توزیع احتمال توام

دانشگاه صنعت آب و برق 1

توزیع احتمال توام

موسوی ندوشنی1383زمستان

دانشگاه صنعت آب و برق 2

فضای نمونه دو بعدی )یا بیشتر( و تابع احتمال توام

ای می باشند های تصادفی به گونه بعضی از آزمایشننده هم زمان می تواند دو )یا تعدادی ککه آزمایش

بیشتر( هدف را دنبال کند. اگر هر هدف را با یک متغیر مشخص کنیم، آنگاه در یک آزمایش دو یا چند

متغیر بدست خواهد آمد. تعریف: اگرX و Y دو متغیر تصادفی باشند به

طوری که امکان وقوع این دو متغیرهم زمان وجود داشته باشد، آنگاه تابع احتمال وقوع هم زمانی این

نشان داده و fX,Y(x,y)دو متغیر را با عالمت تابعی گوییم. در حالت Y و Xآنرا تابع احتمال توام

گسسته داریم:, ) , ( ) , (X Yf x y P X xY y= = =

تابع تجمعی احتمال یا تابع توزیع احتمال در حالت گسسته

دانشگاه صنعت آب و برق 3

, ) , ( Pr[) ( ) (]X YP x y X x Y y= = =I

,all all

) , ( 1i i

X Yx y

P x y =å å

, ,) , ( Pr[) ( ) (] ) , (i j

X Y X Y i jx x y y

F x y X x Y y P x y£ £

= £ £ = å åI

01

23

0

1

2

3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Y

X

مثال

دانشگاه صنعت آب و برق 4

Y=0 Y=1 Y=2 Y=3

X=0 0.2910 0.0600 0.0000 0.0000

X=1 0.0400 0.3580 0.0100 0.0000

X=2 0.0100 0.0250 0.1135 0.0300

X=3 0.0005 0.0015 0.0100 0.0505

,all all

) , ( 1i i

X Yx y

P x y =å å0

12

3

0

1

2

3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Y

X

تابع تجمعی احتمال یا تابع توزیع احتمال در حالت پیوسته

دانشگاه صنعت آب و برق 5

2 2

1 1

1 2 1 2 ,Pr[) ( ) ( ) , (x y

X Y

x y

x X x y Y y f x y dxdy£ £ £ £ = òòI

, ) , ( Pr[ , ]X YF x y X xY y= £ £

2

) , (F

f x yx y¶

=¶ ¶

) , ( ) , (A

P x y A f x y dxdyÎ = òòGeneralized to arbitrary

region

دانشگاه صنعت آب و برق6

دانشگاه صنعت آب و برق 7

خصوصیات تابع احتمال توام

3 مهره آبی و 2 مهره قرمز، 3مثال: از ظرفی که مهره زرد دارد، دو مهره به تصادف و هم زمان Xاختیار می شود. در صورتی که متغیر تصادفی

نشان دهنده تعداد مهره قرمز در این آزمایش باشد کننده شمارش تعداد قرمز است( )هدف آزمایش

را تعیین کنید.Xتابع احتمال

,

, ,

) , ( 0

) , ( 1 ) , ( 1

X Y

X Y X Yx y

f x y

f x y f x y dxdy¥ ¥

- ¥ - ¥

³

= =å å ò ò

53

2) ( 0,1,2

8

2

X

x xf x X

æ öæöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ -ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø= =

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø

دانشگاه صنعت آب و برق 8

مثال تابع احتمال توام اگر در مثال قبل متغیر تصادفیY را تعداد

مهره آبی تعریف کنیم. تابع احتمال را تعیین کنید.

مثال: اگر در مثال قبل متغیر تصادفیX نشان دهنده تعداد مهره قرمز و متغیر

نشان دهنده تعداد مهره آبی Yتصادفی تعریف کنیم، تابع احتمال توام آنرا به صورت

جدول و فرمول تعیین کنید.

