탄성체역학

Applied Theory of Elasticity

토목안전환경공학과

옥승용

Week07: 전단력과 휨모멘트 (1)

2

Class Schedule(1)

Week Topics Remarks

01 Introduction to class Ch. 1

02 Tensile, Compressive and Shear Forces (1) Ch. 1

03 Tensile, Compressive and Shear Forces (2) Ch. 1

04 Tensile, Compressive and Shear Forces (3) Ch. 1

05 Axially Loaded Members (1) Ch. 2

06 Axially Loaded Members (2) Ch. 2

07 Shear Force and Bending Moment (1) Ch. 4

08 Mid-Term Exam

09 Shear Force and Bending Moment (2) Ch. 4

10 Stresses in Beams (1) Ch. 5

11 Stresses in Beams (2) Ch. 5

12 Analysis of Stress and Strain (1) Ch. 7

13 Analysis of Stress and Strain (2) Ch. 7

14 Analysis of Stress and Strain (3) Ch. 7

15 Final-Term Exam

3

Chapter Preview

• 보, 하중 및 반력의 형태

• 전단력과 굽힘 모멘트

• 하중, 전단력 및 굽힘 모멘트 사이의 관계식

• 전단력선도(Shear Force Diagram; SFD) 및 굽힘(휨)모멘트 선도(Bending Moment Diagram; BMD)

학습목표

전단력과 굽힘모멘트의 정의 및 부호규약은?

하중, 전단력 및 굽힘모멘트의 관계는?

전단력선도(SFD) 및 굽힘모멘트선도(BMD)를

그릴 수 있는가?

4

보의 정의

• 보 (Beam) 또는 들보

부재 축에 수직인 힘 또는 모멘트를 받는 구조용 부재

A horizontal or vertical structural element that is capable of withstanding

load primarily by resisting bending.

• 굽힘평면 (plane of bending)

– 하중은 평면 내에 작용

– 모든 처짐 그 평면에 작용

Examples of beams subjected to lateral loads

5

지점 및 반력

• 지점 (Support)의 종류

– 부재를 받치고 있는 점, 부재/지점이 연결된 곳

– 이동단(roller), 핀연결(pin), 힌지(hinge), 고정단(fixed end)

6

지점 및 반력

• 지점 (Support)의 종류

– 부재를 받치고 있는 점, 부재/지점이 연결된 곳

– 이동단(roller), 핀연결(pin), 힌지(hinge), 고정단(fixed end)

7

지점 및 반력

• 지점 (Support)의 종류

– 부재를 받치고 있는 점, 부재/지점이 연결된 곳

– 이동단(roller), 핀연결(pin), 힌지(hinge), 고정단(fixed end)

8

쉬어가는 페이지

성수대교: Gerber Truss

9

지점 및 반력

• 지점 (Support)의 종류

– 부재를 받치고 있는 점, 부재/지점이 연결된 곳

– 이동단(roller), 핀연결(pin), 힌지(hinge), 고정단(fixed end)

10

지점 및 반력

VA

VA

VA

HA

HA

MA

반력

11

지점 및 반력

반력

(reaction)

변위

(displacement)

roller

HA (= 0)

VA ( ≠ 0) (unknown)

MA (= 0)

uA ( ≠ 0) (unknown)

vA (=0)

q ( ≠ 0) (unknown)

hinge

HA ( ≠ 0) (unknown)

VA (≠ 0)

MA (= 0) (unknown)

uA (=0)

vA (= 0) (unknown)

q (≠0)

fixed

HA ( ≠ 0) (unknown)

VA ( ≠ 0) (unknown)

MA ( ≠ 0) (unknown)

uA (=0)

vA (=0)

q (=0)

VA

VA

VA

HA

HA

MA

uA

vA

uA

vA

uA

vA

( 0)

( 0)

( 0)

( 0)

( 0)

( 0)

( 0)

( 0)( 0)

q

q

q

12

보의 종류

• 지지하는 방법에 따라 분류

– 단순지지보(simply supported beam) 한쪽은 핀, 다른 쪽은 롤러로 지지

– 캔틸레버보(cantilever beam) 한쪽은 고정(fixed) 다른 끝은 자유단(free)

– 돌출보, 내민보(overhanging beam)

13

보의 종류

단순지지보 캔틸레버보

돌출보/내민보

14

보의 종류

• 단순지지보

15

보의 종류

• 돌출보/내민보

16

보에 작용하는 하중

• 집중하중(concentrated load)

