aulas de trigonometria e nÚmeros complexos
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LOCAL: SANTANA DO ARAGUAIA-PA
PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO
BÁSICA – PARFOR
PROFESSOR:________________________________________________
ALUNO(A):__________________________________________________
PERÍODO DA DISCIPLINA: ___/___/______ a ___/___/_____
CONTATO COM A COORDENAÇÃO DO CURSO:
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
AULAS DE TRIGONOMETRIA E
NÚMEROS COMPLEXOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS
Marabá
Novembro 2016
1
Conteúdo
0.1 Noções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.1 Semi-Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.2 Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.3 Angulo nulo ou ângulo raso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.4 Interior de ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.1.5 Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.1.6 Comparação de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.7 Soma de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.8 Unidades de medida de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.1.9 Ângulos suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.1.10 Angulo reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.1.11 Ângulo agudo e ângulo obtuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1.12 Ângulos complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1.13 Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.2 Triângulo retângulo: conceito, elementos, Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . 10
0.3 Triângulo retângulo: razões trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.4 Relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente . . . . . . . . . . . . . . 13
0.4.1 Relação Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.6 Razões Trigonométricas especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.6.1 Razões do ângulo de 45◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.6.2 Razões do ângulo de 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
0.6.3 Razões do ângulo de 60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.6.5 Arcos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.6.6 Medidas de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.6.7 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.6.8 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.6.9 Medidas de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.6.10 Ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.6.11 Exereícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
0.7 Seno, Cosseno e Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.7.1 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
0.7.2 Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
0.7.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
0.7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
0.7.5 Relações Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0.7.6 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
0.7.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
0.7.8 Redução do 2o ao 1o quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
0.7.9 Redução do 3o ao 1o quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
0.7.10 Redução do 4o ao 1o quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
0.7.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
0.7.12 Noções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
0.7.13 Funções Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
0.7.14 Função Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
0.7.15 Grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
0.7.16 Função Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
0.7.17 Grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
0.7.18 Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
0.7.19 Grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
0.7.20 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
0.7.21 Cosseno da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
0.7.22 Cosseno da diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
0.7.23 Seno da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
0.7.24 Seno da diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
0.7.25 Tangente da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
0.7.26 Tagente da diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
0.7.27 Cotangente da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
0.7.28 Cotangente da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
0.7.29 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
0.7.30 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
0.7.31 Operações com pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
0.7.32 O Conjunto dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
0.7.33 Descobrindo que os reais são complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
0.7.34 Unidade imaginária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
0.7.35 Forma algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
0.7.36 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
0.7.37 As pontências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
0.7.38 Conjugado de um número compexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
0.7.39 Argumento de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
0.7.40 Forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
0.7.41 Operações na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
0.7.42 Potenciação de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
0.7.43 Exercícos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Bibliogra�a 63
4
Introdução
Os problemas métricos da Geometria podem ser resolvidos por dois processos: o processo
grá�co e o processo analítico. No segundo caso os elementos desconhecidos, são determinados
pelos conhecidos, por meio de cálculo; no primeiro caso mediante construções grá�cas, com
emprêgo de instrumentos de desenho, tais como régua, compasso, transferidor, etc.
Para determinar, por exemplo, os elementos de um triângulo, de�nido pelos elementos ne-
cessários que estudamos na Geometria Plana, será su�ciente, feita a construção do triângulo
e dos elementos necessarios correspondentes com auxilio da régua e compasso, medir com
uma régua graduada os elementos lineares que dejesamos conhecer, e com o transferidor, os
ângulos.
É claro, pois, que a exatidão das medidas efetuadas dependem em grande parte, da precisão
dos instrumentos de desenho utilizados na construção e da habilidade de seu emprêgo. É
evidente que a exatidão dos resultados é limitada, sendo insu�ciente em grande número de
problemas de Cálculo, Astronomia, Geodesia, etc.
A resolução analítica, por exemplo, de um triângulo consiste em determinar os elementos
desconhecidos em função dos elementos dados ou conhecidos, mediante o emprêgo de rela-
ções matemáticas conhecidas.
A Trigonometria tem, portanto, por objetivo o estudo das funções circulares ou trigonomé-
tricas e a resolução dos triângulos por meio de cálculo.
A Trigonometria pode se dividida em três partes a saber:
1a) estudos das funções circulares ou trigonométricas e fórmulas que as relacionem.
2a) trigonometria retilínea, que trata da resolução analitica de triângulos retílineos.
3a trigonometria esférica que trata da resolução analitica dos triângulos esféricos.
5
Revisão de Geometria Plana
0.1 Noções Básicas
Faremos uma breve revisão de alguns conceitos e resultados de geometria plana, o quais
nos possibilitarão no decorrer do curso.
0.1.1 Semi-Reta
De�nição 0.1.1 Semi-reta é cada uma das partes em que uma reta �ca divida por um de
seus pontos.
0.1.2 Ângulo
De�nição 0.1.2 Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem mas não contidas
na mesma reta.
No ângulo AOB acima temos os seguintes elementos:
a) lados do ângulo: OA e OB;
b) vértice do ângulo: O.
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0.1.3 Angulo nulo ou ângulo raso
Em particular se Oa e Ob coincidem, dizemos que elas determinam um ângulo nulo.
Se as semi-retas são opostas, dizemos que determinam dois ângulos rasos.
0.1.4 Interior de ângulo
De�nição 0.1.3 Interior de ângulo é a intersecção de dois semiplanos abertos, a saber: α′
com origem na reta−→OA e que comtém o ponto B e β′ com origem na reta
−−→OB e que contém
o ponto A.
