การวิเคราะห์มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์เรื่องล...

Proceedings of AMM 2017 EDM-27-1

The 22nd

Annual Meeting in Mathematics (AMM 2017)

Department of Mathematics, Faculty of Science

Chiang Mai University, Chiang Mai, Thailand

การวเคราะหมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบ ของนกเรยนมธยมศกษาตอนปลาย โรงเรยนทาวงผาพทยาคม

จงหวดนาน รจเรข บญมาปะa,‡

จฑาพร เนยมวงษ a,b สนนาฏ ศรมงคลa,b,†

aภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยบรพา ชลบร 20131

bศนยความเปนเลศดานคณตศาสตร ถนนศรอยธยา กรงเทพฯ 10400

บทคดยอ

จากการเรยนการสอนเรองล าดบของนกเรยนในระดบมธยมศกษาตอนปลาย พบวานกเรยนขาดทกษะการเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร คอการเชอมโยงมโนทศนทางคณตศาสตรของล าดบกบฟงกชน แนวทางหนงทจะน าไปสการแกปญหาดงกลาวคอตองรมโนทศนเรองล าดบของนกเรยน ดงนนเพอวเคราะหมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 และ 6 แผนการเรยนวทยาศาสตร-คณตศาสตร โรงเรยนทาวงผา อ าเภอทาวงผา จงหวดนาน ผวจยใชแบบทดสอบมโนทศนทางคณตศาสตร เรองล าดบของมอลโกซาตา ฟรเซนนโอสโล [1] ซงแบงเปน 2 ตอน โดยทตอนท 1 เปนสถานการณทางคณตศาสตรเรองล าดบในรปแบบของพจนทวไป ล าดบแบบแจงพจน เซต เซตของคอนดบ พจนทวไปแบบสองเงอนไข และความสมพนธเวยนเกด ตอนท 2 เปนสถานการณทางคณตศาสตรในรปกราฟ ตาราง และแผนภาพลกศร จากนนท าการแยกมโนทศนเรองล าดบของนกเรยนเปนสองกลม ไดแก กลมแรกเปนกลมทมมโนทศนรบรวาล าดบเปนฟงกชน และกลมทสองเปนกลมทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบของสมาชก ผลการวจยพบวาจากผท าแบบทดสอบจ านวน 282 คน กลมทมมโนทศนรบรวาล าดบเปนฟงกชนมจ านวน 44 คน กลมทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบของสมาชกมจ านวน 207 คน และไมสามารถแยกมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบไดมจ านวน 31 คน

ค าส าคญ: ล าดบ, มโนทศนทางคณตศาสตร, มโนทศนทางคณตศาสตรของล าดบ

2010 MSC: 97D70, 97D60, 97C30, 97B10

†ผแตงหลก ‡ผพด

อเมล: [email protected], [email protected], [email protected]

mailto:[email protected]




1 บทน ำ

คณตศาสตรนบเปนเครองมอส าคญทชวยในการเตรยมความพรอมและพฒนาคน ทงนเพราะคณตศาสตรเปนวชาทมบทบาทตอการพฒนาความคดของมนษยชวยใหมนษยมความคดสรางสรรค สามารถคดอยางมเหตผล เปนระบบ มแบบแผน [2] ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551ไดมการก าหนดทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรทจ าเปนในการเรยนรคณตศาสตรไวทงหมด 5 ประการ ซงประกอบดวย ความสามารถในการแกปญหา ความสามารถในการใหเหตผล ความสามารถในการสอสารการสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ ความสามารถในการเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและการเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และความสามารถในการคดรเรมสรางสรรค [3] จะเหนไดวา ความสามารถในการเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร ถกจดเปนทกษะพนฐาน หากนกเรยนขาดการพฒนาทกษะในการเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรแลวยอมท าใหการพฒนาทกษะในระดบทสงขนเปนไปไดยาก และเปนเปาหมายทจ าเปนในการเรยนรคณตศาสตร [4] และการเรยนรในศตวรรษท 21 ซงเปนแนวคดบนพนฐานทงหมดทกลาวมา รปแบบการศกษาในชวงทผานมาเนนเพยงแคการเรยนและการทองจ าไมเพยงพออกตอไปแลวส าหรบการเตรยมพรอมนกเรยนใหสามารถด ารงชวตและท างานในโลกยคใหมทเตมไปดวยความทาทายและความเสยงมากมาย นกเรยนจ าเปนตองไดรบการปลกฝงทกษะทจ าเปน อนไดแก ทกษะการคดขนสง ทกษะการสรางสรรคสงตาง ๆ ดวยตนเอง ทกษะการเรยนรการแกปญหา ทกษะการท างานและด ารงชวต

