تئوري احتمال و كاربردآن

تئوري احتمال و كاربردآن

http://www.Beiki.info

2http://www.Beiki.info

جلسه هشتم

توزيع فوق هندسيoخواص توزيع فوق هندسي

توزيع هندسيoخواص توزيع هندسي

)توزيع دوجمله اي منفي)پاسكالo)خواص توزيع دوجمله اي منفي)پاسكال

توزيع پواسونoمحاسبه احتماالت تجمعي توزيع پواسونoخواص توزيع پواسون


جلسه هشتم

توزيع فوق هندسيo غير مستقل برخي از آزمايشهاي آماري از تعدادي آزمايش

دچار تغيير مي در آنها احتمال موفقيتتشكيل مي شود كه مواجهيم.آزمايش فوق هندسي در اين صورت با يك گردد

o تعريف: يك آزمايش فوق هندسي داراي ويژگي هاي زيراست:

يك نمونه تصادفي به اندازهn بدون جايگذاري از N شيء انتخاب مي شود.

ازN شيء تعداد k شيء به عنوان موفقيت و N-k شيء به عنوان شكست طبقه بندي مي شود.

o در حالت كلي به محاسبه احتمال انتخابx موفقيت از k امكان موجود عالقه N-k شكست از n-xامكان موجود و

تعداد موفقيتها را كه Xمنديم. در اينصورت متغير تصادفي نشان مي دهد، توزيع فوق در يك آزمايش فوق هندسي

)h)x;N,n,k دارد و با نماد k و N، nهندسي با پارامتر هاي نمايش داده مي شود.


جلسه هشتم

توزيع فوق هندسيo تعريف: گفته مي شود كه متغير تصادفيX توزيع فوق

دارد اگر و فقط اگرk و N، nهندسي با پارامترهاي

oدر حالت اگر فرض كنيم m<0 يا r<m آنگاه مي استفاده min[n,r] به جاي nتوان در رابطه فوق از

نمود.

],min[,...,2,1],,0max[;),,;()()( knNknxC

CCknNxhxfxXP

Nn

kNxn

kx

0rmC


جلسه هشتم

توزيع فوق هندسيo اگر خط مشي پذيرش بسته هاي ده تايي يك 20مثال :

قطعه ااز آن و 3قطعه الكترونيكي انتخاب تصادفي قطعه باشد و 3پذيرش در صورت سالم بودن هر

1 قطعه خراب و در بقسه 4 از بسته ها 30بدانيم در قطعه خراب داريم احتمال پذيرش بسته ها چقدر

است؟o پاسخ: اگرA پيشامد پذيرفتن يك بسته و B1 و B2 به

قطع خراب و يك 4ترتيب پيشامد هاي موجود بودن قطعه خراب در بسته باشد داريم:

54.0)7.0()3.0(

)()|()()|()(

103

10

93

103

40

63

2211

C

CC

C

CC

BPBAPBPBAPAP


جلسه هشتم


قضيه: در توزيع فوق هندسي با پارامترهايN، n و k:رابطه زير برقرار است

:اثبات

)1,1,1;(~;)1()( 1 knNyhYYEN

nkXE rr

1

0 11

11

1

1 11

111

1 11

111;

100

)1()1(

)/()(

)()(

11

11

rn

y Nn

kNyn

kyr

n

x Nn

kNxn

kxrn

x Nn

kNxn

kxrrNCnCkCxC

n

x Nn

kNxn

kxrn

x Nn

kNxn

kxrn

x

rr

YEN

nk

C

CCy

N

nk

C

CCx

N

nk

CnN

CkCxXE

C

CCx

C

CCxxXPxXE

Nn

Nn

kx

kx


جلسه هشتم


نتيجه: با فرضr=1 و r=2داريم

]1

][1[)]([)()(

]11

)1)(1([]1)([)1()(

)1()(

22

12

0

N

nN

N

k

N

nkXEXEXVar

N

kn

N

nkYE

N

nkYE

N

nkXE

N

nkYE

N

nkXE


جلسه هشتم


نتيجه: با فرضr=1 و r=2داريم

توجه نماييد اگرk/N را برابر p فرض كنيم آنگاه ميانگين nاين توزيع معادل ميانگين توزيع دوجمله اي با پارامترهاي

برابر واريانس (N-n(/)N-1) خواهد بود و واريانس آن pو ضريب تصحيح جمعيت توزيع دوجمله ايست به اين مقدار

كوچك باشد اين ضريب N نسبت به n گويند و اگر محدود ميل مي كند و در اين حالت مي توان به جاي 1به سمت

توزيع فوق هندسي از توزيع دوجمله اي استفاده نمود.

