apunte22v1

Universidad Técnica Federico Santa María versión 1 Pág.____________________________________________________________________________________________

Fgm********************

3.5.3.- Ejemplo

La distribución geométrica se puede asociar al experimento (con devolución) de obtener el primer éxito en la n-ésima repetición.Suponga una máquina que produce un 7% de artículos defectuosos. Y la línea de producción de esta máquina se revisa si los artículos son no defectuosos (B) o defectuosos (D); el experimento concluye una vez que se ha encontrado el primer artículo defectuoso.

Los casos posibles son :

DBDBBDBBBDBBBBD...BBB...BBBBD

Definamos nuestra v.a.d. X = {xi / "El artículo i es defectuoso"}.

Debido a que ser bueno o defectuoso son sucesos independientes, cada uno con probabilidades O.93 y O.O7 respectivamente, la función de cuantía queda definida por:

Por lo tanto se puede decir que X se distribuye como una geométrica, esto se anota como:

XGEO (0.07)

3.6.- Distribución Pascal (o Binomial Negativa)

____________________________________________________________________________________________Departamento de Matemáticas Profesor Alejandro Fernández

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Para una distribución de Pascal, se tiene en general:

P(x) = P(X=x) = x-1Cr-1 prqx-r ; x = r, r+1,r+2, r+3, …

Donde: p es la probabilidad de que ocurra un suceso A q es (1-p) X = x sí y sólo sí A ocurre en la x-ésima repetición y precisamente A

ocurrió (r -1) veces en las (x-1) repeticiones previas.

Es posible obtener una generalización obvia de la distribución geométrica. Supongamos que un proceso se continúa hasta que un evento A ocurre por r-ésima vez, en la n-ésima vez que se realiza el experimento. Si definimos:

P(A) = p , P(Ac) = q = 1-pen cada una de las repeticiones, definimos la variable aleatoria X como sigue:X es el número de repeticiones necesarias para que A ocurra por r-ésima vez en la n-ésima vez que se realiza el experimento. Buscamos la distribución de probabilidades de X.

Ahora X=k sí y sólo sí A ocurre en la k-ésima repetición y precisamente A ocurrió (r-1) veces en las (k-1) repeticiones previas. La probabilidad de este evento es simplemente:

ya que lo que sucede en las primeras (k-1) repeticiones son independientes de lo que sucede en la k-ésima repetición, se obtiene

Es muy sencillo ver que para r=1, lo anterior se reduce a la distribución geométrica. Una variable aleatoria que tenga una distribución dada por la ecuación anterior, se conoce como Distribución de Pascal.

Si X tiene una Distribución de Pascal entonces,


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3.6.1.- La Esperanza es

E(X)=r/p.

3.6.2.- La Varianza es

V(X)=rq/p2.*********************************************************

3.7.- Distribución de Poisson.

Esta distribución es un caso límite de la binomial. Suponemos p pequeño y n grande, de modo que el producto np tienda a un valor finito.

Usualmente se asocia a una Distribución de Poisson cuando se conoce un promedio por unidad de tiempo.

De la binomial se tiene:

Sustituyendo p= /n, tomando el límite cuando n se obtiene

Se dice que la v.a.d. X se distribuye como una Poisson su función de cuantía es :


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*********************************

Veremos si cumple con la condición de ser una función de cuantía.

1) f(x) 0 0 (por simple inspección)

pues

(desarrollo de serie de MacLaurin de e)

3.7.1.- La Esperanza es

3.7.2.- La Varianza es

3.7.3.- Función generatriz de momentos

3.7.4.- Ejemplos

1.-El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4.


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¿Cuál es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo determinado?Solución: Utilizando la distribución de Poisson con x=6 y =4, se tiene:

2.- Se sabe que 10 es el número promedio de camiones-tanque de aceite que llegan por día a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones tanque en un día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día se tengan que regresar los camiones-tanque?Solución: Sea X : el número de camiones-tanques que llegan por día.

P(x15) =

3.-Después de una prueba de laboratorio muy rigurosa con cierto componente eléctrico, el fabricante determina que en promedio, sólo fallarán dos componentes antes de tener 1000 horas de operación. ¿ Cuál es la probabilidad que fallen cinco componentes en 1000 horas de operación ?

Solución: X p(5;2) IP(pedida)

FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS

Debido a la importancia de obtener rápidamente los valores característicos de una distribución, se utiliza la función generadora de momentos. Se define la función generadora de momentos ( f.g.m.) X (t) como:


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Sea X v.a.d. y X : D IR IR

t X ( t ) = E [ etX ]= etxifx(xi)

i

nota:

1. t D :

2. X ( t=0 )=13. Vemos que la f.g.m. X cumple con:

µ r = E [ Xr ] =

de allí el nombre de función generadora de momentos.(Algunas f.g.m. fueron conocidas mientras se estudiaban las distribuciones discretas).

3.8.- Ejercicios Propuestos

1. Supóngase que la máquina 1 produce en forma diaria el doble de artículos que la máquina 2. Sin embargo, cerca del 4% de los artículos de la máquina 1 tienden a ser defectuosos, mientras que la máquina 2 produce sólo un 2% de defectuosos. Supongamos que se combina la producción diaria de ambas máquinas, y se toma una muestra aleatoria de tamaño 10 de ella. ¿Cual es la probabilidad de que esta muestra contenga 2 artículos defectuosos?.

2. Un artículo es producido por operaciones independientes de una máquina. La probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es de 0.2.

a) Si se eligen al azar 8 de estos artículos, encontrar :

i) La probabilidad de obtener exactamente un artículo defectuoso. (Sol : 0.3355)

ii) La probabilidad de que ningún artículo sea defectuoso. (Sol : 0.167772)


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iii) La probabilidad de obtener no más de dos artículos defectuosos. (Sol: 0.7969)

iv) La probabilidad de obtener no menos de dos artículos defectuosos. (Sol: 0.5033)

b) Si se elige la variable aleatoria X = “Número de artículos defectuosos elegidos entre 8”, encontrar :

i) E[X], Var(X). (Sol : E[X]=1.6;Var(X)=1.28)ii) La probabilidad de que la mayoría sean defectuosos.

(Sol : 0.0104)

c) Si la utilidad esperada al vender 8 artículos es tal que por cada artículo no defectuoso que se venda se gana $120.-, y por cada defectuoso se pierde $90.-. ¿Cuál es la utilidad esperada?. (Sol : 624)

d) Si se va extrayendo uno por uno los artículos, entonces :

i) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un artículo defectuoso sólo en la cuarta extracción?. (Sol : 0.1024)

ii) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un artículo defectuoso precedido de 3 no defectuosos?. (Sol : 0.1024)

iii) Calcular la esperanza y varianza al extraer un artículo defectuoso sólo en la r-ésima extracción. (Sol : E[X]=5;V(X)=20)

e) Si se hacen extracciones hasta obtener 3 artículos defectuosos, entonces :

i) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 6 extracciones?. (Sol : 0.04096)

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarias menos de 6 extracciones?. (Sol : 0.0572)


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iii) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran 3 extracciones consecutivas exitosas ( obtener 3 artículos defectuosos ) y ningún fracaso?. (Sol : 0.008)

iv) ¿Cuál es el número esperado de repeticiones necesarias?. (Sol : 15)

v) Supóngase que el costo de cada una de las extracciones es $200.-. Además, por cada extracción que se fracase ( se obtiene artículo defectuoso ) se produce un costo adicional de $30.-. ¿Cuál es el costo esperado del procedimiento completo?. (Sol : 3360)

3. Un lote de producción de 80 unidades tiene 8 artículos defectuosos. Se extrae una muestra aleatoria de 10 unidades y se quiere saber :

a) La probabilidad de que la muestra contenga 1 artículo defectuoso. (Sol : 0.4135)

b) La probabilidad de que la muestra contenga a lo menos 3 artículos defectuosos. (Sol : 0.)

