การแก โจทย แคลคูลัส...

ศาสตราจารย ดร. ปราโมทย เดชะอาไพ

ศนยเทคโนโลยโลหะและวสดแหงชาต

ทความบบ

ในการเรยนปรญญาเอกในสายวศวกรรมศาสตรเมอกวา 30 ปกอน มหาวทยาลยสวนใหญในอเมรกา

มกบงคบใหผเรยนตองศกษาภาษาตางประเทศดวย (เชน ภาษาฝรงเศส) และจ�าเปนตองสอบใหผานจงสามารถ

จบและรบปรญญาเอกได ยงจ�าไดวาอาจารยทปรกษาของผเขยนไปตอรองกบทางคณะฯ เพอขอใหผเขยน

ศกษาและสอบภาษาคอมพวเตอรจ�าเพาะแทน ภาษาคอมพวเตอรจ�าเพาะนคอภาษาทางดานคณตศาสตร

สญลกษณ (symbolic mathematics) ทประดษฐขนเปนโปรแกรมคอมพวเตอร เชน น�า x2 มาคณกบ y3

แลวได x2 y3 ปรากฏขนบนหนาจอ แทนทจะเหนเปนตวเลขแบบทเกดขนจากโปรแกรมคอมพวเตอรทวๆ ไป

หรอท�าการอนทเกรต เชน x2 dx แลวไดเปน x3 /3 ปรากฏขนบนหนาจอ โปรแกรมค�านวณเชนนจดไดวา

เปนสงทนาทงมากในชวงเวลานน

โปรแกรมคณตศาสตรสญลกษณทวานมชอวา MACSYMA (MAC SYmbolic MAnipulation

Program) ประดษฐขนโดยนกวจยท MIT (Massachusetts Institute of Technology) ในขณะนนผเขยน

เรยนอยในมลรฐเวอรจเนยร ดงนนเมอตองการศกษาโปรแกรมคอมพวเตอรเชนนกจ�าเปนตองสอสารผาน

อนเทอรเนต ซงในสมยนนคอการตดตอผานสายโทรศพทดๆ นเอง วธการกคอตองน�าหโทรศพท (อนใหญๆ

การแกโจทย

แคลคลส

และสมการเชงอนพนธ

ใหไดคาตอบพรอมแสดงวธทา...

งายแคปลายนวสมผสบนมอถอ

รนเกาในสมยนน) วางครอบลงในเตารบบนกลองขนาดเทากลองกระดาษทชช และตองท�างานชวงเวลา

หลงเทยงคนไปแลว เพราะคาโทรศพทในชวงดงกลาวมราคาถกกวาชวงเวลาอน

การไดสมผสเรยนรคณตศาสตรสญลกษณยงตรงใจผเขยนมาโดยตลอด เพราะโปรแกรมคอมพวเตอร

ทางดานการค�านวณ (computational software) ทใชในการเรยนการสอนและงานทางปฏบตทางภาค

อตสาหกรรมในทกวนนลวนใหผลออกมาเปนตวเลขทงนน ตวเลขทค�านวณไดจงถกแปลงไปเปนเฉดสในระดบ

ตางๆ กน ชวยท�าใหผวเคราะหเหนผลลพธทมความหมายทางกายภาพปรากฏขนบนหนาจอคอมพวเตอรได

โดยตรง

ตลอดระยะเวลา 30 กวาปทผานมานเอง โปรแกรมคณตศาสตรสญลกษณทใหผลเปนอกษร เชน ตว

x ตว y ปรากฏขนบนหนาจอคอมพวเตอรไดรบการพฒนาไปมาก โปรแกรม MACSYMA ไดเปลยนชอเปน

Maxima และกลายเปน freeware บนอนเทอรเนต ในขณะเดยวกนกมโปรแกรมคอมพวเตอรสญลกษณ

อนๆ ผลตขนจ�าหนายในเชงพาณชย อาทเชน Matlab, Maple, MuPad และ Mathematica

โปรแกรมคณตศาสตรสญลกษณเหลานชวยแกปญหาทางพชคณต เชน การแยกแฟกเตอร (factoring)

