apuntescálculo3

Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar

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Notas de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la Universidad Autoacutenoma de Coahuila Maestro MC Manuel Antonio Torres Gomar Material desarrollado en el semestre agosto diciembre del 2007 Licenciaturas en Matemaacuteticas Aplicadas y Fiacutesica

Uacuteltima Modificacioacuten- Febrero del 2008


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Iacutendice del contenido Capiacutetulo I Vectores helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3 Producto por un escalar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7 Ortogonalidad y producto por un escalar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 Estructura Aacutelgebraica del espacio vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Tarea 1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

Capiacutetulo II Funciones Vectoriales helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16 Funcioacuten vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 Derivadas parcialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Tarea 2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

Capiacutetulo III Trayectorias helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 Ecuacioacuten Parameacutetrica y Cartesiana de una curva helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25 Parametrizacioacuten de una circunferencia elipse e hipeacuterbola helliphelliphelliphelliphelliphellip 27 Derivada de una trayectoria helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 Tarea 3 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

Capiacutetulo IV Maacuteximos y miacutenimos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los valores criacuteticoshelliphellip 38 El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten helliphelliphelliphelliphelliphellip 40 Maacuteximos y miacutenimos con restriccines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44 Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45 Tarea 4 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 Bibliografiacutea helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51


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Capiacutetulo I Vectores Objetivo- A continuacioacuten se desarrolla los siguientes apuntes de la materia de Caacutelculo 3 que se ofrece en la Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C con la finalidad de apoyar en las carreras de Matemaacuteticas Aplicadas y Fiacutesica ofrecidas por esta Facultad A la vez se plantean algunos ejercicios con la finalidad de que el alumno sea capaz de dominar los temas de esta materia

Vector en el plano bidimensional Definicioacuten (Vector) Dados dos puntos A y B en el plano el vector AB que parte de A hacia B se define como el segmento dirigido de A hacia B Observe que tiene magnitud la cuaacutel corresponde a la distancia que separa a los puntos A y B por otra parte posee orientacioacuten en este caso va del punto A hacia el punto B

B

A

Por la forma anterior de definir un vector se puede visualizar que esta forma no es uacutenica es decir distintas parejas de puntos en el plano pueden generar el mismo vector basta con que se cumplan dos condiciones la primera que la distancia entre los puntos sea la misma y que los segmentos de liacuteneas sean paralelos

A continuacioacuten se dan algunos ejemplos de vectores que parten de

distintos puntos pero todos tienen la misma magnitud y sentido

B D A=(11) B=(33)

AB= 2

2

13

13

A C C = (41) D = (33)

F 2

2

13

46CD

E = (1-2) F = (3 0)

E EF = 2

2

)2(0

13


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De esta forma se puede establecer que dos vectores son iguales si y soacutelo si tienen la misma magnitud y sentido

Como se puede apreciar el vector generado v =12

12

yy

xx a partir de dos

puntos en el plano (x1 y1) y (x2 y2) tiene un valor uacutenico en sus componentes x2-x1 y2-y1 Esta es otra forma de identificar cuando dos vectores son iguales si componen a componente son iguales y permiten ubicar a todo vector generado en el plano

De este uacuteltimo resultado se opta por tener la idea de un vector v = b

a y

asociarlo como un punto en el plano (a b)

Otra propiedad importante de los vectores es la traslacioacuten en la primer graacutefica se puede apreciar que baacutesicamente el vector resultante es el mismo salvo su ubicacioacuten en el plano

Una vez establecida la nocioacuten de vector como una pareja ordenada de

nuacutemeros reales se puede asociar a cada vector con un punto del plano cartesiano y viceversa

Ahora que se tiene definido el concepto de vector se le daraacute una

estructura algebraica que le permitiraacute dar cuerpo a este ente matemaacutetico Por estructura matemaacutetica se entenderaacute aquellas propiedades que

permiten interactuar a los vectores entre siacute dando como resultado otro vector del mismo conjunto o en su defecto un nuacutemero real

Dentro de las interacciones que permiten relacionarse a los vectores

estaacuten la suma de vectores el producto punto producto vectorial y el producto por un escalar

Magnitud y sentido

La magnitud de un vector v = b

ase mide a partir del origen al punto

(ab) siendo esta igual a | v | = 22 ba mientras que la orientacioacuten esta

definida como el aacutengulo que se forma a partir del eje real positivo hasta la

localizacioacuten del vector en este caso el aacutengulo = tan-1

a

b

(ab)

b

v

a


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Observacioacuten- Todo vector en el plano queda completamente determinado si se conoce su magnitud y sentido o en su defecto si se conocen sus componentes (a b) De hecho se puede establecer la siguiente relacioacuten haciendo uso de las coordenadas polares

a = r Cos

b = r Sen

Definicioacuten- Dos vectores son iguales si y soacutelo si tiene la misma magnitud y sentido o si componente a componente son iguales

Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios sobre vectores que se plantean a

continuacioacuten 1- Ejercicio Determine el lugar geomeacutetrico de todos los vectores que

parten del origen y tienen magnitud 5 2- Ejercicio- Trace todos los vectores que tengan magnitud cinco y

esteacuten contenidos en la liacutenea recta de 45ordm 3- Ejercicio- Determine bajo que condiciones los siguientes vectores

son iguales V1 = (x 7) y V2 = (2 7) 4- Ejercicio- Una condicioacuten de suficiencia para que dos vectores sean

iguales consiste en que tengan la misma magnitud 5- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga

norma igual a 12 6- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga

orientacioacuten de 75ordm 7- Ejercicio- Describa todos los puntos que se encuentran en el eje X

8) Una vez establecido el concepto de vector indique la diferencia de un vector

b

acon respecto al punto en el plano (ab)

Suma de Vectores

Definicioacuten- Dados dos vectores en el plano v1 = 1

1

b

a y v2 =

2

2

b

a la

suma de ambos vectores es nuevamente un vector de dos componentes de nuacutemeros reales

v1 + v2 = 21

21

bb

aa es decir se suman componente a componente


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El siguiente diagrama muestra a los vectores involucrados en dicha

suma y el vector resultante

v2 Observe que la forma de encontrar al vector

resultante consiste en usar la propiedad de traslacioacuten de vectores y formar un paralelogramo

v1 v1+v2 v1

v2

Por otra parte si ambos vectores soacutelo poseen una componente la suma

de ambos vectores es la suma de nuacutemeros reales

Es decir soacutelo importa la magnitud de cada una de sus componentes y en

este caso la direccioacuten del vector resultante es la misma a la de los vectores originales

v1 + v2 = 000

2121 aaaa

Al intentar describir ciertos vectores en la vida real lo que se necesita es

que estos tengan magnitud y sentido Algunos de estos ejemplos son una fuerza dada que esta tiene una magnitud definida mientras que la direccioacuten se le puede asignar de varias formas Como el hecho de estirar de una cuerda la fuerza es la misma pero la direccioacuten puede ser en distintos sentidos