การจดการเรยนการสอนระดบชนมธยมศกษาตอนปลายเรองล าดบ (sequence) ซงเปนเนอหาทางคณตศาสตรทส าคญเรองหนง อกทงยงเปนพนฐานของการเรยนเรองล าดบอนนตอกดวย ดงนนในการเรยนเรองล าดบนกเรยนตองมความสามารถในการใชทกษะการเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร เพอเชอมโยง มโนทศนของล าดบกบมโนทศนของฟงกชน จากการสงเกตของครผสอนพบวามนกเรยนบางสวนเกดความเขาใจคลาดเคลอนของมโนทศน เรองล าดบวาเปนความสมพนธระหวางคาของพจน (an) ของล าดบทเรยงใหเปนระเบยบมความตอเนองกน มนกเรยนบางสวนไมเขาใจสญลกษณ a1, a2, a3, … และพบวานกเรยนบางสวนน ามโนทศนของล าดบจ ากด, ล าดบอนนต, ล าดบเลขคณต, ล าดบเรขาคณต, ลมตของล าดบ รวมไปถงพจนทวไปของล าดบน ามาใชในการตดสนวาสถานการณทางคณตศาสตรทก าหนดใหเปนหรอไมเปนล าดบ สอดคลองกบงานวจยของธารารตน แกวพะเนาว [5] ทไดท าการศกษาลกษณะความผดและขอบกพรองทางคณตศาสตร เรองล าดบอนนต ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 โรงเรยนภพทยาคม จงหวดมหาสารคาม จ านวน 55 คน โดยใชแบบฝกหดทายบทเรยน รวมทงครผสอนใหเพมเตมจากแบบเรยนจ านวน 50 ขอ และแบบวเคราะหความผดและขอบกพรอง และไดจ าแนกลกษณะความผดและขอบกพรองได 4 ดาน คอ การใชสญลกษณไมถกตอง, เนอหา, การค านวณ และความบกพรองอน ๆ ซงอาจพบนอกเหนอจากประเภททก าหนดไว พบวานกเรยนมความบกพรองของเนอหามากทสด และไดแบงออกเปน 4 ลกษณะ ประกอบดวย การใชสตรหรอนยามของล าดบอนนตไมได, นกเรยนไมสามารถน าสตรของล าดบอนนตมาใชในการแกปญหาได, นกเรยนไมสามารถแยกประเภทของล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณตได และนกเรยนไมใชขอมลทก าหนดมาหาค าตอบ สาเหตอาจเนองมาจากเปนความผดและขอบกพรองทเกดจากการทนกเรยนไมสามารถจะเลอกใชนยามหรอทฤษฎทเหมาะสมในการแกปญหาได อาจเกดจากการไมทราบ ความสบสน หรอการทนกเรยนไมสามารถวเคราะหและตความโจทยทใหมาได และยงไดมการศกษามโนทศนเรองล าดบของมอลโกซาตา ฟรเซนนโอสโล [1] ท าการศกษารปแบบของมโนทศนทเกดขนในนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลาย และนกศกษาระดบมหาวทยาลยทเขาศกษาตอทางดานคณตศาสตรในประเทศโปแลนด จ านวน 602 คน ผลการวจย พบวาสามารถแบงกลมตวอยางออกไดเปนสองกลมคอ กลมทหนงรบรไดวาล าดบคอฟงกชน และกลมทสองรบรวาล าดบมความสมพนธกบอนดบของสมาชก ซงในแตละกลมการแบงออกเปนกลมยอย ๆ อกหลายกลม

จะเหนวางานวจยทกลาวมาท งหมดขางตนสามารถใชเปนแนวทางในการเสรมสรางมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบทถกตองใหแกนกเรยนได ดงนนผวจยจงสนใจทจะท าการส ารวจและวเคราะหถง


รปแบบของมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบของนกเรยนในโรงเรยนทาวงผาพทยาคม เมอทราบมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบของนกเรยนแลวครสามารถใชเปนแนวทางในการสรางสอการเรยนการสอนใหสอดคลองกบนกเรยน และท าใหครตระหนกถงความส าคญกบการท าความเขาใจของนกเรยนเกยวกบนยามของล าดบ รวมไปถงการทครสามารถใหความชวยเหลอและปองกนไมใหนกเรยนเกดความเขาใจทคลาดเคลอนของมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบได อกทงยงใชเปนขอมลพนฐานใหครในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเรองล าดบในโรงเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลายเพอใหนกเรยนเกดมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบทถกตองตอไป ผวจยจงก าหนดวตถประสงคและขอบเขตการวจยดงน

1.1 วตถประสงคของงานวจย

วตถประสงคของการวจยครงนเพอศกษามโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบของของนกเรยนระดบมธยมศกษาปท 5 และ 6 แผนการเรยนวทยาศาสตร-คณตศาสตร โรงเรยนทาวงผาพทยาคม จงหวดนาน

1.2 ขอบเขตการวจย

ประชากรทใชในการวจยเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 และ 6 สายการเรยนวทยาศาสตร-คณตศาสตร โรงเรยนทาวงผาพทยาคม อ าเภอทาวงผา จงหวดนาน ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2559 จ านวน 8 หองเรยน จ านวน 282 คน ไดแก นกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 จ านวน 4 หองเรยน จ านวน 134 คน และนกเรยน ชนมธยมศกษาปท 5 จ านวน 4 หองเรยน จ านวน 148 คน

