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Chapter 5 Pólya’s throry of counting
5.1 簡介 5.2 重排群的等價類 (equivalence classes
under a permutation group) 5.3 函數的等價類 5.4 函數的權重 (weight)和目錄 (invento
ries) 5.5 Polya throrem
2
5.1 簡介
例 1.
棋盤 , 每個位置有黑白兩色 , 有多少種塗法 ?
(1) 位置固定: 有 24 = 16 種
(2) 可旋轉(0, 90, 180, 270度共 4種方式) : 6 種
3
5.1 簡介
類 1. 圖形中 , 每個小三角形有黑白兩色 , 有多少種塗法 ?
可旋轉 (0, 120, 240 度共 3 種方式 ) : 8 種
4
5.2 重排群的等價類
Permutation of S: a one-to-one function from a
set S={a,b,c,d} to itself
=
bdca
abcd
Permutation’運算
假設
bacd
abcd
adbc
abcd21 , 為兩種排列,其組合運算
bdac
abcd
dabc
abcd1221 , ,不滿足 1221 ,但滿足結合性(associative)即
)()( 321321 。
5
重排群:
G= },,{ 21 為 S的重排運算所形成的集合。當 G和 the binary operation of
composition of permutations形成 group時,則G為 S的重排群(permutation group)。
群(G,*)的定義:
(1) *滿足封閉性
(2) *滿足結合性
(3) 有一單位元素
(4) 有反元素
5.2 重排群的等價類
6
例 2. S={a,b,c},証明 G= } , ,{ 321
cab
abc
bca
abc
abc
abc 為 S之重排群。
根據重排群 G,可以導出原集合 S的二元關係(binary relation)
例 3. S={a,b,c,d},G= } , , ,{ 4321
badc
abcd
abdc
abcd
bacd
abcd
abcd
abcd ,根據
G導出原集合 S的二元關係。
5.2 重排群的等價類
7
例 4.考慮例 1之棋盤可旋轉 0, 90, 180, 270度共 4種方式,令 G= } , , ,{ 4321 滿足
16151413121110987654321
161514131211109876543211 CCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCC
16141312158711610925431
161514131211109876543212
CCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCC
16131215146108971132541
161514131211109876543213
CCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCC
16121514139761110843251
161514131211109876543214
CCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCC
G 可以導出原集合 S={ 16151413121110987654321 ,,,,,,,,,,,,,,, CCCCCCCCCCCCCCCC} 的二元關係,將 S 分割成 {C1} { C2, C3, C4, C5} {C6, C8, C9, C11}
{C7, C10} {C12, C13, C14, C15}{C16 } 。
5.2 重排群的等價類
8
給定一集合 S之重排群 G所導出的二元關係,將 S分割成 GG
)(1 個,
equivalence classes,其中 )( 表示排列中不改變的元素個數。
例 5. 給定 S={a, b, c, d} 和 G=
} , , ,{ 4321
badc
abcd
abdc
abcd
bacd
abcd
abcd
abcd
排列 π 中不改變的元素個數。 計算 4)( 1 , 2)( 2 , 2)( 3 , 0)( 4 ,根據 Burnside定理
可將 S分割成 2)0224(4
1)(
1
GG
Burnside定理
5.2 重排群的等價類
9
例 6. Find the number of distinct strings of length 2 that are made up of blue beads and yellow beads.
S={bb,by,yb,yy} G= }) (y
y ,
y
y { 21 倒過來看
ybyybbb
yybbybb
yybbybb
yybbybb
根據 Burnside定理
可將 S分割成 3)24(2
1)(
1
GG 類
類 6: Find the number of distinct strings of length 3 that are made up of blue beads and yellow beads.
5.2 重排群的等價類
S={bbb,bby,…,yyy} G= }) ( ,{ 21 倒過來看
根據 Burnside定理
可將 S分割成 6)48(2
1)(
1
GG 類
10
例 7: Find the number of distinct bracelets of five beads made up of yellow, blue, and white beads.
S={bbbbb,…,wwwww}有 243元素
G= }))( ,)( ),( ,)( ,{ 54321 旋轉四個旋轉三個旋轉二個旋轉一個
5432 , , , 不改變的元素為 bbbbb,yyyyy,wwwww等三個
根據 Burnside定理
可將 S分割成 51)3333243(5
1)(
1
GG 類
5.2 重排群的等價類
11
5.3 函數的等價類
令 D,R為兩有限集合,F }:|{ 為一函數RDff ,且令 G為 D上之一重排群。在 F上定義: Fff 21,
))(()(, 2121 dfdfDdGff 滿足
此為等價關係
(因滿足反身性(reflexive)、對稱性(symmetric)、遞移性(transitive)
12
5.3 函數的等價類例 8: 給定 D={a, b, c, d},R={x,y}和
G= } , , ,{ 4321
abcd
abcd
dabc
abcd
cdab
abcd
bcda
abcd ,
}:|{ RDffF , |F|=16,求 |/| F ?其中
xdfxafdf
xcfxdfcf
xbfxcfbf
yafybfaf
ff
)(,)())((
)(,)())((
)(,)())((
)(,)())((
2313
2313
2313
2313
32
F分割成{f1} { f2, f3, f4, f5} {f6, f8, f9, f11} {f7, f10} {f12, f13, f14, f15}{f16 }
等 6類,所以 |/| F =6
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5.3 函數的等價類
例 9.
