AplicaŃii (ALGAD), Nr. 1

ExerciŃiul 1. Se dau mulŃimea de vectori � � ����� � � ���� | ����� � 4� şi câmpul de scalari ��, �,·� � ��, �,·�. Definim adunarea vectorilor ca fiind adunarea clasică a polinoamelor şi înmulŃirea cu scalari ca fiind înmulŃirea clasică a numerelor reale cu polinoamele. Este ����� un �-spaŃiu vectorial relativ la operaŃiile de mai sus? ArgumentaŃi răspunsul. ExerciŃiul 2. Fie sistemul liniar omogen

���: �� � � � � 02� � 3� � � 04� � � � 3 � 0.% Considerăm submulŃimea & � ���, �, � �' | ��, �, � este soluŃie a sistemului ����. Să se arate că & este un subspaŃiu vectorial în �'. ExerciŃiul 3. Să se precizeze care din submulŃimile de mai jos sunt subspaŃii vectoriale în spaŃiile vectoriale indicate:

a) &1 � ���, �, � �' | 2� � � � 3 � 0� 2 �'� ;

b) &3 � 45 63��� | 5 � 7 � 828 �9 , �, 8 �: 2 63���� ;

c) &' � � �3��� | ���� � ����, ; � �� 2 �3���� . ExerciŃiul 4. Să se găsească acoperirea liniară a următorelor sisteme de vectori:

a) �1 � �<1 � �1,2�, <3 � �2,4�, <' � �2,1�� 2 �3� ; b) �3 � �<1 � �1,2,1�, <3 � �2,3,2�, <' � �2,4,2�, <� � �4,6,4�� 2 �'� ; c) �' � �<1 � 1 � �3, <3 � � � �3, <' � 2 � � � �3� 2 �3���� .

ExerciŃiul 5. Fie subspaŃiile vectoriale ? � �5 6@��� | 5 � 5A � 2 6@��� �mulţimea matricilor EFGHI�FJH� şi K � �5 6@��� | 5 � � 5A � 2 6@��� �mulţimea matricilor �LIFEFGHI�FJH�. Să se arate că avem 6@��� � ? M K.