2 วธด าเนนการวจย การวจยครงนผวจยไดเกบรวบรวมขอมลและท าการวเคราะหมโนทศนเรองล าดบดวยตนเอง โดยใชแบบทดสอบทไดท าการสรางและพฒนาขนโดย มอลโกซาตา ฟรเซนนโอสโล[1] ซงไดท าการวจยกบนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลายสายการเรยนวทยาศาสตร -คณตศาสตร วทยาศาสตร-ฟสกส วทยาศาสตร-คอมพวเตอร และนกศกษาสาขาวชาคณตศาสตรชนปท 1 ประเทศโปแลนด กอนท าการวจยผวจยไดรบการอนญาตจากส านกพมพ Taylor & Francis ใหใชแบบทดสอบในการท าวจยได ผวจยไดแปลแบบทดสอบเปนภาษาไทย จากนนน าแบบทดสอบเรองมโนทศนของล าดบไปทดลองใชกบกลมตวอยางทเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ทก าลงศกษาในภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2559 ซงไดจากการสมอยางงาย จ านวน 22 คน และท าการตรวจแบบทดสอบของกลมตวอยาง จากนนท าการประเมนผลทไดจากการทดลอง พบวากลมตวอยางสามารถเขยนอธบายเหตผลทใชตดสนใจจากสถานการณทก าหนดใหได จากนนท าการเกบขอมลกบกลมตวอยางทเหลอจ านวน 260 คน ซงแบบทดสอบมทงหมด 28 ขอ แบงเปน 2 ตอน ดงน

ตอนท 1 เปนขอค าถามทก าหนดโดยสถานการณทางคณตศาสตร ไดแก พจนทวไป, ล าดบแบบแจงพจน, เซต, เซตของคอนดบ, และพจนทวไปแบบสองเงอนไข, ความสมพนธเวยนเกด ใหนกเรยนตอบวาเปนล าดบหรอไมพรอมใหเหตผล จ านวน 18 ขอ โดยลกษณะของแบบทดสอบเปนดงน (a) √

(b)

(c) Xn =

(d) 4, 2, 0, 2, 4, 6

(e) 1, 3, 5, 5, 5 …

(f) 2, 7, 0, 4, 1, 2


(g)

5 ,

, ,

(h) { 4 …}

(i) {( ) ( ) ( 5) …}

(j) {( ) ( ) ( ) …}

(k) {(1,

5), (2, 3), (3, ) …}

(l) {( ) ( ) ( ) …}

(m) {( ) ( ) (4 ) …}

(n) {(

5, 1), (

, 2), (

) …}

(o) {(1, 2)}

(p) {(1, ), (2, ), (3, ), ,(4, ) }

(q)

(r) a1 = 1, an+1 = 2an , n N

ตอนท 2 เปนขอค าถามทก าหนดโดยสถานการณทางคณตศาสตร ไดแก กราฟ, ตาราง และแผนภาพลกศร แลวใหนกเรยนตอบวาเปนล าดบหรอไมพรอมใหเหตผล จ านวน 10 ขอ

an = 1,4,

เมอ 1,000 n 10,000

เมอ n เปนจ านวนนบอน

รปท 3 รปท 4



จากแบบทดสอบทงสองตอนจะเหนไดวาตอนท 1 สถานการณทไมเปนล าดบ ไดแก ขอ (c), (l), (m) และ (n) ตอนท 2 สถานการณทไมเปนล าดบ ไดแก รปท 4, 7 และ 8 เมอเกบรวบรวมขอมลจากกลมตวอยางครบเรยบรอยแลว ผวจยท าการตรวจแบบทดสอบมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบ จากนนท าการแยกประเภทมโนทศนทางคณตศาสตรของล าดบ โดยอาศยแนวทางการวเคราะหมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบจากการวจยของมอลโกซาตา ฟรเซนนโอสโล [1]





สถานการณทางคณตศาสตรทใชในการวเคราะหแยกมโนทศนเรองล าดบของนกเรยนออกเปนสองกลมดงน

2.1 กลมท 1 มโนทศนรบรวาล าดบเปนฟงกชน 2.1.1 นกเรยนสวนใหญตอบแบบทดสอบโดยใหเหตผลจากบทนยามล าดบ 2.1.2 นกเรยนสวนใหญตอบแบบทดสอบวาสถานการณขอ (g) ตอนท 1 เปนล าดบ โดยสามารถอางอง

นยามของล าดบได นกเรยนบางสวนตอบวาสถานการณรปท 9 ตอนท 2 และสถานการณขอ (f) ตอนท 1 ไมเปนล าดบ

2.1.3 นกเรยนสวนใหญเขยนอธบายรปท 3 – 9 ตอนท 2 ดวยการใชนยามล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนนบ และใหเหตผลล าดบทเกยวของกบลมต ล าดบอนนต

2.1.4 นกเรยนสวนใหญตอบวาสถานการณขอ (m) ตอนท 1 เปนล าดบ และตอบวาสถานการณรปท 7

ตอนท 2 เปนล าดบ ดวยการใชนยามล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของจ านวนนบ นกเรยนขาดความเขาใจการใชสญลกษณ a1, a2, a3, … แทนล าดบ และขาดความเขาใจวาโดเมนตองเปนจ านวนนบทตอเนองกน

2.2 กลมท 2 มโนทศนเชอมโยงกบอนดบ 2.2.1 นกเรยนสวนใหญตอบวาสถานการณขอ (h) ตอนท 1 ไมเปนล าดบ 2.2.2 นกเรยนสวนใหญตอบวามสถานการณบางสวนของขอ (i) – (p) ตอนท 1 ไมเปนล าดบ โดยอางวา

สมาชกตวแรกของเซตเปนจ านวนนบ แตไมสามารถอธบายเหตผลไดวาท าไมจงเปนเชนนน 2.2.3 นกเรยนสวนใหญตอบวาสถานการณขอ (o) ตอนท 1 ไมเปนล าดบ 2.2.4 นกเรยนสวนใหญไมยอมรบสถานการณขอ (p) ตอนท 1 โดยมแนวทางในการใหเหตผลวาสมาชก

