análisis de armónicos y su reducción por filtros
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ANALISIS DE ARMONICOS Y SUREDUCCION POR FILTROS
REINALDO PEÑA PERAFANIDELBER ROMERO SASTOOUE
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02L809
CORPORACION UNIVERSITARIAAUTONOMA DE OCCIDENTE
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICASANTIAGO DE CALI
1996
Trabajo de Grado presentado como requisltoparcial para optar altftulo de ingenlero electrlcieta.
ANALISIS DE ARMONICOS Y SUREDUCCION POR FILTROS
REINALDO PEÑA PERAFANIDELBER ROMERO SASTOQUE
DirectorLuis Eduardo Aragón Rangel.
l.E. M. Sc.
CORPORACION UNIVERSITARIAAUTONOMA DE OCC¡DENTE
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICASANTIAGO DE CALI
1 996
Nota de aceptaclón
Aprobado por el comite de grado
en cumpllmiento de los
requlsitos exlgldos por la
corporación un lvereitariaAutonoma de Occldente para
optar al tftulo de ingenlero
electricista.
Presidente del Jurado
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ir-iY
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oI ,(s4ff t ql¡' ,?l
AGRADECIMIENTOS
^ Los autores expresan sus agradecimientos a:v\lchllN Luis Eduardo Aragón Rangel, l.E, M. Sc, Profesor del Area de sistemas
¡ de potencia de la Corporación Universitaria Autónoma de Occidente y
I Director del trabajo.-ó
l'lFreddy Naranjo, l.E.
{;i!-! gdison Velez Delgado, l.E.\
C Todas aquellas personas que en una u otra forma colaboraron en la. .(:
I realización del presente trabajo...
.qL'
<)
ú
TI(Lrú
CONTENIDO
INTRODUCCION
1. MODELAMIENTO DE LA IMPEDANCIA ENSISTEMAS DE POTENCIA
Pág.
1
3
12
13
13
'14
17
18
18
18
20
1.1
1.1.1
'1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.2.
1.2.1
'1.2.1.1
1.2.1.2
1.2.2
1.2.3
1.2.3.1
1.2.3.2
1.2.4
DESARROLLO DE MODELOS PARA LOS ELEMENTOSDE UNA RED 5
Transformadores s
Lineas de transmisión
Generadores
Modelos para cargas
MODELAMIENTO DE LA IMPEDANCIA EN ELDOMINIO DEL TIEMPO
Representación de un sistema monofásico y trifásico
Sistema Lineal una sola variable
Sistema lineal multivariable
Asumción de la estructura del modelo
Determinación de los parámetros del modelo
Modelo Monofásico
Modelo trifásico
Representación de la conversión de los modelos
9
9
1.2.4.1
1.2.4.2
1.2.5
1.2.5.1
1.2.5.2
1.2.5.3
1.2.6
2.
2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.2.1
2.3.2.2
2.3.2.3
2.3.2.4
2.4
2.4.1
2.4.2
2.5
Conversión de un modelo monofásico en espaciode estado discreto en el tiempo a contínuo 20
Conversión de un modelo trifásico en espacio deestado discreto en el tiempo a continuo 26
Selección del modelo
Criterio de estabilidad
Criterio de realizabilidad
Criterio de estimación de error
Estimación de la función de transferencia
ANALISIS DE ARMONICOS
OBJETIVOS DE UN ESTUD¡O DE ARMONICOS
CUANDO ES NECESARIO UN ESTUDIO DEARMONICOS
TEORIA GENERAL
Qué son los armónicos
Resonancia
Resonancia Paralelo
Resonancia Serie
Condiciones para un voltaje resonante
Predicción de una condición de resonancia
FU NDAMENTOS MATEMATICOS
Series de Fourier
29
30
31
28
28
28
28
33
33
33
uu37
38
40
Q
NAnálisis de la forma de onda para determinarla serie de Fourier 44
METODOLOGIA PARA LA EVALUACION ARMONICA 53
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
2.6
2.7
2.8
3.
3.1
3.1.1
3.1.1.1
3.1.1.2
3.1.2
3.1.3
3.1.3.1
3.1.3.2
3.2
3.2.1
3.2.2
3.3
3.3.1
3.3.2
Funciones muestreadas en el tiempo
Transformada discreta de Fourier
Otra forma de interpretar la transformada discreta
Transformada rápida de Fourier
EVALUACION DE LA DISTORSION EN LA FORMADE ONDA
EVALUACION DEL PROBLEMA ARMONICO
MEDIDAS REMEDIALES
DIMENSIONAMIENTO DE FILTROS
FILTROS Y CONFIGURACIONES
Tipo de filtros amortiguados
Simple filtro sintonizado
Filtro Doble Sintonizado
Ventajas y Desventajas de los filtros amoftiguados
Propiedades de las componentes de un filtro
Capacitores
lnductores
METODOLOGIA DEL DIMENSIONAMIENTO DELFILTRO
Dimensionamiento del Filtro
Consideraciones para el dimensionamiento
ECUACIONES DE DISEÑO PARA FILTROSPARALELO SINTONIZADO
Filtro paralelo sintonizado
Ecuaciones de diseño del filtro simple sintonizado
53
il58
61
66
70
72
74
75
79
80
81
83
uu86
90
90
92
86
87
99
3.3.3
3.4
3.5
3.6
3.6.1
3.6.2
3.7
3.7.1
3.7.1.1
3.7.1.2
3.7.1.3
3.7.2
3.7.2.1
3.7.2.2
3.7.2.3
3.8
3.9
3.9.1
3.9.2
3.9.3
3.9.4
3.9.5
3.9.6.
Consideraciones de Diseño
ECUACIONES DEL FILTRO PASA ALTO
DISEÑO DEL MINIMO FILTRO
NIVELES DE LAS COMPONENTES DE UN FILTRO
Capacitores
Reactor
ASPECTOS DE COSTOS EN EL DISEÑO DEFILTROS
Filtro simple sintonizado
Capacitor
lnductor
Las pérdidas totales
Filtro pasa alto
Niveles delcapacitor
Nivel del inductor
Pérdida de potencia
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA METODOLOGIA
FUNCIONES Y PROGMMAS PARA MATLAB
Obtención de los parámetros por mlnimos cuadrados
Obtención de los valores propios y vectores propios
Obtención de la Función de transferencia
Respuesta a la Frecuencia
96
99
100
100
102
103
105
106
107
107
109
109
110
111
114
116
116
116
116
116
Programa para la transformada discreta de Fourier 116
Programa para magnitud de los armónicos 112
3.9.7. Obtención del THD (|THD y/O VTHD)
4 CONCLUSIONES
5 REFERENCIAS
BIBLlOGRAFIA
ANEXOS
117
118
121
124
RESUMEN
Este proyecto pretende apropiar una metodología que conduzca al
dimensionamiento de filtros, como medida remedial para reducir los armónicos
mas nocivos presentes en sistemas eléctricos de potencia.
El proyecto partirá del análisis y correspondiente estudio de un método para el
modelamiento de la impedancia de sistemas de potencia en el dominio del
tiempo, con base en mediciones discretas de corriente y voltaje Una \rez
conocida la impedancia del sistema se realizara un análisis de armónicosutilizando la transformada discreta de Fourier, con el fin de determinar losarmónicos presentes de mayor magnitud y se evaluar con la impedancia para
conocer las peores condiciones armónicas.
Realizado este análisis se presentaran algunas medidas remediales al problema
y finalmente se profundizara en el dimensionamiento de filtros, por ser este unode los métodos mas eficaces para reducir los armónicos en sistemas depotencia.
Por contener el proceso descrito anteriormente, cálculos e
obtener resultados , se escogerá un programa de computador
en el procesamiento de la correspondiente información.
iteraciones para
, para ser usado
INTRODUCCION
Con el creciente incremento en el uso de dispositivos semiconductores
tales como, rectificadores, controladores de velocidad, cambiadores de
frecuencia, en menor escala hornos de arco y en general cargas de
compoñamiento no lineal, se ha acrecentado la presencia de armónicos
en los sistemas de potencia originando problemas tales como daños en
los fusibles, sobrecarga en las líneas, recalentamiento de equipos,
daños en los mismos y fluctuaciones en el nivel de voltaje en
consumidores cercanos a fuentes generadoras de armónicos, entre
otros. Estos problemas presentes en algunas industrias locales han
dado pie para la elaboración de este trabajo el cuar expone una
metodología para la evaluación análisis y posibles soluciones al
problema.
El proyecto ha seguido una línea de investigación iniciada con el trabajo
"Estudio de Armónicos y sus Métodos de Reducción en Sistemas de
Potencia" (Tesis Ingeniero Electricista, CUAO Cali, 1gg4). t1l
La base de la investigación se ha centrado en documentos presentados
a la sociedad IEEE, así como textos y publicaciones sobre el particular.
El método investigado incorpora la modelación de impedancias en el
dominio del tiempo, con base en mediciones discretas de corriente y
2
voftaje en el sitio para el cual se va a realizar el análisis y posible
supresión armónica. Este método cobra importancia ya que se puede
modelar el sistema bajo diferentes condiciones y niveles de carga.
El proceso de cálculo y análisis de la información fue llevado a cabo
mediante el uso del programa Mat-lab [2] dada su gran capacidad y
adaptabilidad en el manejo de matrices.
1. MODELAMIENTO DE LA IMPEDANCIAEN SISTEMAS DE POTENCIA
Este capítulo está dedicado al modelamiento de la impedancia de
dispositivos de una red eléctrica. El modelamiento de la impedancia es de
gran importancia cuando se habla de estudios de transitorios, armónicos,
diseños de filtros para armónicos y en general per{urbaciones que puedan
originar mal funcionamiento de los equipos.
El análisis y evaluación de posibles soluciones a la presencia de corrientes
armónicas en un sistema de potencia requiere un modelo de impedancia
con el cual se pueda simular el sistema en varias frecuencias. Esto con el
fin de conocer la resonancia natural del sistema y si ésta frecuencia de
resonancia natural del sistema está próxima a un armónico presente en la
red, lo cual originaría una condición de resonancia. La condición de
resonancia en un sistema se origina por la presencia de bancos de
condensadores que normalmente están dispuestos en los sistemas para
corregir el factor de potencia o por cualquiera de las siguientes situaciones:
- Salida de unidades en bancos de condensadores.
- Inclusión de filtros para armónicos.
- cambios en la configuración del sistema o expansión del mismo.
4
- Cambios en la configuración del sistema o expansión del mismo.
La resonancia en un sistema causa sobrevoltajes y aumento de las
corrientes presentes en los equipos. Los efectos de estas anomalías en el
sistema ocasionan sobrecalentamiento en equipos, daños en los fusibles,
mal funcionamiento y pérdidas.[1], [3].
El análisis de los armónicos así como las herramientas usadas para su
estudio y modelos para encontrar las magnitudes de los armónicos serán
tratadas en el capítulo 2.
Aquí puede verse la importancia del modelo de impedancia que debe ser
evaluado a las diferentes frecuencias para poder conocer los posibles
puntos de resonancia. Un modelo no acertado de impedancia arrojaría
puntos equivocados de resonancia y las soluciones a tomar no serían las
más optimas.
Los modelos de impedancias para sistemas de potencia pueden ser
monofásicos o trifásicos. Los modelos monofásicos son indicados para
sistemas de potencia balanceados y con pocos elementos, normalmente los
dispositivos de la red considerados pasivos y lineales, se representan
mediante modelos individuales para cada elemento. Esto implica el
conocimiento de sus parámetros [4]. Los modelos trifásicos son indicados
para sistemas no balanceados y en su mayoría requieren del conocimiento
de los parámetros de los elementos del sistema y el uso de componentes
simétricas. [5, 6, 4. Los elementos de una red para el estudio de armónicos
5
pueden ser modelados de la siguiente forma.
1.1 DESARROLLO DE MODELOS PARA LOS ELEMENTOS DE UNA
RED.
Para evaluar los elementos de un sistema, puede desarrollarse un modelo
dependiente de la frecuencia para cada elemento de la red.
1.1.1 Transformadores. Como las frecuencias de resonancia internas en
transformadores de potencia de alta tensión ocurren por encima de los
rangos de interés, que para el estudio de penetración de armónicos son
menores a 3 KHz, las capacitancias entre devanados y capacitancia a tierra
de los transformadores tienen muy poco efecto sobre la exactitud de los
resultados. Pruebas ejecutadas en transformadores de extra alta tensión
reportadas en la referencia [8], muestran que la primer resonancia ocurre en
los rangos deTKHz a 1SKHz, así, las capacitancias no son consideradas en
los modelos para transformadores.
El cálculo de la resistencia depende de la frecuencia, ya que las pérdidas
en el hierro se incrementan con la frecuencia debido al efecto piel. La Fig.
1.1 muestra el cambio de valores de la resistencia e inductancia en
multiplos de 50 Hz.
6
EoEE=L.oc¡-
-)
E(DEC,
=Loo-d.
o.2
0.1
2 4 6 € t0
f (Hz x 5O)
0.32
0.31
o2466f (Hz x 50)
Modetos det transfor."olP¿"t;lndiendo de ta frecuenciaen multiplos de 50H, para R y L en P.U.
Asumiendo que los transformadores no son operados en saturación, las
representaciones para involucrar las pérdidas son mostradas en la tig. 1.2.
En la figura 1.2.(a), x 50 son las pérdidas de inductancia a 50H2. En la
figura 1.2.(b), R= 0.1026 Kh X 50 (J+h) donde J es la relación de histéresis
para pérdidas por corrientes tomando el valor de 3 para aceros al silico, h
es el orden armónico y K= 1/(J+1). En la fig. 1.2 (c) g0 < V2 /SRs < 110 y
13 < sRp I v2 < 30, siendo s la razón de potencia der transformador.
Valores Típicos (por unidad) de Rs y Ro son 0,04 y 60 para un transformador
de 30 MVA y de 0,01 y 20 para el caso de un transformador de 100 MVA [6].
Como el efecto de magnetización no lineal en los transformadores se
considera de importancia, las corrientes armónicas de magnetización
podrían ser calculadas y representadas como fuentes de inyección de
corriente.
t0
JhX5e
7
R JhX5s
(b)
Jh Xso
(c)Fig. 1.2
Modelos de transformadores para análisie de armónicos
1.1.2 Líneas de transmisión. Las ecuaciones básicas de este modelo
pueden ser entendidas con la ayuda de la Figura 1.3 que ilustra dos
conductores horizontales sobre tierra. Los dos conductores pueden ser dos
fases de una línea, un conductor de una fase y un conductor de protección.
La impedancia serie propia de un conductor es:
Zs=r+ re+ j(Wp /2n)tn(De/d) [Onrlr] (1 .1 )
La impedancia seríe mutua entre dos conductores es:
Zm + re + j (Wp | 2n) tn (De /D) [On. I r]
donde:
r: Resistencia del conductor en [Onm I m]
re: W¡r /8 [Onr I r]
(1.2)
8
O: Distancia de separación entre conductores.
d: Radio medio geométrico del conductor.
De = 6sB J7lrc m
f Frecuencia en hertz.
(' Resistividad de la tierra "n [Onr - r]
W: Frecuencia angular.
p: Permeabilidad del espacio libre
(1.3)
oo
"/,/,/,/,/./,/,/,/ / /,/,/,/,/,/,/,/,/,/
Fig. 1.3. Dos conductores respecto a tlerra.
La impedancia propia en paralelo de un conductor es dada por:
z: | 2h\4'> - iw2ttE ln\¡-l(1.4)
La impedancia paralelo mutua entre los dos conductores es dada por:
Z! - -l-
,- /-L'\L"' - jw 2trE In \ l¡ / (1.5)
donde:
a: Radio del conductor.
h: Altura del conductor.
D1: Distancia entre el conductor 1 y la imagen del conductor 2 con
Respecto a la supedicie de la tierra.
E: Permeabilidad del espacio libre.
9
Las líneas de potencia se suponen efectivamente aterrizadas. Esto
obedece a la suposición de los conductores neutros y de protección con un
potencial cero.
1.1.3 Generadores. Cuando las corrientes armónicas fluyen de la red al
interior del devanado del estator en un generador, ello crea un campo
ratacional con una velocidad mayor que la velocidad del rotor. Así las
corrientes armónicas en las inductancias de los ejes en cuadratura y directo
son muy similares a Ia acción de las corrientes de secuencia negativa en
las máquinas sincrónicas. La inductancia de secuencia negativa y por ende
las corrientes armónicas puede ser aproximado por:
, Lttd * ütqt=-
donde:
L11d: Inductancia subtransitoria en el eje directo.
L11q: Inductancia subtransitoria en el eje de cuadratura.
1.1.4 Modelos para cargas. por el uso de valores específicos de lademanda de potencia real y reactiva a 50 Hz, p50 y eso, una impedancia
puede ser evaluada para cada frecuencia, los modelos de carga
considerados son:
l' R = vt ;P50 ' x= Y' g
Qso
r*(l.l)'R jr'
(1.6)
llhnll¡d A¡ttnen¡ dr OoclartsEcctoN BrEr-toTtcA
l=Zn
donde K=0.1 h+0.9
V'2.
h es el orden del armónico y V es el voltaje nominal.
basados en lo expuesto en la referencia [9].
10
Estos modelos están
y bancos de condensadores son
con inductancias o capacitancias
variar directa o indirectamente con
R= x = --U-Qs0Ps0
l_-LN
I _ l-*J_7n- R jx
1* I
R jht
3. R= VtPs0
x= =Vt gQso
Otros elementos como inductores
asumidos como elementos puros
constantes. Esto es, ellos podrían
frecuencia.