Interior de AOB = α′ ∩ β′
Observação: Os pontos do interior de um ângulo são pontos internos ao ângulo.
De�nição 0.1.4 Exterior de ângulo do ângulo AOB é o conjunto dos pontos que não per-
tecem ao ângulo AOB nem ao seu inteior.
Observação: Os pontos do exterior de um ângulo são pontos externos ao ângulo.
0.1.5 Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes
Dois ângulos são consecutivos se um lado de um deles é também lado do outro.
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Neste caso, em particular, os ângulos são adjacentes porque não tem pontos internos comuns.
0.1.6 Comparação de ângulos
Dados dois ângulos aBc e dEf , podemos transportar o ângulo dEf sobre aBc, de tal
forma que a semi-reta Ed coincida com a semi-reta Ba. Desse modo, seurgem três hipóteses:
1a) Ef é a semi-reta interna a aBc. Então aBc > dEf .
2a) Ef é a semi-reta externa a aBc. Então aBc < dEf .
3a) Ef coincide com Bc. Então aBc ≡ dEf . Neste caso, os ângulos aBc e dEf se dizem
congruentes.
8
0.1.7 Soma de ângulos
Dados dois ângulos aBc e dEf , transportamos dEf de tal forma que Ed ≡ Bc e Ef seja
externa a aBc, isto é, que aBc e dEc sejam adjacentes.
O ângulo aBf obtido chama-se o ângulo soma de aBc e dEf .
0.1.8 Unidades de medida de ângulos
Consideremos um ângulo raso AOB.
Podemos dividir esse ângulo em 180 partes iguais.
Chama-se ângulo de 1◦ ao ângulo que corresponde a 1180
do ângulo raso.
Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.
Um minuto (1′) é o ângulo correspondente a1
60do ângulo de um grau.
1′ =1◦
60
Um segundo (1′′) é o ângulo correspondente a1
60do ângulo de um minuto.
1′′ =1′
60
9
0.1.9 Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 180◦. Um
deles é o suplemento do outro.
Os ângulos ACD e DCB são suplementares.
0.1.10 Angulo reto
Se dois ângulos são adjacentes, suplementares e têm medidas iguais, então cada um deles
é chamado ângulo reto e sua medida é 90◦.
0.1.11 Ângulo agudo e ângulo obtuso
O ângulo que mede menos que 90◦ é chamado ângulo agudo.
Chama-se obtuso o ângulo cuja medida está entre 90◦ e 180◦.
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0.1.12 Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 90◦.
Um deles é o complemento do outro.
0.1.13 Triângulo
Três pontos A,B e C, não colineares, determinam três segmentos de reta AB,BC e AC.
A reunião dos segmentos de reta AB,BC e AC é chamada de triângulo ABC.
No triângulo acima temos 4ABC = AB ∪BC ∪ AC.
Os elementos que compoem um triângulo são: a) vérices: A,B,C
b) lados: AB,BC,AC
c) ângulos internos: BAC,ABC,ACB.
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Razões Trigonométricas de um Ângulo
Agudo
Objetivos
Ao �nalizar a presente aula, o discente estará capaz de:
• Determinar os valores das razões trigonométricas de um ângulo agudo.
• Conhecer as relações entre os lados dos triângulos, cujos ângulos são: 30◦, 45◦, 60◦, assim
como o valor de suas razões trigonométricas.
• Resolver triângulos retângulos, relacionando lados e ângulos e aplicá-los a situaçõe práticas.
0.2 Triângulo retângulo: conceito, elementos, Pitágoras
Sabemos da Geometria Plana que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos
internos é reto.
Vamos utilizar a notação seguinte para os elementos de um triângulo ABC, a saber:
a) lados: AB,BC,AC
b) ângulos internos: BAC, ABC, ACB
c) medidas dos lados: b = medida de BC, b = medida de AC, c = medida de AB
d) medida dos ângulos: A = medida de BAC, B = medida de ABC, C = medida de ACB.
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Sabemos que o lado BC oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os lados AB e AC,
adjacente ao ângulo reto, são chamados catetos do triângulo ABC.
Teorema 0.2.1 (Teorema de Pitágoras) Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipote-
nusa é igual a soma dos quadrados dos seus catetos.
0.3 Triângulo retângulo: razões trigonométricas
Dado um ângulo agudo B, vamos marcar sobre um de seus lados os pontos A1, A2, A3, ...
e vamos conduzir, por eles, as perpendiculares A1C1, A2C2, A3C3, ....
Os triângulos BA1C1, BA2C2, BA3C3, ...,etc, são todos semelhantes entre si. Então,
1o)A1C1
BC1
=A2C2
BC2
=A3C3
BC3
= · · ·
(�xado B, o cateto oposto a B e a hipotenusa são diretamente proporcionais).
2o)BA1
BC1
=BA2
BC2
=BA3
BC3
= · · ·
(�xado B, o cateto adjacente a B e a hipotenusa são diretamente proporcionais).
3o)A1C1
BA1
=A2C2
BA2
=A3C3
BA3
= · · ·
(�xado B, o cateto oposto e adjacente a B são diretamente proporcionais).
4o)BA1
A1C1
=BA2
A2C2
=BA3
A3C3
= · · ·
(�xado B, os cateto adjacente e oposto a B são diretamente proporcionais).
onde A1C1 = medida de A1C1, BC1 = medida de BC1, A2C2 = medida de A2C2, etc.
Veri�camos que as reações acima não dependem do tamanho dos triângulos4BA1C1,4BA2C2,
4BA3C3,..., mas dependem somente do valor do ângulo B.
