para que servem os números irracionais? · números irracionais os números irracionais no ensino...
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Para Que Servem Os Números Irracionais?Manifestações em Aritmética, Combinatória e Geometria
Graziele Souza Mózer1 Humberto José Bortolossi2
1Colégio Pedro II - RJ
2Universidade Federal Fluminense - RJ
VII Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática – UFAL
2 a 6 de novembro de 2014
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 1
Introdução
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 2
Números irracionais
Os números irracionais no Ensino Básico:Geometria e Equações no 8o ano do Ensino Fundamental.Funções Reais e Geometria Espacial no 1o ano do Ensino Médio.
Dificuldades em se ensinar e se aprender o assunto:Ferreira e Barros, Ripoll, Pasquini, Pommer, Santos, Souto.
Erro frenquente: “π é 3,14” e “√
3 é 1,73”É o que se se faz, no final, no cálculo de comprimentos, áreas evolumes.O aluno não se depara com situações onde ele precisa usar o fatode que π e
√3 são números irracionais.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 3
Números irracionais
Os números irracionais no Ensino Básico:Geometria e Equações no 8o ano do Ensino Fundamental.Funções Reais e Geometria Espacial no 1o ano do Ensino Médio.
Dificuldades em se ensinar e se aprender o assunto:Ferreira e Barros, Ripoll, Pasquini, Pommer, Santos, Souto.
Erro frenquente: “π é 3,14” e “√
3 é 1,73”É o que se se faz, no final, no cálculo de comprimentos, áreas evolumes.O aluno não se depara com situações onde ele precisa usar o fatode que π e
√3 são números irracionais.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 4
Números irracionais
Os números irracionais no Ensino Básico:Geometria e Equações no 8o ano do Ensino Fundamental.Funções Reais e Geometria Espacial no 1o ano do Ensino Médio.
Dificuldades em se ensinar e se aprender o assunto:Ferreira e Barros, Ripoll, Pasquini, Pommer, Santos, Souto.
Erro frenquente: “π é 3,14” e “√
3 é 1,73”É o que se se faz, no final, no cálculo de comprimentos, áreas evolumes.O aluno não se depara com situações onde ele precisa usar o fatode que π e
√3 são números irracionais.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 5
Números irracionais
Os números irracionais no Ensino Básico:Geometria e Equações no 8o ano do Ensino Fundamental.Funções Reais e Geometria Espacial no 1o ano do Ensino Médio.
Dificuldades em se ensinar e se aprender o assunto:Ferreira e Barros, Ripoll, Pasquini, Pommer, Santos, Souto.
Erro frenquente: “π é 3,14” e “√
3 é 1,73”É o que se se faz, no final, no cálculo de comprimentos, áreas evolumes.O aluno não se depara com situações onde ele precisa usar o fatode que π e
√3 são números irracionais.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 6
Números irracionais
“Se a razão entre a circunferência de um círculo e seudiâmetro fosse escrita com 35 casas decimais, isto seriasuficiente para determinar toda a circunferência do universovisível com um erro não maior do que o menor comprimentovisível no mais potente microscópio.”
Simon Newcomb (1882)
em Logarithmic and Other Mathematical Tables:with Examples of Their Use and Hints
On The Art of Computation
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Números irracionais
NOSSA PROPOSTA
Em vez de relacionar números irracionais com cálculosde perímetros, áreas e volumes ou soluções de equaçõescomo costumam fazer muitos livros didáticos, nesteminicurso procuramos dar um enfoque diferente aos númerosirracionais: apresentamos exemplos onde algo interessantee não óbvio acontece porque um determinado número éirracional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 8
Números Irracionais e Geoplanos
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 9
Geoplanos
<https://itunes.apple.com/en/app/geoboard-by-math-learning/id519896952>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 10
Jogo da classificação dos triângulos
Quem quer jogar?
<www.uff.br/cdme/jct/>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 11
Triângulos na malha quadrada
Faltou algum tipo especial de triângulo?
<http://www.geogebratube.org/student/m39903?mobile=true>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 12
√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 13
√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triânguloequilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC)
⇓
`2√
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef/2)⇓
`2√
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )⇓
√3 =
4 af − 2 (ab + cd + ef )`2
.
Contradição:√
3 é irracional e 4 af−2 (ab+cd+ef )`2
é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
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√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que taltriângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vérticesna origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦. Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α− β⇓
√3 = tg(60◦) = tg(α− β) = tg(α)− tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y(C)/x(C) ∈ Qtg(α) = y(B)/x(B) ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e tg(α)−tg(β)1+tg(α)·tg(β) é racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 36
√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Corolário: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas racionais.
Demonstração. Se, por absurdo, existisse um triângulo equiláterocom coordenadas racionais, multiplicando suas coordenadas porum número inteiro suficientemente grande, obteríamos um triânguloequilátero com coordenadas inteiras, o que contradiz o teoremaanterior.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 37
√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Corolário: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas racionais.