62

2) ( 0,1,2

8

2

Y

y yf y Y

æ öæöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ -ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø= =

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø

دانشگاه صنعت آب و برق 9

مثال تابع احتمال توامX

Y0 1 2

0 f(0,0) f(1,0) f(2,0)

1 f(0,1) f(1,1)

2 f(0,2)

{ }

33 2

2) , (

8

2

) , ( 0 2 0,1,2 0,1,2p

x y x yP X xY y

D x y x y X Y

æ öæöæöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ - -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øè øè ø= = =

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø

= £ + £ = =

دانشگاه صنعت آب و برق 10

مثال تابع احتمال توام در مثال قبلX ،را تعداد مهره قرمز Y را

را تعداد مهره زرد تعریف Zتعداد مهره آبی و را تعیین کنید.fX,Y,Z(x,y,z)کنید.

{ }

3 2 3

) , , (8

2

) , , ( 2 0,1,2 0,1,2 0,1,2p

zx yf x y z

D x y z x y z X Y Z

æöæöæöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øè øè ø=

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø

= + + = = = =

دانشگاه صنعت آب و برق 11

مثال تابع احتمال توام اگرX و Y دو متغیر تصادفی با تابع توام زیر

را تعیین کنید.kباشند، مقدار ثابت ) (

,

0 0) , (

0 otherwise

x y

X Y

ke x yf x y

- +ì > >ïïï= íïïïî

) ( ) (

0 0 0 0

0 0

11

1 1) ( 1 1

x y x y

y x

ke dxdy e dxdyk

e e dx dy kk k

¥ ¥ ¥ ¥- + - +

¥ ¥- -

= Þ =

= Þ = Þ =

òò òò

ò ò

دانشگاه صنعت آب و برق 12

ای ای یا حاشیه های کناره توزیع می دانیم متغیرX به تنهایی دارای تابع احتمال

fX(x).است می دانیم متغیرY به تنهایی دارای تابع احتمال

fY(y).است اگرX و Y به طور هم زمان امکان وقوع

را به fY(y) و fX(x)داشته باشند، آیا میتوان کمک آن محاسبه کرد؟

اگرfX(x) و fY(y) در اختیار باشد، آیا می توان fX,Y(x,y)را محاسبه نمود؟

تعاریف بعدی چگونگی محاسبهfX(x) و fY(y) نشان می دهد.fX,Y(x,y)را به کمک تابع توام

دانشگاه صنعت آب و برق 13

ای ای یا حاشیه های کناره توزیع تعریف: اگرX و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال

را به Y و X باشد، آنگاه توزیع های fX,Y(x,y)توام ای گویند که به صورت زیر تنهایی توزیع های کناره

محاسبه می شود.

,

,

,

,

) , (

) () , (

) , (

) () , (

X Yy

X

X Y

X Yx

Y

X Y

f x y

f xf x y dy

f x y

f yf x y dx

¥

- ¥

¥

- ¥

ìïïïïï= íïïïïïîìïïïïï= íïïïïïî

å

ò

å

ò

نمایش تابع احتمال حاشیه ای در حالت پیوسته

دانشگاه صنعت آب و برق 14

) ( ) , (x

f y f x y dx¥

=- ¥

= ò

دانشگاه صنعت آب و برق 15

مثال توزیع کناری اگرX و Y ،دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام زیر باشد

ای را تعیین کنید. ثانیا توابع توزیع کنارهkاوال مقدار ثابت fX(x) و fY(y).را تعیین کنید

XY

1 2 3 fY(y)

1 2/21

3/21

4/21

9/21

2 3/21

4/21

5/21

12/21

fX(x) 5/21

7/21

9/21

1

3 22 3 4 3 4 5

1 1

1 1 21k k k k k kx y

x yk

k= =

+æ öç ÷= Þ + + + + + = Þ =ç ÷è øå å

دانشگاه صنعت آب و برق 16

ای مثال توزیع کناره اگرX و Y دو متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال توام زیر

ای را پیدا کنید. ثانیا توزیع حاشیهkباشند، اوال مقدار ثابت fX(x) و fY(y).را تعیین کنید