ตวทสองของคอนดบไมใชจ านวน 2.2.5 นกเรยนสวนใหญไมยอมรบสถานการณรปท 9-10 ตอนท 2 2.2.6 นกเรยนบางสวนไมยอมรบสถานการณขอ (q) แตยอมรบสถานการณขอ (c) ตอนท 1 หรอยอมรบ

สถานการณขอ (q) แตไมยอมรบสถานการณขอ (c)

3 ผลการวจยผวจยเกบขอมลทงหมด 282 คน และสามารถแยกมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบไดจ านวน 251 คน

โดยสามารถแยกมโนทศนหลกได 2 แบบ คอ มโนทศนรบรวาล าดบเปนฟงกชน และมโนทศนเชอมโยงกบอนดบดงตอไปน

3.1 มโนทศนรบรวาล าดบเปนฟงกชน

นกเรยนกลมนใหค าจ ากดความมโนทศนของล าดบขนอยกบการพจารณาโดเมน เนองจากมโนทศนของล าดบจะมการเกรนน ามาจากแนวคดเรองของฟงกชน การพจารณาเฉพาะโดเมนจงเปนการงายทจะบอกวาเปนล าดบหรอไม การวเคราะหจากแบบทดสอบพบวา มนกเรยน 43 คน คดเปน 17.13 ของจ านวนผท าแบบทดสอบทงหมด เขาใจวาล าดบเปนฟงกชน ซงกลมแรกนสามารถแยกออกเปน 4 ประเภทดงตอไปน


3.1.1 รบทนยามและใชอยางมประสทธภาพ

นกเรยนรบทนยามและใชอยางมประสทธภาพ คอ นกเรยนมการใชบทนยามของล าดบในการสราง มโนทศนของล าดบ โดยภาพรวมนกเรยนเขาใจสญลกษณของล าดบ สามารถอธบายไดอยางชดเจน และแมนย าโดยการอางองไดวาล าดบเปนฟงกชน นกเรยนเขยนค าตอบในแบบทดสอบถกตอง โดยพจารณาจากสถานการณ ขอ (l) - (m) ตอนท 1 นกเรยนตอบวาไมเปนล าดบ เขยนอธบายจากการใชนยามล าดบเพอพจารณาสถานการณดงกลาววา เพราะโดเมนจบกบเรนจสองตว, โดเมนไมเรยงกนเปนจ านวนนบ และโดเมนไมเปนสมาชกของจ านวนเตมบวก และสถานการณในตอนท 2 รปท 4 เขยนวา ไมเปนล าดบเพราะไมเปนฟงกชน คอ โดเมน 1 ตวแตมนมเรนจ 2 ตวนกเรยนกลมนคดเปน 4.55 ของจ านวนนกเรยนทรบรวาล าดบเปนฟงกชน

3.1.2 รบทนยามแตแทบจะไมมประสทธภาพ

นกเรยนรบทนยามแตแทบจะไมมประสทธภาพ คอ นกเรยนมการใชบทนยามของล าดบ แตไมยอมรบสญลกษณของล าดบในรปเซตของคอนดบ (set of pairs) พจนแบบสองเงอนไข (two-term formulas) และแผนภาพลกศร (arrow diagram) หรอตาราง พจารณาไดจากกราฟตอนท 2 มแนวการเขยนเกยวกบโดเมนเปนจ านวนนบทเรยงล าดบ พจารณาจากสถานการณขอ (m) ตอนท 2 เขยนวาไมเปนล าดบเพราะโดเมนไมเปน

… หรอ ไมเปนล าดบเพราะโดเมนขาม 3 ไป ตองเปน 4 … สถานการณขอ (g) ตอนท 1 นกเรยนไมยอมรบวาเปนล าดบแตกลบยอมรบสถานการณในรปท 9 ตอนท 2 โดยใหเหตผลวาโดเมนเรยงล าดบและเปนฟงกชนนกเรยนทรบรวาล าดบเปนฟงกชนแตแทบจะไมมประสทธภาพคดเปน 15.91 ของจ านวนนกเรยนทรบรวาล าดบเปนฟงกชน

3.1.3 มพนฐานของความเชอ “ล าดบตองเปนอนนต” นกเรยนมพนฐานของความเชอ “ล าดบตองเปนอนนต” คอ นกเรยนทมความเขาใจมโนทศนของล าดบทใช

นยาม “ล าดบเปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนนบ” และจะใชนยามทเกยวของกบลมตของล าดบ การเขยนเหตผลสวนใหญไปในแนวทางของล าดบอนนตหรอลมตของล าดบ จะเขยนเกยวกบล าดบจ ากดเพยงบางสวน พจารณาไดจากการเขยนตอบสถานการณในตอนท 2 รปท 3 – 9 เชน รปท 7 เปนล าดบ เพราะคา n เขาใกลศนยมากขนเมอเพมคา n ขน นกเรยนกลมคดเปน 22.73 ของจ านวนนกเรยนทรบรวาล าดบเปนฟงกชน

3.1.4 มโนทศนมพนฐานของความเชอ “ปราศจากกฎเกณฑโดเมนเปนสบเซตของจ านวนนบ” นกเรยนมพนฐานของความเชอ “ปราศจากกฎเกณฑโดเมนเปนสบเซตของจ านวนนบ” คอนกเรยนทใช

