1

يافته به کمك روش اجساء محدود توسعهبتنی در يك صفحه و رضد ترک مدلسازی ترک

(X-FEM )

(دانشجوی کارشناسی ارشد سازه) هحثیة آقا زاد -(استاد) دکتر جانعلیساده چوب تستی

چکیده

ايز خد سشن دس ؼئ سشن سؿذ آ اس اص ؼبئ دس ػ ىبيه ؿىؼز ثد اػز

احشب ايدبد سؿذ سشن سا شاحي بي خد دس آ ؿذ اذ و ذػي ػبص ثش اص ثبػث ؿذ،ع

دس سحي ؼبئ ثب حيي بي بديػش سا دس ػب بي اخيش سؿبي ػذدي ثؼيبسي ثذي ظسثدبذ

ي ػذدي ، سؽ اخضاء دس ثي اي سؿب .داد اذسشن ؼشفي سد ثشسػي لشاس سػؼ اص خ سؿذ

سؽ اخضاي حذد سػؼ يبفش دس سحي . يبفش اػز چـيشي وبسثشد ػيغحذد سػؼ يبفش

سشن ؼششؽ سشن ثش خالف سؽ اخضاي حذد يبص ث ؿجى ثذي دذد دس ب سؿذ سشن ذاسد

ثب ثىبسيشي دس اي سؽ .ذاسدي ثؼش اب ثذيشبيح ثشسػي ث ع دس اب ذؼبصي ي شدد

ؿبدس اببي ايدبد دسخبر آصادي دبصي يػال ثش ساثغ ؿى ػبد غي ؿذ اي ؿى شساثغ

ػبصي ى اػز بديػش ثبؿذ و اي ث ساثغ غياي . ذؼبصي ي ؿد بديػشي، يب بديػشي سشن

سؽ اخضاي سشويتاص ثب اػشفبد مبدس اي . ي ثبؿذ سد ظش ب دس دا ظس ذ وشد ؼؼشي

آ شبيح .سد ثشسػي لشاس داد اي سؿذ ؼششؽ سشن سا ،ثب سؽ دػ سشاص حذد سػؼ يبفش

. مبيؼ ؿذ و ـب اص وبسايي اي سؽ داسد حبػجبر دليك Franc2Cيض ثب ش افضاس

X-FEM،Franc2D/Lسؿذ سشن،ىبيه ؿىؼز، خضاي حذد سػؼ يبفش، سؽ ا: وبر ويذي

مقدمه -1ػ ىبيه ؿىؼز سب ث ثشسػي اثشار خد سشن دس ػبص ي دشداصد دس ثبس ح ايدبد سشن اي

حبز بي خبف ىبيه ؿىؼز و ثب ايذ آ ػبصي بيي و ثش دبي بديذ شفش . كحجز ي وذ

ىبيه ؿىؼز .بيذ ي ؿد( (LEFMيؼيش ن سشن ادب ي ؿد ىبيه ؿىؼز خيدالػز

ثشاي ػبص بيي ثب لبح االػشيه خي ثشدبي بديذ شفش م كذ ديذ ن سشن ثب ؿذ دس شيح

ر ، يذا سؾ دس دبس(LEFM)دس چبسچة ىبيه ؿىؼز االػشيه خي . وبال سشد وبسثشد داسد

يه هشيت ديىش داسد و بيبش اذاص ػو σن سشن ثؼشي ث سشن، سؾ اػب ؿذ

2

ؿبخش ( SIF)اي ف، و چيضي سا و ث ػا هشيت سشوض سؾ . ؿى ذػي هؼي آ اػز

. يشد ؿد ثىبس ي ي

روابط حاکم -2

u خبثدبييh(x) ػش بديػش ثلسر صيش ثيب ي شددثشاي د لؼز ديثشاي دا شصي :