محاسبه مقدارk

,

) ( 0 1 0 2) , (

0 otherwiseX Y

k x y x yf x y

ì + £ £ £ £ïï= íïïî

1 2

0 0

1) ( 1

3k x y dydx k+ = Þ =òò

ای بقیه مثال توزیع کناره تابع حاشیه ای متغیر تصادفیX

تابع حاشیه ای متغیر تصادفیY

دانشگاه صنعت آب و برق 17

) (2

221 1 1 13 3 2 30

0

23

) ( ) ( )2 2(

) 1( 0 1

0 otherwise

Xf x x y dy xy y x

x x

= + = + = +

ì + £ £ïï= íïïî

ò

) (1

121 1 13 3 2 0

0

1 13 2

) ( ) (

) ( 0 2

0 otherwise

Yf y x y dx x xy

y y

= + = +

ì + £ £ïï= íïïî

ò

دانشگاه صنعت آب و برق 18

متغیرهای تصادفی مستقل فرض کنیدX و Y دو متغیر تصادفی با تابع

ای و توزیع های حاشیهfX,Y(x,y)احتمال توام fX(x) و fY(y) باشند. دو متغیر X و Y را

مستقل آماری گوییم اگر و فقط اگر داشته باشیم:

, ) , ( ) ( ) ( ) , (X Y X Yf x y f x f y x y= "

متغیرهای تصادفی وابسته در حالت گسسته

دانشگاه صنعت آب و برق 19

|

, ,

,all

) ( Pr[ ]

Pr[) ( ) (]

Pr[ ]

) , ( ) , (

) , ( ) (i

XY j j

j

j

X Y j X Y j

X Y j Y jx

P x y X xY y

X x Y y

Y y

P x y P x y

P x y P y

= = =

= ==

=

= =å

I

01

23

0

1

2

3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Y

X

دانشگاه صنعت آب و برق 20

متغیرهای تصادفی وابسته در حالت پیوسته

در وابستگی از تعریف احتمال شرطیاستفاده می شود.

,

,

) , () (

) (

) , () (

) (

X YX Y

Y

X YY X

X

f x yf x y

f y

f x yf y x

f x

=

=

نمایش تابع احتمال شرطی در حالت پیوسته

دانشگاه صنعت آب و برق 21

) , () (

) (f x y

f y xf x

=

مثال

دانشگاه صنعت آب و برق 22

Y=0 Y=1 Y=2 Y=3 PX|Y(x|yj=1)

X=0 0.2910 0.0600 0.0000 0.0000 0.1350

X=1 0.0400 0.3580 0.0100 0.0000 0.8054

X=2 0.0100 0.0250 0.1135 0.0300 0.0562

X=3 0.0005 0.0015 0.0100 0.0505 0.0034 0.3415 0.4445 0.1335 0.0805

01

23

0

1

2

3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Y

X1 2 3 4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

X

PX|Y(x|y j=1)

دانشگاه صنعت آب و برق 23

مثال اگرX و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام باشند، اوال

مستقلند یا وابسته. ثانیا تابع احتمال Y و Xبررسی کنید که 21 را بیابید.fY|X(y|x)شرطی

4

,

)1 3 ( 0 2 0 1) , (

0 otherwiseX Y

x y x yf x y

ì + £ £ £ £ïï= íïïî

) (1 1

12 2 31 1 14 4 4 0

0 0

12

) ( )1 3 ( )1 3 (

0 2

0 otherwise

Xf x x y dy x y dy x y y

x x

= + = + = +

ì £ £ïï= íïïî

ò ò

دانشگاه صنعت آب و برق 24

بقیه مثال

ای محاسبه اکنون حاصل ضرب توابع حاشیهمی شود.

