แคลคูลัส 1 - home.npru.ac.thhome.npru.ac.th/teerawat/pdf/calculus.pdf ·...

แคลคลส 1

รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบตร

มหาวทยาลยราชภฏนครปฐม

คานา แคลคลส 1 เลมนเขยนเพอใชในการเรยนการสอนรายวชา แคลคลส 1 ตามหลกสตรระดบปรญญาตร มหาวทยาลยราชภฏนครปฐม เนอหาสวนใหญกลาวถง เรขาคณตวเคราะห และแคลคลส ในสวนของ เสนตรง วงกลม วงร พาราโบลา ไฮเปอรโบลา ฟงกชนตอเนอง การหาอนพนธ และการประยกตของอนพนธ ซงเหมาะกบการเรยนการสอนในหนงภาคการศกษา ผเขยนหวงเปนอยางยงวา แคลคลส 1 เลมน คงเปนประโยชนกบนกศกษาและผสนใจ หากมขอเสนอแนะอนเปนประโยชนตอการปรบปรง แคลคลส 1 เลมน ในครงตอไป ผเขยน ขอนอมรบและขอขอบคณลวงหนา

(รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบตร) 20 พฤษภาคม 2549

สารบญ หนา

บทท 1 เสนตรง 1 โปรเจกชน 1 ระยะระหวางจดสองจด 2

การแบงสวนของเสนตรง 6 ความชนของเสนตรง 9 เสนขนานและเสนตงฉาก 13 สมการของเสนตรง 17 สมการของเสนตรงแบบจดสองจด 18 สมการของเสนตรงแบบความชนและจดตดแกน 18 สมการของเสนตรงแบบจดตดแกน 19 สมการของเสนตรงแบบนอรมล 23 ระยะระหวางจดและเสนตรง 27 ระบบของเสนตรง 30

บทท 2 วงกลม 33 บทท 3 ภาคตดกรวย 39 พาราโบลา 41 วงร 50 ไฮเปอรโบลา 61 บทท 4 ลมตของฟงกชน 75 บทท 5 ความตอเนอง 87 บทท 6 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต 97 บทท 7 การหาอนพนธของฟงกชนอดศย 109 ฟงกชนตรโกณ 109 ฟงกชนอนเวอรตรโกณ 120 ฟงกชนเลขยกกาลงและฟงกชนลอการธมค 129 บทท 8 การประยกตอนพนธ 137 การหาคาสงสกและคาตาสด 137 การหาคาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณ 144 การนาคาสงสดและคาตาสดไปใช 145 บรรณานกรม 151

เสนตรง 1

แคลคลส 1 รศ.ธ รว ฒน นาคะบ ตร

บทท 1 เสนตรง (Straight Line)

โปรเจกชน (Projections) นยาม 1.1 ให P เปนจด และ L เปนเสนตรงบนระนาบ โปรเจกชนของจด P บนเสนตรง L

ซงเขยนสญลกษณแทนวา P’ คอจดตดของเสนตรง L กบเสนตรงทลากจากจด P ไป ตงฉากกบเสนตรง L

รปท 1.1 ถาจด P อยบนเสนตรง L โปรเจกชนของจด P บนเสนตรง L คอจด P’ ตวอยาง 1.1 รปท 1.2 โปรเจกชนของจด (2,3) บนแกน x คอ (2,0) โปรเจกชนของจด (2,3) บนแกน y คอ (0,3) โปรเจกชนของจด (-3,-1) บนแกน x คอ (-3,0)

L

P'

P

(-3,-1)

(2,3)

2 เสนตรง


o

y

xP'2P'1

P2(x2,y2)P1(x1,y1)

o

y

x

P'2

P'1

P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

โปรเจกชนของจด (-3,-1) บนแกน y คอ (0,-1) โปรเจกชนของจด (x,y) บนแกน x คอ (x,0) โปรเจกชนของจด (x,y) บนแกน y คอ (0,y) นยาม 1.2 ให P1P2 เปนสวนของเสนตรง และ L เปนเสนตรงบนระนาบ โปรเจกชนของสวน

ของเสนตรง P1P2 บนเสนตรง L คอสวนของเสนตรง P’1P’2 โดยท P’1 และ P’2 เปนโปรเจกชนของ P1 และ P2 บนเสนตรงตามลาดบ

รปท 1.3 ระยะระหวางจดสองจด ให P1 และ P2 เปนจดบนเสนจานวนจรง ทมพกดเปน x1 และ x2 ตามลาดบ ระยะระหวางจด P1 และ P2 ซงเขยนแทนดวยสญลกษณวา |P1P2| จะเทากบคาสมบรณของ x1 – x2 นนคอ |P1P2| = |x1 –x2| ให P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เปนจดบนระนาบ เราจะพจารณาระยะระหวาง P1 และ P2 ดงน

รปท 1.4 รปท 1.5

L

P'2

P'1

P2

P1



o

y

x

Q(x2,y1)

P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

1. ถา P1P2 ขนานกบแกน x แลว y1 = y2 โปรเจกชนของ P1 และ P2 บนแกน x คอ P’1(x1,0) และ P’2(x2,0) ตามลาดบ จากรปท 1.4 จะเหนวา P1P2 และ P’1P’2 เปนดานตรงขามของสเหลยมมมฉาก เพราะฉะนน |P1P2| = |P’1P’2| = |x1 – x2| 2. ในทานองเดยวกน ถา P1P2 ขนานกบแกน y แลว x1 = x2 โปรเจกชนของ P1 และ P2 บนแกน y คอ P’1(0,y1) และ P’2(0,y2) ตามลาดบ จากรปท 1.5 จะเหนวา |P1P2| = |P’1P’2| = |y1 – y2| 3. ถา P1P2 ไมขนานกบแกน x และไมขนานกบแกน y รปท 1.6

ลากเสน P1Q และ P2Q ใหขนานกบแกน x และแกน y ตามลาดบ ตดกนทจด Q ดงนน Q จะมพกดเปน (x2,y1) และ P1QP2 เปนสามเหลยมทมมม P1QP2 เปนมมฉาก

จากทฤษฎบทพธากอรส (Pythagorean Theorem) จะไดวา 22

2121 |QP||QP| |PP| +=

221

221 |yy||xx| −+−=

221

221 )yy()xx( −+−=

ขอสงเกต ในกรณท P1P2 ขนานกบแกน x หรอแกน y สตรขางบนนกเปนจรง

ทงนเพราะวา 2a = |a| ทฤษฎบท 1.1 ถา P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เปนจดบนระนาบ ระยะระหวางจด P1 และ

P2 คอ

|P1P2| = 221

221 )yy()xx( −+−



ตวอยาง 1.2 จงหาระยะระหวางจด P1(2,-1) และ P2(-1,3)

วธทา |P1P2| = 22 )31())1(2( −−+−− = 169+ = 25 = 5 ตวอยาง 1.3 จงแสดงใหเหนวา จด A(-7,6) , B(3,2) และ C(5,7) เปนจดมมของ

สามเหลยมมมฉาก และหาพนทของสามเหลยม

วธทา |AB| = 22 )26()37( −+−− = 116

|BC| = 22 )72()53( −+− = 29

|CA| = 22 )67()75( −++ = 145 |AB|2 + |BC|2 = |CA|2

หรอ 116 + 29 = 145 ดงนน ABC จะเปนสามเหลยมมมฉาก และมพนทเทากบ

21

|AB||BC| = 21

116 . 29 = 29 ตารางหนวย

ตวอยาง 1.4 จงแสดงใหเหนวาจด A(-2,-3) , B(2,5) และ C(4,9) เปนจดทอยบน

เสนตรงเดยวกน

วธทา |AB| = 22 )53()22( −−+−− = 54

|BC| = 22 )95()42( −+− = 52

|CA| = 22 )93()42( −−+−− = 56 |AB| + |BC| = |CA|

หรอ 54 + 52 = 56 ดงนน จดทงสามจะอยในแนวเสนตรงเดยวกน



แบบฝกหด 1.1 1. จงหาโปรเจกชนของจดตอไปน ก. บนแกน x ข. บนแกน y (4,2), (-3,5), (2,-4), (-3,-1), (0,2), (1,0) 2. จงหาระยะระหวางจดแตละคตอไปน

2.1 (-7,4), (1,-4) 2.2 (2,6), (2,-2) 2.3 (5,2), (0,0) 2.4 (4,1), (3,-2) 2.5 (5,7), (1,-3) 2.6 (-1,-5), (2,-3)

3. จงหาระยะระหวาง (-2,-3) กบแกน x 4. จงใชทฤษฎบทพธากอรส แสดงใหเหนวาจดสามจดตอไปนเปนจดมมของ สามเหลยมมมฉาก และจงหาพนทของสามเหลยม 4.1 (0,9), (-4,-1), (3,2) 4.2 (3,-2), (-2,3), (4,0) 4.3 (18,6), (-4,10), (2,-2) 4.4 (-1,-1), (1,1), (4,-2) 5. จงแสดงใหเหนวาจดสามจดตอไปน เปนจดมมของสามเหลยมหนาจว 5.1 (5,1), (2,4), (6,5) 5.2 (6,7), (-2,-7), (-8,-1) 5.3 (-2,2), (-1,-3), (6,1) 5.4 (2,-2), (6,6), (-2,2) 6. จงหาระยะระหวางจดตอไปน และแสดงใหเหนวาจดทงสามอยบนเสนตรงเดยวกน 6.1 (4,0), (-2,3), (8,-2) 6.2 (3,1), (7,3), (-3,-2) 6.3 (-1,-10), (1,-6), (3,-2) 6.4 (1,2), (4,-4), (-3,10) 7. จงหาจดทมพกดท 1 เปน 3 และหางจากจด (-3,6) เปนระยะ 10 หนวย 8. จงพสจนวา จด (x,y) อยหางจากจด (1,3) และ (6,9) เปนระยะทางเทากน กตอเมอ (x,y) สอดคลองกบสมการ 10x + 12y = 107 9. จงหาความยาวของรศมของวงกลมทมศนยกลางอยทจด (8,6) และผานจด (4,3) 10. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจด (3,4) และมแกน y เปนเสนสมผส จงหาจดสมผส


แคลคลส 1 รศ.ธรวฒน นาคะบตร

การแบงสวนของเสนตรง นยาม 1.3 ให P เปนจดแบงสวนของเสนตรง AB ถา P อยภายในสวนของเสนตรง AB

เราจะเรยก P วาจดแบงภายใน AB ถา P อยภายนอกสวนของเสนตรง AB เราจะเรยก P วา จดแบงภายนอก AB

นยาม 1.4 ให A และ B เปนจดบนเสนจานวนจรงทมพกดเปน x1 และ x2 ตามลาดบ ระยะทางทมทศทาง (directed distance) จาก A ไปยง B ซงเขยนแทนดวย AB มคาเทากบ x2 – x1

นนคอ AB = x2 – x1 และ BA = x1 – x2 = -( x2 – x1) = - AB

ในทานองเดยวกน ถา A และ B เปนจดบนระนาบ และถา AB เปนระยะทางทมทศทางเปนบวกจาก A ไปยง B แลว BA จะเปนระยะทางทมทศทางเปนลบ นนคอ AB = - BA ถา P เปนจดแบงภายใน AB จะไดวา AP/PB > 0 ถา P เปนจดแบงภายนอก AB จะไดวา AP/PB < 0 ให A(x1,y1) และ B(x2,y2) เปนจดบนระนาบ และให P(x,y) เปนจดแบงสวนของเสนตรง AB ออกเปนสดสวนดงน AP/PB = r ( r เรยกวาอตราสวนของการแบง) r > 0 เมอ P เปนจดแบงภายใน (รปท 1.7) r < 0 เมอ P เปนจดแบงภายนอก (รปท 1.8) รปท 1.7 รปท 1.8

C

0

y

xSA

T

BP

C0

y

xA

T

B

P



ลากเสน AC และ BC ขนานกบแกน x และแกน y ตามลาดบตดกนทจด C ลาก PS และ PT ไปตงฉากกบ AC และ BC (หรอสวนตอ)ท S และ T ตามลาดบ ในสามเหลยมคลาย ASP และ PTB จะไดวา

r = PB

AP = PT

AS

เพราะวา AS = x – x1 และ PT = x2 – x เพราะฉะนน

r = xx

xx

2

1

−− หรอ x =

r1rxx 21

++

ในทานองเดยวกนจากสามเหลยมคลาย ASP และ PTB จะไดวา

r = PB

AP = TB

SP

เพราะวา SP = y – y1 และ TB = y2 – y เพราะฉะนน

r = yy

yy

2

1

−− หรอ y =

r1ryy 21

++

นนคอ (r1rxx 21

++ ,

r1ryy 21

++ ) เปนจดทแบง AB ออกเปนอตราสวน r

ถา P เปนจดกงกลางของ AB แลว r = 1

เพราะฉะนน (2

xx 21 + ,2

yy 21 + ) จะเปนจดกงกลางของ AB

ตวอยาง 1.5 จงหาพกดของจด P ทแบง สวนของเสนตรงจากจด A(-1,-3)

ไปยงจด B(2,6) ออกเปน ก. อตราสวน PB

AP = -25 ข. สองสวนเทา ๆ กน

ก. x = r1rxx 21

++ =

)25(1

2)25()1(

−+

−+− = 4

y = r1ryy 21

++ =

)25(1

6)25()3(

−+

−+− = 12

พกดของจด P คอ (4,12) ข. ถา P เปนจดกงกลางของ AB

x = 2

xx 21 + = 2

21+− = 21

y = 2

yy 21 + = 2

63+− = 23

เพราะฉะนน จดกงกลางของ AB คอ (23,

21 )



แบบฝกหด 1.2 ขอ 1. ถง ขอ 5. จงหาจด P ทแบงสวนของเสนตรงจากจด A ไปยงจด B

ออกเปนสดสวน PBAP = r ตามทกาหนดให และจงหาจด Q ทเปนจดกงกลางของสวน

ของเสนตรง AB ตอไปน

1. A(1,-4), B(6,2), r = -21

2. A(-4,3), B(1,-2), r = -83

3. A(-5,2), B(1,4), r = - 35

4. A(7,1), B(-3,6), r = 32

5. A(4,-3), B(1,4), r = 2 6. ถา (9,2) เปนจดแบงสวนของเสนตรงจากจด A(6,8) ถงจด B(x,y)

ออกเปนสดสวน PB

AP = 73 จงหาพกดของจด B

7. จงหาพกดของจดกงกลางของดานทงสามของสามเหลยมทมจดมมเปน (-2,1), (5,2) และ (2,-3)



ความชนของเสนตรง (Slope of a Line) นยาม 1.5 มมเอยง (inclination) ของเสนตรง L ทไมขนานกบแกน x คอมมบวก (วดทวน

เขมนาฬกา) ทเลกทสดทวดจากแกน x ทางดานบวกไปยงเสนตรง L ถา L ขนานกบ

แกน x ใหมมเอยงของเสนตรง L เทากบ 0 มมเอยง α จะมคาสอดคลองกบ

0 ≤ α < 180 รปท 1.9 รปท 1.10 นยาม 1.6 ความชน (slope) ของเสนตรง L ซงเขยนสญลกษณแทนวา m

นยามดงน m = tan α เมอ α เปนมมเอยงของเสนตรง L และ α ≠ 90

ขอสงเกต 1. ความชนไมนยามเมอ α = 90 นนคอ เสนตรงทขนานกบแกน y จะไมกลาวถงความชน (ไมนยาม)

2. ความชนของเสนตรงทขนานกบแกน x มคาเทากบ 0 ทฤษฎบท 1.2 ถา L เปนเสนตรงทผานจด A(x1,y1) และ B(x2,y2) โดยท

x1 ≠ x2 แลว ความชนของ L = m = 21

21

xxyy

−−

พสจน ให α เปนมมเอยงของเสนตรง L

กรณท 1 ถา α = 0 แลว เสนตรง L ขนานกบแกน x ทาให y1 = y2

m = tan 0 = 0 = 21 xx

0−

= 21

21

xxyy

−−

กรณท 2 ถา 0 < α < 90 ถา y2 > y1 แลว x2 > x1 ดงรปท 1.11

0

y

xα

L

0

y

x

α

L



C(x2,y1)A(x1,y1)

0

y

x

B(x2,y2)

α

L

β

C(x2,y1) A(x1,y1)

0

y

x

B (x2,y2)

α

รปท 1.11 รปท 1.12

m = tan α = |AC||BC| =

)xx()yy(

21

21

−−−− =

21

21

xxyy

−−

ถา y1 > y2 แลว x1 > x2 ดงรปท 1.12

m = tan α = |BC||AC| =

21

21

xxyy

−−

กรณท 3 ถา 90 < α < 180 ถา y1 > y2 แลว x2 > x1 ดงรปท 1.13 รปท 1.13 รปท 1.14

m = tan α = tan (π - β) = - tan β = - |BC||AC|

= -12

21

xxyy

−− =

21

21

xxyy

−−

ถา y2 > y1 แลว x1 > x2 ดงรปท 1.14

m = tan α = tan (π - β) = - tan β = - |AC||BC|

= -12

21

xxyy

−− =

21

21

xxyy

−−

C(x1,y2)

A(x1,y1)

0

y

xB(x2,y2)

α

β

C(x1,y2)

A(x1,y1)

0

y

xB(x2,y2)

α



ตวอยาง 1.6 จงหาความชนและมมเอยงของสวนของเสนตรงทผานจด (4,3) และ (2,1) วธทา จาก ทฤษฎบท 1.2 ให (x1,y1) = (4,3) ; (x2,y2) = (2,1)

ความชน = m = 2413

−− = 1

เพราะวา tan α = m = 1 เพราะฉะนน α = 45 ถาตองการลากเสนตรงผานจด (x0,y0) และมความชน m = a/b นอกจากวธการคานวณหาจดอกจดหนงบนเสนตรงเสนนแลว เราอาจจะลากเสนตรงนไดเลยโดยพจารณาจากความชน ดงน 1. ถา m = 0 เสนตรงนนขนานกบแกน x 2. ถา m > 0 แลว (a > 0 และ b > 0) หรอ (a < 0 และ b < 0) 3. ถา m < 0 แลว (a > 0 และ b < 0) หรอ (a < 0 และ b > 0) สาหรบกรณท 2 และ 3 เราสามารถลากเสนตรงทตองการไดดงน จากจด (x0,y0) ลากเสนขนานกบแกน x ไปทางขวา (ถา b > 0 ) หรอทางซาย (ถา b < 0) |b| หนวยถงจด M จากจด M ลากเสนขนานกบแกน y ขนดานบน (ถา a > 0) หรอลงดานลาง (ถา a < 0) |a| หนวยถงจด N เสนตรงทผานจด (x0,y0) และ N จะเปนเสนตรงทตองการ ตวอยาง 1.6 จงลากเสนตรงทผานจด (3,4) และมความชน 1/2 วธทาท 1 ให (x,y) เปนจดอกจดหนงบนเสนตรงเสนน

จาก ทฤษฎบท 1.2 m = 21

21

xxyy

−−

21 =

3x4y

−−

จากสมการจะเหนวาคา (x,y) ทสอดคลองกบสมการมมากมาย ถาให y = 2 แทนคาในสมการ จะไดคา x = -1 เพราะฉะนน (-1,2) จะเปนอกจดหนงบนเสนตรงน ลากเสนตรงผาน (-1,2) และ (3,4) จะไดเสนตรงตามตองการ วธทาท 2 จากจด (3,4) ลากเสนตรงขนานกบแกน x ไปทางขวา 2 หนวย ถงจด M จากจด M ลากเสนตรงขนานกบแกน y ขนไปทางดานบน 1 หนวยถงจด N ลากเสนตรงผานจด (3,4) และ N จะไดเสนตรงตามตองการ



แบบฝกหด 1.3 จงหาความชน และมมเอยงของสวนของเสนตรงทผานจดสองจดทกาหนดให 1. (0,5), (-6,1) 2. (4,6), (1,3) 3. (2,4), (-2,4) 4. (2,/3), (1,0) จงลากเสนตรงผานจด และมความชนตามทกาหนดให 5. (-2,8), m =

43 6. (5,2), m = -

21

7. (6,-4), m = 0 8. (1,3), m = -2



x

y

α2α1

L2 L1

เสนขนานและเสนตงฉาก (Parallel and Perpedicular Lines) นยาม 1.7 เสนตรงสองเสนบนระนาบจะขนานกน กตอเมอ ความชนของเสนตรงทง

สองเสนเทากน สจพจน ถาเสนตรงสองเสนขนานกน และมจดรวมกนอยหนงจดแลวเสนตรงทงสอง

จะเปนเสนตรงเดยวกน ตวอยาง 1.7 กาหนดให L1 เปนเสนตรงทผานจด (4,5), (1,2)

L2 เปนเสนตรงทผานจด (7,8), (4,5) L3 เปนเสนตรงทผานจด (-4,1), (-1,4)

และให m1, m2 และ m3 เปนความชนของ L1, L2 และ L3 ตามลาดบ m1 =

1425

−− = 1

m2 = 4758

−− = 1

m3 = 14

41−−

− = 1

L1, L2 และ L3 จะขนานกน นอกจากนน L1 และ L2 ยงเปนเสนตรงเสนเดยวกน ทงนเพราะวามจด (4,5) เปนจดรวม เพราะวาแกน x ตงฉากกบแกน y เพราะฉะนนเสนตรงใด ๆ ทขนานกบแกน x (มความชนเทากบ 0 ) จะตงฉากกบเสนตรงทขนานกบแกน y (ไมนยามความชน) ทฤษฎบท 1.3 เสนตรงสองเสนไมขนานกบแกน x และไมขนานกบแกน y จะตงฉากซงกน

และกน กตอเมอ ผลคณของความชนของเสนตรงทงสองเทากบ -1

พสจน ให m1, m2 เปนความชนของเสนตรง L1 และ L2 ตามลาดบ m1 ≠ 0 และ

m2 ≠ 0 ให α1 และ α2 เปนมมเอยงของ L1 และ L2 ตามลาดบ ตอนท 1 ถา L1 และ L2 ตงฉากซงกนและกนจะตองพสจนวา m1m2 = -1

กรณท 1 ถา m1 > 0 (ดงรปท 1.15) แลว

α2 = 90 + α1 ,

tan α2 = tan (90 + α1) ,

m2 = - cot α1 = - 1/tan α1 = - 1/m1 หรอ m1m2 = -1

รปท 1.15



x

y

L1 L2

α1α2

กรณท 2 ถา m1 < 0 (ดงรปท 1.16) แลว

α1 = 90 + α2 ,

tan α1 = tan (90 + α2) ,

m1 = - cot α2 = - 1/tan α2 = - 1/m2 หรอ m1m2 = -1

รปท 1.16 ตอนท 2 ถา m1m2 = -1 แลวจะตองพสจนวา L1 และ L2 ตงฉากซงกนและกน m1m2 = -1 เปนไปไดสองกรณ คอ กรณท 1 ถา m1 > 0 และ m2 < 0

0 < α1 < 90 และ 90 < α2 < 180

เนองจาก m1 = -1/m2 เพราะฉะนน tan α1 = - 1/ tan α2 = tan (90 + α2)

tan (180 + α1) = tan (90 + α2)

180 < 180 + α1 < 270 , 180 < 90 + α2 < 270

180 + α1 = 90 + α2

90 + α1 = α2 นนคอ L1 ตงฉากกบ L2

กรณท 2 ถา m1 < 0 และ m2 > 0

พสจนทานองเดยวกบกรณท 1 จะไดวา 90 + α1 = α2 L1 ตงฉากกบ L2 ตวอยาง 1.8 จงแสดงใหเหนวา จด A(8,6), B(4,8) และ C(2,4) เปนจดยอดของ

สามเหลยมมมฉาก วธทา ความชนของ AB = m1 =

4886

−− = -

21

ความชนของ BC = m2 = 2448

−− = 2

เพราะฉะนน m1m2 = -1 นนแสดงใหเหนวา ABC เปนสามเหลยมทมมม ABC เปนมมฉาก



θ

L1L2

α1 α2

y

x

π -θ

x

y

α2 α1

L2L1θ

c

b a

C

BA

y

x

นยาม 1.8 ให L1 และ L2 เปนเสนตรงทไมขนานกน และตดกนทจด P เรา จะเรยกมมบวก (วดทวนเขมนาฬกา) ทจด P วดจาก L1 ไปยง L2 วา “มมระหวาง L1 ไปยง L2 ”

สมมตให L1 และ L2 เปนเสนตรงทไมขนานกบแกน x และไมขนานกบแกน y และไมตงฉากซงกนและกน ใหมความชนเทากบ m1 และ m2 มมมเอยงเทากบ α1 และ α2 ตามลาดบ ตดกนทจด P ให θ เปนมมระหวาง L1 ไปยง L2 เราสามารถหาคามม θ ไดดงน กรณท 1. ถา α1 < α2 (จากรปท 1.17) α2 = α1 + θ หรอ θ = α2 - α1 tan θ = tan (α2 - α1)

= 12

12

tantan1tantan

αα+α−α

= 21

12

mm1mm

+−

รปท 1.17 กรณท 2. ถา α2 < α1 (จากรปท 1.18)

α1 = α2 + (π - θ) หรอ π - θ = α1 - α2

tan (π -θ) = tan (α1 - α2)

= 21

21

tantan1tantan

αα+α−α

= 21

21

mm1mm

+−

รปท 1.18 ตวอยาง 1.9 จงหาขนาดของมมภายในของรปสามเหลยมทม A(-2,1), B(3,2) และ C(1,5)

เปนจดมม วธทา ให ma, mb, mc เปนความชนของ BC, CA และ AB ตามลาดบ

ma = 1352

−− = -

23

mb = 2115

+− =

34

mc = 32

21−−− =

51

tan A = cb

cb

mm1mm

+− =

51

341

51

34

+

− =

1917

รปท 1.19



tan B = ac

ac

mm1mm

+− =

23

511

23

51

−

+ =

717

tan C = ba

ba

mm1mm

+− =

34

231

34

23

−

−− =

617

A = tan-1 1917 , B = tan-1

717 , C = tan-1

617

แบบฝกหด 1.4 จดสามจดทกาหนดใหตอไปน ขอใดเปนจดทอยในแนวเสนตรงเดยวกน (ใหแสดงโดยใชความชน) 1. (2,3), (-4,7) และ (5,8) 2. (4,1), (5,-2) และ (6,-5) 3. (5,0), (0,5) และ (-1,6) 4. (-2,1), (2,3) และ (3,6) จงตรวจสอบดวา เสนตรงทผานจด A และ B จะตงฉากหรอขนานกบเสนตรงทผานจด P และ Q หรอไมเพราะเหตใด 5. A(3,-1), B(-5,2) และ P(4,2), Q(12,-1) 6. A(4,8), B(12,8) และ P(-6,1), Q(3,1) 7. A(-5,1), B(2,-3) และ P(0,-2), Q(4,5) 8. A(0,3), B(7,-1) และ P(-5,1), Q(2,-3) จงใชความรเรองความชนแสดงใหเหนวาจดสามจดทกาหนดใหตอไปน เปนจดมมของสามเหลยมมมฉาก 9. (1,3), (5,-7) และ (6,5) 10. (4,2), (8,4) และ (2,6) 11. (1,-2), (3,2) และ (5,-4) 12. (-2,-1), (3,4) และ (4,1) 13. ใหเสนตรง L2 ทามม 60o กบเสนตรง L1 ถาความชนของ L1 เทากบ 1 จงหาความชนของ L2 14. จงหาความชนของเสนตรงททามม 45o กบเสนตรงทลากผาน (2,-1) และ (5,3) 15. จงหาความชนของเสนตรงทตงฉากกบเสนตรงทผานจด (3,-2) และ (5,3)



สมการของเสนตรง (Equation of a Straight Line) 1. สมการของเสนตรงทขนานกบแกน x หรอ แกน y ให L เปนเสนตรงทขนานกบแกน x จะเหนไดวาจดตาง ๆ ทอยบนเสนตรง L จะมพกดท 2 เทากนหมด ถาพกดท 2 เปน b จะไดวา “จด (x,y) ทเปนจดบนเสนตรง L กตอเมอ y = b” เสนตรง L จะเปนกราฟของความสมพนธ r ทนยามวา r = {(x,y) | y = b} หรอเสนตรงทมสมการเปน y = b

ในทานองเดยวกน ถา L เปนเสนตรงทขนานกบแกน y จะเหนวาจดตาง ๆ ทอยบนเสนตรง L จะมพกดท 1 เทากนหมด ถาพกดท 1 เปน a จะไดวา “จด (x,y) ทเปนจบนเสนตรง L กตอเมอ x = a ” เพราะฉะนนเสนตรง L จะเปนกราฟของความสมพนธ r ทนยามวา r = {(x,y) | x = a} หรอเสนตรงทมสมการเปน x = a สมการของเสนตรงแบบจดและความชน (The Point-Slope Equation) ถาให L เปนเสนตรงทผานจด (x1,y1) และมความชน = m ให (x,y) เปนจดใด ๆ บนเสนตรง L จากนยามความชนไดวา

ความชนของ L = 1

1

xxyy

−− แตกาหนดใหความชนของ L เทากบ m

ดงนน m = 1

1

xxyy

−−

นนคอ y – y1 = m(x – x1) เปนสมการเสนตรงทผานจด (x1,y1) และมความชนเทากบ m ทฤษฎบท 1.4 จะมเพยงเสนตรงเดยวเทานนทมความชน m และผานจด (x1,y1) และจะมสมการเปน y – y1 = m(x – x1) ตวอยาง 1.10 จงหาสมการเสนตรงทผานจด (-2,3) และมความชนเทากบ -4/5 วธทา y – y1 = m(x – x1) สมการเสนตรงเสนน คอ y – 3 = (x + 2) 5y – 15 = -4x – 8 4x + 5y – 7 = 0



สมการของเสนตรงแบบจดสองจด (The Two-Point Equation) ถาให L เปนเสนตรงทผานจด P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) ถา x1 ≠ x2

เพราะฉะนนความชนของ P1P2 เทากบ 21

21

xxyy

−− ซงจะเทากบความชนของเสนตรง L

แทนคาในสมการเสนตรงแบบจดและความชน จะได

y – y1 = 21

21

xxyy

−− (x – x1)

ถา x1 = x2 แลว เสนตรง L จะขนานกบแกน y เสนตรง L จะมสมการเปน x = x1 ทฤษฎบท 1.5 ถา L เปนเสนตรงทผานจด (x1,y1) และ (x2,y2) ท x1 ≠ x2 แลว

L จะมสมการเปน y – y1 = 21

21

xxyy

−− (x – x1)