Observe que en la suma de dos vectores que tienen una sola componente es parecida a la idea de sumar la fuerza de dos personas a tirar o empujar un carro dando como resultado la misma direccioacuten Observe que estos vectores tienen la misma magnitud pero diferente sentido En la vida real lo podemos visualizar Como el hecho de estirar un objeto con una cuerda la cuerda se puede dirigir en distintas direcciones al igual se puede estirar el cuerpo al mismo tiempo con cinco cuerdas Otros ejemplos de vectores se dan en los conceptos de velocidad aceleracioacuten fuerza etc


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Dos vectores caracteriacutesticos del plano son los vectores canoacutenicos definidos y denotados como

i 0

1 y j =

1

0

Ambos tienen magnitud uno direccioacuten en los ejes coordenados x e y

respectivamente y a la vez son perpendiculares entre siacute (el aacutengulo entre ellos es de 90ordm) j i

Producto por un escalar Dado un vector v en el plano y un nuacutemero escalar k en los nuacutemeros reales se define el producto por un escalar como el vector

kv = k b

a =

kb

ka

Es decir el escalar k multiplica a cada una de las componentes

Ejercicio- Se deja como ejercicio probar que este vector llamado muacuteltiplo escalar del vector v tiene k veces la magnitud del vector original y si el valor de k es positivo mantiene la misma orientacioacuten en caso de tener signo negativo la direccioacuten se invierte V Muacuteltiplos escalares de V Ejercicio- Otra caracteriacutestica es que si k es mayor a 1 el vector resultante es una expansioacuten con respecto al vector original mientras que si 0 lt k lt 1 es una contraccioacuten


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Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la

siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector

Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -

Quedando expresada dicha diferencia como

= - = 12

12

yy

xx

Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j

Dado el vector V = xy

y

x

x

y

x

yo

ox

y

x

1

0

0

10

0i y j

Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector

en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)

De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma

V1+V2 = adb

ca

d

c

b

a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j

Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y

que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores

en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma

V1 V2 = dbcad

c

b

a


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Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)

Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es

cero

Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos

V1 = 2

1 V2 =

1

2 y V3 =

3

2

V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1

Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten

Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo

entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura

-

Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados

de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que

|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)

Llame = 1

1

y

x y =

2

2

y

x se tiene que

|| - || 2 = (x1-x2)

2 + (y1-y2)2

|| ||2 = (x1

2+y12) || ||2= (x2

2+y22) = x1y1+ x2y2


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Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)

2 + (y1-y2)2 = (x1

2+y12) + (x2

2+y22)

De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0

es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado

Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector

(a) V = 7

1 (b) V =

a

1 y (c) V =

a

a 1 a es un nuacutemero real

Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores

Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b

a

ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b

a=

tb

ta con t un

nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea

Sea X = y

x los puntos que pueden ser representados por medio del

vector tV entonces se tiene que X = tV esto es

y

x =

tb

ta


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De aquiacute se deduce que b

y

a

xt que permite establecer la relacioacuten

xa

by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene

al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera

Si se tiene dos vectores V = 1

1

y

x y W =

2

2

y

x estos representan a dos

puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano

Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados

(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W


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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W

A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente

(ts) = t V + s W

en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector

V = 2

1 es de dos unidades

Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores

V = 2

1 y W =

5

0

Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)

Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades


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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa

(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa

(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0

denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad

00

Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector

(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero

+ - = - + = 0

Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)


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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)

8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo


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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1


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Capitulo 2 Funciones Vectoriales

En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones

Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo

Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo

Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos

A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18

Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea

para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado

Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o

en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables

Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma

G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos


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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100

Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes

de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo

Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo

Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos

Funcioacuten Vectorial

Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm

Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten

Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como

F(x y z) = (x+y yz)

Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa

Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento


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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada

En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten

6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)

1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor


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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables

Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones

asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la

variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x

Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio

de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior

se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y

6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene

que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio

de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa

a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen

Si la funcioacuten es 2 2

1( )

9h x y

x y el dominio es casi el mismo

eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla


20

Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2

Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por

3

2

2 3 3

9

3

x

y

z

f x y z

f f xy

f x

Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w

3

2( )

4

x

y

h xh x y

h y

2

2( )

3

8

x

y

z

w

g

g yg x y z w

g

g

El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un

vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten


21

Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una

funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector


22

Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones

(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

x

4

4

(1f) h(x y) = 24

1

xy

2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas

22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz

3- Determine los siguientes liacutemites

(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)

(32) yx

zyzxzyxf

33

)( cuando (xy) tiende a (112)

(33) )00()(

)00()(

0

3

3

)(

44

32

yx

yx

Siacute

Siyx

yx

yxk cuando (xy) tienden a (00)

En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten

(34) )()(2

zxyxxxy

xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)

4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2


23

(7b) g(x y) = 22 44 yx

(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte


24

Capiacutetulo 3

Trayectorias

En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector

Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo

Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si

la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta

Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica

Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma

Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma

))()()(()( 21 txtxtxt n


25

Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama

σ(a) σ(b) a b

2][ Rba ))()(()( tytxt

Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio

Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria

Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva

Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una

graacutefica de dicha trayectoria

t ))()(()( tytxt

-2 )42()(t

-1 )11()(t

0 )00()(t

1 )11()(t

2 )42()(t


26

Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el

nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente

Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro

Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe

una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a

cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma

La graacutefica no puede ser de la siguiente forma

y2

y3

y1 y4

X1 X2

Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no

cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que

la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma

Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en

donde bta


27

-4 -2 2 4

-30

-20

-10

10

20

30

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x

=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la

parametrizacioacuten adecuada es

)102()( 3 tttt 44 t

La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es

Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola

La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y

radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en

funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo

dos funciones que son 24 xy Con 22 x

La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una

funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten

24 xy

24 xy

Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias

)4()( 2

1 ttt y )4()( 2

2 ttt 22t

Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la


28

ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma

σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la

ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias

Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12

2

2

2

b

y

a

x queda

expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado

Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12

2

2

2

b

y

a

x queda

expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa

Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se

deriva del siguiente anaacutelisis

Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten

Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es

)()()(

0

tt

tht

h

Liacutem

Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es

tangente a la curva


29

Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma

)(

)()(

ty

txt

En donde la derivada de esta funcioacuten es

)(

)()(

ty

txt

Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta

dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))

Y X

Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que

ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero

De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una

de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)


30

Vector trasladado

Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las

componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente

Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial

F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector

i j k

RotFx y z

P Q R

Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales

F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy

2j-3zyk

Solucioacuten-

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

i j k

RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y

x y z

2 2 2 2

2

2 2

( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )

3

i j k

RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y

x y xy zy

2 2

2

2 2

3 0

3

i j k

RotF z i j y x kx y z

x y xy zy


31

Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma

( )P Q R

divF div Pi Qj Rkx y z

Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x

2yi-xy

2j-3zyk

Solucioacuten-

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z

2 2 2 2

2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z

Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma

2 2 2

2

2 2 2xx yy zz

f f ff f f f f

x y z

Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x

y z) = xy2z

3 g2(x y z) = x

2 + y

2 + z

2

2 2 2

2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z

x y z

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z

x y z


32

Tarea nuacutemero 3 Trayectorias

Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que

gfgfgf


33

100 -x

Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos

Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo

Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de

maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten

Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un

punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de

centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla

La funcioacuten que representa dicho modelo es

A(x) = x(100-x) x

Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x

Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que


34

Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla

En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece

Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en

una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio

Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel


35

La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar

f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo

gradiente de esta funcioacuten y

xyxf

2

2)( indica que la funcioacuten tiene un valor

miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes

))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)

Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho

valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto

se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los

vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la

vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0


36

Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2

Solucioacuten-

(1) 0

0

2

2)(

y

xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo

existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo

(2) 0

0

2

1212)(

2

y

xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos

que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo

Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial

Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como

2

1

2

22

2

2

2

21212

1)(

h

h

y

f

yx

f

xy

f

x

f

hhhhH

Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico

Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente

positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto


37

Corolario- Si la matriz asociada A=cb

ba de una forma cuadraacutetica dos

por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0

Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten

2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento

del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones

(i) 0)( 0xx

f y 0)( 0x

y

f

(ii) )( 02

2

xx

f gt 0

(iii) )( 02

2

xx

f)( 02

2

xy

f)(

2

2

oxx

f)( 02

2

xx

f gt 0

Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores

(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es

2

1

212100

02

2

1)(

h

hhhhhH

Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de

la funcioacuten 20

02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la

funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen

(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es

2

1

212120

024

2

1)(

h

hxhhhhHg

Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)

2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg


38

En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla

En el (10)

2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg

En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo

Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la

solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive

Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los

valores criacuteticos

Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es

2

2

120

012

y

x y al evaluar en el origen queda expresada como

00

00

)0(120

0)0(122

2

En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de

la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros


39

Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en

donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla

Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este

problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones

En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X

El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente

00

02)(1 yxH

00

02)(2 yxH

00

03)(3

xyxH

Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy

se anula en cada caso

Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla

Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos

no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene

un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)

La matriz del Hessiano asociado es

00

012)(

2

1

xyxH y evaluando en el punto

00

00)0(1 yH


40

En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo

realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma

El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten

Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

H

21

22221

11211

De aquiacute se definen las siguientes matrices

111 aH 2221

1211

2aa

aaH hellip HH n

Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los

siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos

0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)

En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo

0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )


41

En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero

Existe un i tal que 0det iH

Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones

033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw

Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta

2000

0200

0060

0006

y

x

H

Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices

2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H y

2000

0200

0060

0006

)0011(H

Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo


42

Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano

(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)

(2) g(x y) = 22 yx (Cono)

(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2

Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)

La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten

2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd

Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con

analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2

entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)

2x

1x

x1 x2


43

De este modo la funcioacuten a maximizar es

2222222

11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd

De aquiacute al las derivadas parciales son

)(4)1(2)( 22

1 yxxxyxfd x y )(42)( 22

1 yxyyyxfd y

Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente

ecuacioacuten

)(4

)(4

2

2222

22

yxy

yxx

y

x (3)

De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una

contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en

que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx

El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado

que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces

son 2

1 y como

2

1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se

obtiene que 4

1

2

1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1

2

1

Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2

10x se obtiene

que 6010

6

2

54

1

2

1

)(

)(

0

0

01xf

xfxx

Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el

cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es

24128

82412)(

22

22

xyxy

xyyxyxH

Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a

)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH


44

Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H

Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es

decir la se obtuvo la distancia miacutenima

Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones

Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes

Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta

graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida

al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en

los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura

Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta

funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)


45

Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc

entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf

Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)

nnnn

n

n

xxxxx

xxxxx

xx

hhg

hhg

gg

H

1

1111

10

||

Ahora defina los siguientes determinantes

22122

21111

210

|| 1

xxxxx

xxxxx

xx

hhg

hhg

gg

H

3323131

3222121

3121111

3210

|| 2

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxx

hhhg

hhhg

hhhg

ggg

H ||det|| HHn

Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)

[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)

[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1


46

)(2

2

2

2)( 00 Xg

g

g

y

x

y

x

f

fXf

y

x

y

x

de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es

2202

0222

220

||

y

x

yx

H

El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando

cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0

De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange

)(2

2

2

2)( 00 Xg

g

g

y

x

y

x

f

fXf

y

x

y

x

de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4


47

Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es

2202

0222

220

||

y

x

yx

H

El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora

evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0

De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)

Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos

puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente

3

1

2

)( 0

z

y

x

f

f

f

Xf

De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente

)(

2

2

2

3

1

2

)( 00 Xg

z

y

x

f

f

f

Xf

z

y

x


48

De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36

Resolviendo el sistema se concluye que 2

1

1yx amp

2

3z Ahora

sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son

18

14

14

1427

14

149

14

1418amp

18

14

14

1427

14

149

14

1418

La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es

2002

0202

0022

2220

||

z

y

x

zyx

H

De aquiacute

0

0)(8

202

022

220

|| 22

1si

siyx

y

x

yx

H

0576)(16

2002

0202

0022

2220

|| 22222 zyx

z

y

x

zyx

H


49

De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo

en el punto 18

14

14

1427

14

149

14

1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un

maacuteximo en el punto 18

14

14

1427

14

149

14

1418


50

Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos

Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)

2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)


51

Bibliografiacutea

1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana

2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores

3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica


2

Iacutendice del contenido Capiacutetulo I Vectores helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3 Producto por un escalar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7 Ortogonalidad y producto por un escalar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 Estructura Aacutelgebraica del espacio vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Tarea 1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

Capiacutetulo II Funciones Vectoriales helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16 Funcioacuten vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 Derivadas parcialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Tarea 2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

Capiacutetulo III Trayectorias helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 Ecuacioacuten Parameacutetrica y Cartesiana de una curva helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25 Parametrizacioacuten de una circunferencia elipse e hipeacuterbola helliphelliphelliphelliphelliphellip 27 Derivada de una trayectoria helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 Tarea 3 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

Capiacutetulo IV Maacuteximos y miacutenimos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los valores criacuteticoshelliphellip 38 El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten helliphelliphelliphelliphelliphellip 40 Maacuteximos y miacutenimos con restriccines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44 Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45 Tarea 4 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 Bibliografiacutea helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51


3



B

A




B D A=(11) B=(33)

AB= 2

2

13

13

A C C = (41) D = (33)

F 2

2

13

46CD

E = (1-2) F = (3 0)