(1) )()()( xuxuxu disccont

h

: دس ؿشبسي اص آلبي داج ثلسر صيش ثيب ؿذ اػز ساثي فق و

(2 )

discont

Nk

kkJJ

NJ

JJ

cont

NI

II

h

asymptdisctot

bxBxNaxHxNuxNxu

4

1

)()(~

)()(~

)()(

totN سب ش بي ؿجى دػdiscN غي ؿذ سػي ساثغ غي ػبص بديػشي ش بي دػ

دػ ش بي غي ؿذasymptN( ش بي اببي مغ سػي سشن غيش اص اب ؿب ن سشن)

xH)(.سػي ساثغ غي ػبص ن سشن ي ثبؿذ J بديػشي سبثغ غي وذ Ja دسخبر آصادي غي

. يض سبثغ غي ػبص ضديه ن سشن ي ثبؿذ kBسبثغ . ػزا ؿذ ي اي ش ب

: ػبصي سفشبس سشن ثبيذ داساي د ؿشىسبثغ غي ػبصي سد اػشفبد ثشاي ؿجي

ايدبد بديػشي دس ح سشن -1

. ػذ اخشال ؿشايي ديػشي يذا خبثدبيي ثش سي شصب ثبؿذ -2

ساذ ثشاي ذ وشد يه ؼؼشي دخا ي ثبؿذبديػش لؼز ؼؼش، ش سبثؼي و دس ػشسبػشحب

uدس h(x) يي ثيب ؿذ اص سؼشيف سبثغ صيش ثؼا سبثغ غي ػبصي اػشفبد ؿذ ثب سخ ث ؿشااػشفبد ؿد

اػز

(3 ) )()()( xHxHxH JJ

و دس آ

(4 )

0).(1

0).(1)(

*

*

nxxfor

nxxforxH

x سي دا، م ايxثشداس شب خشخي nثبؿذ ي xث ( سي سشن) cضديىششي م سي *

xسشن دس م *

اص اسلب يىؼشي لؼبر خي بديػشيصبي و ذػ دس اي اػز و اي سبثغ xH)( ي سبثغ فبيذ

. ، يبصي ث بؿز ذاسدثبؿذسمي سـىي ؿذ غ

: ثشاي ساثغ ضديه ن سشن يض داسي

3

(5 ) )()()( kk xBxBxB

ثػي يذابي خبثدبيي دبت Bساثغ غي ػبص ش بي اب ن سشن دس االػشيؼيش ايضسشديه

: صيش ثذػز ي آيذ

(6 )

)sin()2

cos(),sin()2

sin(),2

cos(),2

sin(,,, 4321

rrrrBBBBB

(سبثغ ا، . ثبؿذ ي خشلبر لجي حي دس ن سشن (r,)و 2

sin(

r دس اشذاد ػح سشن

.]341011[اذ ي ساثغ، ديػش بديػش اػز دس حبيى ثبليبذ

تحت کطصدر يك صفحه ای ترک لبهرضد مدل سازی -3دا ثب يه . لشاس داسد و سحز فـبس .aاي ث يه سشن ج W ،Lاي ثب ػشم كفح

. ثذي ؿذ اػز اي سمؼي ش 4ؿجى يىاخز اص اب چبسؽ

(:1989 ،ااذص اي)ثبؿذ ي ؼئ ثلسر صيش يح دليك ا

(7 ) aCK I

: ثبؿذ هشيت سلحيح ذػ حذد ي Cو

(8 ) 432 )(39.30)(72.21)(55.10)(231.012.1W

a

W

a

W

a

W

aC

الغ دس ن سشن r θ ثش حؼت خشلبر لجي x yمبديش خبثدبيي دس د اشذاد كفحدس

:]2[ثبؿذ ثلسر صيش ي

(9 )