Desse modo, considerando um triâgulo retângulo e �xando um ângulo agudo B, temos que:
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1o) Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
sin B =b
a
2o) Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
cos B =c
a
3o) Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
sin B =b
c
4o) Cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.
sin B =c
b
0.3.1 Exercícios
Exercício 0.3.1 Dado o triângulo ABC retângulo em A calule:
a) sin B b) cos B c) tan B d) cot B e) sin C f) cos C.
Exercício 0.3.2 Calcule as razões trigonométricas seno, cosseno, tagente e cotangente dos
ângulos agudos do triângulo retângulo em que os catetos mede 3 e a hipotenusa 2√
3.
Exercício 0.3.3 Num triângulo ABC reto em A, determine as medidas dos catetos, sabendo
que a hipotenusa vale 50 e sin B =4
5.
14
Exercício 0.3.4 Na �gura abaixo, a hipotenusa mede 2√
17 e cos B =2√
51
17. Calcule os
catetos.
Exercício 0.3.5 Seja ABC um triângulo retãngulo em A. São dados tan B =
√5
2e hipote-
nusa a = 6. Calcule os catetos b e c.
0.4 Relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente
0.4.1 Relação Fundamental
Considere o triângulo retângulo ABC.
Temos que
sin B =b
a=⇒ b = a sin B
e
cos B =c
a=⇒ c = a cos B
Pelo Teorema de Pitágoras, temos
a2 = b2 + c2.
Então,
b2 + c2 = (a sin B)2 + (a cos B)2 = a2. sin2 B + a2. cos2 B
Daí, teremos
a2 = a2(sin2 B + cos2 B)
15
Logo,
sin2 B + cos2 B = 1.
Consideremos a razãosin B
cos B.
Assim,
sin B
cos B=
b
ac
a
=b
a· ac
=b
c= tan B
Logo,
tan B =sin B
cos B
Consideremos a razãocos B
sin B.
Assim,
cos B
sin B=
c
ab
a
=c
a· ab
=c
b= cot B
isto é,
cot B =cos B
sin B
Podemos veri�car facilmente que
cot B =1
tan B.
0.5 Exercícios
Exercício 0.5.1 Calcule o cosseno, tangente e cotagente do ângulo B, quando:
a) sin B =3
5
b) sin B =2
3c) sin B = 0, 57
d) sin B = 0, 95.
Exercício 0.5.2 Sabendo que B e C são complementares, calcule cos C, tan C e cot C,
quando:
16
a) cos B = 0, 57
b) cos B =5
6
c) cos B =3
5d) cos B = 0, 7
0.6 Razões Trigonométricas especiais
0.6.1 Razões do ângulo de 45◦
Consideremos um triângulo retãngulo isósceles, com catetos de medida 1cm.
Temos que A = 90◦, B = C = 45◦, b = c = 1. Pelo Teorema de Pitágoras tem-se a =√
2.
Assim,
i) sin B =b
a=⇒ sin 45◦ =
1√2
=
√2
2
ii) cos B =c
a=⇒ cos 45◦ =
1√2
=
√2
2
iii) tan B =b
c=⇒ tan 45◦ =
1
1= 1
iv cot B =c
b=⇒ cot 45◦ =
1
1= 1.
0.6.2 Razões do ângulo de 30◦
Considere um triângulo equilátero ABC de lado `. Então A = B = C = 60◦.
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Seja CM a mediana relativa ao lado AB.
Da Geometria Plana sabemos que, no triângulo equilátero, CM é mediana, altura e bissetriz.
Portanto, no 4MBC, temos
Então
M = 90◦, C = 30◦, c =`
2e b = h =
`√
3
2.
(i) sin C =c
`=⇒ sin 30◦ =
1
2
(ii) cos C =b
`=⇒ cos 30◦ =
√3√2
(iii) tan C =c
b=⇒ tan 30◦ =
1√3
=
√3
2
(iv) cot C =b
c=⇒ cot 30◦ =
√3
1=√
3.
0.6.3 Razões do ângulo de 60◦
Considerando no triânguloMBC, B = 60◦ e C = 30◦ são ângulos complementares, temos
(i) sin B = cos C =b
`=⇒ sin B = sin 60◦ =
√3
2
(ii) cos B = sin C =c
`=⇒ cos B = cos 60◦ =
1
2
(iii) tan B =b
c=⇒ tan B = tan 60◦ =
√3
(iv) cot B =c
b=⇒ cot B = cot 60◦ =
√3
3Essas razões trigonométricas podem ser dipostas numa tabela, a saber:
Razão 30◦ 45◦ 60◦
seno 12
√22
√32
cosseno√32
√22
12
tangente√
3 1√32
0.6.4 Exercícios
Exercício 0.6.1 No triângulo ABC retãngulo em A, B = 35◦ e c = 4cm. Quais os valores
do outro cateto e da hipotenusa?
Exercício 0.6.2 Calcule os lados de um triângulo retângulo, sabendo que a altura relativa a
hipotenusa é h = 4 e um ângulo agudo é B = 30◦.
18
Exercício 0.6.3 Calcule os lados de um triângulo retângulo, sabedo que a altura relativa a
hipotenusa mede 4 e forma um ângulo de 15◦ com o cateto b. Dados: sin 75◦ =√2+√6
4e
cos 75◦ =√6−√2
4.
Exercício 0.6.4 Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento máximo
de 25m, formando um ângulo de 70◦ com a base, que está apoiada sobre um camininhão, a
2m do solo. Qual é a altura máxima que a escada atinge?