Demonstração. Se, por absurdo, existisse um triângulo equiláterocom coordenadas racionais, multiplicando suas coordenadas porum número inteiro suficientemente grande, obteríamos um triânguloequilátero com coordenadas inteiras, o que contradiz o teoremaanterior.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 38
√3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Corolário: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices decoordenadas racionais.
Demonstração. Se, por absurdo, existisse um triângulo equiláterocom coordenadas racionais, multiplicando suas coordenadas porum número inteiro suficientemente grande, obteríamos um triânguloequilátero com coordenadas inteiras, o que contradiz o teoremaanterior.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 39
Triângulos na malha isométrica
Quais tipos de triângulos podem ser construídos?
<http://tube.geogebra.org/student/m228141?mobile=true>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 40
√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 41
√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 42
√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 43
√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
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√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
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√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
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√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
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√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
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√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
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√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
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√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 51
√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 52
√3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vérticessobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (verfigura).
Pontos A, B, C, D, E e F : (i√
3/2, j/2), i , j ∈ Z
Medidas a, d e e: i√
3/2, com i ∈ ZMedidas b, c e f : j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
`2/2 = af − (ef/2 + cd/2 + ab/2) = (r − t)√
3⇓
√3 = (`2/2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:√
3 é irracional e (`2/2)/ (r − t) é racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 53
A vingança do triângulo equilátero
Corolário: não existe em R2 quadrado com vértices sobre os pontosde uma malha isométrica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 54
A vingança do triângulo equilátero
Corolário: não existe em R2 quadrado com vértices sobre os pontosde uma malha isométrica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 55
Quadriláteros na malha isométrica
Quais tipos de quadriláteros podem ser construídos?
<http://tube.geogebra.org/student/m228783?mobile=true>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 56
Triângulos na malha cúbica em R3
Em R3 existe um triângulo equilátero com vérticesde coordenadas inteiras
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 57
Problemas de Matar
Discriminação contra judeus nos exames orais de acessoao Departamento de Mecânica e Matemática
da Universidade Estadual de Moscou nas décadas de 1970 e 1980
Fonte:Tanya Khovanova e Alexey Radul. Killer Problems.
The American Mathematical Monthly, v. 119, n. 10, p. 815-823, 2012.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 58
Números Irracionais e Epiciclos
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 59
Números Irracionais e Epiciclos
<http://www.geogebratube.org/student/m41370?mobile=true>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 60
Trajetórias periódicas
Definição. Dizemos que uma trajetória t 7→ (x(t), y(t)) é periódicacom período T > 0 se, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = x(t)
e
y(t + T ) = y(t).
O menor T > 0, se existir, tal que x(t + T ) = x(t) e y(t + T ) = y(t)para todo t ∈ R, é denominado o período fundamental da trajetória.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 61
Números irracionais e epiciclos
Teorema:Um movimento epicíclico descreve uma trajetória periódica se,
mw2 = 0 ou a razão w1/w2 é um número racional caso w2 6= 0.
{x(t) = r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t),y(t) = r1 sen(w1t) + r2 sen(w2t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 62
Números irracionais e epiciclos
Teorema:Um movimento epicíclico descreve uma trajetória periódica se,
mw2 = 0 ou a razão w1/w2 é um número racional caso w2 6= 0.
{x(t) = r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t),y(t) = r1 sen(w1t) + r2 sen(w2t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 63
Números irracionais e epiciclos
Teorema:Um movimento epicíclico descreve uma trajetória periódica se,
mw2 = 0 ou a razão w1/w2 é um número racional caso w2 6= 0.
{x(t) = r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t),y(t) = r1 sen(w1t) + r2 sen(w2t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 64
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 65
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 66
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 67
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 68
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 69
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 70
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 71
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 72
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 73
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 74
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 75
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 76
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
r21 sen2(w1T ) = r2
2 sen2(w2T )
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 77
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
r21 [1− cos2(w1T )] = r2
2 [1− cos2(w2T )]
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 78
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T+t) =x(t) e y(T + t) = y(t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) ey(T ) = y(0). Portanto:
r1 cos(w1T ) + r2 cos(w2T ) = r1 + r2
⇓
cos(w1T ) =r1 + r2 − r2 cos(w2T )
r1=
r1 + r2 − r2ar1
r1 sen(w1T ) + r2 sen(w2T ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = −r2 sen(w2T )
⇓
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 79
Demonstração (⇒)
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