2cos22

2sin

2

12

2cos22

2cos

2

12

2

2

rE

Ku

rE

Ku

Iy

Ix

اص آدب و سشن ؼجز ث لؼ . ثبؿذ ي mm5اي سشن mm100×200اثؼبد كفح

و سحز ثبس ؼششد دس احذ ث . ثبؿذ ذ سد ثحث حى سق ثب اثؼبد بحذد سا داسد وچه ي

يضا mm

N450 ثش سي هغ بي فلبي سحشبي دس خز حسY لشاسداسد، و ثيبش ذ ا سشن

خاف ىبيىي اخشلبف داد ؿذ دس ذ اص اي . ثبؿذ ثبؿذ ح اػب ثبس ث كسر اػشبسيىي ي ي

. لشاس اػز

)(3200 MPaEE

3.0 : ث لشاس صيش ي ثبؿذ X-FEM ػبصي سؿذ سشن ثب سؽ سذ ؿجي

. 4Q ثذي ػبص ثب اػشفبد اص اب شثؼي ؾ -گام اول

4

ي ثبؿذ Q4اي ؿجى اص اب بي شثؼي . ـب داد ؿذ اػز( 1)ؿجى اخضا حذد كفح دس ؿى

ي بي دبيي، ثب ؼبد بي ج سغييش ىب ش .ثبؿذ ـبذ ي ؿد، ؿجى ثش سشن جك يس و ب

.اذ سؼيي ؿذ( 9)

دس ؿ دبيي ػز ساػز كفش ثد كفح دس ؿ دبيي yيي دس اشذاد حس خبثدبدس اي ثب

. ؿذ اػز سػز چخ يش دا

ػبصي دس اشاف ن سشن، ؼؼش( b)ذػ ثبسبي اسد؛ ( a: )ي ؼششد سشن خسد سحز سؾ كفح: 1ؿى

اذ ثب ساثغ ضديه ن بيي و ثب شثغ ـخق ؿذ ش دي ػبياي اذ ثب سبثغ د بيي و ثب دايش ـخق ؿذ ش

.اذ سشن غي ؿذ

:يبفش ش بي و ثبيذ غي ؿد – گام دومثذي دذد دس ب سؿذ بي ؿب سشن دس الغ ثشاي خيشي اص ؾ بي اب ايذ غي ػبصي ش

: ؿذ ب دس ػبص ث ػ دػش سمؼي ي اؿد ا ـبذ ي( 2)بس و دس ؿى . سشن ي ثبؿذ

بثك سؽ اخضاي ... ابي سؾ بيي و يبص ث غي ػبصي ذاسذ وي سغييش ؿه دػش ا اب

. ؿد حذد اػشبذاسد حبػج ي

دػ ب سػي سؽ ؿذ و اي اب بي آب سبب غي ي بيي ؼشذ و ش دػش د اب

. ثبؿذ سشاص لبث ؿبػبيي ثشاي ثشب ي خى

. ؿذ لشاس داسذ بي غي آب و دس دبسر اب يب بيي ؼشذ و ثشخي اص ش دػش ػ يض اب

ثلسر ث لشاس صيش (Level Set) ص سشاثب اػشفبد اص سؽ دػ خى غي ػبصي دس اي ثشب

. كسر ي يشد

: و بيي يػبصي فش (x,t):R²R→Rسبثغ ثلسر سشاص ثشاي ن سشن سا سبثغ اثشذا

(10 ) 0),(:)( 2 txRxt

5

: ؿد ثلسر صيش سؼشيف ي ؿشايي اػبػي سي

(11 ) )(.0, min xH Jxxx

: و

i

,...,2,1x

min

min

min

min

0).(1

0).(1)(

xxxx

piI ii

nxxfor

nxxforxH

داسد و دس وذا xثؼشي ث ىب م –يب + ػالز . داس سب ػح ـششن اػز يه فبك ػالز و

. اذ ب رخيش ؿذ سشاص سب دس ش مبديش ساثغ .ػز ػح ـششن لشاس داسد

(12 )