Exercício 0.6.5 Um observador vê um prédio, construido em terreno plano, sob um ângulo
de 60◦. Afastando-se do edi�cio mais 30m, passa a ver o edifício sob ângulo de 45◦. Qual é
a altura do prédio?
Exercício 0.6.6 Calcule a distância entre os parapeitos de duas janelas de um aranha-céu,
conhecendo os ângulos α e β sob os quais são observados de um ponto O do solo, a distância
d do prédio.
19
Arcos e Ângulos
Objetivos
Ao �nalizar esta aula, o discente será capaz de:
• Conhecer a medida de um ângulo.
• Conhecer o cálculo de comprimento de arcos da circunferência e suas diversas aplicações.
0.6.5 Arcos na circunferência
De�nição 0.6.1 Consideremos uma circunferência de centro O e um ângulo central AOB,
sendo A e B pontos que pertencem aos lados do ângulo e à circunferência.
A cincuferência �ca dividida em duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência:
arco de cirncuferência AXB e arco de cirncuferência AY B, onde A e B são extremidades do
arco.
Se A e B são extremidades de um diâmetro, temos dois arcos, cada um dos quais é chamado
semicircunferência.
20
Em particular se os pontos A e B coincidem, eles dererminam dois arcos: um deles é um
ponto e o outro é a circunferência.
0.6.6 Medidas de arcos
Caso queremos comparar os tamanhos de dois arcos AB e CD, somos levados a estabelecer
um método que permita saber qual deles é o maior ou se são iguais. Este problema é resolvido
estabelecendo-se um método para medir arcos.
Medida de um arco AB em relação a um arco unitario u(u não nulo e de mesmo raio que
AB) é o número real que exprime quantas vezes o arco u cabe no arco AB. Assim, na �gura
abaixo, o arco u cabe 6 vezes no arco AB, então a medida do arco AB é 6, isto é, arco
AB = 6.arco u.
0.6.7 Unidades
Para evitar as confusões ocorreriam se cada um escolhesse uma unidade u para medir o
mesmo arco AB, limitamos as unidades de arco a apenas duas: o grau e o radiano.
21
De�nição 0.6.2 Grau(simbolo◦) é um arco unitário igual a 1360
da circunferência que contém
o arco a ser medido.
Considerando a �gura abaixo, veri�camos que AOB é um ângulo central e AB é o arco
correspondente ao ângulo central AOB.
Tomando-se para unidades de arco (arco unitário) de�nido por um ângulo entral unitário
(unidades de ângulo), temos
"A medida(em graus) de um arco de circunferência é igual a medida do ângulo central
correspondente".
Notamos que a medida(em graus) de um arco não depende do raio da circunferência, como
vemos na �gura abaixo:
De�nição 0.6.3 Radiano (simbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio
da circunferência que contém o raio a ser medido.
22
É evidente que uma circunferência mede 360◦, porém já não é tão facil dizer quantos radianos
mede uma circunferência. Diante disso, podemos chegaar a uma noção intuitiva do valor dessa
medida, considerando a seguinte construção:
1o) Em uma circunferência de centro O e raio r inscrevem um héxagono regular ABCDEF .
Cada lado do héxagono tem comprimento ` = r:
AB = BC = CD = DE = EF = FA = r
2o) A circunferência �ca dividida em 6 arcos de medidas iguais
AB = BC = CD = DE = EF = FA
e, sendo o comprimento do arco sempre maior que da corda correspondente, todos esses arcos
são maiores que 1 rad.
3o) Em cada um dos citados arcos cabe 1 rad:
AB′ = BC ′ = CD′ = DE ′ = EF ′ = FA′ = 1 rad
23
e ainda sobra uma fração de radiano.
4o) O radiano cabe 6 vezes na circunferência e mais a soma dessas sobras. Sendo mais preciso
mostra-se que a circunferência mede 6, 283184... rad.
Diante disso, podemos estabelecer que a seguinte correspondência para conversão de unidades:
360◦ ←→ 2π rad
180◦ ←→ π rad.
0.6.8 Exercícios resolvidos
Exercício 0.6.7 Exprima 225◦ em radianos.
Resolução: Por uma simplies regra de três, temos
180◦ −→ π rad (1)
225◦ −→ x (2)
Logo
x =225◦π
180◦=
5π
4rad.
Exercício 0.6.8 Exprima11π
6rad em graus.
Resolução: Temos
π rad −→ 180◦ (3)11π
6rad −→ x (4)
Assim
x =
11π
6.180
π= 330◦.
Exercício 0.6.9 Um arco de circunferência mede 30 cm e o raio da circunferência mede
10 cm. Calcule a medida do arco em radianos.
Resolução: Temos que
m(AB) =comprimento do arcoABcomprimento do raio
=30
10= 3 rad.
24
Exercício 0.6.10 Sobre uma circunferência de raio 10 cm marca-se um arco AB tal que a
corda AB mede 10 cm. Calcule a medida do arco em radianos.
Resolução: O segmento AB é lado do hexágono regular inscrito na circunferência, logo, o
menor arco AB é 16da circunferência, isto é
1
6· 2π rad =
π
3rad.
Exercício 0.6.11 Um grau se divide em 60′(60minutos) e um minuto se divide em 60′′(60 segundos).
Por exemplo, um arco de medida 30′ é um arco de 0, 5◦. Converta em radianos os seguintes
arcos:
a) 22◦30′
b) 31◦15′45′′.