ตวอยาง 1.11 จงหาสมการเสนตรงทผานจด (4,1) และ (-2,2)

วธทา y – y1 = 21

21

xxyy

−− (x - x1)

เพราะฉะนน สมการเสนตรงทตองการ คอ y – 1 =

2421

+− (x -4) , x + 6y – 10 = 0

สมการของเสนตรงแบบความชนและจดตดแกน (The Slope-Intercept Equation) นยาม 1.9 จดตดแกน x (x-intercept) ของกราฟ คอ พกดท 1 ของจดทกราฟนนตดกบแกน x

จดตดแกน y (y-intercept) ของ กราฟ คอ พกดท 2 ของจดทกราฟนนตดกบแกน y

วธการหาจดตดแกน x ทาไดโดยการให y = 0 ในสมการแลวแกสมการหาคา x ทานองเดยวกน การหาจดตดแกน y ทาไดโดยการให x = 0 ในสมการแลว แกสมการหาคา y เชน สมการ 2x + 7y – 6 = 0 ให y = 0 เพราะฉะนน x = 3 นนคอ จดตดแกน x ของกราฟ คอ 3

สมมตให L เปนเสนตรงทมความชนเทากบ m และมจดตดแกน y เทากบ b

จากรป 1.20 แสดงวา L จะตองผานจด (0,b) แทนคาความชนเทากบ m และ (x1,y1) = (0,b) ในสมการจะได y – b = m(x – 0) นนคอ y = mx + b



slope = m

(0,b)b

y

x

รปท 1.20 ทฤษฎบท 1.6 สมการของเสนตรงทมความชน m และจดตดแกน y เปน b คอ y = mx + b

ถาเสนตรง L ผานจดกาเนด นนคอมจดตดแกน y ท 0 (เพราะวา b = 0) เพราะฉะนนสมการเสนตรงทผานจดกาเนดทไมใชแกน y คอ y = mx ตวอยาง 1.12 จงหาสมการเสนตรงทมความชนเทากบ -3/4 และมจดตดแกน y เทากบ 2 วธทา y = mx + b แทนคา ความชน และจดตดแกน y จะได y = -3/4 x + 2 4y = -3x + 8 3x + 4y -8 = 0 จะเปนสมการเสนตรงทตองการ สมการของเสนตรงแบบจดตดแกน (The Intercept Equation)

ให L เปนเสนตรงทมจดตดแกน x เทากบ a และจดตดแกน y เทากบ b ; a ≠ 0 และ b ≠ 0 แสดงวา L เปนเสนตรงทผานจด (a,0) และ (0,b)

ความชนของเสนตรง L คอ m = 0ab0

−− = -

ab

สมการของเสนตรง L คอ y = -

ab x + b

ay = - bx + ab

by

ax+ = 1



ทฤษฎบท 1.7 สมการของเสนตรงทม จดตดแกน x และจดตดแกน y เทากบ a และ b

ตามลาดบ คอ by

ax+ = 1 เมอ a ≠ 0, b ≠ 0

ตวอยาง 1.13 จงหาสมการเสนตรงทมจดตดแกน x เทากบ 2 และจดตดแกน y เทากบ 3 วธทา

by

ax+ = 1

3y

2x+ = 1

3x + 2y – 6 = 0 เปนสมการทตองการ นยาม 1.10 สมการเชงเสน (Linear Equation) คอสมการทอยในรป Ax + By + C = 0 เมอ A, B และ C เปนจานวนจรง ท A และ B จะเทากบ 0 พรอมกนทงสองตวไมได ทฤษฎบท 1.8 โลกสของสมการเชงเสนคอเสนตรง พสจน จากสมการเชงเสน Ax + By + C = 0

ถา B = 0 แลว A ≠ 0 หารทงสองขางของสมการดวย A สมการจะเปน x = - AC

ซงเปนสมการเสนตรงทขนานกบแกน y ถา B ≠ 0 แลว หารทงสองขางของสมการดวย B สมการจะเปน y = -

BA x -

BC

ซงเปนสมการเสนตรงแบบความชนและจดตดแกน เมอ

m = - BA

และ b = -BC

ตวอยาง 1.14 จงหาความชน จดตดแกน x จดตดแกน y ของสมการเสนตรง x + 2y = 1 วธทา จดสมการเสนตรงทกาหนดให ใหอยในรปมาตรฐานของสมการเชงเสน จะได x + 2y – 1 = 0 A = 1, B = 2 แ ละ C = -1 นนคอ m = -

21 และ b =

21

หาจดตดแกน x โดยการแทนคา y = 0 จะได x = 1 เพราะฉะนน ความชนเทากบ -

21 , จดตดแกน x เทากบ 1, จดตดแกน y เทากบ

21



แบบฝกหด 1.5 ขอ 1. ถงขอ 17. จงเขยนสมการเสนตรงตามเงอนไขทกาหนดใหตอไปน 1. ขนานกบแกน x และผานจด (2,-4) 2. ขนานกบแกน x และผานจด (-1,-3) 3. ขนานกบแกน y และผานจด (3,2) 4. ขนานกบแกน y และผานจด (-2,3) 5. ผานจด (2,-3) และมความชน -3/2 6. ผานจด (4,2) และมความชน 3 7. ผานจด (4,-2) และจด (2,3) 8. ผานจด (-7,-2) และจด (6,5) 9. มความชน -2/5 และมจดตดแกน y เทากบ -3 10. มความชน 1/3 และมจดตดแกน y เทากบ 2 11. มจดตดแกน x เทากบ -3 และจดตดแกน y เทากบ 2 12. มจดตดแกน x เทากบ 4 และจดตดแกน y เทากบ -1 13. มจดตดแกน x เทากบ 3 และผานจด (0,-5) 14. มจดตดแกน y เทากบ -4 และผานจด (-1,1) 15. ผานจด (2,1) และขนานกบเสนตรง 2x – 3y + 6 = 0 16. ผานจด (1,-2) และตงฉากกบเสนตรง y = 2x - 4 17. ผานจด (2,3) และตงฉากกบเสนตรง 3x + 2y – 7 = 0 ขอ 18. ถงขอ 27. จงหาความชน จดตดแกน x จดตดแกน y ของสมการ เสนตรงตอไปน 18. 3x + y – 1 = 0 19. 4x + 3y + 1 = 0 20. x + y = 5 21. 3x – 4y = 10 22. 2x – y + 6 = 0 23. x – 2y – 8 = 0 24. 2x + 3y – 11 = 0 25. 4x + 11y + 6 = 0 26. y = -7 27. x = 2 28. จงหาสมการเสนตรงทผานจดตดกนของเสนตรง 7x + 9y + 3 = 0 และ 2x – 5y + 16 = 0



และผานจด (7,-3) 29. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (7,0) และตงฉากกบเสนตรงทผานจด (-5,3) และ (8,-1) 30. จงหาคา k ของสมการเสนตรงตอไปน เมอสอดคลองกบเงอนไขทกาหนดให 30.1 3kx + 5y + k – 2 = 0 เมอผานจด (2,-3) 30.2 4x – ky – 7 = 0 เมอมความชนเทากบ 2 30.3 kx – y = 3k - 6 เมอมจดตดแกน x เทากบ 5 31. จงแสดงใหเหนวา ถาเสนตรง Ax + By + C = 0 และ A’x + B’y + C’ = 0 ขนานกนจะไดวา

'AA =

'BB และ ถาตงฉากกนจะไดวา AA’ + BB’ = 0



θ

p L

C x1,y1( )

y

x

1 ความชนของ N

สมการของเสนตรงแบบนอรมล (Normal Equation of a Straight Line) นยาม 1.11 เสนนอรมล (normal line) ของเสนตรง L คอเสนตรงทผานจดกาเนดและตงฉาก

กบ L นยาม 1.12 สวนตดของนอรมล (normal intercept) ของเสนตรง L หมายถง สวนของเสนนอรมล

จากจดกาเนดถงเสนตรง L

ให p เปนความยาวของสวนตดของนอรมล และเรากาหนดเครองหมายของ p ดงน p ≥ 0 เมอ จดตดของเสนนอรมลกบเสนตรง L อยบนแกน x หรอ เหนอแกน x

P < 0 เมอ จดตอของเสนนอรมลกบเสนตรง L อยใตแกน x รปท 1.21 p ≥ 0 รปท 1.22 p < 0

ให L เปนเสนตรงบนระนาบ N เปนเสนนอรมลตดกบ L ท C(x1,y1)

ความยาวของสวนตด OC = p ให θ เปนมมเอยงของเสนนอรมล θ จะมคาสอดคลองกบอสมการ

0 ≤ θ < 180 ถากาหนดความยาวของสวนตดของนอรมล p และมมเอยง θ ของเสนตรง L มาให เราสามารถลากเสนตรง L ได และสามารถเขยนสมการของเสนตรง L ในแบบนอรมลไดดงน x1 = p cos θ , y1 = p sin θ ความชน L = - = -

θtan1 = -

θθ

sincos

x

y

L

p

θ



จากสมการเสนตรงแบบจดและความชน เราสามารถเขยนสมการเสนตรง L ดงน y – y1 = m(x – x1) y – p sin θ = -

θθ

sincos (x – p cos θ)

หรอ x cos θ + y sin θ - p = 0 นยาม 1.13 เราจะเรยกสมการของเสนตรงทเขยนอยในรปตอไปนวา “สมการของเสนตรงแบบ

นอรมล” x cos θ + y sin θ - p = 0

เมอ p เปนความยาวของสวนตดของนอรมลของเสนตรง และ θ เปนมมเอยงของ เสนนอรมลของเสนตรง

ทฤษฎบท 1.9 ให Ax + By + C = 0 เปนสมการรปทวไปของเสนตรง L ถาเราหารตลอดสมการรปทวไปดวย h = 22 BA +± โดยเลอกเครองหมายของ h เหมอนกบเครองหมายของ B ในกรณท B ≠ 0 หรอเลอกเครองหมายของ h เหมอนกบเครองหมายของ A ในกรณท B = 0 แลวผลลพธทไดจะเปนสมการของ L แบบนอรมล พสจน กรณท 1 ถา A ≠ 0 และ B ≠ 0 แลว ความชนของเสนตรง L คอ -

BA

เพราะฉะนนความชนของเสนนอรมลของ L คอ AB

นนคอ tan θ = AB

sin θ = hB

cos θ = hA

เพราะวา 0o < θ < 180o เพราะฉะนน sin θ > 0 ดงนน เครองหมายของ h จะตองเหมอนกบเครองหมายของ B เพราะวา h ≠ 0 เอา h หารตลอดสมการรปทวไปจะได x cos θ + y sin θ – p = 0 เมอ p = -

hC

กรณท 2 ถา A = 0 แลว B ≠ 0 และสมการรปทวไปของ L จะเปน By + C = 0

หรอ y = - BC

นนคอเสนตรง L ขนานกบแกน x เพราะฉะนนเสนนอรมลของเสนตรง L จะตงฉากกบแกน x จะไดวา θ = 90o และ cos θ = 0, sin θ = 1 h = 22 BA +± = 2B± = ± B



ถาเลอกเครองหมายของ h เหมอนกบเครองหมายของ B เพราะฉะนน h = B เอา h หารทงสองขางของสมการรปทวไปจะได

hB y +

hC = 0

y + BC = 0

x cos θ + y sin θ – p = 0 เมอ p = - hC = -

BC

กรณท 3 ถา B = 0 แลว A ≠ 0 และสมการรปทวไปของ L จะเปน Ax + C = 0

หรอ x = - AC

นนคอ เสนตรง L ตงฉากกบแกน x เพราะฉะนนเสนนอรมลของเสนตรง L จะขนานกบแกน x จะไดวา θ = 0 และ cos θ = 1, sin θ = 0 h = 22 BA +± = 2A± = ± A ถาเลอกเครองหมายของ h เหมอนกบเครองหมายของ A เพราะฉะนน h = A เอา h หารทงสองขางของสมการรปทวไปจะได

hA x +

hC = 0

x + hC = 0

x cos θ + y sin θ – p = 0 เมอ p = - hC = -

AC

ตวอยาง 1.15 จงหาสมการเสนตรง L เมอ p = 1 และ θ = 45 วธทา x cos θ + y sin θ – p = 0 แทนคา p และ θ จะได x cos 45 + y sin 45 – 1 = 0

2x +

2y - 1 = 0

หรอ x + y - 2 = 0 ตวอยาง 1.16 จงแปลงสมการ 3 x + y + 10 = 0 ใหอยในรปแบบนอรมล และหาคา p

และ θ วธทา จากสมการ A = 3 , B = 1 h = 13 + = 2 (เพราะวา เครองหมาย B เปนบวก) จาก ทฤษฎบท 1.9 สมการแบบนอรมลของเสนตรงเสนน คอ

23 x +

21 y + 5 = 0



นนคอ cos θ = 23 , sin θ =

21 เพราะฉะนน θ = 30 และ p = -5

แบบฝกหด 1.6 1. จงสรางสมการของเสนตรง L ตามคา p และ θ ทกาหนดใหตอไปน 1.1 p = 5, θ = 30 1.2 p = 6, θ = 120 1.3 p = -4, θ = 60 1.4 p = -5, θ = 135 2. จงแปลงสมการตอไปน ใหอยในแบบนอรมล และหาคา p และ θ 2.1 3 x + y – 9 = 0 2.2 3x – 4y -6 = 0 2.3 x + y + 8 = 0 2.4 12x – 5y = 0 2.5 4y – 7 = 0 2.6 x + 5 = 0



x

y

L1L

p

dP(x1,y1)

ระยะระหวางจดและเสนตรง (Distance Between a Point and a Line)

ให L เปนเสนตรงบนระนาบ และ P(x1,y1) เปนจดทอยหางจาก L เทากบ d ให L1 เปนเสนตรงทขนานกบ L และผานจด P(x1,y1)

ถาสมการของ L แบบนอรมลเปน x cos θ + y sin θ – p = 0 และถา P(x1,y1) และจดกาเนดอยคนละขาง ของเสนตรง L แลว สมการของ L1 แบบ นอรมลจะเปน x cos θ + y sin θ – (p + d) = 0

รปท 1.23

เนองจาก P(x1,y1) อยบนเสนตรง L1 พกดของจด P ยอมสอดคลองกบสมการของ L1 นนคอ x1 cos θ + y1 sin θ – (p + d) = 0 หรอ d = x1 cos θ + y1 sin θ – p ถา P(x1,y1) และจดกาเนนอยขางเดยวกนของเสนตรง L แลว สมการของ L1 แบบนอรมลจะเปน

x cos θ + y sin θ – (p + d) = 0 และเพราะวาจด P สอดคลองกบสมการของ L1 ดงนน x1cos θ + y1sin θ - (p – d) = 0 d = -(x1cos θ + y1sin θ - p) d = |x1cos θ + y1sin θ - p| นนคอ ถา Ax + By + C = 0 เปนสมการรปทวไปของเสนตรง L ระยะจากจด P(x1,y1) ถงเสนตรง L คอ

d = 22

11

BA

|CByAx|

+

++

ทฤษฎบท 1.10 ระยะระหวางจด P(x1,y1) และเสนตรง L ทมสมการเปน Ax + By + C = 0

มคาเทากบ d = 22

11

BA

|CByAx|

+

++



y

x

L2

L1d2

d1

P(x,y)

ตวอยาง 1.17 จงหาระยะระหวาง (3,2) และเสนตรง L ทมสมการเปน 4x + 3y – 10 = 0 วธทา จากทฤษฎบท 1.10 ระยะระหวางจด (3,2) และเสนตรง L เทากบ

d = 22

11

BA

|CByAx|

+

++ = 916

|102334|+

+×+× = 58

ตวอยาง 1.18 จงหาระยะระหวางเสนขนาน L1 : x + 2y + 4 = 0 และ L2 : 2x + 4y – 2 = 0 วธทา กอนอนตองหาจดบนเสนตรงเสนใดเสนหนงใหไดกอนแลวจงหาระยะระหวางจดนนกบเสนตรงอกเสนหนง จะเปนระยะหางตามตองการ จาก L1 ให x = 0 เพราะฉะนน y = -2 นนคอ จด (0,-2) อยบนเสนตรง L1 หาระยะระหวางจด (0,-2) กบเสนตรง L2 จะได ดงน

d = 164

|2)2(402|+

−−×+× = 20

10 = 5

ตวอยาง 1.19 จงหาสมการเสนตรงแบงครงมม ซงเกดจากเสนตรงสองเสนตอไปน ตดกน L1 : x + 3y - 5 = 0 และ L2 : 3x + y + 2 = 0 วธทา ให P(x,y) เปนจดบนเสนแบงครงมมทเกดจาก L1 ตด L2

ให d1 เปนระยะหางจาก P ถง L1 d2 เปนระยะหางจาก P ถง L2 เพราะฉะนน d1 = d2

นนคอ 91

|5y3x|+

−+ = 19

|2yx3|+

++

จะไดวา x + 3y - 5 = ± (3x + y + 2) จะไดสมการเสนตรงทแบงครงมม คอ

2x – 2y + 7 = 0 หรอ 4x + 4y – 3 = 0 รปท 1.24



แบบฝกหด 1.7 1. จงหาระยะระหวางจดและเสนตรงทกาหนดใหตอไปน 1.1 (2,-3), 8x + 15y – 24 = 0 1.2 (-1,7), 6x – 8y + 5 = 0 1.3 (4,3), 3x – 4y + 8 = 0 1.4 (-1,3), 5x – 12y – 25 = 0 2. จงหาระยะหางระหวางเสนขนานสองเสนตอไปน 2.1 3x – 4y + 8 = 0, 6x – 8y – 15 = 0 2.2 5x + 12y – 5 = 0, 10x + 24y + 5 = 0 2.3 x + y – 15 = 0, 3x + 3y + 2 = 0 2.4 3x + 4y – 7 = 0, 3x + 4y + 3 = 0 3. จงหาสมการเสนแบงครงมม ซงเกดจากการตดกนของเสนตรงสองเสนทกาหนดให 3.1 3x – 4y – 7 = 0, 5x + 12y + 1 = 0 3.2 4x – 3y + 2 = 0, 4x + 2y + 1 = 0 3.3 x + 2y + 3 = 0, 2x + y + 2 = 0 4. จงหาจดทอยบนแกน x และอยหางจากเสนตรง 2x + y + 2 = 0 เทากบ 3 หนวย 5. จงหาสมการของเสนตรงทขนานกบเสนตรง x + 2y – 1 = 0 และอยหางจากเสนตรงเสนท สองน 2 หนวย 6. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (2,-4) และหางจากจดกาเนดเทากบ 3 หนวย (แนะนา ใช y = mx + c)



y

x

y

x

ระบบของเสนตรง (System of Lines)

ระบบของเสนตรง หมายถงกลมของเสนตรงทมเงอนไขบางอยางรวมกน เชน มความชนเทากน ผานจดเดยวกน เปนตน 1. จากสมการเสนตรงแบบความชนและจดตดแกน เพราะวา y = mx + b

ถากาหนดคาความชนแนนอน เชน m = 1 y = mx + b

จะเปนสมการของเสนตรงใด ๆ ทมความชนเทากบ 1 ถากาหนดคา b หนงคา จะไดสมการเสนตรงทมความชนเทากบ 1 หนงสมการ เราเรยกสมการ y = mx + b วา “สมการระบบของเสนตรง ทมความชนเทากบ 1 “ และเรยก b วา “พารามเตอร” (parameter)

2. จากสมการเสนตรง y = mx + b ถากาหนดคาจดตดแกน y แนนอน เชน b = 1 เพราะฉะนน y = mx + 1 จะไดสมการของเสนตรงใด ๆ ทตดแกน y ท (0,1), y = mx + 1 เปนสมการระบบของเสนตรงทตดแกน y ท (0,1)

3. ถาให L1 : A1x + B1y + C1 = 0 , L2 : A2x + B2y + C2 = 0 เปนเสนตรงสองเสนตดกนทจด (x1,y1) พจารณาสมการ k1(A1x + B1y + C1) + k2(A2x + B2y + C2) = 0 …………………………..(a) โดยท k1 และ k2 จะเทากบ 0 พรอมกนทงสองตวไมได สมการ (a) เปนสมการเชงเสน เพราะฉะนน สมการ (a) เปนสมการเสนตรง เนองจาก (x1,y1) เปนจดตดของ L1 และ L2 ดงนน (x1,y1) ยอมสอดคลองกบสมการของ L1 และสมการของ L2 นนคอ

A1x1 + B1y1 + C1 = 0 , และ A2x1 + B2y1 + C2 = 0 ซงทาให k1(A1x1 + B1y1 + C1) + k2(A2x1 + B2y1 + C2) = 0



นนแสดงวาสมการ (a) เปนสมการของระบบเสนตรงทผานจดตดของ L1 และ L2 ถา k1 = 0 สมการ (a) จะเปนสมการ L2 ถา k2 = 0 สมการ (a) จะเปนสมการ L1

ถา k1 ≠ 0 ให k = 1

2

kk

(A1x + B1y + C1) + k(A2x + B2y + C2) = 0 จะเปนสมการของระบบเสนตรงทผานจดตดของ L1 และ L2 ยกเวนเสนตรง L2

ถา k2 ≠ 0 ให k = 2

1

kb

k(A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0 จะเปนสมการของระบบเสนตรงทผานจดตดของ L1 และ L2 ยกเวนเสนตรง L1 ตวอยาง 1.20 จงหาสมการเสนตรงทผานจดตดของเสนตรง

L1 : 3x – y + 3 = 0 , L2 : 2x + y – 3 = 0 และผานจด P(3,2) วธทา แทนคา (3,2) ลงในสมการ L2 6 + 2 – 3 = 5 ≠ 0 เพราะฉะนน P(3,2) ไมอยบนเสนตรง L2 นนคอ เสนตรงทตองการหาไมใช เสนตรง L2 สมการของระบบเสนตรงทผานจดตดของ L1 และ L2 (ยกเวน L2 ) คอ

(3x – y + 3) + k(2x + y – 3) = 0 ……………..………. (1) เนองจากสมการทตองการหาผานจด P(3,2) เพราะฉะนนแทนคา (3,2) ในสมการจะได

(9 – 2 + 3) + k(6 + 2 – 3) = 0

k = - 5

10 = - 2

แทนคา k = -2 ในสมการ (1) จะได x + 3y - 9 = 0 ซงเปนสมการทผานจดตดของ L1 และ L2 และผานจด P(3,2) ตามตองการ



แบบฝกหด 1.8 จงหาสมการของระบบของเสนตรงทมเงอนไขตอไปน 1. มจดตดแกน y เทากบ 3 2. ผานจด (2,3) 3. มจดตดแกน x เทากบ 2 4. มความชนเทากบ 2 5. ขนานกบเสนตรง x - 2y + 3 = 0 6. ตงฉากกบเสนตรง 2x + 3y + 4 = 0 จงหาสมการของเสนตรงตอไปน 7. ผานจด (-1,2) และจดตดระหวางเสนตรง x - y + 3 = 0 , x + 3y – 2 = 0 8. มความชนเทากบ 3 และผานจดตดของเสนตรง 2x - y + 3 = 0 , x + 4y – 7 = 0 9. ขนานกบเสนตรง x - y - 3 = 0 และผานจดตดของเสนตรง x - 3y + 2 = 0 , 2x + y + 3 = 0 10. มจดตดแกน y เทากบ -2 และผานจดตดของเสนตรง 2x + y – 3 = 0 , x + 4y – 7 = 0

วงกลม 33


บทท 2 วงกลม (Circle)

นยาม 2.1 กราฟของสมการ คอ เซตของจดบนระนาบทกจดทสอดคลองกบสมการ

บางทเรยกกราฟวา เสนโคง (curve) นยาม 2.2 สมการของกราฟ คอ สมการท พกดของจดทสอดคลองกบสมการ

กตอเมอ จดนนอยบนกราฟ นยาม 2.3 ให d เปนเสนตรงคงท F เปนจดคงทซงไมอยบนเสนตรง d และ

|PE| เปนระยะหางจากเสนตรง d ไปยงจด P ถา P เปนจดบนกราฟ S และ |PF|/|PE| มคาคงท แลว จะเรยกคาคงทนวา ความเยองศนยกลาง (eccentricity) ของ S และเขยนแทนดวยสญลกษณ e

นยาม 2.4 คอรดของกราฟ คอ สวนของเสนตรงทเชอมสองจดใด ๆ บนกราฟ นยาม 2.5 วงกลม คอ เซตของจดทกจดบนระนาบทอยหางจากจดคงทจดหนงเปน

ระยะเทากน เรยกจดคงทนวา จดศนยกลางของวงกลม เขยนแทนดวยสญลกษณ C เรยกระยะหางทเทากนนนวา รศมของวงกลม เขยนแทนดวยสญลกษณ r และ เรยกคอรดของวงกลมทผานจดศนยกลางวา เสนผานศนยกลางของวงกลม ขอสงเกต

1. วงกลมนยามเฉพาะบนระนาบเทานน 2. รศมของวงกลมเปนระยะหางทมากกวาศนย ในกรณทเทากบศนย

วงกลมจะเปนเพยงจด (คอจดศนยกลาง)

34 วงกลม


ทฤษฎบท 2.1 สมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท C(h,k) และความยาวของรศมเทากบ r คอ (x – h)2 + (y – k)2 = r2

y

x

C(h,k)

P(x,y)

รปท 2.1

พสจน จด P(x,y) อยบนเสนรอบวงของวงกลมทม C เปนจดศนยกลาง และ รศมเทากบ r กตอเมอ |CP| = r 22 )ky()hx( −+− = r (x – h)2 + (y – k)2 = r2 ดงนน สการวงกลมทมจดศนยกลางท C(h,k) และรศมเทากบ r คอ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 ถาจดศนยกลางของวงกลมอยทจดกาเนด (0,0) และรศมเทากบ r แลวสมการวงกลมจะเปน x2 + y2 = r2 ตวอยาง 2.1 จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางท (4,-3) และรศมเทากบ 6 วธทา จากทฤษฎบท 2.1 สมการวงกลม คอ (x – 4)2 + (y + 3)2 = 36 หรอ x2 + y2 -8x + 6y – 11 = 0 จากสมการวงกลม (x – h)2 + (y – k)2 = r2 เราสามารถกระจายและจดใหมไดดงน x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2 x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0 หรอเขยนอยในรปทวไปไดดงน x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ D, E และ F เปนตวคงท

วงกลม 35


ทฤษฎบท 2.2 สมการ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 จะเปนสมการของวงกลม ถา D2 + E2 – 4F > 0 จะเปนสมการของจด ถา D2 + E2 – 4F = 0 จะเปนสมการของเซตวาง ถา D2 + E2 – 4F < 0

พสจน จากสมการ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 เราสามารถจดใหม โดยใชวธการทาใหเปนกาลงสองสมบรณ จะไดดงน

(x2 + Dx + 4

D2) + (y2 + Ey +

4E2

) = 4

F4ED 22 −+

หรอ (x + 2D )2 + (y +

2E )2 =

41 (D2 + E2 – 4F)

ถา D2 + E2 – 4F > 0 จะเหนวาสมการทกาหนดใหเปนสมการวงกลมทมจด

ศนยกลางทจด (-2D ,-

2E ) และรศม F4ED

21 22 −+

ถา D2 + E2 – 4F = 0 แสดงวา r = 0 นนคอสมการทกาหนดใหจะเปน สมการ

ของจด (-2D ,-

2E )

ถา D2 + E2 – 4F < 0 แลว r2 < 0 จะเหนวาไมมจานวนจรง x, y คใด เลยท

สามารถทาให (x + 2D )2 + (y +

2E )2 < 0 ได

ฉะนนสมการทกาหนดใหจงเปนสมการ (หรอเงอนไข)ของเซตวาง ตวอยาง 2.2 จงพจารณาสมการตอไปนวาเปนสมการของอะไร x2 + y2 -6x -4y + 14 = 0 วธทา พจารณาเครองหมายของ D2 + E2 – 4F แลวเทยบผลตาม ทฤษฎบท 2.1 หรอทาโดยวธการทาใหเปนกาลงสองสมบรณไดดงน x2 – 6x + y2 – 4y = - 14 x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = - 14 + 9 + 4 (x – 3)2 + (y – 2)2 = - 1 จะเหนวาไมมจานวนจรง x, y คใดเลยททาใหดานซายมอของสมการเปนจานวนลบได นนคอ สมการทกาหนดใหเปนสมการของเซตวาง ตวอยาง 2.3 จงหาสมการวงกลมทผานจด P(-2,1), Q(4,5) และ R(5,10) วธทา สมการวงกลมสามารถเขยนอยในรป x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

36 วงกลม


เนองจากวงกลมนผานจด P, Q และ R เพราะฉะนนทงสามจดตองสอดคลองกบสมการ กลาว คอ 4 + 1 – 2D + E + F = 0 …………………………………(1) 16 + 25 + 4D + 5E + F = 0 ………………………………(2) 25 + 100 + 5D + 10E + F = 0 ……………………………(3) จาก (1), (2) และ (3) เราสามารถแกสมการหาคา D, E และ F ได ดงน คอ D = 6, E = -18 และ F = 25 สมการวงกลมทตองการจะเปน x2 + y2 + 6x – 18y + 25 = 0 หมายเหต อาจจะทาโดยวธอนอกได เชน หาจดศนยกลางจากจดตดกนของเสนแบงครงและตงฉากของคอรดทเชอมจดแตละจด และหารศมของวงกลม ตวอยาง 2.4 จงหาสมการของวงกลม ทสมผสเสนตรง 2x – y + 1 = 0 ทจด (2,5) และจดศนยกลางอยบนเสนตรง x + y = 9 วธทา อนดบแรกหาสมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 2x – y + 1 = 0 ทจด (2,5)

(2,5)

(6,3)

y

x

รปท 2.2

สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 2x – y + 1 = 0 จะมสมการอยในรป x + 2y + c = 0 …………………………………………. (a) แตเราตองการเฉพาะสมการเสนตงฉากทผานจด (2,5) แทนคาจด (2,5) ในสมการ (a) แลวหาคา c จะได c = -12

สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 2x – y + 1 = 0 ทจด (2,5) คอ x + 2y – 12 = 0