Jj

jj Ntt xx ,

فبك ش بي (11)ث وه ساث .سبثغ ؿى دس آ ش اػز j Njي دس ش LSمذاس سبثغ ψjو

بس و دس . سبثغ ؿى غي ي شدد( 12)ساث ث وه ػذغ . داص سشن حبػج ي ؿ اب ب

و ثب ؼبد ػد ثش ن بي سشن 1 2سشاص خى ساثغ دػ ـخق اػز، (2) ؿى

.]6[، ي سا فبك ش ب اص ن سشن سا يض حبػج دسؼشيف ؿذ اػز

ؿذ بي غي اب ؿبػبيي: 2 ؿى

ػذغ . دس ن سشن ادا ي يبثذ Δaدس اي مب اثشذا فشم ؿذ و سؿذ سشن ثب افضايؾ ـخق

سشن سا ث ػا سشن خذيذ دس ظش شفش ؼبد سشن دس ش شح ثب دس ش ب ثشب افضايؾ

. بيؾ داد ؿذ اػز

بي آب سشن اب سا ثشؽ داد ش ،2<0 minmax0اش ثشاي ؿبػبيي اب بي ؿب سشن

سشن ثب اػشفبد اص خشلبر ن چي ثشاي ؿبػبيي اب ن. غي ؿذ H(x)اب ثبيؼشي ثب سبثغ

سشن اثشذا خشلبر ش بي اب ؿب ن سشن حبػج ؿذ اب ث ػا اب ن ث ثشب

دس شح ي سا وثب اي ايذ ث ساحشي اب. اي وبس دس يه بسشيغ كسر شفش اػز .ؼشفي ي ؿد

6

اب ث مذاسي ثبؿذ و سشن اصسشن افضايؾ س كسسيى دثؼا اب ن دس ظش شفش ؿذ لج

كسر اب ث ػا اب ن دس غيش ايث ػا اب ؿب سشن ؿبػبيي، ؿد اب سا خبسج

دس .افضايؾ ػشػز ثشب دس ؿبػبيي اببي ن سشن شديذ اػز ثبػثو اي خد . ي شدد ؼشفي

ؿبس ثب يض ش بي اب ن سشن ( 1)د ثب ؿبس غي ي ؿ H(x)س بيي سا و ثب ي اي بسشيغ

شح لج خبسج سشن دس ػذغ دس شح ثؼذ اش ن سشن اص اب ن. رخيش ي وذ ب سؿذ سشن

ي رخيش ( 2) اب ن خذيذ سا ثب ؿبس وشدرخيش ( 1)آب ش بي اب سا ثب ؿبس . ؿذ ثبؿذ

ش اب بيي سا .ي بيذث ػا اب ن رخيش ( 2)دس غيش اي كسر اب سا ثب ؿبس . بيذ

. رخيش ي بيذ( 0)و جبيذ غي ؿذ سا ثب ػذد

. ي ثبؿذثب اػشفبد اص ساثي ثيب ؿذ بسشيغ ػخشي سـىي – گام سوم

:]3[سػي صيش يي ثب خبيضيي ساث خبثدبيي دس سؼشيف وشؾ ث ساث

(13)

4

3

2

1

4321

K

K

K

K

J

I

b

K

b

K

b

K

b

K

a

J

u

I

h

b

b

b

b

a

u

BBBBBBuB

:دساث اػشبذاسد ؼبدالر ثلسر صيش ثذػز خاذ آ( 13)خبثدبيي وشؾ دس يخبي زاسثب

(14) extfKu

:بسشيغ ػخشي اػز Kاي ثشداس يشبي خبسخي ش extfو

(15)

hdBCBK

T

. ح ؼبدالر ثشاي يبفش خبثدبيي دس سب ش بي ؿجى اب ي ثبؿذ – گام چهارم

(16) K

fu

ext

. حبػج هشايت ؿذر سؾ ث وه اششا اشطي اذسوؾ ي ثبؿذ – گام پنجن

: ]310[سا ثلسر صيش ؿز ثؼذ سا ي ي ثشاي ؼبئ ذ خشي ػي دس دطشخ آصادػبصي اش

(17) 22

*

1III KK

EJ

: ؿد ثلسر صيش سؼشيف ي E*و

7

(18 )

stressplaneforE

strainplaneforE

E2* 1

: سائ ي دي ا 2 1بي اششا اذسوؾ سا ثشاي حبزحب

(19 ) 2121

*

2,1 2IIIIII KKKK

EI

: اي اششا اذسوؾ ثلسر صيش ي ثبؿذ ؿى دا

(20 )

dA1

2,1

1

12

1

212,1

j

ji

iji

ijx

qW

x

u

x

uI

K)حن Iسا ث ػا ذ 2، ب حبز KIي ثشاي حبػج(2)

