an2exp_serienum
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M.Guida, S.Rolando, 2014 1
Serie numeriche / Esercizi proposti
L’asterisco contrassegna gli esercizi più di cili.
1. Calcolare la somma delle seguenti serie:
a)n=0
2n
e2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=0
2n
e2n =e2
e2 2
b)n=0
2n 1
e2n 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=0
2n 1e2n 1 =
e3
e2 2e3
e2 1
c)n=2
21 3n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=2
21 3n = 128
d)n=1
n+ 1 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=1
n+ 1 n = +
e)n=1
log1 + e n
1 + e n 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=1log 1+e n
1+e n 1 = log 1 + 1e
f*)n=0
2
(2n 3) (2n 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=0
2(2n 3)(2n 1) =
13
g*)n=1
8
9n2 15n+ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=1
89n2 15n+4 =
83
h)n=0
2n 1
n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=0
2n 1n! = e2 e
i)n=1
n+ 1
n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=1
n+1n! = 2e 1
2. Tramite opportune serie geometriche, calcolare le frazioni generatrici dei seguenti numeri razionali:
11.8, 3.14, 1.3256. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079 ,
28390 ,
32812475
3. Suddividendo l’insieme A = (x, y) R2 : x 1, 0 y 1/x nell’infinità numerabile di sottoin-
siemi An = (x, y) R2 : n x n+ 1, 0 y 1/x , n 1, scrivere una serie che fornisca l’area
di A e calcolare tale area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=1
(logn log (n+ 1)) = +
4. Supponendo che la lunghezza sia una grandezza
numerabilmente additiva, scrivere una serie che
fornisca la lunghezza della spezzata rappresentata
in figura e calcolare tale lunghezza.
..........................................n=1
2 1n
1n+1 = 2
M.Guida, S.Rolando, 2014 2
5. Calcolare la somma delle seguenti serie al variare del parametro reale x:
a)n=0
x2 33n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=0x2 3
3n
= + se |x| 2
= 11 (x2 3)3
se 2 < |x| < 2indeterminata se |x| 2
b)n=0
1 + x2 e nx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=0
1 + x2 e nx =+ se x 0(1+x2)ex
ex 1 se x > 0
c)n=1
log1 + xn
1 + xn+1con x 0 . . . . . . . . . . .
n=1log 1+xn
1+xn+1 =
log (1 + x) se 0 x < 1
0 se x = 1
se x > 1
6. Determinare il carattere delle seguenti serie:
a)n=0
n+ 3
2n3 + 2n+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
b)n=0
n
(n+ 2) (n 7/2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
c)n=1
2n 1
n (n+ 1) (n 5/2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
d)n=0
3n
n2 + n+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]
e)n=0
(n+ 3)8
(2n3 3n2 1)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]
f)n=1
n+ logn
(n+ cosn)3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
h)n=0
n
2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
i)n=0
1
3n + n 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
j)n=0
2n + 1
3n + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
k)n=1
2n
n5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]
l)n=1
logn
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]
m)n=1
logn
n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
n)n=2
1
(logn)n/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
M.Guida, S.Rolando, 2014 3
o)n=2
1
logn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]
p)n=2
7
n n logn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
q)n=1
n!
nn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
r)n=1
n n
n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
s)n=0
2nn
en/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]
t)n=0
n
3n + n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
u)n=0
n3 n 3 ( 1)n
3n + n3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
v)n=0
( 1)n
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (semplicemente, non assolutamente)]
w)n=1
cos ( n)
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (semplicemente, non assolutamente)]
x)n=2
sin (logn)
n2 logn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (assolutamente)]
y)n=1
sinn+ ( 1)nn
n2 + 2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
z)n=1
1
32n4
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge (negativamente)]
aa)n=1
( 1)n 2n
1 + n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (semplicemente, non assolutamente)]
ab)n=1
( 1)nn37
(n+ 1)!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (assolutamente)]
ac)n=1
sin n2 1 cos1
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (assolutamente)]
ad*)n=1
sin1
n
1
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
ae*)n=1
2 arctann
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]
7*. Studiare il carattere della serie
n=2
1
n log n
M.Guida, S.Rolando, 2014 4
al variare di parametri , R . . . . . .se > 1, converge R; se < 1, diverge R;se = 1, converge per > 1 e diverge per 1
a)n=1
enx
n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge se x 0, diverge se x > 0]
b)n=0
2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge se x < 0, diverge se x 0]
8. Studiare il carattere delle seguenti serie al variare del parametro reale x:
a)n=1
enx
n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge se x 0, diverge se x > 0]
b)n=0
2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge se x < 0, diverge se x 0]
9. Stabilire se le seguenti serie sono convergenti e, in caso a ermativo, determinare un’approssimazione
della loro somma con un errore inferiore a 10 3:
a)n=1
( 1)n (n+ 1)
n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . converge; S7 =
7
n=1
( 1)n(n+1)n!
b)n=1
1
n3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . converge; S23 =
23
n=1
1n3
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