:در نتیجه مستقلند و داریم

2 22 21 1

4 4

0 0

212

) ( )1 3 ( )1 3 (

)1 3 ( 0 1

0 otherwise

Yf y x y dx y xdx

y y

= + = +

ì + £ £ïï= íïïî

ò ò

21 12 2

,

)1 3 ( 0 2 0 1) ( ) (

0 otherwise

) , (

X Y

X Y

x y x yf x f y

f x y

ì é ùï + £ £ £ £ë ûïï= íïïïî=

) ( ) (YY Xf y x f y=

دانشگاه صنعت آب و برق 25

مثال اگرX و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام

fX,Y(x,y) زیر باشد، مطلوبست محاسبه E(XY)، E(X) و E(Y)

,

2 0 0 1) , (

0 otherwiseX Y

x y yf x y

< < < <ìïï= íïïî1

14

0 0

113

0 0

123

0 0

) ( 2

) ( 2

) ( 2

y

y

y

E XY xydxdy

E X xdxdy

E Y ydxdy

= =

= =

= =

ò ò

ò ò

ò ò

دانشگاه صنعت آب و برق 26

امید ریاضی و استقالل دو متغیر تصادفی

اگرX و Y مستقل باشند، آنگاه E(XY)=E(X)E(Y) اما عکس آن درست آنگاه E(XY)E(X)E(Y)نیست. اما عکس نقیض برقرار است. یعنی اگر

X و Yاند( باشند )وابسته مستقل نمی مثال: بررسی کنید که دو متغیرX و Yمستقلند یا وابسته؟

بنابراین دو متغیرX و Yباشند. وابسته می

1) (

41

) (32

) (3

1 1 24 3 3

E XY

E X

E Y

=

=

=

¹ ´

,

2 0 0 1) , (

0 otherwiseX Y

x y yf x y

< < < <ìïï= íïïî

دانشگاه صنعت آب و برق 27

کوواریانسکوواریانس

باشد، g(X,Y)=(X-X)(Y- Y)اگر در فرمول امید ریاضی •آنگاه آنرا کوواریانس گوییم که عبارتست:

البته کوواریانس را به صورت زیر نیز می توان نوشت:•

اگرX و Y.از هم مستقل باشند، آنگاه داریم

cov) , ( ) () (XY X YX Y E X Ys m m= = - -

) (XY X YE XYs mm= -

) ( ) ( ) ( 0X Y XYE XY E X E Y mm s= = Þ =

دانشگاه صنعت آب و برق 28

ضریب همبستگی ضریب همبستگی دو متغیر تصادفیX و Y را با

نشان داده و به صورت زیر (X,Y) یا عالمت تعریف می کنیم:

ضریب همبستگی، ضریبی بدون بعد است.• قرار دارد،1 و 1ثابت میشود که ضریب همبستگی بین -•

است. =0 مستقل باشند، آنگاه Y و Xاگر • از هم مستقل خطی هستند ولی Y و X آنگاه =0اگر •

ممکن است وابستگی غیر خطی داشته باشند. باشد، آنگاه همبستگی کامل است.=-1 or 1اگر •

) , ( XY

X Y

X Ys

rs s

=

21 1 1 1r r r- £ £ Û £ Û £

دانشگاه صنعت آب و برق 29

(1مثال ضریب همبستگی ) فرض کنید کهX یک متغیر تصادفی با تابع احتمال

زیر باشد.

مطلوبست تابع احتمالY=X2

.ضریب همبستگی را محاسبه نمایید

ìïï = - -ïï= íïïïïî

12, 1,1,2

4) (0 otherwise

X

xf x

ìïï =ïï= íïïïïî

11,4

2) (0 otherwise

Y

yf y

دانشگاه صنعت آب و برق 30

(2مثال ضریب همبستگی )محاسبه ضریب همبستگی

بنابراین نتیجه می گیریم که بینX و Y همبستگی خطی وجود ندارد، اما رابطه غیرخطی بین آن دو برقرار است.

) , ( XY

X Y

X Ys

rs s

=

) ( ) ( ) (XY E XY E X E Ys = -1 1 1 14 4 4 4

1 12 2

3 3 3 3 31 1 1 14 4 4 4

) ( 2 1 1 2 0

) ( 1 4 2.5

) ( ) ( ) 2( ) 1( 1 2 0

0 0 2.5 0 ) , ( 0XY

E X

E Y

E XY E X

X Ys r

=- ´ - ´ + ´ + ´ =

= ´ + ´ =

= = - ´ + - ´ + ´ + ´ =

= - ´ = Þ =