Resolução: a) Temos 22◦30′ = 1350′ e 180◦ = 180.60′ = 10800′ então
10800′ −→ π rad
1350′ −→ x
Logo
x =π
8rad.
a) Temos 31◦15′45′′ = 112545′′ e 180◦ = 180.60′ = 648000′′ então
648000′′ −→ π rad
112545′′ −→ x
Portanto
x = 0, 54563 rad
0.6.9 Medidas de ângulos
Considere as circunferências concêntricas de raio r1, r2 e r3. Seja α o ângulo central aOb,
tal que α = 60◦, determinando sobre as circunferências arcos `1, `2 e `3, respectivamente.
25
Para determinar esses comprimentos, fazemos:
360◦ −→ 2πr1
60◦ −→ `1
Daí
`1 =πr13
=⇒ `1r1
=π
3
Ainda, temos
360◦ −→ 2πr2
60◦ −→ `2
Assim
`2 =πr23
=⇒ `2r2
=π
3
e analogamente, segue que`3r3
=π
3.
ou seja,`1r1
=`2r2
=`3r3
=π
3.
Desse modo,π
3é a medida em radianos do ângulo α = 60◦.
26
Quando queremos medir em radianos um ângulo aOb, devemos construir uma circunferên-
cia de centro O e raio r e veri�car quantos radianos mede o arco AB, ou seja, calcular o
comprimento entre o o comprimento ` do arco AB e o raio r da circunferência:
α =`
r(α em radianos).
0.6.10 Ciclo trigonométrico
Escolha sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uOv. Considere ainda a circun-
ferência λ de centro O e raio unitário. Observemos que o comprimento dessa circunferência
é 2π, pois r = 1. Desse modo associamos a cada número real x, com 0 ≤ x < 2π, um único
ponto P da circunferência λ da seguinte forma:
1o) Se x = O, então P coincide com A;
2o) Se x > O, então utilizamos a partir de A um percuso de comprimento x, no sentido
anti-horário, e marca-se P como ponto �nal do percuso.
27
De�nição 0.6.4 A circunferência λ acima de�nida, com origem em A, é chamada ciclo ou
circunferência trigonométrica.
0.6.11 Exereícios
Exercício 0.6.12 Exprima em radianos:
a)210◦ b)240◦ c)270◦ d)300◦ e)330◦.
Exercício 0.6.13 Exprima em graus:
a)π
6b)π
4c)π
3d)
2π
3e)
5π
6.
Exercício 0.6.14 Exprima em radianos as medidas dos arcos a, b e c tais que a− b = 15◦ e
a+ b =7π
4rad.
Exercício 0.6.15 Calcule a medida do ângulo central aOb que determina em uma circufe-
rência de raio r um arco de comprimento2πr
3.
Exercício 0.6.16 Calcule o comprimento ` do arco AB de�nido em uma circunferência de
raio 7 cm por um ângulo central de 4, 5 rad.
Exercício 0.6.17 Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que
marca:
a)2h 40min b)5h 55min c)6h 30min d)10h 15min.
28
Razões Trigonométricas na
Circunferência
Ao �nalizar esta aula, o discente será capaz de:
• Localizar os números reais na circunferência trigométrica através dos arcos dirigidos em
posição normal.
• Representar gra�camente as razões trigonométricas de arcos dirigidos em posição normal.
• Comparar na circunferência trigonométrica, as razões trigonométricas de ângulos e números
reais.
• Determinar os valores das funções trigonométricas.
0.7 Seno, Cosseno e Tangente
Considere um ciclo trigonometrico de origem A e raio OA, em que OA = 1.
A�m de estudar as razões trigonométricas na circunferência, vamos associar ao ciclo quatro
eixos:
1o) eixo dos cossenos (x)
2o) eixo dos senos (y)
29
3o) eixo das tangentes (u)
4o) eixo das cotangentes (v)
Os eixos x e y dividem o ciclo trigonometrico em quatro arcos, a saber: AB, BA′, A′B′ e
B′A.
Dado um número real z, usamos a seguinte processo para encontrar a imagem P de z no
ciclo:
z está no 1o quadrante ⇐⇒ P ∈ AB
z está no 2o quadrante ⇐⇒ P ∈ BA′
z está no 3o quadrante ⇐⇒ P ∈ A′B′
z está no 4o quadrante ⇐⇒ P ∈ BA′
0.7.1 Seno
De�nição 0.7.1 Dado um número real x ∈ [0, 2π], seja P sua imagem no ciclo. Denomi-
namos seno de x, e indicamos por sen x a ordenada OP1 do ponto P em relação ao sistema
uOv.
Propriedade 0.7.1 Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então sen x é positivo.
De fato, nese caso o ponto P está acima do eixo u e sua ordenada é positiva.
30
Propriedade 0.7.2 Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então sen x é negativo.
Com efeito, aqui o ponto P está abaixo do eixo u e sua ordenada é negativa.
Desse modo, para todo x ∈ [0, 2π], temos que a variação do seno é
−1 6 senx 6 1.
Assim, −1 é o valor mínimo e 1 é o valor máximo de sen x.
Propriedade 0.7.3 O sinal do sen x pode ser assim sintetizado:
0.7.2 Cosseno
De�nição 0.7.2 Dado um número real x ∈ [0, 2π], seja P sua imagem no ciclo. Denomi-
namos cosseno de x, indicamor por cos x a abcissa OP2 do ponto em relação ao sistema
uOv.
31
Propriedade 0.7.4 Se x é do primeiro ou do quarto quadrante, então cosx é positivo.
Propriedade 0.7.5 Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então cosx é negativo.
