมเงนโดยเอาทรพยสนไปจานอง

วธทา ให Xn เปนหนทคางชาระหลงจากปท n

m เปนเงนทสงคนรายเดอน

N จานวนปทตองการสงเงน

r อตราดอกเบยของการกยมเงน

นนคอ X0 เปนเงนตนของการกยม และ XN เปน 0

เราสามารถสรางตวแบบ ไดจากสมการตอไปน

หนทคางชาระของปตอไป = หนทคางชาระของปน + ดอกเบย - เงนสงคนในปน

ซงสามารถเขยนเปนสญลกษณได ดงน

Xn+1 = Xn + rXn/100 - 12m

= RXn - 12m เมอ R = 1 + r/100

ซงเหมอนกบตวอยาง 4.2 ในกรณท a = -12m ดงนนจะไดคาตอบวา

Xn = RnX0 - 12m(Rn - 1)/(R - 1)

การจานองจะสนสดในปท N นนคอ XN = 0 ดงนน

0 = RnX0 - 12m(Rn - 1)/(R - 1)

และจานวนเงนสงคนรายเดอน คอ

m = X0(R - 1)/(12(1 - R-N))



แทนคา m จะได หนทคางชาระหลงจากปท n คอ

Xn = X0(1 - Rn - N)/(1 - R-N)

ตวอยางในทางปฏบต เชน ถากยมเงน 50,000 บาท ดวยดอกเบยเงนกเปน 11 % ตอป ตองการใชคนในเวลา 25 ป อยากทราบวาจะตองสงเงนคนรายเดอน ๆ ละเทาไร

ในกรณ R = 1.11 ดงนน เงนสงคนรายเดอน คอ

m = 50,000 x (1.11 - 1)/(12(1 - 1.11-25)) = 494.75

ซงสามารถเขยนกราฟ แสดงหนทคางชาระ ดงน

รปท 4.1

จากกราฟ ของหนคางชาระในแตละป จะเหนวาในการสงเงนคนรายเดอนคงท หนทคางชาระจะลดลงอยางชา ๆ ในชวงแรก และจะลดลงเรวขนในชวงทาย ๆ

ในความเปนจรง อตราดอกเบยมการเปลยนแปลง

สมมตวาอตราดอกเบย เปลยนแปลงลดลง 1 % จาก 11 % เปน 10 %

นนหมายความวา เงนสงคนรายเดอนจะลดลง 1 % เราสามารถหาเงนสงคนรายเดอนใหม ไดวา

50,000 (1.1 - 1)/(12(1 - 1.1-25)) = 459.03

ซงลดลงกวา 7 % จากคากอนหนา (494.75)



ถาอตราดอกเบยเพมขน และผกยมเงนยงคงสงเงนรายเดอนเทาเดม เวลาในการสงเงนจะตองเพมมากขน สมมตวา อตราดอกเบยเพมขนจาก 10 % เปน 10.5 % แตเรายงคงสงเงนรายเดอนเทาเดม 459.03 บาท จานวนปทตองการสงเงนคงใช 25 ป ไมได การหาจานวนปทตองการสงเงน N ใหม ทาไดดงน

459.03 = 50,000(1.105 - 1)/(12(1 - 1.105-N))

1.105-N ≈ 0.046903

-N ln(1.105) ≈ ln(0.046903)

ซงจะไดวา N ≈ 30.6

วธการดงกลาวขางบนไมสามารถใชไดทกครงไป ยงมกรณททาไมได เชน กรณทไมสามารถหาคาตอบของสมการขางบน(คา N ) ทเปนจานวนบวกจากดได กรณทลมตของ N เปนคาอนนต นนหมายความวาจะตองสงเงนรายเดอนไปตลอดกาล (ชวกลปวสาน) คงมคาถามวา อตราดอกเบยควรจะเปนเทาไรจงจะตองสงเงนรายเดอนไปตลอดกาล จากตวอยาง ถาเรายงคงสงเงนรายเดอนเทาเดม 459.03 บาท และให N → ∞ จะไดวา 1 - R-N → 0 และไดวา

459.03 = 50,000(R - 1)/12

จะไดวา R ≈ 1.1102

นนหมายความวา ถาอตราดอกเบยมากกวา 11 % และจายเงนรายเดอน ๆ ละ 459.03 บาท จะตองจายเงนรายเดอนไปตลอดกาล

เงอนไขอนทจะทาให ตองสงเงนรายเดอนไปตลอดกาล (ชวกลปวสาน) คอ

หนทคางชาระของปตอไป = หนทคางชาระของปน

นนคอ แทนคา Xn+1 = Xn = L ในตวแบบ จะไดวา

L = RL - 12m

ดงนน L = 12m/(R - 1)



ถา อตราดอกเบย 12 % และเราสามารถสงเงนรายเดอน 500 บาท เงนตนของการกเงนสงสดทสามารถสงเงนคนไดคอ L = 12 × 500/(1.12 - 1) = 50,000

(ถา เงนตนมากกวาน จะไมสามารถสงเงนรายเดอนคนได หรอ สงเงนรายเดอนไปตลอดกาล)

ตวอยาง 4.4 ในแตละปมโรคทเกดใหม 1,000 โรค และสามารถกาจดโรคไดเพยงครงหนงของโรคทมอย ถาทราบวาในปลายป 2541 มโรคทงหมด 1,200 โรค อยากทราบวาในปลายป 2546 มโรคทงหมดเทาไร และในทสดจะเปนอยางไร

วธทา จากสงทกาหนดให สามารถเขยนความสมพนธไดวา

จานวนโรคในปตอไป = ครงหนงของจานวนโรคในปน + 1,000 (โรคใหม)

ให Xn เปนจานวนโรคในปลายปท n หลงจากป 2541

ดงนน สามารถเขยนตวแบบใหอยในรปสญลกษณ คอ

Xn+1 = 0.5Xn + 1,000 และ X0 = 1,200

ซง สามารถคานวณจานวนโรคในแตละป ไดดงน

X1 = 600 + 1,000 = 1,600, X2 = 1,800 … และ X5 = 1,975 ซงเปนจานวนโรคในปลายป 2546 ตามตองการ

และในทสด ถาให Xn มคาเขาส L เมอ L = 0.5L + 1,000 จะได L = 2,000

นนคอ ในทสดจานวนโรคม 2,000 โรค โดยไมเพมขนอก

ตวอยาง 4.5 สมมตวาพรรคการเมองมการสญเสยผสนบสนนในแตละเดอน p % ในขณะทในเดอนนน ๆ มผเปลยนมาสนบสนน q % ของฝายตรงขาม ถา Xn เปนเปอรเซนตของประชากรทสนบสนนพรรคการเมองนในเดอนท n จงเขยนสมการเชงอนพนธทสอดคลองโดย Xn

วธทา เปอรเซนตของประชากรทไมสนบสนนพรรคการเมองในเดอนท n คอ 100 - Xn

และมผสนบสนนพรรคการเมองเพมขน คอ 100q ของฝายตรงกนขามทเปลยนมาสนบสนน



พรรคการเมอง ขณะทพรรคการเมองสญเสยผสนบสนนไป 100p ของผสนบสนนเดม

ดงนนตวแบบ คอ

เปอรเซนตของผสนบสนนของเดอนตอไป

= เปอรเซนตของผสนบสนนทเหลอจากเดอนน

+ เปอรเซนตของผสนบสนนทเพมขนในเดอนน

Xn+1 = (1 - 100p )Xn + (

100q )(100 - Xn)

= (1 - 100p -

100q )Xn + q

ตวอยาง 4.6 เดกผหญงกนอาหารวนละ 2,500 แคลอร ใชพลงงานในการเผาพลาญทวไป 1,200 แคลอร ใชพลงงานในการออกกาลงกายวนละ 16 แคลอรตอนาหนกตว และอตราสวนในการเปลยนแปลงพลงงานเปนไขมน คอ 10,000 แคลอร เปลยนแปลงเปนไขมน 1 กโลกรม

ในเชาวนอาทตยเธอมนาหนก 57.1526 กโลกรม และในวนพธเธอกนอาหารเพมมากกวาปกต เปน 3,500 แคลอร

จงสรางตวแบบเชงคณตศาสตรเพอพยากรณนาหนกของเธอ Wn ตอนเชาของวนท n และจงประมาณคาตอไปน

ก. นาหนกของเธอในตอนเชาของวนเสาร

ข. ปรมาณอาหารทเธอสามารถกนไดในแตละวน (เมอเธอหนก 57.1526 กโลกรม)

ค. นาหนกตาสดทเธอสามารถลดไดใน N สปดาห

วธทา เรมตนของการสรางตวแบบเราจะยงไมคานงถงปรมาณอาหารทเธอกนเขาไป

เมอนาหนกของเธอเปน Wn เธอตองใชพลงงาน 16Wn แคลอรตอวนสาหรบใชในการออกกาลงกาย

ดงนนพลงงานทเหลอจากการใชตอวน คอ 2,500 – 1,200 - 16Wn = 1300 - 16Wn แคลอร ซงจะเปลยนไขมน ไดโดยการหารดวย 10,000



นนคอ นาหนกของเธอจะเพมขนวนละ 000,10

)W161300( n− กโลกรม

และตวแบบของเรา คอ

Wn+1 = Wn + 0.13 - 0.0016Wn

= 0.9984Wn + 0.13

ก. ใชเชาวนอาทตย เธอมนาหนก 57.1526 กโลกรม

ใชตวแบบหานาหนกของเธอในเชาวนพธ ไดวา

W3 = 57.2681194 กโลกรม

ในวนพธเธอกนอาหารมากกวาปกต 1,000 แคลอร ดงนนเชาวนพฤหสบดเธอมนาหนก

W4 = 0.9984W3 + 0.23 = 57.40649 กโลกรม

และใชตวแบบหานาหนกของเธอตอไปจนถง เมอเชาวนเสาร จะไดวา

W6 = 57.482728 กโลกรม

ก. ตองการหาปรมาณอาหารท เธอสามารถกนไดในแตละวน (เมอเธอหนก 57.1526 กโลกรม) สมมตวาในแตละวนเธอกนอาหารดวยจานวนคงท α แคลอร จะไดตวแบบเปน

Wn+1 = Wn + 000,10

)W161200α( n−−

เนองจาก Wn+1 = Wn = 57.1526 แกสมการจะได α ≈ 2114 แคลอร

ข. หานาหนกตาสดทเธอสามารถลดได หมายถง ถาเธอไมกนอะไรเลย ตวแบบ จะเปน Wn+1 = 0.9984Wn - 0.12

เราสามารถใชคาตอบทวไปของสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดนท 1 เขยนนพจนไดดงน

Wn = 0.9984nW0 - 0.12[1 - 0.9984n]/0.0016

= 132.1526(0.9984)n - 75



ตวอยาง 4.7 ขบวนรถบรรทกขบวนหนงประกอบดวยหวรถจกรเชอมตอกบโบกบรรทกตามแนวเสน มความยาวทงขบวน d , เคลอนทดวยแรงคงท F , ให Vn เปนความเรวของโบกท n เรมเคลอนท และให mn เปนมวลของโบกท n จงหาตวแบบทสอดคลองกบ สมมตฐานดงกลาว

วธทา กอนโบกท n จะเคลอนท มวลของโบกทเคลอนทเปน Mn-1 = m1 + m2 + … + mn-1

ดงนนพลงงานจลน เปน 2VM 2

1n1n −− มวลของโบกทเคลอนท Mn

และผลรวมของพลงงานจลนเปน 2VM 2nn

ไดวา พลงงานจลนทเพมขน คอ 2

)VMVM( 21n1n

2nn −−−

ซงเปนงานทเกดจากหวรถจกร ทเทากบ แรง × ระยะทาง = Fd นนคอ

2

)VMVM( 21n1n

2nn −−− = Fd

ดงนนตวแบบ คอ

)M/Fd2V()M/M(V 1n21nn1nn −−− +=

ตวอยางท 4.8 สมมตวาชมชนหนงมประชากร N คน เกดโรคระบาดขนจาเปนตองแยกประชากรทตดเชอโรคออกตางหาก ให In แทนจานวนประชากรทตดเชอโรคใน n วน หลงจากทมโรคระบาด และให Sn แทนจานวนประชากรทออนแอ แตยงไมตดเชอโรคใน n วน หลงจากทมโรคระบาด สมมตวาในแตละวน จานวนของผตดเชอโรคใหมแปรผนตรงกบจานวนของผตดเชอกบจานวนของผออนแอ จงหาตวแบบอยางงายทสอดคลองกบสมมตฐานตอไปน

ก. ความเจบปวยครงสดทายเกดขนไมแนนอนแตไมถงกบทาใหผคนลมตาย

ข. เปอรเซนตการตายของผตดเชอในแตละวน

ค. เปอรเซนตการหายจากโรคของผตดเชอในแตละวน และพวกเขาเหลานนอาจตดเชอใหมได การปวยนไมทาใหถงแกความตาย

ง. เปอรเซนตการหายจากโรคของผตดเชอในแตละวน แตพวกเขาเหลานนจะเปน ผออนแอทนท และจะเปนผตดเชอใหมอกได การปวยนไมทาใหถงแกความตาย



วธทา ก. สามารถเขยนตวแบบไดวา

จานวนผตดเชอพรงน = จานวนผตดเชอวนน + จานวนผตดเชอใหม

เนองจากผตดเชอใหมแปรผนตรงกบจานวนผตดเชอและจานวนผออนแอ ซงจะเทากบ

aSnIn เมอ a เปนจานวนคงท ซงแปลงตวแบบเปนสญลกษณไดวา

In+1 = In + aSnIn เมอ a เปนจานวนคงท

ในทานองเดยวกน จานวนผออนแอในวนพรงน = จานวนผออนแอในวนน – จานวนผออนแอเปลยนไปเปนผตดเชอ ดงนน

Sn+1 = Sn - aSnIn

นาสมการทงสองมารวมกน จะไดวา

In+1 + Sn+1 = In + Sn

ผลรวมของประชากรทงสองสวนจะมคาคงท และเทากบจานวนประชากรทงหมด N

ข. ให d เปนอตราการเสยชวตคงทในแตละวน ดงนน จากสมมตฐาน จะไดวา In+1 = In + aSnIn - dIn

ในกรณน In + Sn ไมคงท และจานวนประชากรคอย ๆ เสยชวต

ค. ให r เปนอตราการหายจากโรคของผตดเชอทคงทในแตละวน และให Rn เปนจานวนผหายจากโรค และมภมคมกนในวนท n จากสมมตฐานจะได

In+1 = In + aSnIn - rIn

Rn+1 = Rn + rIn

Sn+1 = Sn - aSnIn

เชนเดยวกบกรณ ก. จะไดวา In+1 + Sn+1 + Rn+1 = In + Sn + Rn = ตวคงท = N

ง. ในกรณนเราไดวาไมม Rn และสมการของเรา คอ

In+1 = In + aSnIn - rIn

Sn+1 = Sn - aSnIn + rIn

และไดวา In+1 + Sn+1 = In + Sn = N



ตวอยาง 4.9 การสรบกนระหวางกองกาลงฝาย A ซงมจานวนเรมตน 10,000 คน และกองกาลงฝาย B ซงมจานวนเรมตน 5,000 คน กาหนดใหสดสวนความสามารถในการสงหารของกองกาลงฝาย A และฝาย B คอ a = 0.1 และ b = 0.15 ตามลาดบ จงใชตวแบบอยางงายพยากรณผลลพธของการสรบน

วธทา เราใชตวแบบอยางาย

An+1 = An - bBn = An - 0.15Bn

Bn+1 = Bn - aAn = Bn - 0.1An

เขยนอยในหนวย 1,000 ไดวา A0 = 10 และ B0 = 5 และจากตวแบบจะได

n 0 1 2 3 4 5 6

An 10 9.25 8.65 8.19 7.86 7.65 7.55

Bn 5 4.00 3.08 2.21 1.39 0.61 - 0.16

จะเหนวาการสรบนาจะยตในครงท 6 ทงนเพราะกองกาลงฝาย B ตายหมด และกองกาลงฝาย A เหลอประมาณ 7500 คน

เราสามารถหาคาตอบไดจากคาตอบของสมการเชงอนพนธ

An+2 - 2An+1 + (1 - ab)An = 0

แทนคา a = 0.1 และ b = 0.15 ไดวา

An+2 - 2An+1 + 0.985An = 0

แทนคา An = αxn

αxn(x2 - 2x + 0.985) = 0

จะไดวา x = 1.1225 และ x = 0.8775

และได An = α (1.1225)n + β(0.8775)n



จากคาเรมตน A0 = 10 ดงนน 10 = A0 = α + β

และจาก A1 = 9.25 ดงนน 9.25 = A1 = 1.1225α + 0.8775β

แกสมการหาคา α , β จะได α = 1.94 และ β = 8.06

ทาให An = 1.94(1.1225)n + 8.06(0.8775)n

สาหรบ Bn = 0 เราพบวา

Bn = b

)AA( 1nn +−

Bn = - 1.58(1.1225)n - 6.58(0.8775)n

ทงสองคาเปนจรงเมอ n = 0 ถง 5

วธการอน ๆ อาจจะใช เมทรกซ เชน

n1n B

A11.015.01

BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

จานวน 0.8775 และ 1.1225 เปน eigenvalues ของ เมทรกซ

ตวอยาง 4.10 สมมตวาแมลงผใหญเพศเมยแตละตววางไขเดอนละ 100 ฟอง , 10 % ของไขเจรญเตบโตเปนตวออน , 20 % ของตวออนเจรญเตบโตเปนแมลงเดก , 30 % ของแมลงเดกจะเจรญเตบโตเปนแมลงผใหญ และ 40 % ของผใหญในเดอนนยงคงเปนแมลงผใหญในเดอนถดไป จงเขยนตวแบบเมทรกซของประชากรเวคเตอร X = [E, L, P, A]T เมอ En เปนจานวนไข, Ln เปนจานวนตวออน, Pn เปนจานวนแมลงเดก, An เปนจานวนแมลงผใหญเมอสนเดอนท n ถาเรมตนโดยมแมลงผใหญ 10 ตว จงพยากรณ

ก. จานวนประชากรของแมลงเมอสนเดอนท 6 และ

ข. จานวนประชากรของแมลงในระยะเวลานาน ๆ

วธทา จากสมมตฐานทกาหนดให ไดเมทรกซของการเปลยนแปลง ดงน

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4.03.000002.000001.0100000

M



และไดตวแบบ คอ Xn+1 = MXn

เรมตนดวย [ ]10000XT0 =

จะไดวา [ ]4001000XT1 =

[ ]6.10100400XT2 =

[ ]64.02040160XT3 =

[ ]256.681664XT4 =

[ ]9024.42.34.66.625XT5 =

[ ]921.228.156.6224.490XT6 =

คาตอบ ก. จานวนประชากรของแมลงเมอสนเดอนท 6 คอ X6 ซงไดวา มไข 490 ฟอง ตวออน 63 ตว แมลงเดก 1 ตว และ แมลงผใหญ 3 ตว

คาตอบ ข. จะตองทากระบวนการดงกลาวไปจนกระทง Xn+1 และ Xn มคาเดยวกนซงไดคาเวคเตอรสถานภาพเสถยร (steady state vector) [357.1429, 35.7143, 7.1429, 3.5714] ซงเปน eigenvector ของแมตรกซ M

แบบฝกหดบทท 4

1. จากสมการ และ คาเรมตน ตอไปน จงเขยนคาของ X1, X2, X3 และ X4

(a) Xn+1 = Xn + 3, X0 = 1

(b) Xn+1 = 0.5Xn + 1, X0 = 2

(c) Xn+1 = Xn2 + nX , X0 = 1

(d) Xn+1 = sin(Xn), X0 = 1 (use radians)



2. จงตรวจสอบคณสมบตของสมการเชงอนพนธตอไปน ลงในตารางทกาหนด

สมการ อนดบ เชงเสน สมประสทธคงท Homogeneous

(a) Xn+1 = 1.2Xn + 30

(b) Yn+1 = 5 - Yn2

(c) Xj+1 = 4Xj + Xj-1

(d) Vn+1 = 3Vn + 7

(e) Uk = kUk-1 - Uk-2

(f) Zn = 2 21nZ − + nZn-3

(g) Wn+1 = WnWn-1

3. จงเขยนสมการเชงอนพนธใหมพจน Xn+1 และ Xn เมอ

X0 = 2, X1 = 5, X2 = 11, X3 = 23, X4 = 47, …

4. ในแตละป x % ของรถทมอยจะเปนรถเกา และมรถใหม N คน จงเขยนสมการ เชงอนพนธของ Cn จานวนรถในปท n

5. ถารถยนตกนนามน 30 กโลเมตรตอลตร จงเขยนสมการเชงอนพนธ ทสอดคลองกบ Xn ซงเปนจานวนนามนทเหลอในถงหลงจากการวงไปได n กโลเมตร โดยไมมการเตม นามนใหม

6. ตนถวเจรญเตบโตในวนแรก 3 ซ.ม. และในวนถด ๆ ไป เจรญเตบโตเปนครงหนงของวนกอนหนา ถา Bn เปนความยาวของตนถวในวนท n จงเขยนสมการเชงอนพนธแทนการเจรญเตบโตของตนถว

7. สมมตวาจานวนแมลงในเดอนท n ขนอยกบจานวนไขทวางใน 2 เดอนทแลว และจานวนตวออนทรอดตายจากเดอนแรก จงเขยนสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบ In ซงเปนจานวนแมลงในเดอนท n



8. สมมตวาการปลกตนไมจนใชงานไดตองใชเวลา 10 ป ถา Pn แทนจานวนของตนไมทปลกในปท n และ Mn แทนจานวนตนไมทโตเตมทสามารถใชงานไดในปท n จงเขยนสมการเชอมโยงระหวาง P กบ M โดยให C เปนจานวนตนไมโตเตมทถกตดในแตละป

9. ถาผลผลตเพมขน 4 % ทก ๆ ป และ Pn แทนผลผลตในปท n จงเขยนสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบ Pn ถาผลผลตในป 1990 เปน 10 ลานตน จงประมาณคาวา (a) ปใดทผลผลตเปน 14 ลานตน (b) ปใดทผลผลตเปน 6 ลานตน

10. เครองยนตมการเสอมราคา 5 % ตอป จงเขยนสมการเชงอนพนธสาหรบ Vn : มลคาของเครองยนตเมอปท n ถาเครองยนตใหมราคา 10,000 บาท และเราสามารถใชเครองยนตไปไดจนเครองยนตราคาลดลงเหลอ 3,000 บาท จงคานวณหา (a) มลคาของเครองยนตในปท 5 (b) อายการใชงานของเครองยนต

11. มผตดเชอโรค 100 คนเมอตนป และม 25 % ของผตดเชอโรคตงแตตนปเสยชวตในปลายป จงเขยนสมการเชงอนพนธสาหรบ In : จานวนผตดเชอโรคปลายปท n และจานวนผตดเชอโรคจะเปนอยางไรเมอเวลาผานไปนาน ๆ

12. โรงงานแหงหนงสามารถเพมปรมาณการผลตสนคาไดเดอนละ 2,000 หนวย ในเดอนแรกผลตได 5,000 หนวย อยากทราบวา (a) ในเดอนใดจะผลตสนคาได (1) 20,000 หนวยตอเดอน (2) N หนวยตอเดอน (b) และตองใชเวลานานเทาไรทจะใหผลรวมของผลผลตมากกวา (1) 80,000 หนวย (2) N หนวย

13. หองสมดซอหนงสอใหมจานวน 500 เลมทก ๆ สนป โดยตองทงหนงสอเกาทมอาย 10 ปทกเลม และแตละปมหนงสอสญหายหรอชารด 5 % ของหนงสอในหองสมด จงเขยนสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบ Xn : จานวนหนงสอในหองสมดเมอสนปท n

14. จะตองใชเวลานานเทาไรทจะทาใหเงนรวมของการฝากเงน เปน 3 เทา ของเงนตน ถาอตราดอกเบย 9 % ตอป

15. เวลาทใชในการทางานชนหนงประกอบดวยเวลาทใชในการตดตงอปกรณ S และเวลาทใชในกระบวนการผลต P เวลาทใชในการผลตครงตอไปจะเปลยนไปโดยเวลาทใชในการตดตงอปกรณยงคงเดมแตเวลาทใชในกระบวกากรผลตลดลง 7 % จงเขยนสมการเชอมโยงระหวาง Tn+1 และ Tn : เวลาทใชในการผลตในปท n+1 และ n



16. ตนปฝากเงน 2,000 บาท ธนาคารคดดอกเบย 9 % ตอป ตอนปลายป และทก ๆ 12 เดอน ถอนเงน w บาท

(a) จงเขยนสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบ Xn :เงนคงเหลอจากการถอนเงนครง

ท n

(b) จงเขยนนพจนของ Xn ในพจนของ n และ w

(c) อยากทราบวาเงนในบญชจะเปนเทาไรเมอ (1) w = 200 และ (2) w = 160

(d) คาสงสดของ w ควรเปนเทาไรทจะยงคงมเงนเหลออยในบญชเมอสนปท 5

17. ประเทศ X และประเทศ Y มอาณาเขตตดกน ตางเปนศตรซงกนและกน แตละประเทศตองจายเงนเพอปองกนประเทศ ดงน

(a) มคาใชจายพนฐานการปองกนประเทศคงท

(b) ปทแลวจายมากขนและปนจายลดลง

(c) รายจายสาหรบทหารชายแดนจายมากขนทงปทแลวและปน

จงเขยนตวแบบอยางงายทสอดคลองกบสมมตฐานขางบน

18. สมมตวา

(a) การเจรญเตบโตของพชทปลกในกระถางในวนนขนอยกบการรดนาในวนกอน

(b) ปรมาณของนาทรดเพมขนในแตละวนขนอยกบปรมาณของนาทรดในวนกอน

(c) ปรมาณนาทรดขนอยกบขนาดของตนไม

ให Pn เปนขนาดของตนไมในวนท n และ Wn เปนปรมาณนาในกระถางในวนท n จงเขยนสมการอยางงายทสอดคลองกบสมมตฐานขางตน

19. สมมตวาเหตการณโรคระบาดในแตละวนเปนดงน

(a) x % ของผปวยตองเสยชวต

(b) y % ของผปวยหายจากโรคและมภมคมกน

(c) z % ของผออนแอจะเปนผปวย

จงเขยนตวแบบอยางงาย สาหรบ



In : จานวนของผปวยในวนท n

Sn : จานวนของผออนแอในวนท n

Rn : จานวนของผหายจากโรคและมภมคมกนในวนท n

20. ให Pn : เปนผลผลตในเดอนท n

Sn : เปนจานวนสตอกในเดอนท n

Dn : เปนความตองการใชสนคาในเดอนท n

a) จงเขยนสมการเชอมโยงระหวาง Sn+1 ดวย Sn , Pn และ Dn

b) ผจดการตดสนใจปรบกระบวนการผลต ใหผลผลตในเดอนถดไปเปนไปตาม สดสวนความตองการใชสนคาของเดอนทแลว จงเขยนสมการผลลพธทเชอมโยง Sn+1 ดวย Sn และ Pn

21. สมมตให

(1) รายไดประชาชาต I เกดจากการบรโภค C และการลงทน V

(2) การบรโภคในแตละป เกดจาก เงนคงคลงบวกกบสดสวนของการลงทน

(3) การลงทนในแตละป เกดจากเงนคงคลงบวกกบสดสวนของเงนรายไดประชาชาต

(a) จงเขยนตวแบบอยางงายทสอดคลองกบสมมตฐานขางบน

(b) ตวแบบจะเปนอยางไรถา สมมตฐาน 3) เปลยนเปน การลงทนในแตละป เกดจากเงนคงคลงบวกกบสดสวนทเพมขนของการบรโภค

22. สมมตฐานของผลผลตทางการเกษตรมดงน

(a) ความตองการขนอยกบราคา

(b) ราคาในปนขนอยกบสนคาทมอยในปทแลว

(c) สนคาทมอยในปนขนอยกบราคาในปทแลว

จงเขยนสมมตฐานขางตนใหอยในรปของสมการเชงอนพนธอยางงาย

23. กองกาลงฝาย A 10,000 คน สรบกบกองกาลงฝาย B 8,000 คน ถาอตราการสงหารตอวนของกองทหาร A คอ 0.1 และอตราการสงหารตอวนของกองทหาร B คอ 0.12



หลงจากการตอสกน 3 วน ทหาร 500 คน ของกองกาลงฝาย A ยอมแพและถกจบเปนเชลย ในสดทายของวนท 6 กองกาลงฝาย B ไดรบการสนบสนนกาลงคนเพมอก 1,500 คน จงใชตวแบบอยางงายพยากรณผลสรปของการสรบครงน

24. เดกตดเชอไวรสจากโรงเรยน สมมตวาเดกทตดเชอไวรสแตละคนสามารถทาใหเดกอน ตดเชอไวรสไดอกวนละ 2 คน และเปนเชนนเรอย ๆ สมมตวา การตดตอของ ไวรสกระทาในตอนเชา และหลงจาก 2 วนทตดเชอไวรสเดกนนจะปวยและอยบาน จนกวาจะหายจากไวรส

ให In : จานวนของเดกทตดไวรสใหมในตอนเชาของวนท n

Sn : จานวนของเดกทออนแอในตอนเชาของวนท n

จงเขยนตวแบบอยางงายทสอดคลองกบ In และ Sn

ถาเดกทงหมดในโรงเรยนม 401 คน จงใชตวแบบทสรางขนพยากรณจานวนเดกท

ตดเชอไวรสใหมในเชาวนศกร

25. สมมตวาในเมองเลก ๆ เมองหนง พบวาในแตละวน 50 % ของผปวยจะหายเปนปกต และ 10 % ของผทมสขภาพดจะปวย จงเขยนตวแบบเมทรกซสาหรบ [H, I]T เมอ Hn และ In แทนจานวนของผมสขภาพด และผปวยในวนท n

ถาเรมตนดวยมผมสขภาพด 5,000 คน และผปวย 500 คน ในวนจนทร อยากทราบเหตการณในวนศกร และในระยะยาว

26. สมมตวา 80 % ของผบรโภคทซอกาแฟ A ในเดอนน ยงคงซอกาแฟชนดเดมอยในเดอนตอไป ขณะท 20 % จะเปลยนไปซอกาแฟ B สมมตวา 10 % ของผซอกาแฟ B ในเดอนนเปลยนไปซอกาแฟ A ในเดอนตอไป ขณะทผทเหลออก 90 % ยงคงซอกาแฟ B จงแปลงสมมตฐานขางบนเปนตวแบบเมทรกซสาหรบ [A, B]T เมอ A เปอรเซนตการขายกาแฟ A และ B เปนเปอรเซนตการขายกาแฟ B

ถาเดอนนมเปอรเซนตการขายกาแฟ A = 60 % และ B = 40 % ตองการทราบ ผลลพธของ (a) เดอนท 3 (b) เดอนท 6 (c) ผลสดทาย

27. สมมตวาประชากรสามารถแบงออกไดเปน 4 กลมอาย ชวงละ 20 ป และสมมตวา อตราการเกดหรอยายเขา และการยายออกหรอตาย เปนดงตารางตอไปน



อาย 0 - 20 20 -40 40 - 60 > 60

เกด, ยายเขา 0.1 1.5 0 0

ยายออก, ตาย 0.9 0.8 0.6 0.1

(a) จงเขยนตวแบบเมทรกซทสอดคลองกบสมมตฐานขางบน

(b) ถาปจจบนมประชากรดงน [500, 400, 300, 200]T จงใชตวแบบพยากรณ ประชากรในอก 80 ปขางหนา

(c) ตวแบบทสรางขนเกดสภาวะเสถยรหรอไม

28. สมมตวาหลงจากททองนาถกไฟไหมเปนเวลาหนงป 30 % ของทวางเปลาจะมตนหญาขน และในปตอไป 10 % ของหญาจะกลายเปนตนไมเลก ๆ ขณะท 5 % ของพนทหญาจะกลายเปนทวางเปลา และ 4 % ของตนไมเลก ๆ จะกลายเปนตนหญา

จงเขยนตวแบบเมทรกซอยางงาย ทแสดงการเปลยนแปลงของทง 3 สวน คอ (1) ทดนวางเปลา (2) ตนหญา (3) ตนไมเลก ๆ

29. สมมตวาในแตละตนปนกผใหญคหนงวางไข 4 ฟอง ซงจะไดลกนกตวเมย 2 ตว และตวผ 2 ตว ถงอยางไรกตาม 50 % ของลกนกจะตายในปแรก , แตถายงรอดไปจะมการตายของนก ดงน 10 % ของนกอาย 1 ป และ 20 % ของนกอาย 2 ป ขนไปตายใน ทกป จงเขยนตวแบบเมทรกซสาหรบนกตวเมยโดยใชเวคเตอร

X = [ลกนก, นกอายหนงป, นกอายมากกวาหนงป]

ถาเรมตนในปนมนกอาย 2 ป 6 ค อยากทราบจานวนนกในชวงเวลาตอไปน

(a) 10 ปขางหนา (b) และในระยะยาว

30. สมมตวาในแตละวน

(1) 2.6 % ของตะกวในเลอดของคนขบออกมาโดยไต

(2) 1 % ของตะกวในเลอดเขาไปในเนอเยอ

(3) 0.4 % ของตะกวในเลอดเขาไปในกระดก

(4) 1.2 % ของตะกวในเนอเยอเขาไปในเลอด



(5) 1.8 % ของตะกวในเนอเยอถกขบออกทาง ผม เลบ และเหงอ

(a) จงเขยนตวแบบเมทรกซทแสดงเปอรเซนตของตะกวใน เลอด เนอเยอ และกระดก ทสอดคลองกบสมมตฐานขางตน

(b) ถาคน ๆ หนงรบประทานตะกวเขาไป 100 มลลกรมตอวน อยากทราบเปอรเซนตของตะกวใน เลอด เนอเยอ และกระดก (1) ในหนงวนตอมา

(2) ในหนงสปดาหตอมา

บทท 5 ตวแบบตอเนอง 65


บทท 5 ตวแบบตอเนอง (Continuous Models)

ในตาราทางคณตศาสตรโดยทวไป มกจะใชตวแปรทเปนจานวนจรงใด ๆ ในตวแบบอาจจะไมเปนเชนนน ทงนเพราะ

(1) ตวแปรในตวแบบแทนปรมาณจรงทมลมตบนและลมตลาง และในหลายกรณมคาเปนลบทไมมความหมายทางกายภาพ

(2) ตวแบบมขอบเขตของโดเมนในการประยกตใช ตวแปรนอกขอบเขตของโดเมนดงกลาวสมมตฐานจะไมจรงและตวแบบจะใชไมได

ในบางครงเราไมสามารถใชตวแปรไดทกตวในโดเมน หรอกลาวไดวามตวแปรบาง

ตวในโดเมนไมมความหมาย ในทางปฏบตเราสามารถจากดเฉพาะตวแปรท ใชการไดของโดเมนเทานน (เชน จานวนเตม) เราจะเรยกตวแปรลกษณะนวา ตวแปรดสกรต (discrete variable) ตวแบบทมตวแปรดสกรตไดกลาวมาแลวในบทท 4 ในบทนจะกลาวถงเฉพาะตวแปรทใชไดทกคาในโดเมน ซงจะเรยกตวแปรลกษณะนวา ตวแปรตอเนอง (Continuous variable) ธรรมชาตของความตอเนองหรอดสกรตของตวแปรจะขนอยกบปญหาในสภาพจรง หรอ ขนการตดสนใจในตวแบบ การจะเลอกใชตวแปรชนดใดนนไมมสตรสาเรจทดทสด ทงนขนอยกบสมดลระหวางความเปนจรงกบความเหมาะสม การใชตวแปรตอเนองอยางมประสทธภาพจะตองใชคณตศาสตรชนสงเขาชวย เชน แคลคลส

ในบทนจะกลาวถงฟงกชนตอเนองของตวแปรตอเนอง แตกตองคานงถงฟงกชนตอเนองของตวแปรดสกรตดวย

ตวอยางของ ตวแปรดสกรตกบ ตวแปรตอเนอง เชน ถาเราวางไมบรรทดใหปลายดานหนงยนออกไปจากขอบโตะและวางเหรยญหนงเหรยญบนปลายทยนออกไปนน ดนไมบรรทดใหออกไปเทาทจะทาไดโดยไมใหไมบรรทดกระดกขน และจดบนทกความยาว y ทยงคงอยบนโตะ ตอไปใช 2 เหรยญโดยวางซอนกน และตอไปถาเราใช n เหรยญ อะไรเปนความสมพนธระหวาง n กบ y จะเหนไดวา n เปนตวแปรดสกรตและ y เปนตวแปรตอเนอง

ตวอยางของฟงกชนดสกรตของตวแปรตอเนอง เชน จานวนลกคาในแถวคอยทเวลา t



y

(x1,y1)

(x2,y2)

x

ตวแบบเชงเสน (Linear Models) ตวแบบเชงเสนเปนตวอยางของตวแบบตอเนองอยางงาย ตวแบบสวนใหญมกจะเปนตวแบบเชงเสน และตวแบบเชงเสนมกจะเรมจากการแปรผนตรง เชน y ∝ x ซงจะไดกราฟของเสนตรงทผานจดกาเนด y = ax รปทวไปของตวแบบเชงเสนสองตวแปรคอ y = ax + b ซงยงคงเปนกราฟของสมการเสนตรง รปทวไปของตวแบบเชงเสนนจะประยกตใชเมอ การเปลยนแปลงของ x ทเทากนมผลกบการเปลยนแปลงของ y ทเทากน ตวอยาง เชน เมอ x เปนจานวนหนวยทใช a เปนราคาตอหนวย และ b เปนราคาเรมตนคงท ดงนนราคารวมจะเปนผลรวมของสองสวน คอ b และ ax ตวอยางทางเรขาคณตวเคราะห เชน ความชนของเสนตรง = (คาเพมของ y) / (คาเพมของ x) = (y2 – y1)/(x2 – x1) เมอ (x1, y1) และ (x2, y2) เปนจด 2 จดบนเสนตรง ดงรปท 5.1

รปท 5.1

สมการของเสนตรงสามารถเขยนไดดงน 1. ความชนเปน m และจดตดแกน y เปน c คอ y = mx + c 2. จดตดแกน x และ y เปน a และ b ตามลาดบ คอ x/a + y/b = 1 3. ผานจด (x0, y0) และมความชนเปน m คอ y – y0 = m(x – x0) 4. ผานจด (x1, y1) และ (x2, y2) คอ (y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)



พจารณาขอมลตอไปน

x f(x) 1.0 0.0000 1.1 0.0414 1.2 0.0792

ถาตองการหา f(1.05) และ f(1.13) สามารถหาไดโดยการพจารณาดงน เนองจาก x = 1.05 อยกงกลางระหวาง x = 1.0 และ x = 1.1 ดงนนคา f(1.05) นาจะอยกงกลางระหวางคาของ f(1.0) และ f(1.1) ดวย ดงนนเราควรประมาณคา f(1.05) ดงน

f(1.05) = f(1.0) + 0.5[f(1.1) – f(1.0)] = 0 + 0.5[0.414 – 0] = 0.0207 ในทานองเดยวกน f(1.13) นาจะแบงชวง f(1.1) กบ f(1.2) ในสดสวนเดยวกน

กบ x = 1.3 แบงชวงจาก x = 1.1 ถง x = 1.2 ดงน f(1.13) ≈ f(1.1) + {(1.13 – 1.1)/(1.2 – 1.1)}[f(1.2) – f(1.1)] = f(1.1) + 0.3[f(1.2) – f(1.1)] = 0.0414 – 0.3[0.0792 – 0.0414] = 0.0527

เราสามารถเขยนรปทวไปของความสมพนธดงกลาว เมอ x1 และ x2 เปนคาใน ตารางท x อยระหวาง x1 และ x2 ไดวา

f(x) ≈ f(x1) + {(x – x1)/(x2 – x1)}[f(x2) – f(x1)]

ซงใชในการประมาณกราฟคา f(x) จาก x = x1 ถง x = x2 โดยตวแบบเชงเสน ตวแบบเชงเสนหลายตวแปร (Linear Models with Several Variables) ถาตวแปร y ขนอยกบตวแปรหลายตว x1, x2, … ตวแบบจะอยในรป y = a + b1x1 + b2x2 + … เงอนไขทจะทาใหตวแบบนเปนจรงคอ การเปลยนแปลงของ y ทเทากน เกดขนจากการเปลยนแปลงทเทากนของ xi ตวใดตวหนง



ตวแบบเชงเสนพรอมกน (Simultaneous Linear Models) เรามตวแปรตงแตสองตวแปรขนไป ทประกอบเปนตวแบบในรปของฟงกชนเชงเสนของ x คาถามทนาสนใจคอ เมอไรทตวแปรทงสองเทากน (เชน เมอเสนตรงตดกน) และเมอไรทตวแปรหนงจะมากกวาอกตวแปรหนง สมมตวา เราตองการเชาเครองจกรมาทางานระหวาง เครองจกร A และเครองจกร B ทมคาใชจายในการเชาดงน เครองจกร A เสยคาเชาอาทตยละ 250 บาท ขณะทเครองจกร B เสยคาใชจายเบองตน 1500 บาท และคาเชาอาทตยละ 100 บาท อยากทราบวาเครองจกรใดมคาเชาถกกวา ถาตองการเชา x สปดาห คาเชาเครองจกร A สาหรบ x สปดาห คอ YA = 250x และคาเชาเครองจกร B คอ YB = 1500 + 100x คาเชาของทงสองเครองจกรจะเทากนเมอ YA = YB นนคอเมอ 250x = 1500 + 100 x ซงจะไดวา x = 10 และเมอ x < 10 จะไดวา YA < YB และในทางตรงกนขาม เมอ x > 10 จะไดวา YA > YB สรปไดวา ถาเราจะเชาเครองจกรนอยกวา 10 สปดาห ควรเชาเครองจกร A กรณอนควรเชาเครองจกร B ตวแบบเชงเสนหลายกรณ (Piecewise Linear Models) ตวแบบเชงเสนหลายกรณ เปนตวแบบทไมสามารถแทนดวยสมการเชงเสนเพยง สมการเดยวไดตลอดคาของตวแปร ตวอยางเชน ราคาขายขนอยกบปรมาณการซอ ถาซอไมเกน 100 ชน ราคาชนละ 10 บาท ถาซอมากกวา 100 ชน ราคาของสวนเกนกวา 100 ชนจะเปนราคา 9 บาท ตอชน ตวแบบของราคาขาย x ชน คอ

⎩⎨⎧

≥=−+≤≤

=100 x9x -100 )100(91000100x 0 10

xx

y

สมการเชงเสนทงสองสมการมจดรวมกนท x = 100 จงไมมจดทไมตอเนองตรงรอยตอ ในบางครงในการประมาณคาตวแบบไมเชงเสนเราอาจใชตวแบบหลายกรณ เชน สมมตวารถยนตคนหนงกนนามน 40 กโลเมตรตอลตร ทความเรว 30 กโลเมตรตอชวโมง จะกนนามน 20 กโลเมตรตอลตร เมอใชความเรว 70 กโลเมตรตอชวโมง และกนนามนเปน 0 กโลเมตรตอลตร เมอลดความเรวจาก 30 กโลเมตรตอชวโมงเปน 0 กโลเมตรตอชวโมง ถาเราไมทราบรายละเอยดของกราฟมากกวาน เราสามารถแทนอตราการกนนามนของรถคนน ดวยฟงกชนเชงเสนหลายกรณของความเรว V ดงน



⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤−

≤≤=

70v30 2

55

30V0 3

4

v

V

R

ตวแบบควอดราตก (Quadratic Models) เมอการเปลยนแปลงตามชวงทเทากบของตวแปร y ไมเปนไปตามการเปลยนแปลงตามชวงทเทากนของตวแปร x จะทาใหตวแบบไมเปนตวแบบเชงเสน ตวอยางอยางงายของตวแบบไมเชงเสนคอ ตวแบบควอดราตก y = ax2 + bx + c ซงมกราฟเปนพาราโบลา ท ถา a > 0 กราฟจะควาลง มเสนตรง x = - b/2a เปนแกนสมมาตรของรป พารามเตอร c แสดงถงตาแหนงของจดยอด การเคลอนทดวยความเรงคงท (Motion with Constant Acceleration) เมอวตถเคลอนทดวยความเรวคงท ความเรวของวตถจะเปนฟงกชนเชงเสนของเวลา ถา u(ms-1) เปนความเรว เมอ t = 0 และ a(ms-2) เปนความเรงคงท จะไดวาความเรว ณ เวลา t คอ v = u + at

ความเรวเฉลยในชวง [0,t] คอ 2

)( vu + และระยะทางของการเคลอนท คอ

2)( tvus +

= จาก 2 สมการ เราสามารถสรางความสมพนธระหวาง v และ s ไดวา

asuv 222 += และสรางความสมพนธระหวาง s และ t ไดวา 2

2atuts +=

ตวแบบเขาสลมต (Models tending to a Limit) การเปลยนแปลงของตวแปรเขาสลมตบน (หรอเพมขนสเพดาน) ตวอยาง เชน การเจรญเตบโตของประชากร จะมขอบเขต หรอลมตของความเจรญ โดยสงแวดลอม ตอไปน เปนตวอยาง ตวแบบทางคณตศาสตรทมพฤตกรรมเชนเดยวกบความเจรญของประชากร (คอมลมตบน)

1. a – be-ct (เขาส a เมอ t เขาส ∞) 2. (at + b)(ct + d) (เมอ ad > bc) (เขาส a/c เมอ t เขาส ∞) 3. a + b tan-1(ct) (เขาส a + bπ/2 เมอ t เขาส ∞) 4. 1/(a + be-ct) (เขาส 1/a เมอ t เขาส ∞)



ซงสามารถแสดงไดโดยรปท 5.2 ดงน

รปท 5.2

และตอไปนเปนตวอยางของตวแบบทมลมตลาง (หรอลดลงสพน) 5. a + be-ct (เขาส a เมอ t เขาส ∞) 6. (at + b)/(ct + d) (เมอ ad < bc) (เขาส a/c เมอ t เขาส ∞) 7. a – b tan-1(ct) (เขาส a - bπ/2 เมอ t เขาส ∞) 8. 1/(a - be-ct) (เขาส 1/a เมอ t เขาส ∞)

ตวแปรการเปลยนแปลง (Transforming Variables) จากตวแปรทมชวงไมจากด เชน [0, ∞] หรอ [- ∞, ∞] เราสามารถสรางตวแปรใหมชวงจากดไดโดยใช การเปลยนแปลงทางคณตศาสตร เชน สมมตใหตวแปร x มคาจาก 0 ถง ∞ เราสามารถแปลงคาของตวแปร x ใหมคาอยในชวง 0 ถง 1 ไดโดยใช u = x/(1 + x) และสามารถแปลงคาของตวแปร x ใหมคาอยในชวง [a, b] ไดโดยใช u = (ax + b)/(1 + x) นอกจากการเปลยนแปลงดงกลาวแลว เราอาจใชการเปลยนแปลงตวอน ๆ ทไดผลเดยวกน เชน u = a + (b – a)(1 – e-x) หรอ u = a + 2(b – a)(tan-1x)/π เปลยนจาก 0 < u < 1 เปน a < x < b โดยใช x = a + (b – a)u

4

3

2

1



ตวแปรการเปลยนแปลงจะทาใหรปของกราฟเปลยนแปลงไปดวย เชน y = kxn ถาเขยนกราฟในรป ln y และ ln x จะไดเปนกราฟของเสนตรง v = nku เมอ v = ln y และ u = ln x นนคอ เราสามารถเปลยนแปลง ตวแบบไมเชงเสนใหเปนตวแบบเชงเสนได ตวอยาง 5.1 รสอรทแหงหนงมนกทองเทยว 6,000 คนตอสปดาห เมออณหภม 15oC จงใชตวแบบอยางงายพยากรณจานวนนกทองเทยว เมออณหภม 20oC และถาจานวนนกทองเทยวทแทจรง เมออณหภม 20oC คอ 7,250 คน จงสรางตวแบบ และใชตวแบบประมาณคา นกทองเทยว เมออณหภม 18oC วธทา ถา X เปนจานวนนกทองเทยวตอสปดาห เมออณหภม T เนองจาก X แปรผนโดยตรงกบ T ดงนน จะไดวา X = kT เมอ 6,000 = 15k ทาให k = 400 ไดตวแบบ คอ X = 400T ซงสามารถพยากรณจานวนนกทองเทยวเมออณหภม 15oC ไดวาม 8,000 คน กรณทเราทราบคาสองคา คอ มนกทองเทยว 6,000 คนตอสปดาห เมออณหภม 15oC และ มนกทองเทยว 7,250 คนตอสปดาห เมออณหภม 20oC เราสามารถสรางเสนตรงเชอมจด (15, 6000) และ (20, 7250) ซงจะไดวา

152015

600072506000

−−

=−

− TX

นนคอ X = 250T + 2250 เปนตวแบบตามตองการ ซงพยากรณไดวา X = 250(18) + 2250 = 6750 เมอ T = 18 ตวอยาง 5.2 ถาราคาสนคาเพมขนความตองการของลกคาจะลดลง และความสามารถในการบรการลกคาไดมากถาราคาสนคาสงขน ดงตารางขอมลตอไปน

ราคา P ความตองการ D บรการได S 10 2000 1500 30 1600 2000

จงเขยนตวแบบเชงเสนสาหรบ D และ S ในพจนของ P และหาราคาดลภาพ (สภาพคงท) คอราคาสนคาททาใหความตองการของลกคา และความสามารถในการใหบรการเทากน วธทา จากสงทกาหนดให สามารถสรางสมการไดวา



200016002000

103010

−−

=−− DP

จะไดวา D = 2200 – 20P และ

150020001500

103010

−−

=−− SP

จะไดวา S = 25P + 1250 ราคาดลภาพเกดขนเมอ D = S นนคอ

2200 – 20P = 25P + 1250 นนคอ P ≈ 21 ตวอยาง 5.3 ผขายปลกไดรบใบสงซอทก ๆ T วน มสนคาอยในคลงสนคากอนขาย QU ความตองการสงซอสนคาของลกคาในแตละวนคอ D และกอนจะขายสนคาในวนตอไปจะมสนคาอยในคลงสนคา QL จงเขยนตวแบบเชงเสน สาหรบ Q(t) : จานวนสนคาในคลงสนคา ณ เวลา t วน หลงจากการสงซอสดทาย

(a) กาหนดให QU และ D (b) กาหนดให QU , QL และ T (c) กาหนดให QL , D และ T

วธทา เนองจากความตองการสงซอสนคาในแตละวนเปน D ดงนนจานวนสนคาในคลง สนคาจะลดลงวนละ D

นนคอ ตวแบบของจานวนสนคาในคลงสนคา ณ เวลา t วน คอ Q(t) = A – Dt เมอ A เปนตวคงท (a) ท t = 0 เราจะไดจานวนสนคาในคลงสนคาเทากบ QU ซงจะเปนคาของ A ดงนน ตวแบบจะเปน Q(t) = QU – Dt (b) ตวแบบอยในรป Q(t) = A – Bt เมอ A , B เปนตวคงท เราทราบวา QU = Q(0) = A และ QL = Q(T) = A – Bt ดงนน B = (QU – QL)/T และตวแบบของเราจะเปน Q(t) = QU – (QU – QL)t/T (c) ใชตวแบบ Q(t) = A – Dt เราจะได QL = Q(T) = A – Dt ทาให A = QL + DT และตวแบบของเราจะเปน Q(t) = QL – D(t – T)



0 tt*

F*

F(t)

T

ตวอยาง 5.4 สมมตวาการเกดพายฝนใชเวลาทงสน T ขณะทอตราฝนตกเพมขนจาก 0 ถงจดสงสด F* ณ เวลา t = t* และลดลง ดงรปท 5.3 จงใชเขยนตวแบบอตราฝนตก F(t) ณ เวลา t หลงจากพายฝนเรมขน

รปท 5.3 วธทา ขณะทฝนตกเพมขนอตราฝนตกแปรผนตรงกบเวลา เราจะไดวา F(t) = At เมอ A เปนคาคงท เนองจากจดสงสด F* ณ เวลา t = t* ดงนน ตวคงท A คอ F*/t* และ ตวแบบของเราจะเปน F(t) = F*t/t* เมอ 0 ≤ t ≤ t* ชวงจาก t = t* จนถง t = T ตวแบบอยในรป F(t) = a – bt เมอ F(t*) = F* และ F(T) = 0 นนคอ F* = a – bt และ 0 = a – bt ทาให F* = bT – bt* ดงนน b = F*/(T – t*) และ a = F*T/(T – t*) ตวแบบทสมบรณ คอ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤−−≤≤

=Tt 0

t )/()(Ftt0 /

)( ***

***

TttTtTttF

tF

ตวอยาง 5.5 บรษทกอสรางตองการเชาเครนจาก 3 บรษททมขอมลตอไปน

1. เครนจากบรษท A เสยคาตดตง 10,000 บาท และเสยคาเชา 30 วนแรกวนละ 1,500 บาท และคาเชาหลงจาก 30 วนแรกวนละ 500 บาท

2. เครนจากบรษท B เสยคาตดตง 20,000 บาท และเสยคาเชาวนละ 1,000 บาท



C

B

A

B

A

3. เครนจากบรษท C เปนเครนเลกสามารถทางานไดครงหนงของสองบรษทแรก เสยคาเชาวนละ 1,750 บาท โดยไมเสยคาตดตง

จงใชตวแบบเชงเสน ชวยตดสนใจเลอกเชาเครนจากบรษททงสาม วธทา ให x เปนจานวนวนทเชาเครน สาหรบการเชาเครนจากบรษท A จะเสยคาใชจายดงน

⎩⎨⎧

>+=+≤+

=30 x50x 40,00030)-500(x55,00030 x 1500000,10 x

y A

สาหรบการเชาเครนจากบรษท B จะเสยคาใชจายดงน YB = 20,000 + 1,000x สาหรบการเชาเครนจากบรษท C จะเสยคาใชจายดงน เนองจากเครนจากบรษท C มขนาดเลกจะตองใชเวลาการทางานเปน 2 เทา จงจะไดงานเทากบสองบรษทแรก ดงนนคาใชจายจงเปน YC = 3,500x ซงสามารถเขยนกราฟของสมการและสรปการตดสนใจไดดงน

รปท 5.4

จานวนวนททางาน เลอกเชาจากบรษท

x ≤ 5 C

5 ≤ x ≤ 20 A

20 ≤ x ≤ 40 B x > 40 A



ตวอยาง 5.6 ฝนเรมตกเวลา 2.00 น. โดยเรมตกอยางชา ๆ และเพมขนเรอย ๆ จนถงฝนตกทมปรมาณมากทสด 1 cmh-1 ทเวลา 3.00 น. และตกนอยลงมปรมาณ 4 mmh-1 ทเวลา 5.00 น. จากนนฝนตกนอยลงไปเรอย ๆ จนหยดตกเมอเวลา 9.00 น. จงเขยนตวแบบเชงเสนแยกกรณ สาหรบ r(t) ปรมาณนาฝน (cmh-1) ทเวลา t ช.ม. หลงเทยงคน วธทา ใชสตรทานองเดยวกบ ตวอยาง 5.2 จะไดสมการวา

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤≤≤

=

9t5 0.1t -0.95t3 0.3t -1.93t2 2-t2t0 0

)(tr

ตวอยาง 5.7 ขายหนงสอพมพรายวนฉบบใหมในวนแรกได 100,000 ฉบบ และขายไดเพมขนเปนวนละ 400,000 ฉบบ หลงจากเปดตวมาได 2 เดอน 7 เดอนตอมาขายลดลงเหลอวนละ 275,00 ฉบบ จงใชตวแบบควอดราตกอธบายการขายแตละวน หลงจาก t เดอน และใชตวแบบหาวา (a) เมอไรการขายจงจะสงสด และ (b) เมอไรทจะขายไมไดเลย วธทา ให S(t) เปนปรมาณการขายหลงจาก t เดอน ในหนวยของ 100,000 ฉบบ รปทวไปของตวแบบควอดราตก คอ S(t) = at2 + bt + c จากสมมตฐานทราบวา S(0) = 1, S(2) = 4, S(7) = 2.75 ซงจะไดวา 1 = S(0) = c

4 = S(2) = a22 + b2 + c = 4a + 2b + 1 2.75 = S(7) = a72 + b7 + c = 49a + 7b + 1

แกสมการได a = - 0.25, b = 2 และ c = 1 ดงนนตวแบบจะเปน S(t) = - 0.25t2 + 2t + 1

(a) หาจดสงสด โดยให S’(t) = 0 ไดวา - 0.5t + 2 = 0 ได t = 4 นนคอ จะขายหนงสอพมพไดสงสด ในเดอนท 4 (b) หาจดตาสด โดยให S = 0 ดงนนจะไดวา - 0.25t2 + 2t + 1 = 0 ซงมรากเปน t = 4 20± คาลบไมมความหมาย ดงนนใชคาบวก

t ≈ 8.5



ตวอยาง 5.8 ให u เปนความเรวของรถ (ก.ม./ช.ม.) และ ρ เปนความหนาแนนของจานวนรถ (คน/ก.ม.) จงเขยนตวแบบเชงเสนอยางงายทแสดงความสมพนธระหวาง u และ ρ ถา q เปนอตราการไหลของรถ (คน/ช.ม.) ณ จดคงทจดหนง จงเขยนตวแบบสาหรบ q ในพจนของ ρ วธทา ให umax เปนความเรวสงสดของรถ ทวงคนเดยว (เมอ ρ = 0)

ให ρmax เปนความหนาแนนสงสด เมอรถตดมากทสด (เมอ u = 0) เราตองการหา u = ฟงกชนเชงเสนของ ρ ทกาหนดให umax เมอ ρ = 0 และ u = 0 เมอ ρ = ρmax จดตดแกนคอ umax และ ρmax

ดงนนสมการทตองการ คอ 1maxmax

=+ρρ

uu หรอ )1(

maxmax ρ

ρ−= uu

เนองจาก รถตอช.ม. = (รถตอกโลเมตร) × (กโลเมตรตอช.ม.)

)1(max

max ρρρρ −== uuq

จะได q เปนฟงกชนในพจนของ ρ ตามตองการ ตวอยาง 5.9 จงเลอกตวแบบไมเชงเสนทสอดคลองกบกราฟในรปท 5.5 เมอ a, b เปน ตวคงท (a) a – bx2 (b) a/(x + b) (c) a/(x2 + b) (d) axe-bx วธทา กราฟ (A) สอดคลองกบตวแบบ (b) ซงมคาลดลงเมอ x เพมขน

กราฟ (B) สอดคลองกบตวแบบ (c) ซงมคาลดลงเมอ x เพมขน กราฟ (C) สอดคลองกบตวแบบ (a) ซงมคาลดลงเมอ x เพมขน และเปน 0 เมอ

x = ba / กราฟ (D) สอดคลองกบตวแบบ (d) ซงมคาเปน 0 เมอ x = 0 และมคาลดลงเมอ

x มคาเพมขน มคาสงสดเมอ x = 1/b



D

C

B

A

รปท 5.5 ตวอยาง 5.10 จงเลอกคาประมาณของพารามเตอร a, b และ c ททาใหตวแบบตอไปนสอดคลองกบกราฟในรปท 5.6 (a) f(x) = a – 1/(b + cx) (b) f(x) = a – bx-cx

รปท 5.6

วธทา (a) เมอ x เขาส เราไดวา f(x) เขาส a ซงควรจะเปน 2 เพราะฉะนน a = 0, เมอ x = 0 เราจะไดวา f(0) = a – 1/b ควรจะเปน 1 เพราะฉะนน b = 1 และเมอ x = 1 จะไดวา f(1) = 2 – 1/(1 + c) ซงควรจะเปน 1.8 เพราะฉะนน c = 4



(b) เมอ x เขาส เราไดวา f(x) เขาส a ซงควรจะเปน 2 เพราะฉะนน a = 0, เมอ x = 0 เราจะไดวา f(0) = a – b ควรจะเปน 1 เพราะฉะนน b = 1 และเมอ x = 1 จะไดวา f(1) = a – be-c ซงควรจะเปน 1.8 เพราะฉะนน 2- e-c = 1.8 จะไดวา c ≈ 1.61 แบบฝกหดบทท 5 1. ชดของขอมลตอไปนชดใดสามารถสรางตวแบบเชงเสนได ชดใดเปนกรณท y แปรผนตรงกบ x จงเขยนตวแบบเชงเสนทสรางได (a) x 0 1 2 4 y 2 2.5 3 4 (b) x 10 20 30 60 y 2 2.5 3 4 (c) x 2 4 18 26 y 5 10 45 65 (d) x 10 12 25 40 y 90 80 60 55 2. ตวแปรตอไปน ตวแปรใดเปนตวแปรตอเนอง

(a) เวลา (b) จานวนวนทฝนตกในหนงเดอน (c) จานวนฝนในหนงเดอน (d) นาหนกของคน (e) ขนาดของรองเทา (f) จานวนปลาในตปลาขนาดเลก (g) จานวนปลาในทะเลขนาดใหญ (h) จานวนเหรยญในกระเปา (i) จานวนรายไดของประเทศ

3. ใบเสรจคาโทรศพท มรายการคาเชาคสาย R บาท คาโทรศพทหนวยละ C บาท และ คาภาษมลคาเพม 7 % จงเขยนตวแบบของคาโทรศพท เมอใชไป x หนวย



4. จากการสารวจตลาดพบวาสนคาราคาหนวยละ 10 บาท มความตองการ 5 ลานหนวย ขณะทสนคาหนวยละ 5 บาท มความตองการ 7.5 ลานหนวย จงเขยนตวแบบเชงเสนของความตองการ (ซงเปนฟงกชนของราคา)

5. สมมตวาไดรบเงนในวนแรกของแตละเดอน C บาท จะจายไปทกวน ๆ ละ S บาท จงเขยนตวแบบเชงเสนแสดงเงนคงเหลอในวนท x ของเดอน จงหาลมตสงสดของ S ถาทานไมตองการใหเหลอเงนตากวา D บาท

6. สมมตวาคาใชจายในการดแลรกษาและซอมแซมรถเฉลยเดอนละ S บาท ถาคานามน ลตรละ P บาท โดยทรถใชนามน M กโลเมตรตอลตร จงเขยนตวแบบสาหรบรายจายของรถตอเดอน เมอ x เปนจานวนระยะทาง (กโลเมตร) ทใชในแตละเดอน

7. หลงจากฝนตกหนกระดบนาในแมนาสงขน ดงน ระดบนาเมอเวลา 9.00 น. สง 1.5 เมตร และเมอเวลา 19.00 น. สง 1.6 เมตร จงเขยนตวแบบเชงเสน สาหรบระดบนา y(t) ณ เวลา t ช.ม. หลงจาก 9.00 น. และเมอไรระดบนาจะสงกวา 2 เมตร

8. จงใชตวแบบเชงเสนประมาณการ f(1.5) และ f(1.7) จากขอมลในตารางตอไปน และ จงเปรยบเทยบการประมาณการกบคาทแนนอนซงกาหนดให f(x) = x+1

X f(x) 1.0 1.412 1.5 1.7 2.0 1.7321

9. เครองจกรใหมราคา A บาท เสยคาบารงรกษาและคาใชจายในการใชงานเดอนละ R บาท ราคาเครองจกรเกาจะลดลงเดอนละ S บาท ถาเชาเครองจกรจะเสยคาเชาเดอนละ M บาท ซงรวมคาบารงรกษาและคาใชจายเรยบรอยแลว ถาทานตองการใชเครองจกร x เดอน ทานจะเลอกใชอยางไร (เชาหรอซอ) ดวยเงอนไขใด

10. กาหนดขอมลตามตาราง ดงน ราคา 20 30

Supply 1200 1300 Demand 1800 1600

จงเขยนตวแบบเชงเสนสาหรบ supply และ denamd เมอราคา P และหาราคาดลภาพ (ราคาท supply = denamd)



11. มการสารวจนกบนเกาะแหงหนงพบวามนกอย 2 ชนด ชนด A มจานวน 1,500 ตว และชนด B ม 2,000 ตว หลงจากนนหนงปมการสารวจใหมพบวา เหลอนกชนด A จานวน 14,00 ตว และนกชนด B จานวน 1,800 ตว จงหา

(a) ตวแบบเชงเสนอยางงายของจานวนนกบนเกาะในปท t หลงจากการสารวจครงแรก

(b) เมอไรทนกชนด A จะมจานวนมากกวานกชนด B (c) นกชนดใดทจะสญพนธกอน และสญพนธเมอไร

12. โรงเรยนแหงหนงพานกเรยนไปทศนศกษาดวยรถยนต 2 คน รถยนต B เรมออกเดนทางหลงจากรถยนต A ออกไปแลว M นาท ดวยความเรว VB กโลเมตรตอชวโมง รถยนต A วงชากวาดวยความเรว VA กโลเมตรตอชวโมง จงหา

(a) ตวแบบเชงเสนของระยะทางของรถยนตทงสองในเวลา t เมอ t = 0 เปนเวลา ทรถยนต A เรมออกเดนทางจากโรงเรยน (b) ตวแบบของระยะทาง d(t) ระหวางรถยนตทงสอง ณ เวลา t (c) เงอนไขททาใหรถยนต B ถงทหมายกอน (d) ถาเงอนไขเปนไปตามขอ (c) เปนจรง รถยนต B จะแซงรถยนต A เมอไรและ

ทไหนท 13. ตองการเชารถยนตใช 1 วน ระยะทาง x กโลเมตร โดยมขอมลจากบรษทใหเชารถยนต

ดงตอไปน บรษท A คาเชาวนละ 400 บาท ไมจากดระยะทาง บรษท B คาเชาวนละ 200 บาท และเสยคาระยะทางทใชอกกโลเมตรละ 2 บาท บรษท C คาเชาวนละ 300 บาท และเสยคาระยะทางทใชอกกโลเมตรละ 1 บาท สาหรบระยะทางทเกนจาก 100 กโลเมตร

อยากทราบวาจะเลอกเชารถจากบรษทใดจงจะเสยคาใชจายนอยทสด 14. สมมตวาสนคาแตละรายการราคา 10 บาท ถาซอสนคามากกวา 100 รายการ จะได

รบสวนลด 5 % ให C(x) เปนราคาซอสนคา x รายการ จงเขยนตวแบบของ C(x) 15. รถไฟออกจากสถานเวลา t = 0 และใชเวลา 30 วนาท ในการทาความเรวเปน 60

กโลเมตรตอชวโมง ถารถไฟทาความเรวคงท 60 กโลเมตรตอชวโมง เปนเวลา 5 นาท และเรมลดความเรวลง ทเวลา t = 5.5 นาท จนกระทงเมอเวลา t = 6.5 นาท มความเรว



40 กโลเมตรตอชวโมง และกลดความเรวลงเรอย ๆ จนกระทงหยดรถเมอเวลา t = 7 นาท จงเขยนสมการของความเรว V(t) ทเวลา t (นาท)

16. ถาความสงของตนไมเปนไปตามตารางตอไปน จงเขยนตวแบบเชงเสนตอเนองของ h(t)

t (เดอน) 0 2 6 12 h (มลลเมตร) 40 166 1,210 2,380

17. จากสมมตฐานตอไปน (1) ทพนผวโลก มความกดดนของอากาศ 105 บาร และอณหภม 290 K (2) ทความสง h (กโลเมตร) ถง 10 กโลเมตรเหนอระดบนาทะเลมอณหภม T(h)

เปนฟงกชนเชงเสนของ h และความกดดนของอากาศเปนไปตามตวแบบ p(h) = A[T(h)]5.6

(3) ทความสง 10 กโลเมตร มอณหภม 230 K (4) ทความสงระหวาง 10 และ 20 กโลเมตร อณหภมคงท 230 K และความกดดน

ของอากาศเปนไปตามตวแบบ p(h) = Be-0.15h จงเขยนตวแบบในพจนของ h สาหรบ T(h) และ p(h) สาหรบ 0 < h < 20

18. ขอมลตอไปน ขอมลใดเปนขอมลทสามารถสรางตวแบบควอดราตกได และหากได จงสรางตวแบบดงกลาว

(a) x 1 2 3 4 y 2 11 26 47 (b) x 0 1 2 3 y 2 4 8 14 (c) x 10 20 30 40 y 15 20 50 90 (d) x 5 10 15 20 y 465 380 245 65 (e) x 0 1 2 4 7 y 2 3 6 18 51

19. รถยนตเรงความเรวจาก 0 ถง 60 กโลเมตรตอชวโมง ใชเวลา 10 วนาท วงดวยความเรว 60 กโลเมตรตอชวโมงอย 20 วนาท และลดความเรวเปน 0 ในเวลา 15 วนาท



จงเขยนตวแบบ (a) ความเรวของรถ (b) ระยะทางจากจดเรมตน d(t) ณ เวลา t 20. นตยสารรายเดอนฉบบใหมออกวางตลาดเดอนแรกจาหนายได 12,500 ฉบบ และ

จาหนายไดสงสดในเดอนท 10 จากนนยอดจาหนายลดลงจนจาหนายไมไดเลย หลงเดอนท 25 จงเขยนตวแบบควอดราตก สาหรบ S(t) = ยอดจาหนายรายเดอน และจงใชตวแบบคานวณหาวาเมอไรทยอดจาหนายตากวา 9,000 ฉบบ

21. จงเขยนตวแบบควอดราตกอยางงายของจานวนประชากร (ตอตารางกโลเมตร) ทอาศยอยหางจากศนยกลางของตวเมองเปนระยะทาง r กโลเมตร กาหนดใหจานวนประชากรทศนยกลางของตวเมองเปน 4,000 คน และเพมสงขนจนถงสงสดท 20,000 คนตอตารางกโลเมตร เมออยหางจากจดศนยกลางของตวเมอง 3 กโลเมตร จงใชตวแบบพยากรณ

(a) ความหนาแนนของประชากรทอยหางจากจดศนยกลางของเมอง 1 กโลเมตร (b) บรเวณทมประชากรหนาแนน 10,000 คนตอตารางกโลเมตร อยหางจากจด

ศนยกลางของเมองเทาไร (c) ขอบเขตชนนอกสดของการกระจายประชากร

22. รถไฟยาว L จอดอยทชานชาลาโดยทลอหลงอย ณ ตาแหนง 0 ถารถไฟเคลอนทดวยความเรวคงท จงเขยนกราฟแสดงระยะทาง x1(t) และ x2(t) ของลอหนาและลอหลงสดของรถไฟจากจด 0 ณ เวลา t

23. เกมคอมพวเตอรใหมซงเปนทนยมสาหรบเดกมยอดขายใน 10 สปดาหแรกวนละ 500 เกม และขายไดเพมขนถงวนละ 1,000 เกม ภายหลง 15 สปดาห จงเขยน ตวแบบ ควอดราตกของ S(t) ยอดขายตอวน ณ สปดาหท t หลงจากนาออกสตลาด และ

จงใชตวแบบพยากรณยอดขายหลงสปดาหท 25 24. คนขบรถไฟขบดวยความเรว V1 กโลเมตรตอชวโมง เหนรถไฟอกขนวนหนงซงอย

ในทางเดยวกนทางขางหนาในระยะ L เมตร จงลดความเรวลงเหลอความเรว V2 กโลเมตรตอชวโมง จงหาความเรวสดทายทรถชนกน

25. รถยนตคนหนงขบดวยอตราเรงคงท ผานจด A ดวยความเรว u เมตรตอวนาท และถงจด B ซงอยหางจากจด A 5 เมตร โดยใชเวลา t วนาท จงหาความเรว ณ จดกงกลางระหวางจด A และจด B



26. ผจดการผลตสนคาพบวาราคาการผลตสนคาขนอยกบจานวนรายการของการผลต ดงน

จานวนรายการของการผลต(ลาน)

5 8 10

ราคา (ลานบาท) 21.25 37.0 50.0 จากการสารวจตลาดพบวา สนคาราคา 10 บาทตอรายการ มความตองการ 5 ลานรายการ ขณะทสนคาราคา 5 บาทตอรายการ มความตองการ 7.5 ลาน รายการ จงหา

(a) ตวแบบเชงเสนของความตองการ ซงเปนฟงกชนของราคาขาย (b) ตวแบบควอดราตกของ C ซงเปนฟงกชนของ Q (c) จงใชตวแบบหาราคาขายททาใหไดกาไรสงสด

27. ของเลนใหมขายออกสตลาดในวนแรกได 1,000 ชน และขายไดเพมขนเรอย ๆ หลงจาก 2 เดอน ขายไดวนละ 3,000 ชน และขายไดสงสดในเดอนท 4 และลดลงถงขายไมไดเลยในเดอนท 8 จงใชตวแบบเชงเสนของ 2 เดอนแรก และตวแบบควอดราตกของเดอนตอไปเขยนการกระจายปรมาณการขายตอวน S(t) หลงจาก t เดอน

28. ประชากรของเมอง ๆ หนงม 6,000 คน เมอ 5 ปทแลว และในปจจบนม 10,000 คน จงเขยนตวแบบ P(t) จานวนประชากร ณ ปท t ทเปนไปได 2 ตวแบบ คอ (a) ตวแบบเชงเสน (b) ตวแบบไมเชงเสนอยางาย (ให t = 0 คอเมอ 5 ปทแลว) จงเปรยบเทยบผลการพยากรณ เมอ t = 10

29. จงจบคสถานการณตอไปนกบตวแบบทสอดคลองกน เมอ t เปนเวลา สถานการณ

(a) อตราการตกของฝนขณะทฝนตก (b) ความสงของตนทานตะวนขณะทกาลงเจรญเตบโต (c) ความลกของนาในอางนาหลงจากขนจากการอาบนา (d) ความลกของนาในอางนาขณะทลงไปอาบ (e) ความเรวของรถขณะทวงไปรอบ ๆ (f) ความเรวของรถเรมจากหยดนง

ตวแบบ (1) t (5) 1 – t2



(6) (1 – t)2 (7) t – t2 (8) 1 – e-t (9) 1/(1 + e-t)

30. อณหภมของนาจากฝกบวควบคมโดยวาลวเพยงตวเดยว โดยมแหลงนา 2 แหลง คอ นาเยน และนารอน เมอเปดนาในระยะแรกนาจะเยนและมอณหภมเพมขนตามการเปดวาลวนา จงเขยนกราฟแสดงอณหภมของนากบเวลา เพอหาตาแหนงของการเปดวาลวทจะทาใหนามอณหภมตามตองการ

31. จงเขยนกราฟของ (a) จานวนประชากร(ตอตารางเมตร)ทอาศยอยหางจากจดศนยกลางของเมอง x กโลเมตร (b) จานวนนกศกษาในชนเรยนจาก 8.00 น. ถง 20.00 น. (c) ปรมาณของนาในถง เมอเตมนาจนเตมถง (d) จานวนของรถยนตในทจอดรถของมหาวทยาลย ระหวางเวลา 6.00 น. ถง 21.00 น. (e) อตราเฉลยของการใชไฟฟาตามบานใน 24 ช.ม.

(f) เวลาในการดมกาแฟ 1 ซ.ม.3 ทอณหภม T (g) มลคาของรถยนตอาย x

รปท 5.7 32. จากรปท 5.7 เปนภาพตดตามขวางของสระวายนาททกสระกวาง 8 เมตร และลก 2

เมตร ณ จดทลกทสด ตองการใสนาดวยอตราคงท (ลกบาศกเมตรตอวนาท) จงเขยนกราฟแสดงความลกของนา d(t) ณ เวลา t ของทกกรณ

(d)(c)

(b)(a)



33. รถไฟมอตราเรงจาก 0 ถง 60 กโลเมตรตอชวโมง และวงดวยความเรวคงทเปนเวลา 2 นาท จากนนลดความเรวเพอหยดรถ ถาอตราเรงและอตราหนวงคงท จงวาดกราฟแสดง (a) ความเรวของรถไฟ ซงเปนฟงกชนของเวลา และ (b) ระยะทางจากจดเรมตน ซงเปนฟงกชนของของเวลา

34. จงสรปการเปลยนแปลงของพารามเตอร c จากพจนตอไปน (a) 1 + cx (b) (1 + c)x (c) 1 + c/x (d) c + 1/x (e) 1/(1 + cx) (f) cx/(1 + cx)

35. จากรปท 5.8 ตอไน แสดงกราฟของ x2e-x สาหรบ 0 < x < 10 จงเขยนกราฟของ (a) x2e-x + 1 (b) (x – 1)2e-(x-1) (c) 4x2e-2x

รปท 5.8

รปท 5.8 36. กาหนดใหสมการทสรางกราฟ F ในรปท 5.9 คอ y = x2/16 จงเขยนสมการของกราฟ

A – E



รปท 5.9 37. จงเลอกคาทเหมาะสมของพารามเตอร a, b และ c ททาใหตวแบบ (a) a + 1/(b + cx)

และ (b) a + be-cx สอดคลองกบกราฟในรปท 5.10 ตอไปน

รปท 5.10

1

FE

D

C

B

A



38. การดมนาจากแกวทรงกระบอก กาหนดให hS(t) แทนความสงของพนผวของนาจาก กนแกว ให hG(t) แทนความสงของจดศนยกลางของความถวงของนาและแกว สมมตวาการดมนาเปนไปอยางตอเนองจนหมดแกว จงเขยนกราฟของ hS(t) และ hG(t)

39. จากรปท 5.11 เปนการแสดงระบบลกสบ ถาลอหมนในอตราทคงท จงวาดกราฟของ θ , x , y และ z ซงเปนฟงกชนของเวลา

θ

รปท 5.11

40. ให L เปนเปอรเซนตของผชายทอาศยอยตงแตเกดจนอาย x และ M เปนจานวน ผชายตงแตเกดจนถงอาย x จงวาดกราฟ ของ L และ M ในฟงกชนของ x

41. จงเปลยนตวแปรในชวงทกาหนดใหตอไปน ใหเปน u ทมคาจาก 0 ถง 1 และเขยนฟงกชนการเปลยนแปลงดงกลาว

(a) 0 < x < 0.5 (b) 0.5 < y < 1 (c) –3 < z < 2

y

zx

บทท 6 ตวแบบชวงเวลา 89


บทท 6 ตวแบบชวงเวลา (Periodic Models)

ตวแบบชวงเวลาเปนตวแบบทใหผลลพธซาในชวงเวลาทเทากน ถาดจากกราฟจะเหนวากราฟมรปแบบซา ดงตวอยางจากกราฟ ตอไปน

รปท 6.1

รปท 6.2

t

a-b

a

a+b



รปท 6.3 จากรปท 6.1 เปนกราฟของ sine ทมสมการเปน y = a + b sin Ω(t – t0) พารามเตอร a แทนคาเฉลยของ y ทเปนเสนแนวตง จดกงกลางระหวางจดสงสดและจดตาสด, พารามเตอร b แทนชวงกวาง (amlitude) ของกราฟทเปนครงหนงของระยะหางทางแนวตงระหวางชวง ตาสดถงชวงสงสด, พารามเตอร Ω เปนความถมม(angular frequency) (มหนวยเปน เรเดยนตอวนาท) และชวง (period) (หมายถงชวงเวลา จากจดสงสดไปยงจดสงสดถดไป) ซงกาหนดโดย 2π/Ω , t0 เปนคาเกดขนจากขอมลความเปนจรงทไมใชเรมตนดวย y = a เมอ t = 0 คาของ y จะเขยนอยในรป y = a + b sin(Ωt + φ) เมอ φ = - Ωt0 ซงเปนชวง (phase) , ความถ (frequency) เปนจานวนของชวง เชน จานวนของรอบตอวนาท (มหนวยเปน Mz เมอ 1 Mz = 1 รอบ/วนาท) เหตผลวาทาไมเรยก Ω วา ความถมม (angular frequency) ทงนเพราะจากความจรงทวา ถาจด เคลอนทไปบนเสนรอบวงของวงกลม ดวยความเรวมม Ω คงท ดงนน มมมหนวยเปนเรเดยน ในเวลา t คอ θ = Ωt ถา θ = 0 เปนทศทางแนวนอน ดงนน ความสงของจดทเคลอนท P บนเสนนอนทเวลา t คอ y = r sin Ωt , ขณะท P เคลอนทรอบ ๆ วงกลม จด Q จะเคลอนท ขนและลง ระหวาง A และ B ชวง T สาหรบการเคลอนทของ Q คอเวลาของ 1 รอบของจด P นนคอ 2π = Ωπ ซงไดวา T = 2π/Ω ผลจากการเปลยนแปลง พารามเตอร a, b, Ω, และ t0 ดงรปตอไปน

2cc

a



รปท 6.4 การเปลยนแปลง a

รปท 6.5 การเปลยนแปลง b

เราเรยกตวอยางนวา คลนของซายน (sine wave) ซงสามารถใชกบฟงกชนโคซายน (cosine) ทงน เพราะ cos(θ - π/2) = sin θ ซงกราฟทงสองมความแตกตางกน คอ มชวงแตกตางกน ตวอยาง เชน b sin Ωt เปน 0 และเพมขนท t = 0 ขณะท b cos Ωt เปนจดสงสด และลดลงท t = 0



รปท 6.6 การเปลยนแปลง Ω

รปท 6.7 การเปลยนแปลง t0

รปแบบอน ๆ ของตวแบบพนฐานสามารถใชเอกลกษณ ตอไปน

sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B ซงกาหนดให

y = a + b sin Ωt cos (- Ωt0) + b cos Ωt sin (- Ωt0) ซงจะได



y = a + A sin Ωt + B cos Ωt

เราเรยกการเคลอนท ทนยามโดยตวแบบดงทกลาวมาแลวขางตน วา การเคลอนท ฮาโมนคอยางงาย (simple hamonic motion) การสรางตวแบบชวงเวลาจากขอมล (Fitting a Periodic Model to data) ในทางปฏบตไมสามารถเกบขอมลไดทงหมดเพอนามาสรางตวแบบ เรานาขอมลไมมากนกมาสรางตวแบบ จงตองใชการพจารณาลกษณะของขอมลเทาทมอยมาสรางตวแบบ ในการสรางตวแบบชวงเวลา ถาเรารชวง T จะทาใหสรางตวแบบไดงายขน โดยเพยงแตประมาณคาพารามเตอร a และ b ในตวแบบ y = a + b sin Ω(t – t0) เมอ Ω = 2π/T และ คาของ t0 เพอหาจดเรมตน สมมตวา คาเฉลยของอณหภมในองศา C เปนดงน ม.ค. ก.พ. ม.ค. เม.ย. พ.ค. ม.ย ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค. 2.8 2.1 3.5 6.9 10.8 12.4 15.2 15.7 14.7 12.8 8.5 5.5 ชวงคอ 12 เดอน เราพจารณาตวแบบจากรปแบบ y = a + b sin(π (t-t0)/6) ถาให t เปนเดอน จากรปท 6.8

รปท 6.8



อณหภมสงสดคอ y = 15.7 ในเดอนสงหาคม และอณหภมตาสด คอ y = 2.1 ในเดอนกมภาพนธ ดงนนคาเฉลย คอ a = (15.7 + 2.1)/2 = 8.9 และความกวาง คอ b เมอ 8.9 + b = 15.7 ดงนน b = 6.8 และตวแบบของเราจะเปน y = 8.9 + 6.8 sin(π (t-t0)/6) หนวยของเวลาเปนเดอน โดย t = 0 เปนเดอนมกราคม ตอไปจะหาคา t0 คาตาสดของ y จะไดรบเมอ sin(π (t-t0)/6) = -1 เมอ π (t-t0)/6 = - π/2 ในเดอนกมภาพนธ t = 1 ซงจะไดวา t0 = 4 และตวแบบจะเปน

y = 8.9 + 6.8 sin(π (t-4)/6) ดงรปท 6.8 จะเหนวาตวแบบ มคาใกลเคยงกบขอมล บทสรป ความถ f และชวง T เปนความสมพนธ f = 1/T , t มหนวยเปนวนาท และ f มหนวยเปน Hz มมของความถ Ω = 2π/T มหนวยเปน เรเดยน/วนาท สาหรบตวแบบทมชวง T สามารถใชรปแบบหนงรปแบบใดตอไปน

a + b sin(2πt/T) + c cos(2πt/T) a + b sin(2π(t-t0)) a + b sin(2πt/T+φ)

ตวแบบแรกเปนรปแบบทวไป เมอ กาหนด 3 ขอมลให สาหรบ 2 รปแบบฟงกชนซายน ทเหลอ สามารถเปลยนเปนฟงกชนโคซายนได เมอคาตาสด และคาสงสด คอ 0.5[max – min – (max – min) cos(2πt/T)] เมอ t = 0 เปนคาตาสด หรอ 0.5[max + min + (max – min) cos(2πt/T)] เมอ t = 0 เปนคาสงสด

ตวอยาง 6.1 ในตวแบบ y = sin 3t + 2 cos 3t + 4 จงหา (a) ชวง(period) (b) ความกวาง (amplitude) (c) จดสงสด และ จดตาสดของคา y วธทา ในทน Ω = 3 ดงนนชวง คอ 2π/Ω = 2π/3 จากตวแบบ เราสามารถกระจายได ดงน

4])21(/3cos2)21(/3[sin)21( 222222 +++++= tty ให φ เปนมมทมคา tangent เปน 2 จะไดวา cos φ = )21(/1 22 + และ



sin φ = )21(/2 22 + ซงไดวา

4)3sin(54]3cossincos3[sin5 ++=++= φφφ ttty ความกวางเทากบ 5 คาสงสดและคาตาสดของ y คอ 54 + และ 54 − ตามลาดบ ตวอยาง 6.2 รานคาแหงหนงขายสนคาตามปกตวนละ x รายการ และซอสนคาใหมเขาคลงสนคาวนละ T รายการ จงเขยนกราฟของ N(t) = จานวนรายการสนคาในคลงสนคา ณ เวลา t และเขยนตวแบบของ N(t) ในพจนของ x, T และ t วธทา จะเหนวา N(t) เปนฟงกชนเชงเสนของ t ซาดวยชวง T ซงสามารถเขยนไดวา