Los modelos de impedancia de los elementos individuales de una red
eléctrica son usados para calcular las impedancias armónicas de interés y
poder calcular el flujo de armónicos en determinados puntos de una red
eléctrica.
Otro de los usos de los modelos de impedancia armónicos es el diseño de
filtros y bancos de condensadores en la presencia de corrientes armónicas.
Aquí la inclusión de estos dispositivos puede causar resonancias entre el
filtro o banco de condensadores y la impedancia vista por estos
11
dispositivos, el valor de esta impedancia en un tiempo dado depende de la
configuración, nivel de carga, y condiciones de operación del sistema en el
tiempo. Como el sistema en estado de operación está siempre cambiando,
la impedancia vista por el bus donde va a ser incluido un filtro o un banco
de condensadores estará siempre cambiando con el tiempo. Así las
condiciones de resonancia entre el filtro o banco de condensadores y el
sistema estarán siempre cambiando con el tiempo. El orden para analizar
el funcionamiento del filtro incluye ajustes de sus parámetros apropiados
con los cambios en el sistema, aquí es deseable que la impedancia pueda
ser actualizada con los cambios del sistema. También el diseño y análisis
de filtros requiere considerar la naturaleza desbalanceada de los
impedancias trifásicas para representar apropiadamente el sistema de
distribución. Así un modelo de impedancia obtenido en el dominio del
tiempo a partir de mediciones directas realizadas sobre el sistema será mas
optimo para el diseño de filtros o bancos de condensadores. Aquí también
es necesario estimar modelos de impedancias trifásicas a múltiples
frecuencias para sistemas de potencia y dispositivos de la red.
Los modelos de los dispositivos individuales descritos anteriormente
presentan poca flexibilidad a los cambios del sistema, además requieren el
conocimiento de todos sus parámetro y configuraciones del sistema. Otro
de los problemas es la naturaleza desbalanceada de los sistemas de
potencia que no pueden ser representados adecuadamente mediante
modelos monofásicos o la asumción de modelos trifásicos balanceados.
En este texto se empleará un método de identificación del sistema en el
12
dominio de! tiempo para la estimación de la impedancia del sistema.
Este método puede dar la posibilidad de ser usado en una simple fase o en
un sistema trifásico desbalanceado.
1.2. MODELAMIENTO DE LA IMPEDANCIA EN EL DOMINIO DEL
TIEMPO.
El método considera la red a ser modelada como un sistema de múltiples
entradas con múltiples salidas (MIMO), cuya función de transferencia es
evaluada.
Un modelo autoregresivo es usado para la modelación del sistema en el
dominio de tiempo discreto, los parámetros del modelo autoregresivo son
determinados de la mediciones discretas de voltaje y corriente, sobre la
linea.
La estructura de un modelo autoregresivo es determinado de acuerdo a una
predicción con un mínimo de error y es seleccionado de un orden
razonable del modelo, ya que ordenes elevados podran ocupar mucho
espacio en la memoria del computador.
Entonces, este modelo autoregresivo es convertido a un modelo de espacio
de estado discreto en el tiempo y luego a un modelo de espacio de estado
continuo en el tiempo y la función de transferencia es obtenida por la
aplicación de la transformada de L'aplace en el modelo de espacio de
estado continuo en el tiempo, esto con el fin de hallar finalmente la
impedangia del sistema.
13
1.2.1 Representación de sistemas monofásico y trifásico. El
procedimiento para modelar el sistema utiliza mediciones de entrada
(corriente) y salida (voltaje) para estimar la función de transferencia
(impedancia) para el sistema. El método puede ser usado en sistemas
monofásicos, trifásicos y multivariable [10], [1 1] y [12].
1.2.1.1 Sistema Lineal una sola variable. Considerando un sistema con
una sola entrada y una sola salida que sería el caso para un sistema
monofásico. El sistema se puede representar de la siguiente manera:
u(k) v(k)TLa representación de la función de transferencia en
discreto se describe por la siguiente ecuación:
= b,Zt + br2' +.........+ bnZ q
1- arz'- or/'
Fig. 1.2.1
dominio del tiempo
VoUo - Q^ZP (1.2.1)
Donde
q: es el orden del numerador
p: es el orden del denominador
z: Operador en el dominio discreto (z= est, representación de sistemas
discretos por medio de la transformada Z.) Í101, [19], [14].
Usando la ecuación (1.2.1) Siendo K el indicador de la medida de salida,
Y(k) como una función de la entrada y una salida (anterior previa) puede
escribirse como:
En forma matricial, la relación queda:
l- -1 t-
lYt*l I lYtr-r) Y(r-z) ......Y(r-p) U1r<-r¡ U¡<-z¡ U(r-q)
lYlt*r¡l lYt*l Y1r<-r¡ ......Y(t-p+r) U(k) U(x-r) U(k-q+r)
ll=ll-|t|lfYtx+tt¡l fYlr+ru-r¡Y1x+r.r-z¡ ....Y(x+r.l-p) U(x+ru-l).................U(k+N-q)
Donde:
N: Es el número de datos a ser analizados.
La representación del modelo puede ser expresada como:
Z=Hx+V
14
(1.2.2)
.2.3)
(1.2.4)
a1
a2
ap
brbz
.bq
(1
donde:
Z: Vector de mediciones.
X: Vector de estado.
H: Es la matriz sin perturbación (perdidas) por la conexión entre el
vector de estado y el vector de mediciones.
V: Perturbaciones que pueden existir.
1.2.1.2 Sistema lineal multivariable. Un sistema lineal multivariable es
definido como un sistema con varias entradas y salidas, como se indica en
el siguiente diagrama de bloques.
15
Yr,:
Yn
Donde las mediciones
identificación:
U.(o =
Ur(t)
Uettl
Uot,l
Yrlt¡Ye(r)
vral
de entrada y salida son
Fi1.1.2.2
disponibles para la
Vector de Q dimensiones(Para el caso Q=3 cuando esuna sola línea 3o)
Vector de R dimensiones(Para el caso R=3 cuando esuna sola línea 3o)
(1.2.5)
modelo
Y(t) =
Donde t = K A t; K= 1,2,3,.......N (N= número de mediciones).
Para el caso discreto.
Para representar el modelo multivariable puede ser por un
autoregresivo dado así:
A(zl Y(rl = B(z) U(r) (z: una unidad operadora de avance) (12.6)
Donde Y y U son vectores tridimensionales como se obserua en (1.2.5) de
salida y entrada respectivamente; A y B son matrices de 3x3 cuyos
16
elementos son polinomios de Z dados como:
A¡j(z) = - ¿1¡,2'1 - a2i¡z-2 ...... ¿Pii¡¡ 2-Pij i*j ij = 1...3
A¡i(z) = 1-a1ijz'1 -A2tj7-2-........ ¿Pii¡¡ 2-Pii i='1...3
Ei(.) = b¡¡z-l + Vi¡z:2 +..................... bc¡ z-ai i: 1...3 j= 1...3
donde los índides Pij y qij determinan completamente la estructura del
modelo.
Para el caso con var¡as lineas 3s de entradas y salidas.
U.rttl
üil | d.nde u< _f üiiiil
Ut-trl
Yr(t)
r1t¡ =
üxii I d.nde Yx _f iiiii]
Yr-tr)
La representación también se puede hacer por el modelo ARX (Auto
regresivo).
Aolz¡ x Y1t<¡=Bo(z) x U(r) Í.2.7.)
donde z es un operador de Avance y Ad y B¿ son ambas matrices de 3l x 3l
U(t) =
17
donde L es el número de líneas dadas como:
A¿(z) - [A¡¡tzl] ¡j = 1......L
Bqz¡ - [A¡¡tzl] ij = 1......1
Los elementos de A¡j y Bi¡ son submatrices de 3 x 3 representando las
influencias de la java li¡s¿ sobre iava li¡s¿, los elementos de Ai¡ y Bt¡ son
todos polinomios de z de diferentes grados.
1.2.2 Asumción de la estructura del modelo. En la práctica el grado del
polinomio de z no es conocido, este grado; p y q determinan completamente
la estructura del modelo y nos indica también el número de parámetros a
determinar.
El valor de los índices pueden ser asumidos con ciertos criterios que son:
Pii > P¡ ; P¡¡ > qij ; qii > qij y qii < Pii
Esto índices los podemos asumir desde un valor de 2 hasta un límite
superior.
La determinación del orden polinomio dependerá del proceso de validación
que incluye:
Que el sistema sea estable, que se fisicamente realizable y que tenga el
mínimo error de varianza, osea que se tiene que probar los valores
obtenidos para cada una de esas matrices en estos diferentes grados del
18
polinomio y se escoje el grado que cumpla las tres condiciones anteriores y
el de menor orden, esto dará la mejor representación del sistema.
1.2.3 Determinación de los parámetros del modelo. una vez se ha
escogido o seleccionado una estructura del modelo podemos expresar
nuestro modelo de la siguiente forma.
1.2.3.1 Modelo monofásico. Seleccionado el grado p y el grado q en
la ecuación (1.2.3) podemos determinar los parámetros ar.......apybr
....... bq por medio del algoritmo de los mínimos cuadrados que se
representa de la siguiente forma [10].
De la ecuación
Z=Hx+V
X = (HrH)-1 Hr Z
Donde:
HT = La matriz transpuesta de H
i = Estimación del vector de estado x.
(1.2.4)
(1.2.8)
1.2.3.2 Modelo trifásico. De la misma manera que fue seleccionado p y q la
ecuación (1.2.6) también puede ser escrita:
p q
Ytr,l- I A'x Y(r-m) + I B V(r-n)lTl=1 fl=1
nx
donde Am y Bn son matrices de 3 x 3 de la siguiente forma:(1.2.e)
19
mA=
Donde:
PiL (b11 Ul (k-i)i=1
P¡L (bzt Ur 6-i¡i=1
p¡I (bar Ur ¡<-i¡i=1
Yr(r)
Yzlr¡
Yg(r)
ll1 (k-i) + a p Ye (r-¡) + a13 Ys(r-¡)
1 (k-i) + a ;2 Yz (r-D Ys(k-¡)
', 1*-,¡ * , !, Yz (x-¡) Ys(k-¡)
f m m m
I all a12 a13
lmmmI 421 a22 a23
l"Tr "#a33 m
,"=[
UL) =
o'l 0,, " -l
orl nr. " I
b3ib$" l
nbl
n
bzt
dl'
Uru1(k)
Uz(x)
Us(r)
p
Ti=1
p
Ti=1
p
Ii=1
[;il]
Yx) =
I(arr Y
i(au Y
i
(asr Y
I
+ 423
i
+ 433
+
i
+ btz Uz (x-¡)
i
+ bzz Uz 1r-i¡
¡
+ bgz Uz (x-¡)
I
+ brs Uqt-i¡
i
+ bzs Us(k-¡)
¡
+ bss Us0(-i)
Teniendo un grupo de N medidas de mediciones
puede escribirse:
(1 .2.10)
thlnaid¡d Aulóooma de OcclaübsEcclolr SIBUoTE0A
trifásicas la primera fila
20
:l[':l| [::
Y z(r-r) Ys(t<-r)... Yr1t9¡ Yzlr-p¡
Y e6¡Ya(¡p) Urlr-r¡ t-le1r-r) Uqr-r).Y3(kr+r) U 1(k)
Yalr'ru-r ¡
[r 1 1
L a1r a12 ar3
Que se puede escribir de la forma:
Y¡ttl = H¡1r¡@j
Q¡ = [ar¡i €l1j¡ áa¡t €llji bt¡,
H¡¡ = [Y1x-rl Ur*-rl ]
Yslr*n-p¡ U r1r*ru-r¡
.... j.,"d.,, b l, bt,. ....t,r]t
(1.2.1 1)
b2¡i .... Ot¡, l
Para la estimación de los parámetros por el método de los mínimos
cuadrados nos da:
z¡1x¡ = [ Ht¡r*l H¡6¡ ]-t H¡1¡¡ Y ¡1r¡ ( .2.12)
1.2.4 Representación de la conversión de los moderos. Debido a que
para el análisis de armónicos se necesita de un modelo de representación
del sistema continuo en el tiempo, se realizaron una serie de conversiones
válidas entre modelos para obtener, a partir de un sistema de múltiples
entradas y múltiples salidas (MlMo) discretas en el tiempo un modelo
continuo en el tiempo que represente finalmente el sistema [12].
1.2.4.1 conversión de un modelo monofáslco en espacio de estado
discreto en el tiempo a contínuo. El modelo descrito en la ecuación (1.2.g)
que representa un conjunto de mediciones de una simple entrada y una
21
deentrada y una simple salida puede ser escrito en una representación
espacio de estado de tiempo discreto por la introducción de un vector
w(rl.
donde W1x¡ = Y1¡¡
Y1r¡ = Hx W1r¡
Representación discreta en espacio estado.
W(r+l) = ox W(k) + l- x Utrl
donde:
('t.2.4.11
(1.2.4.2)
@k=Siendo @ kla forma canónicaobservable de la ecuación detiempo discreto.
pxp
l-,*, = [0,
H =h
una representación de espacio de estado de tiempo continuo es dada por:
*=Ax + Bp
donde:
La salida continua
como.
Y=CX
Y, puede ser expresada en función del vector de estado
3, 1......................0 ol
1' 0......1.............0 0 |
I
"0.'0....... .o 1 |
áp 0................. o o_l
bz ...bq ]t r ,.o
...0 lr ,. p
X=
tl-
(1.2.4.3)
vector de estado del sistema de tiempo continuo.
entrada del sistema.
(1.2.4.4)
22
El modelo discreto de estado puede ser convertido dentro de un modelo
continuo en el tiempo de la forma de la ecuación 1.2.5.3 y 1.2.5.4.
Tomando la transformada de laplace de la ecuación 1 .2.5.9 tenemos:
Sl x(s) - X(o) - Ax(s) + Bp(s)esto es equivalente a:
x(s) = (Sl-A)-1 x (o) + (Sl-A)-1 B ¡rrsl (1.2.4.5)
Aplicando la transformada inversa a la ecuación 1.2.5.S Obtenemos:
tk+1
X1r+r¡ =g$klX1r¡ + J ,t-.)BLr(t)dttk
(1.2.4.6)
donde:
s(tt - ¡-t [o1s)] = L-1 [(Sl-A)-1] (1.2.4.7)
L'1 = transformada inversa de L'aplace.
La matriz o(0 es llamada matriz de transición y puede ser expresada en
términos de [A], donde X = Ax (1.2.4.g)
Entonces:
olat¡ - snrt (1.2.4.9)
Teniendo los parámetros del modelo discreto identificando los parámetros
de la representación de la variable de estado en tiempo continuo pueden
ser calculados.
El objetivo de estos cálculos es obtener las matrices A y B la ecuación
1.2.4.9 puede ser usada para encontrar a A en términos de s, con
introducción de un nuevo vector de estado [Xl ] y una matriz
transformación [T] que relaciona a [X] con [Xr] donde:
23
la
de
X1= Tx
X - T-lXr
Entonces:
a
Xl = TAT-1 Xr + TBU
Y = CT'1 Xl
Donde el término, TAT-1, es una matriz diagonalizada la matriz
transformación, T, contiene la inverza de los autovectores (vectores propios)
de la matrix A.
escrita en el dominio del tiempo discreto queda:
o.
"Ar lt
;; IJ
(1 .2.4.10)
(1.2.4.11\
k
('t.2.4.12)f'l
La ecuación 1.2.4.10
[*',-l F\¡'l1''l=l:t-tt_L-'--i L'
Donde X* ,on los valores propios de la matriz A en el dominio de tiempo
continuo [10], [11].
Aplicando a esta ecuación el vector de estado original así:
24
Xr = T-loTXr
: ],|i, ];^4 L-l-
l-il [:^'^'I l=t'' l -
L*'-l -.,Ii^,o,
;(1.2.4.13)
Esta ecuación puede ser reareglada para encontrar la matrix [A] en el
dominio de tiempo continuo, viniendo del modelo del dominio de tiempo
discreto:
A= T -tt0lr(1.2.4.14).
Aquí se parte del hecho n V Q tiene los mismos vectores propios (Strmenik
an Bremsak 1979) [10].
Aquí lo que se hace es hallar la matriz diagonalizadaX que contiene los
vafores propios de la matriz Qt,con el fin de obtenerel logaritmo natural de
cada uno de los elementos de la diagonal para hallar !a correspondiente
forma diagonal de [A]. Esto es:
O= Log" [1/at valores propios de X¡
25
donde:
T = son los vectores propios de o
X = T-1 s T = Es la matriz diagonalizada de valores propios, de la matriz
representación de los parámetros estimados de el tiempo discreto.
At = €s el paso de tiempo del modelo discreto.
