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5/13/2018 Apontamentos_ftel1 - slidepdf.com

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APONTAMENTOS DA DISCIPLINA DEFUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES I

(2010/2011)

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA ELECTRÓNICAE TELECOMUNICAÇÕES

Universidade do Algarve

Prof. Mª do Carmo Medeiros



Fundamentos de Telecomunicações I MIEET

ii

Prefácio

A disciplina de Fundamentos de Telecomunicações I conjuntamente com a disciplina deFundamentos de Telecomunicações II tem por objectivo estabelecer as bases fundamentais dasTelecomunicações analógicas e digitais, incluindo aspectos de transmissão, modulação,emissão/recepção, ruído e o seu impacto no desempenho dos sistemas de comunicação, assimcomo a introdução ao estudo de códigos correctores de erro.

O material apresentado nestes apontamentos baseia-se principalmente em dois livros quesão utilizados como livros de referência nas disciplinas de base de telecomunicações quer emPortugal como no resto do mundo :

-S. Haykin and M. Moher. Communication Sytems, 5th edição (Wiley, 2010).-A.B. Carlson and P.B. Crilly, Communication Systems, 5th edição (McGraw-Hill, 2010).

Estes apontamentos foram desenvolvidos como elemento de trabalho do professor, podemservir como ponto de referência aos alunos, mas não dispensam estudo dos livros referidos nabibliografia.

Ao longo dos anos alguns alguns erros e gralhas foram sendo corrigidos com a ajuda dosvossos colegas, conto convosco para continuar a melhorar este material.

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073380407/











iii

Conteúdo

Prefácio ................................................................................................................................... ii Conteúdo ................................................................................................................................ iii 1 Introdução ..................................................................................................................... 1

1.1 Telecomunicações ..................................................................................................... 1 1.2 Organização de um sistema de comunicação ............................................................ 1

2 Modulação analógica de portadora sinusoidal .............................................................. 3 2.1 Introdução.................................................................................................................. 3 2.2 Modulação convencional de amplitude de portadora continua ................................ 4

2.2.1 Largura de banda necessária para transmitir o sinal AM .................................. 6 2.2.2 Desmodulação do sinal AM .............................................................................. 6 2.2.3 Potência do sinal AM ........................................................................................ 7 2.2.4 Caso particular da modulação AM .................................................................... 8

2.3 Modulação de amplitude de banda lateral dupla (DSB- Double Side Band) ............ 9 2.3.1 Largura de banda necessária para transmitir um sinal DSB ............................ 10 2.3.2 Desmodulador DSB coerente .......................................................................... 12 2.3.3 Influência da fase da portadora local ............................................................... 12

2.4 Modulação de banda lateral única ........................................................................... 13 2.4.1 Produção de sinais SSB ................................................................................... 13 2.4.2 Descrição matemática de sinais SSB ............................................................... 14 2.4.3 Transformadas de Hilbert ................................................................................ 14 2.4.4 Desmodulador SSB coerente ........................................................................... 16 2.4.5 Influência da fase da portadora local ............................................................... 17

2.5 Vestígio de Banda Lateral (VSB, ‘Vestigial Side Band’) ....................................... 18 2.6 Exercícios propostos ............................................................................................... 18

3 Modulação de Fase e de Frequência............................................................................ 23 3.1 Conceitos básicos .................................................................................................... 23 3.2 Relação entre PM e FM ........................................................................................... 23 3.3

Análise espectral de sinais FM ................................................................................ 24

3.4 Largura de banda necessária para a transmissão de sinais FM ............................... 27

3.4.1 Regra de Carson: ............................................................................................. 28 3.4.2 Critério da potência: ........................................................................................ 29 3.4.3 Critério apresentado no livro de Haykin: ........................................................ 29 3.4.4 Exemplo: FM comercial .................................................................................. 29

3.5 FM de banda estreita ............................................................................................... 29 3.5.1 Método directo ................................................................................................ 32

3.6 Desmodulação de sinais FM ................................................................................... 32 3.7 Exercícios propostos ............................................................................................... 33

4 Desempenho de Sistemas de Transmissão Analógicos na Presença de Ruído............ 36 4.1 Introdução................................................................................................................ 36 4.2 Ruído Térmico......................................................................................................... 36 4.3 Ruído Gaussiano de Banda Larga ........................................................................... 37 4.4 Revisão .................................................................................................................... 38

4.4.1 Processos aleatórios ......................................................................................... 38 4.4.2 Processos estacionários e ergódicos ................................................................ 39

4.5 Relação Sinal Ruído sinal de banda base ................................................................ 39 4.6 Relação Sinal Ruído em sistemas DSB ................................................................... 40 4.7 Caracterização de ruído passa banda ....................................................................... 43 4.8 Envolvente e Fase do Ruído Passa Banda ............................................................... 44 4.9 Relação Sinal Ruído em Sistemas DSB Coerentes ................................................. 45 4.10 Relação Sinal Ruído em Sistemas SSB ............................................................... 47 4.11 Relação Sinal Ruído em AM Convencional com Detecção Coerente................. 48 4.12 Relação Sinal Ruído em AM Convencional com Detecção de Envolvente ........ 48 4.13 Desempenho dos Sistemas FM............................................................................ 51




iv

4.14 Exercícios propostos ........................................................................................... 55 5 Príncipios de recepção rádio ....................................................................................... 57

5.1 Introdução................................................................................................................ 57 5.2 Um pouco de história .............................................................................................. 57 5.3 Funções do receptor rádio ....................................................................................... 57 5.4 O receptor super-heterodino .................................................................................... 58 5.5 Conversor de frequência .......................................................................................... 60 5.6 Receptor com conversão dupla................................................................................ 60 5.7 Analisador de espectros ........................................................................................... 61 5.8 Sistemas de multiplexagem na frequência .............................................................. 61 5.9 Sistema de satélite (Intelsat) .................................................................................... 62 5.10 FM stereo............................................................................................................. 63 5.11 Exercícios propostos ........................................................................................... 64

6 Modulação de amplitude de pulso ............................................................................... 66 6.1 Amostragem ideal ................................................................................................... 66 6.2 Teorema da amostragem periódica.......................................................................... 68 6.3 Amostragem prática – Modulação por amplitude de pulso. .................................... 68 6.4

Modulação por duração e posição de pulso ............................................................. 69

6.5 Multiplexagem de sinais analógicos........................................................................ 70

6.5.1 Multiplexagem de sinais digitais ..................................................................... 72 6.6 Exercícios propostos ............................................................................................... 72

7 Modulação por código de pulsos (PCM-Pulse Code Modulation) .............................. 75 7.1 Arquitectura do sistema gerador de sinais PCM ..................................................... 75 7.2 Taxa de geração de dados binários num sistema PCM ........................................... 77 7.3 Receptor PCM ......................................................................................................... 77 7.4 Erro de quantificação .............................................................................................. 78 7.5 Quantificação não uniforme .................................................................................... 79 7.6 Modulação diferencial por código de pulso ............................................................ 83 7.7 Exercícios resolvidos ............................................................................................... 86

8 Códigos de Linha ........................................................................................................ 89 8.1 Introdução................................................................................................................ 89 8.2 Densidade espectral de potência de um sinal digital ............................................... 90 8.3 Calculo da densidade espectral de potência do sinal unipolar ................................ 92 8.4 Exercícios propostos ............................................................................................... 97

9 Transmissão digital em banda base ............................................................................. 99 9.1 Introdução................................................................................................................ 99 9.2 Modelo de um sistema de transmissão digital ......................................................... 99 9.3 Caracterização da informação digital .................................................................... 100 9.4 Limitações de transmissão .................................................................................... 101 9.5 Diagrama de olho .................................................................................................. 102 9.6 Ruído e erros em sistemas de transmissão digital ................................................. 103 9.7 Nível de decisão óptimo ........................................................................................ 106 9.8 Calculo da probabilidade média de erro ................................................................ 107 9.9 Filtro adaptado....................................................................................................... 111 9.10 Cálculo da Probabilidade de erro do filtro óptimo ............................................ 114 9.11 Interferência entre símbolos ............................................................................. 115 9.12 Igualação em transmissão digital ...................................................................... 118 9.13 Exercícios propostos ......................................................................................... 123

10 Bibliografia ............................................................................................................... 127 11 Guias de trabalhos práticos ....................................................................................... 128

11.1 Guia de trabalho prático: Modulação de amplitude .......................................... 128 11.2 Guia de trabalho prático: Modulação de frequência .......................................... 128 11.3

Guia de trabalho prático: Efeito do ruído nas comunicações analógicas .......... 128

11.4 Guia de trabalho prático: Probabilidade de erro em sistemas de transmissão

digitais banda base ................................................................................................................ 128




1

1 Introdução

1.1 Telecomunicações

Telecomunicações, Tele do grego significa distância enquanto a palavra comunicações demodo geral significa a troca de pensamentos, mensagens, ou informação através da fala, sinais,escrita ou comportamento. Aqui nesta disciplina iremos focar-nos na transmissão da informaçãode um ponto para o outro através de sistemas electrónicos. O prefixo Tele (distância)actualmente pode significar uma distância muito curta por exemplo quando usamos Bluetoothou quando ligamos o nosso computador portátil a uma rede sem fios, por esse motivoactualmente a área Telecomunicações está a ser substituída por muitos autores somente por‘Comunicações’, (ver bibliografia base da disciplina).

Actualmente as telecomunicações fazem parte da nossa rotina diária, de acordo com os

dados estatísticos do International Telecommunications Union , [3] em 2008 a percentagem deassinantes de telemóvel era 61% da população mundial. Do mesmo modo o acesso residencialde banda larga explodiu: há 10 anos o acesso residencial típico era de 55 kbit/s, enquantoactualmente 200 Mbit/s já podem ser oferecidos por volta de 100 euros por mês [4]. Os acessosde banda larga actualmente suportam aplicações na internet, como por exemplo o YouTube,MySpace, Facebook, twitter, Google earth, on-line gamming, televisão digital de alta definição,etc.

No entanto para além do mundo das telecomunicações apercebido pelos utilizadores, paraum engenheiro de telecomunicações, há que compreender a sua tecnologia de suporte.

1.2

Organização de um sistema de comunicação

Numa primeira abordagem, podemos considerar um sistema de comunicação compostopelos seguintes elementos funcionais, como se ilustra na Fig. 1.1.

Fonte deinformação

Emissor Canal Receptor

Destino deinformação

Rede ecamadasde controlo

Rede ecamadasde controlo

Fig. 1.1 Elementos de um sistema de comunicação.

http://www.itu.int/

http://www.itu.int/

http://www.itu.int/

http://www.itu.int/




2

A fonte de informação, gera a informação que queremos transmitir: voz, música, vídeos,ficheiros, etc. O emissor, é um termo genérico para o elemento que processa a informaçãogerado pela fonte de informação de modo a que seja transmitida pelo canal de transmissão.

Nos sistemas de comunicação os sinais mensagem são transmitidos de um ponto para outro

através de um canal de transmissão. O canal de transmissão pode ser uma linha de transmissão(como uma linha telefónica) ou simplesmente pode ser um espaço aberto no qual os sinais sãoirradiados (como a transmissão por via rádio).

De modo geral os sinais não estão adaptados aos canais de comunicação, i.e. não podem sertransmitidos directamente, há que adaptar os sinais de informação, esta adaptação pode ser feitaatravés da modulação dos sinais, como iremos estudar de seguida.

O receptor, tem por função converter o sinal que foi transmitido pelo canal num sinal quepossa ser compreendido pelo destinatário. O receptor tem funções que vão para além dasinversas das do emissor, deve de compensar as distorções introduzidas pelo canal detransmissão e ainda outras funções adicionais como por exemplo sincronização e correcção de

erros de transmissão.O destino da informação, representa o utilizador final da informação, pessoa ou máquina.Para além destes blocos funcionais, existe ainda a rede e as camadas de controlo.

Actualmente, os sistemas de comunicação funcionam de um modo geral em rede, como porexemplo a Internet ou a rede móvel. No funcionamento em rede, existe um elevado número desistemas de comunicação a partilhar os mesmos recursos por isso torna-se necessáriasfuncionalidades de rede e controlo de modo a tornar eficiente a partilha de recursos.

De notar que esta primeira abordagem ao tema é muito simplista, e cheia de palavras queestamos fartos de ouvir, mas que do ponto de vista de um engenheiro de telecomunicações têmum significado bastante mais profunda. Por exemplo informação, o que é a informação? Como

se pode medir a informação? Qual a capacidade de de um canal necessária para transmitir umadeterminada quantidade de informação? Claude E. Shannon (1916-2001) considerado o pai dateoria da informação, em 1948, publicou o artigo ‘A Mathematical theory of communications’que serve de suporte às comunicações modernas. No entanto, para que as comunicaçõesdeixassem de ser uma teoria e se tornassem a realidade actual, para além de matemáticos foramnecessários Físicos como Maxwel, Hertz, Oersted, os inventores do transístor (Bardeen,Shockley e Brattain) e dos circuitos integrados (Kilby e Noyce) assim como sonhadores comsentido para o negócio como Marconi e Bell.

http://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon



http://en.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell


http://en.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz


http://en.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_%C3%98rsted


http://inventors.about.com/library/weekly/aa061698.htm




http://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_integrado



http://en.wikipedia.org/wiki/Guglielmo_Marconi



http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Graham_Bell















3

2 Modulação analógica de portadora sinusoidal

2.1 Introdução

Nos sistemas de comunicação os sinais mensagem são transmitidos de um ponto para outroatravés de um canal de transmissão. O canal de transmissão pode ser uma linha de transmissão(como uma linha telefónica) ou simplesmente pode ser um espaço aberto no qual os sinais sãoirradiados (como a transmissão por via rádio).

De modo geral os sinais não estão adaptados aos canais de comunicação, i.e. não podem sertransmitidos directamente, há que adaptar os sinais de informação, esta adaptação é feitamodulando os sinais. O processo de modulação envolve basicamente dois sinais, o sinal

mensagem x(t), que é geralmente um sinal de banda base, e o sinal de portadora ( )t x p que é

geralmente um sinal sinusoidal de alta frequência. A modulação da portadora pelo sinalmensagem consegue-se fazendo variar a amplitude, fase ou frequência da portadora, emcorrespondência com o sinal mensagem. Este método de modulação é chamado de modulaçãode onda continua (C-W continous wave).

Entre outros factores de determinam a utilização de modulação de onda continua salienta-se:

-Radiação mais eficiente da energia electromagnética. Para que uma antena radie energiacom boa eficiência é necessário que as suas dimensões físicas sejam da ordem do comprimentode onda do sinal a transmitir. O tamanho das antenas depende do comprimento de onda λ

( f c / =λ c=8103× m/s velocidade da luz e f frequência) da aplicação. No caso dos

telefones celulares, o tamanho típico é de 4 / λ . Considerando que queremos transmitir umsinal de banda base com uma largura de banda de 3 kHz (voz), nesse caso o tamanho da antenaseria de 254 / =λ km, impressionante!.... No entanto se se utilizasse uma portadora de 900MHz, o tamanho da antena seria só de 8 cm, e já a poderia transportar no bolso. A transmissãoeficiente em linha de vista necessita antenas com dimensões físicas de pelo menos 1/10 docomprimento de onda do sinal transmitido. No caso de sinais áudio, que têm componentessignificativas até 100 Hz, para que essas componentes de frequência fossem transmitidoseficientemente seriam necessárias antenas com aproximadamente 300 km1. No entanto estesinal pode ser transmitido eficientemente por uma antena de aproximadamente de 1 m, se forutilizada a modulação de frequência de uma portadora de 100 MHz.

-Maior largura de banda disponível. Os sistemas de comunicação são limitados por doisfactores, custo e hardaware. O desempenho do hardware depende da frequência a que opera,através da modulação pode-se escolher uma gama de frequência de operação favorável. Outraconsideração é a largura de banda fraccional, que é definida como sendo a razão entre largura debanda absoluta e a frequência central. Os custos de implementação e os problemas deimplementação podem ser minimizados se a largura de banda fracional for 1-10%. Como alargura de banda disponível (largura de banda fracional) é uma certa percentagem da frequência

1 m

f c 10300

100103 4

8

×=×=≈λ




4

da portadora, quanto maior for a frequência da portadora maior será em valor absoluto o largurade banda disponível.

-menor ruído e menor interferência. O processo de modulação pode aumentar a relaçãosinal/ruído do sinal transmitido.

-utilização mais eficiente de um dado canal de transmissão por multiplex na frequência.

Banda de frequência Frequência daportadora

Largura de banda

Ondas longas 100 kHz 2 kHzOndas curtas 5 MHz 100 kHzVHF 100 MHz 2 MHzMicroondas 5 GHz 100 MHzOndas milimétricas 100 GHz 2 GHzOndas ópticas 5x1014 Hz 1013 Hz

Tabela 2.1 Banda de frequências e frequências ilustrativas da porpadora e da largura debanda.

2.2 Modulação convencional de amplitude de portadora continua

Considere a portadora sinusoidal

( ) )t f At x p p p π 2cos=

(2.1)

onde p A é a amplitude da portadora e p f é a frequência da portadora. Para simplificar a

exposição e sem afectar os resultados e conclusões da análise optou-se por considerar a faseinicial da portadora zero. Considera-se o sinal mensagem x(t), como sendo um sinal de largura

de banda limitada W e a amplitude do sinal x(t) é normalizada de modo que ( ) 1≤t x . Esta

normalização impõe um limite na potência média do sinal

( ) ( ) 11

lim22 ≤== ∫

∞

∞−∞→

dt t x

T

t xST

x

( 2.2)

Adicionalmente considera-se que ( ) 0 x t = . Nos sistemas de modulação de amplitude

(AM) a amplitude da portadora varia de acordo com o sinal modulante x(t):

( ) ( )[ ] t t x p

At AM

x pω µ cos1 +=

( 2.3)

O índice de modulação µ , é uma constante positiva. No domínio da frequência temos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p

p

p

p

p

p

p

p

AM f f X A

f f X A

f f A

f f A

f X −+++−++= µ µ δ δ

2222

(2.4)




5

Tempo Frequência

x(t) – sinal mensagem X(f)- espectro do sinal mensagem

x p(t) – portadora ( A p=1) X p(f)- espectro da portadora

x AM (t) – sinal AM. e( )µ += 1min p A A

( )µ −= 1min p A A

X AM (f) - espectro do sinal AM( ) ( ) ( ) p p AM f f X A f X π µ 2cos*1 ℑ+=

Fig. 2.1 Análise gráfica quer no domínio da frequência como no domínio do tempo.

f W-W

X())x(t)

f

f

Amin

Amax

Portadora

Band lateral

superior

Band lateralinferior

5.0=µ

0

0-f p f p

1/

1/

0-f p f p

Ap /2Ap /2

-f p-W-f p+W f p-W f p+W




6

A Fig. 2.1 ilustra graficamente o processo de modulação de amplitude quer no domíniotemporal quer no domínio da frequência. A amplitude da portadora x p(t) é multiplicada pelo

sinal mensagem multiplicado pelo índice de modulação ( )t xµ adicionado da componente dc 1.

Se 10 ≤< µ , dado que ( ) 1≤t x , garante-se que ( )( ) 01 ≥+ t xµ e consequentemente que aenvolvente do sinal AM corresponda a x(t). Caso 1>µ , a situação anterior não se verifica

como se ilustra na figura.O primeiro e segundo termos na equação (2.4) correspondem a uma portadora não

modulada de frequência f p, esta portadora não modulada não transporta informação, a potênciacontida nesta portadora é potência ‘desperdiçada’, na medida que não é utilizada para transmitirinformação. No entanto, este tipo de modulação possibilita a recepção não coerente do sinal

mensagem, através do uso de um simples detector de envolvente, quando 10 ≤< µ .

Fig. 2.2 Modulação AM com μ=1 e μ=1.5.

2.2.1 Largura de banda necessária para transmitir o sinal AM

A largura de banda necessária para transmitir um sinal AM é de 2W.

2.2.2 Desmodulação do sinal AM

Se 1≤µ , é possível recuperar o sinal mensagem a partir do sinal AM através de um

detector de envolvente como se mostra na figura abaixo.

1=µ 5.1=µ




7

Fig. 2.3 Detector de envolvente.

Para que o detector de envolvente funcione apropriadamente deverá ser dimensionado de

modo que1 1

s

p

R C f W

< < .

2.2.3 Potência do sinal AM

A potência média necessária para transmitir o sinal AM é:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

22

22 2

2 2 2

2 2

1 cos

1 cos

1 11 2 cos 2

2 2

11

2

T AM p p

p p

p p

p x

S x t A x t t

A x t t

A x t x t t

A S

µ ω

µ ω

µ µ ω

µ

= = +

= +

= + + +

= +

(2.5)

Para o calculo da potência do sinal AM considera-se que

( )2

0 e que a potência do sinal mensagem ( ) é ( ) x x t x t x t S= = . O valor médio dostermos que multiplicam por cos2

pt ω é zero.