และการลดรป (simplifying) สมการยาวๆ ใหดกระชบสนลงไดอยางมประสทธภาพ เราจงไมตองเสยเวลามา

ท�าเองดวยมอแบบสมยกอน สามารถขจดความผดพลาดและลดเวลาในการประดษฐสมการ (derivation)

ทมความซบซอนลงไปไดเปนอยางมาก

โปรแกรมเหลานยงแกปญหาทางแคลคลส (calculus) เชน การหาคาลมตของฟงกชน (function)

ในรปแบบใดๆ การหาคาอนพนธ (derivative) ของฟงกชนพนฐานหรอฟงกชนในรปแบบทดแปลกตาได

อยางรวดเรวในพรบตา ท�าใหเราไมตองพงตารางคณตศาสตรดงเชนทเคยท�ากนมาในอดตอกแลว และ

ทส�าคญทสดคอการอนทเกรต (integration) ซงจดวาเปนยาขมขนานแทส�าหรบนสตนกศกษาระดบชนปท 1

สายวทยาศาสตร โปรแกรมคอมพวเตอรสญลกษณเหลานสามารถใหผลลพธของแบบฝกหดตางๆ ทปรากฏ

อยในหนงสอแคลคลสทวไปไดทนท ผเรยนสามารถตรวจสอบความถกตองของผลลพธหลงจากการท�าดวยมอ

เองมาสกพกใหญ เมอเปรยบเทยบกบเพยง 1-2 วนาทจากการใชโปรแกรมเหลาน

ยงไปกวานนโปรแกรมคอมพวเตอรเหลานยงสามารถหาผลเฉลย (solution) ของสมการเชงอนพนธ

สามญ (ordinary differential equation) ไดโดยสะดวก สมการเชงอนพนธบางสมการอาจมความซบซอน

ซงตองใชเวลาเกอบหนงชวโมงเพอหาผลเฉลยหากท�าดวยมอ อกทงเมอไดผลเฉลยสดทายออกมาแลวกยง

ไมแนใจวาท�าถกหรอไม นบไดวาเปนยาขมส�าหรบนสตนกศกษาดวยเชนกน ผศกษาในปจจบนสามารถ

ตรวจสอบความถกตองของผลเฉลยโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอรสญลกษณเหลานไดทนท

ลาสด ผผลตโปรแกรม Mathematica ไดออกผลตภณฑใหมชอ Wolfram Alpha Pro ทไมเพยงหา

ค�าตอบของโจทยแคลคลสและสมการเชงอนพนธใหไดเทานน แตยงสามารถแสดงขนตอนวธการท�าโดยละเอยด

ผานโทรศพทมอถอทเราใชกน ยกตวอยางเชน เราตองการหาคาอนพนธอนดบหนง

เรากเพยงพมพค�าสงคลายค�าพดลงไปในมอถอวา

กรกฎาคม - กนยายน 2556

34

โปรแกรมกจะแสดงวธท�าโดยละเอยด ดงตอไปน (หลงจากแปลเปนภาษาไทยแลว)

ขนตอนการหาผลลพธ:

ประยกตกฎการคณ เมอ และ :

คาอนพนธของ log (x) คอ :

แลวประยกตกฎก�าลง เมอ ดงนน :

ค�าตอบ

นนคอ

อนง หากเราตองการหาคาอนพนธอนดบสงขนไป เชน อนดบท 20 ของฟงกชนเดยวกนน ซอฟตแวรกจะให

ค�าตอบทถกตองพรอมแสดงรายละเอยดวธท�าเสรจในเวลาอนสนไดดวยเชนกน

ในท�านองเดยวกน หากเราตองการอนทเกรต

เรากเพยงพมพลงไปในมอถอวา

จากนน โปรแกรมกจะแสดงขนตอนวธการท�า ดงตอไปน

อนทเกรต:

กรกฎาคม - กนยายน 2556

35

ส�าหรบตวถกอนทเกรตซงคอ หากแทน ดงนน

:

เพราะวาอนทเกรต จะได ดงนน:

แทนคา กลบเขาไปกจะกอใหเกดผลลพธคอ:

ค�าตอบ

นนคอ

หรอหากเราตองการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบสองแบบไมเอกพนธ (nonhomogeneous

second-order differential equation)

เรากเพยงพมพลงไปในมอถอวา

โปรแกรมกจะแสดงขนตอนการประดษฐ (derivation) ผลเฉลย ดงตอไปน

แกสมการ :

ผลเฉลยทวไป (general solution) เปนผลรวมของผลเฉลยเตมเตม (complementary solution) และผลเฉลย

เฉพาะ (part icular solution) เราจงเ รมจากการหาผลเฉลยเตมเตมก อนด วยการแก สมการ

เชงอนพนธแบบเอกพนธ (homogeneous equation)

กรกฎาคม - กนยายน 2556

36

โดยสมมตผลเฉลยเตมเตมใหอยในรปแบบของ elx เมอ l เปนคาคงตว (constant) จากนนแทน

y(x) = elx ลงในสมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ จะได:

เนองจาก และ :

กอใหเกด

เพราะวา ส�าหรบคา l ใดๆ ดงนนโพลโนเมยล:

l2 - l - 2 = 0 หรอ (l - 2)(l +1) = 0

น�ามาสราก l = -1 และ l = 2

ราก l = -1 กอใหเกดผลเฉลย y1(x) = c1e-x และราก l = 2 กอใหเกดผลเฉลย y2(x) = c2e

2x

โดย c1 และ c2 เปนคาคงตวใดๆ ผลเฉลยเตมเตมจงเปน

จากนน หาผลเฉลยเฉพาะจาก ดวยวธ

เทยบสมประสทธ (method of undetermined coefficients) ผลเฉลยเฉพาะส�าหรบสมการเชงอนพนธแบบ

ไมเอกพนธ (nonhomogeneous equation)

อยในรปแบบของ:

การหาคาคงท a1 และ a2 เรมจากการหาคา จะได:

แลวจงหาคา จะได:

กรกฎาคม - กนยายน 2556

37

แทนผลเฉลยเฉพาะ yp(x) กลบลงในสมการเชงอนพนธแบบไมเอกพนธ จะได:

หรอ

แลวเปรยบเทยบสมประสทธของพจน cos(x) และ sin(x) กอใหเกด:

-3a1 -a2 = 10

a1 -3a2 = 0

ซงเมอแกระบบสมการ จะได:

a1 = -3 และ a1 = -1

จากนนแทน a1 และ a2 กลบลงใน yp(x) = a2 sin(x) + a1 cos(x) จะได:

yp(x) = -sin(x) -3cos x

ดงนน ผลเฉลยทวไปส�าหรบปญหานคอ:

ค�าตอบ

รายละเอยดตางๆ ทน�าเสนอมาขางตนนแสดงถงความกาวหนาของเทคโนโลยซอฟตแวรดาน

คณตศาสตรสญลกษณทไดรบการพฒนาอยางตอเนองในชวงเวลา 30 ปทผานมา ท�าใหการศกษาคณตศาสตร

ในระดบมหาวทยาลยงายขนมาก หากนสตนกศกษาน�ามอถอเขาหองเรยนกสามารถเหนกระบวนการประดษฐ

สมการตางๆ ไดกอนทอาจารยจะท�าเสรจบนกระดานหนาชนเสยอก รวมทงจะไมมปญหาในการท�าการบาน

สงอาจารยอกแลว แถมยงอาจท�าขอสอบไดคะแนนเตมหากอาจารยอนญาตใหน�ามอถอเขาหองสอบ

กรกฎาคม - กนยายน 2556

38