⇓r21 − (r2
1 + r22 + r2
2 a2 + 2r1r2 − 2r1r2a− 2r22 a) = r2
2 (1− a2)
⇓− 2r1r2 + 2r1r2a + 2r2
2 a = 2r22
⇓− r1 + r1a + r2a = r2
⇓r1(a− 1) = −r2(a− 1)
⇓ (r1 6= −r2)
a− 1 = 0⇓
cos(w2T ) = 1
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 80
Demonstração (⇒)
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
⇓r21 − (r2
1 + r22 + r2
2 a2 + 2r1r2 − 2r1r2a− 2r22 a) = r2
2 (1− a2)
⇓− 2r1r2 + 2r1r2a + 2r2
2 a = 2r22
⇓− r1 + r1a + r2a = r2
⇓r1(a− 1) = −r2(a− 1)
⇓ (r1 6= −r2)
a− 1 = 0⇓
cos(w2T ) = 1
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 81
Demonstração (⇒)
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
⇓r21 − (r2
1 + r22 + r2
2 a2 + 2r1r2 − 2r1r2a− 2r22 a) = r2
2 (1− a2)
⇓− 2r1r2 + 2r1r2a + 2r2
2 a = 2r22
⇓− r1 + r1a + r2a = r2
⇓r1(a− 1) = −r2(a− 1)
⇓ (r1 6= −r2)
a− 1 = 0⇓
cos(w2T ) = 1
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 82
Demonstração (⇒)
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
⇓r21 − (r2
1 + r22 + r2
2 a2 + 2r1r2 − 2r1r2a− 2r22 a) = r2
2 (1− a2)
⇓− 2r1r2 + 2r1r2a + 2r2
2 a = 2r22
⇓− r1 + r1a + r2a = r2
⇓r1(a− 1) = −r2(a− 1)
⇓ (r1 6= −r2)
a− 1 = 0⇓
cos(w2T ) = 1
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 83
Demonstração (⇒)
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
⇓r21 − (r2
1 + r22 + r2
2 a2 + 2r1r2 − 2r1r2a− 2r22 a) = r2
2 (1− a2)
⇓− 2r1r2 + 2r1r2a + 2r2
2 a = 2r22
⇓− r1 + r1a + r2a = r2
⇓r1(a− 1) = −r2(a− 1)
⇓ (r1 6= −r2)
a− 1 = 0⇓
cos(w2T ) = 1
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 84
Demonstração (⇒)
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
⇓r21 − (r2
1 + r22 + r2
2 a2 + 2r1r2 − 2r1r2a− 2r22 a) = r2
2 (1− a2)
⇓− 2r1r2 + 2r1r2a + 2r2
2 a = 2r22
⇓− r1 + r1a + r2a = r2
⇓r1(a− 1) = −r2(a− 1)
⇓ (r1 6= −r2)
a− 1 = 0⇓
cos(w2T ) = 1
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 85
Demonstração (⇒)
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
⇓r21 − (r2
1 + r22 + r2
2 a2 + 2r1r2 − 2r1r2a− 2r22 a) = r2
2 (1− a2)
⇓− 2r1r2 + 2r1r2a + 2r2
2 a = 2r22
⇓− r1 + r1a + r2a = r2
⇓r1(a− 1) = −r2(a− 1)
⇓ (r1 6= −r2)
a− 1 = 0⇓
cos(w2T ) = 1
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 86
Demonstração (⇒)
r21
[1−
(r1 + r2 − r2a
r1
)2]= r2
2 (1− a2)
⇓r21 − (r2
1 + r22 + r2
2 a2 + 2r1r2 − 2r1r2a− 2r22 a) = r2
2 (1− a2)
⇓− 2r1r2 + 2r1r2a + 2r2
2 a = 2r22
⇓− r1 + r1a + r2a = r2
⇓r1(a− 1) = −r2(a− 1)
⇓ (r1 6= −r2)
a− 1 = 0⇓
cos(w2T ) = 1
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 87
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 88
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 89
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 90
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 91
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 92
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 93
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 94
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 95
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 96
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 97
Demonstração (⇒)
cos(w2T ) = 1⇓
w2T = 2kπ, k ∈ Z⇓
r1 sen(w1T ) + r2 sen(2kπ) = 0⇓
r1 sen(w1T ) = 0⇓
sen(w1T ) = 0⇓
w1T = qπ⇓
w1
w2=
w1Tw2T
=qπ2kπ
=q2k
é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 98
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 99
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 100
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 101
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 102
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 103
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 104
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 105
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 106
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 107
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 108
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 109
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 110
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 111
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 112
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1t) + r2 e y(t) = r2 sen(w1t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y(t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetóriat 7→ (x(t), y(t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.Tome T = (2π/|w1|). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + 2π/|w1|)) + r2 = r1 cos(w1t ± 2π) + r2
= r1 cos(w1t) + r2 = x(t),y(t + T ) = r1 sen(w1(t + 2π/|w1|)) = r1 sen(w1t ± 2π)
= r1 sen(w1t) = y(t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 113
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 114
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 115
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 116
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 117
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 118
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 119
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 120
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 121
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 122
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 123
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 124
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 125
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 126
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 127
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.Aqui, w1/w2 ∈ Q, digamos, w1/w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmosinal de w2. Tome T = 2bπ/w2. Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = r1 cos(w1(t + T )) + r2 cos(w2(t + T ))
= r1 cos(w1T ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1T ) +
r2 cos(w2T ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2T )
= r1 cos(w1(2bπ/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(w1(2bπ/w2)) +
r2 cos(w2(2bπ/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(w2(2bπ/w2))
= r1 cos(2bπ(w1/w2)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(w1/w2)) +
r2 cos(2bπ(w2/w2)) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ(w2/w2))
= r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2bπ(a/b)) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(2aπ) cos(w1t)− r1 sen(w1t) sen(2aπ) +r2 cos(2bπ) cos(w2t)− r2 sen(w2t) sen(2bπ)
= r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t) = x(t).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 128
Demonstração (⇐)
Argumentos análogos mostram que y(t + T ) = y(t) para todo t ∈ R. Logo,
T = 2bπ/w2 > 0 ⇒ x(t + T ) = x(t) e y(t + T ) = y(t),∀t ∈ R.