Para facilitar a análise da distribuição da potência do sinal AM podemos escrever

2T p BL

S P P= +

(2.6)

onde

2 2 2 21 1 1

2 4 2 p p BL p x x pP A P A S S Pµ µ = = =

(2.7)




8

O termo P p representa a potência da portadora, que é transmitida mesmo quando não étransmitido nenhum sinal mensagem. A potência transmitida nas bandas laterais, P BL dada a

condição de ( ) 1 x t µ ≤ faz com que 21

xSµ ≤ , e por isso numa situação de operação normal

temos sempre que BL

1

2p

P P≤ . Na situação limite a potência total transmitida é

2 2 22 p

T p BL p p

PS P P P P= + = + = , sendo a potência das banda laterais BL

12

2T

P S= , no

máximo metade da potência sinal do sinal AM. A potência desperdiçada na portadora é sempre≥ que a potência total do sinal mensagem.

2.2.4 Caso particular da modulação AM

O caso particular de( ) ( )

cos 2m m

x t A f t π = , é um caso interessante já que permite uma

análise quantitativa, temos que:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) (

cos 2

1 cos 2 cos 2

AM p p

AM p m

x t A x t f t

x t A f t f

π

µ π π

= +

= +

(2.8)

Com o índice de modulação m

p

A

Aµ = . Aplicando regras da trigonometria à equação (4.8) ,

temos que:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )cos 2 cos 2 cos 22 2

p p

AM p p p m p m

A A x t A f t f f t f f t π µ π µ π = + − + +

(2.9)

A figura abaixo representa a geração deste sinal AM quer no domínio do tempo como nodomínio do tempo.

Tempo Frequência

Mensagem

Mensagem

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo

A m p l i t u d e

f f m -f m




9

Portadora

Portadora

sinal AM

sinal AM

Fig. 2.4 Análise da modulação quer no domínio temporal quer na frequência.

2.3 Modulação de amplitude de banda lateral dupla (DSB- Double Side Band)

Um sinal modulado em amplitude de banda lateral dupla é uma portadora sinusoidal cujaamplitude é proporcional ao sinal mensagem, x(t).

( ) ( ) ( )cos 2 DSB p p

x t A x t f t π =

(2.10)

A representação na frequência de um sinal DSB é obtida através da sua transformada deFourier.

( ) ( ) (2 2 p p

DSB p

A A X f X f f X f f = − + +

(2.11)

Onde X(f) é a transformada de Fourier de x(t). Apesar dos sinais DSB e AM serem bastantesemelhantes no domínio da frequência (com excepção da ausência da portadora no caso do sinal

DSB) o mesmo não acontece no domínio temporal, como se vê na Fig. 2.5.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo

A m

p l i t u d e

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo

A m p l i t u d e

- f p-f m

f p -f p f

f p+f m f p-f m - f p+f m f p -f p




10

A inversão de fase que se verifica sempre que x(t) cruza o zero, faz com que o sinalmensagem não se possa recuperar através de um simples detector de envolvente.

2.3.1 Largura de banda necessária para transmitir um sinal DSB

A largura de banda necessária para transmitir este sinal é BT = 2W , onde W é a largura debanda do sinal x(t).

A vantagem principal deste tipo de modulação é que a potência média transmitida é todatransmitida nas bandas laterais.

A potência do sinal DSB é dada por:

212

2 DSB BL p x

P P A S= =

(2.12)




11

Tempo Frequência

x(t) – sinal mensagem X(f)- espectro do sinal mensagem

X p(t) – portadora ( A p=1) X p(f)- espectro da portadora

Sinal DSB no tempo. Sinal DSB na frequência.

Fig. 2.5 Modulação DSB com portadora suprimida.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f 0 W-W

X(f)x(t)

0-f p f p

1/

1/

f

0-f p f

-f p-W -f p+W f p-W f p+W f

Inversão de

Portado

Band lateralsuperior

Band lateralinferior




12

2.3.2 Desmodulador DSB coerente

Fig. 2.6 Modulação DSB com portadora suprimida.

O sinal que chega ao receptor ( ) ( ) ( )cos 2e p p x t x t A f t π = este sinal é multiplicado por

uma réplica da portadora originando o sinal y(t). Á saída do multiplicador temos que:

( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ) ( ){ }

( )( )

2

2

cos 2 cos 2

cos 4 cos2

cos2

p p p p

p

p

p

z t A x t f t A f t

A x t f t

x t A

π π φ

π φ φ

φ

= +

= + +

=

(2.13)

2.3.3 Influência da fase da portadora local

Como se viu na secção anterior é possível realizar a desmodulação coerente do sinal DSB,mas no entanto, é necessário que no receptor se seja capaz de replicar a portadora não só emfrequência como em fase, o que não é uma tarefa fácil já que o sinal DSB é um sinal deportadora suprimida. Iremos estudar o que acontece se a portadora local tiver a mesmafrequência que a portadora do emissor mas com uma fase diferente. Neste caso temos que:

( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ) ( ){ }

( )( )

2

2

cos 2 cos 2

cos 4 cos2

cos2

p p p p

p

p

p

z t A x t f t A f t

A x t f t

x t A

π π φ

π φ φ

φ

= +

= + +

=

( 2.14)

O sinal à saída do receptor aparece multiplicado pelo factor cosφ , se por acaso

2

π φ = , o

sinal à saída do receptor seria 0 o que seria um desastre!

z

( ) ( ) f t xt x pe π 2cos=

passabaixo

( )cos 2 p p A f t π

y




13

2.4 Modulação de banda lateral única

(SSB- Single Side Band)

2.4.1 Produção de sinais SSB

Como se viu anteriormente, em AM convencional transmitem-se duas bandas laterais maisuma componente correspondente à frequência da portadora. A portadora não transmiteinformação, destina-se a facilitar a detecção do sinal. Por outro lado as duas bandas lateraiscontêm toda a informação do sinal modulante (mensagem). Os sistemas de comunicação em quese envia apenas uma das bandas laterais são chamados de sistemas de banda lateral única (SSB,Single Side Band). A vantagem destes sistemas é de permitir que a largura de banda necessáriapara a transmissão do sinal SSB seja metada da do sinal AM ao mesmo tempo que representamuma poupança de potência. A principal desvantagem consiste na maior complexidade dosrespectivos emissores e receptores quando comparados com os sistemas AM convencionais.

O sinal SSB é produzido, como se mostra na Fig. 2.7, utilizando um modulador DSB

seguido de um filtro passa banda que tem por objectivo filtrar ou a banda lateral superior dosinal ou a banda lateral inferior do sinal DSB.

Fig. 2.7 Geração de sinal SSB através da filtragem de uma banda lateral do sinal DSB.




14

Este método de produção de sinais SSB apresenta dificuldades de implementação, a que salta àprimeira vista é que exige um conteúdo de baixas frequências desprezável no espectro do sinal x(t). Esta propriedade verifica-se contudo em muitos sinais com interesse prático, como porexemplo a voz humana. A figura mostra como é possível aproveitar a zona de conteúdo defrequências desprezável do sinal DSB para a zona de transição do filtro de banda lateral Bt .

Uma regra prática para o desenho do filtro impõe Bt >1% da frequência de corte nominal( f p). Daqui se conclui que f p <100 Bt ; como Bt é imposta pelo sinal de banda base, f p terá umvalor limitado. Por isso em emissores práticos o sinal SSB é produzido com portadoras de baixafrequência, efectuando-se de seguida uma conversão para a frequência pretendida.

2.4.2 Descrição matemática de sinais SSB

O método descrito acima para produzir sinais SSB não é viável no caso de sinais com conteúdoimportante de baixas frequências (por exemplo, sinais vídeo). Neste caso pode-se utilizar outrotipo de modulador SSB baseado na transformada de Hilbert.

2.4.3

Transformadas de HilbertConsidere um filtro de quadratura, que introduz um desvio de fase de –90º em todas ascomponentes de frequência positiva e +90º em todas as componentes de frequência negativa.

Como um desvio de fase de ±90º equivale a uma multiplicação por je j ±=± a função de

transferência do filtro de quadratura pode ser escrita através da função sign:

( ) ( )

⟨+

⟩−=−=

0

0sgn

f j

f j f j f H Q

( 2.15)

Fig. 2.8 Função de transferência do filtro de quadratura.

+j

0

-j

f

HQ(f)




15

A resposta impulsional do filtro de quadratura é ( )t

t hQπ

1= . Se se considerar que um sinal

x(t) é aplicado ao filtro de quadratura à saída teremos no temporal:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ Q Q

x y t x t x t h t x h t d d

t

λ τ τ τ λ

π λ

+∞ ∞

−∞ −∞= = ∗ = − = −∫ ∫

( 2.16)

e no domínio da frequência:

( ) ( )( )

( )

; 0

ˆ 0; 0

; 0

jX f f

Y f X f f

jX f f

− >

= = = <

( 2.17)

onde ( )ˆ x t é a transformada de Hilbert de x(t), e ( )ˆ X f a transformada de Fourier de ( )ˆ x t .

De seguida define-se o chamado sinal analítico:

( ) ( ) ( )ˆ z t x t jx t = +

( 2.18)

É fácil concluir que z(t) tem o seguinte espectro:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )0 2 0ˆ0 0 0

X f X f f X f f

Z f X f jX f X f X f f f

+ > ≥

= + = = − < <

( 2.19)

Fazendo uso de uma das propriedades da transformada de Fourier verifica-se a seguintepropriedade:

( ) ( )2 p j f t

p z t e Z f f

π ↔ −

( 2.20)

De modo idêntico pode-se mostrar que o conjugado de z(t) tem as seguintes características:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

* *

* * *

** *

0 0( ) 0ˆ

2 0( ) 0

f X f j jX f f Z f X f jX f

X f f X f j jX f f

≥ − − ≥ = − = = <− <

( 2.21)

E ainda que

( ) ( )2* p j f t

p z t e Z f f

π − ↔ +

( 2.22)

Com base nestes resultados conclui-se finalmente que o sinal SSB (banda lateral superior)tem a seguinte expressão matemática:




16

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2*

2

2

1

4

1Re

21ˆRe

2

ˆcos 2 sin 2

2 2

p p

p

p

j f t j f t

USSB

j f t

j f t

p p

x t z t e z t e

z t e

x t jx t e

x t x t f t f t

π π

π

π

π π

− = +

=

= +

= −

( 2.23)

Com esta equação pode-se definir outro tipo de modulador SSB que não necessita de filtrode banda lateral, sendo portanto útil para sinais com conteúdo elevado de baixas frequências.Este modulador representa-se na figura seguinte:

Fig. 2.9 Modulador USSB.

Um problema prático na implementação do modulador SSB acima descrito consiste nadificuldade em construir um circuito de rotação de fase de banda larga.

2.4.4 Desmodulador SSB coerente

Fig. 2.10 Desmodulador DSB coerente.

z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆcos 2 sin 2USSB p p

x t x t f t x t f t π π = +

Filtropassa baixo

( )cos 2 p p A f t π




17

O sinal que chega ao receptor é ( ) ( ) ( )cos 2e p p

x t x t A f t π = , este sinal é multiplicado por uma

réplica da portadora originando o sinal y(t)

Á saída do multiplicador temos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )

( )( )

( )( )

ˆcos 2 sin 2 cos 2

ˆcos 2 cos 2 sin 2 cos 2

1 cos 4 0 sin 42 2

p p p p

p p p p p p

p p p p

y t x t f t x t f t A f t

A x t f t f t A x t f t f t

x t x t A f t A f t

π π π

π π π π

π π

= −

= −

= + − +

(2.24)

Depois de passar pelo filtro passa baixo temos que:

( ) ( )2 p

A z t x t =

( 2.25)

ou seja o sinal mensagem que foi transmitido afectado de um factor de escala.

2.4.5 Influência da fase da portadora local

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } (( )

( )( )( )

( )( )

ˆcos 2 sin 2 cos 2

ˆcos 2 cos 2 sin 2 cos 2

ˆcos cos 4 sin sin 4

2 2

p p p p

p p p p p

p p p p

y t x t f t x t f t A f t

A x t f t f t A x t f t f

x t x t A f t A f t

π π π φ

π π π π

φ π φ π

= − +

= −

= + + +

(2.26)

Depois de passar pelo filtro passa-baixo temos que:

( )( )

( )( )

( )ˆ

cos sin

2 2 p p

x t x t z t A Aφ φ = +

( 2.27)

Daqui se conclui que conforme φ aumenta o termo ( )cos x t φ é atenuado e pior que isto, o

termo ( )ˆ sin x t φ começa a ser predominante. Para2

π φ = apenas se detecta o termo de

distorção ( )ˆ x t .

No caso de sinais áudio, como o ouvido humano tem pouca sensibilidade a rotações de fase

não consegue distinguir ( ) x t de ( )ˆ x t , e portanto o sincronismo de fase não é importante. No

entanto, para outro tipo de sinais, ex: sinais digitais a falha de sincronismo é importante como sevê pela figura.




18

Fig. 2.11 Sinal rectangular e sua transformada de Hilbert.

2.5 Vestígio de Banda Lateral (VSB, ‘Vestigial Side Band’)

Nesta técnica de transmissão, grande parte de uma das bandas laterais é transmitida emconjunto com um vestígio de outra banda lateral. O sinal VSB é muito utilizado na televisão, ecertos sistemas de transmissão de dados. A largura de banda típica para transmitir um sinal VSBé cerca de 1.25 vezes a de um sinal SSB.

O sinal é produzido por filtragem de um sinal DSB. O filtro utilizado para produzir o sinalVSB deverá ter uma simetria ímpar em torno de f p e reposta a 50% em f p. O sinal pode serdetectado por meio de uma detecção síncrona.

2.6 Exercícios propostos

1. Considere o sinal AM s(t)=(1+f(t))cos(2πfct) em que a frequência da portadora f c=150kHz e f(t)=20cos(10x103πt)+20cos(5x103πt) (mensagem).

a) Represente o sinal AM s(t) no domínio da frequência e do tempo.b) Esse sinal poderá ser desmodulado por um detector de envolvente? Justifique.c) Qual será a saída do detector de envolvente.

2. Considere o sistema de conversão de frequência representado na figura abaixo. O sinal

de entrada s1(t) é um sinal cujo espectro está representado na figura.

x(t

( )ˆ x t




19

Qual a frequência f 0 do oscilador local e qual a função de transferência do filtro para os

casos seguintes:a) A saída é um sinal banda base, de 0 a 1 MHz.b) A saída é um sinal de banda lateral dupla centrado em 20 MHz.c) A saída é um sinal de banda lateral única com as características de b).

3. Considere um amplificador com uma pequena não linearidade em que a suacaracterística entrada/saída é dada por:

sout=A1 sin + A2 sin2

Considerando que sin=0.1 cos (2π2500) +0.2 cos(2π3000 t) e que a tensão de saída é filtrada

usando um filtro ideal passa banda, cuja banda passante é de 50 a 4000 Hz e ganho unitário.Calcule a potência de saída do filtro para os termos de frequência gerados pelo amplificadornão-linear. Determine a razão entre a potência das componentes de frequência 2500 e 3000 àsaída do filtro.

4. Considere o sinal AM

xc(t)=Ac[1+µx(t)]cos(2πf ct)

considerando o sinal mensagem x(t) normalizado de modo a que |x(t)|<1 e <x(t)> = 0

Calcule a potência média do sinal xc(t).

5. Uma portadora representada por 10.cos(2π x 106 t)V é modulada em amplitude por um

sinal modulador representado por 3.cos(2π x 103 t)V. Calcule:

o índice de modulaçãoas frequências das bandas lateraisa amplitude das bandas lateraisa percentagem da potência transmitida nas bandas laterais.




20

6. Um emissor de AM emite um sinal com potência de 5 kW e com um índice demodulação de 60%. Calcule a potência transmitida na portadora e em cada bandalateral.

7. Um emissor de AM emite um sinal com uma potência 24 kW quando modulado a

100% poruma sinusoide. Determine a potência do sinal quando:a) a portadora não é moduladab) a portadora é modulada a 60%, uma banda lateral é suprimida e a portadora é atenuada de

26dB.

8. A corrente na antena de um emissor AM é de 8A quando só é transmitida a portadora, epassa a 8,93A quando a portadora é modulada por uma sinusoide. Calcule o indice demodulação. Calcule a corrente na antena quando a portadora for modulada a 80%.

9. Um emissor radia 9 kW quando a portadora não está modulada e 10,125 kW quandoestá modulada por uma sinusoide. Se outra sinusóide modular simultaneamente aportadora com um indice de modulação de 0,4 qual será a potência radiada.

10. Um sinal AM é descritos pela equação s(t)= [1+ µ f(t)] cos(ω0t) e (|m f(t)| <=1). A LBde f(t) é B << f 0. Considere o receptor:

a) Especifique fx, Bx, f1 e Be se se pretender uma replica de f(t) à saída.

b) Mostre qual dos três detectores reproduz f(t) à saída. Desenhe as características do filtrocorrespondente. Se a resposta para o detector 2 for afirmativa qual o valor de f 2 e α.

11. Um emissor de AM tem uma potência de saída de 24 KW quando modulado com µ=1.




21

Calcular a potência de saída quando:a) A portadora não é modulada.b) A portadora é modulada com µ=0.6 e se suprime uma banda lateral e se reduz a

componente da portadora de 26 dB.

1. Pretende-se produzir um sinal SSB-SC utilizando o método de filtragem. O sinalmensagem ocupa a banda de 300-3000 Hz e a frequência da portadora é de 40 M Hz.Suponha que estão disponíveis filtros que proporcionam uma atenuação de 40 dBs numintervalo de 1% da frequência de corte respectiva.

Desenhe o diagrama de blocos do sistema e faça um esboço da região espectral ocupadapelo sinal em cada ponto do sistema.

2. Um dos problemas mais delicados na detecção coerente de portadora modulada é a

produção de um sinal local com a mesma frequência e fase da portadora do sinalrecebido.

Considere um sinal DSB, mostre que o circuito representado na figura seguinteproduz à saída um sinal com a mesma frequência da portadora recebida. Qual deverá sera largura de banda do filtro passa-banda ?

b) Ainda em relação ao circuito da figura anterior mostre que a fase do sinal nem sempre éigual à fase da portadora de entrada. Quais os problemas que daí advêm para os sistemasanalógicos ? Como poderia evitar estes problemas ?

3. Na recepção de um sinal modulado em amplitude usando modulação DSB, a fase do

oscilador local varia ± 13º em redor do seu valor óptimo. Qual a influência deste erro defase na amplitude do sinal detectado.

4. Considere uma estação de rádio que emite 2 sinais x(t) e y(t).Considere que tanto x(t) como y(t) só têm componentes de frequência no intervalo da 30 Hz

a 19 k Hz. A estação transmite na realidade o sinal

s(t)=[A+x(t)+y(t)]cos(2πf ct) + [A+x(t)-y(t)]cos(2πf ct)

em que f c=106 Hz e A << x(t)+y(t)

a) Desenhe o esquema de um receptor cujas saídas sejam x(t) e y(t). Considere que a fase ea frequência da portadora são conhecidas no receptor.

(.)2 LPF :2(frequência) saída

DSB




22

b) Qual seria a saída de um receptor consistindo sómente de um detector de envolvente eum filtro passa-baixo.

5. Um sinal de banda lateral vestigial é gerado, passando-se um sinal DSB através de um

filtro de banda lateral residual. Se a função de transferência desse filtro é a amostrada nafigura, encontre a expressão para o sinal de banda lateral vestigial resultante, quando osinal modulador é dado por:

f(t)= (a) A sen(100πt)

(b) A[sen(100πt) + cos(200πt)] (c) Asen(100πt)cos(200πt)

A frequência da portadora é 10 K Hz e a amplitude da portadora é 4A. Esboce o espectro dosinal de banda lateral vestigial resultante em cada caso.

f (kHz)-20 -10 -9 20109




23

3 Modulação de Fase e de Frequência

3.1 Conceitos básicos

Dada a portadora sinusoidal, com angulo

( ) ( )( )t At x i p p θ cos= ( 3.1)

A sua frequência instantânea é obtida por derivação de ( )t iθ , isto é:

( )( )

dt

t d t f i

i

θ

π 2

1=

( 3.2)

Quando a frequência da portadora é constante p f , a fase da portadora é:

( ) 02 θ π θ += t f t pi ( 3.3)

onde 0θ é o valor de ( )t iθ no instante t=0.