II = 0 ) ثبK(2)

I = 1 وي؛ زا اشخبة ي :

(21 ) I

I IE

K Mode,1*

2

. اي ثيـي ي ثبؿذ ؽ حمحبػج صاي سؿذ سشن ثش اػبع ؼيبس س -گام ششن

اي ؼيبس ـب .سؿذ سشن اػشفبد ؿذ اػزدس حبػج صاي اي ثيـي حم اص ؼيبس سؾ مبدس اي

و ثب .يبثذ ثيـي اػز، ؼششؽ ي σθθ، خبيي و سؾ خبجي θcدذ و سشن اص ن خد دس خز ي

. ]2[ي سػي ؼبي كفش لشاس داد سؾ خبجي ث ساث صيش

بي سشن خي ي دبس بيؾ ؼؼش: 3ؿى

(22 )

8

4

1arctan2

2

II

I

II

Ic

K

K

K

K

: ثب سخ ث اي و

00

00

I mode pure:00

cII

cII

cII

K

K

K

8

ثشاي حبػج اششا X-FEM سؽ دس يػخز عيبسش حبػج دس اػشفبد سد يب ع مبى: 4 ؿى

Franc2D/L با مدل سازی توسط X-FEM روش توسط ضدهمقايسه نتايج صفحه مدل -4

Franc2D سغييش ؿى ثذػز آذ اص ش افضاس ( 5) ؿىدس X-FEMسغييشؿى ثذػز آذ اص سؽ

. بيؾ داد ؿذ اػز (7)ؿى دس ؿى، مبيؼ اي د سغييش ( 6) ؿىدس ؿذ سشن ب س دحدغ اص

: ب و اص ؿى ديذاػز دس سؽ اب حذد ػشي

ي ثبؿذ ثذي ؾاي ثخبش ػخز ثد . اال سشن يب ش بحي ؼؼش ي ساذ دس اب ذ شدد

ثبيب دس ب سؿذ سشن يض دس .سؽ ػشي ثبيذ ثش جك ثبؿذ ثذي ج بي سشن دس بي ؾ ج

شدد، و اي ث ث خد ضي ثش ثد ثذي ي بي اشاف سشن دذدا ؾ ش ب اص سؿذ ؾ اب

. حبػجبر سا دس ثش داسد

دس ب سؿذ يض . بحي ؼؼش سا ي سا دس دس اب ذؼبصي د X-FEMدس حبيى دس سؽ

ضي حبػجبر ث شاست ؼجز ث سؽ ػشي وبؾ ي . ثذي دذد احشيبخي خاذ ثد ديش ث ؾ

. يبثذ

اي اششا اشطي اذسوؾ حبػج دا ؿىهشايت ؿذر سؾ، ثب اػشفبد اص بس و ثيب ؿذ،

rkو rd = rk hlocal : : ؿد ؿجى حي دس ن سشن ـخق يزاسي ي دا ثب فبك اذاص. اذ ؿذ

rk=2.5ؿذ اص هشيت اسائ كفحدس . ثبؿذ د ؼبحز اب ن ي ي سيـ hlocalيه هشيت ػذدي

ثب ساثغ renr=2.5hlocalاي ثب شوض ن سشن ث ؿؼبع اي دس دايش اػشفبد شديذ اػز ثبثشاي ش ش