E EF = 2

2

)2(0

13


4



12

yy

xx a partir de dos



a y










Magnitud y sentido






a

b

(ab)

b

v

a


5


a = r Cos

b = r Sen











b


Suma de Vectores


1

b

a y v2 =

2

2

b

a la


v1 + v2 = 21

21

bb



6





v1 v1+v2 v1

v2





v1 + v2 = 000

2121 aaaa





7


i 0

1 y j =

1

0




kv = k b

a =

kb

ka




8





= - = 12

12

yy

xx



y

x

x

y

x

yo

ox

y

x

1

0

0

10

0i y j




V1+V2 = adb

ca

d

c

b

a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j




V1 V2 = dbcad

c

b

a


9



cero


V1 = 2

1 V2 =

1

2 y V3 =

3

2

V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1




-




Llame = 1

1

y

x y =

2

2

y

x se tiene que

|| - || 2 = (x1-x2)

2 + (y1-y2)2

|| ||2 = (x1

2+y12) || ||2= (x2

2+y22) = x1y1+ x2y2


10


2 + (y1-y2)2 = (x1

2+y12) + (x2

2+y22)




(a) V = 7

1 (b) V =

a

1 y (c) V =

a




a


a=

tb

ta con t un


Sea X = y



y

x =

tb

ta


11


y

a


xa




1

y

x y W =

2

2

y






12

B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W


(ts) = t V + s W


V = 2



V = 2

1 y W =

5

0




13





00



+ - = - + = 0



14




15



16






A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














1( )

9h x y




20



3

2

2 3 3

9

3

x

y

z

f x y z

f f xy

f x


3

2( )

4

x

y

h xh x y

h y

2

2( )

3

8

x

y

z

w

g

g yg x y z w

g

g




21




22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

x

4

4

(1f) h(x y) = 24

1

xy





(32) yx

zyzxzyxf

33


(33) )00()(

)00()(

0

3

3

)(

44

32

yx

yx

Siacute

Siyx

yx



(34) )()(2

zxyxxxy




23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








))()()(()( 21 txtxtxt n


25


σ(a) σ(b) a b

2][ Rba ))()(()( tytxt






t ))()(()( tytxt

-2 )42()(t

-1 )11()(t

0 )00()(t

1 )11()(t

2 )42()(t


26








y2

y3

y1 y4

X1 X2





donde bta


27

-4 -2 2 4

-30

-20

-10

10

20

30

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2




)102()( 3 tttt 44 t









24 xy

24 xy


)4()( 2

1 ttt y )4()( 2

2 ttt 22t



28





2

2

2

b

y

a

x queda



2

2

2

b

y

a

x queda






)()()(

0

tt

tht

h

Liacutem


tangente a la curva


29


)(

)()(

ty

txt


)(

)()(

ty

txt



Y X






30

Vector trasladado





i j k

RotFx y z

P Q R



2j-3zyk

Solucioacuten-

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

i j k


x y z

2 2 2 2

2

2 2

( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )

3

i j k


x y xy zy

2 2

2

2 2

3 0

3

i j k


x y xy zy


31


( )P Q R



2yi-xy

2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



2 2 2

2

2 2 2xx yy zz

f f ff f f f f

x y z


y z) = xy2z

3 g2(x y z) = x

2 + y

2 + z

2

2 2 2

2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2


x y z

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z

x y z


32



gfgfgf


33

100 -x









A(x) = x(100-x) x




34







35




xyxf

2










36


Solucioacuten-

(1) 0

0

2

2)(

y



(2) 0

0

2

1212)(

2

y





2

1

2

22

2

2

2

21212

1)(

h

h

y

f

yx

f

xy

f

x

f

hhhhH





37







(i) 0)( 0xx

f y 0)( 0x

y

f

(ii) )( 02

2

xx

f gt 0

(iii) )( 02

2

xx

f)( 02

2

xy

f)(

2

2

oxx

f)( 02

2

xx

f gt 0



2

1

212100

02

2

1)(

h

hhhhhH


la funcioacuten 20




2

1

212120

024

2

1)(

h

hxhhhhHg


2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg


38


En el (10)

2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg







2

2

120

012

y


00

00

)0(120

0)0(122

2




39







00

02)(1 yxH

00

02)(2 yxH

00

03)(3

xyxH








00

012)(

2

1


00

00)0(1 yH


40





nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

H

21

22221

11211


111 aH 2221

1211

2aa

aaH hellip HH n







41






2000

0200

0060

0006

y

x

H


2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H y

2000

0200

0060

0006

)0011(H



42



(2) g(x y) = 22 yx (Cono)




2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd




2x

1x

x1 x2


43


2222222



)(4)1(2)( 22


1 yxyyyxfd y


ecuacioacuten

)(4

)(4

2

2222

22

yxy

yxx

y

x (3)






son 2

1 y como

2


obtiene que 4

1

2


2

1


10x se obtiene

que 6010

6

2

54

1

2

1

)(

)(

0

0

01xf

xfxx



24128

82412)(

22

22

xyxy

xyyxyxH


)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH


44













45




nnnn

n

n

xxxxx

xxxxx

xx

hhg

hhg

gg

H

1

1111

10

||


22122

21111

210

|| 1

xxxxx

xxxxx

xx

hhg

hhg

gg

H

3323131

3222121

3121111

3210

|| 2

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxx

hhhg

hhhg

hhhg

ggg

H ||det|| HHn





46

)(2

2

2

2)( 00 Xg

g

g

y

x

y

x

f

fXf

y

x

y

x


2202

0222

220

||

y

x

yx

H




)(2

2

2

2)( 00 Xg

g

g

y

x

y

x

f

fXf

y

x

y

x



47


2202

0222

220

||

y

x

yx

H






3

1

2

)( 0

z

y

x

f

f

f

Xf


)(

2

2

2

3

1

2

)( 00 Xg

z

y

x

f

f

f

Xf

z

y

x


48



1

1yx amp

2

3z Ahora


18

14

14

1427

14

149

14

1418amp

18

14

14

1427

14

149

14

1418


2002

0202

0022

2220

||

z

y

x

zyx

H

De aquiacute

0

0)(8

202

022

220

|| 22

1si

siyx

y

x

yx

H

0576)(16

2002

0202

0022

2220

|| 22222 zyx

z

y

x

zyx

H


49


en el punto 18

14

14

1427

14

149

14



14

14

1427

14

149

14

1418


50





51

Bibliografiacutea





3



B

A




B D A=(11) B=(33)

AB= 2

2

13

13

A C C = (41) D = (33)

F 2

2

13

46CD

E = (1-2) F = (3 0)

E EF = 2

2

)2(0

13


4



12

yy

xx a partir de dos



a y










Magnitud y sentido






a

b

(ab)

b

v

a


5


a = r Cos

b = r Sen











b


Suma de Vectores


1

b

a y v2 =

2

2

b

a la


v1 + v2 = 21

21

bb



6





v1 v1+v2 v1

v2





v1 + v2 = 000

2121 aaaa





7


i 0

1 y j =

1

0




kv = k b

a =

kb

ka




8





= - = 12

12

yy

xx



y

x

x

y

x

yo

ox

y

x

1

0

0

10

0i y j




V1+V2 = adb

ca

d

c

b

a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j




V1 V2 = dbcad

c

b

a


9



cero


V1 = 2

1 V2 =

1

2 y V3 =

3

2

V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1




-




Llame = 1

1

y

x y =

2

2

y

x se tiene que

|| - || 2 = (x1-x2)