Na modulação de fase (PM, Phase Modulation), ( )t iθ varia linearmente com o sinal

mensagem x(t):

( ) ( )t xK t f t pi θ θ π θ ++= 02

( 3.4)

Temos então o sinal PM, considerando 00 =θ :

( ) ( ))t xK t f At x p p p θ π += 2cos

( 3.5)

Na modulação de frequência (FM, Frequêncy Modulation), a frequência instantanea varialinearmente com x(t), obtendo-se:

( ) ( ) ( )2 2 2i i p f t f t f K x t ω π π π = = +

( 3.6)

Tem-se então que:

( ) ( ) ( )∫∫ ++==t

t

f p

t

t

ii t xK t f dt t t

00

02 θ π ω θ

( 3.7)

E o sinal FM:

( ) ( )0

cos 2 2

t

p p p f

t

x t A f t K x t π π

= +

∫

( 3.8)

3.2 Relação entre PM e FM

A figura abaixo compara sinais PM e FM, quando o sinal mensagem é uma sinusoide.




24

Mensagem

Sinal PM

Sinal FM

Fig. 3.1 Comparação de sinal PM com sinal FM.

Apesar de muito semelhantes a modulação FM apresenta em relação à modulação PMcharacteristicas de desempenho superiores na presença de ruído e será portando analisada empormenor.

3.3 Análise espectral de sinais FM

Considere o sinal mensagem, x(t):

( ) ( )t f At x mm π 2cos= ( 3.9)




25

A frequência instantânea do sinal FM correspondente é:

( ) ( )

( )

cos 2

cos 2

i p f m m

p m

f t f K A f t

f f f t

π

π

= +

= + ∆

( 3.10)

onde

f m f K A∆ =

( 3.11)

f ∆ é o desvio de frequência, que representa o desvio máximo de frequência ao redor da

portadora f p. A característica fundamental de um sinal FM é que o desvio de frequência f ∆ é

proporcional à amplitude do sinal mensagem e independente da sua frequência. O ângulo dosinal FM

( ) ( )t f f

f t f t m

m

pi π π θ 2sin2 ∆+=

( 3.12)

A razão β =∆

m f

f , é o índice de modulação. β é medido em radianos.

O sinal FM pode então escrever-se do seguinte modo:

( ) ( )t f t f At x m p pFM π β π 2sin2cos +=

( 3.13)

A modulação de frequência por se tratar de um processo não linear, não é de fácil análise nodomínio da frequência, por se tratar a sua análise quantitativa só é possível em particulares,como quando o sinal mensagem é uma sinusoide, nesse caso podemos escrever:

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ((

Termo associado com as componentes positivas de frequência Termo associado c

exp 2 sin 2 exp 2 sin 22 2

= exp 2 exp sin 2 exp 2 exp sin 22 2

p p

FM p m p m

p p

p m p m

A A x t f t f t f t f t

A A f t f t f t f

π β π π β π

π β π π β π

= + + − −

+ − −

om as componentes positivas de frequê

( 5.14)

Concentrando-se só com os termos associados à frequência positiva

( )( )exp sin 2 m j f t β π

( 3.14)

Verificamos que é um sinal periódico com período 1/f m e portanto em príncipio pode serrepresentado por uma série de Fourier

( )( ) ( )exp sin 2 exp 2m n m

n

j f t c jn f t β π π = ∑

( 3.15)




26

Os coeficientes cn correspondem às funções de Bessel

( )n nc J β =

( 3.16)

As funções de Bessel foram estudadas por Bessel (1784-1846) no âmbito dos seus estudos

sobre o movimento dos planetas, são funções que se encontram calculadas para diferentesvalores de n (ordem da função) e β (argumento da função).

( ) ( )sin1

2

j n

n J e d

π β λ λ

π

β λ π

−

−

= ∫

Deste modo o sinal FM pode ser escrito como:( 5.18)

Cuja transformada de Fourier é:

( ) ( ) ( ) (2

p

FM n p m p m

n

A X f J f f nf f f nf β δ δ ∞

=−∞

= − − + + +∑

( 3.17)

que se encontra representada abaixo.

Fig. 3.2 Espectro do sinal FM.

O espectro de um sinal FM depende directamente das funções de Bessel. Para entendermelhor o comportamento das funções de Bessel iremos analisar o seu comportamento e as suaspropriedades mais relevantes:

( ) ( ) ( )[ ]∑∞

−∞=

+=n

m pn pFM nf f J At x π β 2cos

http://en.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Bessel







27

Fig. 3.3 Funções de Bessel.

Algumas propriedades das funções de Bessel:

Se β<<1

( )

( )

( )

0

1

1

2

0 2n

J

J

J n

β

β β

β

≅

≅

≅ ≥

3.4 Largura de banda necessária para a transmissão de sinais FM

Teoricamente, um sinal FM contém um número infinito de riscas espectrais, por isso alargura de banda necessária para a sua transmissão é infinita. No entanto, na prática a potênciado sinal está concentrada num número finito de riscas, vejamos alguns exemplos:

fp

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

β = 0.5

fm




28

Fig. 3.4 Espectro do sinal FM com f m constante e β variável, as riscas não representadastem reduzida amplitude. Só está representado na figura o eixo positivo das frequências.

Comom

f

f

β ∆

= , tendo em conta que f m é constante para todos os casos representados na

figura, elevado corresponde a um desvio máximo de frequência , f, elevado e a umalargura de banda elevada.

3.4.1 Regra de Carson:

( )1

2 2 2 1 2 1T m m B f f f f β β

= ∆ + = ∆ + = +

( 3.18)

Significa que o número de riscas a considerar é de β+1 para cada lado da portadora.

fp0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

β = 2.0

fm

fp0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

β = 10.0




29

3.4.2 Critério da potência:

Considera-se um número de ricas N tal que a potência contida nestas riscas seja 98% do

total da potência do sinal.

Basta calcular N para que ( )20.98

N

n

n N

J β =−

≥∑

dado que

( )21n

n

J β ∞

=−∞

=∑

3.4.3 Critério apresentado no livro de Haykin:

É baseado na amplitude das riscas. Segundo este critério o número de riscas a transmitir écalculado de forma que todas as riscas excluídas tenham amplitude inferior a 1% da amplitudeda risca da portadora quando não modulada. Este critério é mais pessimista que a regra deCarson

No caso geral, com um sinal modulador arbitrário não existe solução teórica para o casogeral. Costuma usar-se uma aproximação que consiste em usar para o cálculo da largura debanda um sinal sinusoidal com frequência igual à frequência máxima do sinal modulador W.Assim calcula-se o parâmetro = f/W, em que f é o desvio de frequência máximo

pretendido.

3.4.4 Exemplo: FM comercial

W = 15kHzBT = 2(75+15) = 180kHz (Carson)BT = 3,2x 75kHz = 240 kHz (Haykin)Na prática utiliza-se, com bons resultados, a banda para cada estação de 200 kHz.

Em TV o som é FM com f = 50kHz

3.5 FM de banda estreita

O sinal FM pode ser escrito como:

( ) ( )t f t f At x m p pFM π β π 2sin2cos +=

Com base no valor de β, são normalmente definidos dois tipos de modulação FMFM de banda-estreita, se β for pequeno ~1 rad;

FM de banda-larga, para valores elevados de β (superiores a 1 rad).Utilizando a relação trignométrica




30

( ) B A B A B A sinsincoscoscos −=+ ( 3.19)

A equação pode ser reescrita da seguinte forma:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ([ f t f At f t f At xm p pm p pFM

π β π π β π 2sinsin2sin2sincos2cos −=

( 3.22)

Considerando β muito pequeno (~1 rad) podemos efectuar as seguintes aproximações:

( )[ ]( )[ ] ( )t f t f

f

mm

m

π β π β

π β

2sin2sinsin

12sincos

≅

≅

( 3.23)

Com estas simplificações a equação ( 3.22) pode ser reescrita do seguinte modo:

( 3.24)

Fig. 3.5 Emissor FM de banda estreita.

( ) ( ) ( )( ) ( )(1

cos 2 cos 2 cos 22

NFM p p p p m p m x t A f t A f f t f f t π β π π = − − − +

Foi utilizada a igualdade trignométrica

( ) ( )1

sin sin cos cos2

A B A B A B= − − +

A transformada de Fourier de x NFM (t) é dada por

( ) ) ) ( )t f t f At f At x m p p p p NFM π π β π 2sin2sin2cos −=




31

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]m pm pm pm p p

p p

p

NFM

f f f f f f f f f f f f A

f f f f A

f X

+++−−+−+−+−−

+++−=

δ δ δ δ β

δ δ

4

1

2

Largura de banda necessária para transmitir o sinal FM de banda estreita BT =2f m

Falta representar o gráfico… fazer como exercício.O emissor de FM de banda estreita representado na figura, é muito semelhante a um emissor

AM, no entanto esta implementação só é válida para sinais FM com β muito pequeno. Ummétodo utilizado para gerar FM de banda larga é 1º gerar um sinal FM de banda estreita e deseguida utilizar um multiplicador de frequência.

Um multiplicador de frequência é um dispositivo não linear desenhado de modo amultiplicar a frequência do sinal de entrada por um determinado factor. Por exemplo acaracterística entrada-saída de um dispositivo de lei quadratica é:

Se o sinal de entrada for o sinal FM

A saída do dispositivo de lei quadratica

O primeiro termo é uma componente DC que pode ser fácilmente eliminada por um filtro, asegunda componente é um sinal FM com frequência de portadora o dobro da do sinal FM de

entrada e índice de modulação também o dobro do índice de modulação do sinal de entrada. Demodo análogo podemos concluir que depois de um sinal FM de banda estreita passar por n

dispositivos de lei quadratica, obtemos um sinal FM com freuquência de portora nf p e índice demodulação n β . Os multiplicadores de frequência ao mesmo tempo que aumentam o índice demodulação também aumentam a frequência da portadora, como consequência pode acontecerque para que se consiga um determinado (elevado) índice de modulação se obtenha umafrequência de portadora extremamente elevada e fora da gama de frequências pretentida, paraevitar este problema utiliza-se conversores de frequência, que têm por função transladar afrequência mas mantendo intacto o índice de modulação. Este método de geração de sinais FM éo chamado método indirecto que se encontra representado na Fig. 3.6.

Fig. 3.6 Gerador FM de banda larga, método indirecto.

( ) ( )2

o e x t ax t =

( ) t t At x m p pe ω β ω sincos +=

( ) ( ) ([ t t aAt t aAt x m p pm p po ω β ω ω β ω sin22cos12

1sincos

222 ++=+=




32

3.5.1 Método directo

No método directo utiliza-se um dispositivo cuja frequência varie linearmente com aamplitude do sinal aplicado como é o caso do (VCO-Voltage controlled oscillator). Neste caso énecessário um controle preciso da frequência do oscilador. Esta necessidade de controlo precisode frequência do oscilador é um dos inconvenientes deste tipo de modulador. Contudo, o FMdirecto apresenta a vantagem de não ser necessário um factor de multiplicação elevado comoacontece no FM indirecto, nem necessita de conversão de frequência.

3.6 Desmodulação de sinais FM

A desmodulação de um sinal FM requer um dispositivo que produza um sinal cujaamplitude seja uma função linear da frequência instantânea do sinal de entrada. Esta funçãopode ser realizada utilizando a resposta em frequência de um circuitos que apresente umaresposta linear na gama de frequências de interesse, como se mostra na figura abaixo.

Fig. 3.7 Esquema ilustrativo do funcionamento do desmodulador FM.

Como se pode ver na figura variações de frequência à entrada do circuito são transformadasem variações de amplitude à saída do circuito. O circuito que realiza desmodulação defrequência (também conhecido por descriminador), muitas vezes também é sensível a variaçõesde amplitude do sinal de entrada. Como o sinal à entrada do desmodulador varia não só emfrequência como também em amplitude (considere por exemplo as oscilações de amplitudeintroduzidas pelo ruído aditivo) e como o discriminador é normalmente também sensível avariações de amplitude normalmente é utilizado um andar limitador antes do descriminador demodo a reduzir as variações de amplitude.

Fig. 3.8 Resposta do discriminador incluíndo um andar limitador.

A característica ideal de circuito desmodulador é uma linha recta, na prática circuitos comuma função característica como se mostra na Fig. 3.7 são suficientes. O intervalo utilizável é oque apresenta características lineares.

f mi

f max

Sinal FM Sinal de Saída

f max

f min

Resposta do circuito

Nível de saída

Nível de entrada




33

Fig. 3.9 Curva característica de um desmodulador FM


1) Um sinal, m(t)=sin(9x103π t), é modulado em frequência. Se a frequência da portadora é

de 100 MHz e o desvio máximo da frequência de 5 kHz.

a) Qual o índice de modulação do sinal FM.b) Represente o sinal FM no domínio temporal e na frequência.c) Qual a largura de banda necessária para transmitir o sinal? Justifique.d) Considerando a sua resposta à alínea c). Qual a percentagem de potência do sinal que é

efectivamente transmitida.d) Como é produzido um sinal FM.e) Descreva um demodulador FM.

2) Um sinal modulado em angulo é descrito pela equação

s(t)=10 cos(2 x 106 π t + 10 cos( 2000 π t))

Encontre:

a) A potência do sinal modulado.b) O desvio máximo de frequência.c) O desvio máximo de fase.d) A largura de banda necessária para transmitir o sinal sinal.e) É possível determinar se este é um sinal modulado em frequência ou fase?

3) Considere o seguinte sinal FM

f

f

f

V




34

( ) ( )( )t t t xFM π π 1000sin3102cos10 7 +×= Represente o sinal no dominio temporal e na frequência.Qual a largura de banda necessária para transmitir este sinal.Considere que o sinal é transmitido atravéz de um canal cuja função de transferência se

encontra representada abaixo. Qual a percentagem de potência que é transmitida ?

4) Queremos transmitir 20 canais de voz usando um canal de transmissão com uma grandelargura de banda. Sabendo que um canal de voz está concentrado predominantemente nasfrequências

300 Hz < |f| < 3.4 k Hz. Considere uma banda de guarda entre canais de 200 Hz. Qual alargura de banda se a modulação usada for SSB? Justifique.



a) Qual o índice de modulação do sinal FM.b) Represente o sinal FM no domínio temporal e na frequência.c) Qual a largura de banda necessária para transmitir o sinal? Justifique.d) Considere que o sinal é transmitido por um canal passa banda, cuja função de

transferência se encontra representado abaixo. Qual a percentagem de potência que étransmitida?

6) Considere PM de banda larga gerado por um sinal sinusoidal ( ) ( )t f At s mm π 2cos= ,

utiliando-se um modulador com sensibilidade de fase k p radianos por volt.

a) Mostre que se o desvio máximo da fase do sina PM for 1 radiano, a largura de banda dosinal PM varia linearmente com a frequência f m.




35

b) Compare as caracteristicas deste sinal PM de banda larga com a de sinal FM de bandalarga.

7) A Fig. Abaixo mostra o diagrama de blocos de um analisador de espectro de tempo real,a funcionar de acordo com o principio da modulação de frequência. Um dado sinal g(t) e um

sinal modulado na frequência s(t) são aplicados a um multiplicador cuja saída passa por umfiltro cuja resposta impulsional é dada por h(t).

( ) ( )( )2

2

2cos)(

2cos

kt t f At h

kt t f At s

cm

cm

π π

π π

+=

−=

k é uma constante.Mostre que a envolvente do sinal à saída do filtro é proporcional à amplitude do

espectro do sinal g(t) com kt a variar de acordo com a frequência.

Formulário

Funções de Bessel de ordem n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1

x

J n ( x )

0

1

23

4 56 7 8 9 10

Filtrog(t)

s(t)

saída




36

4 Desempenho de Sistemas de Transmissão Analógicos na Presença de Ruído

4.1 Introdução

O ruído tem um papel fundamental no desempenho de um sistema de telecomunicações e naqualidade que lhe está associada. Nos sistemas analógicos, um dos parâmetros fundamentais dequalidade é a relação sinal-ruído, definida como a razão entre a potência do sinal e a potência doruído num dado ponto do sistema.

O ruído num sistema de telecomunicações poder ter diferentes origens. Pode ser devido aoutros sistemas de telecomunicações, como por exemplo acontece, em certas condições, entrepares telefónicos. Este tipo de ruído é habitualmente designado por diafonia (em inglês cross-

talk ). Interferência, ocorre sobretudo em sistemas de comunicação sem fios, devido a outrossistemas que operem na mesma frequência ou em frequências vizinhas. Existem outras fontes deruído naturais, como as descargas atmosféricas das trovoadas, e fontes de ruído com origem emequipamentos feitos pelo homem, entre os quais os electrodomésticos e os motores de explosão,que afectam principalmente os sistemas que operam em frequências inferiores a cerca de 30MHz.

Ainda que fosse possível isolar um sistema de telecomunicações de todos os tipos de ruído já referidos, manter-se-ia o ruído inerente aos movimentos aleatórios dos electrões noscondutores, ruído térmico, que só se anula à temperatura do zero absoluto.

4.2 Ruído Térmico

A teoria cinética das partículas diz que a energia média de uma partícula à temperaturaabsoluta de T é proporcional a kT em que k é a constante de Boltzman. Quando uma resistênciade valor R está a uma temperatura T , o movimento aleatório dos electrões produz uma tensãoaleatória de ruído n(t) aos seus terminais. O ruído térmico é portanto causado pela sobreposiçãode um grande número de acontecimentos aleatórios pelo que só é possível a sua caracterizaçãoem termos estatísticos.

De acordo com o teorema do limite central n(t) possui uma fdp (função densidadeprobabilidade) gaussiana p N (n) ;

PlancdeconstanteundoJoules.seg1060.6

BoltzmdeconstantevinJoules/Kel1038.1

eKelvinºemmedidaéuraa temperatOnde

Volt 3

)(2

0

2

1)(

34

23

22

22

)(

2

2

2

==

==

==

==

=

−

−

−−

xh

xk

Rh

k n

nm

en p

n

n

mn

n

N n

n

τ

τ π

σ

πσ

σ

( 4.1)




37

A presença da constante de Plank na equação anterior indica que se trata de um resultadoobtido através da mecânica quântica. Através da mecânica quântica também é possível mostrarque a densidade espectral de potência do ruído térmico é dada por,

/HzVolt 2)(

oaproximaçãase-usapráticaNa

para /HzVolt )2

1(2)(

22

22

RkT f N

h

KT f

kT

f h RkT f N

R

R

≈

<<−≈

( 4.2)

4.3 Ruído Gaussiano de Banda Larga

Para além do ruído térmico, muitos outros tipos de ruído tratados em telecomunicaçõestambém obedecem também são gaussianos (têm uma f.d.p (função densidade probabilidadegaussiana) e têm uma densidade espectral de potência constante numa grande largura de banda

(branco por analogia com a luz).

Fig. 4.1 (a) Função densidade probabilidade gaussiana. (b) Densidade espectral depotência.

A densidade espectral de potência do ruído ( ) f Gn

( 4.3)

o termo ½ evidencia que se trata de uma densidade espectral de potência de banda lateral

dupla. A partir da transformada de Fourier de ( ) f Gn , obtêm-se a função de auto correlação do

ruído;( 4.4)

Assim, ( ) 00 =≠τ n

R , por isso quaisquer duas amostras de um ruído branco gaussiano são

não-correlacionadas e por isso estatisticamente independentes.

( )

térmico(incluindoruídodefontestodasdecombinação

watt/Hz2

)(2

⇑

==η

f N f Gn

( ) ( )τ δ η η

τ ωτ

22== ∫

+∞

∞−df e R

j

n




38

No nosso estudo, para além de considerar que o ruído introduzido no sistema é branco e

Gaussiano (AWGN-Additive White Gaussian Noise), n(t), de média nula e variância 2σ com

função densidade probabilidade:

( )2

2

2

22

1σ

πσ

n

N en p−

=

( 4.5)

também iremos considerar que resulta de um processo aleatório ergódico e estacionário.

4.4 Revisão

Considere um conjunto de formas de onda correspondentes à emissão de diferentes mensagens

por uma fonte de informação, )()...,(),( 21 t st st s i . A mensagem concreta que é emitida a cada

instante é desconhecida à priori, sendo portanto imprevisível a forma de onda que irá serproduzida. O conjunto de todas formas de onda geradas pela fonte é representado formalmentepor S(t,a). Cada elemento do conjunto é designado por função amostra corresponde adeterminado sinal for exemplo si(t)= s(t,ai). O argumento fulcral que se faz de S(t,a) é aconsideração de que quando se está a observar uma função amostra não se sabe quais dasamostras de trata. Num instante t 1 pode ocorrer um qualquer do conjunto dos valores possíveiss(t 1 ,a) o que significa que s(t 1 ,a) constitui uma variável aleatória que toma valores definidos pors(t 1 ,a1), s(t 1 ,a2),…, s(t 1 ,ai)…

s(t 2 ,a) constitui outra variável aleatória…

Fig. 4.2 Forma de onda num sinal S(t,a).