Sendo assim, a trajetória do movimento epicíclico é periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 129
Demonstração (⇐)
Argumentos análogos mostram que y(t + T ) = y(t) para todo t ∈ R. Logo,
T = 2bπ/w2 > 0 ⇒ x(t + T ) = x(t) e y(t + T ) = y(t),∀t ∈ R.
Sendo assim, a trajetória do movimento epicíclico é periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 130
Demonstração (⇐)
Argumentos análogos mostram que y(t + T ) = y(t) para todo t ∈ R. Logo,
T = 2bπ/w2 > 0 ⇒ x(t + T ) = x(t) e y(t + T ) = y(t),∀t ∈ R.
Sendo assim, a trajetória do movimento epicíclico é periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 131
Epiciclos, Ptolomeu e movimentos aparentes
Livro Almagesto de Claudio Ptolomeu:epiciclos para explicar o movimento retrógrado aparente dos planetas
<http://www.uff.br/cdme/epiciclos/epiciclos-html/epiciclos-t-01-2c-02-br.html>
(GeoGebra)
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 132
Epiciclos e Análise de Fourier
{x(t) = r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t),y(t) = r1 sen(w1t) + r2 sen(w2t),
z(t) = x(t) + iy(t) = r1eiw1t + r2eiw2t
E se acrescentarmos mais círculos? O que podemos desenhar?
<http://tube.geogebra.org/student/m233565?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233583?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233591?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m116478?mobile=true>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 133
Epiciclos e Análise de Fourier
{x(t) = r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t),y(t) = r1 sen(w1t) + r2 sen(w2t),
z(t) = x(t) + iy(t) = r1eiw1t + r2eiw2t
E se acrescentarmos mais círculos? O que podemos desenhar?
<http://tube.geogebra.org/student/m233565?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233583?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233591?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m116478?mobile=true>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 134
Epiciclos e Análise de Fourier
{x(t) = r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t),y(t) = r1 sen(w1t) + r2 sen(w2t),
z(t) = x(t) + iy(t) = r1eiw1t + r2eiw2t
E se acrescentarmos mais círculos? O que podemos desenhar?
<http://tube.geogebra.org/student/m233565?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233583?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233591?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m116478?mobile=true>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 135
Epiciclos e Análise de Fourier
{x(t) = r1 cos(w1t) + r2 cos(w2t),y(t) = r1 sen(w1t) + r2 sen(w2t),
z(t) = x(t) + iy(t) = r1eiw1t + r2eiw2t
E se acrescentarmos mais círculos? O que podemos desenhar?
<http://tube.geogebra.org/student/m233565?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233583?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233591?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m116478?mobile=true>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 136
Números Irracionais e Espirógrafos
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 137
Números irracionais e espirógrafos
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 138
Números irracionais e espirógrafos
Hipotrocoides
x(θ) = (R − r) cos(θ) + d cos
(R − r
rθ
),
y(θ) = (R − r) sen(θ)− d sen(
R − rr
θ
).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 139
Números irracionais e espirógrafos
Hipotrocoides
x(θ) = (R − r) cos(θ) + d cos
(R − r
rθ
),
y(θ) = (R − r) sen(θ)− d sen(
R − rr
θ
).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 140
Números irracionais e espirógrafos
Hipotrocoides
x(θ) = (R − r) cos(θ) + d cos
(R − r
rθ
),
y(θ) = (R − r) sen(θ)− d sen(
R − rr
θ
).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 141
Números irracionais e espirógrafos
Epitrocoides
x(θ) = (R + r) cos(θ)− d cos
(R + r
rθ
),
y(θ) = (R + r) sen(θ)− d sen(
R + rr
θ
).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 142
Números irracionais e espirógrafos
Teorema:hipotrocoides e epitrocoides são curvas periódicas
mR/r é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 143
Números Irracionais e RepresentaçõesDecimais
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 144
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 145
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 146
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 147
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 148
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 149
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 150
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 151
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 152
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 153
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 2506?
2506 são 2 milhares, 5 centenas, 0 dezenas e 6 unidades.
2506 = 2 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 6 · 100.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 154
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 2506?
2506 são 2 milhares, 5 centenas, 0 dezenas e 6 unidades.
2506 = 2 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 6 · 100.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 155
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 2506?
2506 são 2 milhares, 5 centenas, 0 dezenas e 6 unidades.
2506 = 2 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 6 · 100.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 156
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 157
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 158
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 159
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 160
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 161
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 162
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 163
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 164
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 · 110 + 5 · 1
100 = 2 · 10100 + 5 · 1
100 = 2·10+5100 = 25
100 = 1·254·25 = 1
4 .
