§2.1 平方差公式
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时代中学计划将一个边长为 m 米的正方形花坛改造成长为 (m+1) 米,宽为 (m-1) 米的长方形花坛,你会计算改造后的花坛面积吗?( 1)( -1)m m+ 2 - 1m m m= + + 2 -1m=
你能说出上面乘式中两个因式以及它们乘积的特征吗?积:多项式的积有 4 项,合并同类项后成为两项;
结构:式子左边是 m 与 1 的和及 m 与 1 的差的乘积, 等式右边是这两个数的平方差
探索发现
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由多项式的乘法则可以得到:2 2 2 2( )( - ) - -a b a b a ab ab b a b+ = + + =
从而有下面的平方差公式:
也就是说,两个数的和与这两个数的差的乘积,等于这两个数的平方差。
2 2( )( - ) -a b a b a b+ =
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a
a-b
a-b
b
b
a
边长为 a 的正方形中,剪去一个边长为 b 的小正方形,剩余面积是多少? 把剩余的部分拼接成右图,你能算出面积吗?
a
a-b
b
2 2-a b ( )( - )a b a b+
右边: 左边:
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(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘; 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反 [ 互为相反数( 式 )];
(2) 公式右边是这两个数的平方差; 即右边是左边括号内的第一项的平方 ,减去第二项的平方 .
(3) 公式中的 a 和 b 可以代表数,也可以是代数式.
特征特征结构结构
2 2( )( - ) -a b a b a b+ =
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例 1 利用平方差公式计算:(1) (5+6x)(5−6x) ; (2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).解解 :: (1)(1) (5 (5++66xx)(5)(5−−66xx))==55 55
第一数第一数 aa
5522
平方平方−−66xx 66xx
第二数第二数 bb 平方平方
要用括号把这个数整个括起来,
注意 当“第1( 或第 2) 数”是一分数或是数与字母的乘积时 ,
再平方 ;
( )( )2266xx
== 2525−−
最后的结果又要去掉括号。
3636xx2 2 ;;(2)(2) ( (xx++22yy) () (xx−−22yy))
==xx xx
xx22−− ( )( )22
22yy 22yy
22yy
== xx22 −−44yy22 ;;
(3)(3) ( (−−mm++nn)()(−−mm−−n n ))
==−−mm −−mm
−−mm( )( )22 −−nn nn
nn22
== mm22 −−nn22 ..
阅读 35P 1 例 ,做练习
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(1) (1+2x)(1(1) (1+2x)(1−−2x)=12x)=1−−2x2x2 2
(2) (2(2) (2aa22+b+b22)(2)(2aa22−−bb22)=2)=2aa44−−bb44
(3) (3m+2n)(3m(3) (3m+2n)(3m−−2n)=3m2n)=3m22−−2n2n22
指出下列计算中的错误: 2x2x 2x2x 2x2x 第二数被平方时,未添括号。
22aa22 22aa22 22aa 第一 数被平方时,未添括号。
3m3m 3m3m 3m3m2n2n 2n2n 2n2n 第一数与第二数被平方时,都未添括号。
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利用平方差公式计算情境导航中提出的问题:
解: 803×797= (800 + 3)(800 — 3)(a + b)(a - b)
=a2 - b2
=8002-32
=640000-9=639991
所以,这个城市广场的面积为 639991 平方米。
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试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 。
应用平方差公式 时要注意一些什么?
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。
运用平方差公式时,要紧扣公式的特征, 找出相等的“项”和符号相反的“项”,然后应用公式;
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(1) (a+b)(a−b) ; (2) (a−b)(b−a) ;(3) (a+2b)(2b+a); (4) (a−b)(a+b) ;(5) (2x+y)(y−2x).
( 不能 )
下列式子可用平方差公式计算吗 ? 为什么 ? 如果能够,怎样计算 ?
( 不能 ) ( 不能 ) ( 能 ) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ;
( 不能 )
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作业
习题 2.1 A 组
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