4.4.1 Processos aleatórios

Um processo aleatório S(t)=S(t,a) não é mais que uma família de sinais s(t 1), s(t 2),

s(t 3),....s(t i) ., designados por funções amostra, cujas funções densidade de probabilidade (fdp)descrevem o processo aleatório nos respectivos instantes de tempo

( 4.6)∫

∞

∞−=≤ 1111 )())(( dss p At s p




39

4.4.2 Processos estacionários e ergódicos

Um processo aleatório estacionário é aquele cujas características permanecem invariantes

no tempo. Translação na origem dos tempos para o conjunto de sinais amostra {s(t,ai)} nãoafecta os valores das médias estatísticas.

O conceito de ergocidade pressupõe que existe equivalência, para largos valores de tempo,entre as médias de estatísticas e as médias temporais.

Sdt t st s E t s

dt t st s E t s

t s

m

mst s E

mst s E

iT

i

iT

i

ss

ss

s

===

==

+==

==

∫

∫

∞→

∞→

2

T

2

T-

222

2

T

2

T-

2

2222

)()]([)](

)()]([)](

)(aleatório processodo

variânciaemédiaasãoe

)]([

)]([

lim

lim

σ

σ

média estatística

[ ] E média temporal.

4.5 Relação Sinal Ruído sinal de banda base

Iremos considerar como referência um sistema de comunicação que transmite um sinal x(t) na banda base sem qualquer tipo de modulação. x(t) é um sinal de largura banda W enormalizado tal que:

( ) 122 ≤== t x xS x

Fig. 4.3 Sistema de transmissão banda base.

( ) 1≤t x




40

O canal de transmissão, é um canal ideal que não introduz distorção, no entanto adiciona

ruído branco com densidade espectral de potência ( ) 2 / η = f Gn . O sinal recebido é uma

versão atenuada de x(t). À entrada do receptor tem-se um filtro passa-banda que iremos ideal(rectangular) para simplificar os cálculos com uma largura de banda W . O sinal à saída doreceptor:

( ) ( ) ( )t nt xt z f +=

( 4.7)

Neste caso considerou-se que o sinal não é atenuado e ( )t n f é o ruído branco depois de

passar pelo filtro passa baixo de largura de banda W

A potência do sinal no receptor xr SS =

A potência do ruído à saída do receptor é

( ) W df f H N r

W

W

r η η

== ∫−

2

2

( 4.8)

A relação sinal ruído (RSR) no receptor é

γ η

==W

S RSR r

( 4.9)

O parâmetro γ - Gamma representa a relação sinal ruído de um sistema de transmissão

analógico em banda de base. Iremos usá-lo como termo de comparação dos desempenhos dos

restantes sistemas de transmissão. De notar que W η é a potência de ruído considerando um

filtro passa baixo com largura de banda W .

4.6 Relação Sinal Ruído em sistemas DSB

A figura abaixo representa um sistema DSB

Fig. 4.4 Sistema de transmissão DSB.




41

Espectro do sinal mensagem

Espectro do sinal DSB x DSB(t)

Função de transferência do filtro de Frequência Intermédia

W-W 0 f

|X(f)|

0f

|Xe(f)|

f p-W f p f p+W

0 f

|H(f)|

f p-W f p f p+W

-f p-W f p -f p+W

1




42

Densidade espectral de potência do ruído branco

Densidade espectral de potência à saída do filtro FI




43

4.7 Caracterização de ruído passa banda

O ruído passa banda npb(t) é uma função amostra de um processo gaussiano estacionário eergódico

r n pb N n pb

=== 22

pbn 0 σ ;

Podemos descrever nqb(t) em termos de componentes em fase ( )t n I e quadratura ( )t nQ

( ) ( ) ( ) t t nt t nt n pQ p I pb ω ω sincos −=

( 4.10)

As duas componentes ( )t n I e ( )t nQ , são variáveis aleatórias gaussianas conjuntas.

Descrevendo o ruído passa banda em termos de amplitude e fase aleatórias

( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) t t nt t n

t t t t t r

t t t r t n

pQ p I

n pn pn

n pn pb

ω ω

φ ω φ ω

φ ω

sincos

sinsincoscos

cos

−=

−=

+=

( 4.11)

onde

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t r t n

t t r t n

nnQ

nn I

φ

φ

sin

cos

=

=

( 4.12)

As funções ( )t ni e ( )t nq , são as funções banda base que ocupam a largura de banda

W f ≤ , de modo que quando estas funções são moduladas usando DSB, nas portadoras seno

e coseno, o ruído passa banda resultante ocupa a largura de banda W f f W f p p +≤≤−

A potência do ruído

( 4.13)

A potência associada às componentes em fase e quadratura é idêntica, temos que:22

Q I nn nnPPQ I

===

( 4.14)

e portanto:

W W nnn Q I η η

222

2222 =××===

( 4.15)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )t nt n

t t t nt nt t nt t nt n

I Q

p p I Q p I pQ

22

222

2

1

2

1

cossin2sincos

+=

−+= ω ω ω ω




44

Assim, temos que a densidade espectral de potência das componentes na banda base ( )t n I e

( )t nQ

( ) ( ) η == f G f GQ I nn

( 4.16)

4.8 Envolvente e Fase do Ruído Passa Banda

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )( )

=

+=

−

t n

t nt

t nt nt r

I

Q

n

Q I n

1

2 / 122

tanφ

( 4.17)

A envolvente ( )t r n e a fase ( )t nφ são ambas funções amostras de processos aleatórios passa-

baixo. As funções densidade de probabilidade de ( )t r n e ( )t nφ podem ser obtidas a partir das the

( )t n I e ( )t nQ . Considerando que N I e N Q representam as variáveis aleatórias obtidas por

observação (num determinado instante fixo) dos processos aleatórios representados pelas

funções amostra ( )t n I e ( )t nQ respectivamente. De notar que N I e N Q são variáveis aleatórias

independentes Gaussianas com média nula e variância σ2, por isso a função densidade

probabilidade conjunta é dada por:

( )

+−=

2

22

2,2

exp2

1,

σ πσ

Q I

Q I N N

nnnn f

Q I

( 4.18)

Assim, a probabilidade do evento conjunto de N I se encontrar ente n I e n I +dn I e N Q seencontrar entre nQ e nQ+dnQ, que corresponde à área tracejada na figura, é dada por:

( 4.19)

Fig. 4.5 Ilustração do ruído passa banda. (a) Em termos coordenadas componentesem fase versus componente em quadratura. (b) Em termos da envolvente e fase.

( ) Q I

Q I

Q I Q I N N dndnnn

dndnnn f Q I

+−=

2

22

2,2

exp2

1,

σ πσ




45

Usando a transformação

( )

( )nnQ

nn I

r n

r n

φ

φ

sin

cos

=

=

( 4.20)

No limite as duas áreas incrementais são iguais e dadas por:

nnnnnnQ I dr d r dr d r dndn φ φ ≈= )sin(

( 4.21)

Considerando as duas variáveis aleatórias R e Ψ obtidas por observação, num dado

instante, o processo aleatório representado pela envolvente r(t) e fase ( )t ψ , respectivamente.

Substituindo as equações (3.22) e (3.23) em (3.21), encontra-se a probabilidade das variáveisaleatórias R e Ψ se encontrarem conjuntamente na área a sombreado

ψ

σ πσ

drd r r

−

2

2

2

2

exp

2

( 4.22)

Isto é, a função densidade probabilidade conjunta de R e Ψ é:( 4.23)

Esta função densidade probabilidade não depende do ângulo ψ o que significa que as

variáveis aleatórias R e Ψ são estatisticamente independentes. Por isso ( )ψ ,, r f R Ψ , pode ser

expressa como o produto de ( )r f R por ( )ψ Ψ f . Particularmente, a variável aleatória Ψ que

representa a fase é uniformemente distribuída no intervalo 0 a π 2 , como se mostra em;

( )

≤≤=Ψ

valoresoutros,0

20,2

1π ψ

π ψ f

( 4.24)

Deste modo para a função densidade da variável aleatória R resta

( )

≥

−

=

valoroutros,0

0,2

exp1

2

2

2r

r

r f R σ σ

( 4.25)

onde 2σ é a variância do sinal original passa banda ( )t n pb . ( )r f R é a distribuição de

Rayleigh.

4.9 Relação Sinal Ruído em Sistemas DSB Coerentes

Agora que já sabemos caracterizar o ruído passa banda, estamos em condições de terminar aanálise do desempenho de um sistema DSB coerente.

( )

−=Ψ 2

2

2,2

exp2

,σ πσ

ψ r r

r f R




46

Fig. 4.6 Desmodulador DSB coerente.

O primeiro bloco do receptor é o Filtro FI (Frequência intermédia), localizado à frequência f p e largura de banda 2W . A função deste filtro é filtrar o ruído banco introduzido pelo canal edeixar passar inalterado o sinal.

Para realizar a análise da relação sinal ruído à entrada do receptor, R N

S

, consideramos a

relação potência do sinal recebido Sr e o a potência do ruído nos vários pontos do receptor.

O sinal que chega ao receptor é ( ) ( ) )t f t xt x p DSB π 2cos= , cuja potência é2

xr SS = , a

relação sinal ruído à saída do filtro IF é

22

γ

η ==

=W

S

N

S RSR r

R R

( 4.26)

Á saída do multiplicador temos que,

( ) ( ) ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )( ) ( ) ( )

( )t f

t nt f

t nt x

t f t nt t nt f t x

t f t nt f t xt y

p

Q

p I

p pQ p I p

p p

π π

π ω ω π

π π

4sin2

4cos12

2cossincos2cos

2cos2cos

−++

=

−+=+=

( 4.27)

Depois da filtragem pelo filtro passa baixo temos:

( ) ( ) ( )t nt xt z I 2

1

2

1+=

( 4.28)




47

A Relação Sinal Ruído

( )

( )

γ η η

====W

S

W

S

t n

t x RSR r x

I

24

141

2

2

( 4.29)

Definindo Figura de Mérito do receptor como

R

D

RSR

RSR MéritodeFigura =

( 4.30)

Para DSB temos

1= MéritodeFigura

4.10 Relação Sinal Ruído em Sistemas SSB

Antes do multiplicador a potência do sinal SSB é4

x

r

SS =

γ η

==W

S RSR r

( 4.31)

Depois do multiplicador

( 4.32)

Depois do filtro passa baixo

( ) ( ) ( )24

t nt xt z I +=

( 4.33)

A potência de ruído à saída do filtro FI de largura de banda W é W η , e tendo em conta a

representação do ruído passa banda em termos de componentes em fase e quadratura, temosque:

W W nnn Q I η η

=××===2

2222

( 4.34)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) t f t x jt f

t nt f t nt x

t f t nt t nt f t x jt f t x

t f t nt f t x jt f t xt y

p p

Q

p I

p pQ p I p p

p p p

π π π

π ω ω π π

π π π

4sinˆ4sin2

4cos12

1

2

1

2cossincos2sinˆ2

12cos

2

1

2cos2sinˆ212cos

21

+−+

+=

−++=

++=




48

Assim, temos que a densidade espectral de potência das componentes na banda base ( )t n I e

( )t nQ

( ) ( )2

η == f G f G

Q I nn

( 4.35)

( ) ( ) ( )t nt xt z I 2

1

4

1+=

( 4.36)

A Relação Sinal Ruído

( )

( )

γ η η

====W

S

W

S

t n

t x

RSR r x

I

4

4

116

1

2

2

( 4.37)

4.11 Relação Sinal Ruído em AM Convencional com Detecção Coerente

A potência do sinal AM ( ) xr SS += 12

1

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) t f t nt f t nt x

t f t nt t nt f t x

t f t nt f t xt y

p

Q

p I

p pQ p I p

p p

π π µ

π ω ω π µ

π π µ

4sin2

4cos12

1

2cossincos2cos1

2cos2cos)1(

−+++=

−++=

++=

( 4.38)

Tendo em conta que para além do filtro passa baixo também a componente contínua éeliminada

( )

( )γ

η η µ

µ

====W

SW S

t n

t x RSR r x

I

2

4

14

12

2

22

( 4.39)

4.12 Relação Sinal Ruído em AM Convencional com Detecção de Envolvente

Na modulação AM convencional tanto a portadora como as duas bandas laterais sãotransmitidas

( ) ( )[ ] )t t x p

At AM

x p

ω µ cos1+=

( 4.40)




49

De acordo com a figura

( )η

µ

W

S A

N

S x p

R 2

1 22 +=

( 4.41)

Fig. 4.7 Receptor AM com detecção de envolvente.

Para analisar a relação sinal ruído à saída do detector de envolvente, soma-se ascomponentes em fase e quadratura do ruído passa banda ao sinal AM recebido.

( ) ( ) ( )( ) ) ( ) f t nt f t nt x At x Q p I pr π π µ 2sin2cos1 −++=

( 4.42)

Sendo a envolvente y(t) dada por:

( ) ( ) ( )( ) ( )t nt nt x At y Q I p

221 +++= µ

( 4.43)

É útil representar as componentes que compõem o sinal por meio de fasores, e considerar

dois casos extremos de funcionamento.




50

Fig. 4.8 Representação fasorial da envolvente do sinal AM mais ruído passa banda.(a) sinal muito maior do que ruído. (b) ruído muito maior do que sinal.

1º casoPotência média da portadora muito maior do que a potência média de ruído, situação

representada na Figura 3.8 (a). Nesse caso o termo correspondente ao sinal é

muito maior do que os termos de ruído ( )t n I e ( )t nQ . Nesta situação a envolvente pode ser

aproximada por:

( ) ( ) ( )( )t nt x At y I p ++= µ 1

( 4.44)

Considerando que a componente DC é eliminada obtém-se

η

µ

W

S A

N

S x p

D 2

22

=

( 4.45)

ou seja uma relação sinal ruído idêntica à obtida na detecção coerente.

2º casoSituação representada na Fig. 4.8 (b), onde o ruído é dominante.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )t t x At r t y n pn φ µ cos1++=

( 4.46)

O termo dominante é o ruído e não existe nenhum termo que só dependa do sinal, o sinal

recebido é sim multiplicado por um factor multiplicativo que depende da fase do ruído. Amensagem é destruída não sendo possível a sua recuperação. Existe um valor de threshold paraa potência do sinal AM a partir do qual é possível recuperar o sinal transmitido.

( )( )t x A p µ +1




51

4.13 Desempenho dos Sistemas FM

Considerar o modelo de um receptor FM representado na figura abaixo.

Fig. 4.9 Modelo de um receptor FM.

O sinal FM que chega ao receptor ( )t xFM

é dado por:

( 4.47)

Fazendo

( ) ( )∫=t

f d xK t 0

2 τ τ π φ

( 4.48)

Temos( ) ( )t t f At x p pFM

φ π += 2cos

( 4.49)

O sinal FM recebido ao qual foi adicionado ruído aditivo WGN, depois de passar pelo filtropassa banda com largura de banda BT . BT é considerada a largura de banda necessária paratransmitir o sinal FM, pelo que na saída do filtro teremos:

( 4.50)

Torna-se útil a representação fasorial do sinal ( )t xr

Fig. 4.10 Representação fasorial do sinal FM envolto em ruído passa banda.

( ) ( )

+= ∫

t

f p p d xK t f At xFM

0

22cos τ τ π π

( ) ( ) ( ) ( )( )t t f t r t t f At x n pn p pr φ π φ π +++= 2cos2cos

p A

( ) ( )t t n φ φ −

( )t r n

( )t xr resultante

( ) ( )t t φ θ −




52

A fase de ( )t xr

representada por ( )t θ é obtida a partir da Fig. 4.10.

( 4.51)

a envolvente de ( )t xr

não tem nenhum interesse para a análise já que quaisquer variações

na amplitude do sinal são removidas pelo bloco limitador.O objectivo é determinar a frequência instantânea do sinal de modo a identificar o sinal

recebido e o efeito do ruído adicionado. O bloco descriminador tem essa função, a saída dodescriminador é dada por

( 4.52)

De modo a tornar a análise mais fácil necessitamos de simplificar a expressão.Considerando que a potência média da portadora é muito maior do que a potência de ruídofazemos as seguintes simplificações

( 4.53)

considerou-se r n << A p ( 4.54) )

o arco da tangente de um ângulo muito pequeno pode ser aproximado pelo valor do ângulo,assim temos que:( 4.55) )

A saída do descriminador de frequência é então dada por:( 4.56)

Ou seja obtém-se um termo proporcional ao sinal mensagem ( ) ( )t xK t v f d = e um termo de

ruído .

A partir do diagrama fasorial, nota-se que as variações da fase ( )t nφ do ruído passa banda

são relativas a ( )t φ . Sabemos que a fase do ruído passa banda é uniformemente distribuída nointervalo [ ]π 2,0 radianos. Por isso somos tentados a considerar que a diferença de fases

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[

−+−

=− −

t t t r A

t t t r t t

nn p

nn

φ φ

φ φ φ θ

cos

sintan

1

( )( )

dt

t d t v

θ

π 2

1=

( ) ( ) ( )[ ] pnn p At t t r A →−+ φ φ cos

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ([

p

nn

p

nn

A

t t t r

A

t t t r φ φ φ φ −→

−− sinsin

tan1

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

p

nn

A

t t t r t t

φ φ φ θ

−+=

sin

( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]

p

nn f

p

nn

A

t t t r

dt

d t xK

A

t t t r t

dt

d

dt

t d t v

φ φ

π

φ φ φ

π

θ

π

−+=

−

+=

=

sin

2

1

sin

2

1

2

1

( )( ) ( ) ( )[ ]

p

nnd

A

t t t r

dt

d t n

φ φ

π

−=

sin

2

1




53

( ) ( )[ ]t t n φ φ − também é uniformemente distribuída no mesmo intervalo. Se esta assumpção

fosse verdadeira, a componente de ruído nd (t) à saída do descriminador seria independente dosinal modulante e iria depender somente das características da portadora e do ruído passa banda.Teoreticamente foi provado que esta assumpção é verdadeira para situações onde a relaçãopotência da portadora potência do ruído é elevada, desde modo considerando que o receptorfunciona nessas condições, podemos considerar:

( 4.57)

o que significa que o ruído aditivo que aparece à saída do descriminador é inversamenteproporcional a A p, amplitude da portadora e da derivada da componente em quadratura do ruídopassa banda.

Para relação sinal ruído na saída do receptor FM D N

S

, necessitamos de calcular a

potência do sinal detectado D N

S

.

A potência média do sinal detectado( 4.58)

A potência média do ruído detectado( 4.59)

Para o cálculo desta potência de ruído convém analisar em pormenor as operações queocorrem no receptor. À saída do filtro passa banda de largura de banda BT temos ruído passabanda, cuja componente em quadratura nQ(t), ocupa na banda base uma largura de banda BT e

tem uma densidade espectral de potência ( ) η = f GQn , Fig. 4.11(a)

Fig. 4.11. (a) Densidade espectral de potência da componente de ruído banda base emquadratura nQ(t). (b) Densidade espectral de potência do ruído à saída do descriminadorde frequência. (c) Densidade espectral de potência do ruído à saída do filtro passa baixo do

receptor.

( )( ) ( )[ ] (

dt

t dn

A A

t t r

dt

d t n

Q

p p

nnd

π

φ

π 2

1sin

2

1==

( )x f d v

SK t vSd

22==

( )2

t nS d nd =




54

O ruído nv(t) à saída do descriminador é proporcional à derivada em ordem ao tempo dacomponente em quadratura do ruído passa banda nQ(t). No domínio da frequência a operação

de diferenciação corresponde a uma multiplicação por f j π 2 , deste modo podemos considerar

que a função transferência do discriminador é ( ) f j f H d π 2= , sendo a densidade espectral da

potência do ruído nv(t) dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) f G A

f f G f H f G

QQv n

p

nd n 2

22

==

( 4.60)

Representada na Figura 3.11 (b).Á saída do filtro passa baixo temos então que a potência do ruído é dada por

2

3

2

2

3

2

p

W

W p

n A

W df

A

f S

d

η η == ∫

−

( 4.61)

De notar que a potência média do ruído detectado é inversamente proporcional à potênciada portadora, por isso em sistemas FM é possível reduzir o ruído na recepção aumentando-se aa potência da portadora.

Temos finalmente a relação sinal ruído na detecção

W

S A

W

SK A

A

W

SK

N

S x p x f p

p

x f

d η

β

η η 2

3

2

3

3

2

22

3

22

2

3

2

===

( 4.62)

Tendo sido usa a relaçãoW

K f = β

A figura de mérito do receptor FM

Figura de Mérito x

r

d S

N

S

N

S

23 β =

=

( 4.63)

Da equação (3.65) podemos concluir que a Figura de Mérito de um receptor FM aumenta

com o valor deW

K f = β , ou seja é possível melhorar a performance do sistema FM

aumentando a largura de banda utilizada, no entanto há que ter cautela com esta conclusão jáque o que este sistemas estão sujeitos a efeitos de thresholds.