작은 면적에 걸쳐 작용하는 하중

(한 점에 작용하는 하중)

• 분포하중(distributed load)

단위길이당 작용하는 하중

• 등가집중하중(equivalent load)

보에 작용하는 분포하중을

집중하중으로 대치

크기: 하중곡선의 면적

작용선: 곡선 면적의 도심

A B

8m

10kN4m

A B

8m

10kN

A B

8m

10kN60o 2m

A B

8m

2kN/m

A B

8m

10kN2m

10kN2m

A B

8m

10kN2m

20kN2m

A B

8m

10kN2m

10kN2m

A B

8m

10kN2m

20kN2m

A B

8m

10kN4m

28kNm

A B

8m

10kN4m

28kNm

• Draw FBD

- 작용하는 외력

- 반력

- 부재내력(압축력, 축력, 전단력, 휨모멘트)

• Apply Equation

• Compute reactions

Eqns

17

구조해석(Structure analysis)

0

0

0

x

y

z

F

F

M

18

자유물체도(Free Body Diagram, FBD)

• 정의: 지점이나 연결된 다른 물체를 모두 떼어내고 대상물에 외적인 작용력을 포함하여 작용하는 모든 힘을 표시한 그림

• FBD 작도

– 사용할 자유물체 결정

– 자유물체 이외의 부분과 지점을 떼어냄

– 모든 외력(자중, 작용력, 반력 등)의 크기, 방향, 작용위치 표시

– 치수와 각의 표시

A B

VA

HA

VB

10kN4m

A B

8m

10kN4m

19

Example 1 :자유물체도

P q q

20

Example 2 : 자유물체도

P q

P

21

Example 3 : 자유물체도

q P q

22

Example 4 : 자유물체도

M=0

V=0 & q=0 P

q

M=0

23

Example 5 : 자유물체도

• 그림과 같이 3개의 보가 층층으로 지지되어 있다. 그림과 같이 하중이 작용하고 있을 때 다음을 구하시오

(i) 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들

(ii) 보 CD의 C점에서의 반력

12m3m

2m 2m

A B

C D

E F

2kN/m

24

자유물체도

12m3m

2m 2m

A B

C D

E F

2kN/m

A B

C D

E F

2kN/m

E F

RE RF(V)

RF(H)

8kN+

+

+

SFx = 0 (1)

SFy = 0 (2)

SM = 0 (3)

RF(H) = 0kN

RF(V) = 5.33kN

RE = 2.67kN

2x8/3m= 5.33m

8/3m=2.67m

25

자유물체도

12m3m

2m 2m

A B

C D

E F

2kN/m

+

+

+

SFx = 0 (1)

SFy = 0 (2)

SM = 0 (3)

RF(H) = 0kN

RF(V) = 5.33kN

RE = 2.67kN

A B

C D

E F

2kN/m

RC(H) = 0kN

RC(V) = –0.38kN

RE = 8.38kN

A B

C D

E F

C D

RE RF(V)

RDRC(V)

RC(H)

RE RF(V)

2m 3m

26

자유물체도

12m3m

2m 2m

A B

C D

E F

2kN/m

A B

RDRC(V)

A B

RDRC(V)

RA RB(V)

RB(H)

12m

RC(H) = 0kN

RC(V) = –0.38kN

RE = 8.38kN

+

+

+

SFx = 0 (1)

SFy = 0 (2)

SM = 0 (3)

RA(H) = 0kN

RA(V) = 1.78kN

RB = 6.22kN

27

Example 6 : 자유물체도

• 그림과 같이 3개의 보가 층층으로 지지되어 있다. 그림과 같이 하중이 작용하고 있을 때 다음을 구하시오

(i) 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들

(ii) 보 CD의 C점에서의 반력

12m3m

2m 2m

A B

C D

E F

2kN/m

28

자유물체도

• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들

12m3m

2m 2m

A B

C D

E F

2kN/m

A B

C D

E F

2kN/m

29

자유물체도

• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들

A B

C D

E F

2kN/m

E F

2kN/m

8m

E F

8kN

2x8/3m= 5.33m

8/3m=2.67m

E F

P kN/m

L (m)

E F

P x L/2

2L/3 L/3

30

자유물체도

• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들

A B

C D

E F

2kN/m

E F

2kN/m

8m

E F

8kN

2x8/3m= 5.33m

8/3m=2.67m

12m

A B

C D

E F

8kN

31

자유물체도

• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들

E F

2kN/m

8m

E F

8kN

2x8/3m= 5.33m

8/3m=2.67m

12m

A B

C D

E F

8kN

9.33m 2.67m

A B

8kN

A B

8kN

RA RB(V)