⎩⎨⎧

><<−

=T t T) -N(t T t 0 )(

)(xtT

tN

และกราฟของ N(t) ดงรปท 6.9

รปท 6.9 ตวอยาง 6.3 ตวแบบการกระพอปกของนก ถาการกระพอปกครงหนงใชเวลา 0.4 วนาท และการกระพอปกเปนมมรวม 40 องศา จงเขยนนพจนของมม θ(t) ทเปนการกระพอปกไปตามแนวนอน ณ เวลา t วธทา ถาเราวด θ เปนองศา เราสามารถให θ = 20 sin Ωt และชวงคอ 2π/Ω = 0.4

ดงนน Ω = 5π ซงไดตวแบบเปน θ(t) = 20 sin (5π)

2TT

xT

N(t)



ตวอยาง 6.4 เขมทงสองของนาฬกาจะซอนทบกนในเวลา 12.00 น. และในเวลาตอมาจะทามมกน ให θ(t) เปนมมทเลกทสดทเขมทงสองทามมกน ณ เวลา t จงสรางตวแบบ θ(t) ในพจนของ t และเวลาใดหลง 12.00 น. ทเขมทงสองมาซอนทบกนอก วธทา เขมนาทเดนดวยความเรวเปนมม 2π เรเดยนตอชวโมง ดงนน t ชวโมง เดนได α = 2πt เรเดยน เขมชวโมงเดนดวยความเรวเปนมม 2π เรเดยนตอ 12 ชวโมง ดงนน t ชวโมง เดนได β = πt/6 เรเดยน ซงจะไดวา θ = α - β = πt(2 – 1/6) = 11πt/6 จนกระทง t = 6/11 ซงเปนเวลาท θ = π เขมทงสองจะอยในแนวเสนตรงเดยวกน หลงจากมมของเขมทงสองเปน 2π - 11πt/6 จนกระทงถง t = 12/11 เมอ θ = 0 ซงเขมทงสองจะซอนทบกนอกครง ตวแบบจะเปน

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

=12/11t6/11 11t/6)-(26/11t0 6/11

)(ππ

θt

t

และไดกราฟดงน θ

π

รปท 6.10

ตวอยาง 6.5 รานคาแหงหนงพบวายอดขายตอวนสงสดคอ 5,000 บาท ในเดอนมถนายน และลดลงเรอย ๆ จนถงเดอนธนวาคมขายไดวนละ 600 บาท จงเขยนตวแบบของ S(t) เปนยอดขายตอวนในเดอน t เมอ t = 1 หมายถงเดอนมกราคม จงใชตวแบบพยากรณยอดขายในเดอนตลาคม วธทา ชวงคอ 12 เดอน ดงนน 2π/Ω = 12 และ Ω = π/6 ซงสามารถเขยนตวแบบไดวา S(t) = a + b cos(πt/6) จากสงทกาหนดใหทราบวา S(6) = 5,000 และ S(12) = 600

t (hours)12/116/11



แทนคาในตวแบบและแกสมการหาคา a และ b ไดวา a = 2800 และ b = -2200 ดงนนตวแบบจะเปน S(t) = 2800 - 2200 cos(πt/6) และไดวา S(10) = 1700 ตวอยาง 6.6 ไฟสองสวางตดตงอยบนยอดของอาคารสง h แสงสวางจากไฟทามมกวางคงท 10 องศา ฉายจากขางหลงไปยงขางหนาตามแนวราบในแนวเสนตรงททาใหจดไกลทสดของแสงหางจากฐานของอาคาร h ตามแนวราบ จงเขยนตวแบบการฉายของแสงจดทไกล ทสด ณ เวลา t ถาชวงของการฉายไฟเทากบ 12 วนาท วธทา เราสามารถสรางตวแบบของมม θ แสดงดงรปท 6.11 θ 100

รปท 6.11 โดย θ = 35 sin Ωt เนองจาก 35 องศา เปนคาสงสดของ θ เมอไฟฉายถงจดสงสดของการฉาย ชวงคอ 2π/Ω = 12 ดงนน θ = 35 sin(πt/6) และจดทไกลทสดของแสง ณ เวลา t คอ

h tan(θ+10) = h tan[35 sin(πt/6) +10] (ในวงเลบ [ ] มหนวยเปน องศา) ตวแบบอนของ θ(t) คอ ถาเราสมมตวาแสงมความเรวของมมคงท ω หนวย จนถงจดสงสด เมอขากลบยงใชความเรวของมมคงท ดงนน θ = ωt สาหรบ 0 ≤ t ≤ 3 เมอ 3ω = 45 ดงนน ω = 15 ซงไดตวแบบในหนงชวง ดงน

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤

=12t9 180-15t

9t3 15t -903t0 15t

θ

ความแตกตางระหวาง 2 ตวแบบสาหรบ θ จะเหนไดจากกราฟทเปรยบเทยบกน ดงตอไปน

h



รปท 6.12 ตวอยาง 6.7 จากรปเปนระบบการทางานของขอเหวยง ถาวงลอเคลอนทโดยความเรวคงท จะไดรบตวแบบของระยะทาง x(t) ของการเลอนจากจดศนยกลางของวงลอ ณ เวลา t วธทา θ φ

รปท 6.13

x

ba

y



จากรปภาพ x = a sin θ + b cos φ มม θ คอ Ωt เมอ Ω เปนความเรวมมของวงลอ เรมท t = 0 เมอ θ = 0 ในทานองเดยวกน y = a sin θ = b sin φ

ซงจะไดวา b cos φ = )sin( 222 ◊− bb

= )sin( 222 θab −

และตวแบบ คอ x(t) = a cos Ωt + )sin( 222 tab Ω− คาสงสด และคาตาสด ของ x(t) คอ b + a และ b – a ตามลาดบ และชวงคอ 2π/Ω ตวอยาง 6.8 ตอไปนเปน ขอมลเวลาขนและเวลาตกของดวงอาทตย ม.ค. 2 0806 1604 ก.พ. 6 0731 1659 ม.ค. 6 0635 1750 9 0804 1612 13 0718 1712 13 0619 1802 16 0759 1623 20 0705 1725 20 0604 1814 23 0751 1634 27 0650 1737 27 0548 1826 เม.ย. 3 0532 1837 พ.ค. 1 0433 1924 ม.ย. 5 0346 2012 10 0516 1849 8 0420 1935 12 0343 2018 17 0501 1901 15 0409 1946 19 0343 2021 24 0446 1912 22 0359 1956 26 0345 2022 29 0352 2005 ก.ค. 3 0349 2020 ส.ค. 7 0433 1938 ก.ย. 4 0518 1840 10 0355 2016 14 0444 1925 11 0529 1825 17 0403 2009 21 0456 1911 18 0540 1808 24 0413 2001 28 0507 1856 25 0551 1752 31 0423 1950 ต.ค. 2 0603 1736 พ.ย. 6 0703 1625 ธ.ค. 4 0748 1554 9 0614 1721 13 0715 1614 11 0756 1552 16 0626 1705 20 0727 1605 18 0802 1553 23 0638 1651 27 0738 1558 25 0806 1556 30 0651 1637 จงหาจานวนชวโมงทมแสงสวางในวนท x เมอ x = 0 หมายถงวนท 1 มกราคม



วธทา จากขอมลจะเหนวาวนทยาวทสดคอ วนท 19 มถนายน ดวยเวลา 998 นาท และลดลงส 997 นาท ในวนท 26 มถนายน แตเราทราบตามดาราศาสตรวา วนทยาวทสดเปนวนท 21 มถนายน ซง x = 172 ซงเราสามารถหาเวลาทยาวทสดเปน 999 นาท สาหรบวนทสนทสด คอ วนท 25 ธนวาคม ดวยเวลา 470 นาท แตวนท 21 ธนวาคม ควรเปนวนทสนทสด ดวยเวลา 469 นาท ชวงเวลาเปน 365 วน ดงนน Ω = 2π/365 และชวงกวางเทากบ (999 – 469)/2 = 265 ขณะทคาเฉลยคอ (999 + 469)/2 = 734 ดงนนตวแบบ คอ

y = 734 + 265 cos(2π(x – 172)/365) ขอมลและตวแบบไดแสดงใหเหนพรอมกนดงรปท 6.14 ตอไปน

รปท 6.14 ตวอยาง 6.9 ระดบความลกของนา ณ ทาเรอ แหงหนง 5.30 เมตร ทเวลา 18.00 น. 3.42 เมตร ทเวลา 21.00 น. และ 2.83 เมตร ทเวลา 22.00 น. จงสรางตวแบบ และพยากรณ

(a) ความลกของนาทเวลา 1.00 น. (b) เวลาครงตอไปทนาจะขนสงสด (c) ระดบนาทขนสงสด

วธทา นาขนนาลงไดรบอทธพลมาจาก การหมนของโลก แรงดงดดพนผวนาทะเลจาก ดวงจนทรและดวงอาทตย ซงยงยากตอการสรางตวแบบ ในทนเราจะสรางตวแบบอยางงาย



พจารณาแตเพยงดวงจนทรและการหมนของโลก ซงสรางตวแบบดวย Ω = 0.50589 (เรเดยน/ช.ม.) ตวแบบนพยากรณนาขนสงสดทก ๆ 12.42 ช.ม. เราสามารถสรางตวแบบในรปแบบ y = a + b sin Ωt + c cos Ωt เมอ y เปนระดบความลกของนาททาเรอ ณ เวลา t และ a , b และ c เปนตวคงท เราทราบคาของ Ω เราใหคาของ y สาหรบ t = 6 , t = 9 และ t = 10 แทนคาในตวแบบ จะได 3 สมการ ตอไปน

a + b sin 6Ω + c cos 6Ω = 5.30 a + b sin 9Ω + c cos 9Ω = 3.42 a + b sin 10Ω + c cos 10Ω = 2.38 แกสมการ จะได a = 3.2016, b = 0.1161 และ c = - 2.0979 ดงนนตวแบบจะเปน

y = 3.2016 + 0.1161 sin(0.50589t) – 2.0979 cos(0.50589t) (a) ให t = 13 เราจะไดวา y(13) ≈ 1.23 เมตร

(b) ปรบตวแบบใหมในรป y = a + )sin()( 22 ◊+Ω+ tcb ขณะท ∅ = tan-1(c/b) คาสงสดของ y จะเกดขนเมอ sin(Ωt + ∅) = 1 นนคอ Ωt + ∅ = π/2 ดงนน t = 6.10 นนคอเราพบวานาขนสงสด เมอเวลา 6.06 น. เราตองการหาเวลานาขนสงสดครงตอไป ซงจะตองบวกไป 12.42 ช.ม. ดงนน ครงตอไปจงเปนเวลา 6.31 น.

(c) ความลกสงสดของนา คอ y = a + )( 22 cb + ซงไดคาประมาณ 5.31 เมตร ตวอยาง 6.10 ปลายเดอนพฤษภาคม พระอาทตยตกเวลา 21.00 น. และพระอาทตยขนเวลา 5.00 น. จงเขยนตวแบบสาหรบ L(t) : ความเขมของแสงพระอาทตย ทเวลา t วธทา ใหชวงของตวแบบเปน 24 ช.ม. และแนนอนวาจะไมมแสงพระอาทตยในเวลากลางคนตงแตพระอาทตยตกจนถงพระอาทตยขน ให t มหนวยเปนชวโมง และ t = 0 หมายถงเวลา 5.00 น. ตวแบบสามารถเขยนไดดงน

⎩⎨⎧

<<<<++

=24t16 016 t 0 )12/cos()12/sin(

)(tctba

tLππ

เราตองการ L = 0 ท t = 0 ดงนน a + c = 0 ซงไดกราฟดงรปท 6.15



t/(h)

รปท 6.15 เมอ L = 0 ท t = 16 ดงนน a + b sin(16π/12) + c cos(16π/12) = 0 เราตองการสมการ 3 สมการ เพอหาคา a, b และ c ซงจะไดตวแบบทตองการ เนองจากความเขมของแสงพระอาทตยมากทสดเมอ t = 8.5 และถาให Lmax เปนความเขมสงสด เราจะไดวา a + b sin(8.5π/12) + c cos(8.5π/12) = Lmax แกสมการจะได a = 0.3352Lmax, b = 0.5807Lmax และ c = -a ดงนน เราจะไดตวแบบวา

⎩⎨⎧

<<<<+−

=24t16 016 t 0 )]12/sin(5807.0)}12/cos(1{3352.0[

)( max ttLtL

ππ

แบบฝกหดบท 6 1. จงเขยนตวอยางงายจาก

(a) ฟงกชนชวงทมความกวาง 2 และ ชวง 3 วนาท (b) ฟงกชนชวงทมความกวาง 3 และ ความถเทากบ 2 Hz (c) ฟงกชนชวงทมความกวาง 4 และ ความถมมเทากบ 5 เรเดยน/วนาท



2. จงหา

(a) ชวงของฟงกชนทมความถมมเทากบ 20 เรเดยน/วนาท (b) ความถของฟงกชนทมชวงเทากบ 20 วนาท (c) ความถมมของฟงกชนทมความถ 100 Hz

3. จงหาชวง และความกวางของตวแบบตอไปน (a) 6 sin 4t (b) 4 cos 5t (c) 8 sin(2t-3) (d) 4 sin 3t cos 3t

4. ตวแบบใดตอไปนม (a) ชวงทสนทสด (b) ความถสงทสด (c) ความกวางนอยทสด (1) y = sin t, (2) y = 10 sin 10t, (3) y = 100 sin 100t

5. ถาแหลงจายไฟฟาจายไฟฟาดวยความถ 50 Hz และแรงเคลอนไฟฟาสงสดเทากบ 240 V จงเขยนตวแบบของแรงเคลอนไฟฟา ณ เวลา t

6. ในตวแบบ y = 3 sin 2πt + 4 cos 2πt – 2 จงหา (a) ชวง (b) ความกวาง และ (c) คาสงสด และคาตาสดของ y

7. จงเขยนกราฟและเปรยบเทยบตวแบบ ตอไปน (a) cos t + cos 2t, (b) cos t + cos( 2 )t และ (c) cos t + cos(1.41)t

8. สมมตวานาฬกาเดนเรวไปชวโมงละ x นาท ในทก ๆ ขณะเวลาทถกตองคอเวลาใด จงเขยนตวแบบแสดงเวลาทถกตอง

9. คนปกตแรงดนของเลอด (mm Hg) ณ เวลา t (วนาท) แสดงไดดงตวแบบตอไปน P(t) = 108 + 24 cos(6.2t) จงหา

(a) แรงดดเลอดสงสด (b) แรงดนเลอดตาสด (c) อตราการเตนของชพจรตอนาท

10. ในคนปกตขณะพกผอนจะหายใจเขาและออกใชเวลาประมาณ 5 วนาท ในขณะทหายใจเขาและออกสงสดอตราการเขาออกของอากาศเปน 0.5 (ลตร/วนาท) จงเขยนตวแบบแสดงการไหลของอากาศ ณ เวลา t ทานคดอยางไรกบผลทเกด ขณะออกกาลงกายกบการไหลของอากาศ และกบตวแบบทสรางขน



11. อณหภมของอากาศ T ทระดบพนดน ณ จดจดหนง เปลยนแปลงไปในชวง 24 ชวโมงจากสงสด H ตอนเทยงวน และตาสด L ตอนเทยงคน (a) จงเขยนตวแบบสาหรบ T(t) ในพจนของเวลา t หลงจากเทยงวน และคา H และ L (b) ถา H และ L เปลยนแปลงเปนวฎจกร โดยมคาเฉลยเปน H0 และ L0 จง เขยนตว

แบบของอณหภม ณ เวลา t ใด ๆ เมอ t = 0 แทนเทยงคนของวนทรอนทสดของป 12. ระดบนาในแหลงสารองเปลยนแปลงตามฤดกาล กลาวคอ ในฤดฝนและฤดหนาวระดบนา

จะสงขน 5 % และลดลง 5 % ตามลาดบ จากระดบนาเฉลย L จงเขยนตวแบบแสดงระดบนา ณ วนท t

13. คนขายไอศกรมพบวามยอดขายสงสดในเดอนกรกฎาคมโดยขายได 1,000 บาทตอสปดาห และยอดขายตาสดในเดอนมกราคมโดยขายได 50 บาทตอสปดาห จงเขยนตวแบบอยางงายของ S(t) : ยอดขายตอสปดาหในเดอน t เมอ t = 0 หมายถงเดอนมกราคม

14. อตราการเจรญเตบโตของตนไมจะเจรญเตบโตชา ๆ ในฤดหนาวและเจรญเตบโตอยางเตมทในฤดรอน อตราการเจรญเตบโตจะลดลงทก ๆ ป จากเจรญสงสดในปแรกจนกระทงไมเจรญเตบโตเลยหลงจาก 10 ป จงสรางตวแบบของอตราการเจรญเตบโต

15. สมมตวา คนงานไดรบเงนเดอน 1,000 บาทตอเดอน มรายจายคงทเดอนละ 250 บาท และคาใชจายแตละวน ๆ ละ 25 บาท ถาเดอนหนงม 30 วน จงเขยนตวแบบ A(t) ของเงนคงเหลอของคนงานในแตละวน t

16. หองควบคมอณหภมอากาศรอน เครองควบคมอณหภมจะตดวงจรไฟฟาเมออณหภมสงถง T1 และวงจรไฟฟาจะตออกครงเมออณหภมลดลงถง T2 จงเขยนกราฟแสดงอณหภมในหองทเปลยนแปลงตามเวลา และเขยนตวแบบอยางงายของ T(t) อณหภม ณ เวลา t

17. ดาวดวงหนงมบรวาร 2 ดวง บรวารดวงทอยในสดใชเวลาเคลอนทรอบดวงดาว T1 และอกดวงหนงเคลอนทรอบดวงดาว T2 วนนดาวและบรวาร 2 ดวง อยในแนวเสนตรง อยากทราบเมอไรทดาวและบรวารทงสองจะอยในแนวเสนตรงอก

18. จานวนนกบนเกาะแหงหนงเปลยนแปลงในรอบป ดงน มปรมาณนอยทสดเมอปลายเดอนมนาคม และมปรมาณมากทสดเมอปลายเดอนกนยายน (a) จงเขยนตวแบบ P(t) จานวนนก ณ เดอนท t หลงจากเรมตนป (b) ทมการสารวจนกพบวาปลายเดอนกมภาพนธมนกประมาณ 2,100 ตว ปลายเดอน

พฤษภาคม มนกประมาณ 2,300 ตว จงใชตวแบบพยากรณจานวนนกในปลายเดอน



พฤศจกายน 19. ระดบนาททาเรอ เทากบ 4.68 เมตร เมอ เวลา 2.00 น. 4.79 เมตร เมอ เวลา 4.00 น. และ

2.08 เมตร เมอเวลา 7.00 น. จงสรางตวแบบอยางงาย และพยากรณ (a) ระดบนาททาเรอ เมอเวลาเทยงคน (b) ระดบนาทสงทสดททาเรอ (c) เวลาท ระดบนาตาทสดในครงตอไป

20. จงใชขอมลจากตวอยาง 6.8 สรางตวแบบของเวลาของดวงอาทตยขนและดวงอาทตยตก เมอ t = 0 หมายถงวนท 1 มกราคม

21. โรงพยาบาลพบวาเดกเกดในตอนเชามากทสด กาหนดขอมลตอไปนให จงสรางตวแบบชวงเวลาของคาเฉลยการเกดของเดกแตละวนในเวลา t ช.ม. หลงจากเทยงคน

ช.ม. หลงเทยงคน 0 3 6 9 12 15 18 คาเฉลยจานวนเดกเกด 5 6 7 6 5 4 3

22. ผกเชอกยาว l ยดตดอยกบจดคงทจดหนง แลวนาอกปลายขางหนงผกตดกบวตถชน

หนง ให h เปนความสงของวตถจากพน ดงวตถไปดานขางเปนมม α กบแนวตง แลวปลอยใหวตถเคลอนทแบบฮารโมนค จงเขยนตวแบบ h(t) ของความสงของวตถจากพน ณ เวลา t

23. วตถเคลอนทดวยความเรวคงทตามแนวเสนรอบวงของวงกลมแนวตง รศม r วงกลมสมผสพนทจด P ดงรปท 6.16 สมมตวาวตถเคลอนทอยทจดบนสดของวงกลมเมอเวลา t = 0 และเคลอนทดวยความเรวมม Ω ถามรงสขนานของแสงจากจดยอดดานบน จงเขยนตวแบบ x(t) : ระยะทางของเงาของวตถจากจด P ณ เวลา t ถาแสงสองมาจากจดกาเนดแสงทสง 3r เหนอจด P

รปท 6.16

r

xxPP



24. จากรปท 6.17 แสดงระบบการทางานของขอเหวยง ขอเหวยงหมนดวยความเรวมมคงท Ω จงหาตาแหนง x(t) ของกระบอกสบ ณ เวลา t

รปท 6.17

25. ผหญงแกวงแขนดวยชวง 0.8 วนาท แขนสวนบนทามมกบแนวตง θ เปลยนแปลงอยในชวง -20 ถง 20 องศา จงเขยนตวแบบพยากรณตาแหนงของแขน ณ เวลา t

θ φ

รปท 6.18

(a) ใหไดตวแบบ x(t) และ y(t) ในพจนของ t และพารามเตอรอน ๆ แสดงตามรป φ เปนมมคงท

(b) ใหไดตวแบบ เมอมม φ เปลยนแปลง ดวยชวง 0.8 วนาท จดตาสด 0 จดสงสด 50 องศา สมมตให φ = 0 เมอเวลาเดยวกบ θ = 0

a

b

x

y

b

h

x

a



26. สมมตวาระบบดาวสองดวง ประกอบดวยดาว 2 ดวงทมขนาดเทากน แตดาวดวงหนงมความสวางเปนสองเทาของอกดวงหนง ดาวดวงทมดกวาจะเคลอนทรอบ ๆ ดวงทสวาง ถามองจากโลกจะเหนวาเคลอนทเปนแนวเสนตรงดงรปท 6.19 เครองมอบนทกแสงจากดาวทงสองบนโลก ให L(t) เปนผลรวมของแสงทรบจากดาวทงสอง ณ เวลา t จงเขยนตวแบบ L(t) ถาชวงของการเคลอนทรอบ ๆ เปน T0 วน และใชเวลา T1 วน สาหรบการเคลอนทของดาวดวงทมดกวาผานดานหนาจนพนดาวดวงทสวาง จงเขยนกราฟของ L(t)

รปท 6.19

บทท 7 การสรางตวแบบอตราการเปลยนแปลง 109


บทท 7 การสรางตวแบบอตราการเปลยนแปลง

(Modelling Rates of Change) จดประสงคหลกในการสรางตวแบบคอ เพอพยากรณสงทจะเกดขนในอนาคต นนคอเราตองการทราบวาสงตาง ๆ เปลยนแปลงไปอยางไร เมอเวลาเปลยนไป สาหรบตวของเวลาเองสามารถสรางใหเปนไดทงตวแบบตอเนองหรอตวแบบดสกรตขนอยกบจดประสงคและลกษณะของขอมล เราสามารถใชตวแปรอตราการเปลยนแปลงไดทงแบบตอเนอง หรอแบบ ดสกรต สาหรบตวแปรแบบดสกรตเราจะใชคา หลงจากเวลาขนท n เปน Xn และการเปลยนแปลงชวงสน ๆ ณ ขนท n คอ ΔXn = Xn+1 - Xn ความกาวหนาของ Xn ตามเวลา จะอยในรปของจานวนตามลาดบของเวลา ซงสวนใหญสามารถแสดงไดดวยกราฟ ของ Xn ตามลาดบของ n หรอกราฟการเปลยนแปลงชวงสน ๆ ΔXn ตามลาดบของ n และสามารถคานวณหาความเจรญเตบโตสมพทธในแตละชวงเวลาดวย Rn = ΔXn/Xn-1 ซงจะไดความเจรญเตบโตทเปนสดสวนของคาตวแปรในเวลาเรมตนชวงเวลา สวนใหญเรามกจะใชอตราการเปลยนแปลงกบการเจรญเตบโตของสตวหรอสงทมชวต ตวอยางเชน จากตารางนาหนกของสตวในชวง 4 เดอนแรก ตอไปน

อาย(เดอน) n 0 1 2 3 4 นาหนก(ก.ก.) Xn 8 10 13 16 20 ΔXn 2 3 3 4 Rn 0.250 0.300 0.231 0.250

จะเหนวา อตราสวนสมบรณของความเจรญเตบโต สาหรบชวงเวลา (ซงแสดงโดย ΔXn) คอ คาสงสดของนาหนก Xn ซงอยในเดอนท 4 แตอตราสวนสมพนธของความเจรญเตบโต (ซงแสดงโดย Rn) คอคาสงสดของ Rn ซงอยในเดอนท 2 ตวแบบดสกรตสามารถสรางไดโดยการกาหนดสมมตฐานของอตราการเจรญเตบโต ใหอยในรปของสมการความแตกตางทสอดคลองกบ Xn ตวอยางของตวแบบดสกรตอยางงาย



เชน ความกาวหนาเรขาคณต (geometric progression) ทอยในรป Xn+1 = aXn และ รปแบบเชงเสน Xn+1 = aXn + b ซงไดกลาวมาแลวในบทท 4 ในการสรางตวแบบ เราสามารถเปลยนแปลงเปอรเซนต เปนการคณไดดงน

ถา X เปลยนไป r% จะไดวา X เปลยนไปเปน (1 + r/100)X ตวอยางเชน ราคาของสนคารายการหนง ปรบขน 3% , 4% และ 2% ในแตละป ดงนน ราคาของสนคาจะเปน (1.03)(1.04)(10.2) = 1.092624 ของราคาปกต นนคอ การเพมขนสทธของราคาสนคาในชวง 3 ป คอ 9.2624% อตราเงนเฟอเปนดชนชถงอตราการเพมของระดบคาเฉลยของราคา ในประเทศองกฤษวดอตราเงนเฟอโดยเปรยบเทยบดชนราคาขายปลกดวยคาของดชน 12 เดอนกอนหนา อตราเงนเฟอ (I%) คานวณไดจากอตราเปอรเซนต การเปลยนแปลงเปอรเซนตรายปทแทจรง (X%) ในราคาทปฏบตจรง หรอเงนได สามารถทาใหเกดความเขาใจผดได ทงนเพราะวาไดมองขามผลกระทบของอตราเงนเฟอ ดงนนการเปลยนแปลงของเงนได จะตองคานงถงอตราเงนเฟอดวย เปอรเซนตของความผดพลาดอนเนองมาจากอตราเงนเฟอคงไมใช ความแตกตาง (X-I)% จะตองเปนการคณกนของอตราเปอรเซนต ซงไดอธบายแลวในยอหนาทแลว ดงน อตราเงนเฟอ I% ทาใหคาของเงน 1 บาท จะลดลงเหลอ 1/(1 + I/100) ใน 1 ป พจารณาการลงทนทไดผลประโยชน X% ตอป จะไดวาลงทน 1 บาท จะไดรบผลประโยชน 1 + X/100 บาทในเวลา 1 ป ดงนน อตราสวนผลลพธของผลประโยชน คอ (1 + X/100)/(1 + I/100) ตวอยาง เชน ถา X = 10 และ I = 4 เศษสวนขางบน คอ (1.1)/(1.04) ≈ 1.0577 นนคอ อตราสวนผลลพธของผลประโยชน คอ 5.77% (ไมใช 10 – 4 = 6%) สาหรบตวแบบตอเนอง เราสามารถใชเทคนคการหาอนพนธในแคลคลสชวยในการหาคาตอบได ถา f(t) เปนฟงกชนของเวลา ซงเวลาจะเปลยนจาก t เปน t + Δt, และ f(t) จะเปลยนจาก f(t) เปน f(t + Δt) และการเปลยนแปลงของ f แทนดวย Δf ปรมาณ Δt และ Δf กคอเชงอนพนธ (differentials) อตราการเปลยนแปลงของ f คอ (การเปลยนแปลงของ f)/(การเปลยนแปลงของเวลา)

ซงเปนอตราสวนของเชงอนพนธ หรอ t

tfttfΔ

−Δ+ )()(

ให Δt → 0 จะไดวา dtdf

tf→

ΔΔ



เปนอตราการเปลยนแปลงของ f เมอเทยบกบ t ซงเปน อนพนธ แทนดวย f’

เชงอนพนธ Δf มคาดงน tdtdff Δ≅Δ

สามารถใชแคลคลสประมาณคาการเปลยนแปลง f ดงตวอยาง เชน ถา f(t) = 3t2 – t อยากทราบวา f จะเปลยนแปลงอยางไรเมอ t เปลยนแปลงจาก 2 ไปเปน 2.1 ทราบวา f’ = 6t – 1 ดงนน Δf ≈ f’Δt = (6t – 1) Δt = [6(2) – 1](0.1) = 1.1 ซงเปนคาประมาณการเปลยนแปลงของ f คาตอบทแนนอนของการเปลยนแปลง คานวณไดจาก f(2.1) - f(2) เนองจาก f(2) = 3(2)2 – 2 = 10 และ f(2.1) = 3(2.1)2 – 2.1 = 11.13 ดงนน คาทแนนอนของการเปลยนแปลงคอ f(2.1) - f(2) = 1.13 เราสามารถใชเชงอนพนธหาความผดพลาดของการประมาณคาไดดงน สมมตใหตนไมสง ดงรปท 7.1 จะประมาณความสงของตนไมโดยใช มมเงย θ และระยะทาง x ในทางปฏบตเราสามารถหาคา x ไดโดยไมยากนก แตการหาคามมเงย θ คอนขางจะลาบากกวา สมมตวาการวดมมเงย θ มความคลาดเคลอน 0.1 เรเดยน (ประมาณ 6 องศา) ถาวด θ ได 45 องศา และ x = 20 เมตร เราสามารถคานวณหาคาความสง h = x tan θ

= 20 เมตร แตเนองจากมความคลาดเคลอนในการวดมมเงย สงผลถงคาของ h ทคานวณดวย จงตองหาความคลาดเคลอนของ h หรอกลาวอกนยหนงวา ตองหาคา Δh วามคาเปนเทาไร เมอ Δθ = 0.1

θ

รปท 7.1

x

h



f" < 0

f' > 0

f" > 0

f' < 0

f '= 0

เราสามารถใช θθΔ≅Δ

ddhh = x sec2θ Δθ = 20 × 2 × 0.1 = 4 เมตร ซงสรปคาตอบ

ไดวา เนองจากความคลาดเคลอนของการวดมมเงยเปน 0.1 เรเดยน ดงนนความสงของตนไมทคานวณได จงมความคลาดเคลอนได ± 4 เมตร เมอมการเปลยนแปลงมากกวาหนงตวแปรในเวลาเดยวกน เราสามารถใชอนพนธยอยชวยในการหาการเปลยนแปลงได ดงน ตวอยาง เชน ให h เปนฟงกชนของ θ และ x ถา θ เปลยนแปลงโดย Δθ และ x เปลยนแปลงโดย Δx ดงนนการเปลยนแปลงของ h คอ

xxhhh Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ θθ

สมมตวา Δθ = 0.1 และ Δx = 0.01 ดงนน h = x tan θ และ θθ

2secxh=

∂∂

ขณะท θtan=∂∂xh แทนคาในสตรขางบนจะไดวา

Δh = x sec2θ Δθ + tanθ Δx = 20 × 2 × 0.1 + 1 × 0.1 = 4.01 เมตร เครองหมายของอนพนธบงบอกถงการเพมขน หรอ การลดลง ของตวแปร ดงน f’ > 0 หมายความวา f มคาเพมขน f’ < 0 หมายความวา f มคาลดลง f’ = 0 หมายความวา f มจดทอาจจะเปนจดสงสดทองถน หรอตาสดทองถน หรอเปนจดเปลยนโคง ในทางเรขาคณตคาของ f’ ของจดใด ๆ จะใหคาแกรเดยน (gradient) ของเสนสมผสกราฟ ณ จดนน ดงรปท 7.2

รปท 7.2



ถา f’ เปนบวก และเพมขน จะไดวา กราฟของ f จะเปนโคงเวาขน แสดงวา f เพมขน ดวยอตราการเพม (f” > 0) ถา f’ เปนบวก แตลดลง จะไดวา กราฟของ f จะเปนโคงนนขน(หรอโคงเวาลง) แสดงวา f เพมขน ดวยอตราการลด (f” < 0) อตราการเปลยนแปลงของ f’ คออนพนธอนดบสอง f” ทบอกเราวา อตราการเปลยนแปลง คอการเปลยนแปลงของตวเอง ให y = a เปนฟงกชนของ x เมอ x = a เปนฟงกชนของ t ในกรณใดบาง

ทเราสามารถหาอตราสวนของการเปลยนแปลงของ y จาก dtdx

dxdy

dtdy

=

ตวอยาง สมมตวามกอนนาแขงรปทรงลกบาศกมดานยาวดานละ 2 ซ.ม. มอตราการละลาย 1 ลกบาศกเซนตเมตรตอนาท อยากทราบวาดานของกอนนาแขงจะลดลงอยางไร

จากสงทกาหนดให ทราบวา dtdV = 1 และ x = 2 เมอ V = x3 และตองการหา

dtdx

เรมจาก 1 = dtdV =

dtdx 3

= dtdxx 23 =

dtdx2)2(3

นนคอ dtdx =

121 ซ.ม. ตอนาท เมอ x = 2

จดททาให f’ = 0 เปนจดสาคญในทางปฏบต เพราะวาเราตองการทราบวา เมอไรทตวแปรจะมคาทสด (ตาสด หรอสงสด) ตวอยาง สมมตวา ตองการสรางกลองทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสดานบนเปด ถาตองการใหกลองนมปรมาตร 0.2 ลกบาศกเมตร (m3) จะตองใชวสดในการสรางกลองนอยทสดเทาไร ถา x เปนดานของฐาน และ y เปนความสงของกลอง ดงนนปรมาตรของกลองจะเปน x2y = 0.2 m3 พนทของวสดทนามาสรางกลองเปน A = x2 + 4xy = x2 + 4x[(0.2)/x2]

A = x2 + x8.0

2

8.02'x

xA −= = 0 ไดวา x3 = 0.4

x ≈ 0.737 เมตร และ คา y ทสอดคลองกน คอ y = 0.2/x2 ≈ 0.368 เมตร



ตวแบบดสกรตหรอตวแบบตอเนอง ในบางปญหาตวแปรเปนแบบดสกรต ไมสามารถทาใหเปนตวแปรแบบตอเนองได เชน ตวแปรเวลา ป ไมไดหมายความถงการตอเนองตลอดทงป เปนตน ในบางกรณการตดสนใจสรางตวแบบใหเปนแบบดสกรตหรอแบบตอเนอง กระทาไดยาก ไมมอะไรบงชไดอยางแทจรงวาตวแบบดสกรตสรางหรอหาคาตอบยากกวาตวแบบตอเนอง โดยทวไป การพดถงตวแบบตอเนองจะมความหมายเมอชวงเวลาระหวางการวดมคาเลกมาก ดงนน ถาเราทาใหชวงเวลาของตวแบบดสกรตเปนชวงเวลาทมคาเลกมาก ๆ ตวแบบดสกรตน สามารเปลยนเปนตวแบบตอเนองไดอกทางหนง การเปลยนแปลงหนวยของชวงเวลาเปน yn+1 – yn คอ แทนดวย y’ ตวแบบตอเนองขนสงคอสมการเชงอนพนธ ซงคาตอบของสมการเชงอนพนธจะเปนคาตอบของตวแบบ ถาเราใชวธการเชงตวเลขแกสมการเชงอนพนธตอเนอง นนคอการเปลยนตวแบบตอเนองใหเปนตวแบบดสกรต บางปญหาสามารถสรางตวแบบไดทงดสกรตและตอเนอง เชน การเจรญเตบโตของตนหญาเปนแบบตอเนอง แตถาพดถงการตดหญาเปนแบบดสกรต เปนตน ตวแบบอยางงาย คอ ดสกรต เลขคณต Xn+1 = Xn + c เรขาคณต Xn+1 = aXn เชงเสน อนดบหนง Xn+1 = aXn + b ตอเนอง เชงเสน y = a + bt กฎของกาลง y = atb โพลโนเมยล y = a + bt + ct2 + dt3 + … เลขยกกาลง y = aebt ขอสงเกต พจารณาระหวาง ตวแบบกฎของกาลง กบ ตวแบบ เลขยกกาลง เชน y = at และ y = ekt สมมลกน เนองจาก ln y = t ln a และ ln y = kt นนคอ ทงสองเปนสงเดยวกน เมอ k = ln a ตวอยาง 7.1 ทะเลสาบมนา 100,000 m3 มมลพษเจอปนอย 5% ของปรมาตรนา แตละวนมการนามลพษออกจากนา 1,000 m3 และเตมนาสะอาดลงในทะเลสาบ 1,000 m3 อยากทราบวาจะใชเวลานานเทาไรทจะทาใหมลพษในทะเลสาบลดลงถงขนปลอดภย (มมลพษ 1%)



วธทา ให Pn แทนปรมาณมลพษในทะเลสาบในวนท n ดงนน P0 = 0.05 × 100,000 = 5,000 m3 นามลพษออกวนละ 1,000 m3

และทก ๆ 1 m3 จะมมลพษอย 000,100nP m3

Pn+1 = Pn – 1,000 ×000,100nP

= (1 +0.01)Pn = (0.99)Pn Pn = (0.99)nP0 = (0.99)n5,000 ดงนน Pn จะลดลงเปน 1,000 เมอ 1,000 = (0.99)n5,000

นนคอ (0.99)n = 51 หรอ n ln (0.99) = ln (0.2) ซงจะไดวา n ≈ 161 วน

ตวอยาง 7.2 จากตวอยาง 7.1 สมมตวา มลพษเพมขนอยางตอเนองดวยอตรา 5 m3 ตอวน มนาสะอาดเขาทะเลสาบวนละ 995 m3 และนาไหลออกจากทะเลสาบวนละ 1,000 m3 ตวแบบจะเปนอยางไร สาหรบ Pn และผลของคาตอบจะเปนอยางไร วธทา เราไดวา

Pn+1 = Pn – 1,000 ×000,100nP + 5

= (0.99)Pn + 5 นคอ สมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง ทมคาตอบ ดงน Pn = (0.99)n 5,000 + 5[1 – (0.99)n]/[1 – 0.99] = 500[9(0.99)n + 1] = 1,000 เมอ 9(0.99)n + 1 = 2 ซงไดวา (0.99)n = 1/9 หรอ n ln (0.99) = - ln 9 นนคอ n ≈ 219 วน ตวอยาง 7.3 ตนไมเจรญเตบโตในวนแรก 3 ซ.ม. และหลงจากนนจะเจรญเตบโตเปนครงหนงของวนกอนหนา ในเวลาเดยวกนวชพชเจรญเตบโตในวนแรก 1 ซ.ม. และหลงจากวนแรกจะเจรญเตบโตเปน 2 เทาของวนกอนหนา เมอไรทวชพชจะยาวเทากบตนไม และยาวเทาไร



วธทา ให Pn และ Wn แทนความสง/ยาว(เปน ซ.ม.)ของตนไมและวชพช เมอสนวนท n ตามลาดบ ให Gn และ Rn แทนการเจรญเตบโตของตนไมและวชพชในวนท n ตามลาดบ ดงนน Pn+1 = Pn + Gn และ Wn+1 = Wn + Rn จากสงทกาหนดให ทราบวา Gn+1 = (0.5)Gn และ Rn+1 = 2Rn ดงนน Gn = (0.5)nG0 = (0.5)n3 และ Rn = 2nR0 = 2n จะไดตวแบบเปน Pn+1 = Pn + (0.5)n3 เมอ P0 = 0 และ Wn+1 = Wn + 2n เมอ W0 = 0 คาตอบของสมการเชงอนพนธสาหรบ Pn จะอยในรป Pn = a + b(0.5)n เมอ a และ b เปนตวคงท ซงสามารถหาคาไดโดยการแทนคาในสมการเชงอนพนธ ดงน

Pn+1 = a + b(0.5)n+1 = a + 0.5b(0.5)n ซง Pn+1 = Pn + Gn = Pn + (0.5)n3 = a + b(0.5)n + (0.5)n3 จากาการเทยบสมประสทธ จะไดวา 0.5b = b + 3 ซงทาใหไดวา b = - 6 และเมอ P0 = 0 จะไดวา a = 6 ดงนน Pn = 6[1 – (0.5)n] ในทานองเดยวกน Wn = a + b2n เราหาไดวา a = -1 และ b = 1 เพราะฉะนน Wn = 2n – 1 จากตวแบบจะใหคา

n 0 1 2 3 … Pn 0 3 4.5 5.25 … Wn 0 1 3 7 …

จากขอมลทไดในตาราง จะเหนวาวชพชจะสง/ยาวเทาตนไมในระหวาง n = 2 และ n = 3 และความยาวอยระหวาง 4.5 และ 5.25 เซนตเมตร เราอาจจะหาคาตอบไดงายโดยไมใช ตวแบบ แตจากตวแบบเราสามารถหาคาตอบไดเพมเตม ดงน ให Wn = Pn เราจะไดวา 2

n – 1 = 6[1 – (0.5)n] ถาเราให x = 2n ดงนน (0.5)n = 1/x และสมการจะเปน x – 1 = 6[1 – 1/x] ซงจะไดวา x2 – 7x + 6 = 0 หรอ (x – 6)(x – 1) = 0 ดงนน x = 1 หรอ x = 6 คาตอบ x = 1 จะให 2n = 1 ดงนน n = 0 สรปไดวาตนไมและวชพชมความสง/ยาวเทากนเมอจดเรมตน คาตอบ x = 6 จะให 2n = 6 ดงนน n = ln 6/ln 2 ≈ 2.58 นนคอ ตนไมและวชพชมความสง/ยาวเทากนอกครงเมอ n ≈ 2.58 และความสง/ความยาวทเทากนนน คอ 2n – 1 = 6[1 – 1/2n] = 5 เซนตเมตร



ตวอยาง 7.4 ในการเจรญเตบโตแบบเลขยกกาลง ถา 5 ป เปนเวลาสองเทา (a) เวลาสามเทาคอเวลาเทาไร (b) อตราเปอรเซนตรายปเปนเทาไร วธทา (a) ถา y(t) = y(0)ekt เวลาสองเทา คอ T2 = (ln 2)/k = 5 ดงนน k = (ln 2)/5 ให T3 เปนเวลาสามเทา ดงนน y(T3) = y(0) exp(kT3) = 3y(0) ซงจะไดวา exp(kT3) = 3 , kT3 = ln 3 , T3 = (ln 3)/k = 5 (ln 3)/(ln 2) ≈ 7.92 ป (b) หลงจาก 1 ป y(1) = y(0)ek = y(0)eln 2/5 ≈ (1.1487)y(0) ซงแสดงใหเหนวาอตราเปอรเซนตเพมขน 14.87 % ในหนงป ตวอยาง 7.5 (a) จากรปท 7.3 แสดงกราฟของ f จงเขยนกราฟของ f’

รปท 7.3

(b) จากรปท 7.4 แสดงกราฟของ f’ จงเขยนกราฟของ f (สมมตวา f(0) = 1)