2 + (y1-y2)2

|| ||2 = (x1

2+y12) || ||2= (x2

2+y22) = x1y1+ x2y2


10


2 + (y1-y2)2 = (x1

2+y12) + (x2

2+y22)




(a) V = 7

1 (b) V =

a

1 y (c) V =

a




a


a=

tb

ta con t un


Sea X = y



y

x =

tb

ta


11


y

a


xa




1

y

x y W =

2

2

y






12

B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W


(ts) = t V + s W


V = 2



V = 2

1 y W =

5

0




13





00



+ - = - + = 0



14




15



16






A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














1( )

9h x y




20



3

2

2 3 3

9

3

x

y

z

f x y z

f f xy

f x


3

2( )

4

x

y

h xh x y

h y

2

2( )

3

8

x

y

z

w

g

g yg x y z w

g

g




21




22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

x

4

4

(1f) h(x y) = 24

1

xy





(32) yx

zyzxzyxf

33


(33) )00()(

)00()(

0

3

3

)(

44

32

yx

yx

Siacute

Siyx

yx



(34) )()(2

zxyxxxy




23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








))()()(()( 21 txtxtxt n


25


σ(a) σ(b) a b

2][ Rba ))()(()( tytxt






t ))()(()( tytxt

-2 )42()(t

-1 )11()(t

0 )00()(t

1 )11()(t

2 )42()(t


26








y2

y3

y1 y4

X1 X2





donde bta


27

-4 -2 2 4

-30

-20

-10

10

20

30

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2




)102()( 3 tttt 44 t









24 xy

24 xy


)4()( 2

1 ttt y )4()( 2

2 ttt 22t



28





2

2

2

b

y

a

x queda



2

2

2

b

y

a

x queda






)()()(

0

tt

tht

h

Liacutem


tangente a la curva


29


)(

)()(

ty

txt


)(

)()(

ty

txt



Y X






30

Vector trasladado





i j k

RotFx y z

P Q R



2j-3zyk

Solucioacuten-

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

i j k


x y z

2 2 2 2

2

2 2

( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )

3

i j k


x y xy zy

2 2

2

2 2

3 0

3

i j k


x y xy zy


31


( )P Q R



2yi-xy

2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



2 2 2

2

2 2 2xx yy zz

f f ff f f f f

x y z


y z) = xy2z

3 g2(x y z) = x

2 + y

2 + z

2

2 2 2

2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2


x y z

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z

x y z


32



gfgfgf


33

100 -x









A(x) = x(100-x) x




34







35




xyxf

2










36


Solucioacuten-

(1) 0

0

2

2)(

y



(2) 0

0

2

1212)(

2

y





2

1

2

22

2

2

2

21212

1)(

h

h

y

f

yx

f

xy

f

x

f

hhhhH





37







(i) 0)( 0xx

f y 0)( 0x

y

f

(ii) )( 02

2

xx

f gt 0

(iii) )( 02

2

xx

f)( 02

2

xy

f)(

2

2

oxx

f)( 02

2

xx

f gt 0



2

1

212100

02

2

1)(

h

hhhhhH


la funcioacuten 20




2

1

212120

024

2

1)(

h

hxhhhhHg


2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg


38


En el (10)

2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg







2

2

120

012

y


00

00

)0(120

0)0(122

2




39







00

02)(1 yxH

00

02)(2 yxH

00

03)(3

xyxH








00

012)(

2

1


00

00)0(1 yH


40





nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

H

21

22221

11211


111 aH 2221

1211

2aa

aaH hellip HH n







41






2000

0200

0060

0006

y

x

H


2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H y

2000

0200

0060

0006

)0011(H



42



(2) g(x y) = 22 yx (Cono)




2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd




2x

1x

x1 x2


43


2222222



)(4)1(2)( 22


1 yxyyyxfd y


ecuacioacuten

)(4

)(4

2

2222

22

yxy

yxx

y

x (3)






son 2

1 y como

2


obtiene que 4

1

2


2

1


10x se obtiene

que 6010

6

2

54

1

2

1

)(

)(

0

0

01xf

xfxx



24128

82412)(

22

22

xyxy

xyyxyxH


)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH


44













45




nnnn

n

n

xxxxx

xxxxx

xx

hhg

hhg

gg

H

1

1111

10

||


22122

21111

210

|| 1

xxxxx

xxxxx

xx

hhg

hhg

gg

H

3323131

3222121

3121111

3210

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xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxx

hhhg

hhhg

hhhg

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H ||det|| HHn





46

)(2

2

2

2)( 00 Xg

g

g

y

x

y

x

f

fXf

y

x

y

x


2202

0222

220

||

y

x

yx

H




)(2

2

2

2)( 00 Xg

g

g

y

x

y

x

f

fXf

y

x

y

x



47


2202

0222

220

||

y

x

yx

H






3

1

2

)( 0

z

y

x

f

f

f

Xf


)(

2

2

2

3

1

2

)( 00 Xg

z

y

x

f

f

f

Xf

z

y

x


48



1

1yx amp

2

3z Ahora


18

14

14

1427

14

149

14

1418amp

18

14

14

1427

14

149

14

1418


2002

0202

0022

2220

||

z

y

x

zyx

H

De aquiacute

0

0)(8

202

022

220

|| 22

1si

siyx

y

x

yx

H

0576)(16

2002

0202

0022

2220

|| 22222 zyx

z

y

x

zyx

H


49


en el punto 18

14

14

1427

14

149

14



14

14

1427

14

149

14

1418


50





51

Bibliografiacutea





4



12

yy

xx a partir de dos



a y










Magnitud y sentido






a

b

(ab)

b

v

a


5


a = r Cos

b = r Sen











b


Suma de Vectores


1

b

a y v2 =

2

2

b

a la


v1 + v2 = 21

21

bb



6





v1 v1+v2 v1

v2





v1 + v2 = 000

2121 aaaa





7


i 0

1 y j =

1

0




kv = k b

a =

kb

ka




8





= - = 12

12

yy

xx



y

x

x

y

x

yo

ox

y

x

1

0

0

10

0i y j




V1+V2 = adb

ca

d

c

b

a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j




V1 V2 = dbcad

c

b

a


9



cero


V1 = 2

1 V2 =

1

2 y V3 =

3

2

V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1




-




Llame = 1

1

y

x y =

2

2

y

x se tiene que

|| - || 2 = (x1-x2)

2 + (y1-y2)2

|| ||2 = (x1

2+y12) || ||2= (x2

2+y22) = x1y1+ x2y2


10


2 + (y1-y2)2 = (x1

2+y12) + (x2

2+y22)




(a) V = 7

1 (b) V =

a

1 y (c) V =

a




a


a=

tb

ta con t un


Sea X = y



y

x =

tb

ta


11


y

a


xa




1

y

x y W =

2

2

y






12

B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W


(ts) = t V + s W


V = 2



V = 2

1 y W =

5

0




13





00



+ - = - + = 0



14




15



16






A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














1( )