c) La probabilidad de que la muestra contenga no más de 2 artículos defectuosos. (Sol : 0.9428)

d) E[X] y Var(X). (Sol : E[X]=1;Var(X)=0.7975)

4. Una caja contiene 3 artículos defectuosos, dos regulares y cuatro buenos. Encontrar la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de 5 artículos sin reposicion, se seleccionan dos regulares y al menos uno bueno. (Sol : 0.2698)

5. Idem a problema 4, pero la extracción es con reposición. (Sol : 0.2141)

6. Se supone que un promedio de 4 automóviles llegan para ser reparados a un taller durante las 8 horas diarias de trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen uno o más automóviles durante el periodo de una hora?. (Sol : 0.3935)


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7. En promedio, 12 personas por hora consultan a un especialista en decoración en un almacén de telas. Calcular la probabilidad de que tres o más personas se acercasen al especialista durante un periodo de 10 minutos. (Sol : 0.3232)

8. Si el 3% de los platillos para ensalada fabricadas por una empresa de lozas son defectuosos, hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 platillos se encuentren :

a) 0 defectuosos. (Sol : 0.04979)b) 1 defectuoso. (Sol : 0.1494)c) 2 defectuosos. (Sol : 0.2241)d) 3 defectuosos. (Sol : 0.2241)e) 4 defectuosos. (Sol : 0.1680)f) 5 defectuosos. (Sol : 0.1008)g) Más de 5 defectuosos. (Sol : 0.0838)h) Entre 1 y 3 defectuosos. (Sol : 0.5976)i) 2 platillos o menos sean defectuosos. (Sol : 0.4232)

9. Entre las 2 y las 4 de la tarde el promedio de colectivos que van de Viña del Mar al Cerro Placeres por minuto es de 2.5. Hallar la probabilidad de que en un determinado minuto haya :

a) 0 colectivos. (Sol : 0.08208)b) 1 colectivo. (Sol : 0.2052)c) 2 colectivos. (Sol :0.2565)d) 3 colectivos (Sol : 0.2138)e) 4 o menos colectivos. (Sol : 0.8911)f) Más de 6 colectivos. (Sol : 0.0142)

10. Un baúl contiene un gran número de cajetillas de cigarrillos Kent, Lucky, Belmont y Hilton, en la proporción 4:3:2:1 respectivamente. Hallar la probabilidad de que en 10 extracciones se extraigan :

a) 4 Kent, 3 Lucky, 2 Belmont y 1 Hilton. (Sol : 0.0348)b) 8 Kent y 2 Hilton. (Sol : 0.000295)


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4.- Ejercicios Desarrollados

1.- OTRA VEZ: LA MONEDA.

Se lanza una moneda insesgada, determinar la probabilidad de que en el 12º lanzamiento aparezca cara por 5ta vez.

Solución:p(cara) = p(sello) = 0,5P(X=12) = (11C4 ) x 0,55 x 0,57

P(X=12) = 330 x 0,0313 x 0,0078 = 0,0806

2.- TÍPICO: UN DADO.

Se lanza un dado insesgado, determine la probabilidad de que en el 15º lanzamiento aparezca el número 4 por 3ª vez.

Solución:p(4) = 1/6 = 0,1667 q = 1- p = 1- 0,1667 = 0,8333P(X=15) = (14C2) x 0,16673 x 0,833312 = 91 x 0,0046 x 0,1121 = 0,0469

3.- CALCETINES (LIMPIOS).

Se tiene un cajón con 20 calcetines 5 rojos, 3 verdes, 6 amarillos y 6 azules, determine la probabilidad de que en el 10º calcetín extraído (con devolución) aparezca por 5º vez un calcetín amarillo.

Solución:

p(amarillo) = 6/20 = 0,3 q = 1- p = 1- 0,3 = 0,7P(X=10) = (9C4) x 0,35 x 0,75 = 126 x 0,0024 x 0,1681= 0,0508

4.- ACCIONES UNIKAK.


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La probabilidad de que las acciones de la Empresa de Servicios Computacionales Unikak LTDA. aumenten en un día es de 0,45. Se observa el comportamiento de las acciones durante 17 días. ¿Cuál es la probabilidad de que en el 15º día hayan aumentado por 6ª vez ?.

Solución:

p(aumento) = 0,45 q = 1- p = 1- 0,45 = 0,55P(X=15) = (14C5) x 0,456 x 0,559 = 2002 x 0,0083 x 0,0046= 0,0764

5.- PROYECTO FONDEF.

En un proyecto de investigación FONDEF de alta importancia, se investiga acerca de la inmortalidad del cangrejo, para ello los investigadores han acudido a biblioteca y encontraron una memoria a cerca del tema. El investigador abre al azar la memoria de 400 páginas para ver su contenido, ¿Cuál es la probabilidad que en la 6ª apertura de la memoria se abra por 4ª vez sobre la página 325?

Solución:

p(sobre la página 325) = (1/400) =0.0025q = 1- p = 1- 0,0025 = 0,9975P(X=6) = (5C3) x 0,00254 x 0,99752 = 3.8867*E-10

6.- OVNI DESPACHURRADO.

Se sabe que las naves extraterrestres (OVNI) son extremadamente resistentes a los choques, ya que después de atravesar el hiperespacio se encuentran repentinamente con acumulaciones de meteoritos. Si la probabilidad de colisionar con un meteorito al salir del hiperespacio es de


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0,97, determine la probabilidad de que al cruzar el hiperespacio por 2.255ª vez colisionen con un meteorito por 2200ª vez.

Solución:

p(colisionar) = 0,97 q = 1- p = 1- 0,97 = 0,03P(X=2.255) = (2.254C2.199) x 0,972.200 x 0,0355

P(X=2.255) = 1,1E111 x 7,9034E-30 x 1,7444E -84= 0,0148084

7.- ...Y DALE CON EL PELUCHE.

Un enamorado regala todos los meses el día que celebra el inicio de su pololeo un osito de peluche a su polola, lo que este enamorado no sabe es que su polola es alérgica al peluche, la probabilidad de que se lo lance a la cara o lo bote a la basura es de 0,2. Determine la probabilidad de que al 18º mes la polola se lo tire por la cabeza habiendo ya botado a la basura 14 de ellos.

Solución:

p(tirar por la cabeza) = 0,2 q = 1- p = 1- 0,2 = 0,8P(X=18) = (17C14) x 0,215 x 0,83 = 680 x 3,2768E-11 x 0,512 = 1,1409E-08

8.- MUCHO LOVECRAFT.

Hace mucho milenios, antes de la presencia de la raza humana sobre la tierra, se adoraba a los dioses primordiales, Nugganoth, dios primordial del viento. El tiene una probabilidad de escuchar un ruego de 0,001 de sus adoradores, ellos le piden que calme la terrible ventolera de la milenaria y


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hoy extinta ciudad de R’lyeh (hoy en día Playa Ancha). Determine la probabilidad de que en el 37º ruego haya aplacado el viento por 3ª vez.

Solución:

p(escuchar ruego) = 0,001 q = 1- p = 1- 0,001 = 0,999P(X= 37) = (36C2) x 0,0013 x 0,99934 = 630 x 1E-09 x 0,9666= 6,0896E-07

9.- EL SANSANO.

Un lachito (entiéndase como piropero o halagador) tiene una probabilidad de éxito con las mujeres de 0,1. El sábado pasado un amigo lo invito a su fiesta de cumpleaños, en ella habían 93 mujeres todas muy buenas mozas, lachín alcanzó a cortejar durante la noche a 23 de ellas, obteniendo buenos resultados con ésta última y otra anterior. Calcule la probabilidad de la historia de lachito.