]1

][1[)]([)()(

]11

)1)(1([]1)([)1()(

)1()(

22

12

0

N

nN

N

k

N

nkXEXEXVar

N

kn

N

nkYE

N

nkYE

N

nkXE

N

nkYE

N

nkXE


جلسه هشتم

توزيع هندسيo تعريف: يك آزمايش هندسي عبارت است از يك

فرايند برنولي كه به محض رسيدن به نتيجه موفقيت پايان مي يابد.

o اگر احتمال بازماني موتور يك هواپيما 25مثال : 0.02در طول يك ساعت از كاركردن برابر

باشد، احتمال اينكه موتور هواپيما دوساعت بدون بازماني كاركند را پيدا كنيد.

o:پاسخ

10,...,3,2,1;)1()...()()( 1 pxppSFFFPxXPxf x

9604.0)1(1)2(1)3( pppXPXP


جلسه هشتم


قضيه: ميانگين و واريانس توزيع هندسي با پارامترp p2(/p-1) و p/1به ترتيب عبارت است از

:اثبات

22222

23211

1

1

212

1

12

1

122

22

1

1

1

1

1

1

112)]([)()(

2

)1(

1]

)1([)]([)(

)()(;)1()(

1

)1(

1)

1(...)(

)()(;)1()(

p

p

pp

pXEXEXVar

p

p

q

qp

q

q

dq

dpq

dq

dq

dq

dpxqq

dq

dp

xqdq

dpXEqxxq

dq

dqxpppxXE

pqp

q

q

dq

dpqq

dq

dp

qdq

dpXExqq

dq

dxqpppxXE

x

x

x

x

x

xxx

x

x

x

x

x

xxx

x

x

x

x


جلسه هشتم


قضيه: تابع مولد گشتاور توزيع هندسي با پارامترp عبارت است از

:اثبات

222

20404

2

02

22

020

22322

1

1

112)(

2]

)1(

)1)(1(]

)1(

)1(2)1()]()(

1]

)1()]()(

1)(

)1

ln(1

1|)(

...]1[...][)()(

p

p

pp

pXVar

p

p

qe

qeqepe

qe

qeqepeqepetM

dt

dXE

pqe

petM

dt

dXE

qe

petM

qt

qeqetM

eqqepeeqqeeppqeeEtM

tt

ttt

tt

ttttt

t

tt

t

tt

t

tt

tttttt

x

xtxtX

)1

1ln(;

)1(1)(

pt

ep

petM

t

t


جلسه هشتم


خاصيت بي حافضگيتنها توزيع احتمال جرمي داراي توزيع هندسي است به عبارت ديگر

يعني اگر در تا آزمايش صدم به موفقيت نرسيدهام به موفقيت 110باشيم احتمال آنكه در آزمايش

برسيم برابر است با حالتي كه هيچ آزمايشي انجام امين آزمايش به 10نداده ايم و مي خواهيم در

موفقيت برسيم.

)()|( bXPaXbaXP


جلسه هشتم

)توزيع دو جمله اي منفي)پاسكالo تعريف: يك آزمايش دوجمله اي منفي عبارت است از يك

,k=0,1,2امين kفرايند برنولي كه به محض رسيدن به نتيجه موفقيت پايان مي يابد.…

oX كه معرف تعداد آزمايش هاي الزم براي رسيدن به k امين موفقيت است داراي توزيع دوجمله اي منفي است

و داريم

o يك مطالعه زمين شناسي نشان داده است كه 31مثال : به نفت 0.2چاه اكتشافي نفت در ناحيه خاصي با احتمال

مي رسد. در اينصورت احتمال اينكه پنجمين چاه اكتشافي به سومين چاه نفت منتج شود چقدر است؟

o:پاسخ

,.....1,;),;()()( 11

* kkxqpCpkxbxXPxf kxkxk

0307.0)8.0()2.0()2.0,3;5()5( 2342

* CbXP


جلسه هشتم

)توزيع دو جمله اي منفي)پاسكالo دو جمله اي منفي)پاسكال(خواص توزيع

قضيه: ميانگين و واريانس توزيع هندسي با و k/p به ترتيب عبارت است از p و kپارامترهاي

k)1-p(/p2

اثبات: با توجه به اينكه يك متغير تصادفي دوجمله متغير تصادفي k جمع p و kاي منفي با پارامترهاي