El proceso anterior puede verse en los siguientes pasos para un paso de
tiempo At la matriz de transición puede escribirse como:
O(^t) = eA^t (.2.4.15)
La matriz transformación T que contiene los vectores propios de A es usada
para encontrar, X, qre es la matriz de la forma diagonal de A de la
siguiente manera [12]:
TgT-1 =JsA^rT-l =e)at (1.2.4.16)
Tomando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación tenemos:
lrn $sr-t)= 0At - (1.2.4.17)
y usando nuevamente la matriz T que como se dijo anteriormente contiene
los vectores propios tanto de O como de A tenemos:
-t- -t l-r . . -l
A =T QT= T = l*,n (T st-')tlL J (1.2.4.18)
B = (eA¡t - l)-t Rf donde: (1.2.4.19)At
[ = [ .otdsxB donde'o
AtAtr-rf As ( l. .2-2 |
I e--ds= | lt*AS* f s.... ldsto to L J
laot' = Á' (eAat -r)Note que B también es igual a:
B=(a - l)-r Rt y (.2.4.20)
C = H F.2.4.21)
26
B puede ser encontrado:
1.2.4.2 Conversión de un modelo trifásico en espacio de estado discreto
en el tiempo a continuo. El procedimiento es el mismo que para el modelo
monofásico, lo que varía son las dimensiones de el vector W(x)
3
n =) piii=1
Y(xl = [Yr1r<¡ ,Yz¡<¡, Yslx¡ ]
wr(r) = Y(r) donde wr(x) wp(k) son vectores tridimensionales.
\Mrr(r<) = [W 11r(k),W rlz(k), W r131r¡ ]r.,¡.
Wr = [Wr1r¡ ,Wz1x¡......... We6) ]lxp
W(t*r) =YW*l * \Utrl (1.2.4.22)
W1r+r¡ =YW*l * \Ut*l
Y6) = H W(k)
r/.. _rlt -
27
(1.2.4.22)
(1.2.4.23)
Y, \ y H son matrices particionadas de dimensiones nxn, nx3, 3xn
respectivamente cuyas submatrices están dadas como:
r/,ij=
\,¡ = @1¡...........bqii.....0.....O)rp¡xr
H - d¡"s [Hr ......Hg]
H¡ = [1,0.....0] 1¡ p¡¡
i = 1...3
P¡ix P¡¡
ij = 1...3 ; i* j
Pir x P¡¡
ij = 1...3
1
a¡¡ 101a1¡o I o
di'o o 1
traii 000
IEijPÜ
€ij
0
0
0 000 000 000 00
La matriz A, B, C del tiempo continuo son iguales a las halladas en el
modelo monofásico. Todo esto es para una sola línea trifásica de conexión.
28
1.2.5 Selección del modelo. Para seleccionar el mejor modelo posible se
tienen en cuenta tres criterios básicos que son:
1-2.5.1 Criterio de estabilidad: Un modelo es estable si todos los valores
propios de la matriz A están ubicados en el plano complejo en la parte real
negativa.
Un modelo discreto es definido como estable por los valores propios de la
matriz de transición de estado. Si todos los valores propios (las raíces
características de la ecuación) está dentro de un circulo unitario, esto es,
que cada uno de los valores propios tenga una magnitud menor a l1l
entonces, el modelo discreto será estable: Otro índice que indica si el
sistema es estable es cuando at x X (X, valor propio de A más alejado del
origen del plano z) sea igual o menor a 0.5 (At x Xr< 0.5) [10], [14].
1.2-5.2 Criterio de realizabilidad: Un modelo es realizable eso es si, todos
los valores propios complejos de la matriz A sean pares conjugados,
también que los elementos de la matrices A, B sean reales.
1.2.5.3 Criterio de estimación de error. La variabilidad de la estimación
del error puede ser definido como:
2¡N^)E =: : (Yi-Vi)-
N i=1 (1.2.S)
i.¡ = Es la estimación de la salida en la medida i.
Y¡= Es la medida actual de la salida.
29
N = Es el número total de medidas.
El modelo con mínima varianza es el mejor a ser escogido, siempre
cuando cumpla con las dos condiciones anteriores.
1.2.6 Estimación de la función de transferencia. La función de
transferencia se halla de: las ecuaciones 1 .Z.S.g y 1.2.5.4:
lX=Ax+BIlY=Cx. (1.2.6.1)
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones anteriores tenemos:
ffi =zG)
SIx (s) = Ax(s) + Bpls¡ n Y1s¡ = CX(s)
Donde: X1s¡ [ SI -A] = B Uls¡
X(s) BG rE -A1
Y (s)
C (s)
B_-[S¡ - Al
X(s) =y como:
X(s) =
U (s)lenemos:
(1.2.6.2)
(1.2.6.3)
(1.2.6.4)
(1.2.6.5)
(1.2.6.6)
(1.2.6.7)
lhlrnld¡d Aot6noma de 0ccidrnlcsE@tor{ BtEL|oTECA
entonces: 7(s) = cB
sr-A
Donde Z1s¡ representa la impedancia del modelo del sistema en el dominio
de la frecuencia, en este trabajo para sistema trifásico, se tomará
únicamente las impedancias propias del sistema. El anexo 3. muestra la
estimación del modelo de impedancia usando el programa MATLAB.
2. ANALISIS DE ARMONICOS
La presencia de corrientes armónicas en los sistemas de potencia se ha
venido incrementando grandemente en los últimos años debido al creciente
uso de dispositivos electrónicos tales como convertidores, controladores de
velocidad en motores, cambiadores de frecuencia que se han convertido en
principales fuentes de armónicos, otras fuentes de armónicos menos
frecuentes pero de gran significación la constituyen los homos de arco y los
núcleos ferromagnéticos saturados principalmente en transformadores y en
general las cargas no lineales.
Algunas de las consecuencias indeseables de el flujo de armónicos en las
líneas y equipos que conforman un sistema de potencia son las siguientes
[1 , 15]:
- Interferencia en la comunicación: El flujo de corriente en circuitos de
potencia produce campos magnéticos (o electrostáticos) que pueden
inducir corrientes (o voltajes) en conductores de circuitos de comunicación
cercanos. El nivel de interferencia depende de la magnitud de las
corrientes (o voltaje) inducidos.
- Calentamiento, es común referirse a pérdidas por calentamiento
31
- Calentamiento, es común referirse a pérdidas por calentamiento
como lzR. Por el uso de la superposición el total de pérdidas puede ser
evaluado como:
l2R - 12 6oHz RooHz * 12grp¡tzRsooHz +12+zoHz R¿zoHz*........
otras consecuencias de la presencia de armónicos son error en los equipos
de medición, disparo inapropiado de réles y resonancias.
Estos efectos hacen que sean importantes el estudio de las corrientes y
voltajes armónicos presentes en un sistema.
2.1. OBJETIVOS DE UN ESTUDIO DE ARMONICOS.
Las razones más usuales para ejecutar un estudio de armónicos son:
- Para corregir un problema existente.
- Estimar la distorsión del voltaje debido a la adición de un nuevo
sistema con fuentes armónicas.
- Estimar la magnitud de las corrientes armónicas para la adición de
un nuevo sistema.
La existencia de problemas típicos que requieren un análisis de armónicos
incluyen fallas en equipos (capacitores y motores), excesiva distorsión en
32
los voltajes e interferencia con circuitos de comunicaciones. El objetivo de
un estudio en un problema existente es para determinar como se va a
suprimir el efecto del armónico.
Generalmente las técnicas de supresión involucran alguna clase
filtramiento, o una disminución de las maniobras sobre un banco
condensadores.
Cuando una gran fuente de armónicos va a ser adicionada en un barraje,
un estudio de armónicos debe hacerse para determinar, cuál es el resultado
de la distorsión en el voltaje, para determinar el potencial de los
sobrevoltajes resonantes.
La distorsión de voltaje afecta directamente a otros consumidores y puede
generar sobrecalentamiento en los motores.
El estudio también es importante para conocer las magnitudes de las
corrientes armónicas, y las direcciones en las que fluyen, cuando una gran
carga de producción de armónicos es adicionada. Las corrientes podrían
también fluir por áreas con problemas de resonancia local, resultando en
una excesiva distorsión en el voltaje.
de
de
33
2.2. CUANDO ES NECESARIO UN ESTUDIO DE ARMONICOS
Los puntos dados a continuación podrán servir de indicador de las
condiciones requeridas para el estudio.
- Aplicación de un banco de condensadores a un sistema compuesto
de un 20% de convedidores u otros equipos generadores de armónicos.
- Una historia de armónicos relacionado con una excesiva operación
de los fusibles de los capacitores.
- Estrictos requerimientos de la compañía de energía con respecto a el
límite e inyección armónica proveniente del usuario hacia el sistema.
- Una expansión de la planta con una adición significativa de equipos
generadores de armónicos que se encuentran operando conjuntamente
con bancos de capacitores.
2.3 TEORIA GENERAL.
2.3.1 Qué son los armónicos?: Los armónicos son voltajes o corrientes
presentes en un sistema eléctrico cuya frecuencia es multiplo de lafrecuencia fundamental, normalmente 60 Hz. Armónicos típicos son el
quinto (300 Hz), el séptimo (42OHz), y el once (660 Hz).
34
Los armónicos pueden ser clasificados como:
- Característicos.
- No característicos.
Los armónicos característicos son normalmente generados por
conveñidores. Los armónicos no característicos son típicamente producidos
por hornos de arco y descargas eléctricas.
2'3.2 Resonancia: La aplicación de capacitores para corregir el factor de
potencia en sistemas de potencia, donde existen equipos con generación
de armónicos conectados, necesita la consideración de un potencial
problema de una condición armónica excitada. Para un circuito con
elementos ideales, la reactancia inductiva se incrementa directamente con
la frecuencia y la reactancia capacitiva decrece directamente con el
incremento de la frecuencia.
2.3.2.1 Resonancia Paralelo. Una resonancia paralelo resulta de una
impedancia muy alta presentada por el sistema, a la corriente armónica de
la frecuencia de resonancia puesto que la mayoría de cargas generadoras
de armónicos pueden ser consideradas como fuentes de corriente, el
fenómeno resulta en elevados voltajes y corrientes armónicos en las ramas
de la impedancia paralelo.
Una resonancia puede ocurrir donde exista un capacitor conectado al
mismo barraje que una fuente de armónicos.
35
Fig.2.3.2.1
Barraje A
t-I
_
El barraje A a tierra es:
I Xth XcÁeq =
Xth + Xc
WL = v2MVAcc
(2.3.2.1)
La condición de resonancia en paralelo ocurre cuando el dominador de la
expresión anterior. Se reduce a cero.
Xth+Xc= 0
Xth = -Xc
Las reactancias de la frecuencia angular de resonancia W1n¡ se expresa así:
xth= l wnl u xc= I
- WnC
Además con base a la potencia disipada a la frecuencia angular
fundamental (W):
capaci toresf rtn
FUENTE DE CORRIENTESARIlON ICAS
v2wc flVAcop
(2.3.2.2)
36
reemplazando en la condición deDespejando valores para
resonancia se obtiene:
Wnx v2W llVA cc
Resolviendo para la
obtiene:
Lvcv
wv2wn MVAcap
e.g.2.g)
frecuencia de resonancia paralelo Fp (Wn = 2n Fp), se
Fp= F _l2rl (2.3.2.4)
donde:
Fp: Frecuencia de resonancia paralelo (Hz).
F: Frecuencia fundamental (Hz).
L: Inductancia equivalente del sistema.
C: Capacitancia equivalente del sistema.
MVAcc: Potencia de corto circuito sobre el barraje a la frecuencia
fundamental.
MVAcap: Potencia de los capacitores sobre el barraje a ta frecuencia
fundamental.
El voltaje de resonancia armónica vista en el bus del circuito paralelo (LC)
es:
llVAcep
Vh=()(/R) sys* Xcap * lh-1.792 (2.3.2.5)
37
donde:
Vh = voltaje de resonancia armónica.
()VR) sys
X cap
th
= Factor de amplificación de la resonancia paralelo (x = Zn f.L).
= Reactancia capacitiva equivalente.
= Corriente proveniente de la fuente armónica.
2.3.2.2. Resonancia Serie: Por definición, una resonancia serie se puede
presentar en cualquier circuito (LC), cuando la reactancia inductiva es igual
a la reactancia capacitiva o cuando el voltaje aplicado y la corriente
resultante está en fase.
Bajo condiciones de resonancia serie, el sistema ofrece una impedancia
muy baja a voltajes armónicos con frecuencias iguales a la frecuencia de
resonancia. Por lo tanto, pequeños voltajes armónicos en el sistema
pueden originar elevadas corrientes armónicas en los equipos. El
equivalente complejo de la impedancia del circuito es la resistencia, el
voltaje y la corriente estarán en fase y el factor de potencia del circuito será
fa unidad. La Fig. 2.3.2.2. representa un circuito (LC):
7eq= RL + j (WL - t/WC)Zeq=RL+jX
en resonEncio.XL =XC
2TtfL = 1/2rrf C
RL
Fig.2.3.2.2
38
La frecuencia que satisface la condición anterior es definida como
frecuencia de resonancia, y se representa por fo.
fo= l/ 2tt VLc-
En resonancia x = 0, la impedancia tendrá un valor mínimo. La corriente l.
es igual al voltaje aplicado dividido por la impedancia.
l=Vlz
En resonancia, la corriente tendrá un valor máximo. La magnitud de la
corriente armónica dependerá del factor Q (factor de amortiguamiento del
circuito en resonancia) donde:
X 211 L'fo*=R-
El factor Q será máximo para el circuito sin carga y se irá disminuyendo a
medida que se incrementa la carga en el circuito.
2.3.2.3 condiciones para un voltaje resonante. Cuando una carga es
adicionada a un sistema de potencia, el sistema que es una red lineal
bilateral, puede ser reducido a un circuito equivalente como se muestra en
la Fig. 2.3'2.3. Si la carga es un capacitor y una corriente armónica es
inyectada dentro de el bus, ilamado bus K, en donde la carga es
adicionada, entonces un circuito paralelo R-L-C es formado y la posibilidad
de una condición de voltaje resonante paralelo existe. La Figura 2.g.2.4
muestra el circuito equivalente paralelo que es formado por la adición de un
capacitor en el bus K.
39
F19.2.3.2.3. Carga adicionada a un sistema de potencia.
parámetros del sistema son tales que:Cuando los
If=
2r \Lc (2.3.2.5)
Dando un valor por f que es igual a uno de los ordenes armónicos de 60 Hz
que están presentes debido a dispositivos no lineales ligados a el sistema,
entonces una condición de voltaje resonante ocurre.
rl
Ivl
1
Rrr
xl'
thlucnidad Aut0noma de 0ailnlrsEccroti BrBr-torEc^
F19.2.3.2.4
40
2.3.2.4. Predicción de una condición de resonancia. Si la ecuación
(2.3.2.5) es reareglada, es posible predecir el valor de la capacitancia que,
cuando sea adicionada en el bus K, pueda causar una paflicular frecuencia
armónica de resonancia.
Xc = h2 XL donde:
h = BS el orden del armónico en estudio y
XL = es la reactancia equivalente (60H2).
Xc es la reactancia capacitiva a 60 Hz que ocasiona resonancia en el
armónico h, xL es una función de la configuración del sistema y es
encontrada por la formación de la matriz, I Z bus I y tomando el elemento de
fa diagonal principal zxx, La parte reactiva de z¡¡ es la reactancia
equivalente. Este desarrollo da el valor de la capacitancia que causa
particular resonancia armónica.
2.4 FUNDAMENTOS MATEMATICOS
2.4.1 series de Fourier: Dado F(x) definido en el intervalo (-L,L) y
determinado fuera de este intervalo por F1x+zr) = F(x), esto es, asumiendo
que F1x¡ tienen un período de 2L. La serie de Fourier o el desarrollo de
Fourier que corresponde a F1x¡, se define como:
o<
+ + ) (sn 6or n''x¿ n=l- 2
+ bn sen ffl(2.4.1)
41
t .Lan I f t<rl cos nrrx dx n-L J_l L
Donde los coeficientes de Fourier an y bn son:
o,1 ,2,....(2.4.2)
5an n17x dxL (2.4.3)
y el término:
f (x) dx
(2.4.4',)
el cual es el valor medio de F(x) sobre un per¡odo.
La teoría de Fourier establece, que cualquier función contínua per¡ódica,
puede ser representada por la suma de una componente sinusoidal
fundamental más una señal de armónicos sinusoidales en orden superior
con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental.
No sabemos si la función expresada por la ecuación 2.4.1 es convergente,
será convergente, si converge a F(r). El problema de convergencia fué
examinado por DIRIcHLET, quien desarrolló las condiciones de
convergencia de las series de Fourier de la siguiente manera:
1. F1x¡es defindia y tiene un valor único con excepción posiblemente de
un número finito de puntos en (-L, L).
on =t Ji rc'r
oo I fLI2 2L)-t
2. F(x) es periódica con periodo 2L.
42
3. F(r) y F'1x¡ son continuas por intervalos (-L, L).
Entonces si la serie 2.4.1 con coeficientes definidos2.4.2y 2.4.3. converge
a:
F1x¡ si x es un punto de continuidad.
f(x+o) + f(x-o)_- t si x es un punto de descontinuidad.
a.
(2.4.s',)
En cualquier punto de continuidad en X, sin embargo si x es un punto de
discontinuidad, entonces el lado izquierdo de la ecuación se reemplaza por
112[F1x* o) + F(x- ol] de tal manera que la serie converga al valor medio de
F(x+ o) y F1x- o¡.
De acuerdo con este resultado podemos escribir:
f(x) = + * Í ( u" ao, nrlx + bn Sen nrfx )2 .El'- L L t
La serie de Fourier expresada para una función F1o¡ de
expresa de la siguiente forma:
., o<
f(st = + . > (An Cos AE + Bn Sen na) donde¿- n=l
t rlAo=l- | tlst.dt,, , _f
t rlAn=- | t?t Cosnsdg,t ¿ -f
periodo 2n se
(2.4.61
(2.4.7\
(2.4.81
43
u"=* Inn'r' sen ns dg
En el caso de una función en el dominio del tiempo
obtiene:
2tlp! =- x tT
donde' w =
wt
= frecuencia ongular.