(.8 ؿى. )اذ ساثغ اـؼبثي غي ؿذ ان ي ضديه

9

X-FEM ذ ؿذ سػي سؽدس ب دد سؿذ سشن اغشاق آيض كفح ؾ ثذي سغييش ؿى: 5ؿى

Franc2Dؾ ثذي دس ب ايدبد سؿذ سشن دس ش افضاس : 6 ؿى

10

X-FEM Franc2Dسؽ مبيؼ ؿجى سغييشؿى يبفش ثبصؿذي سشن ثي د : 7 ؿى

اشطي اذسوؾ ي اششا بي سد اػشفبد ثشاي حبػج اب: 8 ؿى

11

ثشاي سشن، ثؼذ اص دح ب ( 10) ( 9) بي ؿىدس ثذػز آذ اص د سؽ وبشسبي سؾ ف بيؼض

ي سؾ دس ديذ ي ؿد بوض( 10) ( 9)بي بس و دس ؿى. ؿذ اػز بيؾ دادسؿذ سشن

ؿد مبديش بس و الحظ ي. خاي داسد بيؼض ؿد و ثب ؼيبس سؼي ف ن سشن ديذ ي

حذد سؾ دس Franc2D/Lدس ش افضاس . ثبؿذ ـب دذ دسػشي اي سؽ دس حبػج سؾ ي ،سؾ

شدد ي سا شخ ؿذ و اي يض دلز ( 9)ثبؿذ و اش دس ؿى ي6500سب 5000ن سشن ثي

. يض كبدق اػز (X-FEM)حذد ثشاي ن سشن دس سؽ

X-FEMب اص سؿذ سشن سػي 5وبشسبي سؾ ف بيؼض دغ اص : 9 ؿى

12

. Franc2Dب اص سؿذ سشن دس ش افضاس 5وبشسبي سؾ ف بيؼض دغ اص : 10ؿى

يه داس (1)دس خذ Franc2D سؽ X-FEMسؽ مبديش هشيت ؿذر سؾ ثذػز آذ اص

ؿد دسكذ خب حبػج ؿذ بس و دس خذ ديذ ي . آذ اػز (2)داس ؿى اي يض دس مبيؼ

اي سؽ ي ساذ دس ثشسػي ؼبئ . شدد ب دسكذ خب وشش ي ثيبش آؼز و ثب افضايؾ سؼذاد اب

. ثب حيي بي بديػش لبث اػشفبد خاذ ثدىبيه ؿىؼز ؼبئ .ثشاي كفح X-FEM Franc2Dثذػز آذ اص سؽ KIمبديش : 1خذ