9h x y




20



3

2

2 3 3

9

3

x

y

z

f x y z

f f xy

f x


3

2( )

4

x

y

h xh x y

h y

2

2( )

3

8

x

y

z

w

g

g yg x y z w

g

g




21




22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

x

4

4

(1f) h(x y) = 24

1

xy





(32) yx

zyzxzyxf

33


(33) )00()(

)00()(

0

3

3

)(

44

32

yx

yx

Siacute

Siyx

yx



(34) )()(2

zxyxxxy




23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








))()()(()( 21 txtxtxt n


25


σ(a) σ(b) a b

2][ Rba ))()(()( tytxt






t ))()(()( tytxt

-2 )42()(t

-1 )11()(t

0 )00()(t

1 )11()(t

2 )42()(t


26








y2

y3

y1 y4

X1 X2





donde bta


27

-4 -2 2 4

-30

-20

-10

10

20

30

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2




)102()( 3 tttt 44 t









24 xy

24 xy


)4()( 2

1 ttt y )4()( 2

2 ttt 22t



28





2

2

2

b

y

a

x queda



2

2

2

b

y

a

x queda






)()()(

0

tt

tht

h

Liacutem


tangente a la curva


29


)(

)()(

ty

txt


)(

)()(

ty

txt



Y X






30

Vector trasladado





i j k

RotFx y z

P Q R



2j-3zyk

Solucioacuten-

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

i j k


x y z

2 2 2 2

2

2 2

( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )

3

i j k


x y xy zy

2 2

2

2 2

3 0

3

i j k


x y xy zy


31


( )P Q R



2yi-xy

2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



2 2 2

2

2 2 2xx yy zz

f f ff f f f f

x y z


y z) = xy2z

3 g2(x y z) = x

2 + y

2 + z

2

2 2 2

2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2


x y z

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z

x y z


32



gfgfgf


33

100 -x









A(x) = x(100-x) x




34







35




xyxf

2










36


Solucioacuten-

(1) 0

0

2

2)(

y



(2) 0

0

2

1212)(

2

y





2

1

2

22

2

2

2

21212

1)(

h

h

y

f

yx

f

xy

f

x

f

hhhhH





37







(i) 0)( 0xx

f y 0)( 0x

y

f

(ii) )( 02

2

xx

f gt 0

(iii) )( 02

2

xx

f)( 02

2

xy

f)(

2

2

oxx

f)( 02

2

xx

f gt 0



2

1

212100

02

2

1)(

h

hhhhhH


la funcioacuten 20




2

1

212120

024

2

1)(

h

hxhhhhHg


2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg


38


En el (10)

2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg







2

2

120

012

y


00

00

)0(120

0)0(122

2




39







00

02)(1 yxH

00

02)(2 yxH

00

03)(3

xyxH








00

012)(

2

1


00

00)0(1 yH


40





nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

H

21

22221

11211


111 aH 2221

1211

2aa

aaH hellip HH n







41






2000

0200

0060

0006

y

x

H


2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H y

2000

0200

0060

0006

)0011(H



42



(2) g(x y) = 22 yx (Cono)




2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd




2x

1x

x1 x2


43


2222222



)(4)1(2)( 22


1 yxyyyxfd y


ecuacioacuten

)(4

)(4

2

2222

22

yxy

yxx

y

x (3)






son 2

1 y como

2


obtiene que 4

1

2


2

1


10x se obtiene

que 6010

6

2

54

1

2

1

)(

)(

0

0

01xf

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24128

82412)(

22

22

xyxy

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)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH


44













45




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n

n

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1

1111

10

||


22122

21111

210

|| 1

xxxxx

xxxxx

xx

hhg

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3323131

3222121

3121111

3210

|| 2

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxx

hhhg

hhhg

hhhg

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H ||det|| HHn





46

)(2

2

2

2)( 00 Xg

g

g

y

x

y

x

f

fXf

y

x

y

x


2202

0222

220

||

y

x

yx

H




)(2

2

2

2)( 00 Xg

g

g

y

x

y

x

f

fXf

y

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y

x



47


2202

0222

220

||

y

x

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H






3

1

2

)( 0

z

y

x

f

f

f

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)(

2

2

2

3

1

2

)( 00 Xg

z

y

x

f

f

f

Xf

z

y

x


48



1

1yx amp

2

3z Ahora


18

14

14

1427

14

149

14

1418amp

18

14

14

1427

14

149

14

1418


2002

0202

0022

2220

||

z

y

x

zyx

H

De aquiacute

0

0)(8

202

022

220

|| 22

1si

siyx

y

x

yx

H

0576)(16

2002

0202

0022

2220

|| 22222 zyx

z

y

x

zyx

H


49


en el punto 18

14

14

1427

14

149

14



14

14

1427

14

149

14

1418


50





51

Bibliografiacutea





5


a = r Cos

b = r Sen











b


Suma de Vectores


1

b

a y v2 =

2

2

b

a la


v1 + v2 = 21

21

bb



6





v1 v1+v2 v1

v2





v1 + v2 = 000

2121 aaaa





7


i 0

1 y j =

1

0




kv = k b

a =

kb

ka




8





= - = 12

12

yy

xx



y

x

x

y

x

yo

ox

y

x

1

0

0

10

0i y j




V1+V2 = adb

ca

d

c

b

a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j




V1 V2 = dbcad

c

b

a


9



cero


V1 = 2

1 V2 =

1

2 y V3 =

3

2

V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1




-




Llame = 1

1

y

x y =

2

2

y

x se tiene que

|| - || 2 = (x1-x2)

2 + (y1-y2)2

|| ||2 = (x1

2+y12) || ||2= (x2

2+y22) = x1y1+ x2y2


10


2 + (y1-y2)2 = (x1

2+y12) + (x2

2+y22)




(a) V = 7

1 (b) V =

a

1 y (c) V =

a




a


a=

tb

ta con t un


Sea X = y



y

x =

tb

ta


11


y

a


xa




1

y

x y W =

2

2

y






12

B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W


(ts) = t V + s W


V = 2



V = 2

1 y W =

5

0




13





00



+ - = - + = 0



14




15



16






A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














1( )

9h x y




20



3

2

2 3 3

9

3

x

y

z

f x y z

f f xy

f x


3

2( )

4

x

y

h xh x y

h y

2

2( )