(2.4.s)
f(t), con periodo T Se
(2.4.1O',)
(2.4.11)
(2.4.12)
(2.4.13)
(2.4.14)
(2.4.'t5)
2Tl
I
Bn = Z I'lr',Jrt¡ sen nwt x dt
Con lo cual la serie de Fourier adopta la siguiente forma:
f(u = + . i fOn Cosnwt + Bn Sen nwt)atsvz n=l
donde:., .l/2
An = I I fCu Cosnwt x dt n= 1,2,3,.....T ) -t/z
Esta ecuación puede ser escrita también de la siguiente manera:
A^ o<f(u = T .nI' an xCos (nwt - R )
8nAn
(2.4.16)dn= VA2n*E2n
fJ = Arcotengente
44
Donde dn: r€pf€senta la magnitud y B la fase del armónico n-enésimo de la
función F(r).
2.4.2 Análisis de la forma de onda para determinar la serie de Fourier.
Existen fundamentalmente dos maneras en que la forma de la función
afecta los coeficientes án ! bn de la serie de Fourier.
La primera se refiere a como la simetría de la onda influye sobre los
coeficientes. La segunda es el efecto de las discontinuidades sobre la
representación por serie de Fourier. Algunas propiedades resultan útiles ya
que permite tener un conocimiento preliminar acerca de los coeficientes de
las series de Fourier y además permite analizar funciones complicadas:
para esto se determinan primero los coeficientes más simples y se suman
luego los resultados.
Antes de abordar el análisis de la simetría de la onda es preciso definir
algunos términos de uso frecuente a lo largo del siguiente contexto. Las
definiciones son aplicadas a todas las funciones periódicas (sinusoidal y no
sinusoidal) y tienen que ver con la simetría de la función.
Sea f1r¡ una función periódica. se dice que f6¡ es una función pAR si, para
todo t,
f(t)=f(-o (2.4.2.11
Las ondas mostradas en la Figura 2.4.1 . satisfacen la ecuación 2.4.2.1 y por
lo tanto son funciones pares.
45
F19.2.4.1. Ejemplos de ondas pares
Una de las funciones pares más conocidas es la función
funciones pares son simétricas respecto al eje de ordenadas
casos se dice que son "simétricas respecto al origen".
f(t) es una función IMPAR si, para todo t, se cumple que
f(t)=-f(-t) (2.4.2.2)
Las ondas mostradas en la figura 2.4.2.2 son ejemplos de funciones
impares. Una función seno es una de tales funciones.
Figura 2.4.2 Elemplos de ondas impareeLas funciones impares se dice que son "antisimétricas respecto al origen".
coseno. Las
y en algunos
f (t) =Sۖt
46
A diferencia de las funciones pares, en que el valor promedio puede o no
ser cero, para las funciones impares el valor promedio es siempre cero.
Algunas propiedades importantes que tienen que ver con funciones pares,
y funciones impares se resumen en la Tabla:
Tabla 2.4.1. Algunas propiedades de las operaciones con funciones pares e
impares.
OPERACION:
Par+pdr=p"r
impar+impar=impar
par X pár,= pár
imparximpar=p?r
impar X pár= impar
impar + par = función combinada
Para el análisis del efecto de la simetría sobre los coeficientes de Fourier
considérese una función f(r) arbitraria con una pade par f1p¡1t¡ y una parte
impar f1i¡1t¡.
Puesto que las funciones f(pXt) v f1i¡1r¡ presentación propiedades de simetría
con respecto al origen, es posible definir los coeficientes An desde -Tl2 a
T/2, lal que el intervalo de integración simétrico respecto al origen. Así se
obtiene,
47
CoshWotdt + CoshW"tdt ](2.4.2.3)
En el lado derecho de la ecuación de arriba el primer integrando contiene el
producto de dos funciones pares. Por lo tanto, éste deberá ser una función
par. Así, la integral puede ser evaluada integrando sobre los límites cero a
T12 y multiplicado por 2.
El segundo integrando contiene el producto de una función par y una
función impar. Por lo tanto, el integrando es una función impar. La integral
de tal función tomada sobre los límites en que es simétrica respecto al eje
de abcisas debe ser cero. De esta manera, la expresión para los
coeficientes án puede ser escrita como:
.l/2I rcp><t I) -l/2
-t . l/2En_ all f(i)(t)
T ') -t/2
A (l/2ft¡-r Jo f(u CoshWotdt
Una muy importante conclusión es que sólo la parte par de
determina los coeficientes an, Así, la serie de Fourier de
puramente impar no contienen términos coseno.
(2.4.2.4)
una función,
una función
Debería notarse que como la función par puede tener un valor promedio
diferente de cero, puede también tener un valor constante a ao determinada
por f a ecuación 2.4.2.4 para los d ?n er.t tal caso.
Para los coeficientes bn s€ puede proceder de manera similar:
48
.l/2l) _rÁ(i)(t¡
bn = a Íl'.'Jlrr(u senhwotdt
bn=?T (2.4.2.6)
En el lado derecho de la ecuación 2.4.2.s el primer integrando es el
producto de una función par y una impar. Por lo tanto, este producto es
impar y el resultado de la integral es cero. De igual forma, el segundo es el
producto de dos funciones impares; por tal razón, este producto es par y su
integral puede evaluarse tomando la integral desde cero a Tl2 ymultiplicando por dos. El resultado para la determinación de los
coeficientes bn puede ser escrito en la forma siguiente:
(2.4.2.71
Se concluye que la serie Fourier de una función par no contiene términos
seno. Puesto que el valor promedio de una función impar es siempre cero,
el coeficiente ao siempre será cero para tales funciones.
Las propiedades anteriores se resumen en la tabla 2.4.2.
. r/2SenhW"tdt + | f(p)(o SenhW"tdt ]) -t/z
TIPO DE
SIMETRIAcoNDtcctoNDE SIMETRIA €o 0n bn
ni nguno lf.'T ro
f(t l dt 1| ",, Cos hWotdt Sen hWotdt1| ",,par f(r) = f (-t)
2 ¡r/zTJo f<u rlt
4 (r/2TJo ta,)coshwotdt 0
r mPsr f(r) = -f(-r) 0 o4 (r/2TJo f(uSenhwotctt
49
TABLA 2.4.2. Expresiones para los coeficientes de Fourier.
Otro tipo de simetría que afecta los coeficientes de Fourier es la simetría de
media onda, la cual se cumple para una función f(t) si:
ftt)-- f 1t+tnr¡ =-f (r-rzr) (2.4.s)
La Figura 2.4.3 muestra dos funciones con simetría de media onda:
Fig. 2.4.3. Ejemplos de eimetrla de media onda.
Se debe observar que la porción negativa de la onda es el reflejo de la
porción positiva, desplazada horizontalmente medio período
Üdrrdd¡d Autónoma dá Occia$tSECCION sIBLIOTECA
f (t)
50
Si una función tiene simetría de media onda y además es una función par o
impar, se dice que dicha función tiene simetría de cuarto de onda par o
impar. Dichas funciones es muestran en las Figuras 2.4.4 (a) y z.a.a @).
Fig.2.4.4 (a) Simetría de cuarto de onda par.(b) slmetría de cuarto de onda impar
Es posible demostrar que la serie de Fourier de una función periódica que
tiene simetría de media onda, contiene únicamente armónicos impares.
El coeficiente an la serie de fourier es:
.) .l/28¡¡ -.I fCt)Coshwotdtl'-t/2
. .O --l/2= + t f ,^ f(u coshwotdt . f^ f(t) coshwotdt ]l')-l/2 )o
(2.4.2.8)
Reemplazando t por (t-1/2T) en la primera integral, se obtiene:
) rl/2 r/2o" = + (Jo f(r-rar)cosIhwo(t -ttzr)]ot*f t.,)coshv$tdt) ,^.(2.4.2.s)
51
laDebido a que f1t¡ tiene simetría de media onda, si se tiene en cuenta
propiedad
f(0 = f(t - 1t2rl de la ecuación 2.4.5 y el hecho de que senhfi = o,
. .l/2dn = I J .,^ tf(t) Eos hwot Eos hn + f(t) Eoshwot ]dtI r_tlz'
(2.4.2.',tO)
En=
1,,-,
t;
r)nl + ['r'Í,.rrcos hwor dt
.l/2I f<.> Sen hW"t dtro
para h par
pero h irnper
(2.4.2.11)
Teniendo en cuenta las propiedades arriba mencionadas
que una función que tenga simetría de cuarto de onda par,
armónicos impares de términos coseno, es decir,
o<
f (r) = Z. urn-r cos[ Qn-t) w"t]n-1
De igual manera, una función con simetría de cuafto de onda
de armónicos impares de términos seno únicamente, es decir,
o<
f(t) = Z. urn-t sen [ (2h- t) w"r]n-f
(2.4.2.12)
impar, consta
(2.4.2.13)
Deberá tenerse cuidado en distinguir entre una función con simetría impar y
una función que contiene sólo términos armónicos impares. por otro lado,
teniendo en cuenta la selección adecuada del origen de la función, es decir,
es fácil concluir
tiene solamente
52
su desplazam¡ento en el tiempo, es posible representar tal función mediante
términos coseno o mediante términos seno. Como el origen puede
seleccionarse arbitrariamente, una serie tiene en general tanto términos
seno como coseno.
En fa Tabla 2.4.3. se presenta un resumen de las propiedades
anteriormente expuestas.
TABLA 2.4.3. Resumen de las propiedades de simetría.
COEFICIENTE DESCRIPCION
SIMETRIA F(t)
PAR
f (r) = f(-t)
IMPAR
f(O = -f(-t)
MEDIA ONDA
f(r) = -f(T+r /2T)
CUARTO D€OfiIDA PAR
CUARTO DE
OÍ{DA IMPAR
0o Término DC
Puede serdi fe re ntede cero
Cero Cero Cero
Sn (h= 1,3,..)Armónicos i mparesTérmi nos co¡eno
Puede serdi fc re ntede cero
CeroPuede scrdifercntcdc cero
Cero
6n (h= | ,4,..)Armónicos paresTérmi nos coreno
Puede serdi fe renlede cero
Cero Cero Cero
bn(h= 1,3,..)Armónicor imperesTérmi nos seno Ce ro
Puede serdi fe rentede cero
Cero Cero
bn(h= 1,4,..)Armónicos peresTérmi nos seno Ce ro
Puede serdiferentede ce ro
Cero Ce ro
53
2.5 METODOLOGIA PARA LA EVALUACION ARMONICA.
Con funciones muestreadas en el tiempo por la utilización de
procesamientos de datos digitalizados, las mediciones de las formas de
onda de voltaje y corriente pueden representarse como funciones
compuestas por señales sinusoidales cuyas frecuencias son múltiplos de la
frecuencia f undamental.
2.5.1 Funciones muestreadas en el tiempo. con el incremento en el
procesamiento digital de datos, las funciones son a menudo registradas por
muestreo en el dominio del tiempo. Por lo tanto la señal puede
representarse como la Figura 2.5.1, donde fs = 1/tr es la frecuencia de
muestreo. En este caso, la transformada de Fourier de la señal se expresa
como la sumatoria de la señal discreta donde cada muestra se multiplica
por e-j2trfntr;
x(r) = x (ntr) ;izrrnrt(2.5.1)
El espectro en el dominio de la frecuencia, mostrado en la Figura 2.s.2 , es
periódico y continuo.
o<
n=l
54
Fig.2.5.2. Espectro de frecuencia para una funclóndiscreta en el domlnlo del tiempo.
La transformada inversa de Fourier es por lo tanto.
fs
112X(t) = iIrr"(r)"i"tn" dt-z(2.s.2)
2.5.2 Transformada discreta de Fourier. Si los espectros en el dominio de
la frecuencia y en el dominio del tiempo son funciones muestreadas se
obtienen un par de transformadas de Fourier hechas de componentes
discretas, asÍ:
\ 2rtFig. 2.5.1. Función muestreada en el domino del tiempo.
55
Tanto la función en el dominio del tiempo como el espectro en el dominio de
la frecuencia se asumen periódicas, como en la Figura 2.s.3, con un total de
N muestras por período. En esta forma la transformada de Fourier se
adapta para evaluación numérica por computación digital.
,t N-lx(f r) = | ) * ttn).
j2nknlN
N n=O
N-tx (tn)
n=0
Considerando la Ecuación (2.5.3) escrita como:
. N_l
X(fr)=i ) xttn)wknN n=0
donde: W - e-l2rflN.
(2.5.3)
(2.5.4)
(2.5.5)
sobre todas las componentes de frecuencia, la Ecuación (1.76) es una
ecuación matricial.
56
Figura 2.5.3: Funciones discretas en el dominio deltlempoy de la frecuencia
X (fo))|(fr)
)| (fx)
.
X (f n-r )
I
w
1
wK
.l
. wN-l
x (to)
X (tr)
x (tn)
.
X (t¡r-r )
_tN wK2wK n x ln-r)
I y¡ N-l .¡/ (N-l )K w (N-t )2
(2.5.6)
o en forma condensada:I
X(f x) = i IwKn][x (tn)](2.5.7)
En estas ecuaciones [x(fr<)] es un vector que representa las N componentes
de la función en el dominio de la frecuencia, mientras que [x(tn)] es un vector
que representa las N muestras de la función en el dominio del tiempo.
El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras en
el tiempo, requiere, por lo tanto, un total de Nz multiplicaciones complejas.
57
Cada elemento en la matriz [Wtn¡ representa un vector unitario con una
rotación en el sentido de las agujas del reloj, de 2pnlN (p = o, 1,2, ..., (n-1)
introducida entre componentes sucesivas. El número de estos elementos
es N.
Por ejemplo, si N= 8, entonces:
W=o-2t/8 =gssZ -iSena44como consecuencia:
(2.5.8)
Wo= -W4= 1
Wl=-Wt=ll * jll'{T {T'
w2= -wa= _j
W3= -W ,(T (T'
Estos también pueden considerarse como vectores unitarios rotados entre
too, +45", +90o y +135" respectivamente.
Además, wB es una rotación completa y por lo tanto igual a 1. El valor de
los elementos de Wkn para kn > 8 puede obtenerse substrayendo rotaciones
completas, para dejar sólo una fracción de una rotación. por ejemplo si k =
5 y n= 6, entonces kn = 30 y Wso = g/3x8+6 - W6 - j.
De este modo hay sólo cuatro únicos valores absolutos de Wkn y la matriz
[Wkn], para el caso N = 8, será:
58
-1
1
1
1
1
1
1
j
1
W
-J
W3
-1
-W
J
w3
1
-J
-1
J
1
-J
-1
J
11w3 -1
J1w-1-1 1
-w3 -1
-J1-w -1
111-w J -w3
-J-1J-wt -J -w
-1 1 -1
wJW3J-1-Jyy3 -J w
puede observarse que la componente CD del espectro de frecuencia X(fo),
obtenida por la suma algebraica de todas las muestras, es el valor
promedio de todas las muestras.
En las filas subsecuentes cada muestra en el tiempo se carga con una
rotación dependiente del número de la fila. De este modo, para X(fr) cada
muestra sucesiva en el tiempo se rota por l/N de una revolución, para X(fz)
cada muestra rota por ZN revoluciones, etc.
2.5.3 Otra forma de interpretar la transformada discreta. Las mediciones
de las formas de onda de voltaje y corriente u1t¡, estan compues[as por
señales sinusoidales, cuyas frecuencias son multiplos de la frecuencia
fundamental (60H2), que es:
59
n
U<*t = ) Ri Sen (iWot + di) (1)i=1
n
i=l
donde:
oci= Ri Cos di ; tti = Ri Sensi
La transformada de Fourier de las mediciones de la señal p(tr), con k=1..., m
a las frecuencias armónicas W = i Wo sort calculadas como:
m
lr (ivo) = ) ( CosiWstk - j Sen iWotk) I(trl Atk=l
(2.5.3.1)
(2.5.3.2)
Sen wt)] ot
(2.5.3.4)
(2.5.3.5)
= ai* - jBi*(2.5.3.3)
donde a"i es la sumatoria de los componentes reales y B.i es la sumatoria
de los componentes imaginarios, y at= Tdm. Aquí Tw es el tamaño de la
prueba, m es el número de puntos de la prueba e i es el número del
armónico.
La transformada de Fourier de la forma de onda (2.5.3.1):
rTvu (*)=
I'o
n
i=l
[) tui Seni Wst+Ri cosi Wot ) (Cos Wt - ji=l
-sxi [(oisi-Bici) + j(aici - Bici)]
thltnld¡¿ Aotónom¡ de Occif¡nlrSECCIOH BIBLIOTECA
60
donde:
Si =Sm[Cru-iWo)Yl2J
ci = cos [t* - iwo) vlsxi= (rw /2) sit l(w _ iwo) Tl (2.5.3.6)
cuando w es aproximadamente iwols¡ la podemos aproximar por:
! (w) = -(sxi)j (ocs'i-oici) + j(o<ci-Bisi)l (2.s.s.7)
Por que el termino Sxk para K * i son despreciables en w= iwo, u(iwo) se
reduce a:
(ry)[-oi * ¡".i]
Entonces la ecuación con la pafte real e imaginaria de (2.5.3.3) puede ser
obtenida como.
l*i I 2 [ -ni*l (2's'3.8) Así conocienclo *i* U O.i* poro cada
Lo' J=ñ | ;;.1 ;H',T,?j':#IilffJff:',T;::i'
Un teorema para la toma de mediciones establece que la frecuencia para
las mediciones debe ser por lo menos el doble de la frecuencia mas alta
contenida en la señal original.Ver anexo 4.