และทราบตอไปวา เสนตรง x + 2y – 12 = 0 และเสนตรง x + y = 9 ตดกนทจดศนยกลางของวงกลม

วงกลม 37


นาสมการทงสองมาแกสมการจะไดจดศนยกลางของวงกลม คอ (6,3) และระยะหางจากจด (2,5) ถง (6,3) ซงมคาเทากบ 20 จะเปนรศมของวงกลม สมการของวงกลมทตองการ คอ (x - 6)2 + (y – 3)2 = 20 แบบฝกหด 2.1 จงหาสมการของวงกลมตามเงอนไขทกาหนดใหตอไปน เมอ C แทนจดศนยกลาง และ r แทนรศมของวงกลม 1. C = (0,0), r = 4 2. C = (4,-3), r = 5 3. เสนผานศนยกลางเทากบ 4, C = (3,2) 4. เสนผานศนยกลางเชอมระหวางจด (2,4) และ (6,8) 5. เสนผานศนยกลางเชอมระหวางจด (3,-2) และ (-1,4) 6. C = (2,1) และผานจด (3,4) 7. C = (-1,-2) และผานจด (-2,2) 8. C = (3,4) และมแกน x เปนเสนสมผส 9. C = (-2,3) และมแกน y เปนเสนสมผส 10. C = (2,3) และมเสนตรง 3x + 4y + 2 = 0 เปนเสนสมผส 11. C = (3,-2) และมเสนตรง 5x - 12y = 0 เปนเสนสมผส 12. มแกน x และแกน y เปนเสนสมผส จดศนยกลางอยใน quadrant ท 1 และมรศมเทากบ 8 จงหาจดศนยกลางและรศมของวงกลมตอไปน (โดยใชวธการทาใหเปนกาลงสองสมบรณ)

13. x2 + y2 – 4x + 2y – 11 = 0 14. x2 + y2 – 8x + 6y = 0 15. x2 + y2 + 2x – 4y + 4 = 0 16. x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 17. x2 + y2 - 6x + 4y + 4 = 0 18. x2 + y2 + 10x – 8y + 16 = 0 19. 2x2 + 2y2 + 5x + 3y + 2 = 0 20. 2x2 + 2y2 + 7x – 5y + 4 = 0

จงพจารณาสมการตอไปนวาเปนสมการของวงกลม หรอจด หรอเซตวาง

38 วงกลม


21. x2 + y2 – 1 = 0 22. x2 + y2 + 1 = 0 23. x2 + y2 + 2x + 1 = 0 24. x2 + y2 – 6y + 9 = 0 25. x2 + y2 + 2x + 10y + 26 = 0

จงหาสมการวงกลมทผานจดสามจดทกาหนดใหตอไปน 26. (-4,6), (3,5) และ (2,-2) 27. (-2,8), (2,6) และ (-7,3) 28. (-10,7), (7,14) และ (7,-10) 29. (-10,7), (-8,9) และ (4,9) 30. (7,11), (-5,-5) และ (9,-3)

31. จงหาสมการวงกลมทมเสนตรงสามเสนตอไปนเปนเสนสมผส x + 2y – 5 = 0, 2x + y – 7 = 0 และ x – y + 1 = 0

32. จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางท (-3,-1) และมเสนสมผสผานจด (4,-2) และ (1,2)

33. จงหาสมการวงกลมทผานจด (-4,1) และ (2,5) และจดศนยกลางอยบนเสนตรง 2x – y – 9 = 0

34. จงหาสมการวงกลมทผานจด (0,5) และ (2,1) และจดศนยกลางอยบนเสนตรง x + y – 1 = 0

35. จงหาสมการวงกลมทผานจด (2,-3) และ (1,4) และมแกน y เปนเสนสมผส 36. จงหาสมการวงกลมทผานจด (2,11) และสมผสเสนตรง 3x + 2y – 18 = 0

ทจด (4,3) 37. จงหาสมการวงกลมทสมผสเสนตรง 4x – 3y + 13 = 0 ทจด (2,7) และ

มรศม 10 38. จงหาสมการวงกลมทสมผสเสนตรง 3x + 4y = 23 ทจด (5,2) และ

สมผสเสนตรง 4x – 3y + 11 = 0 ทจด (-2,1) 39. จงแสดงใหเหนวาเซตของจดบนระนาบทกจดทผลบวกของกาลงสองของ

ระยะหางจากจดนนไปยงเสนตรง a1x + b1y +c1 = 0 และ b1x – a1y + c2 = 0 เทากบ K2 (เมอ K เปนคาคงท) เปนวงกลม

40. จงแสดงใหเหนวาเซตของจดบนระนาบทกจดทอตราสวนของระยะทางจากจด (a,b) และ (c,d) เทากบ K (เมอ K เปนคาคงท) เปนวงกลม

ภาคตดกรวย 39

แคลคลส 1 ธรวฒน นาคะบตร

ส ว น ส ง ส ว น ส ง

ฐ าน

แ ก น

ส ง เอ ย ง

ย อด

บทท 3 ภาคตดกรวย (Conic Sections)

คาวากรวยในระดบมธยมศกษาตอนตนหมายถง รปทรงทมฐานเปนรปวงกลม และมยอดแหลมทไมอยในระนาบเดยวกบฐาน ดงรปท 3.1

รปท 3.1 ซงแยกเปนประเภทใหญ ๆ ไดสองประเภท คอ กรวยตรง (รปซาย) และกรวยเอยง (รปขวา) แตความหมายของคาวา กรวย ในภาคตดกรวยหมายถง กรวยกลมตงตรง (right circular cone) ซงมความหมายลกซงกวา กรวยในระดบมธยมศกษาตอนตน กลาวคอ กรวยกลมตงตรง หมายถงพนผวของการหมนเสนตรงเสนหนงทตด (ไมตงฉาก) กบเสนตรงคงทเสนหนงรอบเสนตรงคงทนน เรยกเสนตรงคงทนนวา แกนของกรวย พนผวของการหมนเสนตรงจะเปนเซตทเกดจากการยเนบยของเสนตรงทแตละเสนตดกบแกนเปนมมคงท เราจะเรยกเสนตรงแตละเสนวา เจเนอเรเตอร (generator) และเรยกจดทแกนตดกบเจเนอเรเตอรวา จดยอดของกรวย จดยอดจะแบงกรวยกลมตงตรงออกเปนสองสวน (nappe)

รปท 3.2

40 ภาคตดกรวย


จะเหนวา กรวยกลมตงตรงแตละกรวยมลกษณะเปนพนผว (ดานขางทไมใชฐาน) ของกรวยตรง (ตามความหมายของกรวยในระดบมธยมศกษาตอนตน) สองกรวยทมขนาดเทากน มแกนรวมกน สมผสกนทจดยอด และนอกเหนอจากนน คอ กรวยตรงทงสองจะตองไมมฐาน (ผวของกรวยตรงทงสองจะตองมตอไปทางดานฐานตามแนวสงเอยงอยางไมสนสด) ภาคตดกรวย หมายถงรอยตดของระนาบกบกรวยกลมตงตรง ซงแบงประเภทของรอยตดออกเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คอ

1. ดเจนนเรทโคนค (degenerate conics) หมายถงรอยตดทเกดจากระนาบทผานจดยอดของกรวย ตดกบกรวยตงตรง รอยตดดงกลาวจะเปน จด (จดยอดนน) เสนตรงหนงเสน (คอเจเนอเรเตอรหนงเสน ถาระนาบสมผสกบกรวย) หรอเปนเสนตรงสองเสนตดกน (คอเจเนอเรเตอรสองเสนทตดกนทจดยอด ถาระนาบมจดภายในของกรวยอยบนระนาบ)

2. นอนดเจนนเรทโคนค (non-degenerate conics) หมายถงรอยตดทเกดจากระนาบทไม ผานจดยอดของกรวย ตดกบกรวยกลมตงตรง รอยตดดงกลาวจะเกดขนตามลกษณะการตดของระนาบดงน คอ 2.1 ถาระนาบนนตงฉากกบแกนของกรวย รอยตดจะเปนรปวงกลม

รปท 3.3

2.2 ถาระนาบนนขนานกบระนาบสมผสทสมผสกรวยกลมตงตรงตามแนวเจเนอเรเตอรเสนใดเสนหนง รอยตดจะเปนรปพาราโบลา

รปท 3.4



2.3 ถาระนาบนนไมขนานกบระนาบสมผส และไมตงฉากกบแกนของกรวยรอยตดจะเปนได 2 กรณตอไปน คอ 2.3.1 รปวงร ถาระนาบนนตดกรวยกลมตงตรงเพยงสวนเดยว (one nappe)

รปท 3.5 2.3.2 รปไฮเพอรโบลา ถาระนาบนนตดกรวยกลมตงตรงทงสองสวน

รปท 3.6 Pierre Dandelin (1494 – 1847) เปนคนแรกทใชทรงกลมทสมผสกรวยกลมตงตรง มา

ชวยในการใหเหนวารอยตด ประเภทท 2 เปนรป วงกลม พาราโบลา วงร หรอ โฮเพอรโบลา พาราโบลา (Parabola) นยาม 3.1 พาราโบลาเปนเซตขอจดบนระนาบทกจด ซงอยหางจากเสนตรงคงทเสนหนง และ

จากจดคงทจดหนงเปนระยะทางเทากนเสมอ เรยกเสนตรงคงทวา ไดเรกตรกซ (directrix) เรยกจดคงทวา โฟกส (focus) เรยกเสนตรงทผานจดโฟกสและตงฉากกบไดเรกตรกซวา แกนของพาราโบลา (axis of the parabola) เรยกจดทพาราโบลาตดกบแกนของพาราโบลาวา จดยอดของพาราโบลา (vertex of the parabola) และเรยกคอรดทผานจดโฟกสและตงฉากกบแกนของพาราโบลาวา ลาตสเรกตม (latus rectum)



รปท 3.7 ทฤษฎบท 3.1 สมการของพาราโบลาทจดยอดอยทจดกาเนด และโฟกสอยท (a,0) คอ y2 = 4ax

รปท 3.8 พสจน เนองจากจดยอดอยทจดกาเนด และโฟกสอยท (a,0) จงทาใหแกน x เปนแกนของพาราโบลา เสนไดเรกตรกซขนานกบแกน y และมสมการเปน x = -a หรอ x + a = 0 (จากรป) จด P(x,y) เปนจดใด ๆ บนพาราโบลา กตอเมอ

|FP| = |PE|

↔ 22 y)ax( +− = |x + a|



↔ (x –a)2 + y2 = (x + a)2

↔ x2 – 2ax + a2 + y2 = x2 + 2ax + a2

↔ y2 = 4ax ทฤษฎบท 3.2 สมการของพาราโบลาทจดยอดอยทจดกาเนดและ โฟกสอยท (0,a) คอ

x2 = 4ay

รปท 3.9 หมายเหต เรยกสมการใน ทฤษฎบท 3.1 และ 3.2 วา สมการรปมาตรฐานของพาราโบลา ขอสงเกต

1. สมการของพาราโบลาจะเปนสมการกาลงสองในตวแปรและกาลงหนงในอกตวแปรหนง

2. แกนของพาราโบลาจะขนานกบแกนทตวแปรมกาลงสงสดเปนหนง 3. ถา a > 0 กราฟของสมการจะเปดดานซกบวกของแกน

ถา a < 0 กราฟของสมการจะเปดดานซกลบของแกน 4. ความยาวของ ลาตสเรกตม เทากบ |4a|

ตวอยาง 3.1 จงหาพกดของจดโฟกส จดปลายทงสองของ ลาตสเรกตม และสมการของ

ไดเรกตรกซ พรอมทงวาดกราฟของพาราโบลา y2 – 16x = 0



วธทา จดสมการทกาหนดให ใหอยในรปมาตรฐานของพาราโบลาไดเปน y2 = 16x จะเหนวาสมการทกาหนดใหเปนสมการของพาราโบลาทมจดยอดอยทจดกาเนด มแกน x เปนแกนของพาราโบลา และกราฟเปดดานขวา 4a = 16 ดงนน a = 4 โฟกสอยท (4,0) ความยาวของลาตสเรกตม เทากบ 16 จดปลายทงสองของ ลาตสเรกตม คอ (4,8), (4,-8) และสมการของไดเรกตรกซ คอ x + 4 = 0 ซงสามารถวาดกราฟไดดงน

รปท 3.10 ตวอยาง 3.2 เขยนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจดกาเนดและมจดปลายของลาตสเรกตม อยท (-4,-2) และ (4,-2)

รปท 3.11



วธทา จะเหนวา ลาตสเรกตม เปนเสนตรงท แบงครงและตงฉากกบแกน y แกน y เปนแกนของพาราโบลา และกราฟเปดดานลาง ความยาวของลาตสเรกตมเทากบ 22 )22()44( +−++ = 8 นนคอ |4a| = 8 ซงไดวา a = -2 หรอ 2 แตเนองจากกราฟของพาราโบลา มลกษณะเปดดานลาง นนคอ a = -2 และสมการของพาราโบลาจะเปน x2 = -8y แบบฝกหด 3.1

จงหาพกดของจดโฟกส จดปลายทงสองของลาตสเรกตม และสมการของไดเรกตรกซ พรอมทงวาดกราฟของพาราโบลา ตอไปน

1. y2 = 12x 2. y2 = -4x 3. x2 = -16y 4. x2 = 10y 5. y2 + 8x = 0 6. x2 – 3y = 0 จงเขยนสมการของพาราโบลาทมจดยอดอยทจดกาเนด และสอดคลองกบเงอนไข

ทกาหนดให ตอไปน 7. โฟกส คอ (3,0) 8. โฟกส คอ (0,-4) 9. สมการไดเรกตรกซ คอ x – 4 = 0 10. สมการไดเรกตรกซ คอ y + 6 = 0 11. โฟกสอยบนแกน x และกราฟผานจด (8,2) 12. แกน y เปนแกนของพาราโบลาและกราฟผานจด (4,-3) 13. จดปลายของ ลาตสเรกตม คอ (-6,-3) และ (6,-3) 14. ลาตสเรกตม ยาว 12 หนวย และกราฟเปดดานลาง 15. กราฟเปดดานซาย และผานจด (-1,-1)

ทฤษฎบท 3.3 พาราโบลา คอ เสนโคงทมความเยองศนยกลางเทากบ 1 ทฤษฎบท 3.4 สมการของพาราโบลาทจดยอดอยท (h,k) และโฟกสอยท (h+a,k) คอ

(y – k)2 = 4a(x – h)



รปท 3.12 พสจน เนองจากจดยอดอยท (h,k) และ โฟกสอยท (h+a,k) แกนของพาราโบลาขนานกบแกน x เสนไดเรกตรกซขนานกบแกน y และมสมการเปน x = h – a หรอ x – h + a = 0 (จากรปท 3.12) จด P(x,y) เปนจดใด ๆ บนพาราโบลา กตอเมอ

|FP| = |PE|

↔ 22 )ky()ahx( −+−− = |x – h + a|

↔ (x – h - a)2 + (y - k)2 = (x – h + a)2

↔ y2 – 2ky + k2 = 4ax - 4ah

↔ (y - k)2 = 4a(x – h) ถา h = 0 และ k = 0 รปของสมการกคอสมการพาราโบลาใน ทฤษฎบท 1 นนเอง

ทฤษฎบท 3.5 สมการของพาราโบลา ทจดยอดอยท (h,k) และ โฟกสอยท (h,k+a) คอ (x – h)2 = 4a(y – k) หมายเหต เรยกสมการใน ทฤษฎบท 3.4 และ 3.5 วาสมการรปมาตรฐานของพาราโบลา พจารณาสมการรปมาตรฐานของพาราโบลา



(y – k)2 = 4a(x – h) และ (x – h)2 = 4a(y – k) จะเหนวาเปนสมการกาลงสองในตวแปรหนง และกาลงหนงในอกตวแปรหนง ซงสามารถจดใหอยในรปทวไปไดดงน คอ y2 + Dx + Ey + F = 0, เมอ D ≠ 0 (เมอแกนของพาราโบลาขนานกบแกน x) x2 + Dx + Ey + F = 0, เมอ E ≠ 0 (เมอแกนของพาราโบลาขนานกบแกน y) ดงนน ถาเราเหนสมการรปดงกลาว เราอาจจะสรปไดวาเปนสมการของพาราโบลา และ สามารถวาดรปกราฟของสมการไดดง ตวอยางตอไปน ตวอยาง 3.3 จงหาจดยอด จดโฟกส จดปลายทงสองของลาตสเรกตม พรอมทงวาดกราฟของสมการ x2 – 6x + 8y + 25 = 0 วธทา จะเหนวาสมการทกาหนดใหเปนสมการของพาราโบลาทมแกนขนานกบแกน y ทงนเพราะวา x มกาลงสงสดเปนสอง และ y มกาลงสงสดเปนหนง จงสามารถจดใหอยในรปมาตรฐานไดดงน x2 – 6x = -8y – 25 x2 – 6x + 9 = -8y – 25 + 9 (x – 3)2 = -8(y + 2) จดยอด คอ (3,-4) 4a = -8 a = -2 โฟกส คอ (3,-4) ความยาวของ ลาตสเรกตม เทากบ 8 ลาตสเรกตม จะเชอมระหวางจด (-1,-4) และ (7,-4) และสามารถวาดกราฟของพาราโบลาไดดงตอไปน



รปท 3.13 ตวอยาง 3.4 จงหาสมการของพาราโบลาทแกนของพาราโบลาอยตามแนวนอนและกราฟผานจด

(-1,1), (3,4) และ (2,-2) วธทา รปทวไปของสมการพาราโบลาทแกนขนานกบแกน x คอ y2 + Dx + Ey + F = 0 แตเนองจาก กราฟผานจด (-1,1), (3,4) และ (2,-2) ดงนนจะไดวา 1 - D + E + F = 0 ……………………………………………(1) 16 + 3D + 4E + F = 0 ……………………………………….(2) 4 + 2D – 2E + F = 0 ………………………………………..(3) จาก (1), (2) และ (3) จะไดวา

D = - 7

18 , E = - 7

11 , F = - 7

14

สมการของพาราโบลาทตองการ คอ 7y2 – 18x – 11y – 14 = 0 แบบฝกหด 3.2

จงเขยนสมการของพาราโบลารปมาตรฐานทสอดคลองกบเงอนไขทกาหนดใหตอไปน 1. จดยอดท (3,0) โฟกส (3,4) 2. จดยอดท (-1,-2) โฟกส (2,-2)



3. จดยอดท (3,2) โฟกส (3,6) 4. จดยอดท (-2,5) โฟกส (-2,-2) 5. จดยอดท (1,-3) โฟกส (1,1) 6. จดยอดท (3,3) โฟกส (3,-3) 7. จดยอดท (-1,-2) ลาตสเรกตม ยาว 12, กราฟเปดดานลาง 8. จดยอดท (4,-1) ลาตสเรกตม ยาว 8, กราฟเปดดานขวา 9. จดยอดท (1,2) จดปลายของ ลาตสเรกตม คอ (-5,-1), (7,-1) 10. จดยอดท (-2,3) จดปลายของ ลาตสเรกตม คอ (1,-2), (1,10)

จงหาจดยอด จดโฟกส จดปลายทงสองของ ลาตสเรกตม พรอมทงวาดกราฟของพาราโบลา ตอไปน 11. y2 – 4x + 8 = 0 12. x2 – 8y + 8 = 0 13. y2 – 16x - 32 = 0 14. x2 + 12y - 48 = 0 15. x2 + 6x – 4y + 9 = 0 16. y2 + 4y – 16x + 4 = 0 17. y2 + 10y + 20x + 25 = 0 18. x2 - 8x + 6y + 16 = 0 19. y2 + 2y – 12x + 37 = 0 20. x2 + 4x + 8y - 28 = 0 21. x2 - 6x + 10y - 1 = 0 22. y2 - 8y + 6x - 8 = 0 23. y2 - 12y + 16x - 60 = 0

จงหาสมการของพาราโบลาตามเงอนไขตอไปน 24. จดยอดท (-1,-2) แกนตามแนวตง และกราฟผานจด (3,6) 25. จดยอดท (3,-4) แกนตามแนวนอน และกราฟผานจด (2,-5) 26. แกนตามแนวนอนกราฟผานจด (0,4), (0,-1) และ (6,1) 27. แกนตามแนวตง กราฟผานจด (-1,0), (5,0) และ (1,8)



minor axis

ma jor axis

latus rectumC F2F1

V2V1

วงร (Ellipse) นยาม 3.2 วงร คอเซตของจดทกจดบนระนาบทผลบวกของระยะหางจากจดนนไปยงจดคงท

สองจดมคาคงท ซงมากกวาระยะหางระหวางจดคงททงสองนน

รปท 3.14

จากรปท 3.14 F1, F2 เปนจดคงทสองจด เรยกจดคงททงสองจดนวา โฟกสของวงร เรยกคอรดทผานโฟกส F1 และ F2 วา แกนเอกของวงร (major axis) เรยกคอรดทแบงครงและตงฉากกบแกนเอกวา แกนโทของวงร (minor axis) เรยกจดตดระหวางแกนเอกและแกนโทวา จดศนยกลางของวงร ใชสญลกษณแทนวา C เรยกจดปลายทงสองของแกนเอกวา จดยอดของวงร (vertex) ใชสญลกษณแทนวา V1, V2 และเรยกคอรดทผานโฟกสและตงฉากกบแกนเอกของ วงรวา เลตสเรคตมของวงร (latus rectum) ทฤษฎบท 3.6 สมการของวงรทมโฟกสอยท F1(-c,0) และ F2(c,0) เมอ c > 0 และ

คาคงทเทากบ 2a ซง 2a > 2c คอ

2

2

2

2

by

ax

+ = 1 เมอ b = 22 ca − , 0 < b < a ……………………. (1)



P

xF1 F2O

รปท 3.15 พสจน จากรปท 3.15 จด P(x,y) เปนจดใด ๆ บนวงร กตอเมอ

|F2P| = |F1P| (2) ↔ 22 y)cx( +− + 22 y)cx( ++ = 2a (3) ↔ 22 y)cx( +− = 2a - 22 y)cx( ++ (4) → x2 – 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a 22 y)cx( ++ + x2 + 2cx + c2 + y2 (5) ↔ 4a 22 y)cx( ++ = 4a2 + 4cx (6)

↔ 22 y)cx( ++ = a + ac

x (7)

→ x2 + 2cx + c2 + y2 = a2 + 2cx + 2

2

ac x2 (8)

↔ (1 - 2

2

ac

)x2 + y2 = a2 – c2 (9)

↔ 2

2

ac x2 + y2 = b2 , b = 22 ca − (10)

↔ 2

2

2

2

by

ax

+ = 1

จากการพสจนทผานมา เปนเพยงการแสดงวา ถา P(x,y) อยบนกราฟของวงร แลว จะไดวา

2

2

2

2

by

ax

+ = 1

แตยงไมเพยงพอทจะประกนไดวา จดตาง ๆ ทสอดคลองกบสมการ 2

2

2

2

by

ax

+ = 1

จะอยบนกราฟของวงร

ตอไปนจะแสดงใหเหนวา ถา P(x,y) เปนจดใด ๆ ทสอดคลองกบสมการ 2

2

2

2

by

ax

+ = 1

แลว จด P(x,y) จะอยบนกราฟของวงร



ให P(x,y) เปนจดใด ๆ ทสอดคลองกบ 2

2

2

2

by

ax

+ = 1 นนคอ (1) เปนจรง

จากการพสจนขางตนจะเหนวา ถาเราสามารถแสดงใหเหนวา (8) → (7) และ (5) → (4) แลว เราจะสรปไดทนทวา P(x,y) อยบนกราฟของวงร ตามตองการ ตอไปนจะแสดงใหเหนวา (8) → (7) ถาสมการ (8) เปนจรง จะไดวา

22 y)cx( ++± = a + xac (12)

เพราะวา ถา (x,y) สอดคลองกบสมการ (1) แลวจะไดวา -a ≤ x ≤ a ซงทาให

a – c ≤ a + xac ≤ a + c (13)

เพราะฉะนน a + xac > 0 (เพราะวา a – c > 0)

นนคอ ดานขวาของสมการ (12) เปนบวก ซงจะไดสมการ (7) ตอไปนจะแสดงใหเหนวา (5) → (4) ถาสมการ (5) เปนจรงจะไดวา 22 y)cx( +−± = 2a - 22 y)cx( ++ (14) จากสมการ (13) และ (7) จะไดวา a – c ≤ 22 y)cx( ++ ≤ a + c ซงทาให

a – c ≤ 2a - 22 y)cx( ++ = a - xac

นนคอ ดานขวามอของสมการ (14) เปนบวก ซงจะไดสมการ (4) ตามตองการ ทฤษฎบท 3.7 สมการของวงรทม โฟกสอยท F1(0,-c) และ F2(0,c) เมอ c > 0 และคาคงท

เทากบ 2a ซง 2a > 2c คอ 1bx

ay

2

2

2

2=+ เมอ b = 22 ca − , a > b > 0

หมายเหต เรยกสมการใน ทฤษฎบทท 3.6 และ 3.7 วาสมการรปมาตรฐานของวงร

ทฤษฎบท 3.8 ให a > b > 0 และ b = 22 ca − วงรทมสมการเปน 2

2

2

2

by

ax

+ = 1

คอเสนโคงทมความเยองศนยกลางนอยกวา 1 โฟกสท F2(c,0) และไดเรกตรกซ d2 ม

สมการเปน x = ea (หรอโฟกสท F1(-c,0) ) และไดเรกตรกซ d1 มสมการเปน x = -

ea )



รปท 3.16

พสจน จด P(x,y) อยบนสมการของวงร กตอเมอ

2

2

2

2

by

ax

+ = 1

เพราะฉะนน y2 = b2(1 - 2

2

ax )

|PF2|2 = (x – c)2 + y2 = x2 – 2cx + c2 + y2

= x2 – 2cx + c2 + b2(1 - 2

2

ax )

= x22

22

aba − - 2cx + c2 + b2

= 2

2

ac x2 - 2cx + a2 (เพราะวา b = 22 ca − )

= 2

2

ac (x2 – 2

ca 2

x + 2

4

ca ) =

2

2

ac (x -

ca 2

)2

ถอดรากทสองทงสองขาง

เพราะฉะนน |PF2| = ac |x -

ca 2

|

ให ac = e เพราะฉะนน |PF2| = e|x -

ea | = e|PE|

หรอ |PE||PF| 2 = e

จากทฤษฎบท 3.6 ทราบวา a > c

นนคอ e = ac < 1



เนองจากกราฟของวงรมคณสมบตสมมาตรเมอเทยบกบแกน y ดงนน การพสจนในกรณท ใชจด

(-c,0) เปน โฟกส และเสนตรง x = - ea เปนไดเรกตรกซ จงสามารถพสจนไดในทานอง

เดยวกน

ทฤษฎบท 3.9 ให a > b > 0 และ b = 22 ca − วงรทมสมการเปน 1bx

ay

2

2

2

2=+

คอเสนโคงทมความเยองศนยกลางนอยกวา 1 โฟกสท F2(0,c) และไดเรกตรกซ d2

มสมการเปน y = ea (หรอโฟกสท F1(0,-c) ) และไดเรกตรกซ d1 มสมการเปน y = -

ea )

รปทรงของวงรขนอยกบคาของ e ถาพจารณาคาของ e ตงแต 0 จนถง 1 จะเหนวา ถา e = 0 จะทาให c = 0 และ a = b นนหมายถง โฟกสทงสองของวงร จะมาอยทจดเดยวกน คอทจดศนยกลาง และกราฟจะเปนวงกลม ถา e มคามากขน โฟกสแตละจดจะแยกจากจดศนยกลาง และคา b จะลดลง หาความยาวของลาตสเรกตม ไดดงน

แทนคา x = c ในสมการวงร จะได y = -a

b 2 ,

ab 2

นนคอ จดปลายทงสองของลาตสเรกตม คอ (c, -a

b 2), (c,

ab 2

)

ในทานองเดยวกน ถาแทนคา x = -c ในสมการวงร จะได จดปลายทงสองของลาตสเรกตม

อกเสนหนง คอ (-c, -a

b 2), (-c,

ab 2

) และความยาวของลาตสเรกตมเทากบ ab2 2

สรปเกยวกบวงรทมจดศนยกลางอยท (0,0)

a : ครงแกนเอก b : ครงแกนโท c : ระยะทางจากจดศนยกลางถงโฟกส e : ecentricity, 0 < e < 1

ab2 2

: ความยาวของลาตสเรกตม

a2 = b2 + c2 , a > b > 0 , a > c > 0 , e = ac



ถาแกนเอกเปนแกน x ถาแกนเอกเปนแกน y สมการวงร 1

by

ax

2

2

2

2=+ 1

bx

ay

2

2

2

2=+

จดยอด (-a,0), (a,0) (0,-a), (0,a) โฟกส (-c,0), (c,0) (0,-c), (0,c) ไดเรกตรกซ x = -

ea , x =

ea y = -

ea , y =

ea

ตวอยาง 3.6 จงหาครงแกนเอก ครงแกนโท eccentricity พกดของโฟกส จดยอด สมการ

ของไดเรกตรกซ ความยาวของลาตสเรกตม และวาดกราฟของวงร 9x2 + 4y2 = 36 วธทา จดสมการใหอยในรป มาตรฐานไดดงน คอ

14

x9

y 22=+

จะไดวา แกนเอกเปนแกนของวงร a = 3 , b = 2 ดงนน c = 49 − = 5 และ e = 35

นนคอ ครงแกนเอก a = 3 ครงแกโท b = 2

eccentricity e = 35

โฟกส (0,- 5 ) , (0, 5 ) จดยอด (0,-3) , (0,3)

ไดเรกตรกซ y = - 5

9 , y = 5

9

ความยาวของ ลาตสเรกตม = 38

ซงมกราฟดงน

รปท 3.17



ตวอยาง 3.7 จงเขยนสมการวงร ทแกนของวงรเปนแกน x แกน y และสอดคลองกบเงอนไข

ดงน คอ มจดยอดท (-4,0) ความยาวของลาตสเรกตมเทากบ 2 วธทา เนองจากจดยอดอยท (-4,0) ซงเปนจดบนแกน x เพราะฉะนน แกน x จะเปนแกนเอก

และมคา a = 4

โจทยกาหนดใหความยาวของ ลาตสเรกตม เทากบ 2 นนคอ ab2 2

= 2

แทนคา a = 4 ในสมการจะได b = 2 สมการวงรทตองการ คอ 14

y16x 22

=+

แบบฝกหด 3.3 จงหาครงแกนเอก ครงแกนโท eccentricity พกดของโฟกส จดยอด สมการของไดเรกตรกซ ความยาวของลาตสเรกตม และวาดกราฟของวงรตอไปน

1. 19

y25x 22

=+

2. 125y

169x 22

=+

3. 1144x

169y 22

=+

4. 116y

25x 22

=+

5. 125y

49x 22

=+

6. 9x2 + 16y2 = 144 7. 4x2 + 25y2 = 100 8. 4x2 + y2 = 9 9. x2 + 4y2 = 4 10. 3x2 + 2y2 = 6