است بنابراين داريمpهندسي مستقل با پارامتر

221

11

)1()

1()()(

)1()()()(

p

pk

p

pkXVarXVar

p

k

pkXEXEXE

k

i i

k

i i

k

i i


جلسه هشتم دو جمله اي منفي)پاسكال(توزيع

o توزيع دو جمله اي منفي)پاسكال(خواص دستگاه كامپيوتر وجود 3: در يك هواپيماي پيشرفته 34مثال

دارد كه فقط يكي مورد نياز براي هدايت هواپيماست و دو دستگاه ديگر ذخيره هستند. در يك ساعت پرواز هواپيما

است. اگر 0.0005احتمال اينكه كامپيوتر فعال خراب شود كنترل هر ساعت پرواز هواپيما مستقل از ساعات ديگر باشد ميانگين زمان خرابي سيستم فوق چقدر است؟ احتمال اينكه

ساعت پرواز هر سه كامپيوتر خراب شوند چيست؟5در طول پاسخ: اگرX تعداد ساعات مورد نياز تا زمان خرابي هر سه

به ترتيب تعداد ساعات عمل X3 و X1، X2كامپيوتر باشد و و هر X=X1+X2+X3كامپيوترهاي اول، دوم و سوم باشد آنگاه

است 0.0005ها داراي يك توزيع هندسي با پارامتر Xiيك از و k=3 داراي توزيع دوجمله اي منفي با پارامترهاي Xبنابراين

p=0.0005:است در نتيجه داريم

9

2342

332

3

10*249.1

)9995.0()0005.0()9995.0()0005.0()0005.0(

)5()4()3()5(

60000005.0

3)(

CC

XPXPXPXP

XE


جلسه هشتم

توزيع پواسونo يكي از مفيدترين و پركاربردترين توزيع هاي احتمال گسسته

است.o فرض كنيد به دنبال توزيع جرمي احتمال تعداد تصادفات در

هفته يك چهارراه خاص باشيم.o اگر دوره زماني را به زيرفاصله هاي ناسازگاري تقسيم كنيم

، pبه نحوي كه در هر يك احتمال رخ دادن يك تصادف برابر و احتمال رخ دادن بيش از p-1احتمال رخ ندادن تصادف

باشد. آنگاه:0يك تصادف تعداد كل تصادفات داراي يك توزيع دوجمله اي با پارامترهايn و p

است. هر چه تعداد زيرفاصله ها بيشتر باشد احتمالp كمتر است و هرچه

ثابت np بيشتر است. اگر فرض كنيم pاين تعداد كمتر باشد مقدار به سمت بي نهايت برود داريم:nاست در صورتي كه


جلسه هشتم

توزيع پواسون

0,....2,1,0);,(!

)1(

)1(!

)1(!

)/)1(1)...(/21)(/11)(/(

)1()(!

)1)...(2)(1(

)1()()!(!

)!)(1)...(2)(1(

)1()()!(!

!)1(

,)1(,1)1(

xxfx

eppCLim

nxLim

nx

nxnnnnLim

nnn

nx

xnnnnLim

nnxnx

xnxnnnnLim

nnxnx

nLimppCLim

xxnxn

xn

npen

Limn

Limxn

x

n

xnxn

xnxxxn

xnxn

xnxn

xnxnxn

xn

xn


جلسه هشتمتوزيع پواسون

oتعداد غلطهاي چاپي يك يا چند صفحه از يك كتابoتعداد زمين لرزه ها در فاصله زماي معينoتعداد تركها در بخشي از سطح يك بزرگراهoتعداد پرچهاي خراب در سطح بال يك هواپيماoتعداد زدگي هاي موجود در سطح در يك يخچالo...o فرض كنيد تعداد غلطهاي چاپي در يك صفحه 36مثال :

دارد احتمال اينكه 0.5از كتاب توزيع پواسون با پارامتر دستكم يك غلط چاپي در يك صفحه از كتاب وجود

داشته باشد چقدر است؟o:393.0پاسخ

!0

)5.0(1

)0(1)1(1)1(05.0

e

XPXPXP



o:تعريف: يك فرآيند پواسون داراي ويژگي هاي زير است پيشامدها به صورت تصادفي در نقاط خاصي از زمان/مكان رخ مي