Solución:

p(éxito) = 0,1 q = 1- p = 1- 0,1 = 0,9P(X= 23) = (22C1) x 0,12 x 0,921= 22 x 0,01 x 0,1094 = 0,0241

10.- A L I E N 4.

Los tripulantes de la nave Nostromo han abordado una nave extraterrestre infestada de huevos de Aliens, rápidamente la teniente Ripley ordenó destruirlos organizando un equipo de asalto dirigido por la sargento Vázquez de 6 soldados, se sabe gracias a ancestrales escrituras


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encontradas en la nave que la probabilidad de encontrar una cría macho en un huevo es de 0,76, determinar la probabilidad de que al destruir el 150º huevo se encuentre la 5ª hembra.

Solución:

p(hembra) = 1 - 0,76 = 0,24 q(macho) = 0,76P(X= 150) = (149C4) x 0,245 x 0,76145= 19720001 x 7,9626E-04 x 5,2236E-18

P(X= 150) = 8,2022E-14


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5.- Ejercicios Propuestos

1.- ACCIDENTES CARRETEROS.

Las estadísticas de accidentes de este año indican que la probabilidad de quedar un auto con pérdida total (totalmente inservible e irrecuperable) es de 0,35. Calcule la probabilidad de que en el 126º accidente el auto quede inservible junto con otros 13 autos chocados anteriormente. (R: 7,05E-11)

2.- FIN DE SEMANA EN VIÑA.

Al viajar desde Santiago a Viña un automovilista se encuentra con el semáforo que se ubica en el cruce de las calles Agua Santa con Alvarez. La probabilidad de encontrar una luz verde es de 0,38 y la de amarilla es de 0,12. Calcule la probabilidad de que en el 7º viaje se encuentre por 5ª vez con luz roja. (R : 0,117188)

3.- VOLEYBALL DUPLAS.

En la final del Campeonato de Duplas de Voleyball en las playas de Brasil. se enfrentan representando a Chile los hermanos Grimaldi con el equipo de Argentina representado por la Dupla Mortenson-Ponce. Según las estadísticas la probabilidad de hacer un punto por parte de cualquiera de los equipos es de 0,7. El número total de lanzamientos correspondiente ambas partes fue de 630 y se sabe que el 60% de ellos fue de nuestros compatriotas, determinar la probabilidad de que el partido haya terminado favorable para Chile 11-0. (R : 3,6E-175)


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4.- SUEÑO POR UN DÍA.

En el laboratorio de informática de la Universidad Santa María existen 100 computadores disponibles para los alumnos de 4º y 5º año, de ellos:15 son estaciones Risk 600025 son Pc’s 486DX415 son Pc’s 386 DLC20 son Pc’s 486DX215 son Pc’s 8028610 son Pc’s 8088

Determine la probabilidad de que en la 8ª sesión de trabajo le sea asignada por 3ª vez una estación Risk 6000 o por 2ª vez un 486 DX4. (R: 0,10931321).

5.- LADRONES SAPIENTES.

Un equipo de ladrones muy instruido sabe que la probabilidad de activación de una alarma de automóvil es de 0,7, determinar la probabilidad de que al robar el 15º automóvil la alarma no suene, al igual que en otros 3 casos anteriores. (R: 0,0583)

6.- JUANITO DE PASEO.

El papá de Juanito, de sólo 4 años, lo ha sacado a pasear a la calle Valparaíso en Viña del Mar, Juanito insiste en que quiere comer un helado de barquillo doble de chocolate con naranja, el papá dice “Si lo botas esta vez, será la última vez que te compro un helado porque ya has botado 4 de éstos”, el papá sabe que es muy probable que a Juanito se le caiga, ya que, en los últimos 10 paseos se le han caído 4 veces con una probabilidad de 0,7, pero como Juanito es un hijo regalón y siempre le dan en el gusto le compran esta vez otro helado. ¿Cuál es la probabilidad de que a Juanito no le compren nunca más un helado?. (R: 0,05146)


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7.- CAMPAMENTO SCOUT.

En un campamento Scout en el Cerro la Campana, la probabilidad de ser picado por un zancudo es de 0,75. Este es el 8º campamento que se realiza en dicho lugar y José ya ha sido picado en dos campamentos anteriores, se ha prometido a sí mismo que si es picado esta vez no saldrá nunca más de campamento. ¿Cual es la Probabilidad de que no vuelva a ir a acampar?. (R: 0,008652)

8.- MARADONA HA VUELTO A LAS CANCHAS.

Aunque nadie lo sabe, este jugador es muy asiduo a los resfríos y como le gusta autorecetarse, siempre toma Nastizol, la FIFA lo sabe pero prefiere hacer “vista gorda” a esta falta que tiene una probabilidad de 0,9. Sin embargo se le ha dicho que si en el próximo partido (el número 12) nuevamente es sorprendido al igual que las otras 7 veces anteriores será multado. ¿Cual es la probabilidad de que sea multado?. (R: 0,014205)


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Variable aleatoria continua (v.a.c.):

Comencemos por definir el concepto de variable aleatoria continua:

DEFINICIÓN:

Sea M un espacio muestral continuo, se dice que es variable

aleatoria continua a la función:

: IR

tal que -1( - ,x) = AM xIR

.

DEFINICIÓN :

Sea un v.a.c. se define la función de densidad probabilística

(f.d.p.) denotada por a

x

satisfaciendo las siguientes condiciones:

1) x

2)

DEFINICIÓN:

Se define la función de Distribución como la función : IR 0, 1******************

que satisface las siguientes condiciones:


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i .- ii.- iii.- Fx (x) es una función no decreciente x IRiv .- Fx (x) es una función continua por la derecha.

Teorema:Sea X una v.a.c. con f.d.p. fx (x) y sea Fx la función dada por

Fx (x) = entonces Fx es una función de Distribución.

Teorema:

Sea X una v.a.c. con f.d.p. fx (x) y sea Fx la función dada por Fx (x) = IP (X x) entonces Fx es una función de Distribución

Corolario: Sea X una v.a.c. con f.d.p. fx (x) entonces:

Fx (x) = IP (X x) =

IP (X b) =

IP (X a) =

IP (a X b) = IP (a < X b) = IP (a X < b)

IP (a X b) = IP (a < X < b) =

IP ( X = b) = =0 b IR

MOMENTOS POBLACIONALES


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Los momentos sirven para caracterizar una Distribución, ya que por medio de estos se obtienen valores representativos de ella, se destacan la Esperanza y la Varianza.

DEFINICIÓN:

Se define el momento de orden r ( r ) como el número dado por:

µr = IE[Xr]=

DEFINICIÓN:

El momento de orden uno se conoce como la Esperanza Matemática (o simplemente Esperanza) de la variable aleatoria continua X, al valor definido como: IE[X] = µ1 Nota: la Esperanza es un promedio que se espera que suceda.

DEFINICIÓN:

Se define momento centrado en la Esperanza de orden r ( r ) como el número dado por:

r =IE[(X- IE[X] )r]=

DEFINICIÓN:

Se define la Varianza de la variable aleatoria continua X como el número positivo:

2 =Var [X] = 2 = E[X2] - (E[X])2 = µ2 - (µ1)2

Nota: se conoce como la desviación típica o estándar e indica el grado de dispersión que tendría la v.a.c. X

DEFINICIÓN:

Se define el coeficiente de variación como:


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Obs.:

También se puede definir la Esperanza de una función g(x) de la siguiente forma: sea X un v.a.c. con función de densidad probabilística y sea

g : D IR IR, una función continua tal que D , entonces sí

< ,

se define la Esperanza de g(x) como el número dado por:

(**)

Nota: 1. Si g(x)=X (**) da la Esperanza de X : 2. Si g(x)=X (**) da la Esperanza de X :3. Si g(x)=(X -IE ) (**) da la varianza de X :

PROPIEDADES

1. IEkX = kIEX constante.2. IEk = k constante.3. IEX+Y = IEX+IEY X e Y v.a.4. IEaX+bY = aIEX+bIEY X e Y v.a. y a,b

constantes.5. IEXY = IEXIEY si X e Y son v.a.

independientes.6. VkX = k VX constante.7. Vk = 0 constante.8. VX+Y = VX+VY+2COV(X,Y) X e Y v.a.9. VX+Y = VX+VY si X e Y son v.a. independientes.