55


1) Considere modulação AM. Se a potência da portadora for de 50 KW e se o índice de

modulação for 0.5 e o sinal mensagem ( ) ( ) [ ]t f t f t m mm π π π 4sin29 / 2cos4 +−= , como

representado na figura abaixo:

Encontre a expressão matemática para o sinal AM no domínio temporal.Represente o sinal AM no domínio do tempo e da frequência

A potência média de saída.A eficiência da transmissão.Considere que o sinal é transmitido por um canal de transmissão que não causa distorção,

mas introduz ruído branco Gaussiano com densidade espectral de potência

( ) HzW f Gn / 10 18−= . Calcule a relação sinal ruído à saída do receptor. Considere que se trata

de um receptor coerente e faça justificando as considerações que achar necessárias.

2) Considere o sinal mensagem m(t) cuja densidade espectral de potência é Gm(f)

( )

≤=

f devalores;0

;2

outros

f f f

f

f G m

m

m

m

η

Este sinal é transmitido por um emissor SSB (Banda Lateral Única).

Projecte um emissor capaz de modular este sinal em SSB com uma frequência de portadorade 1 MHz. Represente o sinal (no domínio da frequência) nos vários pontos do emissor

Calcule a potência do sinal do sinal á entrada e á saída do modulador SSB.Projecte um receptor capaz de desmodular o sinal em SSB.




56

Deduza a relação Sinal/Ruído na recepção considerando quando o sinal é transmitido é lheadicionado ruído branco de densidade espectral de potência η /2. Considere que o sinal édesmodulado por um desmodulador coerente. Faça as considerações apropriadas.

3) Considere um sinal DSB-Sc que é transmitido através de um cnal ruídoso, cuja densidade

espectral de potência está representada na figura abaixo. A largura de banda do sinal mensagemé 4 khz e a frquência da portadora é 200 khz. Considere que a pot~encia média do sinalmodulado é 10 watts, determine a relação sinal ruído à saída do receptor.

4) Considere que a função de transferência de o filtro de pré-enfase e o filtro de de-enfasede um sistema FM são as seguintes

( )

+=

0

1

f

jf k f H pe

( )

+=

0

1

11

f

jf k f H de

A constante k deve de ser selecionada de modo a que o potência do signal depois do filtro

de pré-enfase seja identica à potência do sinal original.Calcule o valor de k considerando que a densidade espectral do sinal mensagem é:

( ) ( )

≤≤−

+=

valoresoutros0

/ 12

0

0 W f W f f

S

f G M

Qual é o melhoramento introduzido no sistema pelo uso dos filtros de pre-enfase e de-

enfase?

f(kHz)400-400 0

10-6

G(f)




57

5 Príncipios de recepção rádio

5.1 Introdução

Esta matéria é leccionada com recurso às seguintes apresentações em power point.

5.2 Um pouco de história

5.3 Funções do receptor rádio




58

5.4 O receptor super-heterodino




59




60

5.5 Conversor de frequência

5.6 Receptor com conversão dupla




61

5.7 Analisador de espectros

5.8 Sistemas de multiplexagem na frequência




62

5.9 Sistema de satélite (Intelsat)




63

5.10 FM stereo




64




a) Qual o índice de modulação do sinal FM.b) Represente o sinal FM no domínio temporal e na frequência.c) Qual a largura de banda necessária para transmitir o sinal? Justifique.d) Considere que o sinal é transmitido por um canal passa banda, cuja função de

transferência se encontra representado abaixo. Qual a percentagem de potência que étransmitida?

e) Considere que na recepção se utiliza um receptor superheterodino, cujo amplificador defrequência intermédia (FI) está centrado em 10.7 MHz. O oscilador local tem frequênciasuperior à da portadora.

e1) Descreva sucintamente justiçando o receptor FM superheterodineo.e2) Determine a frequência do canal imagem. Qual a importância do canal imagem?

2) Queremos transmitir 20 canais de voz usando um canal de transmissão com uma grandelargura de banda. Sabendo que um canal de voz está concentrado predominantemente nasfrequências

300 Hz < |f| < 3.4 k Hz. Considere uma banda de guarda entre canais de 200 Hz. Qual alargura de banda se a modulação usada for SSB? Justifique.

3) O diagrama seguinte representa um sistema de recepção de canais AM.

a) Indique a principal vantagem e desvantagem deste receptor, comparativamente ao dedesmodulação directa.

|H

MHz-100

0

100

1

25 kHz25 kHz




65

b) Determine o ganho e o factor de ruído do LNA.c) Determine o índice de modulação, para manter a relação sinal ruído após a

desmodulação.d) Determine as frequências do oscilador, de modo a sintonizar cada um dos canais.e) Determine ainda a banda imagem e as características do filtro 1, que é rejeita-banda.

f) Determine o valor da frequência intermédia na situação limite da banda imagem seradjacente à banda de recepção.




66

6 Modulação de amplitude de pulso

A matéria de teoria de amostragem já foi estudada em disciplinas de processamento desinal, por isso as bases teóricas são consideradas já adquiridas.

6.1 Amostragem ideal

Considere o sinal analógico x(t), de largura de banda limitada W , representado na figuraabaixo, quer no domínio do tempo quer no domínio da frequência

Tempo Frequência

Fig. 6.1. Sinal mensagem x(t).

Considere que de T s em T s segundos são retiradas amostras do sinal x(t), vamos considerar quese trata de uma amostragem ideal, em que a amostra é retirada instantaneamente. Assim,obtemos uma sequência de amostras [ x(nT s)], ou seja um trem de deltas de Dirac.

( 6.1)

Fig. 6.2. Operação de amostragem no domínio do tempo.

T

( ) ( ) ( )∑ −=k

ss kT t kT xt x δ δ

…

x(t |X

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ −=−=k

ss

k

s kT t kT xkT t t xt x δ δ δ

W-W 0

Ts Tempo

tf




67

No domínio da frequência a operação de amostragem corresponde à convulsão

( 6.2)

Com s

sT

f 1

=

Fig. 6.3. Operação de amostragem no domínio da frequência.

O espectro de um sinal amostrado idealmente é portanto um somatório infinito de réplicas dosinal antes de ser amostrado localizadas em valores múltiplos de s f . Se a condição W f s 2≥ for

satisfeita então é possível recuperar o sinal inicial x(t) a partir das suas amostras, para isso bastapassar o sinal amostrado por um filtro passa-baixo ideal com largura de banda W.

( ) d ft je

B

f K f H

π 2

2

−

Π=

( 6.3)

Considerando que W f BW s −<< , temos então à saída do filtro

( ) ( ) ( ) ( ) d ft js e f X Kf f X f H f Y

π δ

2−== ( 6.4)

O que corresponde ao sinal original a menos de uma constante Kf s e atrasado de t d . A saídado filtro no domínio do tempo é então

( ){ } ( )d s t t xKf f Y t y −=ℑ= −1)( ( 6.5)

A operação de reconstrução do sinal original a partir das suas amostras também pode seranalisada no domínio temporal, considerando a resposta impulsional do filtro.

( ) ( ) ( ) ( )

∑∑−=−⊗=

nss

nss

nf f X f nf f f f X f X δ δ




68

( ) ( )d t t B BK t h −= 2sinc2 ( 6.6)

Logo à saída do filtro temos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k t t BkT x BK kTst hkT xt xt ht y d

k

s

k

s −−=−=⊗= ∑∑ 2sinc2δ

( 6.7)

Considerando B=fs/2, K=1/fs e td=0, temos que

( ) ( ) ( )k t f kT xt y s

k

s −= ∑ sinc

A reconstrução no domínio temporal está ilustrada na . na figura vê-se claramente que os

valores correctos de x(t) são reconstruídos nos instantes de amostragem. Entre os instantes de

amostragem x(t) é obtida por interpolação. Este resultado corresponde ao teorema daamostragem periódica através do teorema da amostragem.

6.2 Teorema da amostragem periódica

Um sinal de energia finita e com largura de banda limitada, W , pode ser completamentereconstruído a partir das suas amostras retiradas a uma taxa igual ou superior a 2W.

6.3 Amostragem prática – Modulação por amplitude de pulso.

Na amostragem prática realizada por circuitos electrónicos a amostra tem uma duraçãofinita. A amostragem pode ser realizada por um circuito de comutação que fecha de T s em T s segundo e mantêm-se fechado durante τ segundos como se mostra na figura Fig. 6.4.

Fig. 6.4. Operação de amostragem prática.




69

Matematicamente essa operação de amostragem pode ser representada por:

( ) ( ) ( )t st xt xs =

O sinal ( ) ∑

−

Π=k

skT t

t s τ , é um trem de pulso rectangulares, cada pulso com duração τ, e

com período T s. Fica como exercício mostrar que é possível recuperar o sinal original a partirdas amostras obtidas por um circuito prático.

Por analogia com a modulação de amplitude, e tendo em conta a expressão, considerandos(t) como sendo uma portadora, a mensagem é transmitida na amplitude dos pulsos. Este tipode modulação é chamado modulação de amplitude de pulso (PAM-Pulse AmplitudeModulation). De notar que se trata de uma modulação analógica, a amplitude dos pulsos variaanalogicamente de acordo com a amplitude do sinal mensagem x(t). A vantagem de sertransmitir o sinal amostrado é que o canal de transmissão só vai estar ocupado a transmitir osinal durante a duração da amostra, no resto do tempo pode ser utilizado para transmitir outrossinais. Mas é preciso ter sempre presente que a largura de banda necessária para transmitir osinal amostrado é muito maior do que a necessária para transmitir o sinal analógico, semdemonstrar a largura de banda necessária para transmitir um trem de pulsos de duração τ é

W Bt >>≥τ 2

1

6.4 Modulação por duração e posição de pulso

A modulação por duração de pulso (PWM-Pulse Width Modulation), consiste em fazervariar a duração do pulso de acordo com a amostra do sinal amostrado

A duração τk do k pulso de um sinal PWM pode ser expressa por:

( )[ ]

( ) .

01

e

10

≥+

+=

t x

kT x sk

µ

µ τ τ

onde τ0 representa largura do pulso no instante de amostragem x(kT s) e μ representa o índice

de modulação que controla a largura do pulso.Enquanto a modulação por posição de pulso (PPM-Pulse Position modulation consiste em

fazer variar a posição do pulso de acordo com o sinal amostrado.O início do k pulso de um sinal PPM ocorre em t k ,

( ) .

0 sd sk kT xt t kT t ++=

A posição do pulso não modulado x(kT s)=0 ocorre em kT s+t d .

O circuito gerador de PWM e PPM, é muito simples é composto por um comparador,que compara um sinal dente de serra com período T s, com o sinal mensagem, sempre que o sinalmensagem




70

Fig. 6.5.Circuito gerador PDM e PPM.

Fig. 6.6. Sinais ilustrativos.

Actualmente estes tipos de modulção não são muito utilizados em telecomunicações.

6.5 Multiplexagem de sinais analógicos

Quando a capacidade de um canal de comunicação for superior ao requerido para atransmissão de um único sinal, o canal pode ser utilizado para transmitir simultaneamente váriossinais, este processo é conhecido por multiplexagem. A Fig.8.7 ilustra o funcionamento de umsistema de multiplexagem no domínio temporal (Time Division Multiplexing – TDM), váriossinais são filtrados e amostrados sequêncialmente. O sistema de amostragem sequencial aquirepresentado por um comutador mecânico que roda à frequência f s, cada rotação completa temuma duração T s, durante T c segundos está comutado para um dos sinais. O domínio temporal éassim dividido em intervalos de tempo de são atribuídos aos diferentes sinais. No receptor asdiferentes amostras são distribuídas por outro comutador. Para que o sistema funcione é

necessários que os comutadores do emissor e receptor estejam sincronizados. A sincronização ésem dúvida um dos aspectos mais importantes de um sistema TDM.

PWM

PPM

Geradordente de serra

x(t)

Monoestável

+

-




71

Fig. 6.7. Sistema TDM.

Fig. 6.8 Funcionamento ilustrativo de um sistema TDM. a) Sinal x1. b) N sinais

multiplexados no tempo.




72

6.5.1 Multiplexagem de sinais digitais

Como no caso de sinais digitais a multiplexagem de sinais digitais consiste em combinarbits (símbolos) provenientes de várias fontes de informação (possivelmente com diferentes taxasde transmissão) e combinar os bits de modo a obter um agregado de símbolos de elevada taxa detransmissão, que utilize eficientemente um canal de grande largura de banda. A combinação debits pode ser realizada bit a bit, ou então a combinação é feita com conjuntos de bits (palavras)provenientes de diferentes fontes. Para que seja possível recuperar o sinal no destino énecessário que o sinal multiplexado


1- Considere um sistema PAM em que o sinal mensagem é um sinal sinusoidal comfrequência 1 Hz.

a) Qual o período máximo de amostragem ?b) Considere um período de amostragem de 1/3 s. Realize graficamente a operação de

amostragem quer no domínio do tempo como no domínio da frequência.

2- Considere dois sinais, s1(t) de largura de banda de 2 KHz e o outro s2(t) de largura de

banda 4 kHz. Determine a frequência de amostragem mínima considerando que estes sinaisserão transmitidos por um sistema usando multiplexagem no tempo.

3- O sinal é de banda ilimitada. Determine a frequência de amostragem

mínima (em termos de frequência a 3 dB de x(t)) de modo que para f(3dB) a componente dealaising de maior amplitude esteja pelo menos 10 dB abaixo da componente principal.

4- A figura seguinte representa um método prático para efectuar a amostragem de sinaisanalógicos que utiliza um circuito de amostragem e retenção (sample and hold).

Desenhe a forma de onda à saída do circuito de amostragem e retenção.

( ) x t e u t at = − ( )

Amostragem eretenção




73

b) Represente o espectro de frequências (amplitude) do sinal xs(t) nas seguintes condições:

1/Ta > 2B, 1/Ta = 2B, 1/Ta < 2B.c) Mostre que se pode recuperar o sinal original se 1/Ta>2B.

5- Considere um sistema de telemetria, em que se pretende multiplexar no tempo 5 sinais delarguras de banda respectivamente, B1= 1500 Hz, B2=350 Hz, B3=300 Hz, B4=150 Hz, e B5=

100 Hz. Considere ainda que para implementar este sistema dispomos de multiplexadores de 8entradas com frequência de amostragem f s=750 Hz, multiplexadores de 2 entradas com

frequência de amostragem f s=375 Hz , gerador de relógio de 6 kHz, e divisores de frequência.

Projecte o sistema.

6- Considere o sistema da figura.

a) p(t) é um trem de pulsos rectangulares como se mostra na figura 1 parte a), com períodoT = 1/2B. Determine os parâmetros K e β do filtro ideal de modo a que g(t)=f(t).

b) Devido a uma avaria no gerador de pulsos , os pulsos p(t), embora permanecendoperiódicos começaram a ser gerados com formas aleatórias, como se mostra na parte (b) dafigura. Será possível recuperar f(t) ? Considere zero.

7- A duração τk do k pulso de um sinal PDM pode ser expressa por:

p(t)

f(t)

x(t) g(t)

H(f)

F(f) = 0, para |f| > B

p(t)

t

... ...

-T/4 T/4 3T/4 5T/4-3T/4-5T/4

p(t)

t

... ...

-T/4 T/4 3T/4 5T/4-3T/4-5T/4

(b)(a)

|H(f)|

f

arg(H(f))

f

−β

B-B

2 fπ

K




74

a) Considere um sinal de voz PWM, em que fs = 8 kHz e |μx(t)| < 0.8. Este sinal deve ser

transmitido por um canal com largura de banda BT = 500 KHz. Calcule o valor máximo emínimo que τ0 poderá assumir.

( )[ ]

( )

( )

τ τ µ

µ

τ µ

k s

s

x kT

x t

x kT

= +

+ ≥

=

0 1

1 0

0

e

em que representa a largura do pulso PWM quando e o index de modulaç ão

controla a largura do pulso PWM.0




75

7 Modulação por código de pulsos (PCM-Pulse Code Modulation)

Neste capítulo iremos a transmissão de sinais analógicos através da modulação por códigosde pulsos. A modulação por código de pulsos de um sinal analógico tem por objectivo a suatransmissão digital.

7.1 Arquitectura do sistema gerador de sinais PCM

A Fig.8.1 , mostra a arquitectura de um sistema gerador de sinais PCM. O sinal analógico x(t), passa por um filtro passa baixo (FPBaixo) e é amostrado pelo circuito de amostragem eretenção (S&H Sample & Hold) obtendo-se o sinal PAM x(kT s). De seguida o sinal équantificado em q níveis discretos. O sinal amostrado e quantificado xq(kT s) é então codificado.

Fig. 7.1 Sistema gerador de sinais PCM.

A operação de quantificação consiste na quantificação do sinal PAM em q níveis.Considerando o sinal analógico um sinal de tensão normalizado tal que |x(t)| ≤ 1 V . Se aquantificação for uniforme a gama de tensões de 2 V (o valor máximo da amplitude do sinalpico a pico) é dividida em q níveis igualmente espaçados, sendo a separação entre níveis de

q

2=∆

V.

Os níveis discretos sãoq

q

qq

1 ,,

3 ,

1 −±±±± , como se mostra na figura, para 8=q . De

seguida o codificador codifica cada nível discreto numa palavra de um código digital




76

Fig. 7.2 Esquema ilustrativo do processo de modulação por código de pulso.

níveis dequantificação

níveis de decisão

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

0

1

1

Instantes de

101 101 010 000 010 111 111 110

sinal analógico x(t)

sinal amostrado

sinal quantificado

q

1

q

1−

q

3

q

5

q7

Sinal PCM (sinal

q3−

q

5−

q

7−

Tensã

Código




77

Operações envolvidas:

1º amostragem de acordo com o teorema de Nyquist;2º quantificação, o sinal é quantificado para o nível mais próximo, nesta operação é

cometido o erro de quantificação;

3º cada nível de quantificação é codificado utilizando-se v bits, q=2v;*3º a cada amostra quantificada faz-se corresponder o conjunto de bits equivalente.

7.2 Taxa de geração de dados binários num sistema PCM

Considerando um sinal analógico x(t) com largura de banda W , a frequencia de amostragemmínima utilizada é f s=2W , assim a taxa de geração de dados binários é r b=vf s.

7.3

Receptor PCM

O primeiro bloco do receptor PCM é um regenerador que tem por objectivo regenerar osinal PCM que chega ao receptor. O sinal PCM à entrada do receptor pode estar contaminadopor ruído e/ou distorcido. De seguida cada conjunto de v bits que compõem uma palavra sãoconvertidos de série em paralelo e a amplitude correspondente é descodificada. O circuito deSample&Hold gera o sinal xq(kT s) em forma de degraus como se mostra na figura, o sinal xq(kT s)é uma versão aproximada do sinal x(t) amostrado, trata-se de uma versão aproximada porque asamostras foram quantificadas. O papel do filtro passa baixo à saída do receptor é suavizar xq(kT s), no entanto o sinal à saída do filtro passa baixo y D(t) difere de x(t) na medida em que o

sinal quantificado xq(kT s) difere do sinal amostrado x(T s).

Fig. 7.3 Receptor PCM.




78

7.4 Erro de quantificação

Fig. 7.4 Erro de quantificação.

O erro de quantificação do símbolo k, definido pela variável aleatória K ε , é a diferença entre o

sinal amostrado, ( )skT x , e o sinal quantificado ( )sq kT x .

( ) ( )ssqk kT xkT x −=ε

( 7.1)

Quando a quantificação é uniforme ou linear, ou seja quando for constante a diferença deamplitudes entre dois níveis consecutivos ( .const =∆ ). Se as amplitudes a quantificar tiverem

uma distribuição uniforme entre +1 e –1 V, a distribuição de k ε é também uniforme entre

2 e

2

∆∆−

, isto é:

( )

≤≤

∆−

∆=valoresoutros

para f K

K

02

1ε

ε

( 7.2)

( )K f ε função densidade probabilidade de k ε .

A potência do ruído de quantificação ( )12

22 /

2 /

2222 ∆

=∆

=== ∫∫∆

∆−

∞

∞−

k k

k k k K q d d f ε ε

ε ε ε ε σ

Este resultado indica que a potência de ruído aumenta quando o espaçamento entre níveisaumenta, o que intuitivamente já era esperado.

b




79

Uma medida da influência do erro de quantificação no desempenho de um sistema PCM é arelação entre a potência do sinal e a potência do ruído de quantificação (RSR – Relação SinalRuído)

2

q

xS

RSR σ =

( 7.3)

Considerando a normalização ( ) 1≤t x , temos então que 1≤ xS , e

( )dB 0.68.4

23log10

3log1022

10

2

10

v

S

qS RSRv

x

x

+≤

×=

=

( 7.4)

A expressão indica que a relação sinal ruído é proporcional ao nº de bits utilizado paracodificar cada amostra.