นยาม “ล าดบคอฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของจ านวนนบ” โดยไมไดค านงวาโดเมนตองเปนจ านวนนบทเรยงกน พจารณาจากการทนกเรยนยอมรบสถานการณขอ (m) ตอนท 1 วาเปนล าดบ โดยมแนวการเขยน เชน เปนล าดบเพราะโดเมนไมซ ากน, เปนฟงกชน , คอนดบไมซ ากนเลย, โดเมนคกบเรนจตวเดยว และสถานการณ


รปท 7 ตอนท 2 มแนวการเขยนวาเปนล าดบ เพราะ ลากขนานแกน Y เสนตดหนงจดเปนฟงกชน นกเรยนกลมคดเปน 56.82 ของจ านวนนกเรยนทรบรวาล าดบเปนฟงกชน

3.2 มโนทศนเชอมโยงกบอนดบ จากการวเคราะหแบบทดสอบพบวา นกเรยนทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบมจ านวน 207 คน คดเปน

82.47 ของจ านวนนกเรยนทงหมด นกเรยนกลมนจะมความเชอวา อนดบ มความสมพนธกบพจนของล าดบ เชอมโยงกบสญลกษณ “…” ของล าดบอนนต นกเรยนกลมนจะไมสามารถแยกสญลกษณของเซตและล าดบได สวนใหญจะอธบายสถานการณขอ (i)–(p) ตอนท 1 โดยการพจารณาแยกกนระหวางคอนดบตวหนากบคอนดบตวหลง โดยไมกลาวถงอนดบของจ านวน หรอเซตของอนดบ นกเรยนสวนใหญไมยอมรบสถานการณขอ (o)

ตอนท 1 ใหเหตผลวาเพราะในเซตนไมมอนดบ นกเรยนสวนใหญไมยอมรบสถานการณในรปท 9 และ 10 ตอนท 2 นกเรยนไมยอมรบสถานการณขอ (q) ในตอนท 1 และอาจมนกเรยนบางสวนยอมรบสถานการณขอ (c)

ตอนท 1 กลมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบยงสามารถแยกออกเปน 7 ประเภทดงตอไปน

3.2.1 มโนทศนมพนฐานมาจาก “มากกวา” และ “นอยกวา” นกเรยนมมโนทศนของล าดบทมพนฐานมาจาก “มากกวา” และ “นอยกวา” คอ นกเรยนทอางขอความ

“ความสมพนธมากกวา” และ “ความสมพนธนอยกวา” หรอสญลกษณ “>” และ “<” เขยนอธบายสถานการณดวยขอความเกยวของกบแตละพจนทตอเนองกนจะตอง “มากขนและมากขน” “ลดลงและลดลง” หรอ “ล าดบตองเหมอนกนหรอคงท” พจารณาไดจากสถานการณขอ (d) – (e) ตอนท 1 ตวอยางบางสวน เชน สถานการณขอ (d) เปนล าดบเพราะมการเรยงของตวเลขจากนอยไปมาก สถานการณขอ (e) ไมเปนล าดบเพราะ ไมไดเพมขนและไมไดลดลง, เพมขนและคงทท -5 แลวยงสามารถพจารณานกเรยนกลมนไดจาก ขอ (i) – (o) ตอนท 1 อธบายโดยใชเซตของคอนอบ (n, an) หรอคอนดบของจ านวน (แตทจรงแลวใชคา an ของล าดบในการตดสน) และนกเรยนมค าอธบายเกยวกบกราฟในตอนท 2 วา กราฟมจดตอเนองกน และยงอธบายเกยวกบคอนดบเปนจดบนกราฟ นกเรยนกลมนสวนใหญยอมรบสถานการณขอ (n) ตอนท 1 วาเปนล าดบเพราะโดเมนเรยงจากนอยไปมาก สวนใหญยอมรบสถานการณในรปท 1, 2, 7 และ 8 ตอนท 2 วาเปนล าดบ นกเรยนมกจะไมยอมรบสถานการณทมความสมพนธ “มากกวาเทากบ” หรอ “นอยกวาเทากบ” มนกเรยนอยในกลมนจ านวน 42 คน คดเปน 20.29 ของจ านวนนกเรยนทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบ

3.2.2 มโนทศนมพนฐานของความเชอ “ล าดบทางเดยว”

นกเรยนมมโนทศนของล าดบทมพนฐานของความเชอ “ล าดบทางเดยว” คอ นกเรยนทมมโนทศนของล าดบเกยวของกบการ “เพมขน” “ไมลดลง” “ลดลง” หรอ “ไมเพมขน” ของพจน นกเรยนสวนใหญยอมรบสถานการณในรปท 7 และ 8 ตอนท 2 เหตผลทใชอธบาย คอ เสนกราฟไมแตกออกจากกน, กราฟตองสมพนธเปนเสน, กราฟเสนตรง, กราฟเสนโคง, กราฟคงท, อยในแนวเดยวกน, เรยงกนตรง และนกเรยนยอมรบ


สถานการณขอ (l) (n) ตอนท 1 วาเปนล าดบ โดยพจารณาพฤตกรรมของคอนดบตวหนาและตวหลง มนกเรยนอยในกลมนจ านวน 16 คน คดเปน 7.73 ของจ านวนนกเรยนทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบ

3.2.3 มโนทศนทมพนฐานของความเชอ “ผลตางระหวางพจนตองเทากน”