Para evitar esta incertidumbre las ratas de prueba debe ser mayor al doble
61
de la frecuencia más alta presente en la señal, o al doble del número
amónico que se pueda obtener.
2.5.4 Transformada rápida de Fourier. Para grandes valores de N, el
tiempo computacional y el costo de ejecutar las Nz multiplicaciones
complejas de la transformada discreta de Fourier (D.F.T) puede llegar a ser
prohibitivo.
En lugar de eso un procedimiento de cálculo conocido como tatransformada rápida de Fourier (F.F.T.), que toma ventaja de la similitud de
muchos de los elementos en la matriz [wxn1, produce las mismas
componentes de frecuencia usando sólo (N/2)log2 N multiplicaciones para
ejecutar la solución de la ecuación (2.5.7). De este modo, para el caso de N
= 1024 = 110 hay una economía en tiempo de cómputo por un factor de más
de 200. Esto se consigue factorizando la matriz [wkn] de la Ecuación (2.5.7)
en log2 N matrices o factores individuales tales que hay sólo dos elementos
no cero en cada fila de esas matrices, uno de los cuales es siempre la
unidad. De este modo cuando se multiplica por cualquier factor matricial
sólo se requieren N operaciones. La reducción en el número de
multiplicaciones requeridas, a (N/2) log2 N, se obtiene reconociendo que:
WN/2 - -W0, r¡y(N+2)12 = -g¡1, glg.
Para obtener los factores matriciales, es necesario reordenar las filas de la
matriz completa. Si las filas se denotan por una representación binaria,
entonces el reordenamiento es por bit inversos.
62
Para el ejemplo cuadro N = 8, la fila cinco representada como 100 en
binario (la fila 1 es 000), ahora viene a ser la fila 2 o 001 en binario. De este
modo las filas 2 y 5 son intercambiadas. Similarmente, las filas 4 y 7,
representadas con 01 1 y 1 10 respectivamente, son también
intercambiadas. Las filas 1, 3, 6, y 8 tienen representaciones binarias que
son simétricas con respecto al bit inverso y así permanecen sin cambio.
La matriz correspondiente es ahora:
1
-1
-j
j
W
-1
1
1
1
1
1
1
l
-W
vv3
_w3
11-1 1
j1-j1w3 -1
-w3 -1
w-1-w -1
11-1 1
-j -1
j-1-wjwj-e¡ 3 -j
w3 -j
1
-1
j
-j
-w3
w3-w
w
esta nueva matriz puede separarse en log2 8 = 3 factores matriciales.
Il l liil]
101000000101000010-1 00000010-1 0000000010-j o
0000010-j000010j00000010i
I o o o 1 o o olorooorl o ol0 0 1 o o o ' .lo o o l o o o tl1 o o o .r o o olo r o o o .r o olo o r o o o ' ol0oorooo.tl
63
Como se estableció previamente, cada factor matricial tiene sólo dos
elementos no cero por fila, el primero de los cuales es la unidad.
El reordenamiento de la matriz [wkn] resulta en un espectro de frecuencia
que también está reordenado. Para obtener el orden natural de las
frecuencias es necesario invertir la inversión binaria previa.
En la práctica se usa un algoritmo matemático que da implícitamente las
operaciones de los factores matriciales, para la solución de una F.F.T.
Usanso N = 2n es posible representar n y k por m números binarios tales
que:
n = ñm-12m-1 + nm-Z2m-2 ¡ ......
k = km-lkm-1 +kn¡Z2m-2 L.....
donde ño = 0,1 y kl = 0,1.
Para N = 8, n= 4n2+ 2n1 +no y k -ks son bits binarios ( n2 , k2
significativos).
4k2 + 2k1 + ks , donde r''t2 ,t't1 , no v kz ,kl ,
más signitifacativos y no , ks menos
ht, ño ) wtn
+4n2+2n1+n9
+4k2+2k1+k¡
(2.5.1)
(2.5.2)
La ecuación (2.5.5) puede ahora reescribirse como:
111X(kz,k1,ks)=
n2=O nl =0 nO=O(2.5.3)
64
Definiendo n y k de este modo se permite el cómputo de la Ecuación (2.5.s)
para lograr en tres estados independientes computando por términos:
Ar (ko, ñr,ño)= j + - (n2,nr,ño) 1v&xen2n2 =o rr
(2.5.4)
Az(ks,kr,hg)= A 1 ( ks, ñ1, ño ) v72(ks+ 2Kl)nt
(2.5.5)
I
As (ko,kr,kz)=no =o
(2.s.6)
La secuencia de las operaciones involucradas en la implementación de
este algoritmo se muestra en la Figura (2.5.1) Cada operación se referencia
como una "mariposa" y ha sido implementada en circuitos integrados
especiales.
A partir de la Figura (2.5.1) y de ta ecuación (2.5.6) se ha visto que los
coeficientes A3, contienen los coeficientes requeridos X(k) pero en orden
binario inverso.
1
nr =o
65
I o f,;-El
Figura 2.5.1. Flujograma para la solución de una FFT: - - - - -,sólo suma; _ rota el ángulo mostrado y suma.
El orden de A3 en forma binaria es Ks Kr Kz ;
El orden de X(k) en forma binaria es K2 Kr Ko.
Por lo tanto:
Binario
As (3) = As (011) =
As (a) = As (100) =
As (5) = Ae (101)=
Inverso
x(110) = x(6)
x(001)= X(1)
x(101) = X(5)
La transformada rápida de Fourier de una señal de banda limitada puede
implementarse fuera de llnea en un computador usando un lenguaje de
66
programación de alto nivel para muestrear y almacenar digitalmente la
señal en un registrador que puede accesarse remotamente desde el
computador. Alternativamente, hay un incremento en el uso de
analizadores espectrales, los cuales realizan el algoritmo de la F.F.T.
usando hardware exclusivo tales como las "mariposas" referenciadas antes.
2.6 EVALUACION DE LA DISTORSION EN LA FORMA DE ONDA
una vez conocidos los valores de las magnitudes de las componentes
armónicas de corriente y voltaje, se puede determinar los niveles de
distorsión presentes en la forma de onda fundamental.
Estos niveles de distorsión se enmarcarón dentro de límites dados por
recomendaciones de IEEE STANDARD S19-1982.
La Standard contiene recomendaciones prácticas para limites de distorsión
de voltaje , límites de influencias telefónicas y limites en el efecto flicker. La
estandar solo proporciona el tamaño de los efectos acumulativos y no
responde a la pregunta de como adecuar el sistema para absorver los
armónicos que podrían ser distribuidos entre los usuarios. El problema fue
reevaluado en 1988 con "Updats of Harmonic standard IEEE s1g". La
standard describe dos criterios para evaluar la distorsión armónica. El
primero es la limitación de las corrientes armónicas que un usuario puede
transmitir al sistema. El segundo es la calidad del voltaje suministrado al
usuario. La interrelación de estos dos criterios muestran el problema
armónico en el sistema y no en el sitio donde se suceden los problemas.
67
La standard revisada describe límites sobre la distorsión de voltaje,
coniente y la interferencia telefónica. La distorsión de corriente y voltaje se
expresa en porcentaje de la forma de onda fundamental y se define como la
raiz cuadrada de la suma de todas las componentes armónicas al cuadrado
sobre la magnitud de la onda fundamental de corriente o voltaje
respectivamente, esto es:
ITHDE =
donde:
U VTHDE =
(2.6.1)
::.,l
h=211
)v'n =VRt1s =Vv'hz *V2hg v'ho,h=2
Ir U V1 son los vElores RllS al armónico f undamentol(2.6.2)
La actualización de la IEEE Stad 519-1981 fué publicada en la lEEEStad
519-1992 de la cual se han tomado las tablas que contiene las
recomendaciones sobre los niveles de distorsión de voltaje y corriente [16].
68
TABLA 2.6.1
IEEE Std 519-1992¡EEE 519 LIMITES PARA LA DISTORSION DE VOLTAJE
VOLTAJE EN EL PCC HDv(o/"\
THDV(o/.1
69 KV y voltajes menores
69.001 V hasta 161 KV
161 KV y mayores
3.0
1.5
1.0
5.0
2.5
1.5
HDv = Distorsión de voltaje para cada armónico.
TABLA 2.6.2
IEEE-519 Máxima Distorsión de corriente para armón¡cos ¡mpareslímites para s¡stemas de dietribución en general. (%) ll-
(120V hasta 69 KV)
lsc/lL < 11 1 1<h<17 17<h<23 23<h<35 35 th TDD
<20'
20<50
30<100
1 00<1 000
>1000
4.O
7.O
10.0
12.0
15.0
2.O
3.5
4.5
5.5
7.0
1.5
2.5
4.0
5.0
6.0
4.O
7.0
10.0
12.0
15.0
0.3
0.5
0.7
1.0
1.4
5.0
8.0
12.O
15.0
20.0
70
-. El TDD se ref¡ere a la distorsión total de corriente armónica en el punto de
común acople (PCC) dada en porcentaje de la corriente máxima
fundamental dado en un tiempo superior a 15 minutos.
-. lsc: Máxima corriente de corto circuito en el PCC.
-. l¡: Máxima corriente de carga a 60 Hz en el punto de común acople.
-. H: Número del armónico.
'. 2o*: Todos los equipos de generación de potencia están limitados a
valores de distorsión de corriente exceptuando este valor.
2.7. EVALUACION DEL PROBLEMA ARMONICO
Con los valores obtenidos de la evaluación Armónica y la impedancia
equivalente del sistema se determina cuál o cuales son los armónicos
problema para el sistema.
-. Evaluar la impedancia equivalente en el Dominio de la frecuencia para
determinar posibles puntos de resonancia, si el caso es de la inclusión de
un banco de condensadores o el problema es originado por este, se
determinará la frecuencia natural del sistema con la ecuación 2.3.2,4.
-. Verificar si los puntos de resonancia del sistema (Zeq) coinciden con los
armónicos de corriente determinados por la transformada de Fourier dada y
el armónico que excita esta condición sería candidato a ser atenuado.
-. La peor condición armónica será aqueila que genere los mayores
71
porcentajes armón¡cos de corr¡ente y voltaje con respecto al armónico
fundamental. En los anexos del 4 al 13 se describe el uso del MATLAB para
determinar la peor condición armónica en un caso particular.
-. El V1¡p e lrHo determinan el grado de deformación de la onda, y permite
conocer si se encuentra entre los límites sugeridos por la IEEE 519-1992.
-. Determinar los espectros armónicos de voltaje y corriente para encontrar
las mayores magnitudes de los armónicos presentes en porcentaje del
armónico fundamental
Otros factores los cuales nos ayudan a determinar un problema armónico
son:
TIF: Interferencia telefónica que son usadas básicamente dos ecuaciones.
Factor de voltaje de influencia telefónica (Vrlr)
H
h=tVTrF =
vt
donde:
V1 = Es el voltaje fundamental línea a neutro (rms)
l¡ = Corriente armónica dentro del sistema de potencia.
z¡ = Es la impedancia del sistema evaluada en el armónico h.
Th = Factor de influencia telefónica.
H = Límite superior de armónicos 5000 Hz.
(2.6.3)
th
Th
72
La otra ecuación es:
I.T =H.
h=1 (2.6.4)
= Corriente Armónica dentro del sistema de potencia.
= Factor de influencia telefónica [16].
2.8 MEDIDAS REMEDIALES
La primer solución para cualquier problema relacionado con armónicos se
puede lograr por el cambio del punto de resonancia del sistema a otras
frecuencias que no estén siendo generados por los equipos eléctricos en el
mismo, o inyectadas por la compañía generadora.
Esto se puede lograr mediante un cambio en las configuraciones del
sistema, ubicación de los bancos de capacitores, el método más simple y
menos costoso podría ser cambiar por medio de un bypass las condiciones
de operación del sistema y procedimientos que puedan originar
resonancias armónicas.
En otros casos donde la corrección del factor de potencia con bancos de
capacitores en sistemas A.C causan resonancias con los armónicos
generados, su localización o tamaños pueden ser cambiados para eliminar
la resonancia o reactores en serie, pueden ser adicionados para
73
desintonizar las resonancias provocadas.
Un análisis de la impedancia en el dominio de la frecuencia puede ser
hecha para asegurar que las frecuencias naturales están todas alejadas de
las frecuencias armónicas.
Para armónicos que se deben a la utilización de convedidores monofásicos
que son usados comunmente en pequeñas cargas, un rectificador de media
onda produce armónicos iguales que tienen una componente dc que satura
los transformadores, esto puede evitarse con un rectificador de onda
completa.
El convertido básico polifásico es una unidad de seis pulsos, teóricamente
una unidad de 12 pulsos puede eliminar el 5e y 7e, lTavo y 1gavo, etc
armónico, además la multiplicación de fases puede reducir otras corrientes
armónicas.
Otra solución es que la inyección de corrientes armónicas pueden eliminar
flujos en los núcleos de los transformadores con un cambio de fase de 180"
que vienen de los flujos armónicos inducidos, por el flujo de corriente en el
secundario del transformador.
Si estos métodos resultan imprácticos o indeseables la inclusión de
equipos es requerida para la atenuación de armónicos.
3. DIMENSIONAMIENTO DE FILTROS
un dimensionamiento de filtros, es uno de los métodos usados para
limitar la amplitud de una o más frecuencias armónicas de corriente y/o
voltaje, cuando estas causan problemas en un sistema de potencia.
Para aplicación de este método se deben cumplir dos etapas
preliminares constituidas por el modelamiento de la impedancia y el
análisis armónico; la estimación del modelo de impedancia del sistema
en el punto donde se va a ejecutar la supresión armónica nos da laposibilidad de conocer las frecuencias a las que podría resonar el
sistema bajo la presencia de frecuencias armónicas de corriente y
voltaje así como el punto de resonancia natural del sistema, y entre el
sistema y el filtro a dimensionar. Por su parte el análisis de armónicos
nos da a conocer los armónicos presentes en el sistema y las peores
condiciones armónicas. Estos dos temas han sido tratados en el
capitulo 1 y 2 respectivamente.
uno de los principales problemas de la presencia de armónicos es laposibilidad de resonancia del sistema, un buen modelo de laimpedancia permitirá evaluar los distintos armónicos presentes para
evitar que se generen resonancias cuando incluimos un filtro en el
sistema.
Si alguno de los armónicos se incrementa significativamente con la
75
Si alguno de los armónicos se incrementa significativamente con la
inclusión del filtro; esto sign¡fica que el filtro es inadecuado. El análisis
de armónicos indicará que armónicos deben ser limitados así como la
posibilidad de otros tipos de soluciones como lo expresado en el
Capitulo ll.
un filtro no solo proporciona un camino de baja impedancia para el
armónico que va a suprimir como es el caso del filtro simple sintonizado,
sino que también puede proporcionar potencia reactiva.
Así como los requerimientos de compensación reactiva por parte del
sistema nos definirá el tamaño del banco de capacitores del filtro y en
gran media el costo del mismo. s¡ el sistema no requiere
compensación, el filtro a dimensionar será el mínimo.
3.1 FILTROS Y CONFIGURACIONES
Los armónicos indeseados de corriente que fluyen dentro del sistema
pueden ser prevenidos usando uno de los métodos siguientes:
- usando una alta impedancia serie para bloquear los armónicos de
corriente (filtro serie).
- Proporcionando un camino de baja impedancia a tierra a la frecuencia
del armónico (filtro paralelo).
Los filtros conectados en serie transportan toda la corriente de ta carga y
son aislados al voltaje de linea. En contraste, los filtros conectados en
76
paralelo transportan solo una fracción de la corriente que transporta un
filtro serie, esto hace que los filtros serie sean muy costos y el hecho de
que los filtros paralelos puedan suministrar potencia reactiva en la
frecuencia fundamental, ha llevado a que el método más practico de
usar es el de los filtros paralelos, por dicha razón en este trabajo sólo se
tratarán los filtros en paralelo.
Los filtros paralelos más comunmente usados son:
Simple filtro sintonizado.
Los filtros pasa altos o amortiguados.
Estos dos tipos de filtros son simples de diseñar y los más económicos
de implementar.
El filtro paralelo se define como sintonizado a una frecuencia
determinada cuando la inductancia reactiva es igual a la capacitiva, el
factor de la calidad del filtro Q determina la agudeza de la sintonización
del filtro y en este respecto los filtros pueden ser de un tipo de e alto o
de un tipo de Q bajo. El filtro de Q alto es agudamente sintonizado a una
de las frecuencias armónicas bajas y el valor típico es entre 30 y 60. El
filtro de Q bajo toma típicamente valores entre 0.5-5 tiene una baja
impedancia sobre un amplio rango de frecuencias cuando es usado
para eliminar ordenes de armónicos altos (por encima 17avo armónico)
es también como un filtro pasa alto. Típicos ejemplos de circuitos de
filtros con Q alto y bajo y la variación de su impedancia con la frecuencia
son ilustrados en la Fig . 3.1. y 3.2.