棋盤 , 每個位置有黑白兩色 , 有多少種塗法 ?
給定 D={a, b, c, d},R={x,y}和
G= } , , ,{ 4321
abcd
abcd
dabc
abcd
cdab
abcd
bcda
abcd ,
}:|{ RDffF , |F|=16,求 |/| F =6種塗法。
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5.4 函數的權重和目錄
}:|{ 為一函數RDff ,對每一個 Rr
都有權重 w(r),為一符號或數值,則函數 f 的權重為
Dd
dfwfW ))(()( 。
R的總列舉(store enumerator)= Rr
rw )(
函數集合 F的目錄(inventory): INV(F) = Ff
fW )(
例 10.
給定 } , ,{,)(,)()(}, , ,{}, , ,{ 321231321321 fffFvrwurwrwrrrRdddD 滿足
333123213
133222112
231221111
)( ,)( ,)(
)( ,)( ,)(
,)( ,)( ,)(
rdfrdfrdf
rdfrdfrdf
rdfrdfrdf
求其 INV(F)?
INV(F) = vuuvvuvuuvfWfWfWfWFf
22222321 2)()()()(
15
定理:
給定 }:|{ RDffF ,G為 D上一重排群,為 F上由 G所導的等價關係,若 21 ff ,則 )()( 21 fWfW
例 11.
Find all the possible ways of painting three distinct balls in solid colors when three
are three kinds of paint available, an expensive kind of red paint, a cheap kind of red
paint, and blue paint.
給定 bbwrrwrrwbrrRzyxD )(,)(,)(,} , ,{,} , ,{ 221121 顏色球
INV(F) = 321 )( brr
5.4 函數的權重和目錄
16
例 12.
有 8個人{a,b,c,d,e,f,g,h}其中及分別為一家人其餘為單獨一人欲安排此人旅行共有個地方可以被安排其中同一家人必在一起旅行則此安排方法共有多少種?
給定 )(,)(,)(), 3}( , ,{},,,,,,, ,{ zwywxwcityzyxRhgfedcbaD
{a,b,c}在一起則可能旅程為 333 (3人都去 z city)
同理{d,e}在一起則可能旅程為 222
{f,g,h}每一人旅程為
INV(F) = 3222333 ))()((
5.4 函數的權重和目錄
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5.5 Polya throrem
定義:(1) 排列的循環結構式(structure of cycle):長度 i的 cycle 有 bi個之
ibix ( 個數
長度
cycle jix )乘積
123443214
123431423
123424132
123412341 , , , G
1 的循環結構式 41x , 4 的循環結構式 4x
(2) 重排群 G的循環指式(cycle index) :為所有的循環結構式(structure of
cycle)之和
Gx
bk
bbkG
kxxxG
xxxP 21
2121 ||
1,...),...,,( = )(
4
1444
41 xxxx
18
5.5 Polya throrem
Polya throrem
定理: The inventory of the equivalence classes of functions from domain D to range
R is ,...))]([,...,)]([,)(( 2 Rr
k
RrRrG rwrwrwP .
例 9.
棋盤 , 每個位置有黑白兩色 , 有多少種塗法 ?
步驟:
1. 決定 位置的範圍 D 4 ,3 ,2 ,1D
位置上的物件範圍 R wbR ,
2. 決定位置的重排群
123443214
123431423
123424132
123412341 , , , G
19
5.5 Polya throrem
3.G 之 cycle index P:
2244
414
1xxxxP
個數長度
cycle
jix
4. 以 wbx 1 , 222 wbx , 44
4 wbx 代入
4224
44
44
432234432234
22244444
2
24644
1
4
1
wwbb
wb
wb
wbwwbwbbwbwwbwbb
wbwbwbwbNF
即令 21 x , 22 x , … 代入 622224
1 24
20
5.5 Polya throrem類 1-1.
用黑白著色有多少種 ? ( 考慮旋轉 )1 2 3
4 5 6
7 8 9
1. 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1D bwR ,
2. 1234567891234567891 0 o 9
1x
1234567893692581472 90 o 2
41 xx
1234567899876543213 180 o 4
21 xx
1234567897418529634 270 o 2
41 xx
241
241
9 24
1xxxxxP
令 2421 xxx 得 1402222224
1 449
21
5.5 Polya throrem
3 種顏色 x, y, z 之塗法 ?類 1-2.
82
484
282
488
18
1 xxxxxxxxP
834# NF
22
5.5 Polya throrem
87 65
3 214
例 2. 立方體 8 個頂點塗上 x, y 顏色 , 有多少種塗法 ?
42
23
21
24
42
81 6863
24
1xxxxxxP
令 24321 xxxx 得 23 種塗法 5個黑色, 3個白色, 35wb 有 3個
23
5.5 Polya throrem類 2:
固定
有 5 面的塗法?
(b+w)
例 3: Find the number of ways of painting the four faces a,b,c and d of the pyramid I
the following graph with two colors of paints, x and y.
314
1 23
1xxxP
334 23
1wbwbwbN
F
8# NF
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