7.5 Quantificação não uniforme

Muitos sinais analógicos (especialmente voz, música e video) apresentam uma gamadinâmica apreciável e a distribuição de amplitudes está longe de ser uniforme, têm média nula ea suas amplitudes tomam com maior probabilidade valores próximos do valor médio comoilustrado na figura.

Fig. 7.5 Função densidade probabilidade de um sinal mensagem x(t), com níveis dequantificação não uniformes.

p X

p X




80

A potência do sinal mensagem S x é calculada

( ) ( )∫ ∫−

==1

1

1

0

222 dx x p xdx x p xS X X x

( 7.5)

Como p X (x) apresenta um pico dominante em valores próximos de x=0 então 1<< xS . Aforma de p X (x) também significa que ( ) 1<<t x a maior parte do tempo. Assim, faz todo o

sentido ter intervalos de quantificação não uniformes, intervalos de quantificação mais largospara amostras que ocorrem em intervalos de menor probabilidade e intervalos de menorcomprimento no caso contrário.

O ruído de quantificação calcula-se do seguinte modo.Considera-se que o valor amostrado ( )sa kT x x = no intervalo iii ab −=∆ , cujo nível de

quantificação é xi. O erro de quantificação é então:

aii x x −=ε

( 7.6)

A potência do erro de quantificação no intervalo ii b xa << , é então:

( ) ( )∫ −=i

i

b

a

X aii dx x p x x22

ε

( 7.7)

O ruído total de quantificação é a soma dos ruídos de cada intervalo

∑=

=2 /

1

22 2q

i

iq ε σ

( 7.8)

Normalmente q>>1 e o intervalo de quantificação iii ab −=∆ é tão pequeno que

( ) ( )i X X x p x p ≈

, no intervalo de integração e xi localiza-se grosseiramente a meio dointervalo. Nestas condições

( ) ( ) ( )12

322 2 /

2 /

i

i X

h x

h xii X i x pdx x x x p

ii

ii

∆=−≈ ∫

+

−ε

( 7.9)

e

( )∑=

∆≈2 /

1

32

6

1 q

i

ii X q x pσ

( 7.10)

Teoricamente poderiamos optimizar o desempenho de um sistema PCM encontrando osvalores de xi , ai e bi que minimizem o ruído de quantificação. Tal abordagem é possível, masexige na prática que para determinado sinal com determinada função densidade probabilidadeseja implementado em hardware um quantificador específico. Na prática é utilizadaquantificação uniforme depois de o sinal ser submetido a uma operação de não-linear decompressão. As curvas caracteristicas de compressão estão standarizadas e foram obtidasatravés de estudos experimentais realizados com sinais representativos.




81

Fig. 7.6 Compressor.

Fig. 7.7 Expandor.




82

Na prática são frequentes dois tipos de curvas de compressão:• A curva de compressão µ, adoptada nos Estados Unidos, Canadá e no Japão:

( )

( ) x

x y

+

+=

1log

1log µ

( 7.11)

Com µ=255

Fig. 7.8 Lei de compressão µ .

• A curva A, utilizada na Europa:

( )

( )( )( )

x1/aparalog1

log1

/ 1x0paralog1

<+

+=

≤≤+

=

a

xa xsign y

aa

xa y

( 7.12)

Com a=87.6




83

Fig. 7.9 Lei de compressão A.

7.6 Modulação diferencial por código de pulso

DPCM – Differential Pulse Code Modulation

Como se viu anteriormente uma desvantagem da modulação PCM é a largura de bandanecessária para transmitir o sinal PCM , que é directamente proporcional ao número de bits porpalavra. Um método de conversão analógico-digital alternativo é a modulação diferencial porcódigo de pulso. A abaixo apresenta o esquema de um modulador DPCM, como se ilustra nafigura este modulador compara o sinal amostrado com o sinal amostrado no instante deamostragem anterior e é a diferença entre os dois sinais que é quantificada, codificada etransmitida utilizando-se v bits por amostra.

Como a gama de amplitudes do sinal diferença entre amostras consecutivas é menor que agama de amplitudes do sinal analógico x(t), é necessário um número menor de bits para

codificar o sinal diferença mantendo-se o mesmo erro de quantificação que a modulação PCM.

Fig. 7.10 Modulador or DPCM.

x

Atraso T s Trem de impulses

de amostragem

DPCM

Quantificador ecodificador




84

Fig. 7.11 Operação do gerador DPCM.

7.3 Modulação Delta

A modulação Delta é um caso limite da modulação DPCM, a diferença entre o sinal amostradono instante anterior é codificado utilizando-se só um nível. Este tipo de modulador éessencialmente utilizado para a voz humana e sinais de vídeo, e o sua grande vantagem é a suasimplicidade de implementação. O modulador Delta representado na figura compara o sinal x(t)com uma aproximação em degrau ( )t x e a diferença ( ) ( )t xt x ˆ− é quantificada em dois níveis

∆± dependendo do sinal da diferença como se ilustra na

Sinal amostrado

Diferença entre pulsosamostrados consecutivos

T




85

Fig. 7.12 Funcionamento do modulador Delta.

Da análise da Figura 7.13 podemos constatar que quando o declive de x(t) aumenta e osinal ( )t x não consegue acompanhar x(t) aumentando o ruído de quantificação, nesta situação

chamado de ruído de sobrecarga. Este tipo de ruído pode ser minimizado filtrando o sinal x(t)para evitar variações rápidas no tempo, ou aumentando ∆ e/ou s frequência de amostragem dosinal. A filtragem e/ou aumento de ∆ resulta num aumento da distorção do sinal, e o aumento dafrequência de amostragem implica um aumento da largura de banda necessária para transmitir

este sinal. Como ( )t x varia de ±∆ cada T s segundos, o declive do sinal ( )t x é ± f s∆, pelo que para

que não ocorra ruído de sobrecarga é necessário verificar-se a condição:

( )∆≤ s f

dt

t dx

max

()

T

x

Sinaldigital




86

Por outro lado quando o sinal x(t) não sofre grandes variações, o ruído, designado por ruídode quantificação ou ruído granular, é semelhante ao ruído PCM, podendo ser reduzidodiminuindo o valor de ∆. Uma solução para diminuir quer o ruído granular como o ruído desobrecarga é detectar a condição de sobrecarga e aumentar ∆ quando se detecta a sobrecarga.Moduladores que adaptam o valor de ∆ ao declive do sinal, são chamados sistemas de

modulação delta adaptativos.O dimensionamento de ∆ é pois um factor fundamental no desempenho de moduladores

delta, se para valores de ∆ pequenos o ruído granular é reduzido trata-se uma situação que podeprovocar ruído de sobrecarga, no entanto aumentando o valor de ∆ diminui o ruído desobrecarga, mas à custa de um aumento do ruído de quantificação. Este comportamentoencontra-se ilustrado na figura seguinte.

Fig. 7.13 Esquema ilustrativo Relação Sinal Ruído (RSR) em função de ∆ parasistemas de modulação Delta.

7.7 Exercícios resolvidos

Considere um sinal mensagem, s(t), sinusoidal com amplitude A e frequência f 0 . Considereque este sinal mensagem é aplicado a um modulador delta .

a) Mostre que quando, ∆ , o nível de quantificação é maior do que 2A o sinal à saída

modulator ( )t s não é uma aproximação válida de s(t).

b) Mostre que para evitar ruído de sobrecarga é necessário que02 f

f A s

π

∆≤ , onde f s é a

frequência de amostragem.

c) Mostre que a condição 03 f f s >, satisfaz quer a alínea a) quer a alínea b).

Resolução

R

∆ óptimo

Ruídogranular

Ruído desobrecarga




87

a) Como se ilustra no esquema abaixo, qualquer que seja o instante de amostragem quando

A2>∆ , ( )t s é sempre uma onda rectangular que não contém informação acerca des(t).

b) A condição de sobrecarga ocorre quando entre dois instantes de amostragem

consecutivos a função cresce ou decresce de um valor maior do que ∆ , ou seja

( )

sT dt

t ds ∆<

, onde T s é o intervalo de amostragem

( )( )

( )s

s

T t f f A

T t f A

dt

d

∆<

∆<

00

0

2cos2

2sin

π π

π

O declive da função atinge o seu valor máximo quando t=0.

0

0

2

2

f f A

T f A

s

s

π

π

∆<

∆<

c) De modo a satisfazer as duas alíneas anteriores

A2<∆ e 02 f

f A s

π

∆<

destas duas condições temos que:

A

-A




88

ss

s

f f f

f

f

3

2

2

0

0

>>

∆<∆

π

π




89

8 Códigos de Linha

8.1 Introdução

Os códigos de linha têm essencialmente as funções de:• formatar a densidade espectral de potência do sinal digital adaptando-o ao canal de

transmisssão;• assegurar a sincronização temporal entre o emissor e receptor, o código utilizado deve

de incluir informação temporal que permita ao receptor sincronizar-se com o emissor;.Outros aspectos importantes na escolha do código de linha é a sua eficiência espectral da

transmissão e a sua capacidade do código de detectar erros.Na Fig. 9.1, e para o caso da sequência binária 0110100011, ilustram-se alguns dos códigos

de linha mais usados. Os formatos (a), (c) e (e) estão neste exemplo baseados em impulsos

rectangulares, p(t)

de duraçãoT

, eT/2

nos casos (b) e (d) em que há retorno a zero. Em todas assituações ilustradas a taxa de transmissão é r=1/T baud.O formato unipolar corresponde a uma sinalização do tipo on-off , isto é, o impulso só é

transmitido quando ocorre, por exemplo, o bit 1. Como o impulso ocupa todo o intervalo desímbolo, este formato é dito unipolar sem retorno a zero. No caso do formato unipolar comretorno a zero, o impulso rectangular tem duração normalmente igual a T/2. Qualquer destesformatos é de realização prática simples. No entanto, porque o sinal resultante não tem médianula, a sua utilização implica a transmissão de uma componente contínua o que se traduz, entreoutros efeitos, num custo adicional em termos de potência de transmissão.

Fig. 8.1 Códigos de linha: a) unipolar; b) unipolar com retorno a zero; c) polar; d)polar com retorno a zero; e) bipolar (AMI-Alternate Mark Inversion); f) Manchester




90

O formato polar resolve este problema no caso em que os bits são equiprováveis, pois os pulsos p(t) e –p(t) são transmitidos quando ocorrem os bits 1 e 0, respectivamente. No entanto, e talcomo acontece com o formato unipolar, o transporte da informação relativa ao ritmo de símbolonão é garantida. De facto, se ocorrer uma sequência longa de 0's ou de 1's, o sinal mantém-seconstante durante esses períodos do tempo. Não existindo passagens por zero a um ritmo certo,

dificilmente o receptor poderá sincronizar-se com o emissor. Outra desvantagem do formatopolar tem a ver com a questão da inversão de polaridade que ocasionalmente possa serintroduzida pelo canal de transmissão. Ao contrário do que acontece com o formato unipolar, oformato polar não permite detectar a inversão de polaridade o que se traduz em errossistemáticos na saída do detector.

O formato bipolar tem capacidade de detecção da inversão de polaridade, resolvendo oproblema atrás referido. Neste formato, ao símbolo 0 corresponde a ausência de transmissão eao bit 1 correspondem os impulsos p(t) e –p(t) em regime de alternância. A falha deste regimede alternância provocada pela inversão da polaridade pode assim ser detectada pelo receptor. Noentanto, o formato bipolar também não resolve o problema da sincronização de símbolo.

O formato do tipo Manchester é, de entre aqueles que aqui considerámos, aquele quemelhor resolve o problema da sincronização de símbolo. De facto, mesmo que ocorramsequências longas de 0's ou 1's, está sempre garantida uma passagem por zero por cada intervalode sinalização com duração T. Naturalmente que, número de transições por unidade de tempo,este formato é aquele que requer a banda de transmissão mais larga, o que se traduz numamenor eficiência espectral.

8.2 Densidade espectral de potência de um sinal digital

Com o objectivo de caracterizar a eficiência espectral dos códigos de linha atrás referidos,iremos determinar a sua densidade espectral, iniciaremos o nosso estudo comO sinal digital genérico:

( ) ( )∑∞

−∞=

−=k

k kT t pat x

(9. 1)

onde p(t) representa o formato do pulso elementar, 1/T, taxa de transmissão e {ak } é oconjunto de símbolos digitais que são amostras de um processo aleatório estacionário eergódico.

A densidade espectral de potência de x(t) é dada por:

( )( )

( )∑∞

−∞=

−=n

fnT ja x en R

T

f P f S

π 2

2

(9. 2)

( ) [ ]nk k a aa E n R −=

(9. 3)

P(f) representa a transformada de Fourier de p(t) e Ra(n) a função de autocorrelação de {ak },




91

tem as seguintes características (por ser estacionário e ergódico)

[ ]

[ ] ( ) ( ) Z k i Ri Raa E

aa E

aaik k

k k

∈∀

−==

=

−

(9.4)

Demonstração

Considerar um sinal aleatório de duração finita ou truncado

( )( )

>

<=

2 / 0

2 /

0

0

0 T t

T t t xt xT

(9.5)

Como cada função amostra truncada tem energia finita, tem transformada de Fourier dadapor

( ) ( ) ( )∫∫−

−∞

∞−

− ==2 /

2 /

0

0

000

T

T

t jT

t jT T et xet x f X

ω ω

(9.6)

De acordo com o teorema de energia de Rayleigh temos que

( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−−

== df f X dt t xdt t xT T

T

T

22

2 /

2 /

2

00

0

0

(9.7)

Sendo então a potência média P , dada por

( )

= ∫

∞

∞−∞→

df f X T

E P T T

2

00

0

1lim

(9.8)

A quantidade ( )

∫∞

∞−∞→

2

00

0

1lim f X E

T T

T , pode ser interpretada como sendo uma densidade

espectral de potência.

( ) ( )

= ∫

∞

∞−∞→

2

00

0

1lim f X E

T f G T

T x

(9.9)

Considerando que o sinal truncado ( )t xT 0, é composto por 2K+1 pulsos, de modo que

T K T )12(0 += , deste modo no limite ∞→0T corresponde ∞→K , então para 1>>K




92

( ) ( )∑−=

−=k

K k

k T kT t pat x0

(9.10)

( ) ( )∑−=

−=k

K k

kT jk T e f Pa f X ω

0

e

( ) ( )

= ∑∑

−=

+

−=

−k

K i

iT jk

k

K k

kT jk T eaea f P f X ω ω 22

0

(9.11)

Calculando a média estatística E[.]

( ) ( ) ( ) f f P f X E K T ρ 22

0=

( ) [ ] ( )T ik jik

k

K i

k

K k

K eaa E f −−

−=−=∑∑= ω ρ

(9.12)

Considerando x(t) ergódico e estacionário em sentido lacto

[ ] ( )ik Raa E aik −=

O somatório duplo em ( ) f K ρ pode ser manipulado e representado por uma soma simples

( ) ( ) ( ) nT ja

K

K n

K en RK

nK f ω ρ −

−=∑

+−+=

2

2 12112

Substituíndo estas expressões em (9.12) obtemos

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−

→∞=

+=

n

fnT jaK

K x en R f P

T f f P

T K f S π ρ

222 1

12

1lim

8.3 Calculo da densidade espectral de potência do sinal unipolar

Consideremos o formato unipolar, com bits equiprováveis, sendo a sequência aleatóriadefinida por:




93

='0'0

'1' Aak

(9.13)

O pulso elementar é o pulso rectangular com duração T e amplitude 1, logo:

( ) ( ) fT T f P sinc= (9.14)e

( ) [ ]nk k a aa E n R −=

(9.15)

n=0

ak poderá assumir um valor que poderá ser 0 ou A independentemente dos valoresassumidos pelos outros ak s.

( ) [ ] ( ) ( )

2

0002

22 AaP AaP Aaa E R k k k k a ==+===

(9.16)

n=1, Ra(1)=E [ak ak+1]

Realizações possíveis do acontecimento são { } { } { } { } A A A A ,,0,,,0,0,0 , cada uma destes

acontecimentos tem a mesma probabilidade igual a 1/4

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( ) 4,0,0

,000,0001

2

11

111

A

Aa AaP A Aa AaP A

AaaP AaaPaa E R

k k k k

k k k k k k a

===××+==××

+==××+==××==

++

+++

=

(9.17)

0≠∀n , ( ) [ ]1+= k k a aa E n R , o par { }1, +k k aa , pode tomar as 4 configurações possíveis

{ } { } { } { } A A A A ,,0,,,0,0,0 , cada uma destas configurações tem probabilidade igual a ¼ logo

( ) [ ]4

2

1

Aaa E n R k k a == +

e temos que:

( )

≠

==

04

02

2

2

n A

n A

n R a

(9.18)

e logo temos que:




94

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )nT f A

fT T A

nT f A

T

A fT T

e A A

fT T

e A A

T

fT T

en RT

f P f S

n

n

fnT j

nn

fnT j

n

fnT ja x

−+=

−+=

+=

+=

=

∑

∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

−

∞

≠−∞=

−

∞

−∞=

−

δ

δ

π

π

π

4sinc

4

4

1

4sinc

44sinc

42

sinc

22

2

222

222

2

0

22222

2

2

(9.19)

Na obtenção do resultado atendeu-se à igualdade

∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−

−=

n n

fnT j

T

n f

T e δ π 12

(9.20)

e ao facto de sinc( fT ) ter zeros nos multiplos de 1/T resulta finalmente que:

( ) ( ) ( ) f A

fT T A

f S x δ 4

sinc4

22

2

+=

(9.21)

Deixa-se como exercício a verificação dos seguintes resultados:

Polar: ( ) ( ) fT T A f S x22 sinc=

Bipolar:( ) ( ) ( ) fT fT T A f S x π

222sinsinc=

Manchester: ( ) ( ) ( )2 / sin2 / sinc222

fT fT T A f S xπ =




95

Fig. 8.2 Densidade espectral de potência dos formatos unipolar, polar, bipolar (AMI)

e Manchester.

Na Fig. 9.2 estão representados os espectros de potência (normalizados por A2T) dos

códigos de linha atrás considerados. Para a mesma amplitude A, o formato unipolar exige umapotência de transmissão que vale A

2 /2, metade da qual gasta na transmissão da componente

contínua. Todos os restantes formatos exigem uma potência de transmissão que vale A2, excepto

o formato bipolar a que corresponde uma potência de transmissão A2 /2.

Da análise da Fig. 9.2 , verifica-se que para o caso do formato Manchester a maior parte dapotência concentra-se numa banda cuja largura é aproximadamente igual a 2/T , enquanto que

para todos os restantes formatos a largura de banda vale 1/T . Isto quer dizer que o formatoManchester tem uma eficiência espectral que vale metade da eficiência espectral dos outroscódigos de linha aqui considerados, no entanto devido à concentração de potência ao redor de1/T é fácil a sua sincronização. A partir da Fig. 9.2 é possível concluir que para os formatos RZé possível obter obter o sincronismo através de uma filtragem passa banda em redor de 1/T,dado que para estes sinais existe uma forte componente em redor dessa frequência. A obtençãodo sincronismo para o sinal NRZ exige a elaboração de circuitos mais sofisticados.




96

Fig. 9.3 Densidade espectral de potência para sinais unipolares cujos pulsos sãorectangulares e para 3 situações: NRZ, RZ com duty-cycle de 50% e RZ com duty-cycle de25%.




97


1) Codifique a sequência binária seguinte em HDB3:

10 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

b) Descodifique a forma de onda que obteve confirmando que obtém a sequência original.

2) Calcule a densidade espectral de potência para um sinal digital unipolar com bitsequiprováveis, considerando as seguintes situações.

a) Duty cycle de 50%b) Duty cycle de 25%c) Duty cycle de 75%

3)Calcule a densidade espectral do código de linha AMI (Alternate Mark Inversion)Mostre que:

Polar: ( ) ( ) fT T A f S

x

22sinc=

Bipolar: ( ) ( ) ( ) fT fT T A f S x π 222

sinsinc=

Manchester: ( ) ( ) ( )2 / sin2 / sinc 222 fT fT T A f S x π =

3) Codifique a sequência binária seguinte em HDB3:

10 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

b) Descodifique a forma de onda que obteve confirmando que obtém a sequência original.