3

8

x

y

z

w

g

g yg x y z w

g

g




21




22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

x

4

4

(1f) h(x y) = 24

1

xy





(32) yx

zyzxzyxf

33


(33) )00()(

)00()(

0

3

3

)(

44

32

yx

yx

Siacute

Siyx

yx



(34) )()(2

zxyxxxy




23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








))()()(()( 21 txtxtxt n


25


σ(a) σ(b) a b

2][ Rba ))()(()( tytxt






t ))()(()( tytxt

-2 )42()(t

-1 )11()(t

0 )00()(t

1 )11()(t

2 )42()(t


26








y2

y3

y1 y4

X1 X2





donde bta


27

-4 -2 2 4

-30

-20

-10

10

20

30

-2 -1 1 2

-2

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1

2




)102()( 3 tttt 44 t









24 xy

24 xy


)4()( 2

1 ttt y )4()( 2

2 ttt 22t



28





2

2

2

b

y

a

x queda



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2

2

b

y

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0

tt

tht

h

Liacutem


tangente a la curva


29


)(

)()(

ty

txt


)(

)()(

ty

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Y X






30

Vector trasladado





i j k

RotFx y z

P Q R



2j-3zyk

Solucioacuten-

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

i j k


x y z

2 2 2 2

2

2 2

( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )

3

i j k


x y xy zy

2 2

2

2 2

3 0

3

i j k


x y xy zy


31


( )P Q R



2yi-xy

2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



2 2 2

2

2 2 2xx yy zz

f f ff f f f f

x y z


y z) = xy2z

3 g2(x y z) = x

2 + y

2 + z

2

2 2 2

2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2


x y z

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z

x y z


32



gfgfgf


33

100 -x









A(x) = x(100-x) x




34







35




xyxf

2










36


Solucioacuten-

(1) 0

0

2

2)(

y



(2) 0

0

2

1212)(

2

y





2

1

2

22

2

2

2

21212

1)(

h

h

y

f

yx

f

xy

f

x

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hhhhH





37







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f y 0)( 0x

y

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(ii) )( 02

2

xx

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(iii) )( 02

2

xx

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2

xy

f)(

2

2

oxx

f)( 02

2

xx

f gt 0



2

1

212100

02

2

1)(

h

hhhhhH


la funcioacuten 20




2

1

212120

024

2

1)(

h

hxhhhhHg


2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg


38


En el (10)

2

1

212120

024

2

1)(

h

hhhhhHg







2

2

120

012

y


00

00

)0(120

0)0(122

2




39







00

02)(1 yxH

00

02)(2 yxH

00

03)(3

xyxH








00

012)(

2

1


00

00)0(1 yH


40





nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

H

21

22221

11211


111 aH 2221

1211

2aa

aaH hellip HH n







41






2000

0200

0060

0006

y

x

H


2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H y

2000

0200

0060

0006

)0011(H



42



(2) g(x y) = 22 yx (Cono)




2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd




2x

1x

x1 x2


43


2222222



)(4)1(2)( 22


1 yxyyyxfd y


ecuacioacuten

)(4

)(4

2

2222

22

yxy

yxx

y

x (3)






son 2

1 y como

2


obtiene que 4

1

2


2

1


10x se obtiene

que 6010

6

2

54

1

2

1

)(

)(

0

0

01xf

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24128

82412)(

22

22

xyxy

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)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH


44













45




nnnn

n

n

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22122

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H

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3222121

3121111

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xxxxxxx

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hhhg

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46

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2

2

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g

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y

x

y

x

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2202

0222

220

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y

x

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)(2

2

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2)( 00 Xg

g

g

y

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y

x

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y

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47


2202

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y

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1

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)( 0

z

y

x

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f

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)(

2

2

2

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y

x

f

f

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48



1

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2

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18

14

14

1427

14

149

14

1418amp

18

14

14

1427

14

149

14

1418


2002

0202

0022

2220

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z

y

x

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De aquiacute

0

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202

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0576)(16

2002

0202

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z

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H


49


en el punto 18

14

14

1427

14

149

14



14

14

1427

14

149

14

1418


50





51

Bibliografiacutea





6





v1 v1+v2 v1

v2





v1 + v2 = 000

2121 aaaa





7


i 0

1 y j =

1

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kv = k b

a =

kb

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8





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12

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y

x

x

y

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V1+V2 = adb

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c

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V1 V2 = dbcad

c

b

a


9



cero


V1 = 2

1 V2 =

1

2 y V3 =

3

2

V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1




-




Llame = 1

1

y

x y =

2

2

y

x se tiene que

|| - || 2 = (x1-x2)

2 + (y1-y2)2

|| ||2 = (x1

2+y12) || ||2= (x2

2+y22) = x1y1+ x2y2


10


2 + (y1-y2)2 = (x1

2+y12) + (x2

2+y22)




(a) V = 7

1 (b) V =

a

1 y (c) V =

a




a


a=

tb

ta con t un


Sea X = y



y

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tb

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11


y

a


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1

y

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2

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y






12

B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W


(ts) = t V + s W


V = 2



V = 2

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5

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13





00



+ - = - + = 0



14




15



16






A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














1( )

9h x y




20



3

2

2 3 3

9

3

x

y

z

f x y z

f f xy

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3

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4

x

y

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h y

2

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3

8

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w

g

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g

g




21




22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

x

4

4

(1f) h(x y) = 24

1

xy





(32) yx

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33


(33) )00()(

)00()(

0

3

3

)(

44

32

yx

yx

Siacute

Siyx

yx



(34) )()(2

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23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








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25


σ(a) σ(b) a b

2][ Rba ))()(()( tytxt






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-1 )11()(t

0 )00()(t

1 )11()(t

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26








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X1 X2





donde bta


27

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-30

-20

-10

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20

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-2 -1 1 2

-2

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1

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)102()( 3 tttt 44 t









24 xy

24 xy


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2 ttt 22t



28





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b

y

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x queda



2

2

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0

tt

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h

Liacutem


tangente a la curva


29


)(

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ty

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)(

)()(

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Y X






30

Vector trasladado





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RotFx y z

P Q R



2j-3zyk

Solucioacuten-

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

i j k


x y z

2 2 2 2

2

2 2

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3

i j k


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2 2

2

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i j k


x y xy zy


31


( )P Q R



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2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



2 2 2

2

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x y z


y z) = xy2z

3 g2(x y z) = x

2 + y

2 + z

2

2 2 2

2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2


x y z

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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x y z


32



gfgfgf


33

100 -x









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34







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2










36


Solucioacuten-

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0

2

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y



(2) 0

0

2

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2

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1

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2

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h

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37







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2

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2

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212100

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la funcioacuten 20




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1

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1

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38


En el (10)

2

1

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39







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2

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40





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n

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aaa

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21

22221

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41






2000

0200

0060

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y

x

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2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

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2000

0200

0060

0006

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42



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43


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)(4

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1

2


2

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10x se obtiene

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6

2

54

1

2

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)(

0

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44













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g

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47


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1

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48



1

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2

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14

14

1427

14

149

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1418amp

18

14

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1427

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2002

0202

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49


en el punto 18

14

14

1427

14

149

14



14

14

1427

14

149

14

1418


50





51

Bibliografiacutea





7


i 0

1 y j =

1

0




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8





= - = 12

12

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x

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V1+V2 = adb

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V1 V2 = dbcad

c

b

a


9



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V1 = 2

1 V2 =

1

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3

2

V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1




-




Llame = 1

1

y

x y =

2

2

y

x se tiene que

|| - || 2 = (x1-x2)