77
b)
Fig- 5-l
En el caso de un filtro sintonizado el Q es definido como la retación
inductancia o capacitancia y la resistencia a la frecuencia de resonancia:
T lzlT ltttl
#*tl rIrt_
-¡-^\:U,f
fig.3-2
como muestra la Fig.3.1.b el filtro pasa bandas (pB) es definido como
el limitado por las frecuencias a las que las reactancias del filtro es igual
a la resistencia osea cuando el ángulo de impedancia es de 45. ymodula a
o=+ ó o=+(3.1.1)
V2R el factor de calidad y el pasa bandas son relacionados con la
expresión.
o=+l-g
donde:
Wn: Es la frecuencia angular sintonizada en rad/seg.
(3.1.2)
La agudeza de un filtro pasa alto amortiguado sintonizado es reciproca a
lo del filtro sintonizado:
o='*78
(3.1.3)
La fluctuación en la sintonización del filtro es representado por el factor
?. Este factor incluye varios efectos:
- Variación de la frecuencia fundamental.
- Variación de la inductancia y la capacitancia del filtro causado por el
envejecimiento y la temperatura.
- una desintonización inicial causados por las tolerancias de
manufacturas y un tamaño finito de los pasos de sintonización (ancho de
banda muy pequeña).
La desintonización completa en partes por unidad de la frecuencia
nominal sintónizada, es:
_ W-WnO=- wn (9.1.4)
Además con cambio de L o C del 2/" causa la misma desintonización
que un cambio de la frecuencia del sistema del 1o/o de otra forma E es a
menudo expresado como:
-afo=7r+ l_2
tLl ACr\G*cn/(3.1.s)
3.1.1 Tlpo de filtroe amortiguados. cuatro tipos de filtros "r"n,nr";:son mostrados en al Fig. 3.1.1 que son de primer orden, segundo orden,
tercer orden y las de tipo C.
Flg._3.i.1. Flltros paea altos amortiguadores.(a) Prlmer orden; (b) segundo orden; (c) terce-r orden; (d) tlpo C.
- Los filtros de primer orden no son normalmente usados, y? que eltos
requieren un gran capacitor y tienen excesivas perdidas a la frecuencia
fundamental.
- Los filtros de segundo orden tienen un mejor funcionamiento en el
filtramiento, pero tienen altas perdidas a la frecuencia fundamental
comparados con los filtros de tercer orden.
- La principal ventaja del filtro de tercer orden con respecto a ros desegundo orden son la de una substancial reducción de las pérdidas a tafrecuencia fundamental debido al incremento de la impedancia a esasfrecuencias causadas por ra presencia der capacitor (ce) en pararero conla bobina. Además el nivel de ce es muy pequeño comparado con cr.
- El fundamento del filtramiento del tipo filtro G esta situado entre los
rT+I
(e) =(d)
lJdrntrrd Arlhomr dc Ocd{hfr
80
filtros de 2e y 3er. orden. La principal ventaja es una considerable
reducción a la frecuencia fundamental ya que los dispositivos Ce y L
dispuestos en serie están sintonizados a esa frecuencia (osea la
fundamental) Este filtro es más suceptible al las variaciones de la
frecuencia fundamental y al cambio de las componentes.
3.1.1.1 Slmple filtro sintonizado. El simple filtro sintonizado o filtro
graduado o pasabandas es probablemente el filtro paralelo más
comunmente usado, consistente de un circulo RLC como se muestra en
la figura 3.1. a . y su tfpica respuesta en la Figura 3.1.b.
El filtro se usa para un armónico generalmente de orden bajo. La
impedancia es dada por la ecuación:
Z=R*¡(wr -#l(3.1 .1 .1)
Que la frecuéncia de resonancia fn se reduce a R .
Examinando la respuesta del filtro obtenemos las siguientes
características Fig. 3.3.a 3.3.b. típica respuesta a la frecuencia del filtro
graduado.
Flg.33.(a)Flttro solo
MAGNITUD DE LA IMPEDANCIA
Frccuenci¡
MAGNITUD DE LA IMPEDANCIA
Frccuencia
F|s.3.3.(b)Flltro con el slstema
81
- Actúa con una muy baja impedancia a la frecuencia de sintonización,
como tal,11 el filtro paralelo más efectivo para eliminar la mayor cantidad
armónicos a esa frecuencia.
- cuando la impedancia de la fuente es inductiva, por ro general
siempre ocurre una resonancia pico a una frecuencia menor que la
frecuencia de sintonización.
- se presenta un agudo incremento de ra impedancia por debajo de la
frecuengia sintonizada debido a la proximidad de la frecuencia de
resonancia.
- La impedancia aumenta con la frecuencia al rededor de la frecuencia
de sintonización.
3.1.1.2. Filtro Doble sintonizado. La. impedancia equivalente de 2simpfes filtros sintonizados Fig. 9.1.2.1a con sus frecuencias deresonancias próximas son prácticamente tas misma que la de una
configuración un filtro doble sintonizado ilustrado con la figura g.1.2.1.b,
la relación siguiente entre las componentes es la siguiente:
'C6
L6
ce
La
82
(3.1.2.1)
(3.1.2.2)
(3.1.2.3)
c2
R3
L2
R2
(c) | so
(b)
2OO 300 350 40oFrecuencie f ( Hz)
Fg. 3.1.2.1. Forma de traneformación (a) dos slmples flttroe slntonlzados; (b)filtro doble sintontzado; (c) dobte fittro-eintonlzadó para et quinto-y e-l;óp1ñó
armónlco.
C¡=C6+96
DaCb (Co'CbXLo.bb)z(LaDo- LbCbl2
,.= LoLb .-_ (Lecc-Lbcbl¿_._1,' _z=T;m
l* oKz)2 (r *(a =*,
I(r- x2) (t- ox2)l-x2a2 u-xz)
G l. oKz)2 (r. x2) (t. x2) ( t+ sF
(3.1.2.4)
[,]-*o l.*' I
donde:
u=ff u x=ffi(3.1.2.5)
una aproximación práctica es omitir el resistor R1 que es además
determinado por la mfnima resistencia del inductor L1 este tiene la
ventaja de reducir las pérdidas de potencia a la frecuencia fundamental
comparado con las configuraciones de un simple filtro sintonizado. La
principal ventaja de un filtro doble sintonizado esta en las aplicaciones
de alto voltaje, a causa de la reducción en el número de inductores
sometidos a impulso de voltaje pleno.
3.1.2 Ventajas y Desventajas de los flltros amortiguados.
Ventajas
- son menos sensitivos a las variaciones de temperatura por la carga, a
la desviación de la frecuencia, a las tolerancias de manufactura de las
componentes y a las pérdidas de los elementos del capacitor.
- Proporciona una baja impedancia para un amplio espectro de
armónicos sin la necesidad de subdividir ramas en paralelos con
respectivo incremento de maniobra y problemas de mantenimiento.
- Con el uso de filtros sintonizados a menudo resulta resonancia enparalelo entre los filtros y el sistema, en bajos ordenes armónicos con
filtros sintonizados a baja frecuencia, o entre tas frecuencias
84
sintonizadas de los filtros. En tal caso el uso de 1 o más filtros
amortiguados es una altemativa más aceptable.
Las principales desventajas del filtro amortiguado son los siguientes:
- Realizar similares niveles de filtramiento para obtener un buen nivel de
filtrado implica diseñar el filtro amortiguado para grandes niveles de
potencia activa, aún cuando en muchos casos un buen funcionamiento
puede obténerse conociendo los límites para la corrección del factor de
potencia.
- Las pérdidas en el inductor y en el resistor son generalmente
elevadas.
3.1.3 Propiedades de las componentes de un flltro. De el
conocimiento del voltaje fundamental y de los armónicos situados en el
barraje de estudio, los niveles de voltajes y corrientes en los capacitores,
inductores y resistores pueden ser calcurados, las potencias activas y
reactivas además de las pérdidas también pueden ser estimadas. para
prevenir el deterioro de esas componentes sus niveles pueden ser
basados sobre las condiciones más severas esperadas, altos niveles de
voltaje fundamental, altas desviaciones de la frecuencia efectiva,
corrientes armónicas de otras fuentes y posibles resonancia entre et
sistema AC y los filtros.
3.1.3.1 capacltores. Los capacitores están compuestos de unidades
estándares que están conectados en serie o paraleto para obtener los
niveles !e voltaje deseados. Los principales propiedades de los
85
capacitores son los siguientes:
Coeficiente de temperatura de la capacitancia.
Potencia reactiva por unidad de volumen.
Potencia de pérdida.
Confiabilidad.
Costo.
un coeficiente de temperatura muy bajo para la capacitancia son
deseados para sintonizar los filtros en su orden de funcionamiento y
evitar así la desintonización causada por los cambios de capacitancia
por la temperatura ambiente o con el catentamiento propio de tas
unidades de capacitores, note que estas propiedades no son
importantes para filtros amortiguados o capacitores de potencia.
Los capacitores obtienen altas potencias reactivas propias por unidad
de volumen ya que tienen muy pocas perdidas y altas presiones
eféctricas por los elevados voltajes. por esta razón prolongadas
operaciones en moderados sobre voltajes podrfan ser evitados para
prevenir la destrucción térmica de los dieléctricos y al igual muy breves
operaciones en altos sobrevoltaies podrían ser evitadas para prevenir la
destructiva ionización de los dieléctricos.
Los niveles de potencia reactiva del capacitor son la suma de cada una
de las potencias reactivas a ras frecuencias a las que es sometido.
86
3.1.3.2 Inductores. Los inductores usados en los circuitos de filtros
necesitan ser diseñados para funcionar en las frecuencias medias y
altas a las que están sometidos, el efecto piel y la histéresis deben ser
incluidas en los cálculos de las pérdidas, también el efecto del nivel del
campo magnético en el núcleo, también la desintonización causada por
la no linealidad magnética, podrán además ser considerados .
Estas cargas son normales para el uso de bajas densidades de campo
cuando se usa núcleos de hierro. Altemativamente , los inductores de
los filtros son mejor diseñados sin núcleos.
El Q en -la frecuencia armónica predominante puede ser seleccionada
para un bajo costo y usualmente está entre 50 y 1s}"/o. Además bajos
valores Q son normalmente requeridos eso se logra con el uso de un
resistor en paralelo. Los niveles del inductor dependen principalmente
de los valores máximos de corriente RMS y de los niveles de aislamiento
requeridos para sobrevoltajes por swicheos, normalmente R y L forman
el lado de puesta a tiena de un filtro sintonizado.
3.2 METODOLOGIA DEL DIMENSIONAMIENTO DEL FILTRO.
La metodologfa para el diseño y análisis de filtros utiliza el método de
modelamiento en el dominio del tiempo, para la estimación de laimpedancia del sistema a partir de las mediciones trifásicas de corriente
y voltaje. La corriente del sistema y el voltaje en el bus pueden ser
continuamente medidos para la estimación y actualización periódica de
la impedancia del sistema, esto puede ser usado para la evaluación de
87
la eficacia del filtro y ajustar los parámetros del filtro cuando sea
necesario, la metología incluye los siguiente pasos:
- Estimación del modelo de la impedancia del sistema.
- ldentificar el armónico a ser filtrado y conocer la potencia reactiva que
deberá ser suministrada por el filtro.
- Dimensionar el filtro por la especificación del capacitor y el inductor.
- Evaluar el funcionamiento del filtro por el cálculo del voltaje en el
barraje y la coriente del filtro en el sistema.
- Verificar las magnitudes de las componentes del filtro.
Estos cinco puntos a su vez constituyen la metodología para el diseño
de filtros.
tos puntos 1 y 2 fueron tratados en los capltulos anteriores. Si existen
requerimientos de potencia reactiva para ser suministrados por el filtro
se acordarán en la ecuaciones de diseño.
3.2.1 Dlmensionamiento del Filtro.
El criterio ideal para el dimensionamiento de filtros es el de eliminar
todos los efectos (nocivos) indeseables causados por la distorsión de la
onda, incluyendo la interferencia telefónica que es el efecto más difícil
de eliminár completamente. Este criterio ideal por r¿vones técnicas y
88
económicas no es realizable. Desde el punto de vista técnico, es muy
difícil estimar la distribución de los armónicos en una red C.A. Sobre el
aspecto económico, la reducción de interferencia telefónica puede ser
más económica tomando medidas preventivas en el sistema telefónico y
otras en el sistema de potencia [7].
Un criterio más práctico sugiere la reducción del problema a un nivel
aceptable en el punto de acople común con otros consumidores,
expresado en términos de corrientes armónicas, voltajes armónicos, o
ambos.
Un criterio basado en el nivel de voltajes armónicos es más conveniente
para el diseño de filtros, por que es más fácil garantizar que el nivel de
voltaje permanezca entre los límites razonables que un nivet limite de
corriente ya que la impedancia de la red cambia.
Los requerimientos para cumplir con las limitaciones armónicas en el
diseño de filtros incluyen los siguientes pasos:
- Los armónicos de corriente producidos por cargas
inyectados en un circuito consistente de el filtro en
sistema C.A. Fig. 3.2.1.
Corriente ermónice queL- vienc de lo fuente.
no lineales son
paralelo con el
Fuenteermónico
Corriente ermónicedentro de lo red C.A.
Flg. 3.2.1
89
Mediante el circuito de la figura 312.1 se puede estimar el porcentaje de
corrientes armónicas que fluyen por el filtro.
- El resultado de anterior es usado para determinar los parámetros
especlficos de Distorsión de voltaje en armónicos individuales (HD) y
distorsión armónica total (THD), TIF y el Factor lT.
- se calcuan las pérdidas y los niveles a los que están sometidas las
componentes del filtro como capacitores, inductores y resistencias.
3.2.2 Goneideraciones para el dimensionamlento. En el inicio del
diseño de filtros decisiones que determinan el diseño son:
- Cuánta potencia reactiva se adicionará.
- cuál es la demanda de potencia reactiva en carga normal, en vacío y
con sobre carga.
- Decidir cuantos filtros podrían emplearse.
- Una de las filosoffas de diseño de filtro es la del "Mfnimo Filtro" que va
a dar una adecuada supresión armónica, un mfnimo costo y va asuministrar alguna potencia reactiva asi no sea la requerida.
- Esquema de supresión a utilizar.
||lfnid¿d Aulónuma de Occidlnt.SECCION BIBLIOTTCA
90
3.3 ECUACIONES DE DISEÑO PARA FILTROS PARALELO
SINTONIZADO.
3.3.1 Filtro paralelo sintonizado.
consideramos los parámetros Xcf, Xif, Rlf son los valores de los
componentes capacitiva inductivos, resistivos, a la frecuencia
fundamental de los componentes de un firtro simple sintonizado. ef. es
la potencia reactiva total que va a ser suministrada por el filtro así.
Wn = 2tdn
= 2n(nfo) (3.3.1)
donde fs es la frecuencia fundamental del sistema y fn es la frecuencia
de sintonización del filtro. A la frecuencia de sintonización, las
componentes inductivas y capacitivas del filtro se han convenido iguales
esto es:
nWocf= nWoLf
(3.3.2)
wcf - n xlr(3.3.3)
Así ñWo = Wn =
(3.3.4)
se asume RLf (resistencia de el bobinado que sea pequeño) entoncesla potencia reactiva a la frecuencia fundamental puede ser dada por:
91
(3.3.5)
Donde lVl es la magnitud de el voltaje fundamental en el bus donde el
filtro es instalado. Entonces, la potencia reactiva total del filtro puede ser
obtenida por la sustitución de la ecuación (3.9.9) en la ecuación (g.g.s).
lv I'Qf=
xrt =
)lvl- n=Á
X "r 1-n2
x "r lvlt
(3.3.6)
(3.3.7)
Así:
n2 Qf (l-n2)
RLf=nxLf0 (3.3.8)
Donde Q es el factor de calidad de la bobina. si el valor de la potencia
reactiva a ser suministrado por el filtro es conocido, la componente
capacitivo puede ser encontrada con la ecuación (9.9.6).
El valor'de la reactancia inductiva, puede ser en contrada con taecuación (3.3.7) usando las tablas de los fabricantes para los valores
estandar del factor de calidad de las diferentes bobinas, RLf puede sercalculado por medio de la ecuación (g.g.S).
f=
3.3.2 Ecuaciones de diseño filtro simple sintonizado.
de la rama del filtro esta dada:
Z=R+i[wl-1 /wc]
92
La impedancia
(3.3.s)
La resonancia ocurre cuando la parte imaginaria es igual a cero (0),
durante ese tiempo la impedancia está limitada por el valor de R, lafrecuencia para la que el filtro es sintonizado está dada por el valor w(frecuencia angular) que resulta de la resonancia en serie en la rama del
filtro. Esta frecuencia esta dada como.
2n,[G(3.3.10)
Definiendo el número de armónico n como la frecuencia del armónico
dividido por la frecuencia fundamental del sistema la impedancia de la
reactancia inductiva y capacitiva al número armónico es escrito como:
XLn= nwL(3.3.11)
X"n= I
nwC(3.3.12)
como la parte imaginario es cero en la resonancia Armónica n = r,entonces.
)Lr = &r
Resolviendo para r rssulta la formula de diseño:
r^=xc¿ X¡-
(3.3r13)
(3.3.14)
Q=
93
La calidad de un filtro es una med¡da de la agudeza de la sintonización.
Matemáticamente, calida o Q es definida como :
Wo
Wt-."2(3.3.15)
(3.3.16)
donde ws es la frecuencia sintonizaday wr y w2 son puntos a - 3dB.