RB(H)

32

자유물체도

A B

8kN

RA RB(V)

RB(H)

9.33m 2.67m

12m

• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들

SFx = RB(H) = 0kN

SFy = RA + RB(V) = 8kN

SMB = –12RA + 2.678 = 0kNm

+

+

+

SFx = 0 (1)

SFy = 0 (2)

SM = 0 (3)

RB(H) = 0kN

RA = 8 – RB(V)

–12(8 – RB(V)) + 21.36 = 0kNm

RB(V) = 6.22kN

RA = 8 – 6.22 = 1.78kN

33

자유물체도

• 그림과 같이 3개의 보가 층층으로 지지되어 있다. 그림과 같이 하중이 작용하고 있을 때 다음을 구하시오

(i) 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들

(ii) 보 CD의 C점에서의 반력

12m3m

2m 2m

A B

C D

E F

2kN/m

34

자유물체도

• 보 CD의 C점에서의 반력

12m3m

2m 2m

A B

C D

E F

2kN/m

C D

E F

2kN/m

35

자유물체도

• 보 CD의 C점에서의 반력

C D

E F

2kN/m

C D

7m 2.67m

8kN

3m

C D

8kN

RDRC(V)

RC(H)

35

36

자유물체도

• 보 CD의 C점에서의 반력

+

+

+

SFx = 0 (1)

SFy = 0 (2)

SM = 0 (3)

SFx = RC(H) = 0kN

SFy = RD + RC(V) = 8kN

SMD = –7RC(V) – (3–2.37) 8 = 0kNm

C D

8kN

RDRC(V)

RC(H)

RC(V) = – 0.377kNm

37

부재내력 : 축력, 전단력, 휨모멘트

보의 주어진 임의 단면에는 내적 작용력들이 존재한다.

• 축력(axial force) , N

단면에서 보의 길이방향과

평행하게 작용하는 내적 작용력 성분

• 전단력(shear force) , V

단면에서 보의 길이방향에 수직한 방향으로 작용하는 내적 작용력 성분

• 휨모멘트(bending moment) , M

보의 축이 주어진 단면과 교차하는 점에 대한 내적 작용력의 모멘트

V

C B

10 kN

3 kN M

N

38

부재내력들의 부호규약

A C1 BC2

미소요소

C1 C2

x

M 1

N 1

N 1

M 1

V 1 S

2 M 2

N 2

N 2

M 2

V 2

V 1

V 2

V 2

M 1

N 1

N 1

M 1 V 1

V 2

M 2

N 2

N 2

M 2

V 1

미소요소

C1 C2

39

부재내력들의 부호규약

x

양 (+)

음 (–)

양 (+)

음 (–)

양 (+)

음 (–) 축력

전단력

휨모멘트

40

하중, 전단력 및 휨모멘트의 상호관계식

x

w P

dx

m n

m n

dx

w

VM

V+dV

M+dM

w dx

dx/2

0 dVVwdxV

02

0

dx

wdxVdxdMMM

M n

dx

dVw

dx

dMV

41

하중, 전단력 및 휨모멘트의 상호관계식

m n

dx

w

VM

V+dV

M+dM

w dx

dx/2

dx

dVw

dx

dMV

; 보의 어떤 단면에서 x에 관한 전단력의 변화율(기울기)은

바로 그 단면에서의 분포하중의 마이너스값과 같다.

; 보의 어떤 단면에서 x에 관한 휨모멘트의 변화률(기울기)

은 바로 그 단면에서의 전단력의 값과 같다.

42

하중, 전단력 및 휨모멘트의 상호관계식

dx

dVw

dx

dMV

wdxdV

VdxdM

; 전단력선도(SFD)에서 B점과 A점에서의

전단력 값의 차는 이 두 점 사이에서 보에 작용하는 하중의 누적적분(분포하중의 면적)의 마이너스

값과 같다.

; 휨모멘트도(BMD)에서 B점과 A점에서의 휨모멘트의 값의 차는 이 두 점 사이의 전단력선도의 면적과 같다.

wdxVVB

AAB

VdxMMB

AAB

P=10

VA

VB

10

10 하중의 누적(적분)

10B AV V

43

하중, 전단력 및 휨모멘트의 상호관계식

A B

VA

VB

q=10

2m

2 10 면적

20B AV V 20