14 é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 165
Representações decimais finitas
Definição:
dizemos que um x ≥ 0 tem uma representação decimal finita seexistem dígitos A1, A2, . . . , An e a1, a2, . . . , am tais que:
x = A1A2 . . .An,a1a2 . . . am
= A1 · 10n−1 + A2 · 10n−2 + · · ·+ An +a1
10+
a2
102 + · · ·+ am
10m
=A1A2 . . .Ana1a2 . . . am
10m ,
com A1 6= 0 se n > 1.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 166
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,3 =3
10,
x2 = 0,33 =3
102 ,
...
xk = 0, 3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 167
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,3 =3
10,
x2 = 0,33 =3
102 ,
...
xk = 0, 3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 168
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,3 =3
10,
x2 = 0,33 =3
102 ,
...
xk = 0, 3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 169
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,3 =3
10,
x2 = 0,33 =3
102 ,
...
xk = 0, 3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 170
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,3 =3
10,
x2 = 0,33 =3
102 ,
...
xk = 0, 3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 171
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,3 =3
10,
x2 = 0,33 =3
102 ,
...
xk = 0, 3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 172
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,3 =3
10,
x2 = 0,33 =3
102 ,
...
xk = 0, 3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 173
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,3 =3
10,
x2 = 0,33 =3
102 ,
...
xk = 0, 3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 174
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 13?
xk = 0,3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k
=3 · 10k−1 + 3 · 10k−2 + · · ·+ 3 · 10 + 3
10k
=3
10+
3102 + · · ·+ 3
10k
=3/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −3/101/10−1 = 1
3 .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 175
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 13?
xk = 0,3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k
=3 · 10k−1 + 3 · 10k−2 + · · ·+ 3 · 10 + 3
10k
=3
10+
3102 + · · ·+ 3
10k
=3/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −3/101/10−1 = 1
3 .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 176
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 13?
xk = 0,3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k
=3 · 10k−1 + 3 · 10k−2 + · · ·+ 3 · 10 + 3
10k
=3
10+
3102 + · · ·+ 3
10k
=3/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −3/101/10−1 = 1
3 .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 177
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 13?
xk = 0,3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k
=3 · 10k−1 + 3 · 10k−2 + · · ·+ 3 · 10 + 3
10k
=3
10+
3102 + · · ·+ 3
10k
=3/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −3/101/10−1 = 1
3 .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 178
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 13?
xk = 0,3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k
=3 · 10k−1 + 3 · 10k−2 + · · ·+ 3 · 10 + 3
10k
=3
10+
3102 + · · ·+ 3
10k
=3/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −3/101/10−1 = 1
3 .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 179
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 13?
xk = 0,3 . . . 3︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 3︷ ︸︸ ︷3 . . . 3
10k
=3 · 10k−1 + 3 · 10k−2 + · · ·+ 3 · 10 + 3
10k
=3
10+
3102 + · · ·+ 3
10k
=3/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −3/101/10−1 = 1
3 .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 180
Representações decimais finitas
13 = 0,3 = 0,333 . . . é um exemplo de número real com expansão
decimal infinita e periódica.
Definição:dizemos que um número real x ≥ 0 tem uma representação decimalinfinita se existem dígitos A1, A2, . . . , An e a1, a2, . . . , ak , . . . tais que
x = A1A2 . . .An,a1a2 . . . ak . . . , (1)
com A1 6= 0 se n > 1 e, também, não existe p ∈ N tal que ak = 0 paratodo k ≥ p (isto é, nem todo ak é zero a partir de certo ponto).
Definição:dizemos que um número reak x possui uma representação decimalinfinita periódica se existem dígitos A1, . . . , As, b1, . . . , bm, a1, . . ., antais que
x = A1 . . .As,b1 . . . bma1 . . . an.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 181
Representações decimais finitas
13 = 0,3 = 0,333 . . . é um exemplo de número real com expansão
decimal infinita e periódica.
Definição:dizemos que um número real x ≥ 0 tem uma representação decimalinfinita se existem dígitos A1, A2, . . . , An e a1, a2, . . . , ak , . . . tais que
x = A1A2 . . .An,a1a2 . . . ak . . . , (1)
com A1 6= 0 se n > 1 e, também, não existe p ∈ N tal que ak = 0 paratodo k ≥ p (isto é, nem todo ak é zero a partir de certo ponto).
Definição:dizemos que um número reak x possui uma representação decimalinfinita periódica se existem dígitos A1, . . . , As, b1, . . . , bm, a1, . . ., antais que
x = A1 . . .As,b1 . . . bma1 . . . an.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 182
Representações decimais finitas
13 = 0,3 = 0,333 . . . é um exemplo de número real com expansão
decimal infinita e periódica.
Definição:dizemos que um número real x ≥ 0 tem uma representação decimalinfinita se existem dígitos A1, A2, . . . , An e a1, a2, . . . , ak , . . . tais que
x = A1A2 . . .An,a1a2 . . . ak . . . , (1)
com A1 6= 0 se n > 1 e, também, não existe p ∈ N tal que ak = 0 paratodo k ≥ p (isto é, nem todo ak é zero a partir de certo ponto).