4) Calcule a densidade espectral de potência para um sinal digital unipolar com bitsequiprováveis, considerando as seguintes situações.Duty cycle de 50%Duty cycle de 25%Duty cycle de 75%

5) Calcule a densidade espectral do código de linha AMI (Alternate Mark Inversion)

Mostre que:Polar: ( ) ( ) fT T A f S x

22 sinc=

Bipolar: ( ) ( ) ( ) fT fT T A f S x π 222

sinsinc=

Manchester:( ) ( ) ( )2 / sin2 / sinc 222

fT fT T A f S x π =




98




99

9 Transmissão digital em banda base

9.1 Introdução

Actualmente os sistemas de transmissão são predominantemente digitais e a tendência é para setornarem cada vez mais digitais. Existem várias vantagens da transmissão digital relativamente

à transmissão analógica nomeadamente: (a) facilidade do projecto de circuitos digitais efacilidade da sua implementação em circuitos integrados, os circuitos digitais estão menossujeitos a distorções que os circuitos analógicos, os circuitos digitais só operam em estados bemdefinidos, normalmente dois estados, um distúrbio deverá ser suficientemente elevado paraproduzir uma mudança de estado no circuito digital, enquanto que qualquer interferência se fazsentir nos circuitos analógicos; (b) existência de técnicas de processamento digital de sinal bemdesenvolvidas; (c) os sinais de saída dos computadores são digitais, os sinais transmitidos nasredes de comunicação têm tendência para serem predominantemente relativos a troca deinformação entre computadores; (d)imunidade ao ruído, considere por exemplo um pulso digitalque se propaga numa linha de transmissão, o pulso ao propagar-se é atenuado, distorcido e é-lhe

adicionado ruído, na recepção o pulso ainda será reconhecido como tal se a sua amplitudeultrapassar um valor predefinido no instante de amostragem, os efeitos da transmissão(distorção, atenuação, interferência e ruído) só se farão sentir se ultrapassarem um determinadolimiar, se não ultrapassarem esse limiar o pulso pode ser regenerado, no caso dos sistemas detransmissão analógicos não existe esta operação de regeneração e todos os efeitos detransmissão ficarão impressos no pulso.

9.2 Modelo de um sistema de transmissão digital

A Figura 11.1 ilustra um sistema de transmissão digital em termos de diagramas de blocos. Osinal digital ao ser transmitido pelo canal de transmissão é atenuado, distorcido, é-lhe

introduzido ruído e é afectado por interferências. Na recepção o sinal é filtrado por um filtropassa baixo, que tem por objectivo reduzir o ruído introduzido pelo canal de transmissão, éamplificado para combater a atenuação e é egualizado. A operação de egualização consiste nafiltragem do sinal por um filtro desenhado com o objectivo de compensar a resposta do canal detransmissão. Um sinal de sincronismo recuperado a partir do sinal que chega ao receptor éutilizado como temporizador nas operações de recuperação do sinal digital no receptor. Para queo sinal digital seja recuperado numa primeira fase é amostrado por um amostrador de retenção(Sample&Hold ), o passo seguinte é comparar o sinal amostrado com o nível de decisão ( D) edecidir se o símbolo transmitido foi ‘0’ ou ‘1’. De notar que o sinal digital recuperado é umsinal sem ruído nem distorção mas que pode conter erros, como se ilustra na fdigitais os efeitos

de transmissão fazem-se sentir através de erros de decisão.

Fig. 9.1 Modelo de um sistema de transmissão digital.




100

Fig. 9.2 Sinais ilustrativos em vários pontos do sistema de transmissão digitalrepresentado na Fig. 11.1.

9.3 Caracterização da informação digital

A representação de uma mensagem digital em banda de base toma normalmente a forma deuma sequência de pulsos modulada em amplitude:

( ) ( )∑ −=k

sk kT t pat x

( 9.1)

- ak representa o símbolo k pertencente a um alfabeto de M símbolos;

- T s não é necessariamente a duração do pulso, mas sim a duração entre duas transiçõessucessivas do sinal. Taxa ou ritmo de transmissão de símbolo: r = 1/ Ts [baud];O pulso não-modulado p(t ) está sujeito às seguintes condições:

( )

±±=

==

,...2,0

01

ss T T t

t t p

( 9.2)

Por exemplo p(t ) pode ser um pulso rectangular Π(t / T s), ou qualquer outro pulso queobedeça à condição da equação acima. Esta condição garante que se pode recuperar amensagem amostrando x(t ) periodicamente nos instantes t = KT s com K = 0, ± 1, ± 2, … dadoque:

Distorção

Ruído +

Filtragem + equalização

Sinal de síncronismo

Sinal Digital

Nível de decisão

Erro introduzido




101

( ) ( )k

k

ssk sakT KT paKT x =−= ∑

( 9.3)

O sinal y(t ) à saída do filtro passa-baixo pode ser descrito da seguinte forma:

( ) ( ) ( )t nkT t t pat yk

sd k +−−= ∑ ~

( 9.4)

t d é o atraso de transmissão, ( )t p~ é o pulso p(t ) distorcido e n(t) o ruído aditivo. Para serecuperar a mensagem o sinal é amostrado periodicamente:

Se ( ) 10~ = p :

( ) ( ) ( )K

K k

ssk K K t nkT KT paat y +−+= ∑≠

~

( 9.5)

d sK t KT t += interferência inter-simbólica (IIS)Sinal Ruído

9.4 Limitações de transmissão

Duas das limitações fundamentais na transmissão são a interferência inter-simbólica e oruído aditivo. A combinação destes dois efeitos pode resultar em erros na mensagem regeneradacomo se ilustra.

Fig. 9.3 Sinal distorcido depois do filtro passa baixo do receptor.




102

É possível diminuir o efeito do ruído aditivo diminuindo a largura de banda do filtro passabaixo à entrada do receptor, no entanto a redução da largura de banda do filtro à entrada doreceptor implica o alargamento do pulso e consequentemente um aumento da interferência inter-simbólica.

9.5 Diagrama de olho

O diagrama de olho é um indicador qualitativo do sistema de transmissão. O diagrama deolho consiste na sobreposição dos diferentes símbolos transmitidos, como seria visualizado numosciloscópio com persistência infinita. A figura abaixo mostra um diagrama de olho para o casode uma sequência de 8 símbolos medido por um osciloscópio digital.

a)

b) c)

Figura 9.1 a) Forma de onda distorcida. b) Diagrama de olho simulado. c) Diagramade olho medido.

Fig. 9.4. Diagrama de olho.

A construção do diagrama de olho depende do nº de símbolos adjacentes que interferemcom o símbolo em análise.

Os parâmetros que podem ser avaliados através da observação do diagrama de olho;- instante de amostragem óptimo, que corresponde ao instante de abertura máxima do olho;-IIS (Interferência Inter-Simbólica), que é particularmente significativa nos instantes de

amostragem, já que provoca a diminuição da margem de ruído do sistema;

-se o sinal de sincronismo é recuperado no receptor a partir da transição do sinal pelo limiarde decisão, como acontece normalmente, então a distorção nos cruzamentos pelo limiar de

tempo

Duração do símbolo




103

decisão (jitter) origina um sinal de sincronismo imperfeito e consequentemente instantes deamostragem sub-óptimos;

-o declive do olho na vizinhança do limiar de decisão, é um indicador da sensibilidade dosincronismo;

-finalmente as não-linearidades do canal de transmissão podem manifestar-se como

assimetrias no olho.

Fig. 9.5 Diagrama de olho generalizado.

9.6 Ruído e erros em sistemas de transmissão digital

Uma das características que tornam os sistemas de transmissão digital atractivoscomparativamente aos sistemas analógicos é serem mais imunes ao ruído. Para testar esta ideiairemos estudar o desempenho de sistemas de transmissão digital na presença de ruído.Vamosconsiderar um receptor digital como se mostra na figura.

Fig. 9.6 Receptor digital.

Declive dá a sensibilidade a erros noinstante de amostragem

Distorção nos instantes deamostragem (IIS)

Distorção nos cruzamentos

por zero (∆T ).

instante de amostragem óptimo

margem de ruído

Jitter (%) = ∆T/T s x 100Intervalo de tempo em que o

sinal pode ser amostrado

Limiar de decisão

+

_

Sample &Hold

FPBaixoH(f) x(t)

G(f)=η /2

y(t) y(t k )

xr (t)

Regenerador




104

O canal de transmissão não distorce o sinal mas introduz ruído Gaussiano de média nula e

variância2

σ com função densidade probabilidade:

( ) 2

2

2

22

1σ

πσ

n

N en p−

=

( 9.6)

O objectivo do receptor é recuperar os bits originalmente transmitidos com uma probabilidademínima de erro. O sinal que chega ao receptor y(t):

( ) ( ) ( )t nKT t t pat yk

d k +−−= ∑ ~

( 9.7)

Onde ak é a amplitude do pulso k e )(~ t p o pulso recebido, T o intervalo entre dois pulsos

consecutivos.

O sinal depois de ser filtrado por um filtro passa baixo (que tem por finalidade retirar oruído fora da gama de frequências do sinal) é amostrado por um amostrador de retenção

(Sample & Hold) no instante t k , t k = kT+τ , T ≤≤ τ 0 .Considerando que o sistema não introduz interferência entre símbolos e 1)(~ =k t p o sinal

recebido no instante de amostragem é:

( ) ( )k k k t nat y +=

( 9.8)

O passo seguinte é comparar os valores de y(t k ) com um nível de decisão D e decidir se osímbolo transmitido foi ‘0’ ou ‘1’.

( )

( )

=⇒<

=⇒>

'0'

'1'

k k

k k

a Dt y

a Dt y

(9.9)

Considerando que x(t) é um sinal unipolar,

=

=

0'0'

'1'

k

k

a

Aa

( 9.10)

Vamos considerar Y a variável aleatória que representa y(t k ) sendo n a variável aleatória querepresenta n(t k ).

O problema que se põe é o de:• dada a observação y(t k ) qual foi o símbolo transmitido? ‘1’ ou ‘0’ ?

Existem duas situações hipóteses possíveis, H 0 e H 1:

( )( )

+=→+=

=→=

n AY t n At y H

nY t nt y H

)(:

)(:

1

0

( 9.11)

H 0 corresponde à situação em que o símbolo ‘0’ foi transmitido, nesse caso o sinal noreceptor é composto somente por ruído.

H 1 corresponde à situação em que o símbolo ‘1’ foi transmitido, nesse caso o sinal noreceptor é composto pelo ruído adicionado ao nível A.

A função densidade probabilidade de Y , na hipótese H0:

( ) ( ) y p H y p N Y =0| ( 9.12)

A função densidade probabilidade de Y, na hipótese H1:




105

( ) ( ) A y p H y p N Y −=1|

( 9.13)

Obtida através da transformação linear de p N (n) com n=y-A

Fig. 9.7 Funções densidade de probabilidade do sinal amostrado nos instantes tk,quando os níveis 0 e A são transmitidos, respectivamente ( )0| H y pY e ( )1| H y pY .

O comparador implementa a seguinte regra de decisão:

Escolhe a hipotese ( )00 =k a H se Y<D

Escolhe a hipotese ( ) Aa H k =1 se Y>D

Esta regra de decisão ignora a situação em que Y=D, dado que a probabilidade de ocorrer émuito pequena, caso ocorra alternadamente considera-se H 0 e H 1.

Caso o ruído adicionado ao sinal seja de tal modo elevado no instante de amostragem, ocomparador ao aplicar as regras de decisão pode cometer erros. Toma uma decisão erradaquando Y<D e o símbolo transmitido tenha sido ‘1’ ou quando Y>D e o símbolo transmitidotenha sido ‘0’. Considerando Pe1 e Pe0 as probabilidade de erro do comparador relativas àssituações acima mencionadas. As probabilidades de erro do regenerador são:

( ) ( )

( ) ( )∫

∫

∞−

∞

=<=

=>=

D

Y e

D

Y e

dy H y p H DY PP

dy H y p H DY PP

101

000

||

||

(9.14)




106

A Figura ilustra graficamente, as probabilidades de erro Pe0 e Pe1 ,que correspondem às áreassombreadas definidas pelas curvas ( )0| H y pY e ( )1| H y pY respectivamente. A figura evidencia

o papel do nível de decisão, D, no valor dessas probabilidades de erro. Para diminir aprobablidade de erro Pe0 basta aumentar o valor do nível de decisão D, no entanto esse aumentodo nível de decisão irá provocar um aumento de Pe1. Em termos de desempenho do sistema um

erro é um erro, por isso o nível de decisão D, deve de ser ajustado para um valor que minimize aprobabilidade média de erro do sistema Pe.

1100 eee PPPPP += (9.15)

Onde P0 e P1 são as probabilidades de ‘0’ e ‘1’ serem transmitidos respectivamente.

Fig. 9.8 Funções densidade probabilidade condicionadas, nível de decisão e probabilidadesde erro de decisão.

9.7 Nível de decisão óptimo

O nível de decisão óptimo Dopt , deve de minimizar Pe, ou seja:

0=dD

dPe

( 9.16)

Aplicando a regra de Leibniz para a derivação de integrais obtém-se:1100 || H D pP H D pP opt Y opt Y = ( 9.17)

Considerando P0=P1=0.5, temos que:

10 || H D p H D p opt Y opt Y =

( 9.18)

Ou seja Dopt corresponde ao ponto onde as funções densidade probabilidade se intersectam.

0 A

( )1| H y pY ( )0| H y pY

yD

1eP

0eP




107

9.8 Calculo da probabilidade média de erro

Considerando que o ruído aditivo introduzido pelo canal de transmissão é Gaussiano de

média nula e variância2

σ , a sua função densidade probablidade p N (n) é:

( ) 2

2

2

22

1σ

πσ

n

N en p−

=

( 9.19)

A função densidade probabilidade de Y , na hipótese H0, quando o ‘0’ foi transmitido, Y=n é:

( ) ( ) 2

2

2

20

2

1| σ

πσ

y

N Y e y p H y p−

==

( 9.20)

A função densidade probabilidade de Y , na hipótese H 1, quando o ‘1’ foi transmitido,Y=n+A, e n=Y-A, é:

( ) ( )( )

2

2

2

21

2

1| σ

πσ

A y

N Y e A y p H y p

−−

=−=

( 91.21)

Estamos então em condições de calcular Pe0 e Pe1 , tendo em conta a função complementarde erro erfc(k) definida como:

( ) ∫∞

−=k

xdxek erfc

22

π

( 9.22)

Fig. 9.9 Função complementar de erro erfc(k).

Voltando ao calculo das probabilidades de erro Pe0 e Pe1




108

( ) ( )

( ) ( )( )

∫ ∫

∫ ∫

∞−

∞ −−

∞ ∞−

==<=

==>=

D

D

A y

Y e

D D

y

Y e

edy H y p H DY PP

dyedy H y p H DY PP

2

2

2

2

2

2101

2

2000

2

1||

2

1||

σ

σ

πσ

πσ

( 9.23)

∫∞

−=

D

y

e dyeP2

2

2

20

2

1σ

πσ

( 9.24)

Fazendo a mudança de variávelσ 2

y x = , obtemos

σ 2

dydx = , e o extremo de integração

σ 2'

D x =

Obtem-se então para a equação ( 9.24)

( )∫∞

−

==

σ σ π 2 /

2

022

11

D

x

e

DerfcdxeP

( 9.25)

Análogamente para Pe1 temos:

( )

∫∞−

−−

= D A y

e dyeP2

2

2

21

2

1σ

πσ

( 9.26)

Fig. 9.10 Função densidade probabilidade ( )1| H yPY .

Por razões de simetria, como ilustrado na figura o integral na equação ( 9.26) é equivalentea:




109

( ) ( )

∫∫∞

−

−−

∞−

−−

== D A

A y D A y

e edyeP

2

2

2

2

21

2

2

2

2

2

1

2

1σ σ

πσ πσ

( 9.27)

Fazendo a mudança de variávelσ 2

A y x

−= obtemos

σ 2

dydx = , e o extremo de integração

σ 2' D A x −=

Obtem-se então

∫∞

−

−

−==

σ

σ π

2

122

11 2

D A

xe

D AerfcdxeP

( 9.28)

Como2

A Dopt = (no caso de P1=P2=0.5), temos que:

===

σ 222

110

AerfcPPP eee

( 9.29)

Exemplo:




110

Considere um sistema digital que transmite pulsos rectangulares unipolares a uma taxa de

transmissão rb=10 Mbit/s e densidade espectral de potência do ruído ( ) 201022

−×==η

f G N

W/Hz. Qual a potência média do sinal que chega ao receptor para que no máximo ocorra um bit

errado por hora.

1º Calcular qual é a probabilidade de erro do sistema:

durante 1 hora----- são transmitidos106 106.310103600 ×=×× bits

durante 1 hora só um bit é detectado erradamente logo

11

10103

106.3

1 −×≈×

=eP

A partir do gráfico de erfc(k) verificamos que11103 −× , corresponde a um valor de 5≈k ,

como num sistema de transmissão unipolar, em que os ‘0’s correspondem ao nível 0 de tensão eos ‘1’s correspondem ao nível A de tensão, como foi deduzido anteriormente temos que

522

≈σ

A

2º Potência do sinal média recebida

1100 mmr PPPPP += onde P0 e P1 são as probabilidades de transmissão dos ‘0’s e ‘1’s respectivamente e Pm0 e

Pm1 a potência média dos ‘0’s e ‘1’s respectivamente.

2

15.005.0

22 A

dt AT

P

bT b

r =×+×= ∫

2º Potência do ruído recebido no receptor, Pn

Consideramos que o filtro passa baixo do receptor é um filtro ideal com largura de banda

MHz1052 / 6×== br B

( ) ( ) W102105210222

136202 −−∞

∞−

×=××××=×== ∫ Bdf f H f GP r N n

η

No entanto a potência do ruído também pode ser calculada no domínio temporal atendo a

que o ruído é um processo ergódico e estacionário:

( ) ( )[ ] 222σ === t n E t nPn

temos então que:




111

V105.4102713 −− ×=×=σ

3º Calculo de A

Da relação

5

22

=σ

A

, podemos tirar o valor de V3.6105.4252 7 µ =××××= − A E logo cacular o valor da potência média necessária

( )pW506

2

103.6

2

262≈

×==

− APr

9.9 Filtro adaptado

Nesta secção iremos responder à questão:Qual o filtro do receptor que origina uma menor Probabilidade de Erro do sistema?

Como já referido na secção 9.6 um receptor deve de incluir um filtro passa baixo, que tempor objectivo limitar o ruído introduzido pelo canal. Este filtro não deverá causar interferênciaintersímbolica e deverá minizar a Pe do sistema, ou seja deverá maximizar a relação sinal ruídono instante da decisão.

Vamos considerar que o canal de transmissão introduz ruído branco sem introduzirdistorção. O sinal transmitido tem uma duração limitada τ , e está centrado no instante t=kT ,

( ) ( )kT t pat x k −=

p(t) é o pulso elementar com as seguintes características p(0)=1, p(t)=0 para |t|> 2 / τ , e τ <T. Para que a Pe seja mínima é necessário que no instante em que se efectua a decisão t k , a

razão da amplitude do sinal, y(t k ), e o valor eficaz do ruído, (r.m.s), σ , seja máxima.

Maximizar ( )

σ

k t y

( 9.30)

Que é equivalente a maximizar a relação

Maximizar ( )

2

σ

k t y

( 9.31)

De seguida iremos escrever a relação( )

2

σ

k t yem função da função de transferência do

filtro passa baixo, H(f)

( ) ( ) ( )( ) f H f X t y1−ℑ=

( 9.32)

( ) ( ) ( ) df e f H f X t y ft j π 2∫∞

∞−

=

( 9.33)

No instante t=t k , temos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) df e f H f Padf e f H f X t y k k ft j

k ft j

k π π 22

∫∫

∞

∞−

∞

∞−==

( 9.34)




112

A potência do ruído

( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

== df f H df f G f H N 222

2

η σ

( 9.35)

O nosso objectivo é então maximizar a razão:

( )( ) ( )

( )∫

∫∞

∞−

∞

∞−=

df f H

df e f H f Pa

t y

k ft jk

k

2

2

22

2

2

2

η σ

π

( 9.36)

Podemos utilizar a desigualdade de Schwarz2 para encontrar a função H(f) que maximiza arazão fazendo:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

2

222

*

η

η

π π k k ft jk

ft jk e f Pa

f V

e f P f H a f W

f H f V

==

=

( 9.37)

Obtendo-se o majorante quando

( ) ( )η

η π 2

2

2* k ft je f kP f H

−=

( 9.38)

Ou seja quando

( ) ( ) k ft jopt e f Pk f H π

η 2*2 −=

( 9.39)

A esta função de transferência corresponde à resposta impulsional hopt (t)

( ) ( ) ( )t t pk

e f Pk

t h k ft j

opt k −=

ℑ= −−

η η

π 22 2*1

( 9.40)

No caso em que o ruído de canal é branco a resposta impulsional do filtro adaptado é umaréplica do sinal x(t) atrasada de t k e definida no sentido reverso do tempo. O atraso t k ,

corresponde ao atraso entre a chegada do pulso e o instante que o pulso depois de atravessar ofiltro H(f) atinge o seu valor máximo, t k é um parametro que pode ser escolhido pelo

2 Desigualdade de Schwarz

( ) ( )

( )

( )∫∫

∫ ∞

∞−∞

∞−

∞

∞− ≤ df f W

f V

df f W f V

2

2

2

*

A igualdade verifica-se quando ( ) ( ) f kW f V = , k uma constante.