รปท 7.4 วธทา กราฟผลลพธ แสดงในรปท 7.5 และ 7.6 ดงตอไปน

รปท 7.5



รปท 7.6

ตวอยาง 7.6 ในประเทศหนง อตราเงนเฟอลดลงจาก 8% เปน 4% ในชวง 2 ป และลดลงคงท 4% จงเขยนกราฟแสดง (a) อตราเงนเฟอ และ (b) ราคาทเปลยนแปลงตามเวลา วธทา (a) ตวแบบตอเนองอยางงาย ทสอดคลองกบขอมลคอ สมการเชงเสน I(t) = a + bt เมอ I(0) = 8 และ I(2) = 4 ซงไดวา a = 8 และ b = -2 นนคอ

⎩⎨⎧

≥≤≤−

=2t 42t0 28

)(t

tI

ซงเขยนกราฟไดดงน

รปท 7.7



(b) เราไดวา P(t) = {1 + I(t)/100}tP(0) นนคอ

⎩⎨⎧

≥≤≤−

=2t (1.04)2t0 )02.008.1()0(/)(

t

ttPtP

ซงเขยนกราฟไดดงน

รปท 7.8

ตวอยาง 7.7 โยนลกบอลดวยความเรว V และทามม α กบแนวนอนทความสง h จากพน ตวแบบเชงคณตศาสตรพยากรณไดวาลกบอลจะตกถงพนทจดหางจากจดเรมตน R = V

cos α{V sin α + )2sin( 22 ghV +α }/g ถา V = 60 เมตรตอชวโมง, α = 0 องศา, g = 9.81 เมตรตอวนาท2 และ h = 2 เมตร จงหาเปอรเซนตของการเปลยนแปลงของ R เมอ V เปลยนแปลง 1% , α เปลยนแปลง 0.01 เรเดยน และ h เปลยนแปลง 1% วธทา หาอนพนธของ R เทยบกบ V , α และ h ดงน

)2sin(/]22sin2[cos/2sin 222 ghvgghVgVVR

+++=∂∂ αααα

)2sin(/]22cos[sin/2cos 222 ghvgghVVgVR+−+=

∂∂ ααααα

)2sin(/cos 22 ghvVhR

+=∂∂ αα

เมอ V ≈ 60 เมตรตอช.ม. ≈ 60 × 0.447 ≈ 27 เมตรตอวนาท, α = 0 องศา, h = 2 เมตร และ g ≈ 9.81 เมตรตอวนาท2 ซงจะไดวา



VR∂∂ ≈ 0.639 ,

α∂∂R ≈ 74.3 และ

hR∂∂ ≈ 4.31

ถาเราเปลยน V โดย ΔV = 0.27, α โดย Δα = 0.01 และ h โดย Δh = 0.02 ผลของการเปลยนใน R ไดคาประมาณ ดงน

ΔR ≈ VR∂∂

ΔV + α∂∂R

Δα + hR∂∂

Δh

≈ 0.639 × 0.27 + 74.3 × 0.01 + 4.31 × 0.02 ≈ 0.17 + 0.74 + 0.09

เราจะเหนวาการเปลยนแปลงของมมมผลทาใหผลลพธ (R) เปลยนแปลงมาก กลาวคอมมเปลยนไปเพยงครงองศา สามารถเปลยนแปลง R ไดประมาณ 1 เมตร ตวอยาง 7.8 ปนหมะเปนลกบอลทรงกลมทมเสนผานศนยกลาง 20 ซ.ม. ลกบอลหมะมอตราการละลาย 1 ลกบาศกเซนตเมตรตอวนาท ให r, A และ V เปน รศม (ซ.ม.) พนทผว (ซ.ม.2) และ ปรมาตร (ซ.ม.3) ตามลาดบ จงหา (a) อตราการลดลงของรศม (b) การเปลยนแปลงของพนทผวของลกบอล วธทา (a) จากสงทกาหนดให ทราบวา V’ = 1 และ r = 10 ดงนน (4πr3/3)’ = 1 หรอ 4πr2r’ = 1 นนคอ r’ = 1/(400π) ≈ 0.000796 ซ.ม.ตอวนาท (b) A = 4πr2 ซงไดวา A’ = 8πrr’ = 8π × 10 × 1/(400π) = 0.2 ซ.ม.2ตอวนาท ตวอยาง 7.9 เจาของเรอยนอยททาเทยบเรอดงเชอกทผกเรอดวยอตรา 0.5 เมตรตอวนาท มอของเขาอยเหนอระดบเรอ 2 เมตร อยากทราบวาความเรวของเรอเมอ เชอกมความยาว 4 เมตร ระหวางเรอกบมอของชายผนน วธทา ให L เปนความยาวของเชอก ณ เวลาใด ๆ และ x เปนระยะหางทางแนวราบของ

เรอกบทาเทยบเรอ จะไดวา x = )4( 2 −L และความเรวของเรอ คอ

x’ = LL’/ )4( 2 −L = 4 × 0.5/ )44( 2 − ≈ 0.577 เมตรตอวนาท ตวอยาง 7.10 สมมตวาความตองการสนคาขนอยกบราคา P เมอราคา เปน 3 บาท ความตองการ เปน 3600 ชนตอสปดาห แตถาราคา 4 บาท ความตองการจะลดลงเปน 2800 ชนตอสปดาห อยากทราบวาราคาทดทสดควรเปนเทาไรทจะทารายไดไดมากทสด วธทา จากสงทกาหนดใหสามารถสรางตวแบบไดดงน D(P) = a – bP



เมอ P = 3, D = 3600 = a – 3b เมอ P = 4, D = 2800 = a – 4b จากสองสมการ เราจะได a = 6000 และ b = 800 ดงนนตวแบบจะเปน D(P) = 6000 – 800P และรายไดคอ R = ราคาตอชน × จานวนขาย

= P × D(P) = 6000P – 800P2 รายไดจะมากทสดเมอ 0 = dR/dP = 6000 – 1600P นนคอ เมอ P = 3.75 เปนราคาทดทสดททาใหรายไดสงทสด แบบฝกหดบทท 7 1. แบคทเรยเจรญเตบโตมจานวนเปนสองเทาทก ๆ ชวโมง ถาหลงจาก 8 ชวโมง ม

แบคทเรยจานวน 33,280 ตว อยากทราบวาเมอเรมตนมแบคทเรยกตว 2. ในป พ.ศ. 2546 จานวนประชากรเพมขน 2.1 % ตอป อยากทราบวาจะใชเวลากป (จากป

พ.ศ. 2546) จานวนประชากรจงจะเปนสองเทา 3. ในแตละป ตนไมแตกกงกานสาขาดงน แตกเปนสองกง 70% แตกเปนสามกง 10%

สมมตวาเรมตนปท 0 ตนไมนมเพยงกงเดยว จงเขยนตวแบบแสดงจานวนกงหลงจากปท n

4. อตราเงนเฟอ I% ตอป อยากทราบวากปคาเงนบาทจะลดลงเหลอเพยงครงเดยว 5. นกศกษาเรยนพมพดดใชเวลา 10 วนาท ในการพมพคาแรก แตหลงจากทเรยนไปแลว

ความเรวในการพมพสงขน อยากทราบวาเขาจะใชเวลานานเทาไรทจะพมพรายงาน 10,000 คา ถาแตละคาใชเวลา (a) นอยกวาการพมพคากอนหนา 0.001 วนาท (b) นอยกวาการพมพคากอนหนา 0.01%

6. จงเขยนสมการความเจรญเตบโต y = 3(0.8)t ใหมใหอยในรปฟงกชนเลขยกกาลง 7. ทะเลสาบมนาบรรจอย 200,000 m3 มมลพษทางสารเคม 7% มการเตมนาสะอาดวนละ

2,000 m3 และนามลพษทางเคมออกวนละ 2,000 m3 จะใชเวลานานเทาไรจงจะทาให มลพษลดลงอยในระดบปลอดภย คอ 1% และคาตอบเปนจะเทาไรถามลพษเพมขนอยางตอเนองดวยอตรา 10 m3 ตอวน ขณะทเตมนาสะอาด 1990 m3 ตอวน



8. สมมตวาตนไมเจรญเตบโต 1 ซ.ม. ในวนแรก และในวนถดไปเจรญเตบโต 70% ของวนกอนหนา (a) จงเขยนตวแบบดสกรตสาหรบ Hn = ความสงของตนไมเมอสนสดวนท n (b) ตนไมสงเทาไรเมอสนสดวนท n (c) ตนไมสงมากทสดเทาไร (d) ใชเวลากวนทตนไมสงขน 90% ของความสงมากทสด

9. สระนาขนาด 5 เมตร × 5 เมตร บรรจนามความลก 0.4 เมตร นาลกบาศกคอนกรตขนาด 1 m3 จานวน 25 ลก วางทพนของสระทละลก ซงจะทาใหระดบนาในสระเพมขน จงเขยนตวแบบของ dn ซงเปนระดบนาหลงจากการวางกอนลกบาศกลกท n

10. แกว X มไวนบรรจอย 20 ชอนโตะ และแกว Y มนาบรรจอย 20 ชอนโตะ นาไวนจากแกว X 1 ชอนโตะไปผสมลงในแกว Y และเขยาใหเขากน นาของผสมใน Y 1 ชอนโตะไปเตมใน X ให Xn เปนเปอรเซนตของไวนในแกว X ภายหลงจาก n ชอนโตะไดเปลยนไดตามทกลาวแลว และให Yn เปนเปอรเซนตของไวนในแกว Y จงหา (a) สมการเชงอนพนธทสอดคลองกบ Xn (b) นพจนของ Xn และ Yn ในพจนของ n (c) อะไรจะเกดขนเมอเวลาผานไปนาน ๆ

11. รถคนหนงวงไดระยะทาง x1 กโลเมตรใชเวลา t1 ชวโมง และหยด s นาท กอนทจะวงตอไปไดระยะทาง x2 กโลเมตร ใชเวลา t2 ชวโมง จงหาความเรวเฉลยในการเดนทางทงหมด เปนกโลเมตรตอชวโมง

12. ผลกาไรของบรษทแหงหนงในป พ.ศ. 2544 คอ X1 บาท และในป พ.ศ. 2545 คอ X2 บาท จงหาอตราเฉลยของการเพมขนของผลกาไรในชวงสองป

13. ตนป พ.ศ. 2544 ในเมอง ๆ หนงมประชากร P1 คน ตลอดป พ.ศ. 2544 มประชากรเสยชวต d1 คน เกดใหม b1 คน ยายเขามา m1 คน และยายออกไป l1 คน และจานวนประชากรทสอดคลองกนของป พ.ศ. 2545 คอ d2 , b2 , m2 และ l2 จงเขยนนพจนของอตราเฉลยการเปลยนแปลงประชากรในชวงสองป

14. ให f เปนฟงกชนทนยามวา f(t) = 2t2 – t3 จงหา (a) อตราเฉลยของการเปลยนแปลงในชวง 0 < t < 4 (b) อตราการเปลยนแปลงทจด t = 2



15. จากกราฟของ f1(t) และ f2(t) ในรปท 7.9 เวลาใดในสามเวลาน t1 , t2 , t3 ทแสดงวา (a) f1 มากทสด (b) f2 นอยทสด (c) f1 > f2 (d) f1 < f2 (e) f1’ มากทสด (f) f2’ มากทสด (g) f1’ นอยทสด (h) f2’ นอยทสด (i) f2’ > f1’ (j) f2’ < f1’ รปท 7.9 (k) f1 เปลยนแปลงเรวกวา f2 (l) f2 เปลยนแปลงเรวกวา f1 (m) f1 เปลยนแปลงเรวทสด (n) f2 เปลยนแปลงเรวทสด

16. (a) จากรปท 7.10 แสดงกราฟของ f จงเขยนกราฟของ f’

รปท 7.10

(b) จากรปท 7.11 แสดงกราฟของ f’ จงเขยนกราฟของ f

f(t)

t

f2

f1

t2t1 t3



รปท 7.11

17. จากรปท 7.12 แสดงอตราการเพมของราคาบานในกรงเทพ ฯ ระหวางป 1986 – 1993 อยากทราบวาเหตการณตอไปนเกดขนเวลาใด (a) ชวงทราคาบานสงขนเรวทสด (b) ราคาสงสด (c) ชวงทราคาบานลดลงเรวทสด (d) ราคาบานตาสด

รปท 7.12

20

10

0

1993199219911990198919881987



18. จากตวแบบการเจรญเตบโตของประชากรสองแบบ ในหนวยลานคน ณ เวลา t ป หลงจากป พ.ศ. 2543 (a) P(t) = 14 + 0.23t และ (b) P(t) = 14e0.03t จงหาอตราการเปลยนแปลงของประชากรในป พ.ศ. 2546 จากแตละตวแบบ

19. ถา y = 6x2 จงใชเชงอนพนธ ประมาณคาการเปลยนแปลงของ y เมอ x เปลยนจาก 1 เปน 1.002 และตรวจสอบกบคาการเปลยนแปลงทแนนอน

20. สมมตวาสนคาราคา P บาท ขายไดวนละ Q ชน มตวแบบดงน Q = 1000 – 0.4P2 สมมตวาปจจบนราคาสนคาเปน 10 บาท อยากทราบวาจานวนสนคาทขายจะลดลงเทาไรถาราคาสนคาเพมขนเปน 10.50 บาท

21. ถา f1(t) = 2000/t2 และ f2(t) = 1000/t3 อยากทราบวาระหวาง f1 และ f2 คาของฟงกชนใดจะมคาลดลงมากกวา (a) สมบรณ และ (b) สมพทธกบ t เมอ t เพมขนจาก 1 เปน 2

22. สมมตวาปรมาณการขายเกมคอมพวเตอรใหมตอสปดาห หลงจากเปดตว x สปดาห มตวแบบ ดงน S(x) = 900x + 30x2 – x3 (a) จงใชตวแบบพยากรณปรมาณการขายตอสปดาห หลงจากเปดตว 5 สปดาห (b) ปรมาณการขายตอสปดาหเพมขนเรวอยางไรหลงจากเปดตว 5 สปดาห (c) เมอใดทปรมาณการขายตอสปดาหเพมขนมากทสด (d) เมอใดทปรมาณการขายตอสปดาหสงสด

23. สมมตวาปรมาณปลาในทะเลสาบ ณ เวลา t (วน) มตวแบบดงน F(t) = 1000/(1 + 99e-0.1t) (a) อยากทราบจานวนปลาในทะเลสาบ ณ เวลาเรมตน (t = 0) (b) จานวนปลาเพมขนเปนเทาไร หลงจาก 10 วน (c) เมอใดทจานวนปลาเพมขนมากทสด (d) จานวนปลามากทสดททะเลสาบจะรบได

24. ความเขมของแสงทพนขณะทไฟสองจากดวงไฟทอยหางจากพน r สามารถเขยนตวแบบทเปนการแปรผกผนกบ r2 จงหาเปอรเซนตการเปลยนแปลงความเขมของแสงจากการเพมขนของ r ทละนอย p%

25. วดขนาดของกลองสเหลยมแตละดานไดวา 10.0, 12.0 และ 20.0 ซ.ม. ซงมความคลาดเคลอน ± 0.05 ซ.ม. ในแตละการวด จงประมาณความคลาดเคลอนใน (a) การคานวณพนผวของกลอง (b) การคานวณปรมาตรของกลอง



และตรวจสอบคาตอบกบคาสงสด และตาสดของแตละกรณทเปนไปได 26. ปรมาตรของกรวยกลมคานวณไดจาก ความสง h และมม α ทดานขางทากบแนวตง

โดยใชสตรวา V = πh3 tan2α/3 ถาการวดความสง h คลาดเคลอนได p% และการวดมม α คลาดเคลอนได q% จงหาเปอรเซนตของความคลาดเคลอนในการคานวณปรมาตร V (สมมตให p และ q เลกมาก ๆ และ α มคาเขาใกล 30 องศา)

27. ผปาลกดอกยนหางจากเปา 8 ฟต ปาลกดอกจากความสง 6 ฟต ดวยความเรว 20 ฟตตอวนาท และมม 30 องศา จงคานวณหาผลของการเปลยนแปลงตาแหนงของลกดอกทเปา ถาความเรวเปลยนไป s% และมมเปลยนไป a%

28. เรอรวมนาไหลเขาดวยอตรา f m3s-1 ใชถงขนาด b m3 ตกนาออกในเวลา T วนาท จงหาเงอนไขททาใหเรอไมจม ถาปรมาตรของเรอ คอ V (m3) จะตองเวลานานเทาไร เรอจงจะจม (นบจากนาเรมเขาเรอ)

29. (a) ถาความยาว x ของดานสเหลยมจตรส เพมขนดวยอตรา b ms-1 จงหาอตราการเพม ของพนท

(b) ดานกวาง x ดานยาว y ของจอคอมพวเตอรเพมขนดวยอตรา a และ b (จดตอ วนาท) ตามลาดบ จงหาอตราการเปลยนแปลงของ (1) พนท (2) เสนรอบรป

30. แทงกนารปทรงกระบอก รศม 20 เซนตเมตร จายนาดวยอตรา 0.001 m3s-1 จงหาอตราการลดลงของระดบนาในแทงกจากการจายนา

31. สมมตวารถวงดวยความเรวคงท s กโลเมตรตอชวโมง สนเปลองนามน (s – s2/100) กโลเมตรตอลตร (a) จงเขยนความสนเปลองนามนในรป ลตรตอชวโมง (b) จงหาความเรวทประหยดนามนทสด

32. สมมตวา ทกดานของกอนนาแขงทรงลกบาศกลดลงจากการละลายดวยอตรา 1 มลลเมตรตอนาท จงหาอตราการละลายของนาแขงในรปลกบาศกเซนตเมตรตอนาท เมอดานของกอนนาแขงยาวดานละ 1 เซนตเมตร

33. สมมตวสดทรงลกบาศกตนนาหนก 1 กโลกรม มดานยาวดานละ 5 เซนตเมตร เมอนาไปเผาไฟขยายตวทาใหแตละดานเพมขนดวยอตรา 2 มลลเมตรตอชวโมง จงหาอตราการเปลยนแปลงของ (a) ปรมาตร และ (b) ความหนาแนนภายหลงจากการเผา 3 ชวโมง



34. แทงกนารปทรงกรวยกลมมมมทจดยอด 90 องศา สามารถจายนาไดในอตรา 0.002 m3s-1 เมอความลกของนา 0.5 เมตร จงหา (a) อตราการเปลยนแปลงความลก และ (b) อตราการเพมขนของพนทผวนา

35. สมมตวาไฟปาลกลามตลอดเวลาเปนบรเวณวงกลม (a) ถารศม r ของไฟลกลามเพมขนดวยอตรา k ms-1 จงหาอตราการเพมของพนท (b) ถาพนทของการลกลามเพมขนดวยอตรา c m2s-1 จงหาอตราการเพมของรศม

36. บอลลนพองขนดวยการบรรจอากาศ 100 ลตรตอวนาท เมอรศมเปน 1 เมตร จงหาอตราการเพมของ (a) รศม และ (b) พนทผว

37. สมมตวาแมลงมมชกใยสมการ r = kθ ดวยความเรว b เมตรตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของใยแมลงมม

38. รปทรงของตนสนเปนกรวยกลมทมมมระหวางดานขางกบเสนแนวตงคงท α ถาความสง h ณ เวลา t เพมขนดวยอตรา b เมตรตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของ (a) พนทผวของพนผวเอยงดานขางกรวยกลม (b) พนทฐานกรวยกลม (c) ความยาวของเสนผานศนยกลางของฐานกรวยกลม (d) ปรมาตรของพนทวางภายในกรวยกลม

39. ทรายไหลตามรางดวยความเรวคงท f ลกบาศกเมตรตอวนาท และไหลลงพนเปนรปทรงกรวยกลม (a) ถาพนทฐาน A ของกรวยกลม เพมขนดวยอตราคงท k ตารางเมตรตอวนาท จงหา

ความสง h ของกรวยกลมทเพมขน (b) ถาความสงของกรวยกลมเพมขนดวยอตราคงท c เมตรตอวนาท จงหาพนทฐานท

เพมขน 40. ปรมาตรของทรงกระบอกทรศม r และความสง h คอ V = πr2h เมอเรมตน r = 20

เซนตเมตร และ h = 50 เซนตเมตร ถารศมเพมขนดวยอตรา 1 มลลเมตรตอวนาท และความสงเพมขน 4 มลลเมตรตอวนาท ปรมาตรจะเปลยนแปลงไปอยางไร

41. พนทผวของมนษย S ตารางเมตร สามารถสรางตวแบบไดวา S = 2W0.4H0.7 เมอ W (กโลกรม) เปนนาหนก และ H (เมตร) เปนความสง เดกผหญงคนหนงมความสง 150 เซนตเมตร และมนาหนก 58 กโลกรม ถาเธอหนกเพมขน 6 กโลกรมตอป และเธอสงเพมขน 5 เซนตเมตรตอป จงประมาณอตราเพมของผวของเธอ



42. ความเรวของวตถทตกลงมาเพมขน 9.81 เมตรตอวนาท ทก ๆ วนาท อยากทราบความสงทลดลงหลงจากทวตถตกลงมา 5 เมตรจากจดเรมตน

43. รถวงดวยอตราเรงสมาเสมอ a ในชวงแรก และตอดวยอตราหนวงสมาเสมอ b ถาเวลาการวงทงหมดเปน T จงหาระยะทางจากจดเรมตนจนถงจดสดทายทรถหยด

44. เดกผชายยนอยบนกาแพงทงลกบอลจากความสง H และในขณะเดยวกนเพอนของเขาโยนลกบอลขนทางแนวตงดวยความเรว U ทความสง h จากพนดน ถาลกบอลทงสองเคลอนทในแนวเสนตงตรงเดยวกน ลกบอลจะพบกนทความสงเทาไร ถา ณ จดทพบกนลกบอลมความเรวเทากน จงแสดงใหเหนวามลกบอลลกหนงเดนทางเปนสามเทาของอกลกหนง

45. จงแสดงใหเหนวาเตนทรปทรงกรวยกลม ทมความจมากทสดและใชวสดนอยทสดมความสงเปน 2 เทาของรศมฐาน

46. สมมตความลกของนาในทะเลสาบ t ชวโมงหลงจากเทยงคนสามารถสรางตวแบบไดดงน h(t) = 15 + 0.2t – 0.01t2 สมมตวาพนทผวของนาคงท 50,000 ตารางเมตร จงหา (a) ปรมาตรของนาในทะเลสาบระหวางเวลา 7.00 น. ถง 8.00 น. (b) อตราการไหลของนาเขาทะเลสาบ เมอเวลา 7.00 น. ในหนวยลกบาศกเมตรตอวนาท (c) อตราการตกของฝนเมอเวลา 8.00 น. ในหนวยมลลเมตรตอนาท (สมมตวาไมมนา

ไหลเขาและไหลออก ยกเวนฝนตก)

บทท 8 การสรางตวแบบโดยใชสมการเชงอนพนธ 131


บทท 8 การสรางตวแบบโดยใชสมการเชงอนพนธ

(Modelling with Differential Equations) ตวอยางในบทท 7 สวนใหญกลาวถง ฟงกชนของเวลา y = f(t) ซงม y’ = f’(t) เปนอตราการเปลยนแปลง ตวแบบจะอยในรปของพจนอตราการเปลยนแปลง เชน อตราการเปลยนแปลง y’ จะสมพนธกบคาของ y ณ เวลา t อตราการเปลยนแปลงขนาดของประชากร ซงเปนปญหาทเราตองหาคาตอบกลบทางจาก y’ ไปหาคา y สมการเชงอนพนธอนดบหนง เปนสมการทอยในรป y, y’ และ t ทประยกตใช ณ เวลาใด ๆ t มตงแตสมการเชงอนพนธทสามารถเขยนอยในรปฟงกชนของ t ทชดเจน หาคาตอบไดงาย ไปจนถงสมการเชงอนพนธทยากหรอไมสามารถใชคณตศาสตรคานวณหาคาตอบได ซงจะตองใชวธการทางจานวนประมาณการคาตอบแทน คาตอบของสมการเชงอนพนธ จะอยในรปทม y และ t ซงไดจากการอนทเกรต โดยจะมตวคงทของการอนทเกรต c อยดวย หรอ เรยกวาเซตของโคงคาตอบ (set of solution curves) ทสอดคลองกบคา c แตละคาทตางกน โดยปกตจะตองมขอมลของคา y ในเวลา t ใดเวลาหนง (เชน t = 0 ซงใชบอยทสด) คา y น กบสมการเชงอนพนธ จะได คาเรมตนของปญหา (initial value problem) ถาเราสามารถหาเซตของคาตอบของสมการเชงอนพนธนได แทนคาในสมการดวยเงอนไขเบองตนดงกลาวจะไดคาคงท c ในกรณทใชวธการทางจานวนประมาณการคาตอบ คาเรมตนนจะเกดขนเองโดยอตโนมต บางครงตวแบบใชสมการเชงอนพนธหลายสมการโดยทสมการทหนง y’ = f1 ใชจากเวลา t = 0 ถง t = t1 และสมการอน y’ = f2 ใชจากเวลา t = t1 ตอไปเรอย ๆ เราตองหาคาตอบของสมการเชงอนพนธแรกโดยหาคาเรมตนของปญหาจาก y’ = f1 , y(0) = y0 (กาหนดให) หาคา y1 ของ y(t1) ขนตอไปจงแกสมการเชงอนพนธถดไปโดยหาคาเรมตนของปญหาจาก y’ = f2 , y(t1) = y1 สาหรบ t > t1 วธการสรางตวแบบใชโดยสมการเชงอนพนธ มขนตอนดงน 1. แปลงปญหาใหอยในรปของสมการเชงอนพนธ ซงเปนขนทมความสาคญมากและควรทา

ดวยความระมดระวง ซงโดยปกตจะใชหลกดงน อตราการเปลยนแปลง = อตราการเขา - อตราการออก

อตราการเปลยนแปลงทเปน ลบ หมายถง อตราการลด



2. เลอกหนวยของเวลา โดยตองแนใจวาทก ๆ คาคงทสามารถแปลงใหอยในหนวยนได และจะตองตรวจสอบใหทก ๆ พจน ในสมการเชงอนพนธอยในหนวยเดยวกน ตวอยาง เชน ปรมาตรของนาในแทงกลดลง แปรผนโดยตรงกบปรมาตรของนาในแทงก ณ เวลานน จะไดสมการเชงอนพนธ คอ V’ = -kV ถา V มหนวยเปน m3 และ เวลามหนวยเปน วนาท ดงนน k ควรมหนวยเปน s-1 สมมตวา k = 0.1 s-1 ดงนนตวแบบจะเปน V’ = -0.1V (ทงสองขางของสมการ มหนวยเปน m3s-1) ถาเราเปลยนหนวยของเวลาเปน นาท , k จะตองเปลยนหนวยเปน min-1 ดวย โดยทสมการเชงอนพนธจะเปลยนเปน V’ = -0.1V/60

3. สารวจเจตนาของตวแบบ กอนทแกสมการ y’ = RHS (RHS : ดานขวามอของสมการ)จะตองตรวจสอบ RHS ดวยความระมดระวงวา อะไรเปนคาเรมตน บอกความชนของกราฟ ณ จดเรมตนหรอไม RHS มคาเปนบวกตลอดเวลาหรอไม ถาเปนบวกตลอดเวลา คา y เพมขนตลอดเวลาหรอไม RHS เพมขนขณะทเวลาเพมขนหรอไม ถาเปนดงนนกราฟคาตอบจะสงขนเมอ t เพมขน

ในทางกลบกน ถา RHS ลดลง กราฟคาตอบจะราบเรยบ มคาตวแปรพเศษอนใดของพารามเตอรหรอตวแปรททาให y’ = 0 หรอไม ถาม y จะใหคาสงสดหรอตาสดทองถน เงอนไข y’ = 0 มความหมายวา y ไมเปลยนแปลงตามเวลา หรออยในสภาวะเสถยร (steady state or equilibrium) ซงบงบอกถงระบบวาเปนอยางนเมอเวลาผานไปนาน ๆ (t → ∞) ในกรณนกราฟคาตอบ y จะราบเรยบเขาสคาสภาวะเสถยร

4. เลอกวธการหาคาตอบ โดยพจารณาสมการเชงอนพนธนนวางายพอทจะหาคาตอบโดยวธการทางคณตศาสตร หรอประมาณการคาตอบโดยวธการทางจานวน

เลขยกกาลงของการเจรญเตบโต กบ การเสอมลง (Exponential Growth and Decay) ตวอยางของตวแบบทสรางโดยใชสมการเชงอนพนธแบบงาย ๆ เชน อตราการเปลยนแปลงของตวแปร ณ เวลาใด ๆ แปรผนตรงกบคาของตวแปร ณ เวลานน ซงเขยน ตวแบบไดวา y’ = ky และคาตอบของตวแบบ คอ y(t) = y(0)ekt ซงสามารถเขยนกราฟไดเปนจานวนมากตามคา k ซงถา k เปนบวกจะหมายถงการเจรญเตมโต แตถา k มคาเปนลบจะหมายถงการเสอมลง ในการศกษาคาตอบเฉพาะบางคาตอบเราจะตองทราบคา y(0) และคา k ในการคานวณหาสงเหลานเราเพยงแตทราบคา y ณ เวลาทแตตางกนสองเวลากเพยงพอแลว ให y(t) = yt เราจะไดวา y1 = y0exp(kt1) และ y2 = y0exp(kt2) นา



y0

2y0

4y0

2TT

y0

y0/4

y0/2

2TT

สมการทงสองมาหารกนจะได y1/y2 = exp(k(t1-t2) นนคอ k = [ln(y1/y2)]/(t1-t2) แทนคา k ในนพจนทม y1 จะไดคา y0 ตวแบบอยางงายตอไป คอ ตวแบบเลขยกกาลง ซงจะใหคา y ในเวลา T เดยวกนเปนสองเทา (กรณเปนการเจรญเตบโต) หรอเปนครงหนง (ในกรณเปนการเสอมลง) ตวแบบอยในรป y(t) = y0e

kt ดงนน ถา y(T) = 2y0 จะไดวา 2 = ekT และ T = ln 2/k ซงจะไมขนอยกบคา y0 และไดวา y(2T) = y0e

2kT = y0e2 ln 2 = y0e

ln 4 = 4y0 , T เปนเวลาสองเทาของการกระจายการเจรญเตบโต หรอ เปนเวลาครงชวตของการกระจายการเสอมลง (ดงรปท 8.1 และ 8.2)

รปท 8.1 รปท 8.2



ตวอยางของการกระจายการเจรญเตบโต เชน ในการประมาณคาจานวนแบคทเรย ทราบวา จานวนแบคทเรยทเกดใหมแปรผนตรงของจานวนทมอยภายใตในขดจากดของบรเวณทอยและสงตาง ๆ ทมผลตอแบคทเรย ตวอยางของการกระจายการเสอมลง เชน การเสอมสลายของรงสนวเครยสทแปรผนตามจานวนนวเคลยทเหลออย ณ เวลานน สมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง การแปรผนอยางงายของตวแบบยกกาลง (exponential model) ใชเมอ อตราการเปลยนแปลงของ y เปนการแปรผนตรงของคาปจจบนของ y กบคาคงทบางคา L ในรป y’ = k(L-y) ซงมคาตอบเปน y(t) = L + (y0 – L)e-kt เมอ t → ∞ รปกราฟของคาตอบขนอยกบคาเรมตนดวย y0 > L หรอ y0 < L ดงรปท 8.3

รปท 8.3

ตวอยาง เชน การถายเทพลงงานความรอนโดยการพาความรอน พลงงานความรอน ทบรรจอยในรางกายทมมวล M ณ อณหภม T คอ McT เมอ c เปนตวคงท (ความจความรอนเฉพาะของวตถ) ตวแบบ คอ อตราการถายเทพลงงานตอหนวยของพนท แปรผนโดยตรงกบความแตกตางของอณหภมภายในรางกายกบอณหภมภายนอก นนคอ



(McT)’ = hA(Tout-T) เมอ Tout คออณหภมภายนอก A เปนพนทของผว และ h เปนสมประสทธของการถายเทความรอน ทขนอยกบธรรมชาตของผว ถา M, c, h และ A คงท สมการจะเปน McT’ = hA(Tout-T) หรอ T’ = α(Tout-T) เมอ α เปนตวคงท และในรปแบบนบางครงถกอางถง กฎความเยนของนวตน (Newton’s Law of Cooling) ซงจะใชไดเฉพาะในกรณท T > Tout กลาวคอ ใชไดเฉพาะกรณทอณหภมในรางกายรอนกวาอณหภมภายนอก สมการขางบนเปนกรณอยางงายของรปแบบทวไป y’ + a(t)y = b(t) ทเปนสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง ทสามารถแกสมการไดโดยวธตวประกอบของการอนทเกรต (integrating factor method) ถา a และ b เปนตวคงท เลอก y = Ae-at + b/a, เมอ A เปนตวคงท ตวอยางตวแบบอยางงายแบบอน เชน ตวแบบการไหลของนาทมสารเคมผสมอยดวยออกจากแทงก สมมตวาในแทงกเรมตนดวยมเกลอ M0 (kg) ผสมอยในนาปรมาตร V (m3) จะไดนาผสมเกลอ S (kg) ตอลกบาศกเมตร(m3) ทบรรจในแทงกในอตรา f (m3s-1) นาผสมเกลอมการผสมและบรรจในแทงกอยางตอเนองมอตราการไหลออกจากแทงกคงท f ดงนนปรมาตรของเหลวในแทงกทเหลออยจะคงท (ตามรปท 8.4)

รปท 8.4 ให m(t) เปนมวลของเกลอในแทงก ณ เวลา t อตราการเปลยนแปลงของ m(t) จะเทากบอตราการของการนาเกลอใสในแทงกลบดวยอตราการนาเกลอออก ดงนน อตราการไหลเขาของเกลอ = S (kgm-3) × f (m3s-1) = Sf (kgs-1) แตละลกบาศกเมตรของสวนผสมในแทงกประกอบดวยเกลอ (m/V) kg ดงนน อตราการไหลออกของเกลอ = (m/V) (kgm-3) × f (m3s-1) = mf/V (kgs-1) เพราะฉะนน m’ = Sf – mf/V หรอ m’ + (f/V)m = Sf

h

v(t)

m(t)

f



ซงหาคาตอบโดยวธการตวประกอบการอนทเกรต ไดคาตอบดงน m(t) = M0e

-ft/V + SV[1 – e-ft/V] ในพจนแรกของดายซายมอ แสดงใหเหนวา เกลอทเหลออยในแทงก ณ เวลา t เมอ t→∞ จะลดลงส 0 และไดวา m → SV นนคอ มมวลเทากนเมอเรานาเกลอใสในแทงก S kgm-3 สงสาคญของตวอยางขางบน คอ อตราการไหลเขาและไหลออกเทากน ซงทาใหปรมาตรของเหลวในแทงกเหลอคงท สมมตวาอตราการไหลไมเทากน ปรมาตรของเหลวในแทงกมการเปลยนแปลงและอตราการเปลยนแปลงจะเทากบ V’ = fin – fout ถาอตราการไหลคงท จะไดวาคาตอบของสมการ คอ V(t) = V0 + (fin – fout)t สมการของ m(t) คอ

m’ = Sfin – (m/V)fout = Sfin – mfout/[V0 + (fin – fout)t] ซงเปนสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง ทแกสมการยากขนกวาสมการกอน ตวแบบทซบซอนยงขน คอ มการหยดนาสารเคมเขา จากตวอยางทแลว สมมตวามการหยดนาเกลอเขาทเวลา t = T แตยงใสนาบรสทธอย ตวแบบจะเปน

⎩⎨⎧

><−

=T t mf/V -T t /

'VmfSf

m

คาตอบสาหรบ m(t) จะมคาแตกตางกนสองคาตอบขนอยกบ t < T หรอ t > T สมการเชงอนพนธไมเชงเสน ถงแมวาสมการเชงอนพนธเชงเสนจะใชมาก แตตวแบบทสรางขนในความเปนจรงบางครงจะไมไดประกอบดวยสมการเชงอนพนธทนพจนของ y’ ไมอยในรปแบบฟงกชนเชงเสนอยางงายของ y เชน ตวแบบการเจรญเตบโตของสตว หรอของพช หรอของประชากร จะอยในรป ตวแบบโลจสตค (logistic model) y’ = ky(1 – y/L) การใหเหตผลทางตรรกศาสตรสาหรบการใชตวแบบน คอ การทานายอตราขนตาของการเจรญเตบโต เมอ y มคานอย ๆ และ เมอ y มคาเขาใกล L เรมตนดวยการเจรญเตบโตอยางชา ๆ และเรวขนเรอย ๆ จนกระทงเขาสลมต L นนคอ y’ → 0 เมอ y → L ในเรองประชากร จะเรยก L วา ความสามารถในการรองรบสงแวดลอม (carrying capacity of the environment) ลกษณะกราฟของตวแบบลอจสตกขนอยกบ การเรมตนดวย y(0) > L หรอ L/2 < y(0) < L หรอ y(0) < L/2 ในทกกรณ คาตอบ คอ

y(t) = L/[1 + (L/y(0) – 1)e-kt] ดจากรปท 8.5



รปท 8.5 การวเคราะหตวแบบนสามารถพจารณาจาก กจกรรมตาง ๆ เชน ผลการยายถนฐานของสตวเขาหรอออกจากบรเวณ หรอการลา การเกบเกยวพช หรอการตกปลาของมนษย ตวอยาง เชน มนษยจบปลาทาใหประชากรของปลาลดลง ดวยอตราการจบปลาคงท f ตวแบบควรเปน y’ = ky(1 – y/L) – f ตวแบบลอจสตกรปแบบอน คอ y’ = ky(L – y) ซงมคาตอบเปน y = L/[1 + (L/y(0) – 1)e-kLt] y’ = ay – by2 ซงมคาตอบเปน y = a/[b + (a/y(0) – b)e-at] สมการเชงอนพนธไมเชงเสนท ใชในเรองของปญหาการไหล เมอของเหลวไหลออกจากแทงกดวยแรงโนมถวงของโลก ถาพนทหนาตดของการไหลคอ a (m2) และไหลดวยอตรา u (ms-1) ดงนน อตราการไหลออกของนา คอ V’ = a (m2) × u (ms-1) = au (m3s-1) ถาความสงของของเหลวในแทงก คอ h พลงศกยจากกนแทงก อนภาคของนาเลก ๆ ทมมวล m มพลงงานศกย mgh ทพนผวนา และเคลอนทอยางแรง ดงนนพลงงานจลนจะเปน 0 และผลรวมของพลงงาน คอ mgh เมอถงกอกนาพลงงานศกยเปน 0 และ

t

(t)



พลงงานจลน คอ mu2/2 โดยพลงงาน conservation mu2/2 = mgh ดงนน u2 = 2gh และอตราการไหลออกของของเหลวเทากบ V’ = )2( gha ซงเรยกวา Torricell’s Law สาหรบคอนเทนเนอรทเปลยนแปลงขนาดของหนาตดได ซงจะใชเชอมตอระหวางพนท ความลก และปรมาตร ซงอยในรป dV/dh = A เมอพนทผวของของเหลวคอ A อตราการเปลยนแปลงของความลก คอ

h’ = dh/dt = (dh/dV)(dV/dt) = (1/A)(dV/dt) รปแบบงาย ๆ ของสมการไมเชงเสนในทางเศรษฐศาสตร เมอ ความตองการ Q รายการสนคาอยในรปของฟงกชนของราคา P ถาราคาเพมขน 1% จะทาใหความตองการลดลง 2% ซงเรยกวาความยดหยนของความตองการ คอ E = ½ ในรปทว ๆ ไป E = (-dQ/Q)/(dP/P) ถาให E เปนตวคงท หาคา Q(P) เราแกสมการเชงอนพนธ dQ/dP = -EQ/P ทางกลศาสตร หลกของนวตน ทผลลพธอยในรปสมการเชงอนพนธอนดบสอง ทเราใชในการเคลอนทของวตถ ซงจะพบตวอยางมากมายในตารากลศาสตร และตวอยางทคลายคลงกนทอยในตาราเลมน เมอพจารณาสมการเชงอนพนธอนดบหนงในเรองความเรว v กฏขอทสองของนวตน สาหรบวตถชนหนงมวล m เคลอนทในมตเดยว สามารถเขยนไดวา mv’ = แรง แรงทแตกตางกนมากมายสามารถเขยนตวแบบได แตมสงทรวมกนคอ แรงดงดดของโลก ( -mg ถา v เปนความเรวทางแนวตง) และความตานทานเคลอนทเปลยนแปลงไปตามการเคลอนทของวตถ โดยทวไปแรงตานทาน คอ (a) -kv และ (b) -kv2 ตวแบบ (a) เหมาะสาหรบวตถเลก ๆ ทความเรวตา ๆ ระบบของสมการเชงอนพนธ (Systems of Differential Equations) เรามกจะพบเสมอวาตวแบบประกอบดวยตวแปรตามหลายตว เชน y1(t), y2(t), … และตองการสมการเชงอนพนธหลายสมการตามจานวนตวไมทราบคา ถาแตละสมการมเพยงตวแปร y เพยงตวเดยว เราสามารถแกสมการเชงอนพนธเหลานนโดยไมยากนก แตสวนใหญตวแปร y มกจะผสมกนอยในสมการ เมอตวแปรหนงอยในตวแปรอน หรอตวแปรปะปนกน เราจะตองแกสมการเชงอนพนธพรอม ๆ กน ทงระบบสมการ ซงจะตองใชเทคนคทางจานวนเขาชวย แตละสถานะความสมดล(equilibrium states) ทปรากฏสามารถแกสมการ



พรอม ๆ กนทงระบบ y1’ = 0, y2’ = 0, … และสมการทนาสนใจทเปนสถานะความสมดล คอ การคงสภาพ (stable) หนงในตวแบบระบบสมการทรจกกนมากทสด คอ ระบบสมการทมประชากร 2 กลม ถา x และ y เปนขนาดของประชากร 2 กลม ทอาศยอยในบรเวณเดยวกน สมการ x’ และ y’ จะเปนอตราการเกดของประชากรแตละกลม ประชากรทงสองกลมจะตองใชอาหารรวมกน หรอ กลมหนงจะกนอกกลมหนง เชน กรณผลากบเหยอ ตวแบบซงถกสรางโดย สมการลอทกา-โวลเทอรรา (Lotka-Volterra equations) คอ

x’ = ax – bxy y’ = - cy + dxy

เมอการปฏสมพนธของทงสองกลมแทนดวยพจน xy และตวคงททกตวเปนบวก อตราสวน b ถง d แทนจานวนเหยอทตองการผลาตวใหม ตวแบบปฏกรยาทางเคม สมมตวา ปฏกรยาระหวางสารเคม A และ B ทรวมกนเปน C เขยนไดวา A + B ⎯→⎯ k C หมายความวา โมเลกลของ A และ B รวมกนเปนโมเลกลของ C และ k เปนอตราปฏกรยาคงท เราม 3 ตวแปร a, b และ c สมมตวาอตราการเกดปฏกรยา แปรผนโดยตรงกบ a และ b สารเคม C จะเกดขนในอตรา C’ = kab ในขณะเดยวกน A และ B มอตราการเกดปฏกรยา kab ดงนน a’ = -kab และ b’ = -kab ปฏกรยาสวนใหญจะเปนปฏกรยายอนกลบ ตวอยางเชน A + B ↔ C สมการ เชงอนพนธในกรณน คอ

a’ = -k1ab + k2c b’ = -k1ab + k2c c’ = k1ab + k2c

กระบวนการทางชววทยาในการดารงอยของสงทมชวต สามารถสรางตวแบบโดยการใชจานวนของสวนยอย สมมตใหแตละสวนยอยเปนชนดเดยวกน และไดรบการไหลเขาและออกของวสด มอตราการไหล แปรผนโดยตรงกบ สวยยอยท 1 ไปยงสวนยอยท 2 เปน k(C1 – C2) ตวแบบนบางครงเรยกวา กฎของฟค (Fick’s Law) สาหรบตวแบบทางนเวศวทยา สวนประกอบทหลากหลายของระบบนเวศ จะเปน ตวแบบสวนยอยทมการไหลเวยนของพลงงานและอาหารระหวางแตละสวนยอยทหลากหลาย