Definição:dizemos que um número reak x possui uma representação decimalinfinita periódica se existem dígitos A1, . . . , As, b1, . . . , bm, a1, . . ., antais que
x = A1 . . .As,b1 . . . bma1 . . . an.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 183
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,9 =9
10,
x2 = 0,99 =9
102 ,
...
xk = 0, 9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 9
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 184
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,9 =9
10,
x2 = 0,99 =9
102 ,
...
xk = 0, 9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 9
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 185
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,9 =9
10,
x2 = 0,99 =9
102 ,
...
xk = 0, 9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 9
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 186
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,9 =9
10,
x2 = 0,99 =9
102 ,
...
xk = 0, 9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 9
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 187
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,9 =9
10,
x2 = 0,99 =9
102 ,
...
xk = 0, 9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 9
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 188
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,9 =9
10,
x2 = 0,99 =9
102 ,
...
xk = 0, 9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 9
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 189
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,9 =9
10,
x2 = 0,99 =9
102 ,
...
xk = 0, 9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 9
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 190
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite daseguinte sequência:
x1 = 0,9 =9
10,
x2 = 0,99 =9
102 ,
...
xk = 0, 9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 9
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k .
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 191
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
xk = 0,9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k
=9 · 10k−1 + 9 · 10k−2 + · · ·+ 9 · 10 + 9
10k
=9
10+
9102 + · · ·+ 9
10k
=9/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −9/101/10−1 = 1.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 192
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
xk = 0,9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k
=9 · 10k−1 + 9 · 10k−2 + · · ·+ 9 · 10 + 9
10k
=9
10+
9102 + · · ·+ 9
10k
=9/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −9/101/10−1 = 1.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 193
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
xk = 0,9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k
=9 · 10k−1 + 9 · 10k−2 + · · ·+ 9 · 10 + 9
10k
=9
10+
9102 + · · ·+ 9
10k
=9/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −9/101/10−1 = 1.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 194
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
xk = 0,9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k
=9 · 10k−1 + 9 · 10k−2 + · · ·+ 9 · 10 + 9
10k
=9
10+
9102 + · · ·+ 9
10k
=9/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −9/101/10−1 = 1.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 195
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
xk = 0,9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k
=9 · 10k−1 + 9 · 10k−2 + · · ·+ 9 · 10 + 9
10k
=9
10+
9102 + · · ·+ 9
10k
=9/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −9/101/10−1 = 1.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 196
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
xk = 0,9 . . . 9︸ ︷︷ ︸k dígitos 3
=
k dígitos 9︷ ︸︸ ︷9 . . . 9
10k
=9 · 10k−1 + 9 · 10k−2 + · · ·+ 9 · 10 + 9
10k
=9
10+
9102 + · · ·+ 9
10k
=9/10 · ((1/10)k − 1)
1/10− 1.
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para −9/101/10−1 = 1.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 197
Números irracionais e representações decimais
0,9 = 1
Moral 1:0,9 = 1 possui uma representação decimal finita e uma
representação decimal infinita periódica.
Moral 2:existem números reais que possuem duas representações decimais
diferentes!
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 198
Números irracionais e representações decimais
0,9 = 1
Moral 1:0,9 = 1 possui uma representação decimal finita e uma
representação decimal infinita periódica.
Moral 2:existem números reais que possuem duas representações decimais
diferentes!
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 199
Representações decimais finitas
Mais uma vez:
A1A2 . . .An,a1a2 . . . ak . . . .
é uma notação o número real x que é o limite da sequência (xk )definida por
x1 = A1A2 . . .An,a1 = A1A2 . . .An +a1
10,
x2 = A1A2 . . .An,a1a2 = A1A2 . . .An +a1a2
100,
x3 = A1A2 . . .An,a1a2a3 = A1A2 . . .An +a1a2a3
1000,
...xk = A1A2 . . .An,a1a2 . . . ak = A1A2 . . .An +
a1a2 . . . ak
10k .
[Por que o limite existe?]
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 200
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
0,1010010001 . . .
k zeros︷ ︸︸ ︷0 . . . 0 1 . . . é uma notação para o número real x
que é limite da seguinte sequência de números racionais:
x1 = 0,1,x2 = 0,10,x3 = 0,101,x4 = 0,1010,x5 = 0,10100,x6 = 0,101001,
...
x é um número real que possui representação decimal infinitae não periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 201
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
0,1010010001 . . .
k zeros︷ ︸︸ ︷0 . . . 0 1 . . . é uma notação para o número real x
que é limite da seguinte sequência de números racionais:
x1 = 0,1,x2 = 0,10,x3 = 0,101,x4 = 0,1010,x5 = 0,10100,x6 = 0,101001,
...
x é um número real que possui representação decimal infinitae não periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 202
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
0,1010010001 . . .
k zeros︷ ︸︸ ︷0 . . . 0 1 . . . é uma notação para o número real x
que é limite da seguinte sequência de números racionais:
x1 = 0,1,x2 = 0,10,x3 = 0,101,x4 = 0,1010,x5 = 0,10100,x6 = 0,101001,
...
x é um número real que possui representação decimal infinitae não periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 203
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸k zeros
1 . . .?