จงเขยนสมการของวงร ทแกนของวงรเปนแกน x แกน y และสอดคลองกบเงอนไข ตอไปน 11. จดยอด (4,0) จดปลายของแกนโท (0,3) 12. โฟกส (2,0) จดยอด (5,0) 13. โฟกส (0,-4) แกนโทยาว 4 14. แกนโทยาว 12 จดยอด (9,0) 15. โฟกส (0,3) ความยาวลาตสเรกตม 9



16. จดปลายแกนโท (0,5) ความยาวลาตสเรกตม 1350

17. โฟกส (5,0) และ eccentricity 85

18. ผานจด (5,3) และ (35 ,7)

19. โฟกสอยบนแกน x และผานจด (-3, 32 ) , (4,3

54 )

20. ครงแกนเอกอยบนแกน y ยาว 4 หนวย ความยาวของลาตสเรกตม 29

ทฤษฎบท 3.10 สมการของวงรทมจดศนยกลางท C(h,k) โฟกสอยท F1(h-c,k) และ

F2(h+c,k) เมอ c > 0 และคาคงทเทากบ 2a ซง 2a > 2c คอ

2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

+− = 1 เมอ b = 22 ca − , 0 < b < a

รปท 3.18 พสจน (จากรปท 3.18) จด P(x,y) เปนจดใด ๆ บนวงร กตอเมอ |F2P| + |F1P| = 2a

↔ 22 )ky()chx( −+−− + 22 )ky()chx( −++− = 2a ↔ 22 )ky()c)hx(( −+−− + 22 )ky()c)hx(( −++− = 2a

ซงเหมอนกบสมการ (3) ในการพสจน ทฤษฎบท 3.6 เมอ x และ y ใน (3) เปน x - h และ y – k ตามลาดบ และใชวธการพสจนทานองเดยวกนกบ ทฤษฎบทท 1 เราจะไดผลตามตองการ ทฤษฎบท 3.11 สมการของวงรทมจดศนยกลางท C(h,k) โฟกสอยท F1(h, k-c) และ

F2(h, k+c) เมอ c > 0 และคาคงทเทากบ 2a ซง 2a > 2c คอ

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

+− = 1 เมอ b = 22 ca − , 0 < b < a



หมายเหต เรยกสมการใน ทฤษฎบทท 3.10 และ 3.11 วา สมการรปมาตรฐานของวงร สรปเกยวกบวงรทมจดศนยกลางอยท (h,k)

a : ครงแกนเอก b : ครงแกนโท c : ระยะทางจากจดศนยกลางถงโฟกส e : ecentricity, 0 < e < 1

ab2 2

: ความยาวของ ลาตสเรกตม

a2 = b2 + c2 , a > b > 0 , a > c > 0 , e = ac

ถาแกนเอกขนานกบแกน x ถาแกนเอกขนานกบแกน y สมการวงร

2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

+− = 1

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

+− = 1

จดยอด (h-a,k), (h+a,k) (h,k-a), (h,k+a) โฟกส (h-c,k), (h+c,k) (h,k-c), (h,k+c) ไดเรกตรกซ x = h -

ea , x = h +

ea y = k -

ea , y = k +

ea

จากสมการรปมาตรฐานของวงร 2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

+− = 1 และ

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

+− = 1

จะเหนวาเปนสมการกาลงสอง เราสามารถเขยนใหมในรปทวไปไดเปน Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ AC > 0 หรอ x2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ C > 0 ตวอยาง 3.8 จงหาจดศนยกลาง ครงแกนเอก ครงแกนโท จดยอด โฟกส eccentricity สมการไดเรกตรกซ ความยาวของลาตสเรกตม และวาดกราฟของสมการวงร

4y2 + 9x2 - 72x - 24y + 144 = 0 วธทา 4(y2 – 6y) + 9(x2 – 8x) = - 144 4(y2 – 6y + 9) + 9(x2 – 8x + 16) = - 144 + 36 + 144

4(y – 3)2 + 9(x – 4)2 = 36

14

)4x(9

)3y( 22=

−+

−

จากสมการจะเหนวา จดศนยกลาง คอ (4,3)



a = 3 , b = 2 , c = 22 ba − = 49 − = 5

รปท 3.19 จดยอดอยท (4,0) และ (4,6) โฟกสอยท (4, 3- 5 ) และ (4, 3+ 5 )

e = ac =

35

สมการเสนไดเรกตรกซ คอ y = 3 - 5

9 และ y = 3 + 5

9

ตวอยาง 3.9 จงเขยนสมการวงรทม โฟกสอยท (4,-2) และ (10,-2) โดยม (10,-2) เปนจดยอด

รปท 3.20



วธทา จดศนยกลาง จะเปนจดกงกลางระหวางจดโฟกสทงสอง คอ (7,-2) ระยะหางระหวางจดโฟกสทงสองคอ 2c = 6 นนคอ c = 3 ระยะหางระหวางจดศนยกลางกบจดยอด a = 5 ดงนน b = 22 ca − = 925 − = 4 แกนเอกขนานกบแกน x ดงนนสมการของวงรทตองการคอ

16)2y(

25)7x( 22 +

+− = 1

แบบฝกหด 3.4 จงจดสมการตอไปนใหอยในรปมาตรฐาน และหาจดศนยกลาง ครงแกนเอก ครงแกนโท จดยอด โฟกส eccentricity สมการเสนไดเรกตรกซ ความยาวของลาตสเรกตม และวาดกราของสมการวงรตอไปน 1. 3x2 + 2y2 - 24x + 12y + 60 = 0 2. 25x2 + 9y2 + 100x – 54y - 44 = 0 3. 16x2 + 25y2 - 160x - 200y + 400 = 0 4. 8x2 + 4y2 + 24x + 4y - 10 = 0

จงเขยนสมการและวาดกราฟของวงร ตามเงอนไขตอไปน 5. จดศนยกลาง (5,1) จดยอด (5,4) และจดปลายแกนโท (3,1) 6. จดยอด (3,6) โฟกส (3,-4) และ (3,4) 7. จดปลายแกนเอก (2,-1) และ (-4,-1) โฟกส (1,-1) 8. จดยอด (-1,3) และ (5,3) ความยาวแกนโท 4 9. โฟกส (-4,3) , (4,3) และ ความยาวของแกนเอก 12 10. แกนของวงรขนานกบแกน x, y และกราฟผานจด (0,1) , (1,-1) , (2,2) , (4,0)



ไฮเปอรโบลา (Hyperbola) นยาม 3.3 ไฮเปอรโบลา คอเซตของจดทกจดบนระนาบทผลตางของระยะทางจากจดนนไปยง

จดคงทสองจดทมคาคงทเปนบวก และนอยกวาระยะหางระหวางจดคงททงสองนน

รปท 3.21

จากรปท 3.21 F1, F2 เปนจดคงทสองจด เรยกจดคงททงสองจดนวา จดโฟกส เรยกเสนตรงทผานโฟกส F1 และ F2 วา แกนผาน (transverse axis) เรยกเสนตรงทแบงครงและตงฉากกบแกนผานวา แกนคอนจเกต (conjugate axis) เรยกจดตดระหวางแกนผานและแกนคอนจเกตวา จดศนยกลาง ใชสญลกษณแทนวา C เรยกจดทกราฟโฮเปอรโบลาตดแกนวา จดยอด (vertex) ใชสญลกษณแทนวา V1, V2 และเรยกคอรดทผานโฟกสและตงฉากกบแกนผานวา เลตสเรคตม (latus rectum) จากนยามของไฮเปอรโบลา เราสามารถวาดไฮเปอรโบลาใหสมจรงไดโดยปฏบต ดงตอไปน

รปท 3.22



จากรป ให F1 , F2 เปนจดคงท (โฟกส) ใชตาปตอกท F1 และ F2 ตาแหนงละตว นาเชอกยาวพอประมาณมาคลอง F1 , F2 แลวโยงไปคลองดนสอและมดใหแนน (ทจด P) จากจด P โยงกลบมาคลองจด F1 นาปลายทงสองมารวมกนท G ดงรป วธการวาดกราฟ ใชมอหนงจบปลายเชอกทงสองท G และใชอกมอหนงจบทดนสอใหตงฉากกบพนลากดนสอไป โดยคอย ๆ ผอนเชอกจากตาแหนง G หรอ คอย ๆ ดง แลวแตกรณ ทงนจะตองใหเชอกทกสวนตง จากรปไมวาเราจะผอนหรอดงเชอกจากตาแหนง G สกเทาไร ผลตางของ |F1P| - |PF2| จะคงทเสมอ ทงน เพราะเวลาเราผอนเชอกทตาแหนง G เชอกจะไดผอนเทา ๆ กนทงสองเสน นนคอ |F1P| - |PF2| ยงคงเทาเดม ในทานองเดยวกน ถาเราดงเชอกทตาแหนง G เชอกจะถกดงพรอม ๆ กนทงสองเสน นนคอ ความยาวของ |F1P| และ |PF2| จะลดลงเสนละเทา ๆ กน ฉะนนผลตาง |F1P| - |PF2| ยงคงเดม ซงทาใหรปทเกดขนจากการกระทาดงกลาวเปนรปไฮเปอรโบลา ทฤษฎบท 3.12 สมการของไฮเปอรโบลาทมโฟกสอยท F1(-c,0) และ F2(c,0) เมอ c > 0

และ คาคงทเทากบ 2a ซง 2c > 2a > 0 คอ

2

2

2

2

by

ax

− = 1 เมอ b = 22 ac − ……………………. (1)

รปท 3.23 พสจน จากรปท 3.23 จด P(x,y) เปนจดใด ๆ บนไฮเปอรโบลา กตอเมอ

||F2P| - |F1P|| = 2a หรอ |F2P| - |F1P| = ±2a (2) ↔ 22 y)cx( +− - 22 y)cx( ++ = ±2a (3) ↔ 22 y)cx( +− = 22 y)cx( ++ ± 2a (4) → x2 – 2cx + c2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 ± 4a 22 y)cx( ++ + 4a2 (5)



↔ ± 4a 22 y)cx( ++ = 4a2 + 4cx (6)

↔ 22 y)cx( ++ = ±(a + ac x) (7)

→ x2 + 2cx + c2 + y2 = a2 + 2cx + 2

2

ac x2 (8)

↔ (2

2

ac -1)x2 - y2 = c2 - a2 (9)

↔ 2

2

ab x2 - y2 = b2 , b2 = c2 – a2 (10)

↔ 2

2

2

2

by

ax

− = 1

จากการพสจนทผานมา เปนเพยงการแสดงวา ถา P(x,y) อยบนกราฟของไฮเปอรโบลา แลว จะไดวา

2

2

2

2

by

ax

− = 1

แตยงไมเพยงพอทจะประกนไดวา จดตาง ๆ ทสอดคลองกบสมการ 2

2

2

2

by

ax

− = 1

จะอยบนกราฟของไฮเปอรโบลา

ตอไปนจะแสดงใหเหนวา ถา P(x,y) เปนจดใด ๆ ทสอดคลองกบสมการ 2

2

2

2

by

ax

− = 1

แลว จด P(x,y) จะอยบนกราฟของไฮเปอรโบลา

ให P(x,y) เปนจดใด ๆ ทสอดคลองกบ 2

2

2

2

by

ax

− = 1 นนคอ (1) เปนจรง

จากการพสจนขางตนจะเหนวา ถาเราสามารถแสดงใหเหนวา (8) → (7) และ (5) → (4) แลว เราจะสรปไดทนทวา P(x,y) อยบนกราฟของไฮเปอรโบลา ตามตองการ ถา (x,y) สอดคลองกบสมการ (1) แลวจะไดวา x ≥ a หรอ x ≤ -a

กรณท 1 ถา x ≥ a แลว a + xac ≥ a + c > 0

จะไดวา 22 y)cx( ++ = a + xac (11)

กรณท 2 ถา x ≤ -a แลว a + xac ≤ a - c < 0

จะไดวา 22 y)cx( ++ = -(a + xac ) (12)

นนคอ (8) → (7)

จาก (11) 22 y)cx( ++ = (a + xac )

↔ 22 y)cx( ++ -2a = xac - a

ซง xac - a > c – a > 0



เพราะฉะนน 22 y)cx( ++ - 2a > 0

จาก (12) 22 y)cx( ++ = -(a + xac )

↔ 22 y)cx( ++ + 2a = (a - xac )

ซง a - xac ≥ c – a > 0

เพราะฉะนน 22 y)cx( ++ + 2a > 0 นนคอ (5) → (4) ทฤษฎบท 3.13 สมการของไฮเปอรโบลาทม โฟกสอยท F1(0,-c) และ F2(0,c) เมอ c > 0

และคาคงทเทากบ 2a ซง 2c > 2a > 0 คอ 1bx

ay

2

2

2

2=− เมอ b = 22 ac −

หมายเหต เรยกสมการใน ทฤษฎบท 3.12 และ 3.13 วาสมการรปมาตรฐานของไฮเปอรโบลา

จากสมการไฮเปอรโบลา 1bx

ay

2

2

2

2=−

เราสามารถหาจด V1 , V2 ไดโดย การแทนคา y = 0 เพราะฉะนน x = a , -a นนคอ V1 , V2 มพกดเปน (-a,0) และ (a,0) ตามลาดบ และระยะหางระหวาง V1 กบ V2 เทากบ 2a นยาม 3.4 เรยกสวนของเสนตรงระหวางจดยอด V1 , V2 วา แกนผาน เรยก a และ b

วา ครงแกนผาน และครงแกนคอนจเกต ตามลาดบ ทฤษฎบท 3.14 ให a > b > 0 และ b = 22 ac − ไฮเปอรโบลาทมสมการเปน

2

2

2

2

by

ax

− = 1

คอเสนโคงทมความเยองศนยกลางมากกวา 1 โฟกสท F2(c,0) และไดเรกตรกซ d2 ม

สมการเปน x = ea (หรอโฟกสท F1(-c,0) ) และไดเรกตรกซ d1 มสมการเปน x = -

ea )



รปท 3.24 พสจน จด P(x,y) อยบนสมการของไฮเปอรโบลา กตอเมอ

2

2

2

2

by

ax

− = 1

เพราะฉะนน y2 = b2(2

2

ax -1)

|PF2|2 = (x – c)2 + y2 = x2 – 2cx + c2 + y2

= x2 – 2cx + c2 + b2(2

2

ax -1)

= x22

22

aba + - 2cx + c2 - b2

= 2

2

ac x2 - 2cx + a2

= 2

2

ac (x2 – 2

ca 2

x + 2

4

ca ) =

2

2

ac (x -

ca 2

)2

ถอดรากทสองทงสองขาง

เพราะฉะนน |PF2| = ac |x -

ca 2

|

ให ac = e เพราะฉะนน |PF2| = e|x -

ea | = e|PE|

หรอ |PE||PF| 2 = e

จากทฤษฎบทท 1 ทราบวา c > a

นนคอ e = ac > 1

เนองจากกราฟของไฮเปอรโบลามคณสมบตสมมาตรเมอเทยบกบแกน y ดงนน การพสจนใน

กรณท ใชจด (-c,0) เปน โฟกส และเสนตรง x = - ea เปนไดเรกตรกซ จงสามารถพสจน

ไดในทานองเดยวกน



ทฤษฎบท 3.15 ให a > b > 0 และ b = 22 ac − ไฮเปอรโบลาทมสมการเปน

1bx

ay

2

2

2

2=−

คอเสนโคงทมความเยองศนยกลางมากกวา 1 โฟกสท F2(0,c) และไดเรกตรกซ d2 ม

สมการเปน y = ea (หรอโฟกสท F1(0,-c) ) และไดเรกตรกซ d1 มสมการเปน y = -

ea )

นยาม 3.5 ให P เปนจดใด ๆ บนกราฟ S , s เปนระยะทางจากจด P ไปยงเสนตรง L

และ r เปนระยะทางจากจด P ไปยงจด กาเนด ถามกราฟ S0 , S0 ⊆ S ท 0slim

r=

∞→ สาหรบ P บน S0 แลว จะเรยกเสนตรง L วาเปน asymptote ของ S

จากนยาม asymptote ของ S คอเสนตรงทมกราฟเขาใกลกราฟของ S มาก เมออยไกลจากจดกาเนด พจารณา asymptote ของไฮเปอรโบลา

รปท 3.25

จากรป พจารณาเสนทะแยงมม L1 และ L2 ของรปสเหลยมผนผาทมจดกาเนดเปนจดตด

กนของเสนทะแยงมม มดานทขนานกบแกน x ยาว 2a และ ดานทขนานกบแกน y ยาว 2b

เสนตรง L1 ผานจดกาเนด และมความชน ab ดงนน มสมการเปน y =

ab x หรอ

y - ab x = 0



เสนตรง L2 ผานจดกาเนด และมความชน - ab ดงนน มสมการเปน y = -

ab x หรอ

y + ab x = 0

ถาเขยนสมการเสนตรง L1 และ L2 ในรปฟงกชนแฝงจะได

(y - ab x)(y +

ab x) = 0

y2 - 22

2x

ab = 0

หรอ 0by

ax

2

2

2

2=−

ตอไปนจะแสดงใหเหนวา L1 และ L2 เปนเสน asymptote ของไฮเปอรโบลาทม

สมการเปน 1by

ax

2

2

2

2=−

ทฤษฎบท 3.16 เสนตรงทมสมการเปน 0by

ax

2

2

2

2=− เปนสมการเสน asymptote ของ

ไฮเปอรโบลาทมสมการเปน 1by

ax

2

2

2

2=−

พสจน เนองจากสมการทกาหนดใหเปนไฮเปอรโบลามคณสมบตสมมาตร โดยแกนทงสอง และ จดกาเนด จงขอแสดงเฉพาะใน quadrant ท 1 เทานน

ใน quadrant ท 1 เสนตรงคอ L1 ซงมสมการเปน y = ab x และสมการสวนของไฮเปอรโบลา

คอ y = 22 axab

−

ให P(x,y) เปนจดใด ๆ บนกราฟของไฮเปอรโบลา

เพราะฉะนน 1by

ax

2

2

2

2=− หรอ b2x2 – a2y2 = a2b2

ให s เปนระยะทางจาก P ไปยง L1

เพราะฉะนน s =

2

2

ab1

|xaby|

+

− =

22 ba

|bxay|

+

−

= 22 ba

|bxay|

+

−|bxay||bxay|

++

= 22

2222

ba|bxay|

|xbya|

++

−

= 22

22

ba|bxay|

|ba|

++

ให r เปนระยะทางจาก P ไปยงจดกาเนด เพราะฉะนน r = 22 yx + ใน quadrant ท 1 ถา r → ∞ แลว x → ∞ หรอ y → ∞



เพราะฉะนน |bxay|

1+

→ ∞

หรอ slimr ∞→

= 0

นนคอ L1 เปน asymptote ของไฮเปอรโบลา

ทฤษฎบท 3.17 เสนตรงทมสมการเปน 0bx

ay

2

2

2

2=− เปนสมการเสน asymptote ของ

ไฮเปอรโบลาทมสมการเปน 1bx

ay

2

2

2

2=−

คาความยาวของลาตสเรกตม ของไฮเปอรโบลามคาเทากบ ab2 2

ซงเทากบคาความยาว

ของลาตสเรกตม ของไฮเปอรโบลา สรป เกยวกบไฮเปอรโบลาทมจดศนยกลางอยท (0,0)

a : ครงแกนผาน b : ครงแกนคอนจเกต c : ระยะทางจากจดศนยกลางถงโฟกส e : ecentricity, e > 1

ab2 2

: ความยาวของ ลาตสเรกตม

c2 = a2 + b2 , c > a > 0 , c > b > 0 , e = ac

ถาแกนผานเปนแกน x ถาแกนผานเปนแกน y สมการไฮเปอรโบลา 1

by

ax

2

2

2

2=− 1

bx

ay

2

2

2

2=−

จดยอด (-a,0), (a,0) (0,-a), (0,a) โฟกส (-c,0), (c,0) (0,-c), (0,c) ไดเรกตรกซ x = -

ea , x =

ea y = -

ea , y =

ea

Asymptote 0by

ax

2

2

2

2=− 0

bx

ay

2

2

2

2=−

ตวอยาง 3.10 จงหาครงแกนผาน ครงแกนคอนจเกต eccentricity พกดของโฟกส จดยอด

สมการของไดเรกตรกซ asymptote ความยาวของลาตสเรกตม และวาดกราฟของไฮเปอรโบลา 16x2 - 25y2 = 400



วธทา จดสมการใหอยในรป มาตรฐานไดดงน คอ

116y

25x 22

=−

จะไดวา a = 5 , b = 4 นนคอ ครงแกนผาน เทากบ 5 , ครงแกนคอนจเกตเทากบ 4

c = 22 ba + = 41 และ e = 541

โฟกส (- 41 ,0) , ( 41 ,0) จดยอด (-5,0) , (5,0)

ไดเรกตรกซ x = 41

25 , x = -41

25

ความยาวของ ลาตสเรกตม = 5

32

ตวอยาง 3.11 จงเขยนสมการไฮเปอรโบลา ทแกนของไฮเปอรโบลา เปนแกน x แกน y และ

สอดคลองกบเงอนไข ดงน คอ ผานจด (2,3) และโฟกสท (0, 10 ) วธทา เนองจากแกนของไฮเปอรโบลาเปนแกน x แกน y และจดยอดโฟกส (0, 10 ) อยบนแกน y เพราะฉะนน แกน y จะเปนแกนผาน ซงมสมการรปมาตรฐาน คอ

1bx

ay

2

2

2

2=−

กราฟของสมการไฮเปอรโบลา ผานจด (2,3)

1b4

a9

22=−

หรอ 9b2 - 4a2 = a2b2 โฟกสอยท (0, 10 ) นนคอ c = 10 c2 = a2 + b2 a2 + b2 = 10 หรอ a2 = 10 – b2 จาก (1) และ (2) สามารถหาคา a, b ไดดงน คอ a2 = 5 , b2 = 5 สมการไฮเปอรโบลาทตองการ คอ y2 – x2 = 5 นยาม 3.6 ถา asymptote ทงสองเสนของไฮเปอรโบลาตงฉากซงกนและกน เราจะเรยก

ไฮเปอรโบลานนวา rectangular hyperbola

เนองจากความชนของ asymptote L1 , L2 ทงสองเสนของไฮเปอรโบลา คอ ab และ -

ab

L1 ตงฉากกบ L2 กตอเมอ (ab )(-

ab ) = -1 หรอ b2 = a2 หรอ b = ± a



แตเนองจาก a > 0 และ b > 0 นนคอ ไฮเปอรโบลาจะเปน rectangular hyperbola กตอเมอ a = b แบบฝกหด 3.5 จงหาครงแกนผาน ครงแกนคอนจเกต eccentricity พกดของโฟกส จดยอด สมการของไดเรกตรกซ asymptote ความยาวของลาตสเรกตม และวาดกราฟของไฮเปอรโบลาตอไปน

1. 14

y9

x 22=−

2. 125y

9x 22

=−

3. 19

x16y 22

=−

4. 164x

36y 22

=−

5. x2 – y2 = 36 6. y2 – x2 = 49 7. 16x2 - 9y2 = 144 8. 16y2 – 9x2 + 576 = 0 9. 2x2 - 3y2 + 6 = 0 10. 5y2 – 4x2 = 20

จงเขยนสมการของไฮเปอรโบลา ทแกนของไฮเปอรโบลาเปนแกน x แกน y และสอดคลองกบเงอนไข ตอไปน 11. จดยอด (4,0) จดปลายของแกนคอนจเกต (0,3) 12. โฟกส (6,0) จดยอด (4,0) 13. โฟกส (5,0) แกนคอนจเกตยาว 4 14. แกนคอนจเกตยาว 6 จดยอด (0,7) 15. โฟกส (3,0) ความยาว ลาตสเรกตม 5 16. จดปลายแกนคอนจเกต (3,0) ความยาว ลาตสเรกตม 10

17. โฟกส (6,0) และ eccentricity 23

18. ผานจด (6,5) และ (8, 152 )

19. ไดเรกตรกซ คอ y = 4 , asymptote y = 23 x

20. ผานจด (5,3) , asymptote 2y = 3x



ทฤษฎบท 3.18 สมการของไฮเปอรโบลาทมจดศนยกลางท C(h,k) โฟกสอยท F1(h-c,k) และ

F2(h+c,k) เมอ c > 0 และคาคงทเทากบ 2a ซง 2c > 2a > 0 คอ

2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

−− = 1 เมอ b = 22 ac −

รปท 3.26

พสจน (จากรป 3.26) จด P(x,y) เปนจดใด ๆ บนไฮเปอรโบลา กตอเมอ ||F2P| - |F1P|| = 2a หรอ |F2P| - |F1P| = ± 2a

↔ 22 )ky()chx( −+−− - 22 )ky()chx( −++− = ±2a ↔ 22 )ky()c)hx(( −+−− - 22 )ky()c)hx(( −++− = ±2a

ซงเหมอนกบสมการ (3) ในการพสจน ทฤษฎบทท 1 เมอ x และ y ใน (3) เปน x - h และ y – k ตามลาดบ และใชวธการพสจนทานองเดยวกนกบ ทฤษฎบทท 1 เราจะไดผลตามตองการ ทฤษฎบท 3.19 สมการของไฮเปอรโบลา ทมจดศนยกลางท C(h,k) โฟกสอยท F1(h, k-c)

และ F2(h, k+c) เมอ c > 0 และคาคงทเทากบ 2a ซง 2a > 2c คอ

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

−− = 1 เมอ b = 22 ac −

หมายเหต เรยกสมการใน ทฤษฎบท 3.18 และ 3.19 วา สมการรปมาตรฐานของไฮเปอรโบลา



ทฤษฎบท 3.20 เสนตรงทมสมการเปน 2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

−− = 0 และ

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

−− = 0 เปนสมการเสน asymptote ของไฮเปอรโบลา ทมสมการเปน

2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

−− = 1 และ

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

−− = 1 ตามลาดบ

สรปเกยวกบไฮเปอรโบลา ทมจดศนยกลางอยท (h,k)

a : ครงแกนผาน b : ครงแกนคอนจเกต c : ระยะทางจากจดศนยกลางถงโฟกส e : ecentricity, e > 1

ab2 2

: ความยาวของลาตสเรกตม

c2 = a2 + b2 , c > a > 0 , c > b > 0 , e = ac

ถาแกนผานขนานกบแกน x ถาแกนผานขนานกบแกน y สมการไฮเปอรโบลา

2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

−− = 1

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

+− = 1

จดยอด (h-a,k), (h+a,k) (h,k-a), (h,k+a) โฟกส (h-c,k), (h+c,k) (h,k-c), (h,k+c) ไดเรกตรกซ x = h -

ea , x = h +

ea y = k -

ea , y = k +

ea

Asymptote 2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

−− = 0

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

+− = 0

จากสมการรปมาตรฐานของไฮเปอรโบลา 2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

−− = 1 และ

2

2

2

2

b)kx(

a)hy( −

+− = 1

จะเหนวาเปนสมการกาลงสอง เราสามารถเขยนใหมในรปทวไปไดเปน Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ AC < 0 หรอ x2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ C < 0 ทฤษฎบท 3.21 ให Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ AC < 0

เปนสมการซงสามารถเขยนอยในรป A(x + A2

D )2 + C(y + C2E )2 = M เมอ

M = FC4

EA4

D 22−+



1. ถา M = 0 แลว กราฟของสมการจะเปนเสนตรงสองเสน 2. ถา M ≠ 0 แลว กราฟของสมการจะเปนไฮเปอรโบลา ทจดศนยกลางอยท

(-A2

D ,-C2E ) และแกนผานขนานกบแกน x ถา

AM > 0

หรอแกนผานขนานกบแกน y ถา AM < 0

ตวอยาง 3.12 จงจดสมการตอไปนใหอยในรปมาตรฐาน และหาจดศนยกลาง ครงแกนผาน

ครงแกนคอนจเกต จดยอด โฟกส eccentricity สมการไดเรกตรกซ สมการ asymptote ความยาวของลาตสเรกตม และวาดกราฟของสมการไฮเปอรโบลา

3y2 +6y –x2 +2x +11 = 0 วธทา เปรยบเทยบสมการทกาหนดใหกบสมการรปทวไป ไดวา A = -1 , C = 3 , D = 2 , E = 6 , F = 11

แทนคาใน A(x + A2

D )2 + C(y + C2E )2 = M เมอ M = F

C4E

A4D 22

−+

ไดดงน คอ -1(x – 1)2 + 3(y + 1)2 = -1 + 3 – 11

สมการมาตรฐานเปน 3

)1y(9

)1x( 22 +−

− = 1

จากสมการจะเหนวา จดศนยกลาง คอ (1,-1) a = 3 , b = 3 , c = 12 จดยอดอยท (-2,-1) และ (4,-1) โฟกสอยท (1- 12 ,-1) และ (1+ 12 ,-1)

e = ac =

312

สมการเสนไดเรกตรกซ คอ x = 1 - 129 และ x = 1 +

129

Asymptote : 3

)1y(9

)1x( 22 +−

− = 0

ความยาวลาตสเรกตม เทากบ 2



แบบฝกหด 3.6 จงจดสมการตอไปนใหอยในรปมาตรฐาน และหาจดศนยกลาง ครงแกนผาน ครงแกนคอนจเกต จดยอด โฟกส eccentricity สมการเสนไดเรกตรกซ สมการ asymptote ความยาวของลาตสเรกตม และวาดกราฟของสมการไฮเปอรโบลา ตอไปน 1. 5x2 - 4y2 - 30x - 32y = 99 2. 2x2 - 3y2 - 8x + 6y - 1 = 0 3. 4y2 – 3x2 –18x – 16y - 23 = 0 4. 21y2 – 4x2 + 48y - 32x = 64

จงเขยนสมการและวาดกราฟของไฮเปอรโบลา ตามเงอนไขตอไปน 5. จดศนยกลาง (1,3) จดยอด (4,3) และจดปลายแกนคอนจเกต (1,1) 6. จดยอด (0,-4) โฟกส (0,-5) และ (0,1) 7. จดปลายแกนผาน (3,-1) และ (3,5) โฟกส (3,7) 8. จดยอด (3,-1) และ (3,5) ความยาวแกนคอนจเกต 6 จงสารวจดวาสมการตอไปน เปนสมการของไฮเปอรโบลา หรอ สมการของเสนตรงสองเสน 9. 5x2 – 4y2 – 20x – 24y + 4 = 0 10. 4y2 – x2 + 2x – 1 = 0 11. 9x2 – 4y2 – 18x – 24y – 27 = 0 12. x2 – y2 – 12x + 16y – 36 = 0

ลมตของฟงกชน 75


บทท 4 ลมตของฟงกชน (Limit of Functions)