و ثب سخ ث شمبس . يض ؼيش سؿذ سشن دغ اص چبس ب دس كفح بيؾ داد ؿذ اػز( 11)دس ؿى

ي خد يض ـب دسػز ثد شيد حبك ثد ثبس زاسي اي سؿذ سشن لبث ديؾ ثيي ي ثبؿذ ا

. داسد

13

Franc2Dثذػز آذ اص KIداس مبديش : 1داس

. X-FEM Franc2Dثذػز آذ اص سؽ KIمبيؼ مبديش : 2داس

ب 4دغ اص وـؾ سحز يا ج سشنؼششؽ 11 ؿى

14

گیری‎نتیجه -5

سا (X-FEM)يبفش ‎خشف ثب وه سؽ اخضاء حذد سػؼ اي ثخؾ آبيض ثشسػي سؾ ثشاي ؼبئ

اي دس كفح دس حب وـؾ سد ثشسػي ‎دسػشي حبػجبر هشايت ؿذر سؾ ثشاي سشن ج. ـب داد

ثش اػبع شبيح، سؽ . ػبصبسي اي سؽ ثب ؼبئ سؿذ سشن يض دس اي ثخؾ ـب داد ؿذ. لشاس شفز

ػبصي سشن ثشسػي ؼششؽ سشن دس ىبيه ‎سؽ لذسسذ خز ؿجييبفش يه ‎اخضاء حذد سػؼ

ثذي دثبس، وبؾ صب ادب حبػجبر سا دس مبيؼ ثب ‎اي سؽ ثذ يبص ث ؿجى. ثبؿذ‎ؿىؼز ي

. بي ؼششؽ سشن اسائ خاذ د‎ػبيش سؽ

ر، و ػب سؼيي وذ دس ش ثذ دس ظش شفش شبيح حبك اص سؿبي ػذدي، صب ضي حبػجب

. دؿ ثشاي وبسثشدبيي دس ميبع شػي سب ثضسي ايز آ ثيـشش ـخق ي. ثبؿذ سؽ ػذدي ي

و . ثبؿذ بيؾ، داساي ػشػز ثباليي دس حبػجبر ي ا ضيزي سؽ اخضاي حذد ػال ثش يظ

ثب سؽ اخضاي حذد يبفش حذد سػؼ بي سؽ اخضاي سفبر. شدد ثبػث وبؾ ضي حبػجبر ي

ب ػشي، دس ػبخشب حبػجبر ػذدي ساثغ ؿى سؽ سد اػشفبد دس حبػج خبثدبيي ش

دس سؽ . دس سبي شاح ديش ثب سؽ اخضاي حذد يىي اػز. ثبؿذ ي Kبسشيغ ػخشيشبط

اب دس سؽ اخضاي حذد . ثبؿذ جبي خجش خي ياخضاي حذد ػشي سبي حبػجبر ساثغ ؿى ثش

: سػؼ يبفش

( Level Set)سشاص خى بي غي ؿذ سػي سؽ دػ ديذا وشد اب -1

بي خد سا ي سا دس صبي وشش اص يه دليم كسر ثب اػشفبد اص ش افضاس

. يشد

.ؿذثب سبي حبػجبر ػذدي ساثغ ؿى، وبال خجشي ي -2

. ثبؿذ ثشاحشي لبث ادب ي دغي ػبصي اب ؿب سشن سػي ساثغ ي ػبي -3

.

15

منابع

، اشـبسار داـب خاخ 1381 لبخبس، چبح ا ش ب... شسي ثش ىبيه ؿىؼز، سحز ا -1

.ليش ػي

ار داـب كؼشي ايش وجيش ، اشـبس 1386ىبيه ؿىؼز ثش، دوشش حذ سهب اكفبي، چبح ا -2

(. دي سىيه)3- Phu N. V. An object oriented approach to the extended finite element method with

application to fracture mechanics. Ph. D. Thesis; 2005; Hochiminh City University of Technology

4-Belytschko, T., Black, T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing.

International Journal for Numerical Methods in Engineering 1999; 45(5):601 – 620.

5-Belytschko, T., Moës, N., Usui, S., Parimi, C. Arbitrary discontinuities in finite element.

International Journal of Numerical Methods in Engineering 2001; 50 (4): 993 – 1013.

6-Bordas, S. (2003, December). Extended Finite Element and level set methods with

applications to growth of cracks and biofilms. Ph. D. thesis, Northwestern University.

7- Dolbow, J. An extended finite element method with discontinuous enrichment for applied

mechanics. Ph.D. Thesis, Theoretical and applied mechanics, Northwestern University, 1999.

8-Daux, C., Moës, N., Dolbow, J., Sukumar, N., Belytschko, T. Arbitrary branched and

intersecting cracks with the extended finite element method. International Journal of

Numerical Methods in Engineering 2000; 48: 1741 – 1760.

9-Dolbow, J., Moës, N., Belytschko, T. An extended finite element method for modeling

crack growth with frictional contact. Computer Methods in Applied Mechanics and

Engineering 2001; 190(51–52): 6825 – 6846.

10-Nguyen, P., S. Bordas, C. Dunant, H. Nguyen-Dang, and G. A. (2005). An object-oriented

extended finite element library, part ii: numerical applications in fracture mechanics.

International Journal of Solids and Structures

11- Budyn, E. (2004, June). Multiple Crack Growth by the extended Finite Element Method.

Ph. D. thesis, Northwestern University.