นกเรยนมมโนทศนทมพนฐานของความเชอ “ผลตางระหวางพจนตองเทากน” คอ นกเรยนจะเชอมโยงมโนทศนของล าดบกบมโนทศนของล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณต โดยจะอาศยความคนเคยของการหาผลตางรวม และอตราสวนรวม ในท านองเดยวกนกบกราฟในตอนท 2 นกเรยนจะเปรยบเทยบกบระยะหางระหวางจดตองเทากน นกเรยนกลมนจะใชการแยกพจารณาสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงของคอนดบ โดยผลตางระหวางสมาชกตวหนาตองเทากน หรอพจารณาผลตางของสมาชกตวหลงตองเทากน นกเรยนกลมนจะยอมรบสถานการณในรปท 3 ตอนท 2 วาเปนล าดบ บางคนยอมรบสถานการณในรปท 5, 7 และ 8 ตอนท 2 ตวอยางเหตผลเชน มผลตางรวม, มอตราสวนรวม, เพมขนทละ 2, ผลตางคงท, เปนล าดบเลขคณต, ตวเลขแตละตวหางเทากน, ความหางของคา y เทากน เปนตน มนกเรยนอยในกลมนจ านวน 47 คน คดเปน 22.71 ของจ านวนนกเรยนทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบ 3.2.4 มโนทศนทมพนฐานของความเชอ “พจนตองเปนสตร”

นกเรยนทมมโนทศนทมพนฐานของความเชอ “พจนตองเปนสตร” คอ นกเรยนทเขาใจวาล าดบจะมสตร (พจนทวไป) เพอใชหาพจนถดไป นกเรยนยงยอมรบล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณต แมวาไมใหสตร(พจนทวไป) แกนกเรยน นกเรยนจะพจารณากราฟโดยอาศยล าดบทคนเคย หรอเคยพบมากอน พจารณาจากการทนกเรยนยอมรบสถานการณในรปท 2, 7 และ 8 ตอนท 2 ค าอธบายคอ ความคนเคยกบสตรของล าดบทเคยเรยนมากอนหนาน ยกตวอยางเชน นกเรยนจะเขยนเหตผลวา สามารถหาพจนท n ตอไปได, มพจนท n, บางครงใหเหตผลโดยการหาพจนท n ของล าดบ คอ an = n เปนตน กลมนมนกเรยนจ านวน 5 คน คดเปน 2.42 ของจ านวนนกเรยนทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบ

3.2.5 มโนทศนทมพนฐานของความเชอ “พจนตองมความสม าเสมอ” นกเรยนทมมโนทศนทมพนฐานของความเชอ “พจนตองมความสม าเสมอ” คอ นกเรยนทใชค าศพท

“สม าเสมอ” เกอบทกสถานการณ พจารณาจากทนกเรยนสวนใหญยอมรบสถานการณทเปนล าดบ ไดแก สถานการณขอ (q) ตอนท 1 และสถานการณในรปท 4 ตอนท 2 บางครงยอมรบสถานการณในรปท 5 ตอนท 2 ตวอยางการเขยนเชน มการเพมขนอยางสม าเสมอ, มการลดลงอยางสม าเสมอ เปนตน กลมนมนกเรยนจ านวน 3 คน คดเปน 1.45 ของจ านวนนกเรยนทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบ 3.2.6 มโนทศนทมพนฐานของความเชอ “พจนตองมบางสวนทกลมกลนกน”

นกเรยนทมมโนทศนทมพนฐานของความเชอ “พจนตองมบางสวนทกลมกลนกน” คอ นกเรยนทม มโนทศนของล าดบเกยวกบความรสกและความกลมกลนกน เปนกลมทมความหลากหลายเปนอยางมาก


สถานการณทใชเปนหลกในการพจารณาไดแก สถานการณขอ (f) และ (g) ตอนท 1 และสถานการณในรปท 6 ตอนท 2 นกเรยนไมยอมรบวาสถานการณขางตนเปนล าดบ อธบายล าดบโดยใชความรสกและความกลมกลน ยงไปกวานนนกเรยนขาดมโนทศนทางคณตศาสตรของล าดบ กลมนมนกเรยนจ านวน 26 คน คดเปน 12.56

ของจ านวนนกเรยนทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบ

3.2.7 มโนทศนทมพนฐานของความเชอ “ล าดบเปนการเรยงกนของจ านวน” นกเรยนทมมโนทศนทมพนฐานของความเชอ “ล าดบเปนการเรยงกนของจ านวน” คอ นกเรยนทระบ

ล าดบดวยการเรยงกนอยางตอเนองของคาตามล าดบของจ านวนจ ากดและจ านวนอนนต โดยนกเรยนกลมนยอมรบสถานการณของล าดบทเปนกราฟ และสถานการณทยอมรบวาเปนล าดบแตทพบคอนขางบอยคอแผนภาพลกศรหรอตาราง นกเรยนยงตระหนกถงการเรยงกนของคาของพจนทตอเนอง แตไมสามารถอางองถงเซตของคอนดบได โดยพจารณาจากทนกเรยนยอมรบสถานการณในรปท 4 และ 7 ตอนท 2 วาเปนล าดบ ตวอยางการเขยน เชน เปนกราฟเรยงจ านวนเรยงมากนอย, จดเรยงเปนระเบยบ, เรยงล าดบอยางถกตอง, กราฟมคาลดลงตามล าดบ เปนตน นกเรยนกลมนมจ านวน 68 คน คดเปน 32.85 ของจ านวนนกเรยนทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบ

4 สรปและอภปรายผล

การวเคราะหมโนทศนทางคณตศาสตรของล าดบ ของนกเรยนชนมธยมปท 5 และ 6 แผนการเรยนวทยาศาสตร – คณตศาสตร โรงเรยนทาวงผาพทยาคม จ านวน 282 คน โดยสามารถแยกมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบไดจ านวน 251 คน ซงไดผลปรากฏดงตารางท 1

ตารางท 1 ตารางแสดงจ านวนนกเรยนทแยกมโนทศนทางคณตศาสตรของล าดบได

ประเภทของมโนทศน จ านวน

(N = 251)

รบรวาล าดบเปนฟงกชน

รบทนยามและใชอยางมประสทธภาพ

รบทนยามแตแทบจะไมมประสทธภาพ

ล าดบตองเปนอนนต

ปราศจากกฎเกณฑโดเมนของล าดบเปนสบเซตของจ านวนนบ

มโนทศนเชอมโยงกบอนดบ

ความสมพนธของค าวา “มากกวา” และ “นอยกวา”

ล าดบทางเดยว

ผลตางระหวางพจนตองเทากน

พจนตองเปนสตร

พจนตองมความสม าเสมอ พจนตองมบางสวนทกลมกลนกน

ล าดบเปนการเรยงกนของจ านวน

2

7

10

25

42

16

47

5

3

26

68


จากผลการส ารวจจะเหนวาจ านวนนกเรยนทมมโนทศนรบรวาล าดบเปนฟงกชนมจ านวนนอยมาก คดเปน

รอยละ 17.53 ของจ านวนนกเรยนทงหมด สอดคลองกบงานวจยของมอลโกซาตา ฟรเซนนโอสโล [1] ทพบวามนกเรยนอยในกลมรบรวาล าดบเปนฟงกชนมจ านวนนอย คดเปนรอยละ 9.30 ของจ านวนกลมตวอยางทงหมดและจากผลการส ารวจนกเรยนสวนใหญของโรงเรยนทาวงผาพทยาคมอยในกลมทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบมมากถงรอยละ 82.47 ของจ านวนนกเรยนทงหมด สอดคลองกบงานวจยของธารารตน แกวพะเนาว [5] พบวานกเรยนมความบกพรองของเนอหามากโดยเฉพาะการใชสตรหรอนยาม

เหตผลอาจจะเปนเพราะแนวทางการสอนของครทยงขาดการใหความส าคญของมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบ เหตผลของการทนกเรยนสวนใหญอยในกลมทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบมความสบสนของการแยกความสมพนธวาเปนล าดบหรอไม อาจมสวนมาจากตวเนอหาในแบบเรยน [6] เรองล าดบเองทเรมบทเรยนดวยความหมายของล าดบ แตไมไดเนนถงความส าคญของนยามใหมากพอ มการเรมตนบทเรยนดวนการยกตวอยางล าดบดวยรปจด และตารางของความสมพนธทเปนฟงกชน แตยงขาดการยกตวอยางล าดบดวยกราฟ และขาดตวอยางทใหนกเรยนแยกล าดบกบความสมพนธ

จากการใหนยามของล าดบวา “ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกหรอสบเซตของจ านวนเตมบวกในรป { … } เรยกวา ล าดบ” อาจท าใหนกเรยนเกดความสบสนวาถาในกรณทโดเมนเปนเซตอนนต { …} เปนล าดบไดหรอไม กรณทนกเรยนสบสนวา “ล าดบตองเปนสตร” อาจเกดจากการยกตวอยางในหนงสอเรยน คอ 5 7 … – … ท าใหนกเรยนเขาใจไดวาล าดบตองสามารถหาพจนทวไปไดทกล าดบ ซงนกเรยนอาจไดรบมโนทศนมาจากแนวคด “ล าดบคอจ านวนทเรยงล าดบภายใตกฎเกณฑอยางใดอยางหนง” และการทนกเรยนไมเขาใจมโนทศนของล าดบอาจมอกหนงสาเหตคอ นกเรยนไมเขาใจเรองความสมพนธและฟงกชน สงเกตไดจากการตอบแบบทดสอบในตอนท 1 จะพบการเขยนตอบสถานการณในขอ (l) {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} และจากรปท 4 ตอนท 2 โดยไมไดค านงวาความสมพนธนไมเปนฟงกชนจงไมเปนล าดบ จะเหนวาสถานการณทเปนล าดบตอนท 1 ไดแก (a), (b), (d) – (k), (o) – (r) ยกเวนสถานการณ 4 ขอทไมเปนล าดบ ไดแก ขอ (c) เพราะโดเมนเปนเซตของจ านวนจรง ขอ (l) เพราะไมเปนฟงกชนดงนนจงไมเปนล าดบ ขอ (m) เพราะโดเมนคอ { 4 …} ขาด 3 จงไมเปนเซตของจ านวนเตมบวก และขอ (n) เพราะโดเมนไมเปนเซตของจ านวนเตมบวก สถานการณตอนท 2 รปทเปนล าดบไดแก 1, 2, 3, 5, 6, 9 และ 10 สถานการณทไมเปนล าดบ ไดแก รปท 4 เพราะไมเปนฟงกชนจงไมเปนล าดบ สวนสถานการณในตอนท 2 ทไมเปนล าดบไดแกรปท 7 เพราะ โดเมนคอ {1, 3, 5, 7} ขาด พจนท 2, 4 และ 6 ดงนนจงไมเปนล าดบ และรปท 8 เพราะ โดเมนคอ { .5 .5 … 6} ไมเปนสบเซตของจ านวนเตมบวก

