M.Guida, S.Rolando, 2014 1

Serie numeriche / Esercizi proposti

L’asterisco contrassegna gli esercizi più di cili.

1. Calcolare la somma delle seguenti serie:

a)n=0

2n

e2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=0

2n

e2n =e2

e2 2

b)n=0

2n 1

e2n 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=0

2n 1e2n 1 =

e3

e2 2e3

e2 1

c)n=2

21 3n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=2

21 3n = 128

d)n=1

n+ 1 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=1

n+ 1 n = +

e)n=1

log1 + e n

1 + e n 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=1log 1+e n

1+e n 1 = log 1 + 1e

f*)n=0

2

(2n 3) (2n 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=0

2(2n 3)(2n 1) =

13

g*)n=1

8

9n2 15n+ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=1

89n2 15n+4 =

83

h)n=0

2n 1

n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=0

2n 1n! = e2 e

i)n=1

n+ 1

n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=1

n+1n! = 2e 1

2. Tramite opportune serie geometriche, calcolare le frazioni generatrici dei seguenti numeri razionali:

11.8, 3.14, 1.3256. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079 ,

28390 ,

32812475

3. Suddividendo l’insieme A = (x, y) R2 : x 1, 0 y 1/x nell’infinità numerabile di sottoin-

siemi An = (x, y) R2 : n x n+ 1, 0 y 1/x , n 1, scrivere una serie che fornisca l’area

di A e calcolare tale area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=1

(logn log (n+ 1)) = +

4. Supponendo che la lunghezza sia una grandezza

numerabilmente additiva, scrivere una serie che

fornisca la lunghezza della spezzata rappresentata

in figura e calcolare tale lunghezza.

..........................................n=1

2 1n

1n+1 = 2

M.Guida, S.Rolando, 2014 2

5. Calcolare la somma delle seguenti serie al variare del parametro reale x:

a)n=0

x2 33n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=0x2 3

3n

= + se |x| 2

= 11 (x2 3)3

se 2 < |x| < 2indeterminata se |x| 2

b)n=0

1 + x2 e nx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=0

1 + x2 e nx =+ se x 0(1+x2)ex

ex 1 se x > 0

c)n=1

log1 + xn

1 + xn+1con x 0 . . . . . . . . . . .

n=1log 1+xn

1+xn+1 =

log (1 + x) se 0 x < 1

0 se x = 1

se x > 1

6. Determinare il carattere delle seguenti serie:

a)n=0

n+ 3

2n3 + 2n+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

b)n=0

n

(n+ 2) (n 7/2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

c)n=1

2n 1

n (n+ 1) (n 5/2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

d)n=0

3n

n2 + n+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]

e)n=0

(n+ 3)8

(2n3 3n2 1)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]

f)n=1

n+ logn

(n+ cosn)3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

h)n=0

n

2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

i)n=0

1

3n + n 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

j)n=0

2n + 1

3n + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

k)n=1

2n

n5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]

l)n=1

logn

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]

m)n=1

logn

n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

n)n=2

1

(logn)n/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

M.Guida, S.Rolando, 2014 3

o)n=2

1

logn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]

p)n=2

7

n n logn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

q)n=1

n!

nn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

r)n=1

n n

n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

s)n=0

2nn

en/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge]

t)n=0

n

3n + n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

u)n=0

n3 n 3 ( 1)n

3n + n3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

v)n=0

( 1)n

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (semplicemente, non assolutamente)]

w)n=1

cos ( n)

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (semplicemente, non assolutamente)]

x)n=2

sin (logn)

n2 logn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (assolutamente)]

y)n=1

sinn+ ( 1)nn

n2 + 2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

z)n=1

1

32n4

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [diverge (negativamente)]

aa)n=1

( 1)n 2n

1 + n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (semplicemente, non assolutamente)]

ab)n=1

( 1)nn37

(n+ 1)!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (assolutamente)]

ac)n=1

sin n2 1 cos1

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge (assolutamente)]

ad*)n=1

sin1

n

1

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

ae*)n=1

2 arctann

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge]

7*. Studiare il carattere della serie

n=2

1

n log n

M.Guida, S.Rolando, 2014 4

al variare di parametri , R . . . . . .se > 1, converge R; se < 1, diverge R;se = 1, converge per > 1 e diverge per 1

a)n=1

enx

n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge se x 0, diverge se x > 0]

b)n=0

2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge se x < 0, diverge se x 0]

8. Studiare il carattere delle seguenti serie al variare del parametro reale x:

a)n=1

enx

n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge se x 0, diverge se x > 0]

b)n=0

2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [converge se x < 0, diverge se x 0]

9. Stabilire se le seguenti serie sono convergenti e, in caso a ermativo, determinare un’approssimazione

della loro somma con un errore inferiore a 10 3:

a)n=1

( 1)n (n+ 1)

n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . converge; S7 =

7

n=1

( 1)n(n+1)n!

b)n=1

1

n3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . converge; S23 =

23

n=1

1n3