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10. VaX+bY =a VX+b VY+2abCov(X,Y) X e Y v.a. y a,b ctes.

11. X v.a. y con i=1,2......n

constantes.

12. ****************

FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS

Debido a la importancia de obtener rápidamente los valores característicos de una distribución, se utiliza la función generadora de momentos. Se define la función generadora de momentos ( f.g.m.) X (t) como:

Sea X v.a.c. y X : D IR IR

t X ( t ) = IE [ etX ]=

nota:

1. t D :

1. X ( t=0)=1

2. Vemos que la f.g.m. X cumple con:

de allí el nombre de función generadora de momentos.

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL


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Se dice que una variable aleatoria X se distribuye normalmente si su función de densidad de probabilidad está dada por:

donde ( ) y ( +) son constantes.

Los parámetros de la distribución normal son y , que pertenecen a la media y la desviación estándar de la v.a.c. X. La distribución normal es simétrica con respecto a , y tiene forma de campana para cualquier valor de y . Para que fX(x) sea una función de densidad de probabilidad, debe cumplir lo siguiente:

La Esperanza y la Varianza de la distribución normal se definen como:

Para denotar que una variable aleatoria X se distribuye normalmente con

parámetros y , se anota : X N ; 2. La probabilidad de que una variable aleatoria continua distribuida normalmente sea menor o igual a un valor especifico x0, ésta determinado por la función de Distribución acumulada:

Este valor sería imposible de calcular, ya que existen infinitos valores para el par y , para ello se recurre a la transformación Z=( x - )/,


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donde Z es una variable aleatoria estandarizada con = 0 y = 1; con lo cual queda:

Pero esta variable aleatoria estandarizada con = 0 y = 1, no permite calcular la IProbabilidad directamente pues la antiderivada no existe, pero existen tablas que permiten calcularla (ver la tabla Normal en el apéndice).

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. En el proceso de elaboración supóngase que el diámetro externo de cierto tipo de cojinetes se encuentra aproximadamente distribuido normal con = 3,5 cm. y = 0,02 cm. Si el diámetro de estos cojinetes no debe ser menor de 3,47 cm. ni mayor de 3,53 cm. ¿Cuál es el porcentaje de cojinetes que debe desecharse durante el proceso de manufactura?

Solución:

Sea X la v.a.c. asociada al diámetro, donde XN (3,5;0,0004)

La probabilidad de que no se rechasen los cojinetes es cuando x esté entre 3,47 y 3,53.

IP (3,47 x 3,53) = IP( X 3,53) –IP(X 3,47) Estandarizando y usando la tabla se obtiene queIP (3,47 x 3,53) = 1,5) - -1,5) = 0,9332 – 0,0668 = 0,8664

Resp.: Un 86,64% de los cojinetes cumple con las indicaciones, entonces, el 13,36% debe desecharse.


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2. Suponga que un instrumento tiene una duración T (en unidades de tiempo) que puede asociarse a una v.a.c. que tiene función:

Se sabe que el costo de fabricación por artículo es $2.000 y el fabricante lo vende en $5.000, pero garantiza su reemplazo total si su tiempo de duración es menor o igual a 0,9.

a) Determinar la función de utilidad por artículo.b) ¿Cuál es la utilidad esperada por artículo?c) ¿Para qué valor máximo del tiempo “c”, el fabricante podría

garantizar un reemplazo total (para el primer artículo) de modo que hubiese una utilidad esperada de $1.000 por artículo?

Solución:

En este ejercicio la v.a.c parece que está distribuida normalmente, pero su dominio está cortado, pues no son todos los reales, ya que el tiempo sólo puede ser mayor que 0. Tenemos que encontrar la constante k, para que la función dada sea una función de densidad de probabilidad.

A) La función de utilidad es la siguiente:

U(t)= 3.000 sí t 0,9 U(t)= -2.000 sí t 0,9 donde t (4,16)

B) E U = 3.000*IP t 0,9 - 2.000*IP t 0,9


142


E U = 3.000 ( 1- IP t 0,9 ) - 2.000 IP t 0,9 E U = 3.000 – 5.000*P t 0,9 E U = 3.000 – 5.000* k*( -0,775 - (-1) )

E U = 3.000 –5.000*k* (0,21917 –0,1587) E U = 3.000 –5.000 *1.1886 * (0,06051)=2.640,39.

E U 2.641 $/artículo

C) 1.000 = 3.000 – 5.000 *k *( c-4 / 4 - (-1) )5.000 *k*( c-4/ 4 - (-1)) =2.000 c-4/ 4 - (-1)= 2/(5 k)

c-4/ 4)= 0,33653 + 0,15866 =0.49519 (c-4) / 4 = -1(0,49519) -0,01057

c = 3,952.

3 Supóngase que X es la resistencia a la ruptura de un cable en Kg. Se tiene que XN (100;16). Cada 100 m. De cable producen una utilidad de $100 si x 95 y si X 95 el cable puede usarse para otros fines y produce utilidad de $20 cada 100 m. Encuentre la utilidad esperada por cada metro de cable.

Solución:

La función de utilidad por cada 100 metros de cable es:

U (x) = 100 Sí x 95 U (x) = 20 Sí x 95

En este ejercicio, el dominio de la función de densidad no son todos los reales, pues la variable X es mayor que 0, se tiene que encontrar una constante k para que se cumpla la condición de ser una función de densidad.


143


Por lo tanto, la función de utilidad por cada metro es:

u (x) = 1 sí X 95u (x) = 0,2 sí X 95.

La utilidad esperada por metro de cable es:

E u = 1 – IP x 95 + 0,2 *IP x 95 = 1 - k -5/4) + 0,2 k -5/4) = 1 – 0,8 * (0,10565) = 1 – 0,08452 = 0, 91548.

4 Se tienen 3 cajas C1, C2, C3, con bolitas blancas y negras. C1 : 30 bolitas blancas y 10 bolitas negras. C2: 15 bolitas blancas y 25 bolitas negras. C3: 12 bolitas blancas y 28 negras.

El método de elección de las cajas se puede aproximar a una v.a.c. normalmente distribuida N (6,25) ; este método se detalla a continuación:- Se saca una bolita de C1 con IP ( x 3 )- Se saca una bolita de C2 con IP ( 3 x 6)- Se saca una bolita de C3 con IP ( x 6).

Determinar la probabilidad de extraer una bolita blanca.

Solución:X es la variable asociada al método de elección de las cajas,

entonces X N (6, 25) , se procede a estandarizar para N (0,1). Para la C1, la IP ( x 3) = -3/ 5 = 0,2743.Para la C2, la IP ( 3 x 6 ) = 0 - -3/ 5 = 0,5 – 0,2743 = 0,2257.Para la C3, la IP ( x 6) = 1 - 0 = 0,5.

Las probabilidades de sacar una bolita blanca de cada caja, son las siguientes:

De la C1 es : 3/4.


144


De la C2 es :3/8.De la C3 es :3/10.