สถานการณทางคณตศาสตรขางตนเหลานแสดงใหเหนวา ถานกเรยนใชมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบในการแยกวาสถานการณใดเปนล าดบวธทงายทสดคอการพจารณาโดเมน จากการส ารวจยงพบวานกเรยนบางสวนใชลมตของล าดบซงเปนเพยงสมบตบางประการของล าดบมาใชตดสนสถานการณทก าหนดใหวาเปนล าดบหรอไม อาจเปนเพราะนกเรยนเกดความสบสนกบกราฟของล าดบเรองลมตของล าดบทมการใชกราฟในการแสดงวาล าดบมลมตหรอไม พบไดบอยครงทนกเรยนพยายามลากเสนเชอมระหวางจดของ


กราฟในตอนท 2 อกกลมทนาสนใจ คอ กลม “ล าดบเปนการเรยงกนของจ านวน” กลมนเปนกลมทมจ านวนนกเรยนมากทสดอาจเปนเพราะวานกเรยนมมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบวา “ล าดบตองเปนอนดบทเรยงกนไปใหเปนระเบยบตามต าแหนงและตอเนองกน” ขอสงเกตทพบสวนใหญจะเกดจากตวอยางล าดบในหนงสอเรยนทมการเรยงเพม หรอเรยงลดของล าดบ แลวใหหาพจนถดไป หรอพจนทตองการ รองลงมาคอนกเรยนกลมทมมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบ “ผลตางระหวางพจนตองเทากน” นกเรยนกลมนจะใชล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณตในการตดสนวาสถานการณทใหเปนล าดบหรอไม สงเกตไดจากการเขยนตอบจะตองพยายามหาผลตางรวมหรออตราสวนรวมใหไดจงจะเปนล าดบ กลมทมจ านวนนกเรยนมากเปนอนดบสาม คอ “ความสมพนธของค าวา มากกวา และ นอยกวา” อาจเปนเพราะนกเรยนใชความรสกคนเคยกบการเปรยบเทยบคาของพจน (an) ตองเรยงเปนคาทตอเนอง มแนวคดเกยวกบล าดบวา ล าดบตองระบไดดวยการเรยงกนของจ านวนจ ากดหรอจ านวนอนนต

5 ขอเสนอแนะ

5.1 ขอเสนอแนะในการน าไปใช การวจยครงนขอมลทไดแสดงใหเหนถงมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบของนกเรยนมธยมศกษาตอนปลาย โรงเรยนทาวงผาพทยาคมทพบจากการวจยนกเรยนกลมทมมโนทศนเชอมโยงกบอนดบมจ านวนมาก ดงนนครผสอนควรมการยกตวอยางล าดบทแตกตางจากแบบเรยนใหหลากหลาย เชนล าดบทไมใชจ านวน, ล าดบทอยในรปกราฟ, ตาราง, แผนภาพ โดยครควรใชแนวทางการจดกจกรรมเรยนทเนนใหนกเรยนเกดกระบวนการสงเกตและสรปบทนยามล าดบ อาจใชกจกรรมการเรยนรแบบอปนย หรอการใชแบบฝกทกษะทเนนการเชอมโยงความสมพนธระหวางล าดบกบฟงกชน เพอน าไปสการสรางมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบทถกตองใหกบนกเรยนตอไปได

5.2 ขอเสนอแนะเพอการวจย การศกษานพบวามนกเรยนจ านวน 31 คนทไมสามารถแยกมโนทศนทางคณตศาสตรของล าดบไดชดเจน

ผวจยคดวาควรมการพฒนาวธวเคราะหมโนทศน ควรมการการสรางเครองมอเพมเตม เชน แบบสมภาษณเรองมโนทศนทางคณตศาสตรเรองล าดบ เพอใหสามารถวเคราะหมโนทศนของนกเรยนกลมนได

6 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ

การวจยครงนจะกอใหเกดผลตาง ๆ ดงตอไปน 1. ไดรมโนทศนของล าดบของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 และ 6 แผนการเรยนวทยาศาสตร-คณตศาสตร

โรงเรยนทาวงผาพทยาคม อ าเภอทาวงผา จงหวดนาน 2. เปนแนวทางในการจดกจกรรมการเรยนรเรองล าดบ เพอใหผเรยนมมโนทศนทถกตอง


References [1] M. Przenioslo, Conceptions of a sequence formed in secondary schools. International Journal of

Mathematical Education in Science and Technology 37, 2006. 805-823.

[2] กระทรวงศกษาธการ, คมอการจดการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: โรงพมพครสภาลาดพราว, (2544).

[3] กระทรวงศกษาธการ, หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพชมชนสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย, (2551).

[4] N. Branca, Problem solving as a good, process and skill, 1980.

[5] ธารารตน แกวพะเนาว, การศกษาลกษณะความผดและขอบกพรองทางคณตศาสตร เรองล าดบอนนต ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6. วทยานพนธครศาสตรมหาบณฑต, สาขาวชาคณตศาสตรศกษา. บณฑตวทยาลย, มหาวทยาลยราชภฏมหาสารคาม, (2553).

[6] สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยหนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานเลม 3 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 (พมพครงท 5). กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว, (2555).

การวิเคราะห์มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์เรื่องล...

Documents