นยาม 4.1 ถา f เปนฟงกชนทม D เปนโดเมน และ x ∈ D แลว เราจะเรยก f(x) วา

คาของฟงกชน f ณ จด x เชนให f เปนฟงกชนทนยามวา f(x) = 2x – 3 คาของฟงกชน f ณ จด 2 คอ

f(2) = 2 × 2 - 3 = 1 ลมตของฟงกชน f เมอ x เขาส a เราจะเขยนสญลกษณแทนวา )x(flim

ax→

หมายถงแนวโนมของคาของฟงกชน f เมอ x เขาใกล a แตไมถง a

เชนให f เปนฟงกชนทนยามวา f(x) = ⎩⎨⎧

=≠

1 x 21 x x

จากนยามของ f จะเหนวา f(x) = x เมอ x ≠ 1 และ f(1) = 2 เมอ x = 1 หรอถา x เขาใกล 1 แตไมถง 1 คา f(x) เขาใกล 1 นนคอ ลมตของฟงกชน เมอ f เขาส 1 มคาเขาส 1 ซงเขยนสญลกษณแทนวา )x(flim

1x→ = 1

จะเหนวา คาของฟงกชน f ณ จด 1 ไมจาเปนตองเทากบคาของลมตของฟงกชน f เมอ x เขาส 1 นยาม 4.2 ให a, A ∈ R ลมตของฟงกชน f เมอ x เขาส a มคาเขาส A ซง

เขยนสญลกษณแทนวา )x(flimax→

= A กตอเมอ กาหนดจานวนบวก ε ใด ๆ

ขนมาไมวาจะมคานอยเพยงใดกตามเราสามารถหาคาจานวนบวกอกตวหนง δ โดยท |f(x) – A| < ε สาหรบทก ๆ คาของ x ในโดเมนของ f ซงสอดคลองกบสมการ 0 < |x – a| < δ

ผใหนยามของลมตแบบนคอ Cauchy นกคณตศาสตรชาวฝรงเศส ซงเกดในป ค.ศ. 1787 ในนยามทเขยนวา 0 < |x – a| หมายความวา x ≠ a และ |x – a| < δ แสดงวา

a - δ < x < a + δ หรอ x ∈ ( a - δ, x + δ) ทเขยนวา 0 < |x – a| < δ หมายความวา x ∈ ( a - δ, x + δ) และ x ≠ a

76 ลมตของฟงกชน


x

δδ

a-δ a+δa

A

δδ

ε

ε

a

x

y

→A

δδ

εε

a

รปท 4.1 x ซงสอดคลองกบ 0 < |x – a| < δ

และทเขยนวา |f(x) – A| < ε นนหมายความวา A - ε < f(x) < A + ε รปท 4.2 รปท 4.3 รปท 4.2 A เปนลมตของ f เมอ x เขาส a หรอ )x(flim

ax→ = A

ทงนเพราะวา เมอเรากาหนด ε > 0 แลวเราสามารถหา δ > 0 ททาให |f(x) – A| < ε

ทก ๆ คา x ทสอดคลองกบ 0 < |x – a| < δ หรอพดใหมไดวา เมอกาหนด ε > 0 แลวสามารถหา δ > 0 ททาให ถา 0 < |x – a| < δ แลว |f(x) – A| < ε รปท 4.3 A’ ไมเปนลมตของ f เมอ x เขาส a ทงนเพราะวา เมอเรา กาหนด ε > 0 ขน ดงรป เราไมสามารถหา δ > 0 ททาให คณสมบตทวา ถา 0 < |x – a| < δ แลว |f(x) – A’| < ε ได ฉะนน การทเราจะแสดงวา )x(flim

ax→ = A

เราจะตองแสดงใหเหนจรงดงน คอ ถากาหนดคา ε > 0 แลว เราจะตองหาคา δ > 0 ททาให ถา 0 < |x – a| < δ แลว |f(x) – A| < ε เปนจรง



ตวอยาง 4.1 จงแสดงใหเหนวา )7x2(lim1x

+→

= 9

วธคด นนคอ ถากาหนด ε > 0 เราจะตองหาคา δ > 0 ททาให ถา 0 < |x – 1| < δ แลว |(2x + 7) – 9| < ε พจารณา |(2x + 7) – 9| จะเหนวา |(2x + 7) – 9| = |2x – 2| = 2|x – 1| ซง 2|x – 1| < 2δ นนคอ |(2x + 7) – 9| < 2δ แตเราตองการให |(2x + 7) – 9| < ε นนคอ 2δ = ε ซงจะไดวา δ = ε/2 วธทา ให ε > 0 จะตองหา δ > 0 ททาใหคณสมบตตอไปนเปนจรง ถา 0 < |x – 1| < δ แลว |(2x + 7) – 9| < ε ให δ = ε/2 เพราะฉะนน |(2x + 7) – 9| = |2x – 2| = 2|x – 1| < 2δ = 2ε/2 = ε นนคอ δ = ε/2 ททาให ถา 0 < |x – 1| < ε/2 แลว |(2x + 7) – 9| < ε

)7x2(lim1x

+→

= 9

หมายเหต วธคด ไมตองแสดงใหด

ตวอยาง 4.2 จงพสจนวา 3x9xlim

2

3x −−

→ = 6

แนวคด 63x9x 2−

−− = 6

)3x()3x)(3x(−

−+− = x + 3 – 6 = x - 3

| 63x9x 2−

−− | = |x – 3| < δ

จะตองเลอก δ ททาให δ ≤ ε พสจน กาหนดให ε > 0 จะม δ ซง 0 < δ ≤ ε ททาให

สาหรบทก ๆ คาของ x ท 0 < |x – 3| < δ แลว | 63x9x 2−

−− | = |x - 3| < δ ≤ ε

3x9xlim

2

3x −−

→ = 6

ตวอยาง 4.3 จงแสดงใหเหนวา )xx2(lim 2

3x+

−→ = 15

วธคด ถากาหนด ε > 0 จะตองหา δ > 0 ททาให ถา 0 < |x – 3| < δ แลว |2x2 + x - 15| < ε พจารณา |2x2 + x - 15| = |2x – 5||x + 3| เราทราบวา |x + 3| < δ แตยงไมทราบวา |2x – 5| < ?



ให δ = 1 ดงนน |x + 3| < 1 จะไดวา -1 < x + 3 < 1 → -2 < 2x + 6 < 2 → -13 < 2x - 5 < -9

→ -13 < 2x - 5 < 13 → |2x – 5| < 13 จะเหนวา |2x – 5||x + 3| < 13δ เพราะฉะนนควรเลอก δ = ε/13 (ตองการให 13δ = ε) แตเราเคยกาหนดให δ = 1 ดงนน ควรเลอก δ = min(1,ε/13) วธทา ให ε > 0 จะตองหา δ > 0 ททาให

ถา 0 < |x – 3| < δ แลว |2x2 + x - 15| < ε

ให δ = 1 เพราะฉะนน |x + 3| < 1 → -1 < x + 3 < 1

→ -2 < 2x + 6 < 2 → -13 < 2x - 5 < -9

→ -13 < 2x - 5 < 13 → |2x – 5| < 13 เนองจาก |2x2 + x – 15| = |2x – 5||x + 3| เลอก δ = min(1,ε/13) กรณท 1 1 ≤ ε/13 เพราะฉะนน δ = 1

|2x2 + x – 15| = |2x – 5||x + 3| < 13 δ = 13(1) ≤ 13(ε/13) = ε กรณท 2 ε/13 ≤ 1 เพราะฉะนน δ = ε/13

|2x2 + x – 15| = |2x – 5||x + 3| < 13 δ = 13(ε/13) = ε นนคอ δ = min(1,ε/13) ทาให ถา 0 < |x – 3| < δ แลว |2x2 + x – 15| < ε นนคอ )xx2(lim 2

3x+

−→ = 15

ตวอยาง 4.4 จงแสดงใหเหนวา 1x25x3lim

1x −−

→ = -2

วธคด )2(1x25x3

−−−− =

1x22x45x3

−−+− =

1x27x7

−− =

|1x2||1x|7

−−

เพราะวา |x – 1| < δ ให δ = 1/4 ซงจะไดวา - 1/4 < x – 1 < 1/4 → - 1/2 < 2x – 2 < 1/2



→ 1/2 < 2x – 1 < 3/2 → |2x – 1| > 1/2

→ |1x2|

1−

< 2

ทาให )2(1x25x3

−−−− =

|1x2||1x|7

−− < 7(2) δ

ซงจะตองให 14 δ = ε ควรเลอก δ = min(1/4,ε/14) วธทา ให ε > 0 จะตองหา δ > 0 ททาให

ถา 0 < |x – 1| < δ แลว )2(1x25x3

−−−− < ε

ให δ = 1/4 ซงจะไดวา - 1/4 < x – 1 < 1/4 → - 1/2 < 2x – 2 < 1/2 → 1/2 < 2x – 1 < 3/2 → |2x – 1| > 1/2

→ |1x2|

1−

< 2

เลอก δ = min(1/4,ε/14)

)2(1x25x3

−−−− =

1x22x45x3

−−+− =

1x27x7

−− =

|1x2||1x|7

−− < 7(2) δ ≤ ε

นนแสดงใหเหนวา 1x25x3lim

1x −−

→ = -2

แบบฝกหด 4.1 จงแสดงใหเหนวา 1. )5x2(lim

2x+

→ = 9

2. )9x5x2(lim 21x

+−→

= 5

3. )xx(lim 2

2x+

→ = 6

4. )4x3x(lim 21x

+−→

= 2

5. )x3x(lim 25x

−→

= 10

6. )3x)(2x(lim0x

++→

= 6

7. xlim9x→

= 3

8. 1x

2lim3x −→

= 1

9. 1x1x2lim

2x −−

→ = 5/3



10. 2x4xlim

2

2x −−

→ = 4

11. 2x

12x8xlim2

2x −+−

→ = -4

12. 1x2

1lim0x +→

= 1

13. 5x3

4lim2x −→

= 4

14. 3x2xlim

4x −+

→ = 6

15. 1x4xlim

2

1x −−

−→ = 3/2

ทฤษฎบท 4.1 (Uniqueness of Limits)

ถา A)x(flimax

=→

และ B)x(flimax

=→

แลว A = B

พสจน เนองจาก A)x(flimax

=→

และ B)x(flimax

=→

ถากาหนด ε > 0 จะม δ > 0 ททาให |f(x) – A| < ε/2 สาหรบทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ1 และ |f(x) – B| < ε/2 สาหรบทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ2

ให δ = min(δ1, δ2) ถา 0 < |x – a| < δ จะไดวา

0 < |x – a| < δ1 และ 0 < |x – a| < δ2 ซงมผลทาให |f(x) – A| < ε/2 และ |f(x) – B| < ε/2 สาหรบทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ จะไดวา |A – B| = |(A – f(x)) + (f(x) – B)|

≤ |A – f(x)| + |f(x) – B| = |f(x) – A| + |f(x) – B| < ε/2 + ε/2 = ε นนคอ |A – B| < ε สาหรบทก ๆ จานวน ε นนแสดงวา |A – B| = 0 หรอ A = B ทฤษฎบท 4.2 (Obvious Limit) ถา f เปนฟงกชนเอกลกษณ นนคอ f(x) = x ทก ๆ x แลว a)x(flim

ax=

→

พสจน ให ε > 0 จะตองหา δ > 0 ซง ถา 0 < |x – a| < δ แลว |f(x) – a| < ε เลอก δ = ε จะไดวา |f(x) – a| = |x – a| < δ = ε นนคอ a)x(flim

ax=

→



ทฤษฎบท 4.3 (Limit of a Constant) ถา f เปนฟงกชนคงท นนคอ f(x) = c ทก ๆ x แลว c)x(flim

ax=

→

พสจน ให ε > 0 จะตองหา δ > 0 ททาให |f(x) – c| < ε ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < δ

เพราะวา |f(x) - c| = |c – c| = 0 < ε จะเหนวา เลอก δ เปนจานวนบวกใด ๆ กได |f(x) - c| < ε นนคอ c)x(flim

ax=

→

ทฤษฎบท 4.4 (Limit of a Equal Functions) สมมตวามจานวน h > 0 ซงทาให f(x) = g(x) ทก ๆ x ท 0 < |x – a| < h และถา k)x(flim

ax=

→ แลว k)x(glim

ax=

→

พสจน เนองจาก k)x(flimax

=→

ดงนน ถากาหนดให ε > 0 จะม δ1 > 0 ททาให

|f(x) – k| < ε ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < δ1 เลอก δ = min(δ1, h) สาหรบทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ จะไดวา f(x) = g(x) และ |f(x) – k| < ε ซงทาให |g(x) – k| < ε แสดงวา k)x(glim

ax=

→

ทฤษฎบท 4.5 ถา f และ g เปนฟงกชนทม F)x(flim

ax=

→ แลว G)x(glim

ax=

→ แลว GF)x(g)x(flim

ax±=±

→

พสจน กาหนดให ε > 0 จะตองหา δ > 0 ททาให ถา 0 < |x – a| < δ แลว |f(x) + g(x) – (F + G)| < ε

เนองจาก F)x(flimax

=→

ดงนนจะม δ1 > 0 ททาให ถา 0 < |x – a| < δ1 แลว

|f(x) – F| < ε/2 และเนองจาก G)x(glim

ax=

→ ดงนนจะม δ2 > 0 ททาให ถา 0 < |x – a| < δ2 แลว

|g(x) – G| < ε/2 เลอก δ = min(δ1, δ2) ดงนน สาหรบทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ จะไดวา |f(x) – F| < ε/2 และ |g(x) – G| < ε/2 ซงทาให |f(x) + g(x) – (F + G)| ≤ |f(x) – F| + |g(x) – G| < ε/2 + ε/2 = ε



แสดงวา GF)x(g)x(flimax

+=+→

และเพราะวา |f(x) - g(x) – (F - G)| ≤ |f(x) – F| + |G - g(x)| = |f(x) – F| + |g(x) - G| < ε/2 + ε/2 = ε

แสดงวา GF)x(g)x(flimax

−=−→

บทแทรก 4.6 ถา f1, f2, … fn เปนฟงกชนทม

11axF)x(flim =

→ , 22ax

F)x(flim =→

, …, nnaxF)x(flim =

→

แลว n21n21axF...FF)]x(f...)x(f)x(f[lim ±±±=±±±

→

ตวอยาง 4.5 จงหาคาของ )4x(lim

5x+

→

วธทา )4x(lim5x

+→

= xlim5x→

+ 4lim5x→

= 5 + 4 = 9 ทฤษฎบท 4.7 ถา f และ g เปนฟงกชนทม )x(flim

ax→ = F และ )x(glim

ax→ = G แลว )x(g)x(flim

ax→ = FG

พสจน กาหนดให ε > 0 จะตองหา δ > 0 ซงทาให ถา 0 < |x – a| < δ แลว |f(x)g(x) – FG| < ε

|f(x)| = |F + (f(x) – F)| ≤ |F| + |f(x) – F| เพราะวา )x(flim

ax→ = F

เพราะฉะนนจะม δ1 > 0 ททาให ถา 0 < |x – a| < δ1 แลว |f(x) – F| < 1

และจะม δ2 > 0 ททาให ถา 0 < |x – a| < δ2 แลว |f(x) – F| < 1|G||F| ++

ε

เพราะวา )x(glimax→

= G

เพราะฉะนนจะม δ3 > 0 ททาให ถา 0 < |x – a| < δ3 แลว

|g(x) – G| < 1|G||F| ++

ε

เลอก δ = min(δ1 , δ2 , δ3) เพราะฉะนน ถา 0 < |x – a| < δ แลว |f(x) – F| < 1,

|f(x) – F| < 1|G||F| ++

ε และ |g(x) – G| < 1|G||F| ++

ε

เพราะฉะนน f(x)g(x) – FG = f(x)g(x) – Gf(x) + Gf(x) – FG



= f(x)[g(x) - G] + G[f(x) – F] |f(x)g(x) – FG| ≤ |f(x)||g(x) – G| + |G||f(x) – F|

< (|F| + 1) 1|G||F| ++

ε + G1|G||F| ++

ε = ε

เพราะฉะนน )x(g)x(flimax→

= FG

บทแทรก 4.8 ถา f1, f2, f3, …,fn เปนฟงกชนทม

)x(flim 1ax→ = F1 , )x(flim 2ax→

= F2 ,…, )x(flim nax→ = Fn แลว

)x(f)...x(f)x(flim n21ax→ = F1F2…Fn

บทแทรก 4.9 ถา f เปนฟงกชนทม )x(flim

ax→ = F และ c เปนคาคงทใด ๆ

แลว )x(cflimax→

= cF

ตวอยาง 4.6 จงหาคาของ 2

7xx2lim

→

วธทา 27x

x2lim→

= 2 27x

xlim→

= 2 xxlim7x→

= 2 xlim7x→

xlim7x→

= 2(7)(7) = 98 บทแทรก 4.10 ถา f เปนฟงกชน และ n เปนจานวนเตมบวกแลว

nax

)]x(f[lim→

= nax

)]x(flim[→

พสจน จากบทแทรก 4.8 และทฤษฎบท 4.7 ถาให f = f1 = f2 = … = fn จะไดผลตามทตองการ

ทฤษฎบท 4.11 ถา f และ g เปนฟงกชนทม )x(flim

ax→ = F และ )x(glim

ax→ = G โดยท

G ≠ 0 แลว )x(g)x(flim

ax→ =

GF

พสจน ในตอนแรกจะพสจนวา )x(g

1limax→

= G1

กาหนดให ε > 0 จะตองหา δ > 0 ซง G1

)x(g1

− < ε ทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ

เพราะวา )x(glimax→

= G



เพราะฉะนน จะม δ1 > 0 ซงทาให ถา 0 < |x – a| < δ1 แลว |g(x) – G| < 2

|G|

เพราะวา G = G – g(x) + g(x)

เพราะฉะนน |G| ≤ |G – g(x)| + |g(x)| < 2

|G| + |g(x)|

หรอ |g(x)| > 2

|G| ซงสรปไดวา |)x(g|

1 < |G|

2

และจะม δ2 > 0 ซงทาให ถา 0 < |x – a| < δ2 แลว |g(x) – G| < 2

G2ε

เลอก δ = min(δ1, δ2) ทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ

|)x(g|1 <

|G|2 และ |g(x) – G| <

2G2ε

เพราะฉะนน G1

)x(g1

− = |)x(g||G||)x(gG| − <

2G2ε

|G|2 = ε

นนคอ )x(g

1limax→

= G1

เพราะฉะนน )x(g)x(flim

ax→ = ]

)x(g1)x(f[lim

ax→ = F

G1 =

GF

ตวอยาง 4.7 จงหาคาของ 1x26x5lim

1x −+

→

วธทา 1x26x5lim

1x −+

→ =

1x2lim

6x5lim

1x

1x

−

+

→

→ = 1)1(26)1(5

−+ = 11

ทฤษฎบท 4.12 ถา )x(flim

ax→ = A แลว |)x(f|lim

ax→ = |A|

พสจน เนองจาก )x(flimax→

= A ให ε > 0 จะม δ > 0 ททาให |f(x) – A| < ε

ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < δ และ ||f(x)| - |A|| ≤ |f(x) – A| < ε นนคอ |)x(f|lim

ax→ = |A|


ax→ = A และม h > 0 ททาให f(x) ≤ 0 ทก ๆ x ท

0 < |x – a| < h แลว A ≤ 0 พสจน เนองจาก )x(flim

ax→ = A ให ε > 0 จะม δ1 > 0

ททาให |f(x) – A| < ε ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < δ1 และเนองจาก f(x) ≤ 0 ทก ๆ x ท 0 < |x – a| < h เลอก δ = min(δ1, h) ทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ จะทาให |f(x) – A| < ε และ f(x) ≤ 0



จะไดวา - ε < f(x) – A และ f(x) – A ≤ - A เพราะวา - ε < – A หรอ A < ε ซงเปนจรงทก ๆ คา ε > 0 เพราะฉะนน A ≤ 0 ทฤษฎบท 4.14 ถา )x(flim

ax→ = A , )x(glim

ax→ = B และม h > 0 ททาให f(x) ≤ g(x)

ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < h แลว A ≤ B พสจน จาก )]x(g)x(f[lim

ax−

→ = A – B และจากสงทกาหนดให f(x) - g(x) ≤ 0

ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < h ทาให A – B ≤ 0 นนคอ A ≤ B ทฤษฎบท 4.15 (Limits of Composite Function)

ให f และ g เปนฟงกชน a , b เปนจานวนจรง และ g(b) หาคาได และ ถา )x(glim

bx→ = g(b) และ )x(flim

ax→ = b แลว )x(goflim

ax→ = g(b)

พสจน กาหนดจานวนบวก ε ใด ๆ จะตองพสจนวาม δ > 0 ททาให |g(f(x)) - g(b)| < ε

ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < δ

เพราะวา )x(glimbx→

= g(b) ดงนนจะม δ1 > 0 ททาให

|g(x) - g(b)| < ε ……………………………………….. (1) ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < δ1 (รวมถงจด b ดวย เพราะวา g(b) หาคาได) เพราะวา )x(flim

ax→ = b ดงนนจะม δ2 > 0 ททาให

|f(x) – b| < δ1 …………………………………………. (2) ทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < δ2 เลอก δ = δ2 เพราะฉะนนทก ๆ คา x ท 0 < |x – a| < δ จะไดวา จาก (2) |f(x) – b| < δ1 และจะไดวา จาก (1) |g(f(x)) - g(b)| < ε

นนคอ )x(goflimax→

= g(b)

ทฤษฎบท 4.16 ให f เปนฟงกชน )x(flim

ax→ = A กตอเมอ ถา V เปนชวงเปดใด ๆ

ท A ∈ V แลวจะตองมชวงเปด U ท a ∈ U และ f(x) ∈ V ทก ๆ คา x ท x ∈ U และ x ≠ a

ทฤษฎบท 4.17 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ a > 0 แลว



nax

xlim→

= n a

ทฤษฎบท 4.18 ถา n เปนจานวนเตมบวก A > 0 และ )x(flim

ax→ = A แลว

nax

)x(flim→

= n A

ตวอยาง 4.8 จงหาคาของ 3x

15x8xlim2

3x +++

−→

วธทา ถา แทนคา x ดวย -3 โดยตรงไมได เพราะผล จะเทากบ 00 ซงไมนยาม

เนองจากลมตเมอ x เขาส -3 หมายถง x ≠ -3 ดงนน x +3 ≠ 0 เราสามารถนา x + 3 ไปหารทงเศษ และสวนได และหาคาลมตไดดงน

3x15x8x2

+++ =

3x)5x)(3x(

+++ = x + 5

3x

15x8xlim2

3x +++

−→ = )5x(lim

3x+

−→ = -3 + 5 = 2

แบบฝกหด 4.2 จงหาคาของ 1. 12lim

2x −→

2. )10x4(lim5x

−→

3. )5x2x(lim 24x

−+→

4. )hxh3x2(lim 220h

++→

5. ))1x)(1x2(3(lim2x

−+→

6. )1x2x(lim 21x

+−→

7. 1x

1x2xlim2

1x +++

−→

8. 12x7x24x2xlim

2

2

4x +−

−+→

9. 1x1xlim

3

1x −−

→

10. 4x

2xxlim2

2

2x −

−+−→

ความตอเนอง 87


fy

x1

1 x

yg

บทท 5 ความตอเนอง (Continuity)

จากเรองลมตของฟงกชน เราทราบมาแลวา คาของฟงกชน f ณ จด a กบลมตของฟงกชน f เมอ x เขาส a ไมจาเปนตองเทากน แตถาคาสองคานเทากน ฟงกชน จะเปนฟงกชนตอเนอง (continuous function) ทจด a ตามนยามตอไปน นยาม 5.1 ฟงกชน f จะเปนฟงกชนตอเนองทจด a กตอเมอ 1. หาคาของ f(a) ได และ 2. )a(f)x(flim

ax=

→

ฟงกชน f จะเปนฟงกชนตอเนองบนชวง I กตอเมอ f เปนฟงกชน ตอเนองทจดทกจดในชวง I

รปท 5.1 จากรปท 5.1 จะเหนวากราฟของฟงกชน f และ g เปนฟงกชนไมตอเนองทจด 1 นยาม 5.2 ฟงกชนโพลโมเมยล (polynomial function) คอ ฟงกชน f ทนยามวา

f(x) = cnxn + cn-1x

n-1 +…+ c2x2 + c1x + c0

โดยท c0, c1, c2, … cn เปนจานวนจรง และ n เปนจานวนเตมบวก ทฤษฎบท 5.1 ฟงกชนโพลโนเมยลจะเปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจานวนจรง พสจน ให f เ ปนฟงกชนโพลโนเมยลทนยามวา

f(x) = cnxn + cn-1x

n-1 +…+ c2x2 + c1x + c0

ถา a เปนจนวนจรงใด ๆ จะไดวา

88 ความตอเนอง


f(a) = cnan + cn-1a

n-1 +…+ c2a2 + c1a + c0

ซงหาคาไดทก ๆ จานวนจรง a จากทฤษฎบท 4.2, 4.3 และบทแทรก 4.6, 4.8, 4.9 จะไดวา

)x(flimax→

= cnxn + cn-1x

n-1 +…+ c2x2 + c1x + c0 = f(a)

เพราะฉะนน f เปนฟงกชนตอเนองทจด a เพราะวา a เปนจานวนจรงใด ๆ เพราะฉะนน f จงเปนฟงกชนตอเนองบน R ทฤษฎบท 5.2 ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองทจด a แลว ฟงกชนตอไปนจะเปน

ฟงกชนตอเนองทจด a ดวย 1. f ± g

2. fg 3.

gf เมอ g(a) ≠ 0

4. cf เมอ c เปนจานวนจรง พสจน เพราะวา f และ g เปนฟงกชนตอเนองทจด a f(a) และ g(a) หาคาได และ )x(flim

ax→ = f(a) และ )x(glim

ax→ = g(a)

(f ± g)(a) = f(a) ± g(a) จะหาคาได จาก ทฤษฎบทจะไดวา )x)(gf(lim

ax±

→ = )x(flim

ax→ ± )x(glim

ax→

= f(a) ± g(a) = (f ± g)(a) นนคอ f ± g เปนฟงกชนตอเนองทจด a ทฤษฎบท 5.3 ถา g เปนฟงกชนตอเนองทจด a และ f เปนฟงกชนตอเนองทจด g(a)

แลว f o g จะเปนฟงกชนตอเนองทจด a พสจน เพราะวา g เปนฟงกชนตอเนองทจด a และ f เปนฟงกชนตอเนองทจด g(a) เพราะฉะนน g(a) และ f(g(a)) หาคาได

)x(glimax→

= g(a) และ )x(flim)a(gx→

= f(g(a))

ซงทาให f o g(a) = f(g(a)) หาคาได )x)(fog(lim

ax→ = f(g(a)) = f o g(a)

นนคอ f o g เปนฟงกชนตอเนองทจด a



แบบฝกหด 5.1 ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนตอเนองบนชวงทกาหนดใหหรอไม ถาไมเปนฟงกชน

ตอเนอง จงบอกเหตผลดวยวาไมเปนฟงกชนตอเนองเพราะอะไร พรอมวาดกราฟของฟงกชนนน ๆ

1. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

=2 x 0

2 x 2x

|2x|)x(f

2. f(x) = |x + 5|

3. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠++

=1- x 0

1- x 1

1)(

2

xx

xf

4. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

0 x 1

0 x |x|

x)x(f

ลมตขางเดยว (One-Sided Limites) นยาม 5.3 ลมตทางขวา (Right-Hand Limit) ให a, A ∈ R ลมตของฟงกชน f เมอ x เขาส a ทางขวา มคาเขาส A ซงเขยนสญลกษณแทนวา )x(flim

ax +→ = A กตอเมอ กาหนด ε > 0 จะตองม δ > 0 ท

ทาให |f(x) - A| < ε สาหรบทก ๆ x ท 0 < x – a < δ (หรอ a < x < a + δ) นยาม 5.4 ลมตทางซาย (Left-Hand Limit) ให a, A ∈ R ลมตของฟงกชน f เมอ x เขาส a ทางซาย มคาเขาส A ซงเขยนสญลกษณแทนวา )x(flim

ax −→ = A กตอเมอ กาหนด ε > 0 จะตองม δ > 0 ท

ทาให |f(x) - A| < ε สาหรบทก ๆ x ท 0 < a – x < δ (หรอ a - δ < x < a ) ตวอยาง 5.1 ให f เปนฟงกชนทนยามวา

⎩⎨⎧

≥<

=1 x 2 -x 1 x x

)x(f



1 x

yf

รปท 5.2 จากกราฟของ f จะเหนวา f ไมตอเนองท x = 1 ขณะท x เขาใกล 1 ทางขวา จะไดคา f(x) เขาใกล -1 นนคอ

)x(flimax +→

= -1

และขณะท x เขาใกล 1 ทางซาย จะไดคา f(x) เขาใกล 1 นนคอ )x(flim

ax −→ = 1

)x(flimax −→

≠ )x(flimax +→

ทฤษฎบท 5.4 ให a, A เปนจานวนจรง )x(flim

ax→ = A กตอเมอ

)x(flimax −→

= )x(flimax +→

พสจน สมมตให )x(flimax→

= A เพราะฉะนน ถากาหนด ε > 0 จะตองม δ > 0

ททาให |f(x) – A| < ε ทก ๆ x ท 0 < |x – a| < δ นนคอ ถา x สอดคลองกบอสมการ a - δ < x < a และ a < x < a + δ แลว |f(x) – A| < ε

)x(flimax −→

= A = )x(flimax +→

ในทางกลบกน สมมตให )x(flimax −→

= A = )x(flimax +→

เพราะฉะนน ถากาหนด ε > 0 จะตองม δ1 > 0 และ δ2 > 0 ททาให |f(x) – A| < ε ทก ๆ x ท a - δ1 < x < a และ |f(x) – A| < ε ทก ๆ x ท a < x < a + δ2 เลอก δ = min(δ1,δ2) เพราะฉะนน a - δ1 ≤ a - δ < a < a + δ ≤ a + δ2



-1

1

10

y

x

สาหรบทก ๆ x ท a - δ < x < a และ a < x < a - δ (หรอ 0 < |x – a| < δ) จะไดวา |f(x) - A| < ε นนคอ )x(flim

ax→ = A

หมายเหต ถา )x(flim

ax −→ ≠ )x(flim

ax +→ แลว จะไดวา )x(flim

ax→ หาคาไมได

ตวอยาง 5.2 จงหาคาของ

10x|10x|lim

10x −−

+→

วธทา เมอ x เขาส 10+ นนคอ พจารณาในกรณท x มากกวา 10 เพราะฉะนน x -10 เปนบวก และ |x – 10| = x - 10