Portanto, para todo x ∈ [0, 2π], temos −1 6 cos 6 1, isto é, −1 e 1 são valores, de minímo
e máximo da abcissa OP2, ou seja, do cosseno.
O sinal de cosx também pode ser posto assim:
32
0.7.3 Tangente
De�nição 0.7.3 Dado um número real x ∈ [0, 2π], 6= π
2e 6= 3π
2, seja P sua imagem no ciclo.
Consideremos a reta OP e seja T sua interseção com o eixo das tangentes. Denominamos
tangente de x(e indicamos por tg x) a medida álgebrica do segmento AT .
Observemos que, para x =π
2, P está em B e, para x =
3π
2, P está em B′ e, então a reta OP
�ca paralela ao eixo das tangentes. Como nesse caso não existe o ponto T , a tg x não está
de�nida.
Propriedade 0.7.6 Se x é do primeiro ou do terceiro quadrante, então tg x é positiva.
Propriedade 0.7.7 Se x é do segundo ou do quarto quadrante, então tg x é negativa.
O sinal de tg x pode ser assim esquematizado:
33
0.7.4 Exercícios
Exercício 0.7.1 Localize os arcosπ
6,5π
6,7π
6e
7π
6. Em seguida, dê o sinal do seno, cosseno
e tangente de cada um deles.
Exercício 0.7.2 Localize os arcosπ
3,2π
3,4π
3e
5π
3. Qual é o sinal do seno, cosseno e tan-
gente de cada um deles?
Exercício 0.7.3 Calcule o valor das expressões
a) senπ
3+ sen
π
4− sen 2π
b) 2senπ
6+
1
2sen
7π
4
c) 3senπ
2− 2sen
5π
4+
1
2sen π
Exercício 0.7.4 Calcule as expressões:
a) cosπ
3+ cos
π
4− cos 2π
b) 2 cosπ
6+
1
2cos
7π
4
c) 3 cosπ
2− 2 cos
5π
4+
1
2cos π
Exercício 0.7.5 Determine o sinal de cada uma das expressões:
a) y = sen 45◦ + cos 45◦
b) z = sen 225◦ + cos 225◦
c) w = sen 300◦ + cos 300◦
d) y1 = tan 269◦ + sen 178◦.
Exercício 0.7.6 Calcule o valor de(cossec
π
6+ sen
π
6
)(sen
π
4− sec
π
3
).
34
Exercício 0.7.7 Se θ ∈ 3oQ, determinar a variaçao de w =5− 3sen θ
4.
Exercício 0.7.8 Sabendo que sen θ =x− 2
3+x+ 1
4, onde θ ∈ IV Q, determinar o intervalo
de valores que pode assumir x.
Exercício 0.7.9 Dadas as seguintes condições:
a) sen(π
6+ x)
=a−√
2
2
b) x ∈[
5π
2, 3π
]Determinar o máximo valor de a.
a)√
2
b)√
3
c) −√
3
d)√
3 +√
2
35
Relações Fundamentais
No capítulo anterior de�nimos as razões trigonometricas sinx, cosx, tanx, cotx, secx e
cscx no ciclo trigonométrico, ou seja, para x ∈ [0, 2π].
Nosso objetivo agora é mostrar que tais razões trigonométricas guardam entre si certas rela-
ções denominadas relações fundamentais.
0.7.5 Relações Fundamentais
Teorema 0.7.1 Para todo x ∈ [0, 2π], temos
sen2 x+ cos2 x = 1.
Demonstração: a) Em particular se x ∈{
0,π
2, π,
3π
2, 2π
}, a prova é trivial.
b) Se x /∈{
0,π
2, π,
3π
2, 2π
}, a imagem de x distinta de A,B,A′ e B′ e, então, existe o
triângulo retângulo OP2P .
Portanto, pelo Teorema de Pitagoras
(OP2)2 + (P2P )2 = (OP )2
ou seja
sen2 x+ cos2 x = 1
.
Teorema 0.7.2 Para todo x real, x ∈ [0, 2π] e x /∈{π
2,3π
2
}, temos
tg x =sen x
cosx.
36
Demonstração: Se x /∈ {0, π, 2π}, a imagem de x é distinta de A,B,A′ e B′, temos que os
triângulos 4OAT e 4OP2P são semelhantes. Assim
AT
OA=P2P
OP2
Logo,
tg x =sen x
cosx
Uma vez que o sinal da tg x é igual ao do quocientesen x
cosx, segue que
tg x =sen x
cosx
Teorema 0.7.3 Para cada x real com x ∈ [0, 2π] e x /∈ {0, π, 2π}, temos que
cotg x =cosx
sen x.
Demonstração: A cargo do leitor.
Teorema 0.7.4 Para todo x ∈ R, com x ∈ [0, 2π] e x /∈ {π/2, 3π/2}, vale
secx =1
cosx.
Demonstração: A cargo do leitor.
Teorema 0.7.5 Para todo x ∈ R, com x ∈ [0, 2π] e x /∈ {0, π, 2π}, vale
cossec x =1
sen x.
Demonstração: A cargo do leitor.
Corolário 0.7.1 Para todo x ∈ R, com x ∈ [0, 2π] e x /∈ {0, π/2, π, 3π/2, 2π}, vale
cotg x =1
tg x
tg2 x+ 1 = sec2 x
1 + cotg2 x = cossec2 x
cos2 x =1
1 + tg2 x
sen2 x =tg2 x
1 + tg2 x
37
0.7.6 Exercícios Resolvidos
Exercício 0.7.10 Sabendo que sinx = 45e π
2< x < π, calcule as demais funções circulares
de x.