دهند. احتمال اينكه دقيقا يك نتيجه از پيشامد مورد نظر در فاصله

زماني/مكاني به طول به دست آيد برابر است كه در آن چنان است كه

)متوسط تعداد نتايج بدست آمده در واحد زمان ثابت است( احتمال اينكه پيشامد مورد نظر بيشتر از يك نتيجه در فاصله اي به

)احتمال به دست طول داشته باشد برابر است. آوردن بيش از يك نتيجه در يك فاصله زماني كوچك قابل اغماض

است( به ازاي هر يك از اعداد صحيح مانندn و به ازاي هر مجموعه از

ji پيشامدي باشد كه دقيقا Ei اگر jn،... و j1،j2زيرفاصله هاي ناسازگار امين زيرفاصله قرار مي گيرند، آنگاه iعدد از پيشامد موردنظر در

Ei .تعداد نتايج حاصله در زمان معيني مستقل ها مستقل از يكديگرند(از تعداد نتايج حاصله در دوره زماني ناسزگار با دوره قبلي است(

t)( tOt )( tO

0)(

0

t

tOLim t

t)( tO



o حال با استفاده از فرضيات فوق نشان مي دهيم كه رخ مي دهد tتعداد پيشامدهايي كه در فاصله زماني

داراي يك توزيع پواسون با پارامتر كه در آن نيز مي نامند.ميانگين آهنگ وقوع يا ميانگين آهنگ ورود

o اگرN)t( 0[ تعداد پيشامدها در بازه زماني,t[ باشد به دنبال فرمولي براي محاسبه

P)N)t(=x(=Px)t(;x=0,1,2…,.هستيم اگرx=0 باشد آنگاه

اگرx>0 آنگاه احتمال رخ دادن x نتيجه تا زمان ضربدر t نتيجه تا زمان xبرابر است با احتمال رخ دادن

احتمال رخ ندادن هيچ نتيجه اي در زمان + احتمال رخ ضربدر احتمال رخ دادن يك نتيجه در t نتيجه تا زمان x-1دادن زمان

)()()()(

)()()(

]1)[()](1)[()(

0000

0000

000

tPtPdt

d

t

tPttPLimtP

t

tPttP

ttPtOttPttP

t

tt t

t

....3,2,1,0;!

)()()()()(

)()(

)()()()(

)(]1[)()(

10

11

xx

tetPtPtPtP

dt

d

t

tPttPLim

tPtPt

tPttPtPtttPttP

xt

xxxxxx

t

xxxx

xxx

t



o فرض كنيد زمين لرزه بر اساس يك 39مثال : زمين لرزه در هفته 2فرآيند پواسون با آهنگ

رخ مي دهد در اينصورت احتمال اينكه دستكم هفته رخ دهد چقدر 2 زمين لرزه در طول 3

است.o :پاسخ

442

44 1312

441

)2()1()0(1)3(

42*2

eeee

XPXPXPXP

t


جلسه هشتم

توزيع پواسونoمحاسبه احتماالت تجمعي توزيع پواسون

قضيه: اگرX توزيع پواسون با پارامتر داشته باشد داريم

:اثبات

,...2,1,0);(1

)1(

rrXPr

rXP

1)!/()(

)!1/()(

)(

)1( 1

rre

re

rXP

rXPr

r


جلسه هشتم

توزيع پواسونoخواص توزيع پواسون

قضيه: ميانگين و واريانس متغير تصادفيX كه توزيع پواسون با پارامتر دارد برابر

است با :اثبات

2

1

1

1

0

22

11

1

0

)1()(

)1()(!

)1(

)!1(!)(

!)!1(!)(

XVar

eeey

ye

xxe

x

exXE

eey

ex

ex

exXE

y

y

x

x

x

x

y

y

x

x

x

x



oخواص توزيع پواسون قضيه: تابع مولد گشتاور متغير تصادفيX كه

توزيع پواسون با پارامتر دارد برابر است با قضيه: اگرX1، X2 و ... ،Xk متغيرهاي تصادفي

مستقل و هر يك داراي توزيع پواسون با …+Y=X1+X2باشد و پارامترهاي

+Xk تعريف گردد آنگاه Y يك توزيع پواسون با خواهد داشت.پارامتر

:اثبات

)]1([)( tX eExptM

12 ,,..., k

k ...21

)]1)(...[()()(

)]1([)(

211

t

k

k

i XY

tiX

eExptMtM

eExptM

i

i

تئوري احتمال و كاربردآن

Documents