0,1010010001 . . .
k zeros︷ ︸︸ ︷0 . . . 0 1 . . . é uma notação para o número real x
que é limite da seguinte sequência de números racionais:
x1 = 0,1,x2 = 0,10,x3 = 0,101,x4 = 0,1010,x5 = 0,10100,x6 = 0,101001,
...
x é um número real que possui representação decimal infinitae não periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 204
Números irracionais e representações decimais
Todo número real x possui uma representação decimal?
Resposta: sim!
Demonstração: Mózer (2013) seguindoAn Introduction to the Theory of Numbers de Hardy, Wright,
Heath-Brown e Silverman, 2009.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 205
Números irracionais e representações decimais
Todo número real x possui uma representação decimal?
Resposta: sim!
Demonstração: Mózer (2013) seguindoAn Introduction to the Theory of Numbers de Hardy, Wright,
Heath-Brown e Silverman, 2009.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 206
Números irracionais e representações decimais
Todo número real x possui uma representação decimal?
Resposta: sim!
Demonstração: Mózer (2013) seguindoAn Introduction to the Theory of Numbers de Hardy, Wright,
Heath-Brown e Silverman, 2009.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 207
Números irracionais e representações decimais
<http://www.uff.br/cdme/edn/>
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 208
Números irracionais e representações decimais
Teorema:um número real x é irracional
mx possui uma representação decimal que é infinita e não periódica.
Teorema:um número real x é racional
mx possui uma representação decimal finita ou infinita periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 209
Números irracionais e representações decimais
Teorema:um número real x é irracional
mx possui uma representação decimal que é infinita e não periódica.
Teorema:um número real x é racional
mx possui uma representação decimal finita ou infinita periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 210
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2
9 90
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 211
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2
9 90
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 212
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2
9 90
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 213
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2
9 90
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 214
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2
9 90
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 215
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2 0−9 92 1
9 90,1
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 216
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2 0−9 92 1 0−1 9 8
1 2
9 90,1 2
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 217
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2 0−9 92 1 0−1 9 8
1 2
9 90,1 2
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 218
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2 0−9 92 1 0−1 9 8
1 2
9 90,1 2
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 219
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0,1[. Se x ∈ Q, entãox = p/q, com p,q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtémuma sequência (xk ) de números racionais com representação decimalfinita que converge para x :
x1 = 0,a1,
x2 = 0,a1a2,
x3 = 0,a1a2a3,...
p qr1 0,a1a2a3r2r3
1 2−0
1 2 0−9 92 1 0−1 9 8
1 2
9 90,1 2
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, peloPrincípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Comisto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 220
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 221
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 222
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 223
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 224
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 225
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 226
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 227
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 228
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 229
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0,1[ um número real que possui uma representação decimalfinita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escreverx = 0,a1a2...an, com a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Assim,
x =a1
10+
a2
102 + · · ·+ an
10n =a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · ·+ an
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e perió-dica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1b2...bma1a2...an,
com b1, . . . , bm, a1, . . . , an ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 230
Demonstração (⇐)
x = 0,b1b2...bma1a2...an
=b1
10+
b2
102 + · · ·+ bm
10m
+a1
10m+1 +a2
10m+2 + · · ·+ an
10m+n
+a1
10m+n+1 +a2
10m+n+2 + · · ·+ an
10m+2n
+a1
10m+2n+1 +a2
10m+2n+2 + · · ·+ an
10m+3n
+ · · ·
+a1
10m+(k−1)n+1 +a2
10m+(k−1)n+2 + · · ·+ an
10m+kn + · · ·
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 231
Demonstração (⇐)
x =
b︷ ︸︸ ︷b1.10m−1 + b2.10m−2 + · · ·+ bm
10m
+
a︷ ︸︸ ︷a1.10n−1 + a2.10n−2 + · · ·+ an
10m+n
+
a︷ ︸︸ ︷a1.10n−1 + a2.10n−2 + · · ·+ an
10m+2n
...
+
a︷ ︸︸ ︷a1.10n−1 + a2.10n−2 + · · ·+ an
10m+kn + · · ·
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 232
Demonstração (⇐)
x =b
10m +a
10m+n
(1 +
110n +
1102n + · · ·+ 1
10(k−1)n + · · ·)
=b
10m +a
10m+n ·1
1− 110n
=b
10m +a
10m+n ·10n
10n − 1
=b
10m +a
10n − 1· 1
10m =b (10n − 1) + a10m(10n − 1)
.
Observe que tanto o numerador quanto o denominador de x sãointeiros. Logo, x é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 233
Demonstração (⇐)
x =b
10m +a
10m+n
(1 +
110n +
1102n + · · ·+ 1
10(k−1)n + · · ·)
=b
10m +a
10m+n ·1
1− 110n
=b
10m +a
10m+n ·10n
10n − 1
=b
10m +a
10n − 1· 1
10m =b (10n − 1) + a10m(10n − 1)
.