Los sigüientes puntos concemientes al factor de calidad e son de
interés para un simple filtro sintonizado:
- El valor de Q es rara vez considerado en la acción de filtración. Esto es
debido al hecho de que los valores de R, que muchas veces serán
usados para alterar significativamente la respuesta del fittro, usualmente
resulta en un significativo incremento en las pérdidas del filtro.
- El valor más alto de Q está en ra región más pronunciada en lafrecuencia de sintonización, como se ve en la Fg. (3.3.1) que consiste en
un número de planos sobrepuestos para el armónico 4.7 th. de un
simple filtro sintonizado para varios varores de e evaluados.
FRECUENCIA
F19.3.3.1.
llL/l/ v0-
go=z.(:t
E
94
- Un típico valor de R consiste solamente de la resistencia del inductor.
En este caso Q del filtro = R veces de )UR del reactor sintonizado, esto
significa un alto valor de Q y una acción de firtración muy aguda.
- La respuesta del valor de Q alrededor de 25 son escencialmente
indistinguible de un valor Q = 100 en el plano excepto por la magnitud
del pico.
3.3.3 Consideraciones de Dlseño. La interacción de la impedancia de
un filtro con la impedancia del sistema puede resultar en una resonancia
paralelo. Para una fuente con impedancia inductiva esta resonancia
ocurre a una frecuencia por debajo de la que el filtro ha sido sintonizado,
esto es dado por:
fsist= !2Tl H czt
(3.3.16)
Para una instalación con múltiples filtros sintonizados existirá una
resonancia pico para cada filtro. El cálculo actual de esas frecuencias
exactas es más fácilmente encontrado por medio de la solución de un
grupo de ecuaciones simultáneas, un método para la solución de esas
ecuaciones simultáneas es dado por la referencia [17]. El valor pico de
la resonancia también tienen su propio valor e:
Q,sis =
(3.3.17)
De fa inspección de las ecuaciónes 3.3.1 o y 2.2.16 es evidente que la
(ls + lr)Cr
95
proxim¡dad de la resonancia paralelo y la del filtro son enteramente
dependientes del valor de la inductancia de la fuente.
El problema ocasionado con estos puntos de resonancia adyacentes es
una desintonización del filtro. Si el filtro es sintonizado a la frecuencia
de interés entonces, un aumento en la frecuencia de sintonización
podría dar un agudo incremento de la impedancia vista por el armónico
y el pico de resonancia se incrementaría lo suficiente para coincidir con
el armónico de interés,con lo cual la amplificación del voltaje resonante
podrfa resultar desastroso.
Los 4 mecanismos más comunes que pueden producir una
desintonización en el filtro son los siguientes:
- La fundición de los fusibles del capacitor que lteva a un nivel bajo de
capacitancia y eleva la frecuencia de sintonización del filtro.
- Las tolerancias de manufacturación en el reactor sintonizado y tas
unidades de capacitores.
- Variación de la temperatura.
- Variaciones del sistema.
Teniendo en cuenta estos conceptos será ventajoso sintonizar el fittro un
tanto por debajo de la frecuencia deseada. Esto dará la suficiente
acción filtrante para el armónico, lo cual también es ventajoso en elevento de que salga de funcionamiento unas pocas unidades de
96
capacitores. Tipicamente, los bancos del filtro son sintonizados
aproximadamente entre el 3"/" y 10% por debajo de la frecuencia
deseada. En consideración a lo anterior, es importante el diseño
apropiado de un esquema de detección de desbalance para proteger el
filtro y el sistema.
3.4 ECUACIONES DE FILTRO PASA ALTO.
Filtro pasa alto es llamado así debido a su característica de baja
impedancia sobre un margen de frecuencias. La respuesta típica del
filtro a la frecuencia se da en la siguiente Figura 3.3.1, este filtro desviará
un gran porcentaje de todos los armónicos que estén al rededor de la
frecuencia de diseño.
Frecuentemente, un filtro pasa alto cuyo margen de frecuencia es
localizado en el armónico más bajo, que va a ser eliminado, es usado
para todo el filtramiento.
(a)
FRECUENCIA
Flg. 3.3.1 rfpica respuesta a la frecuencia de un filtro paso alto
Dos factores pueden ir en contra de esta aplicación.
filtro pasa alto en el pasabanda nunca
o===(9E
- La mínima impedancia del
97
podrá ser comparada al valor que toma un simple filtro sintonizado en su
frecuencia de sintonización.
- El porcentaje de desviación de todos ros armónicos de un sistema a
través de un filtro puede requerir que el filtro,
sobredimensionado desde el punto de vista
fundamental.
sea
de
excesivamente
la frecuencia
Los filtros pasa altos toman una de 4 formas como se muestra en la Fig.
3.1 .3.1 . esas son de 1er., 2do, 3er orden y C.
El primer orden, que caracterizado por tener grandes pérdidas a lafrecuencia fundamental es raramente usado.
El filtro de segundo orden es simpre de aplicar dando una buena acción
de filtramiento y reduciendo sus pérdidas a la frecuencia fundamental.
Las pérdidas durante el funcionamiento del filtro de tercer orden son
mayores que las del filtro de segundo orden teniendo una acción de
filtramiento menos efectiva. Er firtro de tipo c reduce sus pérdidas de la
frecuencia fundamental, pero, es muy suceptible a la desviación de lafrecuencia fundamental por tener una de sus ramas sintonizadas a esta
frecuencia.
La impedancia del filtro pasa alto de segundo orden esta dada por lasiguiente,ecuación:
. (+.#i'(3.4.1)
f=
La frecuencia a la que el
frecuencia dado por:
2rWy el Q del filtro esta dado por:
RRR___=-=_=_(L/c ) xc Xc
98
filtro es sintonizado es la de el ángulo de
(3.4.2)
(3.4.3)
La siguiente ecuación también es varida para el filtro pasa alto:
r- xc
x l @.4.4)
La figura 3.4.1 muestra la respuesta de un filtro pasa alto con un angulo
de frecuencia que está en el 10.7 armónico variando para diferentes
valores de resistencia.
FRECUENCIA
Fig.3-4.1. Respuesta del filtro pasa alto a distintos valores de resletencia
En fa figura 3.4.2 es similar pero aquí el filtro está en un circuito con laimpedancia de la fuente. puede verse otra vez que la impedancia del
sistema interactua con la impedancia de el filtro produciendo un punto
de resonancia.
o=Fz.(9
E
99
af
=(9E
FRECUENCIA
F19.3.4.2. Respuesta de un filtro pasa atto con el sistema para dlferentesvalores de resletencia
Para el filtro pasa alto, los valores tipicos de e varían desde 0.5 hasta 2.
con un valor de o alto osea 2, la acción de filtración es más
pronunciada en el angulo de frecuencia, mientras que a altas
frecuencias la impedancia del filtro permanece alta.
Para valores bajos de Q; 0,5 la respuesta al ángulo de frecuencia no es
perceptible, y como la frecuencia se incrementa la impedancia es
aproximadamente constante.
otros factores a ser considerados para la escogencia de e incluye:
- La frecuencia a la que el filtro va a ser sintonizado.
La existencia de interferencia telefónica.
- Las pérdidas.
3.s DtsEÑo u¡Mn¡o FTLTRO
un filtro mínimo es uno que 'adecuadamente haga supresión dearmónicos a un mfnimo costo y suministre alguna potencia reactiva, pero
tal vez no toda la que requiere el sistema".
La mayor consideración aquf es ra der tamaño der banco de capacitores.
100
Para encontrar el tamaño adecuado del capacitor se considera un
proceso iterativo ya que la magnitud de la corriente a la frecuencia
fundamental depende del tamaño de los capacitores.
El mínimo filtro puede obtenerse como aquel filtro dentro de un sistema
el cual no requiere que se mejore el factor de potencia y por ende sean
elementos que se apliquen a los voltajes y corrientes requeridos y
propios para la frecuencia de resonancia a la cual el filtro va a ser
sintonizado.
La ecuaciones para solucionar los tamaños del mínimo filtro son las
mismas que han sido expuestas anteriormente (filtro simple sintonizado
y pasa altos)
3.6 NIVELES DE LAS COMPONENTES DE UN FILTRO
3.6.1 Gapacitores. Los máximos rimites de carga admitidos en los
capacitores están expresados en la siguiente tabla:
NIVELES
I(/AR
r m s Voftaje
Suma de los picos de voltaje
r m s Coniente
PORCENTAJE
135"/"
1 10%
12Oo/"
1 80%
Todos e'éos parámetros podrfan ser chequeados cuando se apliquen los
capacitores en el medio armónico, especialmente si los capacitores son
101
parte de un filtro.
Si la compensación reactiva es también requerida por el sistema, el
diseño puede tener varias interacciones antes de decidir finalmente
sobre el tamaño de los capacitores.
cuando usamos en un sistema un banco de capacitores con un voltaje
por debajo del nivel de capacitor la siguiente fórmula puede expresar los
KVAR efectivos:
KVAR =V""p (L- L)2
Zc(3.6.1)
La presencia del reactor en el filtro cambia los kilovares efectivos en lasalida del banco, la nueva salida de KVAR es calculado de la siguiente
forma.
KVAR f iltro = Zc-7t(3.6.2)
En cuanto los límites de corriente dados en 1g0% dado por la tablapueden ser estimadas por debajo de este valor para cada unidad de
capacitor individual ya que estas son usualmente protegidas con
fusibles entre 12s-165% de sus niveles de corriente.
En el diseño de firtros, ros rímites de vortajes rms y conientes y tas sumaaritmética de ros vortajes picos sobre er banco der capacitor podrfanestar cercanas al 100% para condiciones normales del sistema.
(vL-L)2
102
Estos sobre niveles son dados para cubrir los sobrevoltajes y
condiciones desbalanceadas del sistema.
Las componentes armónicas también pueden ser incrementadas
significativamente en condiciones desbalanceadas.
3.6.2 Reactor. Los reactores usados para aplicaciones de filtro son
usualmente con núcleo de aire que provee características lineales
respecto a la frecuencia y la corriente.
Un porcentaje de tolerancia de t 5o/" en !a reactancia es usualmente
aceptable para la aplicación en sistemas de potencia industriales.
La relación )(/R a 60 Hz es usualmente entre 50 y 150, un resistor en
serie prodra ser usado para bajar dicha relación si es deseada.
El reactor podrá ser definido con niveles de corto circuito en un punto
entre el reactor y el capacitor.
El aislamiento (BlL) podrá ser igual al de un transformador de potencia
conectado al mismo nivel de voltaje.
Los parámetros inclufdos cuando se especifica un reactor son los
siguientes:
- Corriente a 60 HZ.
- Niveles de corriente armónicos.
- Coniente de corto circuito.
103
Relación )(/R.
Voltaje del sistema.
BIL.
3.7 ASPECTOS DE COSTOS EN EL DISEÑO DE FILTROS
Un filtro efectivo es aquel que realiza una adecuada supresión armónica
a un mínimo costo, suministrando alguna potencia reactiva al sistema.
El costo por pérdidas en el filtro se debe al suministro de potencia
reactiva y al filtramiento.
Los siguientes puntos son tenidos en cuenta en el análisis de costos en
las componentes de un filtro.
- En una instalación típica, un banco de capacitores consiste de una
matriz de unidades de capacitores, en la cual cada unidad protegida con
fusibles extemos tiene el nivel nominal en los voltajes de operación .
El costo de un banco de capacitores es aproximadamente constante al
nivel de la matriz mínima que contiene todas las unidades.
Para altos niveles una o más unidades son adicionadas a cada grupo, o
matriz como sea requerido y una aproximación del costo por MVAr o
tamaño puede ser estimado.
El costo del filtro debe contemplar entre otros la disponibilidad de las
unidades estándar con diferentes niveles nominales por ejemplo so, looy 150 kVar, y el incremento del costo varía para los diferentes tamaños
104
de los bancos de capacitores.
Aunque tales factores podrían ser incluídos para el desarrollo de una
ecuación aproximada de los costos, se asume que el costo de los
bancos de los capacitores es proporcional a sus niveles de tensión.
- Aunque el costo de los inductores del filtro depende en gran medida
del método de su construcción (aislados con aceite unidades frías,
reactores refrigerados por aire de construcción abierta) los costos no
varian grandemente para los diferentes niveles.
El costo aproximado usado en el análisis es de la forma:
Costo Inductor = Ur + U¡ x (NivelTotal MVAr ).
Donde ur es una constante del costo v ul es el incremento del costo del
inductor por nivel de MVAr.
- Los niveles de potencia del resistor necesarios para el ajuste de e en
cada rama del filtro podrían afectar sin duda alguna, aumentando el
costo en el filtro. La resistencia nominal de las unidades es difícil de
predecir en un análisis general, por que ésta obviamente depende del
valor del factor Q natural del inductor. por esta razón y también por que
el costo de un resistor refrigerado por aire es pequeño comparado con el
de los otras componentes. Una constante de costo por resistor es traída
al análisis. si se utiliza una unidad refrigerada por aceite, el costopodrfa ser más significativo, pero también podrfa ser virtualmenteindependiente del nivel de potencia.
3.7.1 Filtro simple sintonizado. En un circuito con e alto. Se puede
asumir que:
Vc = Vl + Vs (g.7.1)
donde Vc vl y vs representa los voltajes del capacitor, del inductor y del
sistema ?espectivamente.
El tamaño del filtro se expresa como:
S=2
V5
xc- xl(3.7.z',)
donde Xc Y Xl son las reactancias capacitiva e inductiva a la frecuencia
fundamental.
- Finalmente se asume
propósitos de la estimación
todas las frecuencias.
105
que la resistencia del inductor para los
de pérdidas de potencia es constante en
(3.7.3)
Pero para un filtro sintonizado en el armónico n:
Xnxo = nXr= É
Teniendo:X"
xr =É
Entonces:
u.. =F(3.7.4)
S-
También:V. - V. = Vc (l -1/n2) = Vs
Teniendo:n2
V. = ;:-; x V, KVnt -1
Vr' Vrt , rr2t*l ttvnnIx.tt-t/n2)] xc t n2-l
106
(3.7.5)
(3.7.6)
(3.7.7)
Las cargas para cada componente der filtro son determinados por la
evaluación del costo como sigue:
3.7.1.1 Capacitor:
Carga fundamental:
,r2 , 12v;- Y.-l n2.,2 ^r n2
x. - xc L rr2-lJ = sLnr-lJ MVen
(3.7.8)
Carga Armónica:
,2 ,,2É (*)= + " I' MVen'\ ¡t s.n n2_l "!nñ
(3.7.g)
Pérdidas Oe potenc¡a:'
.2 ,,2Kcr (plena corsa) = Kcr I s * [+ f f f É] rw
(3.7.10)
donde:
Kct es el factor cle pérdida de los capacitores Kwen lrv AR
3.7.1.2 lnductor:
Carga fundamental:
#=(:ric*l=q,A2 1
= -: xln2
. n.-1. (3.7.11)
v:
107
(3.7.12)
(3.7.13)
(3.7.14)
n2 xc
carga armónica : es la misma del capacitor debido a que a la frecuencia
armómica las reactancias son iguales .
Para los propósitos de costos, es conveniente considerar las pérdidas
en la resistencia efectiva total R donde:
R= xo =
X"
0nQLa corriente fundamental es
qI= * KA
YS
3.7.1.3 Las pérdidas totales:
(r,'.r:)= 1-9.rÍ9'vánQnQ
= fg-.nQ S n2_l r t nsQ
=t*.#l t4l'ro3 KW
(3.7.15)
Para los propósitos de comparación de el costo de las pérdidas de
energía esta expresado en términos de costo de capital equivalente por
el uso de un factor de valor presente.
6r
Pv= [(t*i)N- r]i(l*i)N
108
(3.7.16)
(3.7.17)
(3.7.18)
donde i es la rata de interés y N es el presupuesto de vida del filtro.
Así el valor presente del costo de las pérdidas de energía es:
VPce = Pv Uu Fu x ( pérdidas totales de potencia )
VPce = Pv Uu Fu x ( pérdidas totales de potencia )
Donde u, es el costo de las pérdidas de energía por kilowatio hora, y Fu
es el factor de utilización del filtro y la expresión completa para la
evaluación de los costos totales son debidos al suministro de potencia
reactiva y pérdidas en el filtro evaluados en un tiempo estimativo de vida
útil del filtro dados como
Tcost = Ur * t-4n2-l l r. (r, uÍ-'Í )*u,.(+ . #,J
+ 6760 Pvuu rrl*.,-(s- #)* ro" (ft . -,J
Tcost'= Ur * Ot. +(3.7.1e)
Donde U1 es la constante de costo total de la rama del filtro, u6 es el
costo incrementado por MVAr del capacitor, u¡ es el costo incrementalpor MVAr del inductor.
A- t"lr luc
* #.8760
PvuuF, (r*. fr'-)
^2a=[ÉrL, Jl,.
l(3.7.20',)
*.r](3.7.21',)
vS rf * Ur * 8760 Pv Uu Fu ( Ks¡*
Cuando la compensación reactiva, no es
diseño de filtros la elección a tomar es latener un mínimo costo, esto ocurre cuando:
109
un criterio importante en el
del mínimo filtro que deberá
o (r.-ojt) = e
S MIN será:
s¡'r,¡ = F MV¡n
entonces A - BlS2=O(3.7.22)
3.7.2 Filtro pasa alto. Los componentes de carga a
fundamental y para todas las frecuencias armónicasdeterminadas como para el filtro simple sintonizado.