ตวอยาง 8.1 จงเขยนสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบสมมตฐานตอไปน (a) ประชากรของเมอง ๆ หนงเพมขน 1,000 คนทกป (b) ประชากรของเมอง ๆ หนงเพมขน 10 % ทกป (c) อตราการเพมของรศมบรเวณวงกลมของไฟปาแปรผนโดยตรงกบเสนรอบวง (d) อตราการเพมของพนทบรเวณวงกลมของไฟปาแปรผนโดยตรงกบเสนรอบวง (e) สวนหนงของตวแบบทางเศรษฐศาสตร สมมตวาอตราการเปลยนแปลงของ

ผลผลต แปรผนโดนตรงกบผลตางของความตองการและผลผลต สมมตวาความตองการเกดขนจากสวนคงท และสวนแปรผนตรงกบผลผลต

(f) จานวนกระตายในสนามเพมเปนสองเทาทก ๆ 50 วน และมการจบกระตายออกไปฆาวนละ 10 ตว

(g) แมลง 2 สายพนธอยในบรเวณเดยวกน และกนอาหารรวมกน อตราการเกดของแมลงทงสองสายพนธ แปรผนโดยตรงกบจานวนประชากร และอาหาร สมมตวาอาหารจากเรมตนมการลดลงเนองจากการกนของแมลง จงเขยนตวแบบโดยใช

สมการเชงอนพนธ สาหรบ X, Y และ F เมอ X, Y แทน จานวนของแมลงแตละสายพนธ และ F แทนจานวนอาหาร

วธทา (a) P’ = 1000 (b) จากการดอยางคราว ๆ คาตอบควรเปน P’ = 0.1P แตยงไมถกตอง ใหสมการเปน P’ = kP ดงนนคาตอบ คอ P = P(0)ekt ดงนนหลงจากหนงปผานไป ประชากรจะคณดวย ekt ซงจะเปน = 1.1 ถา k = ln (1.1) ≈ 0.0953 ดงนนตวแบบทถกตอง คอ P’ = 0.0953P (c) ถารศม คอ r อตราการเปลยนแปลงของรศม คอ r’ และเสนรอบรปคอ 2πr ดงนน r’ = kr เมอ k เปนตวคงท (d) ถารศม คอ r พนทเปน πr2 และอตราการเปลยนแปลงของพนท คอ 2πrr’ ขณะทเสนรอบรป คอ 2πr ดงนน ถาทงสองแปรผนตรงซงกนและกนจะไดวา r’ = k (e) ให x แทนผลผลตและให y แทนความตองการ ขอสมมตครงแรกคอ x’ = k(y – x) ขอสมมตครงทสอง คอ y = a + bx เมอ a, b และ k เปนตวคงท และมเพยงสมการเชงอนพนธสมการเดยวทเราสามารถเขยนได คอ x’ = k[a + (b – 1)x] หรอเมอปรบใหเหลอเพยงสองพารามเตอร คอ x’ = cx + d



(f) สมมตวายงไมมการจบกระตาย สมการจะเปน y’ = ky ดงนน y = y(0)ekt ซงจะเทากบ 2y(0) เมอ t = 50 เพราะฉะนน e50k = 2 จะไดวา k ≈ 0.0139 ดงนนตวแบบจะเปน y’ = 0.0139y - 10 (g) สมมตวา X’ = aXF และ Y’ = bYF เมอ a, b เปนตวคงท ถาเราสมมตใหแมลงทงสองสายพนธกนอาหารคงทดวยอตราทตางกน ดงนน F’ = -cX – dY a, b จะเปนฟงกชนของ F และจะลดลงเมอ F มคาเลกมาก ๆ ตวอยาง 8.2 จงเขยนสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบรศมของทรงกลมทวา ถาอตราการเปลยนแปลงปรมาตรแปรผนโดยตรงกบ (a) ปรมาตร , (b) พนทผว และ (c) รศม วธทา ใหรศมของทรงกลม คอ r ปรมาตรของทรงกลมจะเปน 4πr3 ดงนนอตราการเปลยนแปลงปรมาตร คอ 4πr2r’ กรณ (a) จะไดวา 4πr2r’ ∝ 4πr3/3 หรอ r’ = kr กรณ (b) จะไดวา 4πr2r’ ∝ 4πr2 หรอ r’ = k และ กรณ (c) จะไดวา 4πr2r’ ∝ r หรอ r’ = k/r ตวอยาง 8.3 ถา y สอดคลองกบสมการเชงอนพนธทกาหนดใหตอไปน จงเขยนสมการ เชงอนพนธทสอดคลองกบ (1) z = 5y และ (2) w = y – 3 ในทกกรณตอไปน

(a) y’ = 2y + 7 (b) y’ = y(y – 1) (c) y’ = )1( 2 +y วธทา (a) z’ = 5y’ = 5(2z/5 + 7) = 2z + 35 w’ = y’ = 2(3 + w)(w + 2) = 2w + 13

(b) z’ = 5y’ = 5(z/5)(z/5 – 1) = z(z – 5)/5 w’ = y’ = (w + 3)(w + 2)

(c) z’ = 5y’ = 5 ]1)5/[( 2 +z = )25( 2 +z

w’ = y’ = ]1)3[( 2 ++w = )106( 2 ++ ww ตวอยาง 8.4 ตรวจสอบคนขบรถภายหลงเกดอบตเหตแลว 3 ชวโมง พบวามแอลกอฮอในเลอด 56 mg/100 ml หลงจากนนอก 2 ชวโมง พบวามแอลกอฮอในเลอด 40 mg/100 ml อยากทราบวาขณะทเกดอบตเหตคนขบรถมแอลกอฮอในเลอดเกนกวาทกาหนด หรอไม (กาหนดใหคนขบรถมแอลกอฮอในเลอดไมเกน 80 mg/100 ml)



t(hours )

T(t)

วธทา ให c(t) เปนปรมาตรแอลกอฮอในเลอด (มหนวยเปน mg/100 ml) ของคน ณ เวลา t ตวแบบอยางงาย ของอตราการลดลงของแอลกอฮอตามเวลา คอ c’ = -kc ซงจะไดวา c(t) = c(0)e-kt เมอ c(0) เปนคา ณ เวลาเกดเหตทเราตองการ จากสงทกาหนดใหเราไดวา c(3) = 56 และ c(5) = 40 ซงจะไดวา 56 = c(0)e-3k และ 40 = c(0)e-5k นาสมการทงสองมาหารกนจะได e2k = 56/40 และไดวา k ≈ 0.17 ซงในทสด c(0) = 56e3k ≈ 94 สรปไดวา ณ เวลาเกดเหตคนขบรถมปรมาตรแอลกอฮอในเลอด 94 mg/100 ml เกนกวาทกาหนด ตวอยาง 8.5 ตารวจพบวา เวลา 1.00 น. อณหภมของรางกายผตายเทากบ 29 oC ขณะทอณหภมภายนอกเทากบ 21 oC หนงชวโมงผานไปอณหภมของรางกายผตายลดลงเปน 27 oC อณหภมปกตทคนเรามชวตอย 37 oC จงประมาณเวลาการเสยชวต วธทา เราใชกฎการเยนของนวตนทวา T’ = α(Tout – T) ซงมคาตอบวา T = Tout + (T0 – Tout)e

-αt เมอ T0 เปนอณหภม ณ เวลา t = 0 แทนคาสงทกาหนดให จะไดวา 29 = 21 + (37 – 21) e-αt และ 27 = 21 + (37 – 21) e-α(t +1)

รปท 8.6



ทาใหเปนอยางงายจะไดวา e-αt = 8/16 และ e-α(t + 1) = 6/16 นาสมการทงสองมาหารกนจะไดวา eα = 4/3 ดงนน α ≈ 0.2877 คาของ t คอ - ln(1/2)/ α ≈ 2.409 ช.ม. เราประมาณเวลาเสยชวตไดวา เทากบ 22.35 น. ตวอยาง 8.6 จากรปท 8.7 แสดงทะเลสาบขนาดเลกทบรรจนา 2,000 m3 ปรมาณนาไหลเขามอตรา 0.1 m3s-1 ตามทอ A และไหลออกตามทอ B ดวยอตรา 0.1 m3s-1

รปท 8.7 เวลา 11.05 น. เกดอบตเหตรถบรรทกสารเคมมพษตกลงไปในทะเลสาบ และมสารเคมไหลลงในทะเลสาบ หนวยกภยมาชวยเหลอในเวลา 11.35 น. และมจานวนสารพษทไหลลงสทะเลสาบประมาณ z (m3) คา z ประมาณจากชวงเวลา 5 ถง 20 นาท จงสรางตวแบบทสามารถคานวณปรมาณสารพษไดทกเวลา และใชตวแบบนประมาณคา

(a) ระดบสารเคมพษสงสดทผสมอยในทะเลสาบ และ ณ เวลาใด (b) เวลาทสารเคมพษทผสมในทะเลสาบลดตาจนปลอดภย (ระดบตากวา 0.05%)

วธทา ระดบสารเคมพษในทะเลสาบ ณ เวลา ใด วดโดย c(t) ของสวนผสมโดยปรมาตร (แตละนาผสม 1 m3 มสารเคมมพษผสมอย C m3 และนาบรสทธ (1 – C) m3) ใหหนวยของเวลาเปน นาท อตราการไหลเขาของสารเคมมพษในทะเลสาบ คอ z/30 (m3min-1) สาหรบ 0 < t < 30 อตราการไหลออกของสารเคมมพษจากทะเลสาบ คอ 60 × 0.1C (m3min-1) เนองจากทก ๆ m3 ของการไหลออกของนาผสมสารเคมจะมสารเคมอย C m3 ปรมาตรของนาทเหลออยในทะเลสาบจะคงท 2,000 m3 ดงนน อตราการเปลยนแปลงของมวลของสารเคมในทะเลสาบ คอ

2,000C’ = อตราไหลเขา – อตราไหลออก = z/30 – 6C

x

B

A



นคอสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง ทมคาตอบ เมอ C(0) = 0 คอ C(t) = z[1 – e-6t/2000]/180

ระดบสารเคมสงสด เมอ เวลา t = 30 และระดบสงสดคอ C(30) = (4.782 ×10-4)z หลงจากนนสมการเชงอนพนธเปลยนเปน 2000C’ = -6C ทมคาตอบ คอ C(t) = C(30)e-6(t – 30)/2000 และลดลงส 0.0005 เมอ t = T ท

T – 30 = -(2000/6)ln[0.0005/C(30)] หรอ

T = 30 + (2000/6)ln[0.9653z] ตอไปนเปนตารางคาของ C(30) และ T สาหรบบางคาของ z

z(m3) C(30) (m3) T(min) 5 0.002 39 552

10 0.004 78 738 15 0.007 17 918 20 0.009 56 1014

ตวอยาง 8.7 สมมตวาจานวนปลาวาฬในปจจบนมประมาณ 10,000 ตว มอตราการเจรญเตบโต สามารถสรางเปนตวแบบได ดงน P’ = 0.12P(1 – P/100,000) (วดในหนวย 1,000 ตว และหนวยเวลาเปน ป)

(a) จงหา P(t) (b) เมอไรทอตราการเจรญเตบโตเพมขน (c) เมอไรทอตราการเจรญเตบโตลดลง (d) อะไรจะเกดขนเมอเวลาผานไปนาน ๆ (e) จงสรางตวแบบของสมการเชงอนพนธทมอตราการจบปลา f ตวตอป (f) จงหาอตราการจบปลาสงสดทไมทาใหปลาสญพนธ

วธทา (a) อางถงคาตอบรปทวไปของสมการลอจสตก เมอ L = 100, P(0) = 10 และ k = 0.12 ดงนน P(t) = 100/[1 + 9e-0.12f]

(b) อตราการเจรญเตบโต P’ และ อตรานเพมขนเมอ P” > 0 จากคาตอบขอ (a) P’ = 108e-0.12t/(1 + 9e-0.12t)2



และ P” = 12.96e-0.12t(-1 + 9e-0.12t)/(1 + 9e-0.12t)3

ซงจะไดวา P” เพมขน เมอ 9e-0.12t – 1 > 0 นนคอ e-0.12t < 1/9 เปนจรงเมอ t < 18.3 ป (c) ตรงกนขามกบขอ (b) นนคอ t > 18.3 ป (d) จาก (a) เมอ t → ∞ เราจะไดวา P → 100

(e) P’ = 0.12P(1 – 0.1P) – 0.001f (f) จาก (e) P’ = 0 ถา f > 120P(1 – 0.1P) ใช P = 10 จะไดวา P(0) < 0

สาหรบ f > 1080 จะไดตามมาวา จานวนปลาวาฬจะสญพนธ เมอ การจบปลามากกวา 1,080 ตว ตอป

ตวอยาง 8.8 กอกนารอนและกอกนาเยน เปดเมอเวลา t = 0 ลงใสในอางอาบนารปทรงสเหลยมผนผา กอกนารอนปดภายหลงจากปดกอกนาเยน 1 นาท

(a) จงเขยนตวแปร พารามเตอร ทจาเปนในการสรางตวแบบ พยากรณอณหภมของนาผสม ณ เวลาใด ๆ

(b) จงเขยนขอสมมตทจาเปนในการสรางสมการ และ เขยนสมการเชงอนพนธ วธทา (a) เราสามารถเขยนรายการของ ตวแปร และ พารามเตอร ไดดงน

รายการ แบบ สญลกษณ หนวย ปรมาณนาในอาง ตวแปรขาออก V m3 พนทผวนาในอาง ตวแปรขาออก A m2 อณหภมนาในอาง ตวแปรขาออก T K อณหภมนารอน พารามเตอรขาเขา T1 K อณหภมนาเยน พารามเตอรขาเขา T2 K อณหภมอากาศรอบๆ พารามเตอรขาเขา Ta K อ ตราไหลเขานารอน พารามเตอรขาเขา F1 m3s-1

อตราไหลเขานาเยน พารามเตอรขาเขา F2 m3s-1 สมประสทธการถายเทความรอน

พารามเตอรขาเขา H Wm-2K-1

ความหนาแนนของนา พารามเตอรขาเขา ρ kgm-3 ความจความรอนของนา พารามเตอรขาเขา C Wkg-1K-1

(b) สมมต



. นาถายเทความรอนเฉพาะพนผวเทานน . อณหภมและอตราการไหลของนารอนและนาเยนจากกอกไมเปลยนแปลง . อณหภมของอากาศโดยรอบคงท . การผสมของนารอนและนาเยนเปนไปอยางรวดเรว

สาหรบปรมาตรของนาในอาง สามารถเขยนสมการไดดงน

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤<<+

=120t 0120t60 F

60t0 ' 2

21 FFV

สาหรบพลงงานความรอนของนาในอาง สามารถเขยนสมการ ไดดงน

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤−−<<−−+

=120t )T-hA(T-120t60 )(F

60t0 )()()'(

a

11

2211

a

a

TThAcTTThAcTFTF

VTc ρρρ

ρ

ปญหาในตวอยางตอไปนเคยกลาวมาแลวในบทท 4 ตวแบบดสกรต ซงจะกลาวอกครงในกรณทนาหนกเปนฟงกชนตอเนองของเวลา และจะใชสมการเชงอนพนธในการสรางตวแบบ

ตวอยาง 8.9 เดกผหญงกนอาหารวนละ 2,500 แคลอร ใชพลงงานในการเผาพลาญทวไป 1,200 แคลอร และใชพลงงานในการออกกาลงกายวนละ 16 แคลอรตอนาหนกตว และอตราสวนในการเปลยนแปลงพลงงานเปนไขมน คอ 10,000 แคลอร เปลยนแปลงเปนไขมน 1 กโลกรม ในเชาวนอาทตยเธอมนาหนก 57.1526 กโลกรม และในวนพธเธอกนอาหารเพมมากกวาปกต เปน 3,500 แคลอร จงสรางตวแบบเพอทานายนาหนก W(t) ของเธอ ณ เวลา t และจงหาคาประมาณ

(a) นาหนกของเธอในตอนเชาของวนเสาร

(b) ปรมาณอาหารทเธอสามารถกนไดในแตละวน (เมอเธอหนก57.1526 กโลกรม)

(c) นาหนกตาสดทเธอสามารถลดไดใน N สปดาห

(d) ปรมาณอาหารทจะกนในแตละวนทจะควบคมนาหนกใหเปน 50.802344 กโลกรม ใน N สปดาห (เรมตนจาก 57.1526 กโลกรม)



วธทา จากจดประสงคของตวแบบ ในตอนแรกเรายงไมคดถงพลงงานทนาเขารางกาย ให เวลา มหนวยเปนวน ให W(t) แทนนาหนกของเธอมหนวยเปน kg ภายหลง t วน และให β เปนพลงงานสทธทเธอกนเขาไปในวนหนงมหนวยเปน cal ซงพลงงานทเธอกนเขาไปในแตละวน คอ β - 0.0016W cal ดวยนาหนก (β - 0.0016W)/10,000 สาหรบ 0 < t < 3 เราจะไดวา β = 1300 ดงนนสมการเชงอนพนธ คอ dW/(1300 – 16W) = dt/10,000 ซง อนทเกรตไดวา - ln(1300 – 16W)/16 = 10-4t + C1 หรอ W(t) = 81.25 – C1e

-0.0016t เราทราบวา 57.1526 kg = W(0) = (81.25 – C1) kg จะไดวา C1 = 24.0974 ให t = 3 จะพบวา W(3) = 57.26799 สาหรบ 3 < t < 4 (วนพธ) เราเปลยน β เปน 2300 จะไดสมการเชงอนพนธใหม คอ W(t) = 143.75 – C2e

-0.0016t เราจะตองเลอก C2 ทใหคาตอบทถกตองของ W(3) เราพบวา C2 = 86.89812 และให t = 4 เราจะไดวา W(4) = 57.40625 สาหรบ t > 4 สมการเชงอนพนธตนแบบสามารถนามาใชได คอ W(t) = 81.25 – C3e

-0.0016t หมายเหต C3 จะไมเหมอนกบ C1 เราจะตองหาจาก W(4) = 57.40625 ซงได C3 = 23.9968 เราสามารถเขยนตวแบบทสมบรณได ดงน

⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<<<−

=

−

4t 23.9968e-81.254t3 86.8981e-143.753t0 0974.2425.81

)(0.0016t-

0.0016t-

0016.0 tetW

คาตอบของ (a) เราให t = 6 จะไดวา W(6) = 57.48247 kg สาหรบ (b) W’ = 0 เมอ β = 16W = 16 × 57.1526 ≈ 914 ดงนนเธอกนพลงงานเขาไปวนละ 2114 cal สาหรบ (c) ตวแบบ คอ W’ = -0.0016W ซงมคาตอบ คอ W(t) = W(0)e-0.0016t = 57.1526e-0.0016t ภายหลง n สปดาห จะเปลยนเปน 57.152e-0.0016×7n (d) เธอกนพลงงานเขาไปวนละ β เราไดวา - ln(β – 16W)/16 = 10-4t + C ดงนน W(t) = [β - Ce-0.012N]/16 เนองจาก W(0) = 57.1526 เราจะได β - C = 914.4416 ภายหลง N สปดาห W จะเปลยนเปน [β - Ce-0.012N] = 8 × 6.350293 แทนคา C แกสมการสาหรบ 3 จะไดวา β = [812.8375 – 914.4416e-0.0112N]/[1 – e-0.0012N]



ตวอยาง 8.10 จากรปท 8.8 แทงกทรงกระบอกกลม และแทงกครงทรงกลม ททงสองมขนาดเสนผานศนยกลาง 1 เมตร มนาไหลจากแทงกทรงกระบอก ผานรขนาดเสนผานศนยกลาง 2 c.m. ลงสแทงกครงทรงกลมทอยขางลาง แทงกครงทรงกลมกมรขนาดเดยวกนทกนของแทงก ณ เวลา t = 0 ความสง h1 ของนา ในแทงกทรงกระบอกสง 1.5 เมตร อยากทราบวาเมอไรนาจงจะหมดแทงก จงเขยนสมการเชงอนพนธเพอหาวาเมอไรแทงกครงทรงกลมจงจะวางเปลาถาเรมตนดวยมนาสง 0.2 เมตร

รปท 8.8 วธทา ในชวงแรกของสมการ สามารถหาคาตอบโดยวธการแยกสวนได ดงน ปรมาณการไหลของนาจากแทงกทรงกระบอกกลม คอ พนทของชองออก คณดวย ความเรวการไหลออกของนา = 0.25π(0.02)2 × )2( 1gh (m3s-1) ปรมาตรของนาในแทงก คอ 0.25π(l)2h1 ดงนน ปรมาณการไหล คอ 0.25πh1’ และ h1 สอดคลองกบสมการเชงอนพนธ

h1’ = -(0.02)2 )2( 1gh

(เครองหมาย ลบ หมายถงการไหลออก) ซงจะไดวา dth

dh001772.0

)( 1

1 −= อนทเกรต

ทงสองขางของสมการ จะไดวา th 000886.05.11 −= (ใช h1 = 1.5 เมอ t = 0)

แทงกนาจะวางเปลาเมอ t = 000886.0

5.1 ≈ 1383 s ≈ 23 min

สาหรบแทงกครงทรงกลม

h1

h2



V’ = Ah1’ = πr2h2’ = π[(0.5)2 – (0.5 – h2)2]h2’

= (h2 – h22)h2’

= การไหลเขา - การไหลออก = 0.25π(0.02)2 )()2( 21 hhg − เราสามารถเขยนสมการเชงอนพนธ สาหรบ h2 (เมอ 0 < t < 1383) ไดวา

h2(1 – h2)h2’ = 0.0004429[ 5.1 - 0.000886t - 2h ] สามารถแกสมการโดยวธการทางจานวน โดยใชคาเรมตน h2(0) = 0.2 สมมตวาแทงกรปครงทรงกลม ไมมนาลน หรอ วางเปลา 23 นาท เราจะตรวจสอบขอสมมตนภายหลงการแกสมการ h2

เมอ t > 1383 เราตองเปลยนสมการเชงอนพนธ เปน h2(1 – h2)h2’ = -0.0004429 2h และทาให h2 เขาส 0

แบบฝกหดบทท 8 1. จงเขยนสมการเชงอนพนธ ทสอดคลองกบขอสมมต ตอไปน

(a) อตราการเปลยนแปลงความสงของตนไมแปรผนโดยตรงกบความสงของตนไม (b) ความเรวของอนภาค แปรผนโดยตรงกบระยะทางการเคลอนท (c) ความเรงของอนภาค แปรผนโดยตรงกบความเรว

2. ถา y สอดคลองกบสมการเชงอนพนธทกาหนดให จงเขยนสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบ z = 2y + 3 ตามเงอนไขตอไปน (a) y’ = 4y + 1 (b) y’ = 2(1 – y2) (c) y’ = cos(2y + t)

3. สมมตวา y(t) แทนระดบนา(มหนวยเปนเมตร) ในแทงก ณ เวลา t (วน) และตวแบบโดยสมการเชงอนพนธ คอ y’ = 0.2 + 0.1 sin(10t) สมการจะเปลยนไปอยางไร ถาเราวด y ในหนวยเซนตเมตร และเวลา t ในหนวย ชวโมง

4. สมมตวา (a) จานวนประชากร P เพมขน แปรผนโดยตรงกบผลตางจานวนอาหารทงหมดกบ

จานวนอาหารทบรโภค (b) จานวนอาหารทบรโภคแปรผนโดยตรงกบขนาดของประชากร



(c) จานวนอาหารทงหมดเพมขนในอตราคงท จงเขยนตวแบบสมการเชงอนพนธ สาหรบ P

5. สมมตวาอตราการละลายของสารเคมแปรผนโดยตรงกบสวนทไมละลาย ถา M เปนมวลสงสดของสวนทละลาย จงเขยนสมการเชงอนพนธสาหรบ m(t) : มวลของสวนละลาย ณ เวลา t

6. นกเศรษฐศาสตรบางคนพบวา อตราการเปลยนแปลงคาจางแรงงาน (a) ลดลงเมอจานวนคนวางงานเพมขน (b) ลดลงเมออตราการเปลยนแปลงของคนวางงานเพมขน (c) เพมขนเมออตราการเปลยนแปลงของราคาขายปลกเพมขน ให W = คาจางแรงงาน, U = จานวนคนวางงาน, R = ดชนราคาขายปลก จงเขยนตวแบบสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบขอสมมตขางตน

7. สมมตวา คนขบรถ (1) เบรคเมอรถคนหนาเคลอนทชากวา (2) เรงความเรวเมอรถคนหนาเคลอนทเรวกวา ให V1 และ V2 เปนความเรวของรถคนท 1 และ คนท 2 เมอรถคนท 2 อยขางหลงรถคนท 1 และ k เปนตวคงทบวก ตวแบบตอไปนตวแบบใดสอดคลองกบขอสมมตขางตน (a) V1’ = k(V1 – V2) (b) V1’ = k(V2 – V1) (c) V2’ = k(V1 – V2) (d) V2’ = k(V2 – V1) อะไรเปนขอสมมตทเพมขนในตวแบบน

8. การเจรญเตบโตของเซลลขนอยกบการไหลของสารอาหารตามผวของผนงเซลล และขนอยกบพนทผวของผนงเซลล สมมตใหอตราการเจรญเตบโตแปรผนโดยตรงกบพนทผว สมมตวาเซลลเปนรปรางเปนทรงกลม จงสรางตวแบบสมการเชงอนพนธ สาหรบ m(t) : มวลของเซลล ณ เวลา t

9. ถงแมวาจะไมมฝนตกทกวน สมมตคาเฉลยการปลอยนาภายใตการอนรกษนา สามารถสรางตวแบบของชวงเวลาทมคาตาสด r0(m) ในเดอนมถนายน และคาสงสด r1(m) ในเดอนมกราคม พนทผวของนา คอ A (m2) (สมมตวาคงท) และ f (m2) เปนระดบนา



ทเหลอสารองไวในแตละวน จงเขยนสมการเชงอนพนธ สาหรบ V(t) : ปรมาตรของนาทสารองไว ณ เวลา t (วน)

ถาขนาดของสวนสารองนาสามารถสรางตวแบบเปนพนผวของทรงกลมของรศม R ไดรบสมการเชงอนพนธสาหรบ h(t) : ความลกของนา ณ จดทลกสงสด

รปท 8.9

10. ตวแบบตอไปนตวแบบใดสอดคลองกบรปท 8.9 (a) y’ = y + 2 (b) y’ = - y + 2 (c) y’ = - 2 – y (d) y’ = y – 2

11. ในแตละรปท 8.10, 8.11 และ 8.12 กราฟ C แทนคาตอบของคาเรมตนของปญหา y’ = (a – bx)y, y(0) = c ทม พารามเตอร a, b และ c เทากบ 1 โดยไมตอง แกสมการเชงอนพนธ จงพจารณาวาตอไปนขอใดถกตอง (a) การเพมขนของพารามเตอร a จะทาใหกราฟคาตอบเปลยนแปลงดงน

(1) เขาใกลกราฟ A (2) เขาใกลกราฟ B



B

C

A

E

C

D

(b) การเพมขนของพารามเตอร b จะทาใหกราฟคาตอบเปลยนแปลงดงน (1) เขาใกลกราฟ D (2) เขาใกลกราฟ E

(c) การเพมขนของพารามเตอร c จะทาใหกราฟคาตอบเปลยนแปลงดงน (1) เขาใกลกราฟ F (2) เขาใกลกราฟ G

รปท 8.10



G

C

F

รปท 8.11

รปท 8.12

รปท 8.13



12. โดยไมใชวธการแกสมการ จงจบคระหวางสมการกบกราฟ ในรปท 8.13 (a) y’ = -4y (b) y’ = 4y(2 – y) (c) y’ = y – x (d) y’ = y + x

13. นาไหลเขาแทงกรปกรวยกลมดวยอตรา f (m3s-1) และไหลออกโดยแรงโนมถวงของโลกเมอเปดชองทมขนาดพนท A ซงอยดานลางของแทงก ดานขางของแทงกเอยงทามม αกบเสนตง (a) จงเขยนสมการเชงอนพนธ สาหรบ h(t) : ความสงของนาในแทงก ณ เวลา t (b) จงหาปรมาตร f ของนาในแทงกในสภาวะเสถยร

14. สมมตวาฮอรโมนผสมในเลอดดวยอตราทเปลยนแปลงตามชวงเวลา 24 ชวโมง และฮอรโมนผสมอยในเลอดแปรผนโดยตรงกบระดบ h(t) ของฮอรโมน จงเขยนสมการ เชงอนพนธสาหรบ h ทสอดคลองกบขอสมมตขางตน

15. สมมตวา (a) ถาปจจบนไมมสารพษ แบคทเรยเจรญเตบโตแปรผนโดยตรงกบผลรวมปจจบน (b) สารพษทาลายแบคทเรยในอตราแปรผนตรงกบจานวนแบคทเรยในปจจบนและ

จานวนรวมของสารพษ (c) สารพษเพมขนในอตราคงท จงเขยนตวแบบสมการเชงอนพนธตอเนองสาหรบ N(t) : จานวนของแบคทเรย ณ เวลา t

16. สมมตวาในตลาดการแขงขน ผถอหนเพมขนในอตราทแปรผนโดยตรงกบ (a) ขนาดของผถอหนทปรากฏ (b) เศษสวนของตลาดทเหลอ ถามเพยง 2 บรษทในตลาด จงเขยนสมการสาหรบผถอหนของตลาด s1 และ s2 ท สอดคลองกบขอสมมต (a) และ (b)

17. นาไหลเขาทะเลสาบรปทรงกรวยกลมดวยอตราคงท f (m2s-1) นาระเหยแปรผนโดยตรงกบพนของผว จงเขยนสมการเชงอนพนธสาหรบความลก h ของนาในทะเลสาบ



18. จงเขยนสมการเชงอนพนธสาหรบปรมาณรวมของนาทง 3 แทงก ตามรปท 8.14 ปรมาณการไหลของนาแทนดวย fi หมายเหต f3 = f1 + f2

รปท 8.14

19. จงหาสมการเชงอนพนธทสอดคลองโดยรศม r(t) ของรปทรงกลม ณ เวลา t ในกรณตอไปน (a) อตราการเปลยนแปลงพนทผวของทรงกลมแปรผนตรงกบเวลา (b) อตราการเปลยนแปลงพนทผวของทรงกลมแปรผนตรงกบรศม (c) อตราการเปลยนแปลงปรมาตรของทรงกลมแปรผกผนกบรศม ในทกกรณ จงหา r(t) ในพจนของ r(0) และตวคงท

20. สมมตวาอตราการเจรญเตบโตของกลมของแบคทเรยแปรผนตรงกบขนาดของกลม ถาจานวนของแบคทเรยเพมขนจาก 200 เปน 800 ใชเวลา 12 ชวโมง (a) จานวนแบคทเรย ภายหลง 6 ชวโมง (b) จานวนแบคทเรย ภายหลง 18 ชวโมง

21. ถาเวลา t = 0 มเบคทเรย N0 และเมอเวลา t = t1 มแบคทเรย N1 จะมแบคทเรยเทาไรเมอเวลาเปนสองเทา

22. เวลาครงชวตของ lead-210 คอ 22 ป (a) จะเหลอตะกวกเปอรเซนต หลงจาก 10 ป (b) จะตองใชเวลากปทจะทาใหตะกวเหลอ 10%

V3

V2

V1

f4

f3

f2

f1



23. ปฏกรยาเคมเปลยนจาก A เปน B แปรผนตรงกบจานวนรวมของ A หลงจากเรมตนทาปฏกรยา 5 นาทพบวา 3 % ของ A เปลยนแปลงไป (a) อยากทราบวา A เปลยนแปลงไปอยางไรเมอ ทาปฏกรยา 10 นาท (b) ตองใชเวลาเทาไรท A เปลยนแปลงไป 50 %

24. ประชากรเพมขน 5% ทก ๆ ป (a) จงประมาณคา a , b ในตวแบบดสกรต Pn+1 = aPn + b (b) จงประมาณคา a , b ในตวแบบตอเนอง dP/dt = aP + b (c) จะใชเวลานานเทาไรทจะทาใหประชากรมจานวนเปนสองเทา

25. ในเมอง ๆ หนง ปจจบนมประชากร 21,000 คน ซงมแนวโนมประชากรลดลงสสภาวะเสถยร สมมตวาประชากรลดลง ดงน (a) ลดลงคงท 2,000 คน ทกป (b) ลดลงคงท 9% ทกป จงเขยนตวแบบสมการเชงอนพนธ สาหรบทงสองกรณ ตวแบบใดทพยากรณประชากรไดมากกวาเมอเวลาผานไป 3 ป

26. นกโบราณคดขดพบชนสวนกระดกโบราณ และตรวจการแผคลน cabon-14 พบวามอย 20% อยากทราบอายของกระดกโบราณน

27. นาไหลเขาแทงกดวยอตรา f1(t) (m3s-1) และไหลออกดวยอตรา f2(t) จงเขยนสมการเชง

อนพนธ สาหรบความสง h(t) ของนาในแทงก ณ เวลา t ถาแทงกมพนทหนาตด A (m2) ถาความสงของนา 15 เมตร ณ เวลา t = 0 พบวาความสงของนาหลงจาก 8 นาท

ถา A = 0.6 f1 = 0.007 และ f2 = 0.006 28. สมมตวานาแขงรปทรงลกบาศกทมดานยาว a(0) ณ เวลา t = 0 ละลายดวย

(a) อตราคงท (b) อตราการละลายแปรผนตรงกบพนทผว และ (c) อตราการละลายแปรผนตรงกบปรมาตร สาหรบแตละตวแบบใช k เปนตวคงทของการแปรผน จงหา (1) a(t) ในพจนของ t และ (2) นาแขงละลายหมดเมอไร

29. พอคาประมาณการวาทก ๆ 1% ทราคาขายเพมขน เขาไดลกคาเพมขน 3% จงหา Q(P) : จานวนของลกคา เมอราคาขาย P



30. สมมตวารปทรงกลมของเมดฝนเปลยนแปลงแปรผนตรงกบพนทผว และ k เปนตวคงทของการแปรผน ถาเมดฝนมรศม r0 ณ เวลา t = 0 รศมของเมดฝนจะเปนเทาไรเมอเวลาผานไป t และเมอไรทเมดฝนสลายหมด

31. อณหภมในถวยกาแฟเรมตน 60 oC เวลาผานไป 10 นาท อณหภมลดลงเหลอ 45 oC หลงจากเวลาผานไป 20 นาท อณหภมจะลดลงเหลอเทาไร

32. ตารวจพบวา ณ เวลา 22.00 น. รางคนตายมอณหภม 18 oC ขณะทอากาศโดยรอบมอณหภม 11 oC เวลาผานไป 2 ชวโมง อณหภมลดลง 15 oC (a) ถาอณหภมของคนปกต 37 oC จงประมาณเวลาทเขาตาย (b) คาตอบขอ (a) จะเปลยนแปลงอยางไร ถาอณหภมของอากาศโดยรอบเปลยนแปลง

± 5 oC 33. นายแดงชงกาแฟพรอมกน 2 ถวย ใหตวเอง และใหเพอน สาหรบของตวเองใสนมทนท

สวนของเพอนใสนมหลงจากเวลาผานไป 5 นาท อยากทราบวากาแฟถวยไหนรอนกวา 34. เทอรโมมเตอรแสดงอณหภมในหอง T1 และเมอนาออกไปนอกหอง 10 นาท อาน

อณหภมไดวา T2 หลงจากนนอก 10 นาท อานได T3 ถา T0 เปนอณหภมภายนอก แสดงใหเหนวา (T2 – T0)

2 = (T1 – T0)(T3 – T0) จงหา T0 ถา T1 = 12 และ T3 = 9 35. อณหภมในหองทมการควบคมความรอน ถาอณหภมลดลงถง T1 สวตชทเรมทางาน และ

ถาอณหภมเพมขนถง T2 สวตชจะตดการทางาน ขณะทเครองทาความรอนกาลงทางานหองไดรบความรอนดวยอตรา Q (วตต) อณหภมภายนอก Tout และ พนทผวของผนงหองทงหมด คอ A จงเขยนสมการเชงอนพนธ สาหรบ T(t) : อณหภมในหอง ณ เวลา t

สมการจะเปนอยางไร ถาอณหภมภายนอกหองมการเปลยนแปลง โดยทมอณหภมตาสดในเวลาเทยงคน และสงสดในเวลาเทยงวน

36. สมมตวาเรอแคนแลนโดยไมมแรงเสยดทานของนาแปรผนโดยตรงกบความเรวของเรอ เวลา t = 0 เปนเวลาเรมตน เวลา t = t1 เรอเคลอนทไดระยะทาง x1 เมอเวลา t = t2 เรอเคลอนทไดระยะทาง x2 จงแสดงใหเหนวา ผลรวมสงสดของระยะทางทเรอเคลอนทได คอ x1

2/(2x1 – x2) 37. สมมตวาเปอรเซนตการดดซมแสงของวตถแปรผนตรงกบความหนา x ของวตถ เขยน

เปนตวแบบสมการเชงอนพนธ เมอ I(x) : ความเขมของแสงหลงจากผานวตถหนา x ถาความหนา 1 cm ลดแสงลงได 40% ของความเขมแสงเรมตน จะตองเพมความหนาของวตถอยางไรจงจะทาใหความเขมลดลงเหลอ 10%



38. ถงบรรจแกสปรมาตร 5,000 m3 มแกส A บรรจอยเตมถง และนาแกส B ทไมทาปฏกรยากบแกส A เขาทางปลายทอดานหนงในอตราคงท f (m3s-1) ขณะทเปดปลายทออกขางหนงใหแกสไหลออก จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดงปรมาตรของ A และ B ในถง ณ เวลาใด ๆ

จะตองนาแกส B เขาถงเทาไร จงจะทาใหแกส A เหลอ 1% 39. ถงบรรจนาบรสทธ 1,000 m3 ถาสารพษถกนาใสในถงดวยอตรา 1 m3min-1 และ

สวนผสมถกนาออกจากถงดวยอตราเดยวกน จะตองใชเวลาเทาไรทจงจะทาใหสวนผสมมสารพษอย 20%

ถาขณะทสวนผสมมสารพษอย 20% เปลยนทอทใสสารพษเปนทอนาบรสทธใหไหลในอตราเดม จะตองใชเวลานานเทาไรจงจะทาใหสวนผสมมสารพษอย 2%

40. หองทมปรมาตร 3,000 m3 มคารบอนไดรออกไซดบรรจอย 0.02% ของปรมาตร เปดหนาตางอากาศบรสทธไหลเขา 0.005% คารบอนไดรออกไซดไหลเขาดวยอตรา 10 m3min-1 ขณะทอากาศไหลเขาและไหลออกในอตราเดยวกน (a) จานวนเปอรเซนตของคารบอนไดรออกไซดจะมเทาไรเมอเวลาผานไป 10 นาท (b) เมอไรทอากาศในหองจะมคารบอนไดรออกไซด 0.01%

41. ถงบรรจเกลอ 3 kg ละลายอยในนา 2 m3 เรมตนเตมเกลอ 1 kg ตอ m3 ทเวลา t = 0 ดวยอตรา 0.001 m3s-1 และปลอยสวนผสมไหลออกในอตราเดยวกน (a) จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดงคา m(t) : มวลของเกลอในถง ณ เวลา t และจงหา

คาตอบเมอ m(0) = 3 (b) ถาถงมความจสงสด 3 m3 และอตราการไหลเขาเปน 0.002 m3s-1 ขณะทอตราการ

ไหลออกเปน 0.001 m3s-1 จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดงคา m(t) และจงหาคาตอบเมอ m(0) = 3

(c) เกลอมมวลเทาไร ขณะทนาเรมลนถง 42. จงจบคระหวางขอความขางลางนกบตวแบบทเปนไปไดมากทสด

ตวแบบ (1) P’ = f – kP(1 – P/M) (2) P’ = kP(P/L – 1)(1 – P/M) (3) P’ = kP(1 – P/M) – fP (4) P’ = kP(1 – P/M) – f



(5) P’ = kP(1 – P/M) + f (6) P’ = kP(1 – P/M)(1 – P/L) ขอความ (a) จานวนปลาตามธรรมชาตเปนไปตามตวแบบลอจสตก แตอตราการจบปลาคงท (b) จานวนปลาตามธรรมชาตเปนไปตามตวแบบลอจสตก แตจานวนปลาทถกจบแปรผน

ตรงกบจานวนปลา (c) จานวนปลาตามธรรมชาตเพมขนสงสดถงลมต M และลดลงตาสดถงลมต L และ

อตราการเจรญเตบโตเปน 0 ถาจานวนปลาเขาสลมตใดลมตหนง (ไมมการจบปลา) 43. ณ เวลา t = 0 มปลาชนด A = 2,000 ตว และปลาชนด B = 800 ตว อยในถง ให

A(t) , B(t) แทนจานวนปลาทงสองชนด ณ เวลา t และสมมตวาไมมการผสมพนธขามชนดกน จานวนปลาชนด A มอตราการเจรญเตบโต A’ = 0.1A – 0.0001A2 ขณะทปลาชนด B มอตราการเจรญเตบโต B’ = 0.2B – 0.0001B2 สาหรบแตละชนดของปลา A และ B จงหา (a) จานวนปลา ณ เวลา t (b) เวลาใดทจานวนปลาเพมขน (c) เวลาใดทจานวนปลาลดลง (d) เวลาใดทอตราการเจรญเตบโตของปลาเพมขน (e) เวลาใดทอตราการเจรญเตบโตของปลาลดลง (f) เวลาใดทปลาชนด A มากกวาชนด B (g) จะเปนอยางไรเมอเวลาผานไปนาน ๆ

จงสรางสมการเชงอนพนธ แสดงจานวนรวมของปลา ทมการจบปลาในอตรา 50 ตวตอหนวยเวลา สมมตวา จานวนปลาทงสองชนดถกจบมจานวนเทากบจานวนปลาในถง ณ เวลานน

44. สมมตวาอตราขาวลอแปรผนตรงกบจานวนคนทไดยนขาว และจานวนคนทไมไดยนขาว ถาเมองนมคน M คน จงเขยนสมการเชงอนพนธแสดงจานวน n(t) ของผทไดยนขาวลอ ณ เวลา t