นนคอ 10x

|10x|lim10x −

−+→

= 10x10xlim

10x −−

+→ = 1

รปท 5.3

ตวอยาง 5.3 จงหาคาของ 10x

|10x|lim10x −

−−→

วธทา เมอ x เขาส 10- นนคอ พจารณาในกรณท x นอยกวา 10 เพราะฉะนน x -10 เปนลบ และ |x – 10| = - ( x – 10) นนคอ

10x|10x|lim

10x −−

−→ =

10x)10x(lim

10x −−−

−→ = - 1

แบบฝกหด 5.3

จงหาคาของ 1. 4xlim

4x−

−→

2. 4xlim4x

−+→



3. 5

)6x(lim6x

−−→

4. 5

)6x(lim6x

−+→

5. x

|x|lim0x +→

6. x

|x|lim0x −→

7. 3x

|3x|lim3x −

−−→

8. 3x

|3x|lim3x −

−+→

9. 6x

|6x|lim6x +

+−−→

10. 6x

|6x|lim6x +

++−→

กาหนดให ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+=>+

=0 x 12x-0 x 30 x 1x2

)x(f

หาคาในขอ 11. ถง 14. ตอไปน 11. f(0) 12. )x(flim

0x +→

13. )x(flim0x −→

14. )(lim0

xfx→

ลมตทเกยวกบคาอนนต (Limits Involving Infinity) ในตอนทผานมาเราไดกลาวถง

)x(flimax→

= A เมอ a และ A เปนจานวนจรง

สาหรบในตอนนจะพดถงลมตในกรณท และ เปนคาอนนต เนองจากคาอนนตไมใชจานวนจรง เพราะฉะนนเราจะใชเครองหมายคาสมบรณ ในนยามของลมตทเกยวกบคาอนนตไมได ขอใหนกศกษาโปรดสงเกตนยามตอไปน จะเหนวาคลายคลงกบนยามของลมตในตอนทผานมาแลวมาก ผดกนเพยงเลกนอย เฉพาะสวนทเกยวกบคาอนนต นยาม 5.5 )x(flim

x +∞→ = A กตอเมอ ถากาหนดจานวนบวก ε ใด ๆ จะตองมจานวนบวก N

ททาให |f(x) – A| < ε ทก ๆ คา x ท x > N



นยาม 5.6 )x(flimx −∞→

= A กตอเมอ ถากาหนดจานวนบวก ε ใด ๆ จะตองมจานวนบวก N

ททาให |f(x) – A| < ε ทก ๆ คา x ท - x > N นยาม 5.7 )x(flim

x ∞→ = A กตอเมอ ถากาหนดจานวนบวก ε ใด ๆ จะตองมจานวนบวก N

ททาให |f(x) – A| < ε ทก ๆ คา x ท |x| > N ทฤษฎบท 5.5 )x(flim

x ∞→ = A กตอเมอ )x(flim

x +∞→ = A และ )x(flim

x −∞→ = A

ตวอยาง 5.4 ให f เปนฟงกชนทนยามวา f(x) = 1x

x+

เมอ x ≠ -1

วธทา

รปท 5.4

พจารณา x > - 1

f(- 21 ) = 1, f(0) = 0, f(10) =

1110 , f(100) =

101100 , f(1000) =

10011000 , …

จะเหนวา ถาคา x เพมขนเรอย ๆ คา f(x) จะมคาเขาใกล 1 เพราะฉะนน )x(flim

x +∞→ = 1

ในทานองเดยวกน ถาพจารณา x < -1 จะไดวา ถา x มคาลดลงเรอย ๆ คา f(x) จะมคาเขาใกล 1 เพราะฉะนน )x(flim

x −∞→ = 1

ดงนน ตามทฤษฎบท 5.5 จะไดวา )x(flimx ∞→

= 1



ทฤษฎบท 5.6 ถา f(x) = x1 เมอ x ≠ 0 แลว

1. )x(flimx ∞→

= 0

2. )x(flimx +∞→

= 0

3. )x(flimx −∞→

= 0

พสจน กาหนด ε > 0 เลอก N = ε1

ดงนน เมอ |x| > N จะไดวา |x|

1 = N1 = ε

หรอ |x|

1 = 0x1− < ε

นนคอ x1lim

x ∞→ = 0

ขอ 2. และ 3. จะเปนจรงตามทฤษฎบท 5.5 ทฤษฎบท 5.7 ถา f เปนฟงกชนคงท นนคอ f(x) = c ทก ๆ คา x แลว )x(flim

x ∞→ = c


x ∞→ = F และ )x(glim

x ∞→ = G โดยท F และ G เปนจานวนจรง

แลว 1. )x(cflim

x ∞→ = cF

2. )]x(g)x(f[limx

±∞→

= F ± G

3. )x(g).x(flimx ∞→

= F.G

4. )x(g)x(flim

x ∞→ =

GF เมอ G ≠ 0

พสจน การพสจน ทานองเดยวกบการพสจน ลมต เมอ x → a จากทฤษฎบท 5.5 จะเหนวาผลของ ทฤษฎบท 5.8 และ 5.8 ใชไดกบลมตท x → + ∞ และ x → - ∞ ไดดวย ตวอยาง 5.5 จงหาคาของ

3x24x3lim

x ++

∞→

วธทา ให f(x) = 3x24x3

++ เมอ x ≠ -

23

ถา x ≠ 0 เอา x หารทงเศษและสวนจะได ดงน

f(x) = x32

x43

+

+ เมอ x ≠ 0 และ x ≠ -

23



)3(lim x4

x+

∞→ = 3lim

x ∞→ + x

4xlim

∞→

= 3 + 4 x1

xlim

∞→

= 3 + 4(0) = 3

ในทานองเดยวกน )2(lim x3

x+

∞→ = 2

ดงนน )

x32(lim

)x43(lim

x32

x43

lim

x

x

x +

+=

+

+

∞→

∞→

∞→ =

23

นนคอ 3x24x3lim

x ++

∞→ =

23

แบบฝกหด 5.3 จงหาคาของ

1. ∞→x

limx5

2. ∞→x

lim30x253x2

−+

3. ∞→x

lim1x3

1x−+

4. ∞→x

lim3x24x3

++

5. ∞→x

lim1x33x5

+−

6. ∞→x

lim1x34x2

−+

7. ∞→x

lim3x2x4x3x2

2

2

−−

++

8. ∞→x

lim1x

3x2x3

2

+

+−

9. +∞→x

lim1x

1x 2

++

10. −∞→x

lim1x

1x 2

++

11. +→2x

lim2x

4x 2

−−

12. −→2x

lim2

2

xx56

x4

+−

−

การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต 97


x0+ xx0

y

y0 = f(x0)

y0+ y = f(x0+ x)

P

Q

x

y

x

y

บทท 6 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต (Differentiation of Algebraic Functions)

ในวชาแคลคลสมเนอหาทสาคญอยสองเนอหา คอ อนพนธ และ อนทเกรต อนพนธเปนเรองทเกยวกบอตราสวนของการเปลยนแปลง และอนทเกรตเปนเรองทเกยวกบการบวก ซงทงสองเรองนใชทฤษฎของลมตมาอธบาย อนพนธ (Derivatives) ให f เปนฟงกชนบนชวง I ซงกาหนดให y = f(x) ให P, Q เปนจดสองจดใด ๆ ทอยบนกราฟของฟงกชน f น ถา P มพกด (x0,y0) และใหพกดท 1 ของ Q มคาเพมจาก x0 เทากบ Δx พกดท 2 ของ Q มคาเพมจาก y0 เทากบ Δy แลว Q จะมพกดเปน (x0+Δx, y0+Δy) (เราเรยก Δx วา คาเพม (increment) ทางแกน x และ แกน y ตามลาดบ ซงอาจจะเปนบวกหรอลบกได)

รปท 6.1 P, Q เปนจดทอยบนกราฟของ f Y0 = f(x0)………………………………………………………(1) และ y0 + Δy = f(x0+ Δx)……………………………………………(2) (2) – (1) Δy = f(x0+ Δx) – f(x0)

ถา Δx ≠ 0 xy

ΔΔ =

x)x(f)xx(f 00

Δ−Δ+

98 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต


นยาม 6.1 ให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง I และ x0 ∈ I

ถา x

)x(f)xx(flim 000x Δ

−Δ+→Δ

หาคาได (exists) และเปนจานวนจรง เราเรยกลมตน

วา อนพนธของ f ท x0 และเขยนแทนดวยสญลกษณวา f’(x0) เราจะเรยก {(x,f’(x))| x ∈ Df และ f’(x) หาคาได } วา อนพนธของ f และเขยนแทน

ดวยสญลกษณวา f’ ถา f’(x0) หาคาไดแลวเราจะเรยก f วา ฟงกชนทหาอนพนธไดท x0 ถา f’ หาคาไดแลว เราจะเรยก f วาฟงกชนทหาอนพนธได (differentiable function) ถาให y = f(x)

x)x(f)xx(flim 00

0x Δ−Δ+

→Δ =

xylim

0x ΔΔ

→Δ

ถาลมตนหาคาได นอกจากเราจะเรยกลมตนวา อนพนธของ f ท x แลว เราอาจจะเรยกวา อนพนธของ y เทยบกบ x และนอกจากจะเขยนแทนดวยสญลกษณวา f’(x) แลว เราอาจจะเขยนแทนดวยสญลกษณดงตอไปน

xylim

0x ΔΔ

→Δ = f’(x) = y’ =

dxdy = Dxy = Dxf(x)

พจารณาสญลกษณ x

)x(f)xx(flim 000x Δ

−Δ+→Δ

ถาให x0 + Δx = x

x)x(f)xx(flim 00

0x Δ−Δ+

→Δ =

0

00x xx

)x(f)x(flim−−

→Δ

นนคอ f’(x0) = 0

00x xx

)x(f)x(flim−−

→Δ

จากรปท 6.1 ความชนของเสนรงทลากผานจด P(x0,y0) และจด Q(x0+ Δx, y0+ Δy) คอ

m = 00

00

x)xx(y)yy(

−Δ+−Δ+ =

xy

ΔΔ

ถา Δx → 0 จะเหนวาจด Q จะเขาใกลจด P และเสนตรง PQ จะเปนเสนสมผสกราฟ f ทจด P

dxdy =

xylim

0x ΔΔ

→Δ จะเปนความชนของเสนสมผสกราฟของ f ทจด P

ตวอยาง 6.1 จงหาอนพนธของ y = 5x2 + 3 วธทา ให y = f(x) = 5x2 + 3 y + Δy = f(x + Δx) = 5(x + Δx)2 + 3 = 5(x2 + 2x Δx + (Δx)2) + 3 = 5x2 + 10x Δx + (Δx)2 + 3 Δy = f(x + Δx) – f(x) = 10x Δx + (Δx)2



ถา Δx ≠ 0

xy

ΔΔ =

x)x(f)xx(f

Δ−Δ+ = 10x + Δx

0xlim→Δ x

yΔΔ =

0xlim→Δ x

)x(f)xx(fΔ

−Δ+ = 10x

dxdy = 10x

ตวอยาง 6.2 ถา f นยามวา f(x) = x

7x2 + จงหา f’(3)

วธทา f(x) = x

7x2 +

f(x + Δx) = xx

7)xx(2Δ+

+Δ+ = xx

7x2x2Δ+

+Δ+

f(x + Δx) – f(x) = xx

7x2x2Δ+

+Δ+ - x

7x2 +

= )xx(x

x7x7xx2x2x7xx2x2 22

Δ+Δ−−Δ−−+Δ+ =

)xx(xx7Δ+Δ−

ถา Δx ≠ 0

x

)x(f)xx(fΔ

−Δ+ = )xx(x

x7Δ+Δ−

f’(x) = 0x

lim→Δ x

)x(f)xx(fΔ

−Δ+ = 2x7−

f’(3) = 97−


จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 1. f(x) = 3x + 2 2. f(x) = x2 + 3 3. f(x) = 2x2 + 1 4. f(x) = x2 + 3x – 1 5. f(x) = 2x – x2 6. f(x) =

1x1+

7. f(x) = x

4x +

8. f(x) = 2x

2+

9. f(x) = (2 – x)2

10. f(x) = 2

2

x4x−



อนพนธของฟงกชนพชคณต

ฟงกชนพชคณต หมายถงฟงกชนทนยามในรปของ การบวก ลบ คณ หาร ของตวแปร และตวคงท อนไดแก ฟงกชนคาสมบรณ (absolute value function) ฟงกชนขนบนได (step function) และฟงกชนโพลโนเมยล (polynomial function) เปนตน

ทฤษฎบท 6.1 ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท a แลว f จะเปนฟงกชนตอเนองท a

พสจน f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท a

f’(a) = 0

lim→Δx x

)a(f)xa(fΔ

−Δ+ หาคาได

0lim→Δx

[f(x) – f(a)] = 0

lim→Δx

[f(a + Δx) – f(a)]

= 0

lim→Δx

[x

)a(f)xa(fΔ

−Δ+ ] Δx

= 0

lim→Δx x

)a(f)xa(fΔ

−Δ+ 0

lim→Δx

Δx

= f’(a) (0) = 0

นนคอ f เปนฟงกชนตอเนองท a

ทฤษฎบท 6.2 อนพนธของฟงกชนคงท (constant function) มคาเทากบ 0

พสจน ให f เปนฟงกชนคงท นนคอ f(x) = c , ∀ x ∈ R

f(x) = c

f(x + Δx) = c

f(x + Δx) – f(x) = c – c = 0

f’(x) = 0

lim→Δx x

)x(f)xx(fΔ

−Δ+ = 0

lim→Δx x

0Δ

= 0

lim→Δx

0 = 0

นนคอ dxdc = 0



ทฤษฎบท 6.3 อนพนธของฟงกชนเอกลกษณ (indentity function) มคาเทากบ 1

พสจน ให f เปนฟงกชนเอกลกษณ นนคอ f(x) = x , ∀ x ∈ R

f(x) = x

f(x + Δx) = x + Δx

f(x + Δx) – f(x) = Δx

f’(x) = 0

lim→Δx x

)x(f)xx(fΔ

−Δ+ = 0

lim→Δx x

xΔΔ =

0lim→Δx

1 = 1

นนคอ dxdx = 1

ทฤษฎบท 6.4 ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ c เปนคาคงทแลว cf จะเปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ (cf)’(x) = cf’(x)

พสจน (cf)’(x) = 0

lim→Δx x

)x(cf)xx(cfΔ

−Δ+

= 0

lim→Δx x

)]x(f)xx(f[cΔ

−Δ+

= c0

lim→Δx x

)x(f)xx(fΔ

−Δ+

= cf’(x) เพราะวา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x

นนคอ ถาให u = f(x) แลว cu = cf(x)

)x('fdxdu

= และ dxd (cu) = (cf)’(x)

เพราะฉะนน dxd (cu) = c

dxdu



ทฤษฎบท 6.5 ถา f , g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลว f + g จะเปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x)

พสจน (f + g)’(x) = 0

lim→Δx x

)x)(gf()xx)(gf(Δ

+−Δ++

= 0

lim→Δx x

)x(g)x(f)xx(g)xx(fΔ

−−Δ++Δ+

= 0

lim→Δx

]x

)x(g)xx(gx

)x(f)xx(f[Δ

−Δ++

Δ−Δ+

= 0

lim→Δx x

)x(f)xx(fΔ

−Δ+ +0

lim→Δx x

)x(g)xx(gΔ

−Δ+

= f’(x) + g’(x) เพราะวา f, g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x

นนคอ ถาให u = f(x) และ v = g(x) แลว u + v = (f + g)(x)

)x('fdxdu

= , )x('gdxdv

= และ dxd (u + v) = (f + g)’(x)

เพราะฉะนน dxd (u + v) =

dxdu +

dxdv

บทแทรก 6.6 ถา f, g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลว f – g จะเปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ (f – g)’(x) = f’(x) – g’(x)

พสจน (f – g)’(x) = (f + (-1g))’(x) = f’(x) + (-1g)’(x)

= f’(x) + (-1)g’(x)

= f’(x) – g’(x)

ในทานองเดยวกน ถาให u = f(x) และ v = g(x) แลว dxd (u - v) =

dxdu -

dxdv



ทฤษฎบท 6.7 ถา f , g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลว f g จะเปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ (f g)’(x) = f(x) g’(x) + g(x) f’(x)

พสจน เนองจาก fg(x + Δx) - fg(x) = f(x + Δx)g(x + Δx) - f(x)g(x) = f(x + Δx)g(x + Δx) - f(x + Δx)g(x) + f(x + Δx)g(x) - f(x)g(x) = f(x + Δx)[g(x + Δx) - g(x)] + g(x)[ f(x + Δx) - f(x)]

ดงนน (f g)’(x) = 0

lim→Δx x

)x)(fg()xx)(fg(Δ

−Δ+

= 0

lim→Δx ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ−Δ+

+Δ

−Δ+Δ+

x)x(f)xx(f)x(g

x)x(g)xx(g)xx(f

= 0

lim→Δx

f(x + Δx)0

lim→Δx x

)x(g)xx(gΔ

−Δ+ + 0

lim→Δx

g(x)0

lim→Δx x

)x(f)xx(fΔ

−Δ+

= f(x)g’(x) + g(x)f’(x) เพราะวา f, g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x

นนคอ ถาให u = f(x) และ v = g(x) แลว uv = fg(x)

)x('fdxdu

= , )x('gdxdv

= และ dxd (u v) = (f g)’(x)

เพราะฉะนน dxd (uv) = u

dxdv + v

dxdu

ทฤษฎบท 6.8 ถา f , g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ g(x) ≠ 0 แลว gf จะ

เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ (gf )’(x) =

)x(g)x('g)x(f)x('f)x(g

2−

พสจน เนองจาก g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x ดงนน g จะเปนฟงกชนตอเนองท x และเนองจาก g(x) ≠ 0 จะม δ > 0 ททาให g(x + Δx) ≠ 0 เมอ |Δx| < δ นนคอ

)xx(g1Δ+

จะมความหมาย เมอ Δx มคาใกล ๆ 0

gf ( x + Δx) -

gf (x) =

)xx(g)xx(f

Δ+Δ+ -

)x(g)x(f =

)x(g)xx(g)xx(g)x(f)xx(f)x(g

Δ+Δ+−Δ+

= )x(g)xx(g

)xx(g)x(f)x(f)x(g)x(f)x(g)xx(f)x(gΔ+

Δ+−+−Δ+



= )x(g)xx(g

)]x(g)xx(g)[x(f)]x(f)xx(f)[x(gΔ+

−Δ+−−Δ+

(gf )’(x) =

0lim→Δx

x

)x(gf)xx(

gf

Δ

−Δ+

= 0

lim→Δx x)x(g)xx(g

)]x(g)xx(g)[x(f)]x(f)xx(f)[x(gΔΔ+

−Δ+−−Δ+

= 0

lim→Δx )x(g)xx(g

x)x(g)xx(g)x(f

x)x(f)xx(f)x(g

Δ+Δ

−Δ+−

Δ−Δ+

= )xx(glim)x(g

x)x(g)xx(glim)x(f

x)x(f)xx(flim)x(g

0x

0x0x

Δ+Δ

−Δ+−

Δ−Δ+

→Δ

→Δ→Δ

= )x(g

)x('g)x(f)x('f)x(g2− (f, g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x )

นนคอ ถาให u = f(x) และ v = g(x) แลว vu =

gf (x)

)x('fdxdu

= , )x('gdxdv

= และ dxd (

vu ) = (

gf )’(x)

เพราะฉะนน dxd (

vu ) = 2v

dxdvu

dxduv −

ทฤษฎบท 6.9 ถา f เปนฟงกชนทนยามวา f(x) = xn เมอ n ∈ I+ แลว

dx

dxn = nxn-1

พสจน โดยวธการอปมานทางคณตศาสตร กบ n

ถา n = 1 ทฤษฎบทนจะเปนจรงตาม ทฤษฎบทท 6.9

สมมตวา n = k เปนจรง นนคอ dx

dxk = kxk-1



จะตองพสจนวา n = k + 1 เปนจรง นนคอ ตองแสดงใหเหนวา dx

dx 1k+ = (k+1)xk

เนองจาก xk+1 = xk x

dxd xk+1 =

dxd (xk x)

= xk

dxd x + x

dxd xk

= xk + x k xk-1

= xk + k xk

= (k + 1)xk

โดยวธการอปมานทางคณตศาสตร เราสรปไดวา

dxdxn

= nxn-1 ∀ n ∈ I+

ทฤษฎบท 6.10 ถา f เปนฟงกชนทนยามวา f(x) = xn เมอ x ≠ 0 และ n ∈ I- แลว

dxdxn

= nxn-1

พสจน ให p = - n เพราะฉะนน p ∈ I+ และ xn = x-p = px1

ดงนน dx

dxn =

dxd

px1 = 2p

pp

)x(dxdx1

dx1dx −

= p2

1pp

xpx)0(x −− = p2

1p

xpx −−

= - p xp-1-2p = -p x –p-1 = n xn-1

ตวอยาง 6.3 จงหา f’(x) จาก f(x) = 13x3 – 5x2 + 3

วธทา f’(x) = dxd (13x3 – 5x2 + 3)

= dxd 13x3 -

dxd 5x2 +

dxd 3



= 39 x2 dxd - 10x

dxd x + 0

= 39x2 – 10x

ตวอยาง 6.4 จงหา f’(x) จาก f(x) = (1 - x)(x2 + 7x)

วธทา f’(x) = dxd (1 - x)(x2 + 7x)

= (1 - x) dxd (x2 + 7x) + (x2 + 7x)

dxd (1 - x)

= (1 – x)(2x + 7) + (x2 + 7x)(-1)

= 2x + 7 – 2x2 – 7x – x2 – 7x

= 7 – 12x – 3x2

ตวอยาง 6.5 จงหา f’(x) จาก f(x) = 1x

x2

−

วธทา f’(x) = dxd

1xx2

−

= 2

22

)1x(

)1x(dxdx

dxdx)1x(

−

−−−

= 2

2

)1x(xx2)1x(

−−−

= 2

22

)1x(xx2x2

−−−

= 2

2

)1x(x2x

−−

= 2)1x()2x(x

−−




จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1. f(x) = 12x3 + 5x + 3

2. f(x) = 5x4 + 11x

3. f(x) = 14x2 - 6x + 8

4. f(x) = 3x3

+ 11x

5. f(x) = x5 - 42x + 8

6. f(x) = x3 - 6x2 + 7x + 11

7. f(x) = 3x2 - 15x + 36

8. f(x) = (2x + 3)(x2 + 1)

9. f(x) = (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x)

10. f(x) = (x2 + 3x)(x3 + 5x2 – 6x + 1)

11. f(x) = (x + 2)(2x + 1)

12. f(x) = 7x2

x2+−

13. f(x) = 1x3x

1x2

2

++

+

14. f(x) = 4x2x

2

3

−

−

15. f(x) = 1x25x3

−+

การหาอนพนธของฟงกชนอดศย 109


(1,0)

u

x

y

P(x,y)

บทท 7 การหาอนพนธของฟงกชนอดศย (Differentiation of Transcendental Functions)

ฟงกชนอดศย ไดแกฟงกชนตรโกณ (Trigonometric Function) ฟงกชนอนเวอรตรโกณ (Inverse Trigonometric Function) ฟงกชนเลขยกกาลง (Exponential Function) และฟงกชนลอการธมค (Logarithmic Function) เปนตน

7.1 ฟงกชนตรโกณ (Trigonometric Function)

กอนจะกลาวถงฟงกชน ขอทบทวนนยามและทฤษฎบทตาง ๆ ของตรโกณทจาเปนตองใช ดงน คอ

วงกลมรศม 1 หนวย (unit circle) จะหมายถง วงกลมทมรศม 1 หนวย และจดศนยกลางอยทจดกาเนด ของระบบพกดฉาก (rectangular coordinate system)

รปท 7.1.1

นยาม 7.1.1 ให P(x,y) เปนจดอยบนกราฟของวงกลมรศม 1 หนวย และให u เปนความ

ยาวของสวนโคงของวงกลม ทวดจากจด (1,0) ถงจด P ทวนเขมนาฬกา (ถาวดตามเขมนาฬกา ใหมทศทางเปนลบ)

1. sine function จะเปนฟงกชนจาก R ไปยง [-1,1] ทนยามวา sin u = y

110 การหาอนพนธของฟงกชนอดศย


2. cosine function จะเปนฟงกชนจาก R ไปยง [-1,1] ทนยามวา cos u = x

3. tangent, cosecant, secant และ cotangent function จะนยาม ดงน คอ

tan u = ucosusin เมอ cos u ≠ 0

csc u = usin

1 เมอ sin u ≠ 0

sec u = ucos

1 เมอ cos u ≠ 0

cot u = usinucos เมอ sin u ≠ 0

ถาให A เปนมมทจดกาเนดโดยมแกน x ทางดานบวกเปนแขนดานหนง และเสนตรงทลากจากจดกาเนดถงจด P ซงอยบนเสนรอบวงของวงกลมรศม 1 หนวย เปนแขนอกขางหนง ให u เปนความยาวของสวนโคงของวงกลมจาก (1,0) ถง P ถา u = 1 หนวย จะเรยกวา A มขนาด 1 เรเดยน (radian) เนองจากเสนรอบวงของวงกลมรศม 1 หนวย มความยาวเทากบ 2π หนวย ฉะนนมมรอบจดศนยกลางจะมขนาดเทากบ 2π เรเดยน ซงเทากบ 360 องศา

π เรเดยน เทากบ 180 องศา

2π เรเดยน เทากบ 90 องศา

จะเหนวา ในวงกลมรศม 1 หนวย มมทรองรบสวนโคงของวงกลม (หนวยเรเดยน) มขนาดเทากบความยาวของสวนโคงของวงกลมนน (หนวยเรเดยน) ฉะนน จากนยาม sin u = y, cos u = x จงหมายรวมถงมมทรองรบสวนโคงนน ๆ ดวย

ให Q(x,y) เปนจดใด ๆ ในพกดฉาก ทอยหางจดกาเนด O เทากบ r หนวย ให OQ ทามมกบแกน x เทากบ u และตดเสนรอบวงของวงกลมรศม 1 หนวยทจด P เราสามารถหาพกดของจด P ไดเทากบ )

ry,

rx( ฉะนน sin u =

ry และ cos u =

rx



r

x

y

Q(x,y)

u

P

y

x

u

(1,0)

รปท 7.1.2

ทฤษฎบท 7.1.1

1. sin2u + cos2u = 1

2. 1 + tan2u = sec2u

3. 1 + cot2u = cec2u

4. cos(u-v) cos u cos v + sin u sin v

5. cos(u+v) = cos u cos v – sin u sin v

6. sin u = cos(2π -u)

7. cos u = sin(2π -u)

8. sin(u+v) = sin u cos v + cos u sin v

9. sin 2u = 2sin u cos u

10. cos 2u = cos2u – sin2u = 2 cos2u – 1 = 1 – 2 sin2u



R x

y

P

u

Q

y

T

11. sin(u-v) - sin u cos v – cos u sin v

12. tan(u+v) = vtanutan1vtanutan

−+

13. tan(u-v) = vtanutan1vtanutan

+−

14. sin u – sin v = 2 sin2

vu − cos2

vu +

15. sin u + sin v = 2 sin2

vu + cos2

vu −

ทฤษฎบท 7.1.2 u

usinlim0u→

= 1

รปท 7.1.3

พสจน จากรป ถา 0 < u < 2π สามเหลยม OQP จะเปนสามเหลยมคลายกบ ORT

|PQ||TR| =

|OQ||OR|

และ usin|TR| =

ucos1

นนคอ |TR| = ucosusin

จะเหนวา พนทของสามเหลยม OQP < พนทของสวนของวงกลม ORP

< พนทของสามเหลยม ORT



และ เพราะวา พนทของสวนของวงกลม เทากบ 2

ur 2 เมอ u เปนมมทศนยกลาง (หนวยเรเดยน)

และ r เปนรศมของวงกลม

21 |OQ| |QP| <

2u <

21 |OR| |TR|

แทนคา |OQ| = cos u , |QP| = sin u , |OR| = 1 , |TR| = ucosusin

จะไดวา 2

ucosusin < 2u <

ucos2usin

เพราะวาทกอตราสวนเปนจานวนบวก เพราะฉะนน

ucosusin

2 > u2 >

usinucos2

ucos

1 > u

usin > cos u

ถา u เขาส 0+ แลว ucos

1 และ cos u จะเขาส 1

เนองจาก u

usin อยระหวาง ucos

1 กบ cos u จงทาให u

usin จะเขาส 1 ดวย

นนคอ u

usinlim0u +→

= 1

ถา - 2π < u < 0

จะไดวา sin u = - sin(-u) และ 0 < -u < 2π

u

usin = )u(

)usin(−−

−→0ulim

uusin =

+→− 0ulim

)u()usin(

−− = 1

นนคอ u

usinlim0u→

= 1

ทฤษฎบท 7.1.3 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ v = g(x) แลว

dxd (sin v) = cos v

dxdv



พสจน ให y = sin v

y + Δy = sin (v + Δv)

Δy = sin (v + Δv) – sin v

= 2 cos(2

vv2 Δ+ ) sin2vΔ

เมอ Δv ≠ 0 vy

ΔΔ =

v2vsin )

2v2vcos( 2

Δ

ΔΔ+

= 2v2vsin

)2

vv2cos(Δ

ΔΔ+

vylim

0x ΔΔ

→Δ =

2v2vsin

lim)2

vv2cos(lim0x0x Δ

ΔΔ+

→Δ→Δ

dvdy = cos v

เนองจาก dxdy =

dvdy

dxdv

นนคอ dxd (sin v) = cos v

dxdv


dxd (cos v) = - sin v

dxdv

พสจน ให y = cos v ดงนน y = sin(2π -v)

dxdy =

dxd ( sin(

2π -v))

= cos(2π -v)

dxd (

2π -v)

= - sin v dxdv



dxd (cos v) = - sin v

dxdv


dxd (tan v) = sec2 v

dxdv

พสจน ให y = tan v ดงนน y = vcosvsin

dxdy =

dxd (

vcosvsin )

= vcos

)v(cosdxdvsin)v(sin

dxdvcos

2

−

= vcos

dxdvvsin

dxdvvcos

2

22 +

= vcos

dxdv)vsinv(cos

2

22 +

= dxdv

vcos1

2

= sec2 v dxdv


dxd (cot v) = - csc2 v

dxdv

พสจน ให y = cot v ดงนน y = vsinvcos

dxdy =

dxd (

vsinvcos )