Resolução: Desde que π2< x < π implica que cosx < 0. Desse modo,
cosx = −√
1− sin2 x = −√
1− 16
25= −3
5
tanx =sinx
cosx=
4/5
−3/5= −4
3
cotx =cosx
sinx=−3/5
4/5= −3
4
secx =1
cosx=
1
−3/5= −5
3
cscx =1
sinx=
1
4/5=
5
4.
Exercício 0.7.11 Sabendo que secx = 3, calcule o valor da expressão y = sin2 x+ 2 tan2 x.
Solução: Temos que cosx =1
secx=
1
3, logo sin2 x = 1 − cos2 x = 1 − 1
9=
8
9. Além disso,
como tan2 x = sec2 x− 1 = 9− 1 = 8, segue que
y =8
9+ 2× 8 =
152
9
Exercício 0.7.12 Calcule sinx e cosx, sabendo que 3 cosx+ sinx = −1.
Solução: Basta resolver o sistema 3 cosx+ sinx = −1
sin2 x+ cos2 x = 1.
Da equação I do sistema temos que sinx = −1 − 3 cosx. Daí e da equação II do sistema,
segue
(−1− 3 cosx)2 + cos2 x = 1
ou seja,
cos2 x+ 1 + 6 cosx+ 9 cos2 = 1
ou ainda
10 cos2 x+ 6 cosx = 0
38
Assim,
cosx = 0 ou cosx = −3
5
Daí
sinx = −1− 3.0 = −1 ou sinx = −1− 3.
(−3
5
)=
4
5
Assim, temos duas soluções
a) cos x = 0 e sinx = −1
b) cos x = −3
5e sinx =
4
5.
Exercício 0.7.13 Calcule m de modo que sinx = 2m+ 1 e cosx = 4m+ 1.
Resolução: Desde que sin2 x+ cos2 x = 1, resulta que
(2m+ 1)2 + (4m+ 1)2 = 1 =⇒ (4m2 + 4m+ 1) + (16m2 + 8m+ 1) = 1
=⇒ 20m2 + 12m+ 1 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos
m = −1/2 ou m = −1/10
0.7.7 Exercícios
Exercício 0.7.14 Sabendo que cscx = −25
24e π < x < 3π
2, calcule as demais funções
circulares de x.
Exercício 0.7.15 Calcule cosx, sabendo que cotx =2√m
m− 1, com m > 1.
Exercício 0.7.16 Calcule secx sabendo que sinx =2ab
a2 + b2, com a > b > 0.
Exercício 0.7.17 Sendo sinx =1
3e 0 < x <
π
3, calcule o valor de
y =1
cscx+ cotx+
1
cscx− cotx
Exercício 0.7.18 Dado que cosx =2
5e
3π
2< x < 2π, obtenha o valor de
y = (1 + tan2 x)2 + (1− tan2 x)2
39
Exercício 0.7.19 Calcule sinx e cosx, sabendo que 5 secx− 3 tan2 x = 1.
Exercício 0.7.20 Obetenha tanx, sabendo que sin2 x− 5 sinx cosx+ cos2 x = 3
Exercício 0.7.21 Calcule m de modo a obter tanx = m− 2 e cotx =m
3.
Exercício 0.7.22 Determine a de modo a obter cosx =1
a+ 1e cscx =
a+ 1√a+ 2
.
40
Redução ao 1o Quadrante
Vamos deduzir fórmulas para calcular as razões trigonométricas de x, com x não perte-
cente ao 1o quadrante, relacionando assim x com algum elemento do 1o quadrante. O objetivo
é conhecer sinx, cosx, tanx a partir de uma tabela que dê as razões circulares dos reais entre
0 eπ
2.
0.7.8 Redução do 2o ao 1o quadrante
Dado o número real x tal queπ
2< x < π, seja P a imagem de x no ciclo.
Seja P ′ ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos senos. Temos
AP + PA′ = π
e, como AP ′ = PA′, segue que
AP + AP ′ = π
logo AP ′ = π − x. Assim
sinx = sin(π − x)
cosx = − cos(π − x)
41
Pensando nas relações fundamentais, temos:
tanx =sinx
cosx=
sin(π − x)
− cos(π − x)= − tan(π − x)
cotx = − cot(π − x)
secx = − sec(π − x)
cscx = csc(π − x)
0.7.9 Redução do 3o ao 1o quadrante
Dado o número real x tal que π < x <3π
2, seja P a imagem de x no ciclo.
Seja P ′ o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao centro. Temos
AP − PA′ = π
assim
AP ′ = x− π
Desse modo
sinx = − sin(x− π)
cosx = − cos(x− π)
Como consequência, segue
tanx =sinx
cosx=− sin(x− π)
− cos(x− π)= tan(x− π)
cotx = cot(x− π)
secx = − sec(x− π)
cscx = − csc(x− π)
42
0.7.10 Redução do 4o ao 1o quadrante
Dado o número real x tal que3π
2< x < 2π, seja P a imagem de x no ciclo.
Seja P ′ o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Temos
AP + PA = 2π
e como
AP ′ = PA
tem-se
AP + AP ′ = 2π
logo,
AP ′ = 2π − x.