สมมตวา M = 10,000 เมอ t = 0 มเพยงคนเดยวทรขาวลอ ถาหลงจาก 1 วน มผไดยนขาวลอ 500 คน จงเขยนการกระจายของ n(t)

ใชเวลานานเทาไรทคน 90% ของเมอง ไดยนขาวลอ



45. กอนกรวดมวล 1 g มเสนผานศนยกลาง 1 cm ถกหยอนจากปากบอ เมอเวลา t = 0 กอนกรวดถงกนบอ เมอเวลา t = 4 จงประมาณการความลกของบอ (a) โดยใชตวแบบอยางงาย (b) ใชผลรวมความตานทานของอากาศ (แปรผนตรงกบกาลงสองของความเรว) (c) ใชผลรวมความเรวจากดของเสยง (300 ms-1) (d) ใชผลรวมการเปลยนแปลงแรงดงดดของโลก จงหาเปอรเซนตความตางของคาตอบขอ (b), (c), (d) (ให g = 9.8 ms-1)

46. เมอปลอยนาออกจากอางอาบนาโดยใชแรงโนมถวงของโลก จะใชเวลาในการปลอยนาในครงหลงของอางมากกวาการปลอยนาในครงแรก เทาไร

47. ถงทรงกระบอกมนามนบรรจอยเตมถง ปลอยนามนออกจากถงดวยรเลก ๆ เพยงรเดยว ใหนามนไหลตามแรงโนมถวงของโลก จะดหรอไมทจะเจาะอกหนงรทกนถง และวางถงตามแนวตง หรอวางถงตามแนวนอนโดยใหรทกนถงอยตาสด จงอธบายเงอนไขในพจนของรศมและความสงของถง

48. กองทหาร X จานวน 10,000 นาย โจมตกองทหาร Y ทมเพยง 5,000 นาย แตกองทหาร Y มอาวธและเครองมอดกวาทาใหทหารของกองทหาร Y มประสทธภาพเปน 1.5 เทาของทหารของกองทหาร X สมมตวาการสรบยตเมอฝายหนงฝายใดสญเสยทหารหมด และ 0.1 ของทหาร Y ถกทหาร X ฆาภายในเวลา 1 ชวโมง จงเขยนตวแบบเชงคณตศาสตร และตอบคาถามตอไปน (a) กองทหารใดจะเปนผชนะและจะเหลอทหารอยเทาไร (b) ใชเวลาการสรบนานเทาไร (c) จะตองใชทหารกนายในตอนเรมตนจงจะทาใหการสรบชนะ (d) ภายหลงการตอสเรมตน 3 ชวโมง จะตองเพมกาลงพลในกองทหาร Y อกเทาไรจง

จะทาให กองทหาร Y ชนะการสรบ 49. แทงกบนทแสดงตามรปท 8.15 บรรจนา และมเกลอผสมอย C1 C2

C1

V2

V1

f2

f1



รปท 8.15

(a) จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดง C2(t) : การผสมของเกลอในแทงกลาง ณ เวลา t ถา

อตราการไหลออกมคาคงท f1 และ f2 และปรมาตรของแทงกลางเปน V0 (b) สมมตวาอตราการไหลของนาจากทงสองแทงกไหลตามแรงดงดงของโลก ถาแทงก

ทงสองมพนทหนาตด A เทากน และทอไหลออกทงสองมขนาดหนาตด a เทากน จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดง h1, h2 และ C2

50. ณ เวลา t = 0 เครองทาความเยนหยดทางาน จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดง (a) Tf(t) = อณหภมในเครองทาความเยน ณ เวลา t (b) Tr(t) = อณหภมในหอง ณ เวลา t

51. ในรปท 8.16 แสดงทศทางการไหลของของเหลว ให Vs เปนปรมาตร, fs (m3s-1) เปน

อตราการไหล และ Cs (kgm-3) เปนมวลของสงเจอปนทผสมอย จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดง V1, V2, V3, C1, C2, C3

รปท 8.16

52. ณ เวลา t = 0 แทงก X ในรปท 8.17 บรรจสารเคม x0 kg ขณะทแทงก Y บรรจนาบรสทธ ทงสองแทงกมของเหลวทบรรจปรมาตร V เทากน และมอตราการไหลแตละเสนทางเทากน (ดงนน f1 = f2 = f ) (a) จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดง x(t) และ y(t) มวลของสารเคมในแตละแทงก

ณ เวลา t (b) แกสมการเชงอนพนธ อยากทราบวาเมอเวลาผานไปนาน ๆ เหตการณจะเปนอยางไร (c) สมมตวา f1 ≠ f2 และมนาบรสทธไหลลงแทงก X ดวยอตรา f3 ขณะทมการ

ไหลออกจากแทงก Y ดวยอตรา f4

f4f3

F2F1

C3V3C2V2

C1V1



(1) จงเขยนแสดงความสมพนธระหวาง fs แสดง ปรมาตรทเหลอของทงสองแทงกเทากน และเขยนสมการเชงอนพนธ แสดง x(t) และ y(t)

(2) สมการเชงอนพนธจะเปนอยางไร ถา fs ไมสอดคลองการเงอนไขในขอ (1)

รปท 8.17

53. กาหนดใหสารเคม A, B, C และ D ทาปฏกรยาทางเคมกน ดงตอไปน

A + B ⎯⎯→⎯ 1k C, A + C ⎯⎯→⎯ 2k D, D + B ⎯⎯→⎯ 3k A จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดงสวนผสมของสารเคม ณ เวลาใด ๆ

54. สมมตวาโรคระบาดทไมรายแรงทาใหประชากรปวย N คน ให I(t) เปนจานวนของผตดเชอ ณ เวลา t และ S(t) เปนจานวนผไวตอการตดเชอแตยงไมตดเชอ จงเขยนสมการเชงอนพนธ แสดงกรณตอไปน (a) สมมตวาอตราเพมขนของการตดเชอแปรผนตรงกบจานวนผตดเชอทมอยแลวกบ

จานวนผไวตอการตดเชอ (b) จากขอ (a) สมมตวาแตละวนมการรกษา ผตดเชอใหหายจากการตดเชอมจานวนคงท

(ผทหายจากการตดเชอแลวอาจกลบมาตดเชอใหมอกได) (c) จากขอ (b) ผทไดรบการรกษาหายจากการตดเชอแลวมภมคมกนโรคไมตดเชออก

55. บนเกาะแหงหนงมประชากร 999 คน มนกทองเทยวนาเชอไวรสเขามาบนเกาะ หลงจากนน 5 วน มประชาชนตดเชอไวรส 10 คน สมมตการแพรของเชอไวรสแปรผนตรงกบจานวนผตดเชอและจานวนผไมตดเชอ จงใชตวแบบสมการเชงอนพนธอยางงายตอบคาถามตอไปน (a) หลงจากนกทองเทยวเขามา 20 วน จะมผตดเชอกคน (b) เมอไรทประชากรจะตดเชอ 99% (c) ถาแตละวนมการรกษาใหผตดเชอหายจากการตดเชอ/มภมคมกน 20% ของผตดเชอ

จงเขยนสมการเชงอนพนธแสดงตวแบบ แสดง

YXf2

f1

f4f3



I(t) = จานวนของผตดเชอ ณ เวลา t S(t) = จานวนของผออนแอทจะตดเชอ ณ เวลา t R(t) = จานวนของผไดรบการรกษาหายจากการตดเชอ ณ เวลา t

บทท 9 การสรางตวแบบโดยใชอนทเกรต 163


บทท 9 การสรางตวแบบโดยใชอนทเกรต (Modelling with Integration)

ตวอยางสวนใหญในบทท 7 และ 8 กลาวถงอตราการเปลยนแปลงของตวแปร ท

สรางตวแบบโดยฟงกชนของเวลา y = f(t) ในบทนเรายงคงศกษาตวแบบอยางงายทเปน

ตวแบบชดเจนในพจนของเวลา t สาหรบอตราการเปลยนแปลงของตวแปรในรป y’ = f(t)

หานพจนของตวแปรในพจนของ t ไดโดยการอนทเกรต ซงจะไดวา

∫+=t

dxxfyty0

)()0()(

ในอนทกรลเราใชตวแปร x แทนทของ t เนองจาก t เปนลมตบนของอนทกรล ตวอยางอยางงาย ของอตราการเปลยนแปลง คอ ความเรวของรถยนต ซงจะเหนได

ชดเจนวาระยะทางจากจดคงทจดหนง (จดเรมตน) จะเปลยนไป ถาความเรว v(t) เปลยนไปตามเวลา เราสามารถจะหาระยะทาง s ของการเคลอนทระหวาง 2 เวลาใด ๆ t1 และ t2 จากการอนทเกรต

∫=2

1

)(t

t

dttvs

ถาเราเรมจากมขอมลอตราเรง a(t) ของรถยนต ซงเปนอตราการเปลยนแปลงความเรว ซงผลลพธของการอนทเกรตอตราเรงจะไดความเรว v(t) และผลลพธของการอนทเกรตความเรวจะไดระยะทาง s นนคอ v’ = a(t) และ

∫∫ =+=2

1t0

v(t)dt s ,)()0()(tt

dxxavtv

อตราการเปลยนแปลงไมจาเปนตองเปรยบเทยบกบเวลาเสมอไป เราอาจเปรยบเทยบอตราการเปลยนแปลงกบตวแปรอน ๆ ได เชน เปรยบเทยบกบระยะทาง เปนตน อตราการเปลยนแปลงทไมไดเปรยบเทยบกบเวลา เชน ราคาตอตารางเมตรของทดนชายทะเลจะมคาลดลงถาอยหาง x (m) จากชายทะเลมากขน เราสามารถสรางตวแบบไดวา f(x) = a – bx เมอ 0 ≤ x ≤ a/b ซงจะไดวา

1. ทดนชายทะเลราคาตารางเมตรละ a บาท



2. ทกระยะหางจากชายทะเล ราคาทดนจะลดลง b บาท/เมตร 3. พนดนทระยะหางจากชายทะเล a/b เมตร ไมมราคา 4. ตวแบบไมสามารถใชไดกบทดนทหางจากชายทะเลมากกวา b/a เมตร จากขอสมมตดงกลาว ราคารวมของพนทดนรปสเหลยมผนผาเลก ๆ กวาง w และ

ยาว l ( < a/b) ตามแนวชายทะเล (ดงรปท 9.1) กาหนดไดโดย ∫ −=t

dxbxawV0

)(

รปท 9.1 การคานวณนจะใชได เมอราคาทดนลดลงอยางตอเนองตลอดระยะหาง x นนคอ

สามารถหาคาอนทเกรตไดนนเอง ถาราคาทดนขนอยกบสองทศทาง เราจะตองใชการอนทเกรตสองครงในการ

แกปญหาน ตวอยาง เชน สมมตวา ราคาทดน ณ ตาแหนง (x,y) สรางตวแบบเปน a – bx – cy

(ราคาทดนลดลงจาก ตาแหนงทเปนทนยมสงสด (0,0) ) ราคาของทดนรปสเหลยมมมฉากดานกวาง dy ตามชายทะเลจะไดเชนเดม (เมอแทน w ดวย dy) คอ

∫ −−l

dxcybxady0

)(

และผลรวมราคาทดนรปสเหลยมมมฉากทมมมตรงขามเปน (0,0) และ (l,dy) คอการอนทเกรตคาพนทจาก y = 0 ถง y = d หรอ กลาวไดวา ราคาทดนรวมไดจากการอนทเกรตสองครงตอไปน

∫∫ −−=ld

dxcybxadyV00

)(

x

y

d

t

A



∫ −−=d

lcxybxaxdy0

02 ]2/[

∫ −−= dyclyblal )2/( 2

dclyblaly 022 ]2/2/[ −−=

2/2/ 22 clddblald −−= สมมตวาจานวงกลมททาดวยวสดทมความหนาแนน ณ ตาแหนงทอยหางจากจดศนยกลาง r คอ ρ(r) = a exp(-br2) มวลของวสดรปวงแหวนรศม r และกวาง dr คอ 2πr ρ (r)dr และมวลของจานวงกลมรศม R คอ

beaR

baedrraedrrr bRbrR

brR

/}1{0

]/[2)(2222

00

−−− −=−== ∫∫ πππρπ

เรองของประชากร จะมความแตกตางกนในเรองของอาย ตงแตเกดจนกระทงแก สามารถสรางตวแบบการกระจายอาย ดวยฟงกชน N(x) ซง N(x)dx เปนจานวนคนทมอายตงแต x ถง x + dx (พดสน ๆ วา N เปนจานวนของคนอาย x) จานวนคนทมอายระหวางคา x1 และ x2 หาไดจากการอนทเกรต

∫2

1

)(x

x

dxxN

ถา Xmax คออายของคนทแกทสด ดงนนผลรวมของจานวนประชากร คอ

∫=max

0

)(X

T dxxNN

มธยฐานของอายประชากร คอ M ซงเปนอายทมครงหนงของประชากรทแกกวา และครงหนงของประชากรทออนกวา เราสามารถหา M ไดจากการอนทเกรต

∫ =M

TNdxxN0

2/)(

ความเรว V (ms-1) ในการไหลของของเหลวตามทอกลม จะมความเรวมากทสด (= Vmax) บรเวณสวนแกนกลางของทอ และจะมความเรวเปนศนยทบรเวณผนงของทอเพราะมแรงเสยดทาน โดยอาศยหลกการสมมาตร เราคาดหวงวาความเรว V ณ จดตาง ๆ ขนอยกบระยะหาง r จากจดนนถงแกนกลางของทอ ตวแบบทสรางขนควรเปน ตวแบบ แสดงความเรว V(r) ในพจนของ r ตวแบบทเปนไปได คอ V(r) = Vmax(1 – r2/a2) เมอ a เปนรศมของทอ



อตราการไหลของปรมาตรของของเหลวตามทอวดดวย ปรมาตรตอวนาท ถา V(r) เกดขนเชนเดยวกบทก ๆ คารศม r จะไดวา อตราการไหลของปรมาตร เทากบ ผลคณของพนทหนาตด πr2 กบความเรว V เมอ V(r) ขนอยกบ r เราสามารถหาคาตอบได โดยการอนทเกรต พจารณาพนทวงแหวนเลก ๆ ระหวางรศม r และ r + dr พนทหนาตดของของเหลวทผานแหวนน คอ 2πrdr

ดงนนอตราการไหลของปรมาตรของของเหลว คอ 2πrV(r)dr ผลรวมของอตราการไหลของปรมาตรของของเหลว จะไดจากการอนทเกรตบนทก ๆ วงแหวน จาก r = 0 ถง r = a ซงคอ

2/0

]2/[)/1(2 2max

242

0

22max aV

aarrvDRarrV MAX

a

πππ =−=−∫

ในบางครงเราไมสามารถเขยนตวแบบใหอยในรปของการอนทเกรตทอนทแกรนเปนฟงกชนทางคณตศาสตรได ในกรณนเราสามารถใช การอนทเกรตเชงตวเลข (numerical integration) ประมาณคาตอบได (แตตองใชดวยความรอบคอบอยางมาก) ตวอยาง 9.1 ถาอตราเรงทางแนวตงของจรวดทปลอยจากจดเรมตน คอ 5 ms-2 และมนามนเชอเพลงเพยงพอสาหรบการใชใน 3 นาท อยากทราบวา

(a) จรวดจะขนไดสงสดเทาไรเมอนามนหมด (b) ในชวงทะยานขนมความเรวเทาไร (c) จรวดถงจดสงสดเมอไร (d) จรวดขนไดสงสดเทาไร (e) ขณะกลบลงสพนจรวดมความเรวเทาไร

วธทา ตวแปรในปญหาน มดงน t = เวลา จากเรมตนปลอยจรวด (s) v(t) = ความเรวทางแนวตงของจรวด ณ เวลา t (ms-1) h(t) = ความสงของจรวดจากพน ณ เวลา t (m) ขณะทจรวดยงมนามนเชงเพลงทจะเผาไหมอตราเรง คอ v’ = 5 อนทเกรตจะไดวา v = 5t (v = 0 เมอ t = 0) อตราของการเปลยนแปลงความสง คอ h’ = v = 5t ดงนน h = 2.5t2 (h = 0 เมอ t = 0) (a) ณ เวลา t = 3 × 60 (s) เราจะไดวา h = 2.5(180)2 = 81,000 (m) และ



(b) ความเรวของการเคลอนท คอ 5 × 180 = 900 (ms-1) (c) หลงจากนามนเชอเพลงหมด v’ = -g ≈ -9.81 (ms-1) หาความเรว v ไดจากการอนทเกรตสมการเทยบกบ t เพอความสะดวกเราจะนบเวลาจากจด ๆ น ซงจะไดวา v = 900 – 9.81t โดยเกบเวลาปกตจากจดเรมตนไว ซงจะเทากบ v = 900 – 9.81(t – 180) ณ จดสงสด v = 0 ดงนน t ≈ 271.7 s และใชเวลาถงจดสงสดจากจดเรมตน 271.7 s (d) ความสง h(t) ณ เวลา t ไดจากการอนทเกรต v เราสามารถเขยน v(t) ในรปดงน

⎩⎨⎧

>≤≤

=180t 180)-9.81(t-900180t0 5

)(t

tv

จากการอนทเกรต จะไดวา

⎩⎨⎧

>−≤≤

=180t 000,812/180)-9.81(t-900t180t0 5.2)(

2

2tth

ณ เวลา t = 271.7 จะไดวาจรวดอยสง ≈ 122,300 (m) (e) ให h(t) = 0 (สาหรบ t > 180) ไดสมการกาลงสอง -4.905t2 – 2665.8t – 239922 = 0 ซงจะไดวา t = 429.64 และ t = 113.85 คาตอบทเปนไปได คอ คาตอบทมากกวา 180 ดงนน จากตวแบบทานายไดวาจรวดตกถงพนหลงจากออกเดนทางได 430 s และความเรว ณ จดนน คอ 900 – 9.81(429.64 – 180) ≈ - 1549 ms-1 ดงรปท 9.2

รปท 9.2



ตวอยาง 9.2 ผนงมความยาว L มโคงดานบนของผนง ความสงของผนง ณ จดกงกลางของผนงสงเทากบ b และความสงของผนง ณ จดปลายทงสอง (x = 0 และ x = L) เทากบ a

(a) จงเขยนตวแบบอยางงาย สาหรบ h(x) = ความสงของผนง ณ จด x (b) จะตองใชสทาผนงเทาไร ถาส 1 ลตร ใชทาผนงไดพนท A m2

วธทา (a) สมมตวาดานบนของผนงทโคงสามารถเขยนเปนฟงกชนกาลงสองไดวา h(x) = a + cx(L – x) (เมอ h = a ณ จดปลายทงสอง (x = 0 และ x = L)) และหาคา c จากสงทกาหนดให b = h(L/2) = a + c(L/2)(L/2) ซงจะไดวา c = 4(b - a)/L2 และสามารถเขยนตวแบบไดวา h(x) = a + 4x(L – x)(b – a)/L2

(b) พนทของผนง คอ

∫∫ −−+=LL

dxLxxLabadxxh0

22

0

}/))((4{)(

= 0L

)]/3L xL/2a)(x 4(b [ax 232+

= 2b)/3 L(a + นนคอ ตองการใชสทาผนงทงสน 2b)/3A L(a + ลตร ตวอยาง 9.3 ผใหญทมสขภาพด โดยปกตจะใชเวลาในการหายใจเขาและออก หนงรอบ 5 วนาท ณ เวลาสงสดของการหายใจเขาและหายใจออกอตราการไหลของอากาศเปน 0.5 ลตรตอวนาท จงเขยนตวแบบ สาหรบการไหลของอากาศ ณ เวลา t และใชตวแบบคานวณจานวนอากาศทงหมดทใชในการหายใจในเวลา 1 นาท วธทา ตวแบบอยางงายของอตราการไหลของอากาศ F(t) เปนฟงกชนชวงของ t นนคอ อยในรป a sin Ωt เมอ ชวง คอ 2π/Ω = 5 และ การไหลสงสด = 0.5 ลตรตอวนาท เราให F(t) = 0.5 sin(0.4πt) ลตรตอวนาท การหายใจเขาใชเวลา 2.5 วนาท และจานวนอากาศทใชในการหายใจ กาหนดโดย

05.2

)]4.0cos()[4/5()4.0sin(5.05.2

0

tdtt πππ −=∫

= 5/2π ลตร ซงเปนจานวนอากาศทใชในการหายใจเขาและออกทก ๆ 5 วนาท ดงนนจานวนอากาศทใช

หายใจใน 1 นาท คอ 12 × (5/2π) ≈ 9.6 ลตร



ตวอยาง 9.4 ขายซดใหมได 12,500 แผน ในสปดาหแรก และขายเพมขนเรอย ๆ จนขายด ทสดเมอสปดาหท 10 จากนนขายลดลงจนถงขายไมไดเลยในสปดาหท 25 จงเขยนตวแบบกาลงสองตอเนอง สาหรบ S(t) = จานวนขายในสปดาห ท t และจงใชตวแบบคานวณ

(a) จานวนแผนทขายไดทงหมด (b) จานวนแผนเฉลยทขายตอสปดาห (c) จานวนแผนทขายไดในสปดาหสงสด (d) จานวนแผนทขายไดในชวง 12 สปดาหแรก (e) สปดาหทเทาไรทขายไดนอยกวา 9,000 แผน (f) สปดาหทเทาไรทขายได 300,000 แผน

วธทา จากสงทกาหนดใหทราบวา S(0) = 12,500 ดงนน S(t) = 12,500 + at + bt2 เราทราบวา S’(t) = 0 เมอ t = 10 และ S(25) = 0 ซงทาใหสมการเปน a + 2b(10) = 0 และ 12,500 + 25t + 252b = 0 ซงจะไดวา a = 2,000 และ b = -100 ดงนน ตวแบบของเรา คอ S(t) = 12,500 + 2,000t - 100t2

(a) จานวนแผนทขายไดทงหมด หาไดจาก

∫∫ −+=25

0

225

0

)100200012500()( dtttdttS

= 0

25]3/100100012500[ 32 ttt −+

= 416667 (b) จานวนแผนทขายไดทงหมดตามขอ (a) ใชเวลา 25 สปดาห ดงนน เฉลยขายได

16,667 แผนตอสปดาห (c) สปดาหทขายมากทสดคอ t = 10 ดงนน S(10) = 22500 (d) จานวนแผนทขายไดในชวง 12 สปดาหแรก หาไดจาก

∫∫ −+=12

0

212

0

)100200012500()( dtttdttS

= 0

12]3/100100012500[ 32 ttt −+

= 236400 (e) สปดาหทขายไดนอยกวา 9,000 คอ เมอ S(t) < 9,000 จากกราฟของ S(t) หรอ

จากการแกสมการ S(t) = 9,000 เราจะไดวาสปดาหท 21 จะเรมขายไดนอยกวา 9,000 แผน



(f) ผลรวมของการขายหลงสปดาหท t หาไดโดย

∫∫ −+=tt

dxxxdxxS0

2

0

)100200012500()(

= 3/100100012500 32 ttt −+ จากการทดลองแทนคา t พบวาสปดาหท 12 เปนสปดาหแรกทยอดรวมการขายสงถง 300,000 แผน ตวอยาง 9.5 รปท 9.3 แสดงการไหลของนาในแมนาภายหลงจากเกดพาย 12.5 ชวโมง ถาพายปกคลมพนท 100 km2 จงหาคาเฉลยของอตราฝนตกขณะทมพาย

รปท 9.3 วธทา ให F(t) เปนฟงกชนของอตราการไหลของนา (m3s-1)ในแมนา ณ เวลา t (ชวโมง) จากกราฟใน รปท 9.3 ทราบขอมลเบองตน ดงน

(1) F(0) = 10 (2) F มคาสงสดท t = 5 (3) คาสงสดของ F คอ 66.25 (4) F(12.5) = 10 จากทงสขอมลสามารถสรางตวแบบกาลงสาม ได คอ F(t) = a + bt + ct2 + dt3 จากขอมล (1) ได a = 10 จากขอมล (2) และเนองจาก F’(t) = b + 2ct + 3dt2 ไดวา



0 = F’(5) = b + 10c + 75d จากขอมล (3) และ (4) ไดวา 66.25 = F(5) = 10 + 5b + 25c + 125d และ

10 = F(12.5) = 10 + 12.5b + 156.25c + 1953.125d ตามลาดบ แกสมการ จะไดวา b = 25, c = -3.25 และ d = 0.1

ดงนนจะไดตวแบบ คอ F(t) = 10 + 25t – 3.25t2 + 0.1t3 ทมหนวยเปน m3s-1 ปรมาณการไหลใน 1 ชวโมง คอ 3600F(t) และผลรวมของนาทไหลในแมนาขณะทมพายหาไดจาก

∫∫ +−=−5.12

0

325.12

0

)1.025.325(3600)10))((3600 dttttdttF

0

5.12]4/1.03/25.32/25[3600 432 ttt +−=

≈ 1.6 × 106 m3 ซงแผกระจายครอบคลมพนท 108 m2 ในชวงเวลา 12.5 ชวโมง ดงนนคาเฉลยของอตราฝนตกตอชวโมง คอ 1.6 × 106/(12.5 × 108) ≈ 1.3 × 10-3 m h-1 = 1.3 mm h-1 ตวอยาง 9.6 สมมตวาอตราการเจรญเตบโตของตนหญา (m/day) สามารถสรางตวแบบเปน A sin2(πt/365) เมอ t เปนจานวนวนทนบจากตนป และ A เปนอตราการเจรญเตบโตสงสด จงหานพจน แสดงความสงของตนหญาในวนท n และคาตอบจะเปนอยางไรเมอมแกะมากนหญาในอตราคงท B(m) ตอวน วธทา สมมตวาตนหญามความสงเปน 0 เมอเรมตน (n = 0) ความสงของตนหญาหลงจากวนท n เขยนไดดงน

h(n) = ∫n

dttA0

2 )365/(sin π

= ∫ −n

dttA0

)}365/2cos(1{)2/( π

ซงจะไดวา A{n/2 – (365/4π)sin(2πn/365)} กรณมแกะมากนหญาซงเรมกน ณ จดเรมตน h = h(0) (นนแสดงวา ความสงของตนหญาเรมทตดลบ) ซงคาตอบ คอ

h(n) = h(0) + ∫ −n

dtBtA0

2 })365/(sin{ π

= h(0) + A{n/2 – (365/4π)sin(2πn/365)}-Bn



ผลในทางปฏบตเราจะตองสมมตวาแกะเรมกนหญาเมอตนหญามความสงตาสดทแกะจะกนได h(0) ตวอยาง 9.7 ในเมองแหงหนง สมมตวา

(1) ไมมประชากรทมอายเกนกวา 90 ป (2) มประชากรทมอาย 20 ป มากกวาอายอน ๆ (3) มประชากรรวมทงสน 12,000 คน จงเขยนตวแบบกาลงสอง สาหรบ N(t) = จานวนประชากรของอาย t ป และใช

ตวแบบคานวณหา (a) จานวนเดกอายระหวาง 5 ถง 11 ป (b) จานวนของผใหญทมอายมากกวา 60 ป (c) จานวนเดกออนทมอายตากวา 1 ป (d) มธยฐานของอาย

วธทา ใหตวแบบเปน N(t) = a + bt + ct2 เราตองการหาคาพารามเตอร a, b และ c จากขอสมมตท (1) ไดวา N(t) มคาเปน 0 เมอ t = 90 จากขอสมมตท (2) หมายความวา N(t) มคามากทสด เมอ t = 20 เนองจาก N’(t) = b + 2ct จะไดวา 0 = N’(20) = b + 40c จากขอสมมตท (3) ทราบจานวนประชากรรวม ดงนน

12000 = ∫∫ ++=90

0

290

0

)()( dtctbtadttN

= 0

90]3/2/[ 32 ctbtat ++

= 90a + 4050b + 243000c แกสมการจะได a = 500/3, b = 1.48148, c = -0.037037 ดงนนตวแบบจะเปน N(t) = 166.667 + 1.48148t - 0.037037t2 (a) จานวนเดกอายระหวาง 5 ถง 11 ป หาไดจาก

∫11

5

)( dttN ซงมคาเทากบ 1056 คน

(b) จานวนของผใหญทมอายมากกวา 60 ป หาไดจาก



∫90

60


(c) จานวนเดกออนทมอายตากวา 1 ป หาไดจาก

∫1

0


(d) ถาให M เปนมธยฐาน ดงนน

6000)(0

=∫M

dttN

นนคอ 166.67M + 0.74074M2 – 0.037037M3/3 = 6000 ซงไดวา M ≈ 33.8 ตวอยาง 9.8 เมอ เวลา 1 นาฬกา นาในอางเกบนามความลก 5 เมตร เวลา 2 นาฬกา ฝนเรมตกอยางชา ๆ และมากขนเรอย ๆ จนกระทงตกมากทสด 1 cm h-1 เมอเวลา 3 นาฬกา และลดลงจนกระทงหยดตกเมอเวลา 9 นาฬกา จงสรางตวแบบ d(t) แสดง ความลกของนา ณ เวลา t หลงจากเทยงคน และหาความลกของนา ณ เวลา 9 นาฬกา วธทา จากสงทกาหนดให เรองความยาวมหนวยแตกตางกน 3 หนวย ตองแปลงใหเปน เซนตเมตร อตราการตกของฝน (cm h-1) สามารถเขยนตามชวงเวลาไดดงน

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤−≤≤−≤≤−≤≤

=

9t5 1.09.05t3 3.09.13t2 22t0 0

)(

tt

ttr

ดงนนความลกของนาในอาง ณ เวลา t คอ

d(t) = 500 + ∫t

dxxr0

)(

ชวงเวลา 0 ≤ t ≤ 2 อตราฝนตกเปน 0 และความลกของนา เปน 500 ชวงเวลา 2 ≤ t ≤ 3 อตราฝนตกเปน

d(t) = 500 + ttt

xxdxxt

22/5022

]22/[500)2( 22

2

−+=−+=−∫

จากทกาหนดให d = 500.5 เมอ t = 3 ดงนน ชวงเวลา 3 ≤ t ≤ 5 อตราฝนตกเปน

d(t) = 500.5 + 3

]15.09.1[5.500 )3.09.1( 2

3

txxdxx

t

−+=−∫

= 496.15 + 1.9t – 0.15t2 จากทกาหนดให d = 501.9 เมอ t = 5 ดงนน ชวงเวลา 5 ≤ t ≤ 9 อตราฝนตกเปน



d(t) = 501.9 + ∫ −+=−t t

xxdxx5

2

5]05.09.0[9.501)1.09.1(

= 498.65 + 0.9t – 0.05t2 ซงสรป เปนตวแบบ ไดวา

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤−+≤≤−+≤≤+≤≤

=

9t5 05.09.065.4985t3 15.09.115.4963t2 2t -/25022t0 500

)(

2

2

2

tttt

ttd

พจารณา รปท 9.4

รปท 9.4 นาลก ณ เวลา 9 นาฬกา คอ d(9) = 498.65 + 0.9(9) – 0.05(92) = 502.7 (cm) ตวอยาง 9.9 รถไฟออกจากชานชาลาเวลา t = 0 สามารถทาความเรว 60 ก.ม./ช.ม. ไดในเวลา 30 วนาท และวงดวยความเรวคงท 60 ก.ม./ช.ม. ไปเปนเวลา 5 นาท เรมลดความเรวลงเมอ t = 5.5 นาท ณ เวลา t = 6.5 นาท มความเรวเปน 40 ก.ม./ช.ม. และรถหยด เมอ t = 7 นาท จงเขยนสมการเพอหาระยะหางของรถไฟจากชานชาลา ณ เวลา t (นาท) วธทา จากสงทกาหนดให ความเรวของรถไฟสามารถเขยนเปนสมการ (t เปนนาท) ไดดงน

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤≤≤

=

7t6.5 80t -5606.5t5.6 40t -2805.5t0.5 600.5t0 120t

V



แปลงเวลาเปนชวโมง สมการความเรวจะเปน ดงน

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤≤≤

=

7/60t6.5/60 4800t -5606.5/60t5.6/60 2400t -2805.5/60t0.5/60 600.5/60t0 7200 t

V

ระยะหางของรถไฟจากชานชาลา ณ เวลา t (ช.ม.) หาไดจาก

∫=t

dxxvts0

)()(


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤≤≤

=

7/60t6.5/60 79.75/3-2400t-560t6.5/60t5.6/60 31/3-1200t-280t5.5/60t.5/60 0 0.25-60t0.5/60t0 3600

)(

2

2

2t

tS

แตเนองจากโจทยตองการทราบระยะหางเมอเวลามหนวยเปนนาท แปลงสมการใหมหนวยเปนนาทได ดงน

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤≤≤

=

7t6.5 79.75)/3-2t-(28t6.5t5.6 31)/3-t-(14t5.5t.5 0 0.25-t0.5t0

)(

2

2

2t

tS

ตวอยาง 9.10 สมมตวาจานวนพลเมอง (ตอตารางกโลเมตร) ทอาศยอยหางจากใจกลางเมองระยะ r กโลเมตร เปนไปตามตวแบบตอไปน P(r) = 2,000(ar - r2) เมอ a เปนตวคงท

(a) จานวนพลเมองทงหมดของเมองนมเทาไร (b) จงหาเปอรเซนตของพลเมองทอยหางจากใจกลางเมอง x กโลเมตร (c) จงหารศมจากใจกลางเมองทครอบคลมพลเมอง 50%

วธทา จากตวแบบทกาหนดให จะเหนวาจานวนพลเมองจะเปน ศนย เมอ r = a และ r = 0 (a) จานวนพลเมองทงหมดของเมองน คอ

3/10002)(2000 4

0

2 ardrrara

ππ =−∫

(b) จานวนพลเมองทอยหางจากใจกลางเมอง x คอ



}4/3/{40002)(2000 44

0

2 xaxrdrrarx

−=−∫ ππ

ซงคดเปนเปอรเซนตได เปน [4000π{ax3/3 – x4/4}/(1000πa4/3}] × 100 = 100{4(x/a)3 – 3(x/a)4}

(c) วาดกราฟของ (b) สาหรบ 0 < (x/a) < 1 เราพบวาพลเมองประมาณ 50% เมอ x/a ประมาณ 0.614 นนคอ จานวนพลเมอง 50% จะอยภายในรศม 61.4% ของรศมสงสดทมพลเมองอย แบบฝกหดบทท 9 1. ลกบอลลนลอยขนไดดวยการบรรจกาซ 100 ลตรตอนาท จงเขยนตวแบบ สาหรบ

ปรมาตร v(t) (m3) และรศม r(t) (m) ณ เวลา t (นาท) ถาบรรจกาซ v0 (m3) ณ เวลา

t = 0 2. ขณะทเครองบนบนอยทความสง 10,000 ฟต เครองวดความเรวทางแนวตงแจงวาม

ความเรว 500 ฟต/นาท และจะเพมขน 5 ฟต/นาท ทก ๆ วนาท อยากทราบวาความสงของเครองบนจะเปนเทาไรเมอเวลาผานไป 5 นาท

3. ณ เวลา t = 0 นาแขงรปทรงลกบาศก ขนาด 1 ลกบาศกเซนตเมตร เรมละลายโดยท แตละดานลดลง 1 มลลเมตรตอนาท จงเขยนตวแบบ แสดงปรมาตร v(t) ของนาแขง (cm3) ณ เวลา t นาท

4. ขอมลตอไปนแสดงจานวน N ของคนทกาลงเขาคว จาแนกตามเวลา

เวลา 9.00 น. 10.00 น. 11.30 น. 12.00 น. N 20 12 6 8

จงหาคาเฉลยของจานวนคนทกาลงเขาควในชวงเวลาดงกลาว

5. การขายหนงสอพมพฉบบใหมเรมขายวนแรกได 100,000 ฉบบ เพมขนเปน 400,000 ฉบบ/วน ในเวลา 2 เดอน ตอจากนนเรมขายลดลงจนถง 7 เดอน ขายได 275,000 ฉบบ/วน จงสรางตวแบบกาลงสอง สาหรบการขายหนงสอพมพหลงจาก t เดอน และใชตวแบบนหาจานวนหนงสอพมพทขายไดทงหมด ณ เดอนท t



6. ในคลองซงมรปหนาตดเปนรปสเหลยมมมฉาก สมมตวาความเรวของนาในคลอง ขนอยกบความลก x จากพนผวนา และความเรวจะเปลยนแปลงจากความเรวสงสด Vmax ทพนผวนา ถงความเรวเปน 0 ทบรเวณกนคลอง เมอ x = b จงเขยนตวแบบเชงเสน แสดงความเรว V(x) ณ ความลก x และลดปรมาตรการไหลถาความกวางของคลองเปน a

7. ในการขดสนามเพลาะมความกวาง W ยาว L ถาความลก ณ จดทลกทสดคอ d จงใชตวแบบกาลงสองอยางงาย ประมาณคาปรมาตรของดนทขดออก

8. หมะเรมตกเมอ เวลา 17.00 น. และตกเพมมากขนถง 0.5 cm h-1 เมอ เวลา 17.45 น. หมะยงคงตกตอไปเรอย ๆ ดวยอตราคงทจนถงเวลา 20.00 น. จงหยดตก ซงจะไดสมการตวแบบแสดง ความหนา d(t) ของหมะบนพน ณ เวลา t (ช.ม.) ระหวางเวลา 13.00 น. ถง 16.00 น. อยากทราบวาหมะจะหนาจากพนทงสนเทาไร

9. หนงสอออกใหมเลมหนงขายได 3,000 เลมในสปดาหแรกหลง และขายลดลงเรอย ๆ จนถงขายไมไดในสปดาหท 10 จงเขยนตวแบบเชงเสน แสดง S(t) = จานวนหนงสอทขายได หลงจากพมพเสรจ t สปดาห และจงใชตวแบบคานวณหา (a) จานวนเลมทขายไดทงหมด (b) คาเฉลยของจานวนเลมทขายไดตอสปดาห ชวง 10 สปดาห (c) สปดาหทจานวนขายลดลงตากวา 1,000 เลม (d) สปดาหทจานวนขายไดทงหมดถง 10,000 เลม

10. ซดเกมคอมพวเตอรใหมออกวางตลาดใน 10 สปดาหแรกขายได 500 แผนตอวน เพมขนเปน 1,000 แผนตอวน หลงจาก 15 สปดาห จงเขยนตวแบบกาลงสอง แสดง S(t) = จานวนขายแตละวน ณ สปดาหท t หลงจากเรมขาย และใชตวแบบน หา T(t) = จานวนขายทงหมดหลงจากสปดาหท t

11. จานวงกลมทาจากวสดซงมความหนาแนน ณ จดทอยหางจากจดศนยกลางเปนระยะทาง r ดงตวแบบ ρ(r) = k/r เมอ k เปนคาคงท ถา a เปนรศมจาน จงหามวลของจานน

12. ของเลนชนดใหมออกขายในวนแรกได 1,000 ชน และขายไดเพมขนในอตราปกต จนถง 3,000 ชนตอวน หลงจาก 2 เดอน มยอดขายสงสดในเดอนท 4 และยอดขายลดลงจนถงขายไมไดเลย ในเดอนท 8 จงใชตวแบบเชงเสนสาหรบ 2 เดอนแรก และใชตวแบบกาลงสอง สาหรบในชวงเวลาตอมา เขยนตวแบบแสดงยอดขายรวม T(t) หลงจากเดอนท t

13. ความหนาแนนของประชากรของเมอง (คอจานวนประชากรตอตาราง ก.ม.) แปรผกผนกบระยะทาง r (ก.ม.) จากจดกงกลางของเมอง เมอ 1 ≤ r ≤ 10



(a) จานวนประชากรของเมองนมทงหมดเทาไร ถาจานวนประชากรทอยในรศม 1 ก.ม. จากจดกงกลางของเมองม 1,000 คนตอตาราง ก.ม. (b) คาตอบจะเปนอยางไร ถาจานวนประชากรทอาศยอยหาง r แปรผกผนกบ r

14. ถงนาทรงกระบอกสมมาตร มความลก ทระยะหาง r จากจดศนยกลาง เปนไปตามตวแบบ d(r) = a – br2 (a) เสนผานศนยกลางของถงนาเปนเทาไร (b) มนาบรรจอยเทาไร

15. รานขายเฟอรนเจอรแหงหนงพบวา ยอดขายตอวนสงสดในเดอนมถนายน ขายไดวนละ 5,000 บาท และยอดขายตอวนตาสดในเดอน ธนวาคม ขายไดวนละ 600 บาท จงเขยนตวแบบ แสดง S(t) ยอดขายตอวนของเดอนท t เมอ t = 1 คอ เดอนมกราคม จงใชตวแบบนคานวณหาผลรวมการขายในรอบป

16. ในเมองแหงหนง มตวแบบแสดงความหนาแนนของประชากรทนยามโดยใชพนทวงกลมรศม R (ก.ม.) จากจดกงกลางเมอง ดงน (1) ρ(r) = ρ0(1 – r/R) หรอ (2) ρ(r) = ρ0(1 – r2/R2) สาหรบแตละตวแบบ จงหา (a) จานวนประชากรรวม (b) รอยละของประชากรทอาศยอยหางจากจดศนยกลาง R/2

17. จงเขยนตวแบบกาลงสองอยางงายแสดงจานวนประชากรตอตาราง ก.ม. ทอาศยอยหาง r (ก.ม.) จากจดศนยกลางของเมอง ทจดศนยกลางของเมองมประชากร 4,000 คน และมประชากรเพมขนไปถงจดทมประชากรมากทสด คอ 20,000 ตาราง ก.ม. ณ ระยะหาง 3 ก.ม. จงใชตวแบบคานวณหา (a) จานวนประชากรทอยในรศม r (ก.ม.) จากจดศนยกลาง (b) จานวนประชากรทอยระหวางรศม 2 และ 4 (ก.ม.) จากจดศนยกลาง (c) จานวนประชากรทอยนอกรศม 3 (ก.ม.) จากจดศนยกลาง

18. สมมตวาเมองชายทะเล มบรเวณเปนรปสเหลยมมมฉากทมดานยาว a (ก.ม.) ไปตามชายหาด และความยาวของดานทตงฉากกบชายทะเลเปน b (ก.ม.) สมมตวาจานวนประชากรตอตาราง ก.ม. ทอาศยอยหางจากชายฝง y (ก.ม.) เปนไปตามตวแบบ ρ0e

-ky เมอ ρ0 และ k เปนตวคงท จงหาจานวนประชากรของเมองน



19. สมมตวาจานวนประชากรตอตาราง ก.ม. ทอาศยอยหางจากจดศนยกลางเมอง r ก.ม. คอ ρ (r) = a exp(-br2) เมอ a และ b เปนตวคงท (a) ประชากรของเมองนมทงหมดเทาไร (b) เปอรเซนตของประชากรทอยหางจากจดศนยกลางรศม x ก.ม. (c) 50% ของประชากรทงหมด อยในรศมเทาไรจากจดศนยกลาง

20. อายของประชากรมการกระจาย ดงน (1) N(t) = N0(1 – t2/a2) 0 ≤ t ≤ a (2) N(t) = N0e

-bt 0 ≤ t ≤ ∞

เมอ a และ b เปนพารามเตอร สาหรบแตละตวแบบจงหา (a) จานวนประชากรทงหมด (b) อายเฉลยของประชากร (c) สมการทสอดคลองกบมธยฐานของอายประชากร (d) เปอรเซนตของประชากรทมอายมากกวา 65 ป

21. กาหนดใหจดมมตาง ๆ ของถาดรปสเหลยมผนผา มพกด ดงน มมลางซายมพกด (0,0)

และมมอน ๆ มพกด (2,0), (2,1) และ (0,1) ถาความหนาแนนของวสดททาถาดทจด

(x,y) เปนไปตามตวแบบ ρ(x,y) = 6x2y (kg m-2) จงหามวลทงหมดของถาด

22. รถไฟออกจากชานชาลา เวลา t = 0 ดวยความเรว 40 ก.ม./ช.ม. ในเวลา 45 วนาท ตอจากนนเคลอนทดวยความเรวคงท 8 นาท และลดความเรวลงจนกระทงหยดเมอเวลา t = 10 นาท จงสรางตวแบบ แสดง สงตอไปน (a) ความเรวของรถไฟ (ก.ม./ช.ม.) เมอรถไฟวงไปได t นาท (b) ระยะหางจากชานชาลา (ก.ม.) เมอรถไฟวงไปได t นาท

บทท 10 การสรางตวแบบโดยใชเลขสม 181


บทท 10 การสรางตวแบบโดยใชเลขสม

(Modelling with Random Numbers) การสรางตวแบบทกลาวมาแลวสวนใหญเปน การสรางตวแบบจากขอมลแนนอนทเกบรวบรวมมาได แตในชวตจรงขอมลสวนใหญเปนขอมลทไมแนนอน ตวแบบทประกอบดวยขอมลทไมแนนอน เรยกวา ตวแบบไมแนนอน (Stochastic Models) ซงคาตอบของ ตวแบบประเภทนจะอยในรปของ รปแบบของผลลพธ ตวแปรของตวแบบในบททกลาวมาแลวเปนตวแปรทมคาแนนอนสามารถวดได ในตวแบบไมแนนอน (Stochastic Models) ตวแปรทงหมดจะเปนตวแปรสม (random) ตวแปรสมทกตวทนาเขาจะอยในรปแบบแนนอน ในรปของ ฮสโตแกรม ทขนอยกบขอมล จดมงหมายของการสรางตวแบบ คอ หา รปแบบแนนอนของคาตอบ ในตวแบบอยางงายสามารถใชวธการทางคณตศาสตรในการหาคาตอบ คาตอบขนอยกบความสมบรณของขอมลนาเขา และการคานวณ การใชคอมพวเตอรชวยในการคานวณ การสรางตวแปรสมจาลอง การจาลองสถานการณเพอหาตวแปรสม สวนใหญจะใชคอมพวเตอรชวยในการหารปแบบของคาตอบ ปญหาในชวตจรงสวนใหญหาไดจากตวแบบสถานการณจาลอง ซงสรางเปนโปรแกรมคอมพวเตอรของสถานการณจาลอง ในบทนตองการพฒนาแนวคดและทกษะในการสรางสถานการณจาลอง และตวอยางงาย ๆ จะเปนเพยงตวแบบยอย ของตวแบบใหญในสถานการณจรงเทานน การจาลองตวแปรสมเชงคณภาพ (Simulating Qualitative Random Variables) เราเคยแบงตวแปรออกเปน 2 แบบ คอ ตวแปรดสกรต และตวแปรตอเนอง ซงตวแปรเหลานนเปนตวเลข ยงมตวแปรแบบอนทไมใชตวเลข สามารถแสดงไดโดยความหมายของคณภาพในรปของขอความ เชน เพศ สของตา เปนตน เราเรยกตวแปรเหลานวาตวแปรเชงคณภาพ การพยากรณเพศของเดกในครรภ โดยใชการโยนเหรยญ ถาขน “หว” แทน เพศชาย หรอ ขน “กอย” แทน เพศหญง เพศเปนตวแปรเชงคณภาพทม 2 คา คอ ชาย, หญง และ



เหรยญเปนวตถทม 2 หนา นามาหาผลการสม ในกรณทวไปการโยนเหรยญเพอหาเลขสมอาจไมเพยงพอ เชน กรณทประชาชน 30% สบบหร และ 70% ไมสบบหร การสมประชาชนในกรณนไมสามารถใชการโยนเหรญไดเพราะทงสองสวนไมเทากน อาจจะตองใช เลขสมจากคอมพวเตอร หรอ เครองคานวณ ซงเลขสมทไดจะอยระหวาง 0 ถง 1 ถา RND คอเลขสม จากสงทกาหนดให เราจะไดวา 0 ≤ RND < 0.3 เปนผทสบบหร

0.3 ≤ RND ≤ 1 เปนผทไมสบบหร จากวธการดงกลาว เราสามารถแบงกลมของขอมลไดมากกวา 2 กลม เชน ขอมลทางหลวง พบวาพาหนะทใชถนนเปนดงน รถนงสวนบคคล 55% รถบรรทก 40% และรถมอเตอรไซด 5% เราสามารถกาหนดเลขสมไดดงน 0 ≤ RND < 0.55 เปนรถนงสวนบคคล

0.55 ≤ RND < 0.95 เปนรถบรรทก 0.95 ≤ RND ≤ 1 เปนรถมอเตอรไซด และนอกจากนในขอมลชดเดยวกนเรายงสามารถสรางตวแปรสมไดมากกวา 1 ตวแปร เชน ในการหยบไพหนงสารบ ให RND1 เปนตวแปรสมของการไดสไพ และ RND2 เปนตวแปรสมของการไดเลขไพ จะไดวา 0 ≤ RND1 < ¼ เปนโพดา

¼ ≤ RND1 < ½ เปนโพแดง ½ ≤ RND1 < ¾ เปนขาวหลามตด

¾ ≤ RND1 ≤ 1 เปนดอกจก และ 0 ≤ RND2 < 1/13 ACE

1/13 ≤ RND2 < 2/13 2 2/13 ≤ RND2 < 3/13 3 ………………………..