Por lo tanto, la probabilidad de sacar una bolita blanca está sujeta la condicionalidad de la elección de las cajas:

IP (blanca) = P (B/C1)*IP( C1) + IP(B/C2)*P(C2) + IP(B/C3)*P(C3) = (0,2743 * 3/4) + (0,2257 * 3/ 8) + (0,5 * 3/10) = 0,4403625

Resp.: la Iprobabilidad de extraer una bolita blanca es de un 44,04%

5 Una universidad espera recibir para el próximo año 16.000 solicitudes de ingreso al primer año de licenciatura. Se supone que las calificaciones obtenidas por los aspirantes de la prueba SAT se pueden calcular de manera adecuada por una distribución normal con = 950 y = 100. Si la universidad decide admitir al 25% de todos los aspirantes que obtengan la calificación más alta en la prueba SAT ¿Cuál es la mínima calificación que es necesario obtener en ésta prueba, para ser admitida por la universidad?.

Solución:

Sea X la variable asociada a las calificaciones, por lo que XN(950;10000) .Si sólo el 25% será admitido, existe un 75% que no lo será y en donde se encuentra la nota máxima de no aprobación, por lo tanto:

P (X x) = 1 – P (X x) = 1 – 0,75 = 0,25.

x= 1017.449

Por lo tanto, la mínima calificación con la que puede ser admitido un estudiante es 1018 puntos.


145


6 La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con = 200 y =40 unidades, la demanda de otro producto B tiene una distribución normal de = 500 y = 80.Un comerciante que vende estos productos tiene 280 unidades de A y 650 unidades de B al comienzo del mes. ¿Cuál es la probabilidad de que al término del mes venda todos los productos? Puede suponer independencia.

Solución:

Sea A la variable aleatoria asociada a la demanda del producto A, entonces AN (200,1600).

Sea B la variable aleatoria asociada a la demanda del producto B, entonces BN (500,6400) .

IP (A 280 ) = 1 – IP (A 280 ) = 1 - (280 – 200)/40) = 1 - 2 ) = 1 – 0,97725 = 0,02275.

IP (B 650) = 1 – IP(B 650) = 1 - ((650500)/80) = 1 - (1,875) = 1 – 0,969604 = 0,030396.

Por lo tanto como son hechos independientes, entonces la IP( A B) = P(A)*P(B) = 0,02275 * 0,030396 = 0,00069.

LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Si una variable aleatoria X se distribuye como una exponencial, su función de densidad de probabilidad está dada por:

donde


146


El parámetro indica un lapso de tiempo entre dos eventos independientes de Poisson (Distribución discreta), recibe el nombre de promedio de falla y 1/ es la frecuencia de falla.

Si una variable X se distribuye exponencialmente, se anota X exp(

La función de distribución acumulada de la distribución exponencial, es la siguiente:

La Esperanza : Es el primer momento y está determinada por:

Para calcular ésta integral se puede ocupar la función Gamma.

La Varianza : Está definida como la diferencia entre el segundo momento y el cuadrado del primer momento, cifra que siempre es positiva. Para calcularla debemos sacar el momento segundo orden:

por lo tanto, la Varianza queda


147


La función Generadora de momentos:

Por lo tanto:

LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL NEGATIVA

Si una variable tiene una Distribución exponencial negativa, su función de densidad está dada por:

donde b, 0 (constantes)

La cual tiene Esperanza igual a: E[x] =b + y una Varianza Vx) = 2

EJERCICIOS RESUELTOS PARA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

1 El tiempo que se demoran en atender a una persona en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una Distribución exponencial con media de 4 min.


148


¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea servida en menos de 3 minutos al menos en 4 días de un total de 6?

Solución:

Sea t la variable asociada al tiempo, por lo tanto t e (=0.25)

Este ejercicio es una combinación de distribución exponencial con binomial. Para encontrar la probabilidad de que la persona sea atendida en menos de 3 minutos, se calcula con la distribución exponencial.

Esta probabilidad se considera para encontrar la probabilidad pedida, que está relacionada con el número de días, variable distribuida binomialmente, D B( 6; 0,52763).

3 El tiempo necesario para reparar una pieza de equipo, en un proceso de manufactura, es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es:


149


Si la pérdida de dinero es igual al cuadrado del número necesario de horas para llevar a cabo la reparación, se debe determinar el valor esperado de las pérdidas por reparación.

Solución:

En este caso es necesario calcular el valor esperado de una función que se encuentra relacionada con la variable tiempo, esta función es:

P( t ) = t 2

Por lo tanto el valor esperado de las pérdidas es:

Para calcular esta integral, usaremos la función (

Por lo tanto

Luego el valor esperado de las pérdidas es de $50.

EJERCICIOS PROPUESTO PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

1 Sea X la variable aleatoria que representa el intervalo de tiempo entre dos llegadas consecutivas a una tienda, con función de densidad dada por:

a) Encontrar la función de distribución acumulativa.


150


b) Determinar la probabilidad de que ocurran menos de 8 minutos entre dos llegadas.

c) Calcule la probabilidad de que a lo más 3 días en el mes (30), el tiempo entre dos llegadas este entre los 4 y los 8 minutos.

Solución:

a) La función de distribución esta representada por:

b) Esta probabilidad se obtiene:

c) Esta probabilidad se calcula mediante dos distribuciones: exponencial y binomial.

X: variable asociada al tiempo, X e (1/2 )D: variable asociada a los días, D B (30;p = P(4 x 8) )

P (4 x 8) = F (8) – F (4) = 1 – e (-4 ) – 1 + e (-2) = e (-2) – e (-4) = 0,117.

La probabilidad pedida es:


151


2 Sea X una variable aleatoria distribuida exponencialmente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que X tiene valor mayor que la media ?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre en un intervalo igual a una desviación estándar?

Solución: a) p ( x E [x] ) = 1 – P ( x E[x] ) = 1 – P ( x ) = 1 – 1 + e (- / ) = 0,3678.

b) P ( x 2 ) = 1 – e (-2 / ) = 1 – e (-2) = 0,865.

Distribución Gamma

Función Gamma (n) = 0 xn-1 e-xdx

Propiedad:

1.- (n) = (n-1)*(n-1) n N - 1 2.- (2) = (1) = 1


152


3.- Si n N (n) = (n-1)!

Se dice que la v.a.c. X se distribuye como una Gamma ssi su f.d.p. es:

x(x) = n x-1 e-x I(x) donde , +

()

esto se anota X (,)

luego, obtenemos la esperanza y varianza de Gamma:

E[x] = / V[x] = /2

Aproximación de cualquier distribución a una normal

1.- Suponiendo X Bin (n,p) en la cual queremos calcular el caso para n = 400 , p = 0,1 y se quiere calcular P(x=45)

Como n p se aproxima a una Normal, de la siguiente manera:


153


P(Xp=x0) P(x0-1/2 X x0+1/2) donde XpN (E[XD],V[XD])

E[XD] = n*p V[XD] = n*p*q

En el problema tenemos:

E[X] = 400*0,1 = 40 V[X] = 400*0,1*0,9 = 36

X N (40,36)

P(Xp = 15) = (x0+1/2)- - (x0-1/2)-

= (45+1/2)-40 -(45-1/2)-40

6 6

= (0,917) - (0,75) = 0,8204 - 0,7734 = 0,047 4,7

Nota: Lo anterior es válido para cualquier v.a.discreta en que se conozca su dispersión y su varianza.


154


2.- Suponiendo X como una v.a. continua y se conoce su E[X] y su V[X]. Xc es tal que E[Xc] y V[Xc] se conocen:

P ( a Xc b ) P (a Xd b ) donde Xd N (E[Xc], V[Xc])luego P (a Xc b ) = b - E[Xc] - a - E[Xc]

V[Xc]1/2 V[Xc]1/2

Vectores aleatorios bidimensionales continuos ( ):

Comencemos por definir el concepto de vector aleatorio bidimensional continuo:

DEFINICIÓN:

Sea M un espacio muestral continuo, se dice que es un vector

aleatorio bidimensional (ó bivariado) continuo a la función:

: IRxIR

tal que -1( - ,x x - , y ) = AM (x,y)IRxIR.