2 + (y1-y2)2

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2+y12) || ||2= (x2

2+y22) = x1y1+ x2y2


10


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a

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a




a


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V = 2

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5

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14




15



16






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B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














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20



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g yg x y z w

g

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21




22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

x

4

4

(1f) h(x y) = 24

1

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(32) yx

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33


(33) )00()(

)00()(

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44

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yx

yx

Siacute

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(34) )()(2

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23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








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25


σ(a) σ(b) a b

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-1 )11()(t

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1 )11()(t

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26








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donde bta


27

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29


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Vector trasladado





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RotFx y z

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Solucioacuten-

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2 2 2 2

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31


( )P Q R



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2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



2 2 2

2

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y z) = xy2z

3 g2(x y z) = x

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2

2 2 2

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x y z

2 2 2

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32



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34







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2










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Solucioacuten-

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2000

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0060

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)0011(H

2000

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0060

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2000

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2000

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42



(2) g(x y) = 22 yx (Cono)




2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd




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2222222



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ecuacioacuten

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son 2

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2


obtiene que 4

1

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10x se obtiene

que 6010

6

2

54

1

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)(

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24128

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22

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49


en el punto 18

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14

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1418


50





51

Bibliografiacutea





8





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V1 V2 = dbcad

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9



cero


V1 = 2

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1

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V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1




-




Llame = 1

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y

x y =

2

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y

x se tiene que

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2 + (y1-y2)2

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2+y22) = x1y1+ x2y2


10


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(a) V = 7

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12

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5

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13





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14




15



16






A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














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g

g yg x y z w

g

g




21




22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

x

4

4

(1f) h(x y) = 24

1

xy





(32) yx

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33


(33) )00()(

)00()(

0

3

3

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44

32

yx

yx

Siacute

Siyx

yx



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23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








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25


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27

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-30

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10

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1

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28





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y

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2

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0

tt

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Liacutem


tangente a la curva


29


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Y X






30

Vector trasladado





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Solucioacuten-

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i j k


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i j k


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i j k


x y xy zy


31


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2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



2 2 2

2

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x y z

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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32



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33

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34







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2










36


Solucioacuten-

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2

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38


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39







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2

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41






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0200

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2000

0200

0060

0006

)0011(H

2000

0200

0060

0006

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2000

0200

0060

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43


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44













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47


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48



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18

14

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149

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2002

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2002

0202

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49


en el punto 18

14

14

1427

14

149

14



14

14

1427

14

149

14

1418


50





51

Bibliografiacutea





9



cero


V1 = 2

1 V2 =

1

2 y V3 =

3

2

V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3

V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1




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2

2

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2 + (y1-y2)2

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2+y12) || ||2= (x2

2+y22) = x1y1+ x2y2


10


2 + (y1-y2)2 = (x1

2+y12) + (x2

2+y22)




(a) V = 7

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a

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a




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12

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V = 2

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5

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14




15



16






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B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









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18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














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20



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22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

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33


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yx

yx

Siacute

Siyx

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23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








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25


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26








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donde bta


27

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-30

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29


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30

Vector trasladado





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P Q R



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Solucioacuten-

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

i j k


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2 2 2 2

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2 2

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31


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2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



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32



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33

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34







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2










36


Solucioacuten-

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37







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0200

0060

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0200

0060

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2000

0200

0060

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2000

0200

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2000

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42



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48



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14

14

1427

14

149

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49


en el punto 18

14

14

1427

14

149

14



14

14

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14

149

14

1418


50





51

Bibliografiacutea





10


2 + (y1-y2)2 = (x1

2+y12) + (x2

2+y22)




(a) V = 7

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12

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14




15



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A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














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(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

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(1e) f(x y) = y

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Siacute

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23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








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25


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26








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X1 X2





donde bta


27

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-30

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20

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-2 -1 1 2

-2

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28





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Liacutem


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29


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Y X






30

Vector trasladado





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Solucioacuten-

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i j k


x y z

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i j k


x y xy zy


31


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Solucioacuten-


2 2 2 2



2 2 2

2

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32



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49


en el punto 18

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14

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50





51

Bibliografiacutea





11


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2

2

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12

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5

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17

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18



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19














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(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

(1e) f(x y) = y

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que 6010

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49


en el punto 18

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50





51

Bibliografiacutea





12

B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W


(ts) = t V + s W


V = 2



V = 2

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17

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18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



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23

(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








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25


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donde bta


27

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Solucioacuten-


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14

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14



14

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50





51

Bibliografiacutea





13





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14




15



16






A 30 20 5 5 10 8 2

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17

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50





51

Bibliografiacutea





14




15



16






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17

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Capiacutetulo 3

Trayectorias








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49


en el punto 18

14

14

1427

14

149

14



14

14

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1418


50





51

Bibliografiacutea





15



16






A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














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Capiacutetulo 3

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29


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30

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50





51

Bibliografiacutea





16






A 30 20 5 5 10 8 2

B 50 5 2 2 10 10 18








17

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F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














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Capiacutetulo 3

Trayectorias








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50





51

Bibliografiacutea





17

G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100









F(x y z) = (x+y yz)




18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














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Capiacutetulo 3

Trayectorias








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2j-3zyk

Solucioacuten-


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32



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50





51

Bibliografiacutea





18



6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)



19














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20



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(1c) f(x y) = xy

(1d) g(x y) = y4

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25


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29


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31


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Solucioacuten-


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50





51

Bibliografiacutea





19














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Capiacutetulo 3

Trayectorias








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Solucioacuten-


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50





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Bibliografiacutea





20



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50





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Bibliografiacutea





21




22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

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50





51

Bibliografiacutea





22


(1a) f(x y z) = 2221 zyx

(1b) g(x y) = xy

2

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(1d) g(x y) = y4

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Capiacutetulo 3

Trayectorias








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Bibliografiacutea





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(7b) g(x y) = 22 44 yx



24

Capiacutetulo 3

Trayectorias








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25


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Bibliografiacutea





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Capiacutetulo 3

Trayectorias








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25


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Bibliografiacutea





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Bibliografiacutea





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Bibliografiacutea





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2

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30

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Bibliografiacutea





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Y X






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Bibliografiacutea





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Vector trasladado





i j k

RotFx y z

P Q R



2j-3zyk

Solucioacuten-

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( )P Q R



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2j-3zyk

Solucioacuten-


2 2 2 2



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Bibliografiacutea





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( )P Q R



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Bibliografiacutea





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43


2222222



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2


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54

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1

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Bibliografiacutea





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(2) g(x y) = 22 yx (Cono)




2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd




2x

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2222222



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1 yxyyyxfd y


ecuacioacuten

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son 2

1 y como

2


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1 yxyyyxfd y


ecuacioacuten

)(4

)(4

2

2222

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yxy

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x (3)






son 2

1 y como

2


obtiene que 4

1

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10x se obtiene

que 6010

6

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