12/13 ≤ RND2 ≤ 1 KING



การจาลองตวเลขสมดสกรต (Simulating Discrete Random Variables) สมมตวา X เปนจานวนอบตเหตตอวน มการกระจายดงน

X 0 1 2 3 หรอมากกวา Prob (X = x) 0.6 0.2 0.1 0.1 Prob (X ≤ x) 0.6 0.8 0.9 1

หมายเหต ใชอกษรตวใหญ (X) แทนเลขสม และอกษรตวเลก (x) แทนคาจรงทเกดขน จากคาการกระจายสะสมทแสดงในบรรทดสดทายในตารางขางบน สามารถกาหนดการจาลอง ในตวแบบ ไดดงน

0 ≤ RND < 0.6 ⇒ X = 0 0.6 ≤ RND < 0.8 ⇒ X = 1

0.8 ≤ RND < 0.9 ⇒ X = 2 0.9 ≤ RND ≤ 1 ⇒ X = 3 ถาเลขสมเปน 0.571, 0.922, 0.346 จะไดคา X เปน 0, 3, 0 เปนตน การจาลองตวเลขสมตอเนอง (Simulating Continuous Random Variables) การจาลองตวเลขสมตอเนอง สามารถจาลองได ทานองเดยวกนกบเลขสมดสกรต แตกตางกนเพยงตวแปรตอเนองจะอยในรปของชวง ซงมรายละเอยดในการหาคาตวแปรอก ดงน

สมมตวา T เปนเวลา ระหวาง รถมาถง มการกระจาย ดงน

T (นาท) 0-5 5-10 10-15 ความถ(%) 20 50 30

ความถสะสม (%) 20 70 100 จากความถสะสม สามารถกาหนดการจาลอง ในตวแบบ ไดดงน

0 ≤ RND < 0.2 ⇒ 0 ≤ T < 5

0.2 ≤ RND < 0.7 ⇒ 5 ≤ T < 10 0.7 ≤ RND ≤ 1 ⇒ 10 ≤ T ≤ 100



สมมตวา RND เปน 0.36 ซงอยระหวาง 0.2 และ 0.7 ซงจะไดวา T อยระหวาง 5และ 10 การหาคาเลขสมของ T อาจจะใช จดกงกลางของชวง [5,10) คอ T = 7.5 หรอใช linear interpolation เชน

T = 5 + [(0.36 – 0.2)/(0.7 – 0.2)](10 – 5) = 6.6 ซงจะเทากบการอานคา T จากกราฟ ทไดจากการเชอมจดของความถสะสม ดงแสดงใน รปท 10.1

รปท 10.1

นอกจากวธการดงตวอยางขางบน เราอาจใชตวแบบทางคณตศาสตร โดยใช pdf (probability density function) ของตวแปรสม หาตวเลขสม ดงน

ให f(x) เปนฟงกชน สามารถใช pdf สาหรบตวแปรสม x บนชวง [a,b]

ถา f(x) ≥ 0 บน [a,b] และ ∫∞

∞−= 1)( dxxf

และเนองจาก f(x) = 0 เมอ x อยนอกชวง [a,b]

ดงนน จะไดวา ∫ =b

adxxf 1)( เมอนาตวคงท k ออกจากฟงกชนบวก g

จะไดวา ∫ =b

adxxgk 1)( ซงหาคา k ได

pdf สามารถหาความนาจะเปนของตวแปรสมระหวางคา x1 และ x2

โดย ∫2

1

)(x

xdxxf ในการใช pdf จาลองคาตวแปรสม เราจะตองหาฟงกชนการกระจาย

สะสม cdf (cumulative distribution function) ซงกาหนดโดย ∫ ∞−=

xdttfxF )()(

ซงมคาระหวาง 0 ถง 1 และถาเรากาหนดคา RND = F(x) ซงไดวา x = F-1(RND) ดงรปท 10.2

100%

T 151050



รปท 10.2 วธการจาลอง x ดงกลาว เรยกวา inverse cdf method ในทางปฏบต สมการ

RND = F(x) จะเปน สมการไมเชงเสน (Non-linear) ซงยากตอการหาคาตอบ สาหรบ x ในกรณนเราอาจหาคาตอบไดจากการแปลงสมการใหอยในรป x = ฟงกชนของ x และแทนคา x ดานขวาของสมการดวย x0 (คาเรมตนของ x) ซงจะไดคา x1 และนาคาทไดแทนคาตอไปจะได ลาดบ ทเขาสคาตอบ x ทตองการ

การใชตวแบบมาตรฐาน (Using Standard Models) ในกรณทไมมขอมลทจะสรางรปแบบฮสโตแกรม เราสามารถใชตวแบบมาตรฐานชวยในการสรางตวแปรสมได ตวแบบมาตรฐานทงายทสด คอ continuous uniform distribution U[a,b] ซงนยามโดย pdf ดงน

⎩⎨⎧ ≤≤−

=otherwise 0

bxa )/(1)(

abxf

ตวแปรสม RND ทหาไดจะอยในรปการกระจาย U[0,1] สาหรบคาการกระจายของ U[a,b] สามารถหาไดจากคา RND โดยใชสตร X = a + (b – a)RND ตวอยางเชน ถาตองการจาลองตวแปบสมของมม θ ให a = 0 และ b = 2π ดงนน θ = 2πRND ถามการกระจายดสกรตทไมมตวแปรสม X จานวนเตมใด ๆ ในชวง a ถง b เราควรทจะใช X = a + INT[(b – a + 1)RND] ตวอยาง 10.1 ถาทานยนอยขางถนนสงเกตยานพาหนะทผานทานไป จงจาแนกตวแปรสมในเชงคณภาพ ดสกรต หรอตอเนอง และสรางตวแบบแสดงนพจนเหลานน

1

x

RND

F(x)

0



(a) ประเภทของรถ (b) ความยาวของรถ (c) สของรถ (d) จานวนผโดยสาร (e) ความเรวของรถ (f) เวลาทผานทาน (g) จานวนของรถทผานทานใน 1 นาท

วธทา (a) ประเภทของรถเปนตวแปรเชงคณภาพ ประเภทของสามารถจาแนกไดเปน รถนง, รถปคอพ, รถบรรทก, รถบส, รถจกรยานยนต, รถจกรยาน ตวอยางการกระจาย เชน

รถนง รถปคอพ รถบรรทก รถบส รถจกรยานยนต รถจกรยาน 0.6 0.1 0.15 0.05 0.05 0.05

ความยาวของรถเปนตวแปรตอเนอง ซงจะตองใชความยาวของรถทกประเภท ความยาวของรถจกรยานอาจจะมความยาวคงท แตความยาวของรถอน ๆ อาจจะ อยในชวง 3 เมตร ถง 5 เมตร ดงน การกระจายความยาวของรถ นาจะเปน uniform distribution U[3,5]

(b) สของรถเปนตวแปรเชงคณภาพ จะตองจาแนกเฉดของส ในทนขอแยกเปนสองส คอ สขาว กบ ไมใชสขาว เชน

สขาว ไมใชสขาว 0.2 0.8

(c) จานวนผโดยสารเปนตวแปรดสกรต การกระจายนจะงายขนถาเราแยกผโดยสารของรถบสออกไป เชน

1 2 3 4 หรอมากกวา 0.6 0.2 0.1 0.1

(d) ความเรวของรถเปนตวแปรตอเนอง สมมตความเรวเฉลยเปน 70 ก.ม./ช.ม. และมความเรวอยระหวาง 0 ถง 140 ก.ม./ช.ม. pdf ทงายทสดคอการแทนดวยรปสามเหลยมของการกระจาย ดงรปท 10.3



รปท 10.3 เราหาคา k ไดจากความจรงทวา ผลรวมของความนาจะเปน (ทแทนดวยพนทใตโคง)คอ 1 ดงนน 70k = 1 ใชเทคนคของบทท 5 เราสามารถเขยนการกระจายของ pdf ดงน

⎩⎨⎧

<<<<

=140 x70 x)/70- (140

70x0 70/)(

xxf

รปแบบอน คอ f(x) = kx(140 – x) เมอ k คานวณไดจาก ∫ =−140

701)140( dxxkx

หรอ จากการกระจายปกต (normal distribution) N(70,σ2) สาหรบความแปรปรวน σ2 บางคา (e) เวลาเปนตวแปรตอเนอง ตวแบบสาหรบการกระจายนคอ เอกซโพเนนเชยน f(x) = (1/m)e-x/m เมอ m เปนคาเฉลยของเวลา (f) จานวนรถเปนตวแปรดสกรต ทเชอมโยงกบ (f) ถาการกระจายของเวลาเปน

เอกซโพเนนเชยน ดงนนจานวนรถ N ทผานจดคงทในชวงเวลาคงท L จะม Poisson distribution และฟงกชนความนาจะเปน คอ p(n) = e-λλn/n! สาหรบ n = 0, 1, 2,… เมอ λ = L/m

ตวอยาง 10.2 ใชคาตอบจากตวอยางท 10.1 และ RND ทกาหนดใหในหนา 194 หาคาจาลองของตวแปรสาหรบยานพาหนะคนตอไป วธทา (a) RND = 0.577 อยระหวาง 0 ถง 0.6 ดงนน ยานพาหนะ คอ รถนง

(b) ความยาว คอ 3 + 2RND = 3 + 2(0.976) ≈ 4.95 เมตร (c) ไมใชรถสขาว เพราะวา RND = 0.524 > 0.2 (d) คา RND ตอไปคอ 0.128 ซง < 0.6 ซงสรปไดวามผโดยสารเพยงคนเดยว (e) ถาเราใชสามเหลยมของการกระจาย และ RND = 0.887 เราหาความเรว x ได

จาก 0.887 = (140 – x)/70 ซงจะไดวา x ≈ 78 ก.ม./ช.ม. หรอใชวธอน

7035

k

x

f(x)

0



เชน จากการกระจายปกต (normal distribution) ใช RND 2 ตว คอ 0.887 และ 0.123 และให σ = 10, μ = 70 เราจะไดวา x = 70 + 10 ))887.0ln(2(− cos(2π × 0.123) ≈ 78 ก.ม./ช.ม.

(f) สมมตวาคาเฉลยของเวลา คอ 10 วนาท เราสามารถคานวณชวงเวลาตอไป และบวกไปเรอยจนผลรวม 1 นาท คา RND ตอไปคอ 0.229, 0.112, 0.375, 0.683, … เวลาจาลองหาไดจาก -10 ln(RND) ดงน

14.74 21.89 9.81 3.81 51.2 … เวลาสะสม 14.74 36.63 46.44 50.25 101.4 …

ดงนนใน 1 นาทนเราเหนรถผานไป 4 คน ตวอยาง 10.3 จากขอมลเวลามาถงรานคาแหงหนงของลกคา 20 คน ของรานคาแหงหนง ตงแตเวลา 8.00 น. ดงน

8:00:27 8:00:59 8:01:01 8:01:56 8:03:00 8:05:32 8:05:37 8:06:48 8:0731 8:09:16 8:11:43 8:13:01 8:13:39 8:14:30 8:15:54 8:16:05 8:16:28 8:17:53 8:20:17 8:22:59

(a) จงสรางตารางแจกแจงความถ (b) สมมตวาลกคามาถงรานเวลา 8.00 น. ของวนพรงน จงใช cdf และ RND

จาลองเวลามาถงของลกคา 3 คนแรก วธทา (a) จากเวลามาถง เราสามารถหาชวงเวลามาถงรานคาของแตละคนเปนวนาท ไดดงน 27, 32, 2, 55, 64, 152, 5, 71, 43, 105, 147, 78,38, 23, 85, 144, 162 ซงเขยนเปน ตารางแจกแจงความถ ไดดงน

0 – 40 40 - 80 80 - 120 120 - 160 160 – 200 ความถ 7 6 3 3 1 ความถสะสม(%) 35 65 80 95 100

ภาพความถสะสม แสดงดงรปท 10.4



รปท 10.4 (b) จากรปท 10.4 เราจะเหนคา RND คาแรก 0.577 (หรอ 57.7%) อยในชวงเวลา 40 ถง 80 วนาท หาคา X จาก (X – 40)/(80 – 40) = (57.7 – 35)/(65 – 35) ได X ≈ 70 ในทานองเดยวกน สาหรบคา RND ตอไป 0.976 และ 0.525 สามารถหาคา X ไดวา X ≈ 181 และ X ≈ 63 ตามลาดบ ซงจะไดเวลาทลกคามาถงราน 3 คนแรก คอ 8:01:10, 8:04:11 และ 8:05:14 ตวอยาง 10.4 ชวงเวลาการเดนทางโดยรถบสคอตวแปรสมทม pdf ดงรปท 10.5 ตอไปน

รปท 10.5 (a) จงหาคา f(9) (b) จงเขยนการกระจายของ f(x) ในพจนของ x

20015010050

100%

x0

129

f(x)

x7



(c) จงหาความนาจะเปนในการเดนทางทใชเวลา 8 นาท (d) จงหาความนาจะเปนในการเดนทางทใชเวลา 9 นาท (e) จงหาความนาจะเปนในการเดนทางทใชเวลาระหวา 8 นาท และ 11 นาท (f) จงหาสตรของการจาลองเวลาการเดนทาง X จากเลขสม RND (g) จงจาลองเวลาการเดนทาง ถา (1) RND = 0.122 และ (2) RND = 0.853

วธทา (a) ผลรวมของความนาจะเปน คอ

∫ =12

71)( dxxf

พนทรวมของสามเหลยม 2 รป คอ (1/2) × 2 × f(9) + (1/2) × 3 × f(9) = 1

ดงนน f(9) = 0.4 (b) สาหรบ 7 ≤ x ≤ 9

7904.0

70

−−

=−−

xf

ดงนน f = (0.4/2)(x – 7) = 0.2x – 1.4 สาหรบ 9 ≤ x ≤ 12

9134.00

94.0

−−

=−−

xf

ดงนน f = 0.4 – (0.4/4)(x – 9) = 1.6 - 0.4x/3 (c) เปน 0 (d) จะไดวา

1.078

]4.11.0[)4.12.0()(8

7

8

7

2∫ ∫ =−=−= xxdxxdxxf

(e) จะไดวา

∫∫∫ −+−=11

9

9

8

11

8)3/4.06.1()4.12.0()( dxxdxdxxf

= 9

11]3/2.06.1[

89

]4.11.0[ 22 xxxx −+−

= 0.833 (f) cdf กาหนดโดย F(x) = 0 สาหรบ x < 7 และ

∫ +−=−=−= 9.44.11.07

]4.11.0[)4.12.0()( 22 xxx

ttdttxf



สาหรบ 7 ≤ x ≤ 9 จะไดวา F(9) = 0.4 ซงเปนพนทใตกราฟของ f จนถงจด x = 9 สาหรบ 9 ≤ x ≤ 12 จะไดวา F(x) กาหนดโดย

∫ −+=−+=9

]3/2.06.1[4.0)3/4.06.1(4.0)( 2 xttdttxF

= 1.6x – 0.2x2/3 –8.6 และสาหรบ x > 12, F(x) = 1 การจาลองคาของ X สามารถจาลองไดดงน ถา RND < 0.4 ใช 0.1x2 –1.4x + 4.9 = RND ถา RND > 0.4 ใช 1.6x – 0.2x2/3 –8.6 = RND

(g) จากขอ (f) ถา (1) RND = 0.122 จะไดวา x ≈ 8.10 และ (2) RND = 0.853 จะไดวา x ≈ 10.52

ตวอยาง 10.5 การใชนาในแตละวนของเมอง ๆ หนง (X มหนวยเปนลานลตร) เปนตวแปรสม ซงมคาสงสด เมอ x = 3 ตวแบบเชงคณตศาสตร สาหรบ pdf อยในรป

⎩⎨⎧

<≥

=−

0 x 00 x)(

bxkxexf

(a) จงหาตวแบบทเปนไปได สาหรบคาของพารามเตอร k และ b (b) หา cdf F(x) และใชจาลองสถานการณหาคา X สาหรบ RND = 0.445

วธทา (a) เราตองการหาจดสงสดของ f เมอ x = 3 ซงจะไดจาก f’ = ke-bx – kbxe-bx = (1 – bx)ke-bx

f’(3) = (1 – 3b)ke-3b = 0 ถา b = 1/3 เราหา k จากเงอนไข

1)( =∫∞

∞−dxxf


10

3/ =∫∞ − dxkxe x

(เนองจาก f เปน 0 เมอ x < 0) อนทเกรตไดคา 9k ดงนน k มคาเทากบ 1/9 และตวแบบจะเปน

f(x) = we-x/3/9



(b) cdf คอ

∫∞

∞−= dttfxF )()(

ให F(x) = 1 – (x/3 + 1)e-x/3 เทากบคาเลขสม RND = 0.445 เราจะไดวาสมการของ x ดงน

(x/3 + 1)e-x/3 = 0.555 ใชวธการของ Newton-Raphson หาคาตอบได x ≈ 4.52536 ดงนน จากการจาลองสถานการณไดความตองการใชนาจานวน 4,525,360 ลตร ตารางเลขสม

0.577 0.976 0.525 0.128 0.887 0.123 0.649 0.229 0.112 0.375 0.683 0.006 0.431 0.318 0.285 0.236 0.865 0.041 0.108 0.763 0.537 0.849 0.448 0.311 0.442 0.565 0.917 0.799 0.266 0.271 0.537 0.356 0.536 0.006 0.573 0.108

แบบฝกหดบทท 10 1. ตวแปรสมตอไปนเปน ตวแปรเชงปรมาณ ตวแปรแบบตอเนอง หรอตวแปรแบบดสกรต

(a) เชอชาตของคน (b) อายของคน (c) ความสงของคน (d) ขนาดรองเทาของคน (e) ชนดของพช (f) เลขทะเบยนรถ (g) ความสงของตนไม

2. สมมตวา โอกาสทฝนจะตกแตละวนในสปดาหหนาเปน 40% (a) จงจาลองสถานการณในแตละวนจากวนอาทตยถงวนเสารวาฝนจะตกหรอไม



(b) สมมตวาอากาศในวนพรงนมความสมพนธกบอากาศในวนน โดยกาหนดวา ถาวนนฝนตก จะมโอกาสทฝนจะตกในวนพรงน 80% แตถาวนนฝนไมตก โอกาสทฝนไมตกในวนพรงนม 70% จงจาลองสถานการณสภาพอากาศในสปดาหโดยตวแบบ เรมจากวนอาทตยฝนไมตก

3. ณ สแยกทมการจราจรคบคง มรถ 60% จะวงตรงไป รถ 30% ตองการเลยวซาย และอก 10% ตองการเลยวขวา จงจาลองสถานการณรถสามคนทแลนตอเนองกนมา

4. จงคาดเดาการกระจายของตวแปรสมตอไปน (a) คะแนนสอบของนกศกษา (b) ปรมาณฝนตกใน 1 วน ของเดอนกนยายน (c) คาอาหารของทานในมอตอไป (d) ความสงของภเขา (e) จานวนเหรยญทสญหายไปจากกระเปาของทาน (f) เวลาทเดกดโทรทศนใน 1 วน

5. ในการสอบโดยใชขอสอบแบบตวเลอก 10 ขอ แตละขอมตวเลอก 4 ตวเลอก มคาตอบทถกเพยงตวเลอกเดยว ถาตอบถกได 2 คะแนน ถาตอบผดได -1 คะแนน จงสรางสถานการณจาลองหาผลรวมคะแนนสอบของผเขาสอบ

6. จานวนอบตเหตตอวนในโรงงานแหงหนงเปนดงน จานวนอบตเหต 0 1 2 3 4 หรอมากกวา % ของวน 63 18 10 6 3

จงจาลองสถานการณจานวนอบตเหตสาหรบวนจนทรถงวนศกรของสปดาหหนา 7. สมมตวาแตละปายจอดรถมผโดยสารขนรถ x คน และลงจากรถ y คน เปนตวเลขสม

ตามการกระจายขางลางน 0 1 2 3 4 Prob(x) 0.15 0.15 0.2 * 0.2 Prob(y) * 0.3 0.2 0.1 0.1

(a) จงหาจานวนทขาดหายไป * (b) ถารถโดยสารเรมออกจากปายแรกมผโดยสาร 20 คน จงจาลองสถานการณเพอหา

จานวนผโดยสารทเหลอเมอรถออกจากปายท 5 8. ทรานอาหารแหงหนงลกคาสามารถเลอกบรเวณรบประทานอาหารได 2 บรเวณ คอ

บรเวณทหามสบบหร (60%) หรอบรเวณสบบหร (40%) และสามารถเลอกขนาดของ



โตะรบประทานอาหารทมขนาด 1, 2, 3 หรอ 4 ทนง ดวยความถดงน 10%, 50%, 15%, 25% ตามลาดบ จงจาลองสถานการณของการเลอกทนงรบประทานอาหารของ ลกคาในสามโตะถดไป

9. นายสมศกด และนางสมศร แตงงานกนและหวงทจะมบตรดวยกน โดยทนายสมศกด มตาสนาตาล สวนนางสมศรมตาสฟา ทราบจากขอมลวาโอกาสทจะไดบตรทมตาสฟา ม 25% สมมตวาการกระจายจานวนบตรตอครอบครวเปนดงน

จานวนบตร 0 1 2 3 4 ความถ (%) 20 20 30 20 10

และโอกาสทจะเปนผชาย : ผหญง เปน 50 : 50 จงใชตารางเลขสม จาลองสถานการณ ครอบครวนเพอหา

(a) จานวนบตร (b) เพศของบตรแตละคน โดยให RND < 0.5 หมายถง ผชาย (c) สตาของบตรแตละคน โดยให RND < 0.25 หมายถง ตาสฟา

10. ก. และ ข. แขงเทนนสกน เมอ ก. เปนฝายเสรฟโอกาสท ก. จะไดคะแนนม 0.7 ในทานองเดยวกนถา ข. เปนฝายเสรฟ โอกาสท ข. จะไดคะแนนม 0.6 จงในตวเลขสม จาลองสถานการณคะแนนเมอจบสเกม

11. สมมตวาเวลาทหมอใหคาปรกษาคนไข ในเวลา 1 ชวโมง มการกระจายดงตอไปน เวลาใหคาปรกษา (นาท) 0-5 5-10 10-15 15-20 > 20 % ของคนไข 19 26 33 15 7

จงจาลองสถานการณจานวนคนไขทหมอใหคาแนะนาในชวโมงตอไป 12. ผใชบรการของเครองฝากถอนเงนอตโนมต สามารถเลอกใชบรการได 2 แบบ คอ ฝาก

(80%) หรอถอน (20%) มการกระจายดงน จานวนเงน (100 บาท) 0-20 20-40 40-60 60-100 ความถ ในการฝาก 10 20 30 40 ความถในการถอน 30 40 20 10 จงจาลองสถานการณของความตางสทธในระดบของเงนสารอง หลงจากมผใชบรการแลว 10 คน

13. สมการตอไปนสมการใดเปน pdf (a) f(x) = 1 – x2 0 < x < 1



(b) f(x) = 4/3 – x2 0 < x < 1 (c) f(x) = 5/3 – 2x2 0 < x < 1

(d) ⎩⎨⎧

<<<<−

=2x1 1-x1 x 0 1

)(x

xf

14. จงหาคา k จาก f(x) = k x ทเปน pdf บนชวง [0,4] สาหรบตวแปรสม X และจากคา k ทหาไดน จงหา (a) สตรสาหรบการจาลองสถาณการณ X จากเลขสม RND (b) ใชสตรตาม (a) จาลองสามคาของ X

15. บรษทแหงหนงมโทรศพทเรยกเขาโดยเฉลย 20 ครงตอ ช.ม. สมมตวาเวลาระหวางการเรยกเขามการกระจายแบบยกกาลง จงจาลองสถานการณเวลาของการเรยกเขาสามครงแรกหลงจาก 6.00 น.

16. คาเฉลยของเวลาระหวางลกคาเขาใชบรการทเคานเตอร 2.5 นาท (a) จงใชตวแบบยกกาลงจาลองสถานการณจานวนลกคาทมาใชบรการทเคานเตอรในครง

ชวโมงตอมา (b) สมมตวาลกคาสามารถใชบรการไดในทนท ถาผใหบรการวาง แตมควเพยงควเดยว

และคาเฉลยของการมาใชบรการ 3 นาท จงจาลองสถานการณจานวนลกคาทเขาแถวคอยหลงจากใหบรการคนแรกไป 10 นาท โดยทเมอ t = 0 ไมมลกคาเขาแถวคอย

17. ถาคาเฉลยของจานวนประตในการแขงขนฟตบอลเปน 1.5 ช.ม. ได 2 ประต ถาการแขงขนระหวางทม A กบทม B โอกาสททม A ไดประตคอ 40% จงจาลองสถานการณผลการแขงขนระหวางสองทมน

18. ในบรษทแหงหนงมโทรศพท 3 สาย ซงโดยเฉลยจะมเสยงเรยกเขา 3 นาท และใชเวลาในการพดโทรศพทในแตละครงโดยเฉลย 5 นาท ถาทงสามสายกาลงใชอยมเสยงเรยกเขาจะถอวาเปนความสญเสยของการเรยกเขา จงสรางสถานการณจาลองหาจานวนการสญเสยของการเรยกเขาในเวลา 1 ช.ม.

19. กระทรวงสาธารณสขกาลงพจารณาปดโรงพยาบาลในเมองเลก ๆ การตดสนใจขนอยกบจานวนการใชเตยงคนไขในโรงพยาบาล

จากขอมลทบนทกไวทราบวาผปวยทตองรบเปนคนไขในตอวนมการกระจายดงน จานวน 0 1 2 3 4 5 % ความถ 10 15 40 20 10 5



จานวนวนทคนไขในนอนรกษาในโรงพยาบาลมการกระจายดงน

จานวนวน 1 2 3 4 5 > 5 % ความถ 6 10 20 40 15 9

ณ ปจจบนโรงพยาบาลมเตยงคนไข 10 เตยง ถาเตยงคนไขไมวาง คนไขทเขามาใหมจะถกสงไปยงโรงพยาบาลอน จงพฒนาตวแบบสถานการณจาลองเพอชวยในการตดสนใจปดโรงพยาบาล

บทท 11 การจาลองแบบปญหา


197


(Simulations) โดยทวไปการแกปญหา หรอการหาทางเลอกทดทสดโดยวธการทางคณตศาสตร มกจะเรมจากการสรางตวแบบทางคณตศาสตรแทนปญหาทตองการศกษา เพอแกปญหาและ/หรอศกษาตวแบบทสรางขน แลวนาผลการแกปญหาและ/หรอการศกษาตวแบบไปใช ในการแกปญหาหรอชวยในการตดสนใจ แตมหลายปญหาหรอหลายสถานการณทไมสามรถสรางตวแบบทางคณตศาสตรได ซงอาจจะเปนเพราะปญหาเหลานนมความซบซอนมากไมสามารถแทนดวยตวแปรทางคณตศาสตรได หากลดตวแปรลงกจะทาใหผลของการศกษาปญหาไมเปนไปตามความเปนจรงของปญหา หรออาจจะเปนปญหาทไมสามารถทราบขอมลทแทจรงได หรอขอมลทไดจะมความไมแนนอน เปนตน

การจาลองแบบปญหา เปนกระบวนการทชวยแกปญหาและ/หรอศกษาปญหาทไมสามารถสรางตวแบบทางคณตศาสตรทกลาวมาแลว โดยการออกแบบจาลอง หรอสรางสถานการณเลยนแบบปญหาจรง แลวดาเนนการทดลองใชแบบจาลองนน เพอการเรยนรพฤตกรรมของปญหา ศกษาผลของการแกปญหาจากแบบจาลอง

ผลทไดจากการจาลองแบบปญหา ไมไดเปนคาตอบทดทสด แตจะเปนเพยงแนวทางหรอทางเลอกในการตดสนใจทเหมาะสมและนาพอใจระดบหนงเทานน

การจาลองแบบปญหาจะแตกตางกบการจาลองทวไป ตรงทวา การจาลองทวไป มกจะหมายถงการเลยนแบบหรอการยอสวนสงของทไมมการเคลอนไหว แตการจาลองแบบปญหาเปนการเลยนแบบปญหาหรอสถานการณทมการเปลยนแปลง หรอเคลอนไหวได ปญหาทใชวธการจาลองแบบปญหาไดแก ปญหาการเรยนการสอนในโรงเรยน การสรางและฝกขบเครองบน การสรางหวใจเทยม และการสารวจอวกาศ เปนตน ประเภทของการจาลองแบบปญหา

การจาลองแบบปญหาแบงเปน 2 ประเภท คอ 1. การจาลองแบบปญหาแบบแนนอน (Deterministic Simulation) เปนการจาลองแบบ

ปญหาของปญหาททราบขอมลทแนนอนและไมมการเปลยนแปลง เชน การหาความเรวของกอนหนขณะถงพนจากการโยนกอนหนลงมาจากตก การผสมสารเคม



198

การจดเวรการทางาน การหาตาแหนงของลกปนตกถงพน การคานวณหาสาร กนมนตรงส การเตบโตของประชากร การออกแบบรถยนต เปนตน ปญหาแบบแนนอนนสามารถแกปญหาไดโดยการคานวณตามทฤษฎของแตละปญหา

2. การจาลองแบบปญหาแบบไมแนนอน (Stochastic Simulation) เปนการจาลองแบบของปญหาทมขอมลไมแนนอน ทมการเปลยนแปลงตามเวลา เชน การหาตาแหนงของแผนกระดาษทตกลงมาจากตก การหาทศทางของจรวดทยงขนสอวกาศ การหาตาแหนงทเครองบนตก เปนตน การแกปญหาแบบไมแนนอนน ตองใชวธการจาลองแบบปญหาดวยเทคนคมอนตคารโลในการแกปญหา

ขอดและขอเสยของการจาลองแบบปญหา

ขอดของการจาลองแบบปญหา คอ 1. ชวยในการพยากรณ หรอการวางแผนลวงหนา 2. ประหยดเวลา เพราะการแกปญหาจากการจาลองแบบปญหา ใชเวลานอยกวาการ

แกปญหาจากปญหาจรง ทาใหทราบผลไดเรวขน 3. ประหยดคาใชจาย และลดการสญเสย เพราะการจาลองแบบปญหา ใชเครองมอแทน

ของจรง 4. ลดความยงยาก การทดลองแกปญหาจากสถานการณจรงอาจกอใหเกดความยงยาก

ในการทางาน เชน การแกปญหาการจราจร หากทดลองแกปญหาจากสถานการณจรงจะกอใหเกดความยงยากมาก

5. สามารถศกษาปญหาทไมสามารถทดลองจรงได เชน การศกษาเกยวกบการโคจรของยานอวกาศ

6. การทดลองในแบบจาลองแบบปญหา สามารถควบคมตวแปรได แตในสถานการณจรงตวแปรบางตวไมสามารถควบคมได

ขอเสยของการจาลองแบบปญหา คอ 1. การออกรปแบบของการจาลองแบบปญหาทดนน จะตองใชเวลาและคาใชจายมาก

รวมทงตองอาศยความร ความสามารถของผออกแบบดวย แบบจาลองจงจะใชแทนสถานการณจรงไดด



199

2. เนองจากแบบจาลองไมสามารถแทนสถานการณของปญหาได อาจทาใหการวเคราะหผดพลาดจากความเปนจรง

3. ผลการวเคราะหจากการใชการจาลองแบบปญหา บางครงไมมความแมนยาพอ และไมสามารถวดขนาดของความแมนยานได

4. การจาลองแบบปญหาไมใชหลกประกนวาไดคาตอบทดทสด นาจะเปนเพยงทางเลอกในการตดสนใจเทานน

การจาลองแบบปญหาดวยเทคนคมอนตคารโล

เนองจากปญหาแบบไมแนนอนมตวแปรทไมสามารถควบคมได จงตองอาศยวธการตาง ๆ ทางสถตเขาชวย วธการหนงซงเปนทนยมใชมากและเกอบจะมความจาเปนในทก ๆ การจาลองแบบปญหาคอ การสมตวอยางดวยเทคนคมอนตคารโล

เทคนคมอนตคารโล คอ เทคนคในการสรางขอมลโดยการใชตวเลขสม และความนาจะเปนสะสม ตวเลขสมอาจไดมาจาก การโยนลกเตา วงลอรเลต ตารางตวเลขสม (Random Numbers Table) ทใชแพรหลายทสด คอ เครองสรางตวเลขสมของบรษท RAND หรอเขยนโปรแกรมใหคอมพวเตอรสรางตวเลขสม ซงสามารถสรางตวเลขทมลกษณะการกระจายของความนาจะเปนแบบสมาเสมอ สวนคาความนาจะเปนสะสมคอ คาความนาจะเปนสะสมของขอมลทตองการ อนไดมาจากขอมลในอดตหรอจากการทดลอง หรอทราบจากลกษณะการกระจายของความนาจะเปน

เทคนคมอนตคารโลนจะใชกบปญหาทเปนปญหาแบบไมแนนอน ซงจะตองทาการทดลองหลาย ๆ ครง ยงมากครงเทาไรกจะยงรวาผลควรจะเปนอยางไรมากขนเทานน ในปจจบนคอมพวเตอรมบทบาทในการชวยคานวณมาก ดงนนขอจากดของการตองทดลองหลาย ๆ ครง และใชเวลามากจงหมดไป การจาลองแบบปญหาโดยใชคอมพวเตอรจงเปนวธการทางคณตศาสตรทไดรบความนยมและมการนาไปใชมากทสด



200

ตวอยางปญหาทใชการจาลองแบบปญหา

ตวอยาง 11.1 จงใชการจาลองแบบปญหา หาคาประมาณของ π วธท 1 โดยการใชลกดอกปาเปา ชาวกรกศกษาคณสมบตของวงกลม พบวาอตราสวนระหวางความยาวของเสนรอบวงของวงกลมกบเสนผานศนยกลางของวงกลมวงเดยวกนจะมคาเดยวกนเสมอ ไมวา วงกลมจะม

ขนาดเทาใดกตาม π เปนสญลกษณทชาวกรกใชเขยนแทนอตราสวนดงกลาว

ในอดต อารคมดส เปนผคดหาคาประมาณของ π โดยใชเรขาคณต ปจจบนม

การใชคอมพวเตอร หาคาประมาณของ π ใหไดคาประมาณดวยตวเลขทศนยมทมความ

ถกตองมากขนทกท คาประมาณทเราคนเคยกนด คอ π มคาประมาณ 227

ในการจาลองแบบปญหา เราจะนาวงกลมทมรศม 1 หนวย มาพจารณา ดงนน พนท

ของวงกลมทมรศม 1 หนวยจงเปน π ตารางหนวย และพนทสวนของวงกลมท แรเงา

จงเปน 4π ตารางหนวย

พนท = 4π

รปท 11.1

ถาเราทราบพนทบรเวณทแรเงา กสามารถหาคา π ได ในการหาพนทโดยวธมอนตคารโลอาจทาไดโดยตดกระดาษสเหลยมจตรสทมความ

ยาวดาน ดานละ 1 หนวย แลวใชจดมมใดมมหนงเปนจดศนยกลางรศม 1 หนวยเขยนเสนโคงวงกลม ดงรป 11.2



201

รปท 11.2

ใหบรเวณพนทสวนแรเงาเปน A นากระดาษมาแขวนไวเปนเปา แลวนาลกดอกมา

ปาเปา โดยตงสมมตฐานวา ใหลกดอกมความนาจะเปนทจะตก ณ จดใดจดหนงบนแผนกระดาษมคาเทา ๆ กน ดงนนจะไดวา

พนท A จานวนลกดอกทปาเขาบรเวณ A พนทของแผนสเหลยม จานวนลกดอกทปาเขาบรเวณแผนสเหลยม

จานวนลกดอกทปาเขาบรเวณ A จานวนลกดอกทปาเขาบรเวณแผนสเหลยม

ในทางปฏบตอาจจะหาลกดอก ทความนาจะเปนทจะตกทจดใดจดหนงบนแผน สเหลยมเทา ๆ กนตามสมมตฐานไมได ซงอาจจะใชจดในระบบพกดฉากและการจบสลากเขาชวย ดงน

=

นนคอ π = 4 x



202

วธท 2 โดยการใชจดระบบพกดฉากและการจบสลาก ใหจดมมทง 4 ของสเหลยมจตรสเปน (0,0), (1,0), (1,1) และ (0,1) ดงรปท 11.3 หรอกลาวไดวา พกด (x,y) ทอยในบรเวณสเหลยม เมอ x ∈ [0,1] และ y ∈ [0,1]

รปท 11.3 จากสมมตฐานวาโอกาสทพกด (x,y) จะอย ณ จดใด ๆ ในบรเวณ [0,1] x [0,1] มเทากน จงนากระดาษมาตดเปนสลากขนาดเทา ๆ กน จานวน 100 ใบ และเขยนตวเลข 0 ถง .99 นาไปใสกลองปดฝา ใชมอซายหยบสลากขนมา 1 ใบ สมมตวาได .75 ใหแทนพกดของจด x แลวนาสลากใสคนกลอง ใชมอขวาหยบสลากขนมา 1 ใบ สมมตวาได .32 ใหแทนพกดของ y ดงนนจะไดตาแหนงของลกดอกลกแรกตกทจดซงมพกดเปน (.75,.32) เปน