113

engenheiro. Por vezes o filtro óptimo obtido por este método é um filtro não causal e por issofísicamente irrealizável. No desenho do filtro óptimo, de modo a obter-se uma respostanormalizada dimensiona-se o filtro adaptado do seguinte modo:

( ) ( )t t pt h k eq

opt −=τ

1

( 9.41)

Onde ( )∫∞

∞−

= dt t peq2

τ e2 / τ =

k t

. O atraso 2 / τ =k t foi escolhido por ser o atraso mínimo para

que a resposta impulsional do filtro seja causal e a constante de proporcionalidade

( )∫∞

∞−

= dt t peq2

τ foi escolhida de modo a que a amplitude de pico à saída do filtro seja ak .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

k t t k

k

eq

k

k k

eq

opt opt

a

dwwt pwt pa

dwwt pawt p

dwwt xwht xt ht y

=

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

−−=

−−=

−==

∫

∫

∫

τ

τ 1

*

( 9.42)

O pico do sinal recebido ocorre atrasado de 2 / τ em relação ao início do pulso. Apesardo filtro óptimo introduzir atraso não introduz interferência intersimbolica. A figuraabaixo ilustra estas considerações para o caso do pulso rectangular, neste caso τ τ =eq .

t

0 t0 t0+τ

ak

hopt (t)

t

0 t0 τ

1/ τ

0 tk tk+τ

ak

tk-τ t

y(t)

a)

b)

c)

x(t)




114

Fig. 9.11 Filtro adaptado para pulso rectangular. a) Pulso à entrada do receptor. b)Resposta impulsional do filtro adaptado. c) Saída do filtro adaptado.

9.10 Cálculo da Probabilidade de erro do filtro óptimo

Como vimo na secção a probabilidade de erro de um sistema digital binário unipolar é

=

σ 222

1 AerfcPe , onde A é a amplitude do sinal no instante de amostragem y(t k ), no

caso de um receptor que utiliza o filtro óptimo temos que y(t k )=ak , e que o canal

introduz ruído branco com densidade espectral de potência 2

η

temos que:A energia média por bit

( ) eqeqk k b A

adt t pa E τ τ 2

2222 === ∫

∞

∞−

( 9.43)

A potência de ruído à saída do filtro Pn

( ) ( ) ( )

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

====eqopt N opt n

df t hdf f G f H Pτ

η η σ

222

2

( 9.44)

Obtendo-se

=

η 22

1 be

E erfcP

( 9.45)

É a probabilidade de erro mínima que só é obtida quando se utiliza um filtro adaptado.A resposta impulsional do filtro adaptado para um dado pulso elementar pode serimplementada usando elementos passivos, no entanto é necessário alguma perícia para

se conseguir ( ) 0≈t h para τ >t que se o filtro não introduza interferência inter-símbolica. No caso do pulso elementar ser rectangular, o filtro adaptado pode serimplementado por um circuito de Integrate&Dump o qula está representado na figura. Oreset do integrador deverá de ser efectuado no instante t k .




115

Fig. 9.12 Esquema de um receptor incluíndo um filtro Integrate&Dump.

9.11 Interferência entre símbolos

Para além do ruído outra fonte de erros em sistemas digitais é a Interferência Inter -Simbólica (IIS). A escolha dos impulsos utilizados como suporte à transmissão desímbolos em sistemas digitais é um aspecto determinante do desempenho dessessistemas. Por exemplo, os canais de banda limitada induzem o alargamento dosimpulsos. Se a entrada for uma sequência de impulsos rectangulares, então a resposta acada um dos impulsos vai interferir com os seguintes(região sombreada), o que se traduz na ocorrência de IIS.

Fig. 9.13 Espalhamento temporal introduzido por um canal de largura de bandalimitada.

Analisando isoladamente dos outros fenómenos presentes num sistema decomunicações, a IES poderia ser eliminada simplesmente por um aumento de largura debanda do canal de transmissão. Contudo, esta solução além de representar umdesperdício de largura de banda, pode introduzir demasiado ruído adicional o que

causaria um aumento da probabilidade de erro do sistema.

|H(f)|

f 0 T 0 T

Entrada Função de transferência do canal saída




116

Nesta secção iremos estudar este assunto, procurando moldar a forma dos impulsos demodo a eliminar a IES, mas mantendo a largura de banda de transmissão o menorpossível. Começaremos por considerar o sinal digital x(t).

( ) ( )∑∞

−∞=−=

k

sk kT t pat x ( 9.46)

onde-ak é a variável aleatória discreta que modela a fonte digital-Ts não é necessáriamente a duração do pulso, mas sim a duração entre duas transiçõessucessivas do sinal. Taxa ou ritmo de símbolo: r = 1/ Ts [baud];O pulso não-modulado p(t ) está sujeito às seguintes condições, que garantem nodomínio temporal zero Interferência Inter-Símbolica:

( )

±±=

==

,...2,0

01

ss T T t

t t p

( 9.47)

Num sistema de transmissão digital em que o canal de transmissão tem uma largura debanda limitada, é devido à limitação de largura de banda que este canal introduzdistorção severa se os pulsos utilizados fossem rectangulares, já que o espectro de umsinal digital rectangular é infinito.O objectivo desta secção é estudar pulsos cuja forma introduz IIS mantendo a largura debanda o menor possível, por isso iremos impor a condição do pulso ter um espectro de

largura de banda limitada B, assim o espectro do pulso elementar P(f) obedece àseguinte condição:

( ) 00 ≥= f f P

( 9.48)

Uma limitação fundamental da transmissão digital é a relação entre a IIS, a largura debanda e a taxa de transmissão dos símbolos símbolos ( que está relacionada com oritmo binário).

Em 1924 Harry Nyquist estabeleceu o seguinte critério:

Considerando um canal ideal passa-baixo com largura de banda B, é possível transmitirsímbolos independentes a uma taxa r ≤ 2 B baud sem IIS. Não é possível transmitirsímbolos independentes a r > 2 B.

A utilização da taxa de símbolos máxima permitida ( r = 2 B, ritmo de Nyquist) pelocritério de Nyquist envolve a utilização de um pulso especial, o pulso sinc:

( 9.49)

Cujo espectro é a função rectangular:

( ) ( )sT t srt t p incsinc)( ==

( )

Π=r

f

r f P

1




117

( 9.50)

O pulso sinc possui características que fazem com que:

-Não haja influência do filtro passa-baixo, com largura de banda B ≥ r /2, no sinal vistoque P( f ) = 0 para | f | > r /2. Assim, este pulso não sofre distorção devido ao filtro passa-baixo e por isso pode-se ter r = 2 B;

- Não haja interferência inter-simbólica, embora p(t ) não seja limitado no tempo, vistoque este tipo de pulso é igual a zero nos instantes t = ± Ts, ± 2Ts, ….

Fig. 9.14 Amostragem sem e com Interferência Inter-Símbolica (IIS).

Na prática, o pulso sinc não é realizável (espectro ideal passa-baixo e depende de modocrítico da precisão temporal no instante de amostragem). Os problemas de sincronizaçãosão resolvidos usando pulsos com uma forma designada por coseno elevado com umfactor de excesso de banda α entre 0 e 1.

Factor de excesso de banda: ( )1min += α B B comsT

r

B 2

1

2min ==

Instantes de amostragem Instantes de amostragem

s

N T

f 2

1=

Frequência de Nyquist




118

a) Espectro do pulso para |f| >0. b) Forma do pulso.

Fig. 9.15 a) Espectro do pulso coseno elevado e forma do pulso.

O pulso coseno elevado permite transmitir a uma taxa de transmissão desT

r 2

1= , sem

IIS, no entanto a largura de banda necessária para transmitir os pulsos é de

( )1min += α B B . A expressão matemática do espectro do pulso coseno elevado é:

( )

( )

( ) ( )

( )

+≥

+≤≤−

−−

−<≤

=

α

α α α

π

α

π

α

1 0

1122

sin12

10

N

N N

N

s

N s

f f

f f f f

f T

f f T

f P

( 9.51)

No domínio temporal temos que:

( )( )

( )( )s

s

s T t T t

T t t p sinc

21

cos2

α

πα

−= ( 9.52)

9.12 Igualação em transmissão digital

Independentemente do tipo de pulso escolhido existe sempre alguma IIS, resultado das

imperfeições do filtro, conhecimento incompleto das características do canal, etc. Paracombater estes efeitos negativos utilizam-se técnicas de igualação. Estas técnicas têmpor função ‘igualar’ garantir que a IIS é nula ou desprezável nos instantes deamostragem, não sendo necessário ‘igualar’ o sinal em todo o tempo.Um ‘igualizador’ é um filtro cuja função de transferência é tal que se obtém à saída umsinal Peq(f) com IIS nula ou desprezável.




119

Fig. 9.16 Representação esquemática da metodologia utilizada na implementação deum ‘egualizador’. Pi(f) espectro do pulso à entrada do canal, H c(f) função de transferênciado canal de transmissão e I(f) função de transferência do filtro ‘egualizador’.

Os filtros egualizadores são normalmente filtros transversais como se mostra na figura .

Fig. 9.17 Igualizador transversal com 2N+1 coeficientes.

O filtro transversal representado na Fig.11.17 tem 2N+1 ‘taps’ e um atraso total de2NT s. A saída do filtro, no domínio temporal, é dada por:

( ) ( )

∑−=

−−= N

N n

ssneq NT nT t pct p ~

H

I

P

P

c

Iguala

( ) ( ) ( ) ( ) f I f H f P f P cieq =

( )( )

( ) ( ) f H f P

f P f I

ci

eq=

( )t p~




120

Por exemplo para t=0, quando N=1 o caso do exemplo a seguir temos que

Quando se considera um tempo de amostragem ssk NT kT t += , isto quer dizer que k=0

corresponde ao tempo de amostragem t 0=NT s

( 9.53)

onde cn são os coeficientes do filtro e ( )t p~ o sinal distorcido à entrada do egualizador.

Isto quer dizer que k=0 corresponde ao tempo de amostragem t 0=NT s, se o objective forencontrar a saída do filtro em t=0, para o filtro do exemplo, isto corresponde a k=-1 etemos que t=0 corresponde a t k=-1=-1T s+T s=0 e assim pela equação 11.54 temos que :

( ) ( )

( ) ( ) ( )ss

k eqeq

T pcT pc pc

pc pc pct pt p

2~~0~

~~~0

101

)1(11)0(10)1(111

−+−+=

++===

−

−−−−−−−−−=

Temos a mesma solução! E a dúvida do Manuel está esclarecida!!!

Os coeficientes são calculados de modo a eliminar a IIS no instante de amostragem, talque:

( )

±±±=

==

N k

k t p k eq

,...,2,10

01 (9.54)

Trata-se de um egualizador ‘zero forcing’, tem como objectivo eliminar a IIE nosinstantes de amostragem.

Os coeficientes cn são calculados a partir da equação de matrizes:

=

−

−

+−+

−

−−−

−

0

0

0

1

0

0

0

~~

~~

~~

~~

~~

1

0

1

02

11

11

20

N

N

N

N N

N N

N N

N

c

c

c

c

c

p p

p p

p p

p p

p p

( 9.55)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ss

sssssseq

T pcT pc pc

T T pcT T pcT T pc p

2~~0~

110~100~110~0

101

101

−+−+=

−−+−−+−+=

−

−

( ) ( ) ∑∑−=

−−=

=−= N

N n

nk n

N

N n

ssnk eq pcnT kT pct p ~~




121

Exemplo:

Considere o sinal, representado na figura abaixo, à entrada do egualizador. Calcule oscoeficientes de um filtro transversal com 3 taps utilizado na egualização.

No instante tk=0, k=0, teremos à saída do filtro equalizador

211001 −−− ++ pc pc pc

No instante tk=Ts, teremos à saída do filtro equalizador

-Ts

Ts

( )t p~

1.0~ 1 =− p

0.1~0 = p

2.0~1 −= p

1.0~2 = p

0.0~2 =− p




122

Utilizando a equação que matrizes definida em ( 9.55), temos que:

=

−−

−

0

1

0

0.12.01.0

1.00.12.0

0.01.00.1

1

0

1

c

c

c

Temos então o seguinte sistema de equações

012.01.0

01.02.0

01.0

101

101

01

=+−

=++−

=+

−

−

−

ccc

ccc

cc

Obtendo-se:

; 96.00 =c e 2.01 =c

à saída do filtro teremos, nos instantes t k :

( )

( )( )( )

( )( )( ) 02.0096.00096.00)5(5

02.02.01.096.00096.00)4(4

06.02.02.096.01.0096.00)3(3

02.00.196.02.0096.01.0)2(2

12.01.096.00.1096.02.0)(

02.0096.01.0096.00.1)0(0

01.02.0096.00096.01.0)(

=×+×+−×==

=×+×+−×==

=×−×+−×==

=×+×−−×==

=×+×+−×−===×+×+−×==

=×+×+−×=−−=

segs

segs

segs

segs

segs

eg

segs

T pT t

T pT t

T pT t

T pT t

T pT t

pt

T pT t

Como se ilustra na figura, de notar que o pulso egualizado se encontra atrasado de Ts

segundos em relação ao pulso não egualizado.

110011 −− ++ pc pc pc

096.01 −=−c




123


11.1- Uma fonte de dados binários gera ‘0’s com probabilidade P0=0.8 e ‘1’s comprobabilidade P1=0.2. Os dados são transmitidos através de um canal com um diagramade transição de probabilidade desenhada na figura seguinte.

a) Determine Pe.b) Determine Pe se a regra de decisão se inverter.c) Determine Pe se todos os símbolos forem considerados como zeros. Qual a melhorregra de decisão?

11.2- A velocidade de transmissão de um sistema digital é de r b=2 400 bit/s, considereque o canal de transmissão introduz ruído Gaussiano. A relação sinal ruído no receptor éde 10 dB. Considere que o filtro de recepção é um filtro passa-baixo ideal com largurade banda B=r b /2 Hz. Calcule a probabilidade de erro do sistema para:a) Pulsos NRZ unipolares.b) Pulsos NRZ bipolares.

c) Pulsos RZ (50%) unipolares.d) Pulsos RZ (50%) bipolares.

Emissão Recepção

0 0

1 1

P0/0=0.8

P1/0=0.7

1

t -Ts Ts

( )t peg




124

Nota: Considere os ‘1’ e ‘0’s igualmente prováveis.

11.3- É prática comum nos sistemas de transmissão digital manter uma probabilidade deerro <10-5. Determine a relação sinal ruído necessária no receptor de modo que oobjectivo seja conseguido.a) Pulsos NRZ unipolares.b) Pulsos NRZ bipolares.c) Pulsos RZ (50%) unipolares.d) Pulsos RZ (50%) bipolares.Nota: Considere os ‘1’ e ‘0’s igualmente prováveis.

11.4- Considere um canal de transmissão digital com uma largura de banda de 2400 Hz,admitindo que no receptor temos uma relação sinal ruído de 20 dB. Calcule a velocidadede transmissão (em bit/s) que é possível atingir nesse canal de transmissão se a

probabilidade de erro for de 10-5.

11.5- Considere um sistema linear em que o desvio padrão do ruído é 2 mV. E que setrata de ruído Gaussiano. Qual é a probabilidade do ruído de tensão instantâneo estarcompreendido entre -4 e 4 mV.

11.6- Repita o problema anterior considerando que foi adicionado ao ruído uma tensãocontinua de 2 m V.

11.7- Um sistema de transmissão digital binário transmite 50 000 digitos por segundo.No processo de transmissão é adicionado ruído branco, de modo que no descodificador,os pulsos recebidos têm amplitude de 1 V, com um tensão de ruído de rms 0.2 V.Considere igual probabilidade de transmissão de “1” e “0”.

a) Qual o tempo médio durante o qual não são cometidos erros?b) Qual é a alteração nesse tempo médio se a amplitude o sinal for duplicada?

11.8- Um canal de largura de banda de 2 400 Hz proporciona uma relação sinal ruído de20 dB. Qual é a velocidade de transmissão da informação em bit/s se se transmitir poreste canal um sinal PCM com Pe=10-5.

11.9- Considere o sistema de transmissão digital banda base cujo diagrama de blocosestá representado na figura seguinte.

FonteBinária

Filtro doemissor Canal de transmissão

Filtroadaptado

Circuitode decisão

n(t)

Receptor

0,1




125

A fonte binária produz símbolos independentes e equiprováveis. A velocidade detransmissão, r b, é de 20 Mbit/s e o pulso elementar tem a forma rectangular comduração T=1/r

b. O ruído n(t), e branco gaussiano de média nula com densidade espectral

de potência de banda lateral dupla η /2=0.125x10-19 V2 /Hz. O sinal à saída do filtro doemissor é um sinal bipolar e a sua amplitude à entrada do receptor é A=1µV.

a) Calcule a probabilidade de erro do sistema.b) Sugira justificando como poderia num sistema prático reduzir a probabilidade de

erros calculada em a).c) Suponha agora que o circuito de decisão tem 2 níveis de decisão –A/2, e A/2, sendo

a saída ak=1 se V(KT) ≥A/2 e ak=0 se V(KT) ≤ -A/2. Se –A/2 ≤ V(KT) ≤ A/2 e ocircuito de decisão coloca à saída um terceiro símbolo E que vai ser processadosubsequentemente. Calcule a probabilidade de erro, a probabilidade de uma decisãoser correcta e a probabilidade do símbolo E.

11.10- Um impulso coseno elevado e a sua transformada estão visualizados na figura.Este impulso é utilizado para transmitir informação digital num canal de banda limitadaa uma velocidade de 1/Ts símbolos por segundo.



a) Considere que o canal distorce os impulsos. Suponha que os valores amostradosdo pulso recebidos são os seguintes:

s

N T

f 2

1=

Frequência de Nyquist




126

Determine qual é a sequência que causa maior IIS e o valor da IIS.

b) Qual a probabilidade de ocorrência da sequência obtida em a) considerando que osdígitos binários são equiprováveis e independentes.

Considere o egualizador transversal com 3 elementos de atraso, considere que o sinal àentrada do filtro é:

e para . Encontre o valor do sinal egualizado nos instantes de

amostragem peg(tk ).

2.0~0.1~4.0~

1

0

1

=

=

=−

p

p

p

0~ =k p 1>k




127

10 Bibliografia

[1] S. Haykin and M. Moher, Communication Sytems, 5ª edição (Wiley, 2010).[2] A.B. Carlson and P.B. Crilly , Communication Systems, 5ª edição (McGraw-Hill, 2010).[3] International telecommunication Union, Measuring the Information Society – The ICT

Development index. 2009. Available online athttp://www.itu.int/ITU-D/ict/publications/idi/2009/material/IDI2009_w5.pdf [4] Página consultada em Janeiro 2011.[5] J.G. Proakis, M.Salehi and G. Bauch, Contemporary Communication Systems using

Matlab, 2ª edição, (Thomson Brooks/Cole).[6] C. Salema, Uma Introdução às Telecomunicações com Mathematica, 1ª edição

(Instituto Superior Técnico, 2009).[7] F.G. Stremler, Communication Systems, 3ª edição, (Addison-Wesley).





http://www.itu.int/ITU-D/ict/publications/idi/2009/material/IDI2009_w5.pdf


http://www.mathworks.com/support/books/book48401.html



http://istpress.ist.utl.pt/ltelecomunicacoes.htm


http://www.amazon.com/Introduction-Communication-Systems-Ferrell-Stremler/dp/0201184982













128

11 Guias de trabalhos práticos

11.1 Guia de trabalho prático: Modulação de amplitude

11.2 Guia de trabalho prático: Modulação de frequência

11.3 Guia de trabalho prático: Efeito do ruído nas comunicações analógicas

11.4 Guia de trabalho prático: Probabilidade de erro em sistemas de transmissãodigitais banda base

http://trab1.pdf/

http://trab1.pdf/

http://trab1.pdf/

http://trab2.pdf/

http://trab2.pdf/

http://trab2.pdf/

http://trab3.pdf/

http://trab3.pdf/

http://trab3.pdf/

http://trab4.pdf/

http://trab4.pdf/

http://trab4.pdf/

http://trab4.pdf/

http://trab4.pdf/

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