folhetos_3_operadores

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= EH

Equao de valores prprios

A equao de Schrdinger uma equao de valores prprios, onde o operador Hamiltoniano o operador de

energia total que caracteriza o sistema em estudo.

Funes prprias que caracterizam o sistema

Valores prprios da propriedade observvel que resultam de medies experimentais

Operador associado a

uma observvel

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O f =o f

Como construir operadores qunticos?

A cada observvel fsica corresponde um operador hermtico linear.

Para se deduzir a expresso deste operador, escreve-se a expresso macnico-clssica em termos das coordenadas cartesianas e das correspondentes componentes do momento linear ou quantidade de movimento, e substituem-se as coordenadas x, y e z , e as componentes do momento px, py e pz pelos operadores qunticos de acordo com o quadro:

x y z px py pz

x y z x

i

yi

zi

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O que um operador linear?

Ser o operador px hermtico e linear?

O kf =k O f Com k constante

O que um operador hermtico?

fi* O f

jdx = f j* O f i dx{ }

*

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Duas funes fi e fj dizem-se ortogonais se:

1. Os valores prprios de um operador hermtico so nmeros reais.

( ) 0**** === dxffdxffdxff ijjiji

2. f(x) = sen(x) e g(x)=sen(2x) so funes prprias do operador hermtico d2/dx2. Mostrar que so funes ortogonais.

3. Em geral as funes prprias correspondentes a diferentes valores prprios de um operador hermtico linear so funes ortogonais.

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Retome-se, ento, o caso de uma partcula de massa m numa s dimenso e que representada pela funo de onda:

dxdipx =

Verifique que soluo

x

)cos(2 kxAAeAe ikxikx =+= +

Com o operador momento linear podemos saber o valor prprio associado a :

+= tex CkxAidxkxAdip )sin(2))cos(2(

Aplique-se ento este operador a :

no funo prpria do operador e portanto no pode representar um valor definido do momento linear da partcula!

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Mas: ikxikx AeAekxA + +== )cos(2

A funo no funo prpria do operador momento linear, mas uma combinao linear de 2 funes que o so, com valores prprios associados +k e -k.

ikxikx

ikxx Aekdx

AediAep ++

+ += )()(

ikxikx

ikxx Aekdx

AediAep

= )()(

x

px=-k px=+k

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3

Sobreposio de estados No podemos saber se a partcula se move num sentido ou no outro.

O seu estado uma sobreposio de duas funes que representam movimentos com momentos lineares opostos.

Se realizarmos experincias para medir o seu momento linear, no possvel prever o resultado: umas vezes resulta o valor px=+k e outras vezes px=-k.

Experincia conceptual do gato de Schrdinger

xpixpi xx

AeAe +

+=+=

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Sobreposio de estados

Generalizando:

=++=i

iiccc 2211

Oi=o

i

i, i = 1,2,

Funes prprias de um operador hermtico linear

Quando se efectua uma medio da grandeza observvel associada ao operador, somente um dos valores prprios oi pode ser obtido.

No possvel prever o valor que se vai obter numa medio em particular. Porm, a nvel estatstico, a probabilidade de ocorrncia de um valor ok em particular proporcional a | ck |2.

O valor esperado, ou mdia, dos valores resultantes das medies dado por:

O = D

*Od

pag 260 a 269

Sobreposio de estados

Exerccio para as aulas TP:

2211 cc +=O

1=o

1

1

O2=o

2

2

!"#

$#

Provar que o valor esperado dado por:

O = c1

2o1+ c

2

2o2

Considere um caso simples em que a funo de estado combinao linear de duas funes prprias de um operador:

o que representa uma mdia pesada dos valores possveis, o1 e o2, com probabilidade (peso) |c1|2 e |c2|2.

pag 260 a 269

4

A dualidade onda-partcula contraria a noo clssica de trajectria !

Uma onda caracterizada por um comprimento de onda, , possui um momento linear bem determinado: p= h / .

mas perde-se completamente a informao sobre a posio da partcula.

px h / 1

|A|2

x

A probabilidade de presena da partcula uniforme em todo o espao: ||2= |A|2.

xpiikxx

AeAe ++ ==

px=+k

pag 269 a 270

A dualidade onda-partcula contraria a noo clssica de trajectria !

2

xp

Adicionando componentes com outros valores prprios pi, ganha-se mais rigor na posio da partcula, porque a densidade de presena da partcula concentra-se numa regio mais restrita do espao.

h / 2

h / 3

h / 4

h / 5

h / 6

Werner Karl Heisenberg 1901-1976 pag 269 a 270

px h / 1

Pacotes de onda wave packet com nmero varivel de componentes.

mas perde-se no conhecimento da sua velocidade, pois numa medio de p pode resultar qualquer um dos valores pi.

Qual o modelo actual do tomo ?

Estrutura Atmica e Molecular Q222

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Os Princpios da Incerteza (Heisenberg) e da Complementaridade (Bohr)

constituem a base da Interpretao de Copenhaga da mecnica quntica.

determinismo

natureza estatstica da realidade

objectividade

realidade material depende do acto de observao/medio

Estrutura Atmica e Molecular Q222

A linguagem que utilizamos foi

concebida para descrever

fenmenos de um mundo

macroscpico que obedece s leis

da Fsica Clssica.

Mas as mais pequenas rodas do grande relgio que o Universo no

obedecem a leis deterministas. Pensar em partculas qunticas como

objectos vulgares est em contradio com a experincia.

O dilogo cientfico/filosfico

entre Einstein e Bohr ficou

famoso, e prosseguiu ao

longo das suas vidas sem

chegarem a uma concluso.

Estrutura Atmica e Molecular Q222

6

Na Mecnica Quntica a

probabilidade que est

causalmente determinada

para o futuro, e no os

acontecimentos individuais.

Devido s suas profundas

convices filosficas,

Einstein nunca aceitou que

Deus jogasse aos dados ! Quino

Estrutura Atmica e Molecular Q222