ลกดอกทตกในบรเวณ A ดงนนจะไดคา π จากการคานวณเปน 4. 11

= 4 และสมมตวาได

พกดของลกดอกทสองเปน (.92,.67) ซงเปนลกดอกทตกนอกบรเวณ A จะไดคา π จากการ

คานวณเปน 4. 12

= 2 ทาเชนนตอไปเรอง ๆ สมมตวาไดขอมลตามตารางตอไปน

X

Y

O 1.50

1

.50



203

ครงท พกด x พกด y อยบรเวณ A คา π 1 .75 .32 อย 4. 1

1= 4.00

2 .92 .67 ไมอย 4. 12

= 2.00

3 .62 .00 อย 4. 23

= 2.66

4 .90 .39 อย 4. 34

= 3.00

5 .22 .12 อย 4. 45

= 3.20

6 .45 .49 อย 4. 56

= 3.33

7 .06 .67 อย 4. 67

= 3.42

8 .29 .96 ไมอย 4. 68

= 3.00

9 .85 .99 ไมอย 4. 69

= 2.66

10 .63 .92 ไมอย 4. 610

= 2.40

จะเหนวาถาจานวนครงเพมมากขนคา π ทคานวณได จะมคาเขาใกลคา 3.142857… แตกไมสะดวกทจะจบสลากในจานวนครงทมาก ๆ ดงนนจะตองใชคอมพวเตอรชวยในการ

สมตวเลขและคานวณคา π ดงตอไปน



204

วธท 3 โดยใช Excel Excel เปนโปรแกรมสาเรจรปโปรแกรมหนงทสามารถชวยในการสมตวเลข และ

คานวณคา π ไดดงน คาสงในการสมตวเลขคอ =rand() จะใหผลลพธเปนตวเลขอยระหวาง 0 กบ 1 หลงจากสราง Work sheet ใน Excel แลว ใหกาหนด

คอลมน A เปน ครงท คอลมน B เปน พกด x คอลมน C เปน พกด y คอลมน D เปน อยใน A

คอลมน E เปน คา π ใหบนทกตวเลข ในคอลมน A ตงแตแถวท 2 ในเซลล A2 เปน 1, A3 เปน 2, A4 เปน 3, … A11 เปน 10 ใหบนทกสตร =rand() ลงในเซลล B2 และ C2 ซงจะไดตวเลขสม ดงรปท 11.4

รปท 11.4 ใหบนทกสตร =if(sqrt(B2^2+C2^2)<=1,1,0) ลงในเซลล D2 จะไดผลลพธเปน 1 หรอ 0 (ถา พกด (x,y) อยใน A จะไดคาเปน 1) โดยใชสตรการหาระยะหางจากจดสองจดทวา

ระยะหางจาก (x1,y1) ถง (x2,y2) = 2 21 2 1 2( ) ( )x x y y− + −

เนองจากจดศนยกลางอยท (0,0) ใหเปน (x2,y2) และใหจดทสมไดเปน (x1,y1)

ดงนนระยะหางจากจดทสมไดถงจดศนยกลางมคาเทากบ 2 21 1x y+ ถาไดคานอยกวาหรอ



205

เทากบ 1 จะเปนจดทอยในบรเวณ A หรออยในวงกลม กาหนดคาใหเปน 1 สวนจดทอยนอกบรเวณ A หรอนอกวงกลม จะไดระยะหางมากกวา 1 กาหนดคาใหเปน 0 ดงรปท 11.5

รปท 11.5 ใหบนทกสตร =4*SUM(D$2:D2)/A2 ลงในเซลล E2 ดงรปท 11.6

รปท 11.6 ให copy สตรในบรเวณ B2:E2 ลงในบรเวณ B3:E11 จะไดผลลพธดงรปท 11.7

รปท 11.7



206

ถาตองการใหมจานวนครงของการทดลองมากยงขนสามารถกระทาไดโดยการ copy คา และสตร ตาง ๆ จากบรเวณ A10:E11 ไปยงบรเวณ A12:E… ตามตองการ ตวอยาง 11.2 ในการโยนลกเตา 1 ลกสองครง จงหาความนาจะเปนทจะเกดผลรวมของหนา ลกเตาเปน 6 โดยใชการจาลองแบบปญหา 10 ครง วธทา กาหนดเลขสม 1 หลก คอ 1 ถง 6 แทนการเกดของหนาลกเตา 1 ถง 6 ตามลาดบ

เลขสมทไมใชตวเลข 1 ถง 6 จะไมนามาใช สมมตวาผลลพธจากการสม ไดดงตามรางตอไปน

ครงท โยนครงท 1 โยนครงท 2 ผลรวม

1 1 3 4 2 2 5 7 3 3 3 6 4 6 5 11 5 2 1 3 6 3 5 8 7 6 3 9 8 4 6 8 9 3 5 8 10 4 6 10

จากการจาลอง 10 ครง จะไดความนาจะเปนทจะเกดผลรวมของหนาลกเตาเปน 6

เทากบ 10

1 แตความนาจะเปนทจะเกดผลรวมของหนาลกเตาเปน 6 ตามทฤษฎบทความ

นาจะเปนมคาเทากบ 36

5

จะเหนวา การหาคาตอบโดย การจาลองแบบปญหาจะตองทาการทดลองจานวนมากครง ผลลพธจงจะใกลเคยงกบผลลพธตามทฤษฎบท



207

ตวอยาง 11.3 นายจอหนอาศยอยในเมองลาสเวกส ทกเชากอนจะขนรถเมลไปทางาน เขาจะเลนเกม “ตาง 3” ซงมกตกาการเลน คอ ถาผเลนสามารถโยนเหรยญทละอนจนไดจานวนหวหรอกอยมากกวากนอย 3 ผเลนเปนฝายชนะ ผเลนจะตองเสยคาโยนครงละ 1 เหรยญ ถาชนะจะได 8 เหรยญ นายจอหนใชเงนสาหรบเลนเกมนวนละ 10 เหรยญ ซงจะใชเลนจนกระทง

ก. หมดเงน 10 เหรยญ หรอ ข. ชนะ 1 เกม

จงจาลองแบบการเลนเกมของนายจอหนเปนเวลา 5 วน แลว หาวาไดกาไรหรอขาดทนเทาใด วธทา กาหนดตวเลขสม 0 – 4 ใหเสมอนวาโยนเหรยญเกด หว (H) กาหนดตวเลขสม 5 – 9 ใหเสมอนวาโยนเหรยญเกด กอย (T) ผลลพธทไดจากการจาลองแบบปญหา (โดยใชตารางเลขสม แถวท 3 หลกท 6) ดงตาราง

วนท ตวเลขสม เหรยญเกด เสยเงน ไดเงน กาไร 1

1 9 6 4 5 0 9 3 0 3

H T T H T H T H H H

10

0

-10

2

2 3 2

H H H

3

8

5



208

วนท ตวเลขสม เหรยญเกด เสยเงน ไดเงน กาไร 3

0 9 0 2 5 6 0 1 5 9

H T H H T T H H T T

10

0

-10

4

5 3 3 4 7 6 4 3 5

T H H H T T H H T

10

0

-10

5

0 8 0 3 3 6

H T H H H H

5

8

3

จากการจาลองแบบ 5 วน นายจอหน ขาดทน 22 เหรยญ



209

ตวอยาง 11.4 รานใหเชาวดโอ ซอวดโอมาราคามวนละ 250 บาท นามาใหเชาราคามวนละ 30 บาทตอวน หลงจากใหเชาครบ 1 เดอน จะขายวดโอเกาไปในราคามวนละ 50 บาท ถาความตองการเชาวดโอตอวนม ความนาจะเปนดงตาราง ตอไปน

จานวนมวนทตองการเชา ความนาจะเปน 0 1 2 3 4

0.15 0.25 0.45 0.10 0.05

จงหาวาควรจะซอวดโอไวใหเชากมวน จงจะไดกาไรสงสด วธทา (1) โดยการใชทฤษฎบทความนาจะเปน (Probability Theory) ให P = กาไรทคาดวาจะได (Expected Profit) R = รายไดจากการเชาทคาดวาจะไดตอวน (Expected Revenu per day) C = ตนทนในการซอมวนวดโอ ทดลอง หากาไรทไดจากการซอวดโอ 3 มวน จะไดวา P = 30R + ราคาขายวดโอทใหเชาไปแลว - C โดยท R = (0 × 0.15) + (30 × 0.25) + (60 × 0.45) + (90 × 0.10) + (90 × 0.05) = 48 บาท ดงนน P = (30 × 48) + (3 × 50) – (3 × 250) = 840 บาท เพราะฉะนนกาไรทคาดวาจะไดจากการสงซอวดโอ 0, 1, 2, 3 หรอ 4 มวน จากการคานวณโดยใชทฤษฎบทความนาจะเปน จะไดตามตาราง



210

จานวนมวนทตองการซอ

C R R ตอเดอน ขายตอ P

0 1 2 3 4

0 250 500 750

1,000

0 25.50 43.50 48.00 49.50

0 765 1305 1440 1485

0 50 100 150 200

0 565 905 840 685

ดงนน คาตอบทดทสดคอ ควรจะซอวดโอ 2 มวน เอาไวใหเชา จงจะไดกาไรสงสด

(2) โดยการใชการจาลองปญหา (Simulation) กาหนดชวงของตวเลขสม 2 หลกจากตารางตวเลขสมใหกบความตองการเชาวดโอตอวนตามความนาจะเปนทกาหนดใหดงตาราง

จานวนมวนทตองการเชา ความนาจะเปน ชวงของตวเลขสม 0 1 2 3 4

0.15 0.25 0.45 0.10 0.05

00 – 14 15 – 39 40 – 84 85 – 94 95 – 99

หากาไรทไดจากการซอวดโอ 2 มวน โดยการจาลองปญหา 30 วน เพอหารายไดจาการใหเชา จะไดตามตารางตอไปน

วนท ตวเลขสม ความตองการ รายไดจากการใหเชา

1 2 3

85 20 09

3 1 0

60 30 0



211

4 5 6 7 8 9 10 . . .

99 92 09 51 98 51 62 . . .

4 3 0 2 4 2 2 . . .

60 60 0 60 60 60 60 . . .

ทาตอไปจนครบ 30 วน แลวหารายไดจากการเชารวมกน สมมตวาได 1,350 ดงนน กาไร = 1350 + (2 × 50) – (2 × 250) = 950 บาท โดยการใชการจาลองปญหากบการซอวดโอ 0, 1, 2, 3, 4 มวน จะไดกาไรตาม ตารางตอไปน

จานวนมวนทตองการซอ

C R ตอเดอน ขายตอ P

0 1 2 3 4

0 250 500 750

1,000

0 780

1,350 1,590 1,650

0 50 100 150 200

0 580 950 990 850

จะเหนวาคาตอบทไดจากการจาลองปญหาคอ จะตองซอวดโอ 3 มวน ถงจะไดกาไรสงสด ซงจะเหนวาไมเทากบ คาตอบทหาไดจากทฤษฎบทความนาจะเปน ทงนเพราะในการใชตวเลขสมแตละชด จะใหผลลพธทตางกน ดงนนจงตองทาการจาลองปญหาหลาย ๆ รอบ (ยงมากยงไดคาทถกตอง) แลวนามาหาคาเฉลย



212

ตวอยาง 11.5 บรษททองเทยวจากดเปนบรษทใหเชารถยนต ไดรวบรวมสถตการดาเนนงานของบรษทดงน

จานวนรถทมผมาขอเชาตอวน (คน) ความนาจะเปน 0 0.10 1 0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.25 จานวนวนทเชาตอคน ความนาจะเปน 1 0.5 2 0.3 3 0.15 4 0.05 การใหเชารถจะไดกาไรโดยเฉลยคนละ 800 บาท/วน และเมอมคนมาเชารถและบรษทไมมรถใหเชา บรษทจะเสยคาเสยโอกาส (GOOD WILL) ไปคดเปนมลคา 100 บาท/วน ถาบรษทมรถใหเชาทงหมด 4 คน จงจาลองการใหเชารถทง 4 คนน ถามผมาขอเชารถเพยง 1 วน วนรงขนรถคนนนจะใหเชาไดอกและคานวณหากาไรเฉลยจากการใหเชารถตอวน โดยการจาลองแบบปญหาใน 1 สปดาห วธทา กาหนดชวงของตวเลขสม 2 หลก ใหกบจานวนรถทมผมาขอเชาตอวน และจานวนวนทเชาตอคนตามความนาจะเปนทกาหนดให ดงตารางตอไปน

จานวนรถทมผมาขอเชาตอวน ความนาจะเปน ชวงของตวเลขสม 0 1 2 3 4

0.10 0.15 0.20 0.30 0.25

00-09 10-24 25-44 45-74 75-99



213

จานวนวนทเชาตอคน ความนาจะเปน ชวงของตวเลขสม 1 2 3 4

0.50 0.30 0.15 0.05

00-49 50-79 80-94 95-99

จาลองแบบปญหาการเชารถใน 1 สปดาห เพอหากาไรทได จะไดตามตารางตอไปน วนท จานวน

รถทมใหเชา

ตวเลขสม

จานวนรถทมผมาขอเชาตอวน

คนท ตวเลขสม

จานวนวนทเชาตอคน

ไดคาเชา คาเสยโอกาส

กาหนดคนรถตอนเยน วนท

กาไร

1

4

74

3

1 2 3

54 11 48

2 1 1

1600 800 800

- - -

2 1 1

3200

2

3

69

3

1 2 3

02 17 66

1 1 2

800 800 1600

- - -

2 2 3

3220

3 3 32 2 1 2

07 94

1 3

800 2400

- -

3 5

3200

4

3

84

4

1 2 3 4

44 47 49 39

1 1 1 1

800 800 800

-

100

4 4 4 -

2200

5

3

56

3

1 2 3

98 79 41

4 2 1

3200 1600 800

- - -

8 6 5

5600

6 2 02 0 - - - - - - 0 7 3 11 1 1 83 3 2400 - - 2400



214

จากการจาลองแบบปญหา 1 สปดาห บรษทจะไดกาไรเฉลย 2,828 บาท/วน ถาจาลองปญหาเปนจานวนครงทมาก ๆ กจะไดคากาไรทใกลความจรง จงเหนวาจากตวอยางทผานมา เปนตวอยางการแกปญหาใด ๆ โดยการใชการจาลองแบบปญหา ยงมปญหาในทางธรกจทสาคญอกหลายปญหาทจาเปนตองใช การจาลองแบบปญหา มาชวยในการตดสนใจในการดาเนนธรกจ ไดแก ปญหาสนคาคงคลง และปญหาแถวคอย แบบฝกหดบทท 11 1. โรงงานทาขนม ขายสงขนมชนละ 5 บาท ตอนเชารานคามาซอไปขายโดยขายชนละ 8

บาท หากขายไมหมดในวนนน โรงงานรบซอคนในราคาชนละ 2 บาท จงจาลองสถานการณของรานคาทสงขนมไปขายจานวน 14 15 16 หรอ 17 ชนตอวน จงจะทาใหไดกาไรสงสด โดยจาลองสถานการณละ 10 วน มความตองการรายขนมวนเปนการแจกแจงความนาจะเปน ดงน

ความตองการขนม ความนาจะเปน

12 0.05 13 0.25 14 0.40 15 0.20 16 0.10

2. ประธานบรษทจาหนายอปกรณอะไหลไฟฟาภายในบาน พบปญหามอเตอรทใชกบตเยน

ไมพอขาย จงใหแผนกคลงสนคาทาการแกไขปญหาผจดการแผนกทราบดวา ปญหาทตองการทาการตดสนใจคอ ปรมาณสนคาทจะสงซอและหาจดสงซอ ซงจะขนอยกบอตราความตองการสนคาในตลาด และระยะเวลาทรอคอยสนคา ทไมทราบคาแนนอน จงทาการเกบขอมลยอนหลง ไดรายละเอยดตามตาราง



215

ความตองการสนคาตอ 1 สปดาห เวลาทรอคอยสนคา ความตองการ(หนวย) ความถ เวลา (สปดาห) ความถ

0

1

2

3

4

5

6

2

8

22

34

18

9

7

1

2

3

4

5

23

45

17

9

6

อนงมคาเกบรกษาสนคาคงคลง 20 บาท/สปดาห คาสงซอสนคา 50 บาท/ครง

และการสญเสยกาไร 200 บาท/หนวย

บรรณานกรม


217

บรรณานกรม

วชย สรเชดเกยรต. การจาลองเชงคอมพวเตอร. กรงเทพมหานคร : สกายบกส, 2544. ราชบณฑตยสถาน. ศพทคณตศาสตร ฉบบราชบณฑตยสถาน. กรงเทพมหานคร :

ราชบณฑตยสถาน, 2540. สพรรณ องปญสตวงศ. การจาลองแบบและการจดทาตวแบบระบบงาน. พมพครงท 2.

ขอนแกน : มหาวทยาลยขอนแกน, 2540. Dilwyn Edwards and Michael Hamson. Mathematical Modelling Skills. London

:Macmillan , 1996. Frank R. Giordano, Maurice D. Weir and William P. Fox. A first Course in Mathematical

Modeling. Third Edition. CA : Brooks/Cole- Thomson Learning, 2003. John Berry and Ken Houston. Mathematical Modelling. London : Edward Arnold, 1995. Leah Edelstein-Keshet. Mathematical Models in Biology. New York : Random House,

1987.

เฉลยคาตอบแบบฝกหด 219


เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 2 6. (a) Y = X + 5 (b) |Y – X| = 2 (c) Y/X = 2 (d) |A – B| = 3C/D (e) Y = 0.05X (f) Y = 1.05X (g) Y = 0.95X (h) Y < 0.05X (i) |Y – X| ≥ 10 (j) Y ≥ 1.5X (k) W ∝ (X – Y)2 (l) W ∝ 1/ )( XVU −− (m) y + x = 1.2z (n) X ≤ 0.9Y (o) A + B ∝ |X2 – Y2| (p) AB ∝ 1/(X – Y)2 7. (a) (เพราะวา (b) เทากบ ลด 28%) 8. (2x + 10)/2 – x = 5 9. a > b, b > 2c, a + c > b, c = a – 35 10. (a) รากทสองของผลคณของ a กบ b เทากบขนาดของผลตางระหวาง x และกาลงสอง

ของ y (b) q แปรผกผนกบผลบวกของกาลงสองของ x และ y 11. PLW 12. N/(S – Q) สปดาห 13. (a) I ∝ 1/x2 (b) f ∝ 1/ m (c) M ∝ pr3 (d) F ∝ M1M2/x

2 14. (a) S = kM (b) T = k/V (c) D = k/V 15. (a) M/(x + 1), xM/(x + 1) (b) (M – x)/2, (M + x)/2 16. xd/(x – d) 17. (a) d/(tA1 – tB1), d/(tA2 – tB2) (b) d(tB2 – tB1)/(tA1 – tB1) 18. (a) n1t1x2/n2x1 (b) 1 + INT[n2x1t2/n1t1] (c) 1 + INT[n1x2t1/x1t1] 19. (a) = (c), (b) = (e) 20. (a) = (f) = (b) = (d), (c) = (e) เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 3 1. (b) 2. (c) 3. (a) เพมขน (b) ลดลง (c) ลดลง (d) ลดลง (e) เพมขน 4. (a) I, D, I (b) D, I, I (c) I, D, D



5. (a) C (b) A (c) B (d) D 6. (1) (a) (2) (d), (e) (3) (h), (c), (f) (4) (a), (e), (g) 9. (b), (d), (e), (g), (h) 10. (c) 11. (a), (b), (c), (d), (h) 13. 0 ≤ t ≤ (π r2/a) )/2( 0 gh 14. (a) kU3/(2mg) (b) kU3/(2mg2) 15. (a) 100 (b) 1000 (c) 0.5 (d) 2 (e) 1 (f) 4 × 108 16. 1.72 m 17. 3 18. 22 m × 22 m × 103 m 19. ประมาณ 98 ลาน × 2400 20. (a) 0.1 (b) เลกทสด : 1/a , ใหญทสด : b2 และ a (c) ab / 21. (a) xe x )/1( (b) x exp(x3) 22. (a) x/y (b) y2/x 23. (a) 1 + a2Ω2 + aΩt (b) 1 + a sin(Ωt) (c) 1 + aΩt 24. 0.786r 25. (a) (1) เลกทสด : c, ใหญทสด : x/b

(2) เลกทสด : ab, ใหญทสด : ax/b (3) เลกทสด : c/(ax2), ใหญทสด : bx3/a

(b) (1) x2 + a (2) bx2 + a/x (c) a x (c) (1) 0.01x3 (2) 0.2/x + 1 (3) x001.0 (d) (1) 0.1/x2 + 0.1/x (2) 0.001 + 0.0001x (3) 1

26. (a) MLT-2, kgms-2 หรอ N (b) ML2T-2 , kgm2s-2 หรอ J (c) ML2T-3,kgm2s-3 หรอ Js-1 หรอ W (d) ML-3,kgm-3 (e) M-2,£m-2 (f) T-1,Ks-1 (g) MT-1,kgs-1 (h) ML-1T-2,kgm-1s-2 หรอ Pa



เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 4

1. (a) 4, 7, 10, 13 (c) 2, 5.4142, 31.6405, 1006.75

(b) 2, 2, 2, 2 (d) 0.8415, 0.7456, 0.6784, 0.62757

2.

สมการ อนดบ เชงเสน สมประสทธคงท Homogeneous

a) 1 Y Y N

b) 1 N Y N

c) 2 Y Y Y

d) 1 Y Y N

e) 2 Y N Y

f) 3 N N Y

g) 2 N Y Y

3. Xn+1 = 2Xn + 1 หรอ Xn+1 = Xn + 3 × 2n

4. Cn+1 = (1 - x/100)Cn + N

5. Xn+1 = Xn - 1/30

6. Bn+1 = Bn + (0.5)n3 หรอ Bn+2 - Bn+1 = 0.5(Bn+1 - Bn)

7. In+2 = aIn + bIn+1

8. Mn = Mn-1 + Pn-10

9. (a) 1999 (b) 1977

10. (a) 7738 (b) 23.47 ป

11. In+1 = 0.75In + 100 เขาส 400

12. (a) (1) 9 (2) 1 + INT[(N - 3)/2]

(b) (1) 8 (2) 1 + INT[ )N4( + - 2]



13. Xn = 500 + 0.95Xn-1 - Xn-10(0.95)10 สมมตวา n ≥ 10

14. 13 ป

15. Tn+1 = 0.007S + 0.93Tn

16. (a) Xn+1 = (1.09)Xn - W

(b) Xn = 2000(1.09)n - W[(1.09)n - 1]/0.09

(c) (1) ลดลงและจะตดเชอหลงจาก 27 ป

(2) เพมขน

(d) 514.18 บาท

17. Xn+1 = aYn - bXn + c, Yn+1 = dXn - eYn + f, (a,…,f > 0)

18. Pn+1 = Pn + aWn , Wn+1 = bWn - cPn , a, b, c > 0

19. In+1 = In - (x/100)In - (y/100)In + (z/100)Sn

Sn+1 = Sn - (z/100)Sn

Rn+1 = Rn + (y/100)In

20. (a) Sn+1 = Sn + Pn - Dn

(b) Pn+1 = αDn , Sn+1 = Sn + (1 - α)Pn

21. (a) In = Cn + Vn , Cn = a + bVn , Vn = c + dIn

(b) In = Cn + Vn , Cn = a + bVn , Vn = c + d(Cn - Cn-1)

22. Dn+1 = a - bPn+1 , Pn+1 = c - dSn

Sn+1 = e + fPn (a, …, f > 0)

23. B เปนผชนะในวนท 18 มทหารเหลออย 1398 คน

24. In = 2In-1 , Sn = Sn-1 - In , 24

25. n1n I

H5.01.05.09.0

IH

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

, [4594, 906]T , [4583, 917]T



26. n1n B

A9.02.01.08.0

BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

, (a) [42.48, 57.52], (b) [36.47, 65.53], (c) [33.33, 66.67]

27. (a) Pn+1 = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1.06.000008.000009.0005.11.0

Pn , (b) [1094, 856, 533, 304] , (c) ไมม

28. n1n

sgb

96.01.0004.085.03.0005.07.0

sgb

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

เขาส [0.04545, 0.2727, 0.6818]

29. Xn+1 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

8.09.00005.0200

Xn

(a) เรมตนดวย [0, 0, 6] หลงจาก 10 จะไดวา [80, 30, 54]

(b) ประชากรเจรญเตบโตโดยไมมขดจากด

30. (a) bonestissuesblood

10004.0097.001.00012.096.0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ (b) (1) [96, 1, 0.4] , (2) [75.4, 5.7, 2.5]

เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 5 1. (a) y = 2 + 0.5x , (b) ไมใช , (c) y = 100 – 0.1x ,

(d) y = 2.5x , (e) ไมใช , (f) y ∝ x 2. (b), (e), (f) และ (h) ดสกรต, (a), (c) และ (d) ตอเนอง แตสามารถสรางตวแบบดสกรต ได (g) และ (i) ดสกรต แตสามารถสรางตวแบบตอเนองได 3. 1.175(R + Cx) 4. D(ในหนวยลาน) = 10 – 0.5P 5. C – xS, S < (D + C)/31 6. y = S + Px/M 7. y = 1.5 + 0.01t , 11.00 น. วนพธ 8. 1.573 , 1.637 9. ซอ ถา R + S < H 10. S = 10P + 1000 , D = -20P + 2200 , P = 40 11. (a) A = 1500 – 100t , B = 2000 – 200t , (b) t > 5 , (c) B ท t = 10



12. (a) xA = tVA , xB = (t – M/60)VB (b) d = (VA – VB)t + MVB/60 (c) S/VA > S/VB + M/60 (d) D = 0 เมอ t = MVB/[60(VB – VA)]

13. สาหรบ 0 ≤ x ≤ 50 : B, สาหรบ 50 ≤ x ≤ 200 : C สาหรบ x > 200 : A 14. มคาตอบสองคาตอบทเปนไปได ขนอยกบการตความของปญหา คอ

⎩⎨⎧

>≤

=100 x9.5x 100 x 10

)(x

xc

หรอ

⎩⎨⎧

>+≤

=100 x 9.5x 50100 x 10

)(x

xc

15. ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤≤≤

=

7t6.5 80t -5606.5t5.570t -2805.5t0.5 600.5t0 120t

V

16. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤+≤≤≤≤+

=12t6 40195t

6t2 356-261t2t0 4063

)(t

th

17. 0 < h < 10 : T(h) = 290 – 6h p(h) = (290 – 6h)5.6 × 1.62 × 10-8

10 < h < 20 : T(h) = 230 p(h) = e-0.15h × 7.28 × 10-8

18. (a) y = 3x2 – 1, (b) y = x2 + x + 2, (c) ไมใช (d) y = 500 – 2x – x2, (e) y = x2 + 2

19. (a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤

=45t304t -18030t10 6010t0 6t

V

(b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤+≤≤+≤≤

=45t30 36002t-180t30t10 60t 30010t0 3

2

2tV

20. 2000t – 100t2 + 12500, เดอนท 21 21. N(r) = 4(24r – 4r2 + 9)/9 (หนวยพน)



(a) 12889 ก.ม./วนาท2 (b) 0.63 ก.ม. , 5.37 ก.ม. (c) 6.35 ก.ม. 22. กราฟเปน พาราโบลา ทมจดยอดคงท และมระยะหางกน L 23. S(t) = 10t (t + 5)/3, D(25) = 2500 24. 1000(V1 – V2)

2/L ก.ม./ช.ม.2

25. tutsstu /)}(2{ 22 −+ 26. (a) 10 – 0.5P, (b) 5 + 2Q – 0.25Q2 , (c) P = 12

27. ยอดขายรายวนในหนวยพน ⎩⎨⎧

≤≤≤≤+

=8t2 4/t-2t2t0 1

)( 2

ttS

28. (a) P(t) = 6000 + 800t, P(10) = 14000 (b) P(t) = 6000e0.102t , P(10) = 16639 หรอ P(t) = 6000 + 160t2, P(10) = 2200

29. (a) 4, (b) 6, (c) 3, (d) 1, (e) 2, (f) 5 36. A : (x + 4)216 B : 2 – (4 – x)2/16 C : 1 + x2/16 D : (4 – x)2/16 E : 1 – x2/16 38. (a) a = 1.5, b = 1, c = 2, (b) a = 1.5, b = 1, c ≈ 1.39 เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 6 1. (a) 2 sin(2πt/3), (b) 3 sin(4πt), (c) 4 sin(5t) 2. (a) π/10 วนาท (b) 1/20 Hz, (c) 200π เรเดยน/วนาท 3. (a) π/2, 6 (b) 2π/5, 4 (c) π, 8 (d) π/3, 2 4. (a) (3) (b) (3) (c) (1) 5. 240 sin(100πt + φ) 6. (a) 1, (b) 5, (c) 3, -7 8. ทก ๆ 720/x ชวโมง 9. (a) 132, (b) 84, (c) 59.2 10. 0.1 sin(2πt/5) ลตร/วนาท ความกวางและชวงเพมขน 11. (a) 0.5[H + L + (H – L) cos(πt/12)]

(a) 0.5 cos(πt/4380)[H0 + L0 + (H0 – L0) cos(πt/12)] 12. L{1 + 0.05 sin(2πt/365.25)} 13. 525 – 475 cos(πt/6)



14. A sin2(πt/6)exp(-0.1t)

15. ⎩⎨⎧

≤≤≤≤−

=30t3 25t -750

3t0 251000)(

ttA

17. 0.5T1T2/(T2 - T1) (บนดานตรงขามของดาว) 18. (a) a – b sin(πt/6), (b) 2846 19. (a) 2.46 เมตร, (b) 5.00 เมตร, (c) 9.19 น. 20. พระอาทตยตก : 5.92 – 0.32 sin(2πt/365) + 2.18 cos(2πt/365)

พระอาทตยขน : 18.16 + 0.47 sin(2πt/365) - 2.09 cos(2πt/365) 21. 5 + 2 sin(πt/12) 22. y = l + h – l cos( cos(2π )/( lg t)) 23. r sinΩt, 3r sin Ωt/(2 – cosΩt)

24. x(t) = a cos Ωt + })sin({ 222 tahb Ω+− 25. (a) a sin θ + b sin(θ - φ), a cos θ + b cos(θ - φ) เมอ θ = (π/9) cos(5πt/2)

(b) เหมอนกบ (a) เมอ φ = (5π/18) cos(5πt/2) 26. เรมจาก t = 0 เมอดาวดวงทมดกวาเรมทบดาวอกดวงหนง

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤++≤≤−−

≤≤≤≤−−

=

0100

10000

010

100

2/T 32/2/T /}cossin{3

2/T 3Tt0 /}cossin{43

TtTLTTtLL

TtLLL

Lπβββ

πααα

เมอ α = cos-1(1 – 2t/T1) และ β = cos-1(1 + T0/T1 – 2t/T1)

เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 7 1. 130 2. ประมาณ 34 3. (2.7)n 4. 2/ln(1 + I/100) 5. (a) 50,005 วนาท , (b) 63,214 วนาท 6. y = 3e-0.223t 7. ประมาณ 194 วน , 255 วน 8. (a) Hn+1 = Hn + (0.7)n+1, H0 = 1, (b) [10 – 7(0.7)n]/3,



(c) 10/3, (d) - ln 7/ ln(0.7) ≈ 5.45 วน 9. 1/(225 – n) สาหรบ 0 ≤ n ≤ 15, 1 + (n – 15)/25 สาหรบ 15 ≤ n ≤ 25 10. (a) Xn+1 = (19Xn + 100)/21

(b) Xn = 50[1 – (19/21)n], Yn =100 – Xn (c) Xn = Yn = 50

11. (X1 + X2)/(t1 + t2 + s/60) 12. (X1 – X2)/2 13. (b1 + b2 + m1 + m2 – d1 – d2 – l1 – l2)/2 14. (a) -8, (b) -4 15. (a) t3 (b) t3 (c) t3 (d) t1 (e) t1 (f) t1

(g) t3 (h) t2 (i) none (j) t1, t2, t3 (k) t1 (l) t1, t3 (m) t1 (n) t2

16. (a) รป (b) รป 17. (a) ปลายป 1988 (b) ปลายป 1989 (c) ปลายป 1992 (d) ปลายป 1993 18. (a) 0.23y – 1, (b) 0.2973y – 1 19. 0.036 (คาทแทจรง 0.036072048) 20. –4 ตอวน 21. (a) f1 (by 1,000), (b) f2 (by a factor of 8) 22. (a) 5125, (b) 1125, (c) สปดาหท 10, (d) สปดาหท 30 23. (a) 10, (b) 2.6 (c) 45.95 วน (d) 1000 24. 2p% 25. ±8.4 ตารงเซนตเมตร, ± 28 ตารงเซนตเมตร 26. (3p + 2.4q)% 27. 0.5943a + 0.25104s นว 28. b > fT , {V + bINT[V/(fT – b)]}/f 29. (a) 2bx, (b) (1) ax + by, (2) 2(a + b) 30. 0.0079577 เมตรตอวนาท 31. (a) 1/(1 – s/100), (b) 50 เมตรตอช.ม. 32. 0.3 ลกบาศกเซนตเมตรตอนาท 33. (a) 5.227 × 10-9 m3s-1 (b) 0.1695 kgm-3s-1



34. (a) 0.002546 ms-1, (b) 0.008 m2s-1 35. (a) 2πrk, (b) c/2πr 36. (a) 0.0079577 ms-1, (b) 0.2 m2s-1, (c) 0.00079577 ms-1 37. 2πkb 38. (a) 2πh sin α/ cos2α , (b) 2πh tan2 α, (c) 2b tanα, (d) πh2b tan α 39. (a) (3f – kh)/A, (b) (3f – Ac)/h 40. –125.66 cm3s-1 41. 0.872 m2yr-1 42. 9.9 ms-1 43. abT2/2(a + b) 44. H – 0.5g[(H – h)/U]2 46. (a) 250 m3, (b) 5 m3s-1, (c) 0.1 mm min-1 เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 8 1. (a) h’ = kh, (b) x’ = kx, (c) v’ = kv 2. (a) z’ = 4z – 10, (b) z’ = 6z – z2 – 5, (c) z’ = 2 cos(3z – 9 + t) 3. y’ = [5 + 2.5 sin(5t/12)]/6 4. P’ = at – bP 5. M’ = k(M – n) 6. W’ = -aU – bU’ + cR’ (a, b, c > 0) 7. (c) 8. m’ = km2/3 9. V’ = 0.5A[r0 + r1 + (r1 – r0)cos(πt/182.5)] – f

h’ = r0 + (r1 – r0)sin(πt/182.5) – f/[π(2Rh – h2)] 10. (b) 11. (a) A, (b) E, (c) F 12. (a) D, (b) A, (c) C, (d) B 13. (a) h’ = (f - A )2( gh )/(πh2tan2α) (b) A )2( gh 14. h’ = a sin(πt/12 + b) – ch (t มหนวยเปน ช.ม.)



15. N’ = aN – (bt + c)N 16. s1’ = ks1s2 , s2’ = -ks1s2 (หรอ s1 + s2 = 1) 17. h’ = f/πh2tan2α) – k 18. V1’ = f1 – f2 , V2’ = f2 + f4 – f3 , V3’ = f3 – f4 – f1 19. (a) r’ = at/r , (b) r’ = b , (c) r’ = c/r3

(a) r = )( 220 arr + , (b) r = r0 + bt , (c) r = (r0

4 + 4ct)1/4 20. (a) 400, (b) 1600 21. t1ln 2/(ln N1 – ln N0) 22. (a) 72.97%, (b) 73.08 ป 23. (a) 5.91%, (b) 113.78 นาท 24. (a) a = 1.05, b = 0, (b) a = 0.04879, (c) 4.21 ป 25. (a) P’ = -2000, (b) P’ = -0.0943106P

(a) 15,000 (b) 15,825(0.913 × 21,000) 26. ประมาณ 13,000 ป 27. Ah’ = f1 – f2 , 2.3 เมตร 28. (a) (1) (a0

3 – kt)1/3, (2) a03/k

(b) (1) a0 – 2kt, (2) a0/2k (c) (1) a0e

-kt/3, (2) ∞ 29. Q0P

-3 30. r0 – kt, r0/k 31. 29 oC 32. (a) 17.19 น. (b) ± 0.5 oC (เวลา ± 4 นาท) 33. แดง 34. 6 oC 35. McT’ = -hA(T – Tout) เมอ T > 2 หรอ T’ > 0

McT’ = Q – hA(T – Tout) เมอ T > 1 และ T’ > 0 (เมอ Tout = 0.5[max + min – (max - min) cos(πt/12 × 60 × 60)] , t = 0 : เวลาเทยงคน)

37. dI/dx = kIx, 1.513 ซ.ม. 38. B’ = (1 – B/5}000)f, A’ = -B’, 11,513 เมตร3 39. 223 นาท, 2302.6 นาท



40. (a) 0.0195%, (b) 300 ln 3 ≈ 330 นาท 41. (a) m’ + 0.0005 เมตร = 0.001, m(t) = 2 + e-0.0005t

(b) m’ = 0.002 – 0.001m/(2 + 0.001t), m(t) = (6,000 + 4t + 0.001t2)/(2,000 + t)

(c) m(1,000) = 323 กโลกรม

42. (a) 4, (b) 3, (c) 2 43. (a) A(t) = 1000[1 – 0.5e-0.1t]-1

B(t) = 2000[1 + 1.5e-0.2t]-1 (b) no t, all t (c) all t, no t (d) all t, t < 13.54 (e) no t, t > 13.54 (a) t < 12.34 (b) A → 1000 B → 200

A’ = 0.1A – 0.0001A2 – 50A/(A + B) B’ = 0.2B – 0.0001B2 – 50B/(A + B)

44. N’ = kn(M – n), n(t) = (0.1 + 9999.9e-2.3t)-1, ประมาณ 6 วน 45. (a) 78.49 เมตร (b) 78.88 เมตร

(c) 76.27 เมตร (d) 78.480312 เมตร 0.5%, 3%, 0.004%

46. 1 + 2 47. r/h < 32/9π2 48. (a) X = 7906 (b) 5.82 h (c) Y > 8165 (d) > 4570 49. (a) C2’ = f1(C1 – C2)/[V0 + (f1 – f2)]

(b) Ah1’ = -a )2( 1gh , Ah2’ = a )()2( 21 hhg − , C2’ = a )2( 1gh (C1 – C2)/Ah2

50. (a) Tf’ = (Tr – Tf), (b) Tr’ = - α(Tr – Tf) – β(Tr – Tout) 51. V1’ = -F1 – F2 V2’ = F1 – F3, V3’ = F2 + F3 – F4

C1’ = 0 (C2V2)’ = F1C1 – F3C2, (C3V3)’ = F3C2 + F2C1 – F2C3 52. (a) x’ = (y – x)f/V, y’ = (x – y)f/V



(b) x = 0.5x0[1 + e-2t], y = 0.5x0[1 – e-2t], x → y → 0.5x0 (c) (1) f2 +f3 = f1 +f2 + f4 x = (-f1x + f2y)/V, y’ = (f1x – f2y – f4y)/V (2) x’ = -f1x/Vx + f2y/Vy, y’ = f1x/Vx – f2y/Vy – f4y/Vy Vx’ = f3 + f2 – f1, Vy’ = f1 – f2 – f4 (or Vx = V0 + (f3 + f2 + f1)t, Vy = V0 + (f1 – f2 – f4)t)

53. a’ = -k1ab – k2ac + k3bd, b’ = -k1ab – k3bd c’ = k1ab – k2ac, d’ = k2ac – k3bd

54. (a) I’ = aIS, I + S = N (b) I’ = aIS – bI, I + S = N (c) I’ = aIS – bI, R’ = bI, I + R + S = N

55. I’ = kI(1000 – I) ⇒ I(t) = 1000/[1 + 999e-0.4623t] (a) 912, (b) 25 วน (c) I' = KIS – 0.2I S’ = -KIS, R’ = 0.2I

เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 9 1. v(t) = v0 + 0.1t, r(t) = {(3/4π)(v0 + 0.1t}1/3 2. 8750 ฟต 3. v(t) = (1 – 0.1t)3

4. 11 (= ∫12

9

)(31 dttN )

5. 100,000(1 + t +t2 – t3/12) 6. ab Vmax/2 7. 2dwL/3

8. ⎩⎨⎧

≤≤≤≤−

=8t5.75 43)/16-(8t

5.75t5 3/)5()(2ttd

1.31 ซ.ม. 9. (a) 15,000 (b) 1,500 (c) 5 (d) 4 10. S(t) = 10t2/3 – 50t/3, T(t) = 10t3/9 + 25t2/3 11. 2πka 12. 1,000(t2/2 + t + 1) 0 ≤ t ≤ 2

1,000(t2 – t3/12 + 5/3) 2 ≤ t ≤ 8



13. (a) 56,550 (b) 14,468 14. (a) 2 )/( ba (b) πa2/2b 15. 33,600 บาท 16. (a) (1) πρ0R

2/3 (2) πρ0R2/4

(b) (1) 50% (2) 43.75% 17. (a) 8,000π (8r3 – r4 + 9r)/9, (b) 631,111, (c) 886,987 18. [1 – e-kb]aN0 19. (a) πa/b (b) 100{1 – exp(-bx2)}, (c) )/2(ln b 20. (a) (1) 2aN0/3 (2) N0/b

(b) (1) 3a/8 (2) 1/b (c) (1) M – M3/3a2 = a/3, (2) M = ln 2/b (d) (1) 100{1 – 97.5/a + 137,312.5/a3}, (2) 100e-65a

21. 8 กโลกรม

22. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤

=10t8.75 32t -320

8.75t0.75 400.75t0 3/160

)(t

tV

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤≤≤≤≤

=10t8.75 62/3-/154t-16t/3

8.75t0.75 1/4-2t/30.75t0 9/4

)(2

2ttS

เฉลยคาตอบ แบบฝกหดบทท 10 1. (a) Q (b) C (หรอ D ถาเปนวนเกด) (c) C (d) D (e) Q (f) Q (g) C 2. (a) DDDWDWD (b) DDWWDDD เมอ D : แทนฝนไมตก, W : แทนฝนตก 3. SRS เมอ S : แทนตรง R : แทนเลยวขวา 5. +2 6. 0, 4, 0, 0, 2 7. (a) 0.3, 0.3, (b) 28 8. NS4, NS2, S2 9. (a) 2 คน (b) ผหญงทงค (c) ตาสฟาหนงคน, ตาสนาตาลหนงคน



10. 2 : 2 11. 5 คน 12. –300 13. (b) และ (d) [(a) ผลรวมของความนาจะเปนไมเทากบ 1, (c) f ไมมากกวา 0 สาหรบ

ทกคา x ท 0 < x < 1 ] 15. k = 1/16, (a) (8 RND)2/3, (b) 2.772, 3.936, 2.603 16. 9:01:39, 9:01:43, 9:03:39 17. (a) 11 18. A ชนะ 3-1 ไดประตดงน นาทท 25 (B), นาทท 54 (A), นาทท 59 (A), นาทท 78 (A) 19. 1

ตัวแบบเช ิงคณิตศาสตรhome.npru.ac.th/teerawat/pdf/math3.pdf ·...

Documents