El vector aleatorio puede representarse como:

:=(X,Y) : IRxIR , es decir

(m) = ( X(m) , Y(m) ) mM


155


Obs.: ssí X e Y son v.a.c. unidimensionales.

DEFINICIÓN:

Sea un se define la función de densidad probabilística

conjunta (f.d.p.c.) denotada por a

(x,y)


1) (x, y)

2)

Una vez definida la función de densidad conjunta del

podemos definir otras funciones importantes.

DEFINICIÓN:

Sea un , con función de densidad probabilística conjunta , se

definen las funciones de densidad marginales como:

1) la de X como

2) la de Y como

Estas funciones deben cumplir las siguientes condiciones:

i )

ii)

DEFINICIÓN:


156


Sea un , con función de densidad probabilística conjunta , se

define la función de distribución conjunta como:

: IRxIR 0, [

(x,y) =

DEFINICIÓN:

Sea un , con , y funciones de

densidad probabilística conjunta y de densidad marginal de X y de Y

respectivamente, se definen las funciones de distribución marginal:

1) de X como : IR 0, [

x =

2) de X como : IR

0, [

y =

DEFINICIÓN:

Sea un , con , y

funciones de densidad probabilística conjunta y de

densidad marginal de X y de Y respectivamente. Se define la función de

densidad condicional de X dado Y= y a:


157


si

análogamente se define la función de densidad condicional de Y dado X= x como:

si

TEOREMA:

Sea un , con , y funciones de densidad probabilística

conjunta y de densidad marginal de X y de Y respectivamente.

Entonces las v.a.c. X e Y son independientes ssi

COROLARIO:

Si X e Y son v.a.c. independientes

Obs: todas las definiciones y teoremas dados para el caso bidimensional pueden generalizarse a más dimensiones en forma natural.


158


Esperanza de vectores aleatorios bivariados continuos y sus propiedades.

DEFINICIÓN:

Sea un , con función de densidad probabilística conjunta y sea g : D IR2 IR, una función continua tal que D , entonces si

< ,

se define la esperanza de g(x,y) como número dado por:

(**)

Nota:

Si g(x,y)=X (**) da la esperanza de X :

Si g(x,y)=Y (**) da la esperanza de Y :Si g(x,y)=X (**) da la esperanza de X :Si g(x,y)=Y (**) da la esperanza de Y

:

Si g(x,y)=(X - E ) (**) da la varianza de X :


159


Si g(x,y)=(Y- E )2

(**) da la varianza de Y :

Si g(x,y)=XY (**) da la

esperanza de XY :

DEFINICIÓN:

Sea un , con función de

densidad probabilística conjunta .Sea X e Y variables aleatorias continuas tal que existe la esperanza de cada una de ellas, se llama covarianza de X e Y al número denotado por:

Cov(X,Y) = EXY - EXEY

PROPIEDADES

EkX = kEX constante.

Ek = k constante.

EX+Y = EX+EY X e Y v.a.

EaX+bY = aEX+bEY X, Y v.a. y a,b constantes.

EXY = EXEY si X,Y son v.a independientes.

VkX = k VX constante.

Vk = 0 constante.


160


VX+Y = VX+VY+2COV(X,Y) X,Y v.a.

VX+Y = VX+VY si X e Y son v.a. independientes.

VaX+bY =a VX+b VY+2abCov(X,Y) X,Y v.a. y ,b

constantes. Cov(X1,X2) = Cov(X2,X1) Cov(X,X) = VX Si X1, X2 son independientes, entonces Cov(X1,X2) = 0

X v.a. y con i=1,2......n constantes.

DEFINICIÓN:

Sea un , con función de densidad

probabilística conjunta y covarianza de X e Y.

Se define el coeficiente de correlación al número:

Nota:1. El coeficiente de correlación mide el grado de asociación que

tienen las variables aleatorias X e Y. 2. Si X e Y son independientes entonces la correlación es cero.


161


3. Una propiedad es que su valor está en el intervalo -1,1.4. Si Z=aX+b y W=cY+d donde a,b,c,d son constantes

entonces

Esperanzas Condicionales

DEFINICIÓN:

Sea =(X,Y) con f.d.p.c.

y sea (x) la función de densidad

condicional de X dado Y = y, se define la esperanza condicional de X dado Y = y como el número:

DEFINICIÓN:Sea =(X,Y) con f.d.p.c.

y

sea (y) la función de densidad condicional de Y dado X = x, se define la esperanza condicional de Y dado X =x como el número:


162


DEFINICIÓN:Sea =(X,Y) con f.d.p.c. y sea (x) la función de

densidad condicional de X dado Y = y, se define la varianza condicional de X dado Y = y como el número positivo:

en que

DEFINICIÓN:Sea =(X,Y) con f.d.p.c. y sea (y) la función de

densidad condicional de Y dado X = x, se define la varianza condicional de Y dado X =x como el número positivo:

en que


163


Distribución Multinormal. (Normal K-variada)

Anteriormente se estudió la distribución normal de una variable aleatoria. El concepto de distribución normal puede extenderse para incluir variables aleatorias y en particular la distribución normal k-variada se emplea de manera extensa para describir el comportamiento probabilístico de dos o más variables.

Definición:

Se dice que el vector (x1,x2,x3,.....xk) se distribuye como una normal k-variante ssi su f.d.p.c. se distribuye de la siguiente forma:

donde


164


=

Esta última matriz se conoce como matriz de varianzas y covarianzas, ella resulta simétrica pues la Cov( Xi , Xj )= Cov( Xj , Xi ).

Observación:

Todas las f.d.p. marginales son normales de dimensiones menores. Lo interesante de esta distribución es el poder encontrar las distintas marginales de la distribución normal k-variada .

Ejemplo:

1.1.-Encontrar las f.d.p. marginales , provenientes de una normal k-variada con k=6 con vector de medias y cuya matriz de varianzas y covarianzas es:

Para encontrar estas marginales cabe recordar que como estas también se distribuyen en forma normal, solo se debe buscar en los subíndices pedidos en el vector de medias y dejar las filas y columnas relacionadas de la matriz de varianzas y covarianzas de acuerdo a las marginales pedidas.


165


Entonces tenemos que la distribución para el primer caso será:

donde y

y para el segundo

donde y

Un caso particular en normales k-variadas es la normal bivariada la cual se representa de la siguiente forma:

donde o bien

donde , y=E(Y) , x

2=Var(X) , y2=Var(Y) y es el

coeficiente de correlación entre las variables X e Y definido con anterioridad ( ).Ahora bien, si hacemos =0 logramos obtener las condiciones necesarias de independencia entre las variables X e Y en la distribución normal bivariada, ésta además de ser necesaria, es una condición suficiente por lo siguiente:

=

f (x,y)=fx*fy en donde fx y fy son las densidades normales univariadas de X e Y respectivamente.


166


Propiedades.

1.- , y=E(Y) Esperanzas marginales

2.-

3.- ;

4.-

5.-

Observación:

Si sabemos que X se distribuye en forma Normal con parámetros N(1, 1

2) y la variable Y también se distribuye Normal con parámetros N(2, 2

2) entonces la variable Z= X+Y también se distribuirá normal con parámetros Z .

Un caso especial es cuando las variables son independientes lo que implicaría que la covarianza es 0 por lo tanto Z .

Ejercicio Resueltos.


167


1.-Sea con y

Encontrar la distribución de Z=3x1+x2+x3-2x4.