= vsin

)v(sindxdvcos)v(cos

dxdvsin

2

−

= vsin

dxdvvcos

dxdvvsin

2

22 −−



= vsin

dxdv)vcosv(sin

2

22 +−

= dxdv

vsin12− = - csc2 v

dxdv

นนคอ dxd (cot v) = - csc2 v

dxdv


dxd (sec v) = sec v tan v

dxdv

พสจน ให y = sec v ดงนน y = vcos

1 = (cos v)-1

dxdy =

dxd (cos v)-1

= - cos-2v dxd cos v

= cos-2v sin v dxdv =

vcosvsin

2 dxdv

= vcos

1vcosvsin

dxdv

นนคอ dxd (sec v) = sec v tan v

dxdv


dxd (csc v) = - csc v cot v

dxdv

พสจน ให y = csc v ดงนน y = vsin

1 = (sin v)-1

dxdy =

dxd (sin v)-1

= - sin-2v dxd sin v



= -vsinvcos

2 dxdv

= -vsin

1vsinvcos

dxdv

นนคอ dxd (csc v) = - csc v cot v

dxdv

สรปสตรการหาอนพนธของฟงกชนตรโกณ

1. dxd (sin v) = cos v

dxdv

2. dxd (cos v) = - sin v

dxdv

3. dxd (tan v) = sec2 v

dxdv

4. dxd (cot v) = - csc2 v

dxdv

5. dxd (sec v) = sec v tan v

dxdv

6. dxd (csc v) = - csc v cot v

dxdv

ตวอยาง 7.1.1 ให y = tan 3x จงหา dxdy

วธทา dxdy =

dxd (tan 3x)

= sec23x dxd (3x)

= 3 sec23x

ตวอยาง 7.1.2 ให f(x) = sin2x จงหา f’(x)

วธทา f’(x) = dxd (sin2x)



= 2 sin x dxd (sin x)

= 2 sin x cos x

ตวอยาง 7.1.3 ให y = x4sec32x จงหา dxdy

วธทา dxdy =

dxd ( x4sec32x)

= x4

dxd (sec32x) + sec32x

dxd (x4)

= x4 3 sec22xdxd (sec 2x) + sec32x (4x3)

= 3x4sec22x sec2x tan 2xdxd (2x) + 4x3sec32x

= 6x4sec32x tan 2x + 4x3sec32x

= 2x3sec32x(3x tan 2x + 2)

ตวอยาง 7.1.4 ให y = sec3(2x )tan2(

2x ) จงหา

dxdy

วธทา dxdy = sec3(

2x )

dxd tan2(

2x ) + tan2(

2x )

dxd sec3(

2x )

= sec3(2x ) 2 tan(

2x )

dxd tan(

2x ) + tan2(

2x ) 3 sec2(

2x )

dxd sec(

2x )

= 2 sec3(2x ) tan(

2x ) sec2(

2x )

dxd (

2x )

+ 3 tan2(2x )sec2(

2x ) sec(

2x ) tan(

2x )

dxd (

2x )

= sec5(2x ) tan(

2x ) +

23 sec3(

2x )tan3(

2x )

= sec5(2x ) tan(

2x )(sec2(

2x ) +

23 tan2(

2x ))




จงหา dxdy จากฟงกชนตอไปน

1. y = cot 2x

2. y = sec x2

3. y = 3 sin x cos x

4. y = sin3 2x

5. y = tan3(3x )

6. y = csc 2x - 3

x2csc3

7. y = 2x + tan 2x

8. y = x sin x + cos x

9. y = x2cot

10. y = sec22x – tan22x



2

-2

5

7.2 ฟงกชนอนเวอรสตรโกณ (The inverse trigonometric functions)

รปท 7.2.1 รปท 7.2.2

จากรปท 7.2.1 จะเหนวาฟงกชน sine ซงนยามวา y = sin(x) เปนฟงกชนจาก R ไปยง [-1,1]

จากรปท 7.2.2 จะเหนวา อนเวอรสของฟงกชน sine เปนเพยงความสมพนธจาก [-1,1] ไปยง R ทไมเปนฟงกชน แตถาเราลด range ของอนเวอรสของฟงกชน sine ลงเหลอเพยง [-

2π ,

2π ] จะเหนวาอนเวอรสของฟงกชน sine จะเปนฟงกชนดวย เราจะเรยกอนเวอรสข

องฟงกชน sine ทนยามจาก [-1,1] ไปยง [-2π ,

2π ] วาเปนฟงกชน arcsine ซงนยามวา

y = arcsine(x)

และดวยวธการลด range ของอนเวอรสของฟงกชนตรโกณอน ๆ ทานองเดยวกนน เราสามารถนยามฟงกชน arccosine, arctangent, arccotangent, arcsecant และ arccosecant ไดดงน

นยาม 7.2.1

1. arcsine คอฟงกชนจาก [-1,1] ไปยง [-2π ,

2π ] ทนยามวา y = arcsin (x) เมอ

x = sin y 2. arccosine คอฟงกชนจาก [-1,1] ไปยง [0,π] ทนยามวา y = arccos (x) เมอ x = cos y 3. arctangent คอฟงกชนจาก [-1,1] ไปยง (-

2π ,

2π ) ทนยามวา y = arctan (x) เมอ

x = tan y 4. arccotangent คอฟงกชนจาก R ไปยง (0,π) ทนยามวา y = arccot (x) เมอ x = cot y



5. arcsecant คอฟงกชนจาก (-∞,-1] ∪[1, ∞) ไปยง [-π,2π )∪[0,

2π ) ทนยามวา y

= arcsec(x) เมอ x = sec y

6. arccosecant คอฟงกชนจาก (-∞,-1] ∪[1, ∞) ไปยง [-π,2π )∪[0,

2π ) ทนยามวา y

= arccsc(x) เมอ x = csc y

y = cos x

y = arccos x

y = tan x

y = arctan x



y = cot x

y = arccot x

y = sec x

y = arcsec x

y = csc x

y = arccsc x

รปท 7.2.3



ทฤษฎบท 7.2.1 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x , v = g(x) และ -1 < v < 1 แลว

dxd (arcsin v) =

2v1

1

− dxdv

พสจน ให y = arcsin v ดงนน v = sin y

dxdv =

dxd (sin y) = cos y

dxdy

เนองจาก -1 < v < 1 เพราะฉะนน -1 < sin y < 1 นนคอ -2π < y <

2π

cos y > 0 ทาให cos y ≠ 0

dxdy =

ycos1

dxdv

เนองจาก cos2y + sin2y = 1 และ cos y > 0

ดงนน cos y = ysin1 2− = 2v1−

เพราะฉะนน dxd (arcsin v) =

2v1

1

− dxdv

ทฤษฎบท 7.2.2 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x , v = g(x) และ -1 < v < 1 แลว

dxd (arccos v) =

2v1

1

−

− dxdv

พสจน ให y = arccos v ดงนน v = cos y

dxdv =

dxd (cos y) = - sin y

dxdy

เนองจาก -1 < v < 1 เพราะฉะนน -1 < cos y < 1 นนคอ 0 < y < π sin y > 0 ทาให sin y ≠ 0

dxdy =

ysin1−

dxdv

เนองจาก cos2y + sin2y = 1 และ sin y > 0

ดงนน sin y = ycos1 2− = 2v1−



เพราะฉะนน dxd (arccos v) =

2v1

1

−

− dxdv


dxd (arctan v) = 2v1

1+

dxdv

พสจน ให y = arctan v ดงนน v = tan y

dxdv =

dxd (tan y) = sec2 y

dxdy

dxdy =

ysec12 dx

dv (sec y ≠ 0)

เนองจาก sec2y = 1 + tan2y = 1 + v2

ดงนน dxd (arctan v) = 2v1

1+

dxdv


dxd (arccot v) = 2v1

1+−

dxdv

พสจน ให y = arccot v ดงนน v = cot y

dxdv =

dxd (cot y) = - csc2 y

dxdy

dxdy =

ycsc12

−dxdv (csc y ≠ 0)

เนองจาก csc2y = 1 + cot2y = 1 + v2

ดงนน dxd (arccot v) = 2v1

1+−

dxdv



ทฤษฎบท 7.2.5 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x , v = g(x) และ | v | > 1 แลว

dxd (arcsec v) =

1vv

12 −

dxdv

พสจน ให y = arcsec v ดงนน v = sec y

dxdv = sec y tan y

dxdy

เนองจาก | v | > 1 แสดงวา v < -1 หรอ v > 1

ถา v < -1 แลว sec y < -1 และ - π < y < - 2π

tan y > 0

ถา v > 1 แลว sec y > 1 และ 0 < y < 2π

tan y > 0

นนแสดงวา sec y tan y ≠ 0

dxdy =

ytanysec1

dxdv

เนองจาก tan2y = sec2y - 1 และ tan y > 0

tan y = 1ysec2 − = 1v2 −

นนคอ dxd (arcsec v) =

1vv

12 −

dxdv

ทฤษฎบท 7.2.6 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x , v = g(x) และ | v | > 1 แลว

dxd (arccsc v) =

1vv

12 −

− dxdv

พสจน ให y = arccsc v ดงนน v = csc y

dxdv = - csc y cot y

dxdy



เนองจาก | v | > 1 แสดงวา v < -1 หรอ v > 1

ถา v < -1 แลว csc y < -1 และ - π < y < - 2π

cot y > 0

ถา v > 1 แลว csc y > 1 และ 0 < y < 2π

cot y > 0

นนแสดงวา csc y cot y ≠ 0

dxdy =

ycotycsc1−

dxdv

เนองจาก cot2y = csc2y - 1 และ cot y > 0

cot y = 1ycsc2 − = 1v2 −

นนคอ dxd (arccsc v) =

1vv

12 −

− dxdv

สรปสตรการหาอนพนธของฟงกชนอนเวอรสตรโกณ

1. dxd (arcsin v) =

2v1

1

− dxdv เมอ -1 < v < 1

2. dxd (arccos v) =

2v1

1

−

− dxdv เมอ -1 < v < 1

3. dxd (arctan v) = 2v1

1+

dxdv

4. dxd (arccot v) = 2v1

1+−

dxdv

5. dxd (arcsec v) =

1vv

12 −

dxdv เมอ | v | > 1

6. dxd (arccsc v) =

1vv

12 −

− dxdv เมอ | v | > 1



ตวอยาง 7.2.1 จงหาอนพนธของ f(x) = arcsec 3x

วธทา dxd f(x) =

dxd (arcsec 3x)

= 1)x3(x3

12 − dx

)x3(d

= 1x9x

12 −

ตวอยาง 7.2.2 จงหาอนพนธของ f(x) = x arctan x2


dxd ( x arctan x2)

= x dxd (arctan x2) + arctan x2

dxdx

= x 4x11+

dxdx2

+ arctan x2

= 4

2

x1x2+

+ arctan x2

ตวอยาง 7.2.3 จงหาอนพนธของ f(x) = arcsin(cos x)


dxd (arcsin(cos x))

= xcos1

12− dx

d (cos x)

= xcos1

xsin2−

−

= xsinxsin− = -1

แบบฝกหด 7.2.1

จงหาคาของฟงกชนตอไปน

1. arcsin 23

2. arccos (-21 )

3. arctan (-1) 4. arccot( 3 ) 5. arcsec 2



6. arccsc(-3

2 )

จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 7. f(x) = arcsin 3x 8. f(x) = arccos x3 9. f(x) = arctan 5x 10. f(x) = arccot x2 11. f(x) = arcsec

x21

12. f(x) = arccsc x 13. f(x) = arcsin(sin x) 14. f(x) = arctan(3 tan x) 15. f(x) = x arcsec(x + x3)



7.3 ฟงกชนเลขยกกาลงและฟงกชนลอการธมค (Exponential and Logarithemic Functions) เลขยกกาลง กอนจะกลาวถง ฟงกชนเลขยกกาลงและฟงกชนลอการธมค ขอทบทวนนยามและทฤษฎบทตาง ๆ ของเลขยกกาลง ดงตอไปน นยาม 7.3.1 1. ถา a > 0 และ n เปนจานวนเตมบวกแลว an = a.a.a….a (n ตว)

เรยก an วา เลขยกกาลง เรยก a วา ฐาน

และ เรยก n วา เลขชกาลง 2. a0 = 1 เมอ a > 0 3. ถา a > 0 และ n เปนจานวนเตมบวก แลว

a-n = na

1

4. ถา a > 0 และ n เปนจานวนเตมบวก แลว

n1

a = n a ทฤษฎบท 7.3.1 ถา a, b > 0 และ m, n เปนจานวนเตมบวก แลว

1. am.an = am+n 2. (am)n = amn 3. (ab)n = an.bn

4. (ba )n = n

n

ba

5. n

m

aa =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=

n m a

1n m an m 1

m-n

n-m

ลอการธม (Logarithm) นยาม 7.3.2 ให x = ay เมอ x > 0 , a > 0 และ a ≠ 1 จะเรยก y วา ลอการธม (logarithm) ของ x ฐาน a และเขยนสญลกษณแทน y วา y = logax ถา a = 10 จะเขยน log x แทน log10x และเรยกลอการธมทมฐานเปน 10 วา common logarithms



e = xx

x1

0)1(lim +

→ = 2.71828…

ถา a = e จะเขยน ln x แทน logex และเรยกลอการธมทมฐานเปน e วา natural logarithms ทฤษฎบท 7.3.2 ถา a > 0 , a ≠ 1 , M > 0, N > 0 แลว

1. logaMN = logaM + logaN 2. loga N

M = logaM – logaN

3. logaMP = P logaM

4. logaa = 1 5. loga1 = 0

6. logab = alogblog

x

x เมอ x > 0 และ x ≠ 1

ฟงกชนเลขยกกาลง (Exponential Function) นยาม 7.3.3 ฟงกชนเลขยกกาลง คอ ฟงกชนจากเซตของจานวนจรงไปยงเซตของเลขจานวนจรงบวก ทนยามวา f(x) = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1 เชน f(x) = 2x f(x) = (

21 )x

f(x) = ex รปท 7.3.1 รปท 7.3.2 รปท 7.3.3 ขอสงเกต

1. กราฟของฟงกชนเลขยกกาลง ทกฟงกชนจะผานจด (0,1)



2. คาของฟงกชนเลขยกกาลงทกฟงกชนจะมากกวาศนย 3. ฟงกชนเลขยกกาลง f ทนยามวา f(x) = ax จะเปนฟงกชนเพม ถา a > 1 และ

จะเปนฟงกชนลด ถา 0 < a < 1 4. ฟงกชนเลขยกกาลงเปนฟงกชน 1-1 จากเซตของจานวนจรงไปบนเซตของจานวน

จรงบวก ฟงกชนลอการธมค (Logarithmic Functions) เนองจากฟงกชนเลขยกกาลงทนยามวา y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1 เปนฟงกชน 1-1 จาก R ไปยง R+ ดงนน อนเวอรสของฟงกชนเลขยกกาลงนจงเปนฟงกชนดวย และเปนฟงกชนจาก R+ ไปยง R อนเวอรสของฟงกชนเลขยกกาลงทนยามวา y = ax คอ ฟงกชนท นยามวา x = ay ซงสามารถเขยนใหอยในรปลอการธมไดเปน y = logax นยาม 7.3.4 ฟงกชนลอการธม คอ ฟงกชนจากเซตของเลขจานวนจรงบวกไปยงเซตของเลขจานวนจรง ทนยามวา f(x) = logax เมอ a > 0, a ≠ 1 ตวอยาง เชน y = log2x , y = ln x

รปท 7.3.4

ขอสงเกต 1. ฟงกชนลอการธมค y = logax เปนอนเวอรสของฟงกชนเลขยกกาลง y = ax 2. ฟงกชนลอการธมค เปนฟงกชน 1-1 จากเซตของเลขจานวนจรงบวกไปบนเซตของเลขจานวนจรง ดงนน ถา logax = logay แลว x = y



ทฤษฎบท 7.3.3 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x , v = g(x) และ v ≠ 0 แลว

dxd (ln|v|) =

v1

dxdv

พสจน ถา v > 0 จะไดวา |v| = v ให y = ln |v| = ln v y – Δy = ln(v + Δv) Δy = ln(v + Δv) - ln v = ln(

vvv Δ+ )

= ln (1 + vvΔ )

xy

ΔΔ =

v1Δ

ln(1 + vvΔ )

= v1

vvΔ

ln(1 + vvΔ )

= v1 ln(1 +

vvΔ ) v

vΔ

0lim→Δx x

yΔΔ =

0lim→Δx v

1 ln(1 + vvΔ ) v

vΔ

= v1 ln

0lim→Δx

(1 + vvΔ ) v

vΔ

= v1 ln e =

v1

เพราะวา dxdy =

dvdy

dxdv

dxdy =

v1

dxdv

ถา v < 0 จะไดวา |v| = - v > 0 ดงนน y = ln |v| = ln (-v) จากกรณทพสจนไปแลว จะไดวา

dxdy =

v1− dx

)v(d − = v1

dxdv

นนคอ dxd (ln|v|) =

v1

dxdv

ทฤษฎบท 7.3.4 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x , v = g(x) และ v ≠ 0 แลว

dxd (log |v|) =

velog

dxdv

พสจน เนองจาก ln |v| = elog

|v|log

ดงนน log |v| = log e ln |v|

dxd log |v| = log e

dxd ( ln |v|)



= v

elogdxdv

ทฤษฎบท 7.3.5 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x , v = g(x) , a > 0 และ a ≠ 1

แลว dxd (av) = av ln a

dxdv

พสจน ให y = av จะไดวา ln y = ln av = v ln a

v = alnyln (a ≠ 1)

dydv =

aln1

dyd ln y =

aln1

y1

dvdy = y ln a

dxdy =

dvdy

dxdv = y ln a

dxdv

นนคอ dxd (av) = av ln a

dxdv

บทแทรก 7.3.6 ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ v = g(x) แลว

dxd (ev) = ev

dxdv

พสจน dxd (ev) = ev ln e

dxdv = ev

dxdv

ทฤษฎบท 7.3.7 ถา f , g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x , u = f(x), v = g(x) และ

u > 0 แลว dxd (uv) = v uv-1

dxdu + uv ln u

dxdv

พสจน ให y = uv จะไดวา ln y = ln uv = v ln u นนคอ y = ev ln u

dxdy =

dxd ( ev ln u)

= ev ln u dxd ( v ln u)

= uv [v dxd ln u + ln u

dxdv ]

= uv [uv

dxdu + ln u

dxdv ]

= v uv-1 dxdu + uv ln u

dxdv



สรปสตรการหาอนพนธของฟงกชนเลขยกกาลง และฟงกชนลอการธมค

1. dxd (ln|v|) =

v1

dxdv เมอ v ≠ 1

2. dxd (log |v|) =

velog

dxdv เมอ v ≠ 1

3. dxd (av) = av ln a

dxdv เมอ a > 0 และ a ≠ 1

4. dxd (ev) = ev

dxdv

5. dxd (uv) = v uv-1

dxdu + uv ln u

dxdv เมอ u > 0

ตวอยาง 7.3.1 จงหาอนพนธของ y = ln (3x2- 4) เมอ 3x2- 4 > 0

วธทา dxdy =

dxd ( ln (3x2- 4))

= 4x3

12 − dx

d ( 3x2- 4)

= 4x3

x62 −

ตวอยาง 7.3.2 จงหาอนพนธของ f(x) = 2xe

วธทา f’(x) = dxd ( 2xe )

= 2xedxd ( 2x ) = 2x 2xe

ตวอยาง 7.3.3 จงหาอนพนธของ f(x) = 23xa

วธทา f’(x) = dxd ( 23xa )

= 23xa ln a dxd ( 23x ) = 6x 23xa ln a



แบบฝกหด 7.3.1 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 1. f(x) = ln |3x| เมอ x ≠ 0 2. f(x) = ln |x2 + 2x| เมอ x2 + 2x ≠ 0 3. f(x) = e2x 4. f(x) = 3xe 5. f(x) = esin x 6. f(x) = ln |x + ex| เมอ x + ex ≠ 0 7. f(x) = x ln |x| เมอ x ≠ 0 8. f(x) = x2 e1/x 9. f(x) = 3x 10. f(x) = 2

10 x 11. f(x) = ln3x 12. f(x) = ex ln |x| 13. f(x) = 3x – x3 14. f(x) = xsin x 15. f(x) = (sin x)cos x

การประยกตอนพนธและการอนทกรล 137


บทท 8 การประยกตอนพนธ

การหาคาสงสดและตาสด นยาม 8.1 ให f เปนฟงกชนบนชวง I และ t ∈ I

1. เราจะเรยก f(t) วาคาสงสดสมพทธ (relative maximum) ของ f ทจด t กตอเมอ มจานวนบวก h ททาให f(x) ≤ f(t) ทก ๆ x ∈ (t-h,t+h) และเรยกจด (t,f(t)) วา จดสงสดสมพทธของ f

2. เราจะเรยก f(t) วาคาตาสดสมพทธ (relative minimum) ของ f ทจด t กตอเมอ มจานวนบวก h ททาให f(x) ≥ f(t) ทก ๆ x ∈ (t-h,t+h) และเรยกจด (t,f(t)) วา จดตาสดสมพทธของ f

3. เราจะเรยก f(t) วาคาสงสดสมบรณ (absolute maximum) ของ f บน I กตอเมอ f(x) ≤ f(t) ทก ๆ x ∈ I และเรยกจด (t,f(t)) วาจดสงสดสมบรณของ f

4. เราจะเรยก f(t) วาคาตาสดสมบรณ (absolute minimum) ของ f บน I กตอเมอ f(x) ≥ f(t) ทก ๆ x ∈ I และเรยกจด (t,f(t)) วาจดตาสดสมบรณของ f

รปท 8.1 f เปนฟงกชนบนชวง (-∞,a] คาสงสดสมพทธ คอ f(m), f(p), f(a) คาตาสดสมพทธ คอ f(n), f(q) คาสงสดสมบรณ คอ f(a) คาตาสดสมบรณ ไมม

x

y

a

q

pnm

138 การประยกตอนพนธและการอนทกรล


การหาคาสงสดและคาตาสดวธท 1 (โดยใชอนพนธอนดบ 1) ทฤษฎบท 8.1 ให f เปนฟงกชนตอเนองท t และ f’(t) = 0 หรอ f’(t) หาคาไมได ถามชวง (a,b) ท t ∈ (a,b) และทาให f’(x) > 0 เมอ x ∈ (a,t) และ f’(x) < 0 เมอ x ∈ (t,b) แลว f(t) จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ทจด t พสจน เนองจาก f เปนฟงกชนตอเนองท t เพราะฉะนน f นยามทจด t เพราะวามชวง (a,t) ททาให f’(x) > 0 เมอ x ∈ (a,t) จะไดวา f จะเปนฟงกชนเพมบน [a,t] และ f(t) > f(x) ∀ x ∈ [a,t) มชวง (t,b) ททาให f’(x) < 0 เมอ x ∈ (t,b) จะไดวา f จะเปนฟงกชนลดบน [t,b] และ f(t) > f(x) ∀ x ∈ (t,b] ดงนน f(t) > f(x) ∀ x ≠ t และ x ∈ [a,b] นนคอ f(t) จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ทจด t ทฤษฎบท 8.2 ให f เปนฟงกชนทตอเนองท t และ f’(t) = 0 หรอ f’(t) หาคาไมได ถามชวง (a,b) ท t ∈ (a,b) ทาให f’(x) < 0 เมอ x ∈ (a,t) และ f’(x) > 0 เมอ x ∈ (t,b) แลว f(t) จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด t

ถงแมวา f’(t) จะหาคาไมได f(t) กเปนคาสงสด (หรอตาสด) ไดเชน ฟงกชน f ในรป f’(t) มคาเขาใกล ∞ นนคอ f’(t) หาคาไมได แต f(t) เปนคาสงสด รปท 8.2 คา f(t) ทใหคาสงสดสมพทธ เราจะเรยกวา คาทสด (extreme value) หรอ extremum ของ f

x

y

t

f' < 0f' > 0



คา f ททาให f’(t) = 0 หรอ f’(t) หาคาไมได จะเรยกวา คาวกฤต (critical value) วธการหาคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธวธท 1 (โดยใชอนพนธอนดบ 1)

1. หาคา f’(t) 2. หาคาวกฤต t โดย

2.1 ให f’(t) = 0 ในกรณท f’(t) หาคาได

2.2 ให )t('f

1 = 0 ในกรณท f’(t) หาคาไมได

3. ทาการทดสอบคาวกฤต t 3.1 ถา f’(x) > 0 เมอ x < t และ f’(x) < 0 เมอ x > t แลว f(t) จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ทจด a 3.2 ถา f’(x) < 0 เมอ x < t และ f’(x) > 0 เมอ x > t แลว f(t) จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด t

(คา x ท x < t หรอ x > t จะตองเปนคาทนอยกวาหรอมากกวา t เพยงเลกนอยเทานน หรอเปนคาทอยใกล ๆ t นนเอง) ตวอยาง 8.1 จงหาคาสงสดสมพทธและตาสดสมพทธของฟงกชน f ทนยามวา

f(x) = 2x3 + 4x2 – 8x + 1 วธทา เพราะวา f’(x) = 6x2 + 8x – 8

ให f’(t) = 0 เพราะฉะนน 6t2 – 8t – 8 = 0

(3t - 2)(t + 2) = 0 t =

32 หรอ -2

เพราะวา f’(32 ) = 0, f’(x) < 0 เมอ x ∈ (0,

32 )

และ f’(x) > 0 เมอ x ∈ (32 ,1)

เพราะฉะนน f(32 ) จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด

32

เพราะวา f’(-2) = 0, f’(x) > 0 เมอ x ∈ (-3,-2) และ f’(x) < 0 เมอ x ∈ (-2,-1) เพราะฉะนน f(-2) จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ทจด -2



y

x-2

ตวอยาง 8.2 จงหาคาสงสดสมพทธและตาสดสมพทธของฟงกชน f ทนยามวา

f(x) = 32

35

xx +

วธทา เพราะวา f’(x) = 31

32

x3

10x35

−

+

= )2x(x35 3

1

+−

= 3 x3

)2x(5 +

ให f’(t) = 0 จะไดวา t = -2 จะเหนวา เมอ t = 0, f’(t) จะหาคาไมได เพราะฉะนน คาวกฤตจะมสองคา คอ -2, 0 เพราะวา f’(-2) = 0, f’(x) > 0 เมอ x ∈ (-3,-2) และ f’(x) < 0 เมอ x ∈ (-2,0) เพราะฉะนน f(-2) จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ทจด -2 เพราะวา f’(0) หาคาไมได f’(x) < 0 เมอ x ∈ (-2,0) และ f’(x) > 0 เมอ x ∈ (0,1) เพราะฉะนน f(0) จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด 0 จดตาสดสมพทธ คอ (0,0)

รปท 8.3 แบบฝกหด 8.1 จงหาจดสงสดสมพทธของฟงกชนทนยามดงตอไปน

1. f(x) = x3 – 6x2 + 9x 2. f(x) = 10 - 12x – 3x2 + 2x3



3. f(x) = 2x2 – x4 4. f(x) = x4 – 4x 5. f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 6. f(x) =

31 x3 +

21 x2 – 6x + 8

7. f(x) = 1x

4xx 2

+++

การหาคาสงสดและตาสดวธท 2 (โดยใชอนพนธอนดบ 2) ทฤษฎบท 8.3 ให f เปนฟงกชนบนชวง I ให t ∈ I ซง f’(t) = 0 และ f(t) หาคาได

1. ถา f”(t) > 0 แลว f(t) จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ท t 2. ถา f”(t) < 0 แลว f(t) จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ท t

พสจน ขอ 1. จากนยามของ f” f”(t) =

0lim→Δx

x

)t('f)xt('fΔ

−Δ+ = tx →

lim tx

)t('f)x('f−−

เพราะวา f”(t) > 0 จะมชวงเปด J ท t ∈ J และ

tx)t('f)x('f

−− > 0

ทก ๆ x ≠ t ใน J นนคอ f’(x) – f’(t) < 0 เมอ x – t < 0 และ f’(x) – f’(t) > 0 เมอ x – t > 0 แต f’(t) = 0 f’(x) < 0 เมอ x < t และ f’(x) > 0 เมอ x > t f(t) จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ท t ขอ 2. พสจนในลกษณะเดยวกน ขอสงเกต เนองจากทฤษฎบทไมไดกลาวถง กรณท f”(t) = 0 ดงนน ถา f”(t) = 0 จงสรปอะไรไมได นนหมายถงใชวธนทดสอบไมได ใหกลบไปใชวธทดสอบวธท 1 วธการหาคาสงสดสมพทธ และคาตาสดสมพทธวธท 2 (โดยใชอนพนธอนดบ 2) 1. หาคา f’(x), f”(x) 2. หาคาวกฤต t โดย 2.1 ให f’(t) = 0 เมอหาคา f’(t) ได



x

y

2.2 ให )t('f

1 = 0 เมอหาคา f’(t) ไมได

3. ทดสอบคาวกฤต t 3.1 ถา f”(t) < 0 แลว f(t) จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ทจด t 3.2 ถา f”(t) > 0 แลว f(t) จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด t 3.3 ถา f”(t) = 0 แลว จะหาคาสงสดหรอตาสดสมพทธโดยวธนไมไดใหกลบไปใช วธท 1 ตวอยาง 8.3 จงหาคาสงสดสมพทธ และตาสดสมพทธของฟงกชน f ทนยามวา f(x) = x4 วธทา f’(x) = 4x3 ให f’(t) = 0 4t3 = 0 t = 0 f”(x) = 12x2 f”(0) = 0 นนคอใชวธท 2 ทดสอบไมได ตองใชวธท 1 ทดสอบ ดงน รปท 8.4 เนองจาก f’(0) = 0, f’(x) < 0 เมอ (-1,0) และ f’(x) > 0 เมอ (0,1) เพราะฉะนน f(0) จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด 0 ตวอยาง 8.4 จงหาคาสงสดสมพทธ และตาสดสมพทธของฟงกชน f ทนยามวา

f(x) = x3 - 2

15 x2 – 18x + 23

วธทา f’(x) = 3x2 – 15x – 18 f”(x) = 6x – 15 ให f’(t) = 0 3t2 – 15t – 18 = 0 (3t + 3)(t – 6) = 0

t = -1, 6 เพราะวา f’(-1) = 0 และ f”(-1) = -21 < 0 เพราะฉะนน f(-1) = 11 จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ทจด -1 และจดสงสดสมพทธคอ (-1,11) เพราะวา f’(6) = 0 และ f”(6) = 21 > 0