22S= Vs no
xc n3- r
MV¡n
(3.7.23)
la frecuencia
pueden ser
(3.7.2s1
(3.7.26)
(3.7.271
(3.7.28)
(3.7.24)
Donde ño €S la relación de la frecuencia sintonizado a la frecuencia de
suministro.
3.7.2.1 Niveles del capacitor:
2
Lacargefundamentol es: tt+] Nvo*no-l
La carga al ermónico n es: f Í *9n
Usando la ecuoción: S= ( Vr2lx.¡ ntlnS-r I
queda: I l' In2 I r
u" n3 Is t n rL
nor_r J
ru*rrml
Así la carga total armónico
I r vrtnSIL s n3-r J
3.7.2.2 Nivel del Inductor:
es:
nmexsLn=nmin
t'^ tn 11V¡n
110
(3.7.2s)
(3.7.30)
(3.7.31)
Para un valor de Q = 1,5 se tiene:
R = 1,5 )lo = 1,5n9.X¡
R= 25Xl
Dado que l" = lc * jln a la frecuencia fundtamental t6 - l¡
Y la carga fundamental es:
,2v,2w lcAcIL AL=
-
no
=r,?)'fglf4i- \ Vs' : nás JL nt_t
J
2
= t+l t*-rl MV¡nnf z
En el armónico n:
(1,-)n= (lnR/R*JX.)
= InQ/ tQ*jnlnole
l{r'.)^l=lnQ
(o'* #)""Y la reactancia inductiva en el armónico n es:
(3.7.32)
111
(xr)n=xoftl=+(ff)
=+r€lr4lno v n -l
Así la carga en el armónico n es:
(1,.)Í (x,-).* a'v! t+, | ,''e -lj _ s L no,_r
rfdft F-l r1V¡n
(3.7.33)
y la carga armónica total es:
MV,cn
(3.7.34)
3.7.2.3 Pérdida de potencia:
Pérdida de potencia en el capacitor es : Ks ¡ x (nivel total de Kilowatios).
La resistencia en serie der inductor a la frecuencia fundamental.
R, = xo
= ll)x,' Q. \ QL,'
.L (g.7.gs)
Donde Ql es el factor de calidad del inductor y la corresponidente
pérdida es:
112
tÍ n,- = # ( |1v¡n de corge)
=[='= ]l+l Nw-ñoQL-- no._l
Similarmente las pérdidas de potencia para el armónico
) (l.lÍ C *L)n=o'vjnor n3 ryo*
ar. t *1 l'Én'n
n es:
rÍ
+n2
(3.7.36)
llVnn
(3.7.32)
Q2 no2
Las pérdidas en el resistor paralelo R pueden expresarse como una
fracción de la carga del inductor, a la frecuencia fundamental.
Rr = QrXo = QnsX¡ (3.7.38)
= ll'lt.- =R Qnoxl Qno (3.7.3e)
y la pérdida de potencia es:
lRlr
in=t#l ttx.
=[ I I (MV¡ndecorgo)- L Qno'
=[ s= 1l \3 ]xro3rw- L Qn;'t not_r J
lr- xl
(3.7.40)
(3.7.41)
(1.)^ l{rJ" lc*l (3.7.42)
113
y la pérdida de potencia es:
> (l*)^' ( R)n =fo v!/not#f ¿::n' l'n
e'n3 * n'x lo3 Kw
(3.7.41)
El costo total aplicando el factor de valor presente de
energía y recogiendo los términos en s y en 1/S como
simple sintonizado,esta dado por:
Tcosr= Ur*As.+
los costos de
para un filtro
(3.7.42)
Donde:
4=[uc.+.
(3.7.43)
, n3 ',.,r S4 ,2f rlJc Q2 "'-u=tfil uíá,","tn[( . .oft)* azoo pxuuFu (bn'*
e'noxl03 en2xl03 .l
,(.1r'."1 .no(Qml(3.7.M)
Así como, Tcost es mínimo cuando:
c-- -\E-5=sNrn= \¡ llVan
La ecuación 3.7.45 es útil para et diseño del mfnimo filtro.
8760 Pv' uu Fu( Kcr .+ñ. ;#,, t*,
(3.7.45)
3.8. DIAGRAMA DE FLUJO DE LA METODOLOGIA
TOi4AR LOS DATOS DE Vel 1 6 ó 3a
SUPONER GRADOS DEL POUNOMIO Z PARA EL MODELO DE
COiIVERSIOI¡ Py Q QUE DETERMINAR LA ESTRUCTUM DEL
MODELOALQTJELEVANA@
OBTENOON DE LOS PARAMETROS DE A Y B
POR MEDIO DE LOS MINIMOS CUADRADOS.
DETERMINAR ERROR DE COVARIANZA Y
ESCOGER EL M@ELO CON MEI'¡OR VALOR
DE ERROR DE COVAR¡AI'¡ZA
COt¡ l-AS MATRICES A HALLAR O
Y CO.¡ LAS MATRICES B HALLAR
coN o HALLAMOS A cOlrn¡lue vBCONTINUA CON OY I
ESTABLES Y FISICAMENTE
DETER}IINAR I-A FUNCION DE
TMNSFERENCIA H(s: = -p'- u(s)
REAIIZAR TMNSFORI"tA DISCP.ETA DE FOURIER PARA LOS DATOS
DE I v V. OBTENER LOS VALORES DE LAS CORRIENTES ARMONICAS.
DETERMINAR LOS AR}ONI@S A SER ATENUADOS @N Z(O Y LOS
VALORES DE LA TRANSFORT'4ADA DE FOURIER
DEFTNTR ESQTEMA DE SJPRESIION AR|,IONICA
FILTRO CUMPLE
@NLOSKVAR
THD PC)R DEEAJO
LHJTE MAXIMO DE
51 9-l 992ESt 'lA MJEVA
RESOMT.IOA
LOS NIVELESDE CORRIENTE
LOS NIVET¡SD€ VOLTA.JE
NIVEL DEVITAJE
APROPIADO
116
3.9. FUNCIONES Y PROGRAMAS PARA MATLAB
El programa Matlab ha sido seleccionado para ser usado en ra
aplicación de la metodología propuesta dada su gran disponibilidad de
funciones, el excelente manejo de matrices y su buena comunicación
con los usuarios.
3.9.1. obtención de los parámetros por mínimos cuadrados.
Teniendo el vector de medidas Xr, la matrix de la función de la entrada y
un salida previa A, obtenemos por medio de los mínimos cuadrados las
coeficientes a11.......?sP, b1e .........bsq de la forma
t\
a- (At * A) (-1) - Ar * Xr
3.9.2. Obtención de los valores propios y vectores propios.
Teniendo la matriz V.on los coeficientes A obtenemos sus vectores y
valores propios
[X,d] = eig V3.9.3. Obtención de la Función de transferencia.
[num, den] = sS2 t f (Ac, 86, D6, 16).
3.9.4 Respuesta a la Frecuencia.
h = f req s (num, den, W).
3-9.5 Programa para la transformada dlscreta de Fourler.o/" Program Fourier.
N = número de armónicos
M = número de datos.
117
M = número de datos.
Ty = Tamaño de la muestra.
Fori =l:NForK=l:M
P1i¡ = p1¡¡ + (Cos (2 x pi x i x 60 x(o) x U(x) x at.;
M(¡) - M(D + (-Sen (2 x pi x 60 x(rl) x U1r<¡ x At.;
)B(r)=+.(-M<il)IM
.)A(t) = É. (pcO)
end; end;
3.9.6. Programa para magnitud de los armónicos.
For i= l: N
Z(¡) = Sgrt ( (At¡l {z) + (B1i¡)n(2)/ 1.4142.;
3.9.7. Obtención del THD (tTHD yto VTHD).
trHD- sqrt [( sutt (zt.>, z <+g>)2] x 100
z(1)
Los datos de las formas de onda de voltaje y corriente fueron tomados
de la referencia [18] donde se muestran los resultados de mediciones
ejecutadas sobre un barraje con cargas armónicas. Ver anexo 1 y 2.
4. CONCLUSTONES
1. El método para identificación de sistemas en el dominio del tiempo
propuesto para el cálculo de la impedancia equivalente vista en un barraje,
con base en mediciones trifásicas de corriente y voltaje sobre el mismo, no
requiere una detallada información sobre los dispositivos del sistema V sus
configuraciones.
2. El método para el modelamiento de la impedancia tiene aplicación en
sistemas monofásicos o trifásicos desbalanceados.
3. Un críterio basado en el nivel de distorsión de vottaje armónico es mas
conveniente para el diseño de filtros, por que es mas fásil garantizar que el
nivel de voltaje permanezca dentro de los límites sugeridos que un nivel
límite de corriente, ya que la impedancia de la red cambia.
4. Los límites para la distorsión armónica dados por la std. IEEE 51g-1gg2,
son sugeridos para el control de armónicos en este documento, pero no son
normas homologadas aún en Colombia.
119
5. La instalación de filtros no siempre será la solución más viable a un
problema armónico, otras medidas como el cambio en la configuración del
sistema o la modificación de los puntos de resonancia por medio de la
inclusión de reactores son soluciones más económicas.
6. La configuración de filtros más comunmente usada para la limitación de
armónicos es la del filtro simple sintonizado por su mínimo costo, aplicado
en armónicos de bajo orden.
7. Por contener los filtros bancos de condensadores el efecto sobre la
compensación reactiva se incluyó en las ecuaciones de diseño, las cuates
se basan en los requerimentos de potencia reactiva del sistema cuando se
va a diseñar el filtro, actuando estos como limitadores de armónicos y
compensador reactivo a la vez.
8. El algoritmo para el análisis y diseño de filtros para armónicos que usa la
impedancia estimada del sistema en el dominio del tiempo, tiene la ventaja
de ser actualizada de acuerdo a las condiciones de funcionamiento del
sistema . Lo cual permite verificar el funcionamiento de un filtro baio las
diferentes condiciones de operación del sistema
9. se encontró que el programa para computador MATLAB, es una
herramienta indispensable para la aplicación práctica de la metodologfa
propuesta, por su contenido de funciones matemáticas propias de lametodología.
¡-ñññ;tó.'-,;.-ffiil]t SECC|ON ntrilrol icA I_ .-___d
120
10. El mínimo filtro puede obtenerse como aquel filtro dentro de un
sistema el cual no requiere que se mejore.el factor de potencia y por ende
sean elementos que se apliquen a voltajes y corrientes requeridos y propios
para la frecuencia de resonancia a la cual el filtro va aser sintonizado.
11. El diseño de filtros require de un modelamiento de la impedancia en el
punto donde se va a ejecutar la supresión armónica, también requiere de
un análisis de los armónicos presentes en el sistema. Por lo tanto este
documento retoma estos impoñantes criterios para el diseño de filtros.
5. REFERENCIAS
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ANEXOS
ao¿oz.UJt¡l
\o
500
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
400
ANEXO 1
VOLTAJE DE CARGA TRIFASICA
-5oo ó 0s01 0.006 0.008 0-01 0-012
TIEMPO EN (seg)0.014 0.016 0.018 0.02
0.002
6000
4000
ANEXO 7
8000
-2000
-4000
-6000
-8000 o¡oz 0.004 O¡OO 0.008 0.01 0.012 0.01¿[ 0.016 0.018
TIEMPO EN (seg)
oo(DC¡-E
z.t¡J1¡lFzgÉ.Éo(J
0.02
CORRIENTES DE CARGA TRJFASICA
:
izr-V---V-',f\/' \\ /:
t,It'lrrl
- ¡- - t - - - I - - - - -.llrl :rlll¡V'., ¡AU.
tl/l ,
---I----L-----Ít¡tlrlr :/t
I t¡/ '\^¿z >^,\-:
i
--------i------
:
'--------i-----:.\ i/..t:,
/\itt-------\!---zc-a¿
:
:
l--:.
\_--"J'
,:1
--\¿-'-l:,
lrt1¡l
/:t' tl
' :l
jr/,\
ANEXO 3
1- obtención de los parámetros del modelo (estimación del vectorde estado x);
X = ( H'" H )"(-1) *H'* Z;
2- conversión de un modelo de espacio de estado discreto acontinuo .
Ix,d]= eig (O) ;
[x,d]- cdf2rdf (x,d);l= ( xn(-1) . (D" x);O= ( 1/ At )
- funm( l, 'log');Ac=x*O.x^(-1);Bc= [O - eye((D)]"(-1) * Ac * fC=HD= Es una matrix nula con número de columnas de B y número defilas de C.
3- Estimación de la función de transferencia.
[Num,den]= ss2tf (Ac,Bc ,C, D , n);n= Determina la variable de entrada
ANEXO 4
Programa para la transformada discreta de Fourier.
U= Magnitud de la medida.N= Número de armónicos a evaluar.M= Número de datos.Tm= Tamaño de la muestra.At= Frecuencia de toma de muestra.t= Tiempo.for i=1:N;for k= 1:M;
P(i)= P(i) + ( cos(2.pi*i*60*t(k))).U(k)"At;M(i)=M (i)+(-sin(2"pi*i*60"1(k))).U (k).At;
B(i)=(zTm)"(-M(i)); A(i)=(2rrm).(p(i));end;Z(i)=5qx((A(¡))^(2)+(B(i))^2)t 1 .41 42end;plot(i,Z);
Obtención del ITHD y/o VTHD
I T H D= (sq rt (s u m ((z(2))^(2), (z (4e ) )^ (2))) /z(1) ) " 1 00 ;
ANEXO 5
4500
4000
3500
3000
(,Eg zs0o&áI zoooz.(9
= 1500
20 25 30ORDEN ARMONICO
ARMONICOS DE CORRIENTE FASE X
ANEXO 6
3500
3000
a. 2500
FeEs zoooo=z.g 15oo
=
1 000
500
0 20 25 30ORDEN ARttrtONlCO
AP.iIONICOS DE CORRIENTE FASE Y
ANEXO 7
4000
3500
3000
a 2500
Fc¡-Es zoooof,bz.3 1500
1000
500
0 20 25 30ORDEN ARI'ONICO
ARII¡IONICOS DE CORRIENTE FASE Z
ANEXO 8
Estimación de la impedancia en función de la frecuencia fase 1 o X
[Num,den]=ss2tf (Ac, Bc, C, D, 1);
w=linspoce(376, 1 88a9) ;
f=w/2"pi*60;
h=freqs(num ,den,w);
ma$=a[s(h)'
plot(f,mag);
t¡tle('RESPUESTA A LA FRECUENCTA');
ANEXO 9
0.035
0.03
0.01
0.005
0.025
0.02
0.015
E
ozUJXNI.Uoofl-zC'
0 4020 25 30ORDEN ARMONICO
15100
RESPUESTA A LA FRECUENCIA DEZX
ANEXO I @
0.025
0.02
0.005
E-o-fu 0.015
NLUoof,F o.olz.(5
05020 25 30
ORDEN ARMONICO15105
RESPUESTA A LA FRECUENCIA DEZy
--,
An¡EXO r I
RESPUESTA A LA FRECUENCIA DEZz
,jI,I
-l,l¡l
:l.l:_ [
0.026
o.024
o.022
E
oz. o.o2t¡JNNñ 0.018oftz 0.016TJ.J
0.014
0.012
0.0110 15 20 25 30 35
ORDEN ARMONICO45
ANEXO i Z.
0.025
0.02
0.015
EcozLrJ
NuJoolFzo
0.035
0.03
0.01
0.005
15100L
0 4520 25 30,ORDEN ARMONICO
i-,"-.
RESPUESTA A LA FRECUENCIA DEzx (-) Zy (:) Zz (-.)
/ ltt=/-1,' v
\/,\/:{'
5
ANEXO 13.
Evaluación del problema armónico utilizando las gráficas.
El anexo 4 muestra el método para la evaluación de armónicos ,
los anexos 5,6 ,y7 muestran las gráficas de magnitudesarmónicas para las fases X , Y , y Z, donde puede verse que parala fase X los armónicos de mayor magnitud son S, Z ,11 , 19siendo el quinto de mayor magnitud.
La respuesta a la frecuencia para la impedancia en la fase xmuestra un pico de impedancia cercana al quinto y séptimoarmónico . Dado que el quinto armónico es et de mayor magnitudadicionado a la suceptibilidad armónica de la impedancia en elmismo armónico este es candidato a ser atenuado. lgual sucedepara fas fases Y y Z.
Las graficas de respuesta a la frecuencia muestran que las fasesson desbalanceadas dada su diferencia de magnitud a frecuenciasiguales.
Ef vrHD para las fases X, Y, yztienen valores der g%, 10.6 % y 57" respectivamente superando el VTHD del 5 7o recomendado porla std.- 519 -1992. Para voltajes menores a 69 Kv. Lo cual sugieretambién que se realice una supresión .
ANEXO 14
ct)oFo
500
400
300
200
100
0
oNDAS DE VOLTAJE REAL(-) y STMULADO(-_)
30 40 50 60 70TIEMPO
-100
-200
-300
-400
-50010 90
ANEXO i 5
E
o 0.15zuJofFzq 0.1<t
20 25 30ORDEN ARMONICO
RESPUESTA DEL FILTRO A LA FRECUENCIA
ANEXO 16
x 1o'3RESPUESTA DEL FILTRO CON EL SISTEMA
o
5 r-szLU
ofFzor
20 25 30ORDEN ARMONICO
35 40
ANEXO 17
IMPEDANC\ATT (--) Y FILTRO CON zx ox 10'39¡
I
'f?l
I
'f5f
I
"i;L
,L
U)
ozul
()zouJo_
-\*,- a
- -= :1 -
0.8ORDEN ARMONICO