Desarrollo.-

i)Método 1.-

E[Z]= = 3E[x1]+E[x2]+E[x3]-2 E[x4] = 3*1+2-3-2*1 =0

V[Z]= 9V(X1)+ V(X2)+ V(X3)+4V(X4)+2[cov(3X1 ,X2) + 3cov(X1 ,X3) + cov(3X1,-2X4) + cov(X2 ,X3) + cov(X2 ,-2X4) + cov(X3,-2X4)]

V[Z]= 9*4+9+16+4*4+2( 3*0+3*(-1)-6*2+3-2*4-2*(-7))= 65

ii) Método 2. En forma matricial.

Z=

=3+2-3-2=0

V[Z]= E[(Z-E[Z])’(Z-E[Z])]= E[(XA- A)’(XA- A)]= E[A’(X’- ’)(X- )A]= A’ E[(X- )’(X- )]A =A’ A


168


V[Z]=21+4+30+10=65

2.-Durante años en un test de conocimiento se efectúan dos evaluaciones con 3 preguntas cada una. Los rendimientos en las 6 preguntas se pueden asociar a un donde en que xi se asocia al resultado de la pregunta i con i=1,2,...,6La evaluación 1 corresponde a la suma de las preguntas impares y la evaluación 2 corresponde a la suma de las preguntas pares.

Datos:

a) Determinar la probabilidad que la evaluación 2 sea mayor que 32.b) Determinar la probabilidad que la evaluación 2 sea mayor que la

evaluación 1.c) Si 30 alumnos rinden las 2 evaluaciones, ¿Cuál es la probabilidad que al

menos 6 alumnos tengan una evaluación 1 menor que la 2?.

Desarrollo.-

a) Se sabe que la evaluación 2 está compuesta por la suma de las respuestas pares, por lo tanto, si definimos W y S como:

W = la evaluación 1 y S = la evaluación 2


169


Pregunta2

Pregunta4

Pregunta6

Por lo que E[X2+X4+X6]= 2+4+6 =12+14+11 = 37

V[X2+X4+X6]= V(X2)+V(X4)+V(X6)+2 [cov(X2,X4)+cov(X2,X6)+ cov(X4,X6)]=5+6+6+2*2+2*1+2*0 =23

entonces para el cálculo de la probabilidad tenemos lo siguiente:

= 1-(-1.0426) = 0.8515

b)Si hacemos R = S-W entonces tenemos que encontrar la probabilidad de que R>0 y como sabemos que R se distribuye en forma Normal sólo falta encontrar sus parámetros.

y R

Para el cálculo de la varianza de S con W tenemos lo siguiente:

Cov[X2+X4+X6 , X1+X3+X5 ]= [cov(X2,X1) + cov(X2,X3) + cov(X2,X5) + cov(X4,X1) + cov(X4,X3) + cov(X4,X5) + cov(X6,X1) +cov(X6,X3) + cov(X6,X5)]

Cov[S ,W ]= (1-1+0-2+0+0+0+2-2)= -2 V(R)=42

= 1-(-0.772) = 0.7799


170


c)Debido a que en general una persona no puede dar dos veces la misma evaluación es que el método para resolverlo sería una hipergeométrica,por ello ésta probabilidad se puede aproximar a una distribución binomial con los siguientes parámetros:

IP[x 6] =

=

= 1

3.- Sea X = (X1 , X2) un vector aleatorio bidimensional distribuído como una normal bivariada tal que X1 y X2 están correlacionados positivamente y tal que verifican las siguientes condiciones:

1. IP[X1<1] = 0,8413 X~N (u , ) y >02. IP[X2>6] = 0,02283. V[X1]=1 y V[X2]=24. V[X1/X2=x2] = 0,75

a) Calcule IP[0 < X2 < 4 / X1 = 2].b) Encuentre la matriz de varianzas y covarianzas.

Desarrollo.-

a) V[X1]= 12 =1 V[X2]= 2

2 =2 V[X1/X2=x2] = 1

2 (1-2)=0,75

=0.5


171


IP[0 < X2 < 4 / X1 = 2] = IP[ X2 < 4 / X1 = 2] IP [X2 < 0 / X1 = 2].

= N(u2 + /2 (2 u1) ; 1.5 )

Para calcular y :

IP [X2<4 / X1 = 2 ] = 0.3163IP [X2 < 0 / X1 = 2] = 0

b) 1

2 21 1 /2 = = 2

2 2

4.-Ciertas vigas tienen secciones rectangulares cuyas dimensiones, largo y ancho se pueden representar mediante una distribución normal bivariada con vector de media en [cm] y matriz de varianzas y covarianzas


172


Los limites de tolerancia para el largo de la viga son (9.3; 10.7) y para el ancho son (14,16). Una viga se considera defectuosa si el largo o el ancho está fuera de los límites de tolerancia. Se tomo una muestra de tamaño n=15. ¿cuál es la IP de que 11 de estas vigas no sean defectuosas?.

Desarrollo.-

Se aprecia claramente que existe independencia entre el largo y el ancho por lo que la probabilidad de que las vigas no cumplan los requerimientos será la multiplicación de las marginales las cuales también se distribuyen en forma normal.

Sea X=Largo y Y=ancho f(x,y)=fx*fy

Si son defectuosas tenemos

=

=


173


Como las vigas son reemplazadas, la probabilidad pedida sigue una distribución hipergeométrica pero esta es factible aproximarla a una distribución binomial.

IP[x=11] =

5.- Sea (X,Y) .a.n.b. con y 12=1, 2

2=25 y >0. Si la IP(4<Y<16/X=5)=0.954, encuentre la matriz de varianzas y covarianzas.


174


Luego

6.-Sea .a.3-normal con vector de medias y matriz de varianzas y covarianzas =diag(1,9,4). Si Y1 = 3X1+2X2-X3 e Y2=2X1-X2. Encuentre E[Y1/Y2] y V[Y1/Y2]

Desarrollo.-

Si Y1 = 3X1+2X2-X3 y1 =E[Y1] = E[3X1] + E[2X2] - E[X3] =5Y si Y2 = 2X1-X2 y2= E[Y2] = E[2X1] - E[X2]] =0

V[Y1]= 9V(X1)+ 4V(X2)+ V(X3) = 9+36+4=49V[Y2]= 4V(X1)+ V(X2) = 4+9=13


175


cov(y1,y2)=cov(3X1,2X1)+cov(3X1,-X2)+cov(2X2,2X1)+cov(2X2,-X2)+ cov(-X3 ,2X1) + cov(-X3 ,-X2) = 6cov(X1 ,X1) – 2(X2 ,X2)= 6-18 = -12

4 0 -6 0 0 4 0 2 0

7.- Sea donde y = 9 0 0 4 -1

9

Sean

a) Encuentre la distribución de Y1, Y2, Y3 respectivamente.b) ¿Y1 e Y2 son independientes?.c) Determine la IP (Y1> 2Y2).

Desarrollo.-


176


a) i)Para desarrollar estos ejercicios lo primero que hay que hacer es calcular las marginales respectivas y luego usar las propiedades de la normal bivariada.

ii)

iii)y3 =E[Y3] = E[3X1] - E[2X3] + E[X4] + E[X5]=3-6-2+1 = -4

V[Y3 ]= 9V(X1)+ 4V(X3)+ V(X4)+ V(X5)+ 2[cov(3X1 ,-2X3) + cov(3X1 ,X4) + cov(3X1 ,X5) + cov(-2X3 ,X4) + cov(-2X3 ,X5) + cov(X4 ,X5)]=

= 36+36+4+9+2(36-1) = 155


177


b) Y1 e Y2 son independientes ya que se aprecia claramente en la matriz de varianzas y covarianzas que X2 no está relacionado ni con X3 ni con X1 y lo mismo pasa con X4.

c) IP(Y1>2Y2) = IP(R>0) con R =Y1 – 2Y2

Y1 N (-2,3) Y2 N (3/2,0) y como de la pregunta b) sabemos que son independientes, tenemos que:

= 1-(2.88675) = 0.0019462Ejercicios Propuestos.-

1.-Sean X e Y las desviaciones horizontal y vertical (sobre un plano) respectivamente, de un vehículo espacial tripulado, con respecto al aterrizaje de éste en el mar. Supóngase que X e Y son 2 variables aleatorias que se distribuyen en forma normal e independientes con medias x = y=0 y varianzas iguales. ¿ Cuál es la máxima desviación estándar permitible de X e Y, que cumpliría con los requerimientos de la Nasa de tener una probabilidad de 0.99, de que el vehículo aterrice a no más de 500 ft del punto elegido, tanto en dirección vertical como horizontal?.Respuesta: x=y<178 pies.