เพราะฉะนน f(6) = 2

321− จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด 0 และจดตาสด

สมพทธคอ (6, 2

321− )

ตวอยาง 8.5 จงหาคาสงสดสมพทธ และตาสดสมพทธของฟงกชน f ทนยามวา

f(x) = x + x4 เมอ x ≠ 0

วธทา f’(x) = 1 - 2x4 = 2

2

x4x −

f”(x) = 3x8

ให f’(t) = 0 t2 – 4 = 0 t = 2, -2 เพราะวา f’(2) = 0 และ f”(2) = 1 > 0 รปท 8.5 เพราะฉะนน f(2) = 4 จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด 2 เพราะวา f’(-2) = 0 และ f”(-2) = -1 < 0 เพราะฉะนน f(-2) = - 4 จะเปนคาสงสดสมพทธของ f ทจด - 2 (จะเหนวา คาสงสดสมพทธ ไมจาเปนตองมคามากกวาคาตาสดสมพทธ) แบบฝกหด 8.2 จงหาคาสงสดสมพทธ และตาสดสมพทธของฟงกชนตอไปน 1. f(x) = x4-2x2 2. f(x) = 4x3-9x2-12x+3 3. f(x) = 4x3-3x2-18x+5 4. f(x) = 3x3-9x+1 5. f(x) = 3x3-9x+12 6. f(x) = 18x+15x2-4x3 7. f(x) = 2x3+6x2-18x-1 8. f(x) = x4+4x3+4x2-15 9. f(x) = 4x3-15x2+12x+7 10. f(x) = 2x3 +

27 x2 – 5x -

27



x

y

-2 -1 1

-4

การหาคาสงสดสมบรณ และตาสดสมบรณ ให f เปนฟงกชนบนชวง [a,b] เราสามารถหาคาสงสดสมบรณ และคาตาสดสมบรณ ไดตามขนตอนดงน 1. หาคาสงสดสมพทธ และตาสดสมพทธของ f บนชวง [a,b] สมมตวาไดคาสงสดสมพทธ หรอตาสดสมพทธ เปน f(x1), f(x2), …, f(xn) 2. หาคาของ f(a) และ f(b) 3. คาสงสดสมบรณ หรอคาตาสดสมบรณ หาไดดงน

3.1 คาสงสดสมบรณ = max(f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)) 3.2 คาตาสดสมบรณ = min(f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn))

ตวอยาง 8.6 จงหาคาสงสดสมบรณ และจดตาสดสมบรณของฟงกชน f ทนยามวา f(x) = x3 + 2x2 – 4 วธทา f’(x) = 3x2 + 4x f”(x) = 6x + 4 ให f’(t) = 0 ดงนน 3t2 + 4t = 0 t(3t + 4) = 0

t = 0, 34

−

เพราะวา f’(0) = 0 และ f”(0) = 4 รปท 8.6 เพราะฉะนน f(0) = - 4 จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด 0 เพราะวา f’(

34

− ) = 0 และ f”( 34

− ) = - 4

เพราะฉะนน f(34

− ) = 27222− จะเปนคาตาสดสมพทธของ f ทจด

34

−

f(-2) = - 4, f(1) = - 2 คาสงสดสมบรณ = max(-4, -2, -4,

27222− ) = - 2

เพราะฉะนนจดสงสดสมบรณของ f บนชวง [-2,1] คอ (1,-2) คาตาสดสมบรณ = min(-4, -2, -4,

27222− ) = - 4

เพราะฉะนนจดตาสดสมบรณของ f บนชวง [-2,1] คอ (-2,-4) และ (0,-4)



แบบฝกหด 8.3 จงหาคาสงสดสมบรณ และจดตาสดสมบรณของฟงกชน บนชวงทกาหนดให ตอไปน

1. f(x) = 2 + 12x + 3x2 – 2x3 บนชวง [-2,3] 2. f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 2 บนชวง [-2,3] 3. f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x + 25 บนชวง [-3,4] 4. f(x) = x4 - 2x2 + 1 บนชวง [-2,2] 5. f(x) = 2x3 - 9x2 + 12x – 2 บนชวง [0,3] 6. f(x) = x3 - 2x2 + x – 1 บนชวง [-3,3] การนาคาสงสด และคาตาสดไปใช กอนทจะกลาวถงการนาไปใช ขอทบทวนสตรเบองตนเกยวกบการหาพนท และปรมาตร ทจาเปนตองใช ดงน 1. วงกลม 1.1 เสนรอบวง = 2πr

1.2 พนท = πr2 1.3 พนทสวนของวงกลม = α2r

21 เมอ α คอมมทจดศนยกลางวดเปนเรเดยน

2. พนทสเหลยมคางหม = 21 × สง × ผลบวกดานคขนาน

3. ทรงกระบอก 3.1 ปรมาตร = πr2h 3.2 พนทผวดานขาง = 2πrh

4. กราวยกลม 4.1 ปรมาตร = 31 πr2h

4.2 พนทผวดานขาง πrl เมอ l = 22 hr +

5. ทรงกลม 5.1 ปรมาตร = 34 πr3

5.2 พนทผว = 4πr2 ขอแนะนาในการแกปญหา

1. หาความสมพนธระหวางสงตาง ๆ ทโจทยกาหนดมาใหแลวสรางเปนสมการ (ถาวาดรปได ควรวาดรปประกอบจะทาใหมองความสมพนธงายขน)

2. ถามหลายสมการพยายามรวมใหเหลอเพยงสมการเดยว และใหเปนสมการของความสมพนธระหวางสงทโจทยตองการใหมคาสง(หรอตา) สด (ใหเปน f(x)) กบสงทโจทยตองการทราบ (ใหเปนคา x )

3. หาคาสงสด (หรอตาสด) ของ f



x

x

xx16-2x

10-2x

ตวอยาง 8.7 จงหาเลขสองจานวน ซงรวมกนเทากบ 12 และทาใหผลคณของกาลงสองของ จานวนทหนงกบจานวนทสองมคามากทสด

วธทา ใหจานวนทหนง = x จานวนทสอง = 12 - x ให f(x) = x2(12 – x) เมอ 0 < x < 12 f’(x) = x2

dxd (12 – x) + (12 – x)

dxd x2

= - x2 + 2x(12 – x) = - x2 + 24x – 2x2 = 24x – 3x2 = x(24 – 3x) f”(x) = 24 – 6x ให f”(x) = 0 x(24 – 3x) = 0 x = 0 หรอ 8 จะเหนวา x = 0 ไมอยในโดเมนของ f ดงนนพจารณาเฉพาะ x = 8 เทานน ดงน f’(8) = 0 และ f”(8) = - 24 f(x) จะมคามากทสด เมอ x = 8 เพราะฉะนน เลขจานวนทหนงตองเทากบ 8 และจานวนท 2 เทากบ 4 ตวอยาง 8.8 จงหาขนาดของกลองสเหลยมดานบนเปด ทมปรมาตรมากทสด ซงสรางจาก แผนกระดาษสเหลยมผนผาขนาด 10 นว x 16 นว โดยการตดมมทงสออกเปนรปสเหลยมจตรสเทา ๆ กน แลวพบขนเปนดานขางของกลอง วธทา ใหขนาดของสเหลยมจตรสทตดออกมดานยาว x นว

รปท 8.7 จากรปท 8.7 จะเหนวาขนาดของกลองจะเปน x, 10 – 2x, 16 – 2x ให V(x) เปนปรมาตรของกลอง



r

hk

V(x) = x(10 – 2x)(16 – 2x) = 4(40x – 13x2+ x3), 0 < x < 5 หาคาสงสดของ V V’(x) = 4(40 – 26x + 3x2) = 4(x – 2)(3x - 20) ให V’(x) = 0 4(x – 2)(3x - 20) = 0 x = 2 หรอ

326

จะเหนวาคา x จะเทากบ 326 ไมไดเพราะวา ดานกวางของกระดาษมเพยง 10 นว เทานน

จงพจารณาเฉพาะคา x = 2 ดงน V’(2) = 0 และ V”(2) = - 56 เพราะฉะนน V(2) = 144 จะเปนปรมาตรของกลองทมคามากทสด ขนาดของกลองทมปรมาตรมากทสด คอ สง 2 นว ยาว 6 นว และ กวาง 12 นว ตวอยาง 8.9 โรงงานแหงหนงตองการทาถวยทรงกระบอกกลมดานบนเปดใหมปรมาตรตามทกาหนด ถาวสดทากนถวยแพงกวางวสดทาดานขาง 50 % จงหาขนาดของถวยททาใหราคาวสดทใชถกทสด วธทา ใหถวยมปรมาตร = k ล.บ.หนวย สมมตใหรศมของกนถวย = r หนวย และถวยสง = h หนวย เพราะฉะนน พนทดานขาง = 2πrh ตารางหนวย พนทกน = πr2 ตารางหนวย

ราคาวสดทากนถวยแพงกลาววสดทาดานขาง 50 % รปท 8.8 เพราะฉะนน ถาราคาวสดทาดานขาง ตารางหนวยละ n บาท ราคาวสดททากนจะราคา ตารางหนวยละ

2n3 บาท

ถาให f(r) เปนราคาวสดในการทาถวย

f(r) = 2nπrh + 23 nπr2 ……………………………………………..(1)

แตปรมาตรของทรงกระบอกกลม = πr2h πr2h = k

h = 2rkπ

………………………………….. (2)



r

h

R

แทนคา h ใน (1) f(r) =

rkn2 +

23 nπr2

f’(r) = - 2rkn2 + 3nπr

ให f’(r) = 0

2

3

rkn2rn3 −π = 0

r = 33

k2π

และ f’(r) หาคาไมไดท r = 0

พจารณาเฉพาะ r = 33

k2π

ถา r < 33

k2π

แลว f’(r) = 2

3

r)k2r3(n −π :

)())((

+−+ < 0

ถา r > 33

k2π

แลว f’(r) : )(

))((+++ > 0

เพราะฉะนน r = 33

k2π

จะทาใหราคาวสดในการทาถวยถกทสด

แทนคา r ใน (2) เพราะฉะนน h = 34

k9π

นนคอ ถวยจะตองมขนาดสง 34

k9π

หนวย และรศมของกนถวย 33

k2π

หนวย เมอ k เปน

ปรมาตรของถวยทกาหนดให ตวอยาง 8.10 จงหาขนาดของทรงกระบอกกลมทมปรมาตรมากทสดซงบรรจอยภายในทรงกลม

รศม R หนวย วธทา

รปท 8.9



ใหรศมของฐานทรงกระบอกกลม = r หนวย และสง = h หนวย ให V(r) เปนปรมาตรของทรงกระบอก V(r) = πr2h แตจากรปภาพตดตามขวาง จะเหนวา h = 2 22 rR − เพราะฉะนน V(r) = 2πr2(R2 – r2) ½ เมอ 0 < r < R

V’(r) = 2πr2 21 (R2 – r2) - ½ (-2r) + 4πr(R2 – r2) ½

= 2πr(R2 – r2) - ½(2R2 – 3r2) ให V’(r) = 0

เพราะฉะนน 22

22

rR

)r3R2(r2

−

−π = 0

r = 0, 32R , -

32R

และ V’(r) หาคาไมไดท r = R

จะเหนวาคา r = 32R เพยงคาเดยวเทานนทอยในโดเมนของ V

ถา r < 32R , V’(r) =

22

22

rR

)r3R2(r2

−

−π : )(

))((+++ > 0

ถา r < 32R , V’(r) :

)())((

+−+ < 0

เพราะฉะนน r = 32R จะใหคา V สงทสด

ขนาดของทรงกระบอกกลมจะมรศมของฐานเทากบ 32R หนวย และสงเทากบ

3R2 หนวย

แบบฝกหด 8.4 1. จงแบง 120 ออกเปน 2 สวน โดยให

1.1 ผลคณของสวนทงสองมคามากทสด 1.2 ผลบวกของกาลงสองของแตละสวนมคานอยทสด 1.3 ผลคณของกาลงสองของสวนทหนงกบกาลงสามของอกสวนหนงมคามากทสด

2. ใหเสนรอบรปสเหลยมมมฉาก n หนวย จงหาความกวางและความยาวททาใหสเหลยมรปน มพนทมากทสด 3. จงหาขนาดของสเหลยมมมฉากทม พนทมากทสด และบรรจอยภายในวงกลม รศม 6 หนวย 4. มกระดาษแผนสเหลยมจตรสยาวดานละ 12 นว ตองการทากลองดานบนเปด โดยการตดมม

ทงสของกระดาษแผนนออกเปนรปสเหลยมจตรสมมละเทา ๆ กน แลวพบขนเปนดานขางของ



กลอง อยากทราบวาดานของจตรสทตดออกยาวดานละเทาไรจงจะทาให ปรมาตรของกลองนมคามากทสด

5. มแผนกระดาษสเหลยมมมฉาก ขนาด 10 นว x 20 นว ตองการนามาทากลองฝาเปดโดยตดมมออกเปนรปสเหลยมจตรส แลวพบขนเปนดานขางของกลอง จงหาขนาดและปรมาตรของกลองทมากทสด

6. สเหลยมคางหมรปหนงมดานยาวดานละ 5 นว ดานทสจะตองยาวเทาไร จงจะทาใหสเหลยมคางหมรปนมพนทมากทสด

7. ลวดเสนหนงยาว 100 นว ตองการตดออกเปนสองสวน สวนหนงนามาขดเปนรปสเหลยมจตรส อกสวนหนงนามาขดเปนรปวงกลม อยากทราบวา 7.1 จะตดลวดเสนน อยางไรจงจะทาใหผลบวกของพนททงสองมคานอยทสด 7.2 จะตดลวดเสนนอยางไรจงจะทาใหผลบวกของพนททงสองมคามากทสด

8. จงหาขนาดของกลองฝาเปดทมปรมาตรมากทสด เมอมฐานเปนรปสเหลยมจตรส และมพนทผวทงหมดเทากบ a ตารางหนวย

9. จงหาปรมาตรทมากทสดของทรงกระบอกกลมซงบรรจอยภายในกรวยกลมรศม 12 นว และสง 15 นว

10. ตองการทากระปองสงกะส รปทรงกระบอกกลมใหมปรมาตร 58 ล.บ.นว และ ใชสงกะสนอยทสด อยากทราบวากระปองใบน จะมเสนผานศนยกลางเทาใด ถา 10.1 ไมทาฝาดานบน 10.2 ทาฝาดานบนดวย

151

บรรณานกรม Elliott Mendelson. (1988). Calculas. Singapore: McGraw-Hill. Forry, Marvin J. (1978). Calculas with Analytic Geometry. New York : Macmillan. Gordon Fuller, Daltion Tarwater. (1992). Analytic Geometry. New York: Addison-Wesley. Salas S.L., Hille Einar. (1990). Calculas. Singapore: John Wiley and Sons. Stein, S.K. & Barcellos, A. (1992). Calculas and Analytic Geometry. (5th ed.). New York:

McGraw-Hill.



แบบฝกหด 1.1 1. ก. (4,0), (-3,0), (2,0), (-3,0), (0,0), (1,0) ข. (0,2), (0,5), (0,-4), (0,-1), (0,2), (0,0) 2. 2.1 11.31, 2.2 8, 2.3 5.39, 2.4 3.16, 2.5 10.77, 2.6 3.61 3. 3 4. 4.1 27.5, 4.2 7.5, 4.3 120, 4.4 6 7. (3,-2), (3,14) 9. 5 10. (4,0) แบบฝกหด 1.2 1. P = (-4,-10) Q = (3.5,-1) 2. P = (-7,6) Q = (-1.5,0.5) 3. P = (10,7) Q = (-2,3) 4. P = (3,3 Q = (2,3.5) 5. P = (2,1.67) Q = (2.5,0.5) 6. (16,-12) 7. (3.5,0.5), (0,-1), (1.5,1.5) แบบฝกหด 1.3 1. 0.67, 33.69 2. 1, 45 3. 0, 0 4. /3, 60 แบบฝกหด 1.4 1. ไมอยในแนวเสนตรงเดยวกน 2. อยในแนวเสนตรงเดยวกน 3. อยในแนวเสนตรงเดยวกน 4. ไมอยในแนวเสนตรงเดยวกน 5. ขนานกน



6. ขนานกน 7. ตงฉากกน 8. ขนานกน 13. -3.73, 3.73 14. -7, 0.14 15. -0.4 แบบฝกหด 1.5 1. y = -4 2. y = -3 3. x = 3 4. x = -2 5. y = -1.5x 6. y = 3x - 10 7. y = -2.5x + 8 8. y = 0.54x + 1.77 9. y = -0.4x - 3 10. y = x/3 + 2 11. 2x – 3y = 6 12. x – 4y = 4 13. 5x – 3y = 15 14. 5x + y + 4 = 0 15. 2x – 3y – 1 = 0 16. x + 2y + 3 = 0 17. 2x – 3y + 5 = 0 18. –3, 1/3, 1 19. –4/3, -1/4, -1/3 20. –1, 1/5, 1/5 21. ¾, 10/3, -5/2 22. 2, -3, 6 23. ½, 8, 4



24. –2/3, 11/2, 11/3 25. –4/11, -3/2, -6/11 26. 0, -, -1 27. -, 2, - 28. 53x + 10y – 53 = 0 29. y = 3.25x – 22.75 30.1 17/7 , 30.2 2 , 30.3 -3 แบบฝกหด 1.6 1.1 3 x + y – 10 = 0 1.2 x - 3 y + 12 = 0 1.3 x + 3 y + 8 = 0 1.4 x – y - 5 2 = 0

2.1 029

223

=−+yx ,

29 , 30

2.2 056

24

53

=−− yx , 56 , arctan(-4/3)

2.3 02

822

1=++

yx , 24− , 45

2.4 0135

1312

=− yx , 0, arctan(-5/12)

2.5 y - 47 = 0 ,

47 , 90

2.6 x + 5 = 0 , -5, 0 แบบฝกหด 1.7 1.1 2.88 1.2 5.7 1.3 1.6 1.4 5.08 2.1 3.1 2.2 0.58 2.3 11.08 2.4 2



3.1 y = -8x + 10.75, y = 0.12x – 0.86 3.2 y = 11.09x + 4.08, y = -0.09x + 0.17 3.3 y = -x – 1.67

4. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − 0,2

253 , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− 0,

2253

5. y = -0.5x + 2.74, y = -0.5x – 1.74 6. y = 3.59x – 11.18, y = -0.39x – 3.22 แบบฝกหด 1.8 1. y = mx + 3 2. y = mx + 3 – 2m 3. bx + 2y = 2b 4. y = 2x + c 5. y = 0.5x + c 5. y = 1.5x + c 6. x – y + 3 = 0 7. x – y + 3 = 0 8. y = 3x + 3.56 9. y = x + 1.71 10. y = 5x - 2

วงกลม 33


แบบฝกหด 2.1 1. x2 + y2 = 16 2. x2 + y2 - 8x + 16y = 0 3. x2 + y2 - 6x - 2y + 9 = 0 4. x2 + y2 - 8x - 12y = 0 5. x2 + y2 - 8x - 12y + 44 = 0 6. x2 + y2 - 4x - 2y – 5 = 0 7. x2 + y2 - 2x + 2y - 12 = 0 8. x2 + y2 - 6x - 8y + 9 = 0 9. x2 + y2 + 4x - 6y + 9 = 0 10. x2 + y2 - 4x - 6y – 3 = 0 11. x2 + y2 - 6x + 4y + 4 = 0 12. x2 + y2 - 16x - 16y + 64 = 0

13. (2,-1), 4 14. (4,-3), 5 15. (-1,2), 1 16. (2,-3), 2 17. (3,-2), 3 18. (-5,4), 5 19. (-5/4,-3/4), 3//8 20. (-3/4,5/4), /10/4 21. วงกลม 22. เซตวาง 23. จด 24. จด 25. จด 26. x2 + y2 + 2x - 4y - 20 = 0 27. x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 28. x2 + y2 - 4x - 4y - 161 = 0 29. x2 + y2 + 4x – 2y + 95 = 0 30. x2 + y2 - 2x – 6y - 90 = 0 31. (x – 1.86)2 + (y – 2.14)2 = 0.512

34 วงกลม


32. x2 + y2 + 6x + 2y - 15 = 0 33. x2 + y2 - 6x + 6y - 47 = 0 34. x2 + y2 + 2x – 4y - 5 = 0 35. x2 + (y – 0.29)2 = 3.852 36. (x – 14.2)2 + (y – 9.8)2 = 12.262 37. x2 + y2 - 4x – 14y - 47 = 0 38. x2 + y2 - 4x + 4y - 17 = 0



แบบฝกหด 3.1 1. (3,0), (3,6), (3,-6), x = -3 2. (-1,0), (-1,2), (-1,-2), x = 1 3. (0,-4), (-8,-4), (8,-4), y = 4 4. (0,2.5), (-5,2.5), (5,2.5), y = -2.5 5. (-2,0), (-2,4), (-2,-4), x = 2 6. (0,3/4), (-3/2,3/4), (3/2,3/4), y = -3/4 7. y2 = 12x 8. x2 = -16y 9. y2 = 16x 10. x2 = 24y 11. 2y2 – x = 0 12. 3x2 + 16y = 0 13. x2 = -12y 14. x2 = -12y 15. y2 + x = 0


1. (x-3)2 = 16y 2. (y+2)2 = 12(x+1) 3. (x-3)2 = 16(y-2) 4. (x+2)2 = -28(y-5) 5. (x-1)2 = 16(y+3) 6. (x-3)2 = -24(y-3) 7. (x+1)2 = -12(y+2) 8. (y+1)2 = 8(x-4) 9. (x-1)2 = -12(y-2) 10. (y-3)2 = 12(x+2) 11. (2,0), (3,0), (3,-2), (3,2) 12. (0,1), (0,3), (-4,3), (4,3) 13. (-2,0), (2,0), (2,-8), (2,8) 14. (0,-4), (0,-7), (-6-7), (6,-7)



15. (-3,0), (-3,1), (-1,1), (-5,1) 16. (0,-2), (0,2), (-8,2), (8,2) 17. (0,-5), (-5,-5), (-5,5), (-5,-15) 18. (4,0), (4,-3/2), (1,-3/2), (7,-3/2) 19. (3,-1), (0,-1), (0,5), (0,-6) 20. (-2,4), (-2,2), (-6,2), (2,2) 21. (3,1), (3,-3/2), (-2,-3/2), (8,-3/2) 22. (4,4), (5/2,4), (5/2,1), (5/2,7) 23. (6,6), (2,0), (2,-8), (2,8) 24. (x+1)2 = 2(y+2) 25. (y+4)2 = -(x-3) 26. (y-3/2)2 = -(x-25/4) 27. (x-2)2 = -(y-9)


1. 5, 3, 4/5, (±4,0), x = ±25/4, 18/5 2. 13, 5, 12/13, (±12,0), x = ±169/12, 50/13 3. 13, 12, 5/13, (0,±5), y = ±169/5, 288/13 4. 5, 4, 3/5, (±3,0), x = ±25/3, 32/5 5. 7, 5, 34 /7, (± 34 ,0), x = ±49/ 34 , 50/7 6. 4, 3, 7 /4, (± 7 ,0), x = ±16/ 7 , 9/2 7. 5, 2, 21 /5, (± 21 ,0), x = ±25/ 21 , 8/5 8. 3, 3/2, 27 /6, (0,± 27 /2), y = ±18/ 27 , 3/2 9. 2, 1, 3 /2, (± 3 ,0), x = ±4/ 3 , 1 10. 3 , 2 , 1/ 3 , (0,±1), y = ±3, 4/ 3

11. 135

22

=+yx

12. 12125

22

=+yx

13. 1204

22

=+yx

14. 136117

22

=+yx



15. 13625

22

=+yx

16. 125169

22

=+yx

17. 16439

22

=+yx

18. 15430

22

=+yx

19. 1164

9 22

=+yx

20. 1169

22

=+yx


1. 12

)3(3

)4( 22

=+

+− yx

2. 125

)3(9

)2( 22

=−

++ yx

3. ( ) ( )

15/2

)5/2(2/1

)5(2

2

2

2

=−

+− yx

4. 18

)1(4

)2/3( 22

=+

++ yx

5. 19

)5(4

)5( 22

=−

+− yx

6. 13620

)3( 22

=+− yx

7. 159

)1( 22

=++ yx

8. 14

)3(9

)2( 22

=−

+− yx

9. 125

)3(36

22

=−

+yx

10. 13x2 + 62y2 -38x – 19y – 43 = 0 แบบฝกหด 3.5

a b e F V D 1. 3 2 13 /3 (± 13 ,0) (±3,0) x=±9/ 13 2. 3 5 34 /3 (± 34 ,0) (±3,0) x=±9/ 34



3. 4 3 5/4 (0,±5) (0,±4) Y=±16/5 4. 6 8 5/3 (0,±10) (0,±6) y=±18/5 5. 6 6 72 /6 (± 72 ,0) (±6,0) x=±36/ 72 6. 7 7 98 /7 (0,± 98 ) (0,±7) y=±49/ 98 7. 3 4 5/3 (±5,0) (±3,0) x=±9/5 8. 8 6 5/4 (±10,0) (±8,0) x=±32/5 9. 2 3 5 / 2 (0,± 5 ) (0,± 2 ) y=±2/ 5 10. 2 5 3/2 (0,±3) (0,±2) y=±4/3

11. 1916

22

=−yx

12. 12016

22

=−yx

13. 1421

22

=−yx

14. 1949

22

=−xy

15. 154

22

=+yx

16. 1981

25 22

=−xy

17. 12016

22

=−yx

18. 12016

22

=−yx

19. 149

22

=−xy

20. 11894

21

22

=−yx


1. 120

)4(16

)3( 22

=+

−− yx

2. 12

)1(3

)2( 22

=−

−− yx

3. 134

)3(317

)2(2 22

=+

−− xy



4. 148

)4(764

)7/8(49 22

=+

−+ xy

5. 14

)3(9

)1( 22

=−

−− yx

6. 154

)2( 22

=−+ xy

7. 116

)3(9

)2( 22

=−

−− xy

8. 19

)3(9

)2( 22

=−

−− xy

9. 14

)2(5

)3( 22

=−

−+ xy

10. 2y – x + 1 = 0, 2y + x – 1 = 0 11. 3x + 2y + 3 = 0, 3x + 2y – 9 = 0

12. 122

)6(22

)8( 22

=−

−− xy



แบบฝกหด 4.2 1. 12 2. 10 3. 7 4. 2x2 5. 15 6. 0 7. 0 8. 10 9. 3 10. 3/4



แบบฝกหด 5.1 1. ไมตอเนองท x = 2 2. ตอเนอง 3. ไมตอเนองท x = -1 4. ไมตอเนองท x = 0


1. หาคาไมได 2. 0 3. 0 4. 0 5. 1 6. -1 7. -1 8. 1 9. -1 10. 1 11. 3 12. 1 13. 1 14. 1


1. 0 2. 2/25 3. 1/3 4. 3/2 5. 5/3 6. 2/3 7. 2 8. 0 9. 1



10. -1 11. ∞ 12. 2

การหาอนพนธ 1


แบบฝกหด 6.1 1. 3 2. 2x 3. 4x 4. 2x + 3 5. 2 – 2x 6. -1/(x+1)2 7. -4/x2 8. -2(x+2)2 9. 2x – 4 10. 8x/(4-x)2


1. 36x2 + 5 2. 20x + 11 3. 28x – 6 4. x2 + 11 5. 5x4 – 42 6. 3x2 – 12x + 7 7. 6x – 15 8. 6x2 + 6x + 2 9. 4x3 + 18x2 + 28x + 15 10. 5x4 + 32x3 + 27x2 – 34x + 3 11. 4x + 5

12. 2

2

)72(452

+−−−

xxx

13. 22

2

)13(323

++−+

xxxx

14. 22

24

)4(412

++−

xxxx

15. 2)12(13−

−x



แบบฝกหด 7.1 1. -2 csc22x 2. 2x sec x2 tan x2 3. 3 cos2x – 3 sin2x 4. 6 sin22x cos 2x 5. tan2(x/3) sec2(x/3) 6. 2 csc32x cot 2x – 2 csc 2x cot 2x หรอ 2 csc 2x cot32x 7. 2 + 2 sec22x 8. x cos x 9. csc22x/ x2cot 10. 8 sec22x tan 2x


1. π/2 2. 2π/3 3. 3π/4 , - π/4 4. π/3 5. π/3 6. 4π/3 , - π/3

7. 291

3x−

8. 6

2

13

xx−

−

9. 22515

x+

10. 412xx

+−

11. 241

2x−

−

12. 1

1−

−xx

13. 1

14. x

x2

2

tan91sec3

+



15. )sec(1)()1(

)31( 3

232

2

xxarcxxx

x++

+++

+


1. 1/x

2. xx

x222

2 ++

3. 2 e2x 4. 323 xex 5. cos x esin x

6. x

x

exe

++1

7. 1 + ln x

8. xx exe11

2 − 9. 3x ln 3

10. 10ln1022xx

11. xx

2ln3

12. ||ln xex

e xx

+

13. 3x – ln 3 – 3 x2 14. sin x x(sin x – 1) + x sin x ln x cos x 15. cos2x sincos x-1 – sincos x+1 ln sin x



แบบฝกหด 8.1 1. max (3,0) , (1,4) 2. max (2,-10) , (-1,17) 3. min (0,0) , max (1,1), (-1,1) 4. min (1,-3) 5. min (-1,-5), (2,-32) , max (0,0) 6. min (2,2/3) , max (-3,43/2), (2,2/3), (3,43/2) 7. min (1,3) , max (-3,-5)


1. min (-1,-1), (1,-1) , max (0,0) 2. min (2,-25) , max (-1/2,25/4) 3. min (3/2,-16/4) , max (-1,16) 4. min (1,-5) , max (-1,7) 5. min (1,6) , max (-1,18) 6. min (-1/2,-19/4) , max (3,81) 7. min (1,-11) , max (-3,53) 8. min (-2,-15), (0,-15) , max (-1,-14) 9. min (2 ,3) , max (1/2,39/4) 10. min (1/2,-39/8) , max (-5/3,193/27)


1. min (-1,-5) , max (2,22) 2. min (-2,-30) , max (3,245) 3. min (3,-56) , max (-2,69) 4. min (1,0) , (-1,0) , max (-2,9) , (2,9) 5. min (0,-2) , (3,7) 6. min (-3,-49) , max (3,11)

แบบฝกหด 8.4 1.

แคลคูลัส 1 - home.npru.ac.thhome.npru.ac.th/teerawat/pdf/calculus.pdf ·...

Documents