Observe que tanto o numerador quanto o denominador de x sãointeiros. Logo, x é um número racional.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 234
Números Irracionais e Representações Decimais
Interpretação Geométrica
T (x) =
10x , se 0 ≤ x < 1/10,10x − 1, se 1/10 ≤ x < 2/10,10x − 2, se 2/10 ≤ x < 3/10,10x − 3, se 3/10 ≤ x < 4/10,10x − 4, se 4/10 ≤ x < 5/10,10x − 5, se 5/10 ≤ x < 6/10,10x − 6, se 6/10 ≤ x < 7/10,10x − 7, se 7/10 ≤ x < 8/10,10x − 8, se 8/10 ≤ x < 9/10,10x − 9, se 9/10 ≤ x < 1.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 235
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 236
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 237
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 238
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 239
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 240
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 241
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 242
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 243
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0,1), considere a sequência:
a0 = a,a1 = T (a),a2 = T 2(a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),a3 = T 3(a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),a4 = T 4(a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
...ak = T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )︸ ︷︷ ︸
k−1 composições
(a).
...
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 244
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 245
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 246
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 247
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 248
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 249
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 250
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 251
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 252
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 253
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 254
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 255
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 256
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 257
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 258
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0 = a = 0,138;a1 = T (a) = 0,38138;a2 = T 2(a) = 0,8138;a3 = T 3(a) = 0,138;a4 = T 4(a) = 0,38138;a5 = T 5(a) = 0,8138;a6 = T 6(a) = 0,138;a7 = T 7(a) = 0,38138;a8 = T 8(a) = 0,8138;
......
a3k = T 3k (a) = 0,138;a3k+1 = T 3k+1(a) = 0,38138;a3k+2 = T 3k+2(a) = 0,8138.
......
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 259
Números Irracionais e Representações Decimais
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é finito, uma vez quepossui apenas três elementos: 0,138; 0,38138 e 0,8138.
Uma forma de representar graficamente a sequência (an) émarcar os pares ordenados do tipo
(ak ,ak+1) = (T k (a),T k+1(a))
no plano cartesiano. Assim, na Iteração 1 por exemplo, come-çamos pelo ponto
(a0,a1) = (a,T (a)) = (0,138;0,38138).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 260
Números Irracionais e Representações Decimais
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é finito, uma vez quepossui apenas três elementos: 0,138; 0,38138 e 0,8138.
Uma forma de representar graficamente a sequência (an) émarcar os pares ordenados do tipo
(ak ,ak+1) = (T k (a),T k+1(a))
no plano cartesiano. Assim, na Iteração 1 por exemplo, come-çamos pelo ponto
(a0,a1) = (a,T (a)) = (0,138;0,38138).
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 261
Números Irracionais e Representações Decimais
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 262
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 263
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 264
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 265
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 266
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 267
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 268
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 269
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 270
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 271
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 272
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 273
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 274
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =√
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0,1).
a0 = a = 0,1414213562 . . . ;a1 = T (a) = 0,414213562 . . . ;a2 = T 2(a) = 0,14213562 . . . ;a3 = T 3(a) = 0,4213562 . . . ;a4 = T 4(a) = 0,213562 . . . ;a5 = T 5(a) = 0,13562 . . . ;a6 = T 6(a) = 0,3562 . . . ;a7 = T 7(a) = 0,562 . . . ;a8 = T 7(a) = 0,62 . . . ;
...ak = T k (a);
...
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 275
Números Irracionais e Representações Decimais
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 276
Números Irracionais e Dissecções
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 277
Números irracionais e dissecções
É sempre possível decompor um retângulo em quadrados?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 278
Números irracionais e dissecções
É sempre possível decompor um retângulo em quadrados?
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 279
Números irracionais e dissecções
Retângulo perfeito de Zbigniew Morón
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 280
Números irracionais e dissecções
Retângulo perfeito de Zbigniew Morón
VII Bienal da SBM Para Que Servem Os Números irracionais? 281
Números irracionais e dissecções
Teorema:um retângulo pode ser decomposto em quadrados
ma razão das medidas dos seus lados é um número racional
Demonstração: Proofs from the Book de M. Aigner e G. M. Ziegler, p. 173-177, 2010.
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Números irracionais e dissecções
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Números Irracionais e Bilhares
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Números irracionais e bilhares
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Números irracionais e bilhares
Para que valores de θ a bola irá encaçapar?
Teorema:a bola irá encaçapar se, e somente se, tg(θ) é racional.
Demonstração: Bilhares de Inteiros de António Saraiva, SPM, v. 47, p. 1-31, 2007.
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Números irracionais e bilhares
Para que valores de θ a bola irá encaçapar?
Teorema:a bola irá encaçapar se, e somente se, tg(θ) é racional.
Demonstração: Bilhares de Inteiros de António Saraiva, SPM, v. 47, p. 1-31, 2007.
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FIM
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Graziele S. Mózer – gramozer@gmail.com
Humberto J. Bortolossi – hjbortol@vm.uff.br
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