2.-Sea vector normal bivariado. Se conoce:

a)P(X<5)=0.5b)P(X<6) = 0,8413= P(Y<15)c)P(Y<5) = 0.1587 = 1-P(X<6)d)P[4 < Y < 16 / X = 2]e)Si X aumenta entonces Y aumenta


178


Calcule la IP(3<X<3.6/Y=5).

Respuesta:0.13

3.-Sea .a. n. bivariado tal que :

i)

ii)

a) Demuestre que

b) Calcule E[X], E[Y], .

Respuesta.-

x = -18 y = 25

= -0.95


179


Vectores Aleatorios bivariados discretos

Introducción:La necesidad de estudiar este tipo de vectores se debe a que son

muchas las situaciones en que el resultado de un suceso aleatorio puede clasificarse en más de una forma, generalmente nuestro interés está enfocado a analizar más de una categoría, por ejemplo si X(t) es la potencia consumida por un determinado circuito en un tiempo t, la cual es una variable aleatoria unidimensional, pero si necesitamos analizar la potencia consumida en 2 tiempos específicos, estudiaremos la distribución del vector (X1(t), X2(t)).

Vectores aleatorios bidimensionales discretos ( a.b.d):

Comencemos por definir el concepto de vector aleatorio bidimensional discreto: Se dice que es un vector aleatorio bidimensional (ó bivariado) discreto a la función:

: IRxIR

tal que -1( - ,xi x - , yj ) = AM (xi,yj)IRxIR

siendo M un espacio muestral, finito ó infinito contable1 .

El vector aleatorio puede representarse por:1 Un conjunto C es infinito contable ssi podemos encontrar una función biyectiva entre C y los naturales.


180


:=(X,Y) : IRxIR , es decir, (m) = ( X(m) , Y(m) ) mM.

DEFINICIÓN :

Sea un , se define la función de cuantía conjunta (f.c.c.)

denotada por (xi, yj ) a

(xi,yj)


1) 0 (xi, yj ) 1 (xi, yj )

2)

Obs.: usualmente se usa la notación para anotar el valor de (xi,

yj ) en que = P(X(M) = xi Y(M) = yj ) = P(X=xi ; Y=yj) y por lo tanto las condiciones quedan:

1) 0 1 i,j

2)

Una vez definida la función de cuantía conjunta del vector podemos

definir otras funciones importantes:

Sea vector aleatorio bivariado discreto, con función de cuantía

conjunta = , se definen las funciones de cuantía marginales como

siguen:

1) la de X como

2) la de Y como


181


Estas funciones deben cumplir las siguientes condiciones:

i )

ii)

Sea vector aleatorio bivariado discreto con función de cuantía

conjunta = , se define la función de distribución conjunta la

relación:

: IRxIR 0,1

(x,y) (x,y )= P( X x; Y y)

Sea =(X,Y) v.a.b.d. con función de cuantía conjunta y función de

cuantía marginal respectivamente. Se define la función de

distribución marginal de X e Y como sigue:

x

y

con y


182


Sea =(X,Y) v.a.b.d. y sean , , funciones de cuantía conjunta

y marginales respectivamente. Se llama función de cuantía condicional de

X dado Y= y a:

si

Se llama función de cuantía condicional de Y dado X= x como:

si

Teorema:

Sea =(X,Y) v.a.b.d., consideremos : C1xC2 IR la función de

cuantía conjunta de , y : C1 IR y : C2 IR funciones de

cuantía marginales de X e Y respectivamente. Entonces X e Y son

independientes ssi

Esperanza de vectores aleatorios bivariados discretos y sus propiedades.

Sea =(X,Y) v.a.b.d., con función de cuantía conjunta y sea g: DIR2 IR, función continua y tal que X(M) D , entonces se define como esperanza de g(x,y) y se denota por Eg(x,y) al número dado por:


183


Sea X1, X2 variables aleatorias cualesquiera tal que existe la esperanza de cada una de ellas, se llama covarianza de X1 y X2 al número denotado por:

COV(X1,X2) = EX1X2-EX1EX2

Propiedades:1) VX1+X2 = VX1+VX2+2COV(X1,X2)2) COV(X1,X2) = COV(X2,X1)3) Si X1, X2 son independientes, entonces COV(X1,X2) = 0

Se define el coeficiente de correlación al número:

el cual mide el grado de asociación entre X1 y X2. Si X1 y X2 son independientes este coeficiente es cero. Una propiedad es que su valor está en el intervalo -1,1.

Esperanzas condicionales

Sea =(X,Y) v.a.b.d., con función de cuantía conjunta y sea la función de cuantía condicional de X dado Y = yj.

Entonces se define la esperanza condicional de X dado Y = yj al número:


184


análogamente para Y dado X = xi se define:

Por otro lado se define la varianza condicional de X dado Y = y como:

donde la

análogamente se define la varianza condicional de Y dado X = x como:

donde la

Ejemplos:

1) Sea (X,Y) vector aleatorio discreto con función de probabilidad conjunta dada por:


185


a) Encuentre las distribuciones marginales.b) Calcule P( 1 X 3 / Y=2).c) Calcule EY / X=1.

Solución:

a) y haciendo una tabla de valores tendremos

X y

0 1 2 3

0

10

20 0

1

y pueden escribirse como:

i )


186


ii )

b)

fX,Y=2 4 si x = 1,2,3

y f (x/y=2) = fY(2) = 8

0 e.t.o.c.

realizando la suma se obtiene:

c)se sabe que la esperanza condicional está dada por:

pero

y reemplazando estos valores en la sumatoria se tiene:

2) Un fabricante de circuitos integrados utilizados para controlar la temperatura en contenedores frigoríficos, determina a partir de numerosas revisiones, que el 3,5% de una remesa de estos circuitos no funcionan al ser instalados; el vende los circuitos en paquetes de 40 unidades, garantizando el correcto funcionamiento del 90% de ellos.


si y = 0

si y = 1

si y = 2

187


¿ Cuál es la probabilidad de un paquete no cumpla la garantía ?¿Cuál es la probabilidad de que funcionen al menos 15 ?

Solución:Sea X: número de circuitos que funcionan incorrectamente en un paquete determinado.

F: el paquete no cumple la garantía.

entonces la probabilidad de que el paquete no cumpla la garantía está dada por:

P(F)= P(X>4) = 1-P(X 4)

del enunciado se deduce que si n = 40 y p = 0.035 tendremos que X B(n=40,p=0.035)

luego

por lo que la probabilidad de que un paquete no cumpla la garantía es:

La probabilidad de que funcionen al menos 18 está dada por:

Ejercicios propuestos.

1) Dado que la distribución binomial corresponde a un vector aleatorio discreto bivariado, demuestre que:

a) La Esperanza de la binomial es np ó n(1-q)b) La Varianza es npq.


188


2) Sea =(X,Y) v.a.b.d., con función de cuantía conjunta dada por:

Calcular:.

Resp:


189

apunte22v1

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