Desse modo
sinx = − sin(2π − x)
cosx = cos(2π − x)
Como consequência, segue
tanx =sinx
cosx=− sin(2π − x)
cos(2π − x)= − tan(2π − x)
cotx = − cot(2π − x)
secx = sec(2π − x)
cscx = − csc(2π − x)
43
0.7.11 Exercícios
Exercício 0.7.23 Reduza ao 1o quadrante:
a) cos 178◦ b) cot7π
6c) sin
7π
6d) sin
5π
4e) sin 251◦ f) sec 124◦
g) tan 290◦
Exercício 0.7.24 Se cosx =3
5, calcule sin
(x+
π
2
).
Exercício 0.7.25 Sabendo que sinx =1
2e 0 6 x 6
π
2, calcuele:
a) cosx b) cos(x+
π
2
)c) sin
(x+
π
2
)d) tan
(x+
π
2
)e) cot
(x+
π
2
)f) sec
(x+
π
2
)g) csc
(x+
π
2
)Exercício 0.7.26 Calcule:
a)[sinx+ cos
(π2− x)]
[cot(x− π)− cot(2π − x)]
b)tan(x− π) + sec(π − x)[
cot(π2− x)− csc(2π − x)
]cos(π2− x)
Exercício 0.7.27 Calcule
sin(π − x)− cos(π
2− x)− tan(2π − x)
tan(π − x)− cos(2π − x) + sin(π
2− x)
Exercício 0.7.28 Calcule
cos(90◦ + x) + cos(180◦ − x) + cos(360◦) + 3 cos(90◦ − x)
sin(270◦ + x)− sin(90◦ + x)− cos(90◦ − x) + sin(180◦ − x)
em função de tanx.
44
Funções Circulares
Objetivos
Ao �nalizar essa aula, o discente será capaz de:
• Analisar e determinar o domínio, imagem e representação cartesiana de uma função.
• Estudar, analizar e aplicar conceitos que nos permitam traçar o gra�co de funções.
• Aplicar a teoria de funções em situações práticas da vida cotidiana.
0.7.12 Noções Básicas
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo subconjunto R de
A×B.
R é relação binária deA emB ⇐⇒ R ⊂ A×B.
De�nição 0.7.4 Sejam A e B conjuntos. Uma correspondência que associa a cada elemento
x ∈ A um único elemento f(x) ∈ B é chamada função de A em B, a qual escrevemos
f : A −→ B.
De�nição 0.7.5 Seja f : A −→ B. O subconjunto Γf ⊂ A× B, o qual consiste de todos os
pares ordenados da forma (a, f(a)) é chamado grá�co de f : A −→ B.
O grá�co Γf de uma função f : X −→ Y é um subconjunto de X × Y consistindo de
precisamente pontos (x, y) tal que f(x) = y é verdadeiro. Este conjunto é as vezes escrito
por
Γf = {(x, y)|(x, y) ∈ X × Y e y = f(x)} .
45
0.7.13 Funções Periodicas
De�nição 0.7.6 Uma função f : A −→ B é periódica se existir um número p > 0 tal que
f(x+ p) = f(x), ∀x ∈ A
O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado periódo de f .
O grá�co da função periódica se caracteriza por apresentar um elemento de curva que se
repete, isto é, se quisermos desenhar toda a curva bastará constrirmos o periodo e repetir o
processo pra toda a curva.
Nosso objetivo é estudar as funções trigonométricas sinx, cosx e tanx.
0.7.14 Função Seno
Dado um número real x ∈ [0, 2π], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x,
e indicamos por sen x a ordenada OP1 do ponto P em relação ao sistema uOv.
De�nição 0.7.7 Denominamos função seno a função f : R −→ R que associa a cada nú-
mero real x o real OP1 = sinx, ou seja,
f(x) = sinx.
Observação: As propriedades da razão trigonométrica seno também são válidas para a
função seno.
Além disso
1o) A imagem da função seno é o intervalo [−1, 1].
2o) A função seno é periódica e seu periódo é 2π.
46
0.7.15 Grá�co
Fazendo um diagrama com x em abcissas e sinx em ordenadas, podemos construir o
grá�co da função seno, demominado senóide, que nos diz como varia a função f(x) = sinx.
x y = sinx
0 0
π/2 1
π 0
3π/2 −1
2π 0
Assim
0.7.16 Função Cosseno
Dado um número real x ∈ [0, 2π], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos cosseno de
x, indicamor por cos x a abcissa OP2 do ponto em relação ao sistema uOv.
47
De�nição 0.7.8 Denominamos função seno a função f : R −→ R que associa a cada nú-
mero real x o real OP2 = sinx, ou seja,
f(x) = cos x.
Observação: As propriedades da razão trigonométrica seno também são válidas para a
função cosseno.
Além disso
1o) A imagem da função seno é o intervalo [−1, 1].
2o) A função seno é periódica e seu periódo é 2π.
0.7.17 Grá�co
Fazendo um diagrama com x em abcissas e cosx em ordenadas, podemos construir o
grá�co da função seno, demominado senóide, que nos diz como varia a função f(x) = cos x.
x y = cosx
0 1
π/2 0
π −1
3π/2 0
2π 1
Assim
48
0.7.18 Função tangente
Dado um número real x, x 6= π
2+ kπ, seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta
OP e seja T sua interseção com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x a medida
algébrica do segmento AT .
De�nição 0.7.9 Denominamos função tangente a função f : D −→ R que associa a cada
x, x 6= π
2+ kπ, o real AT = tanx, isto é, f(x) = tan x.
Note que para x =π
2+ kπ, P está em B ou B′ e, então, a reta OP �ca paralela ao eixo das
tangentes. Como nesse caso não existe o ponto T a tangente não está de�nida. Observação:
Além das propriedades já vista para a razão trigonométrica tangente, o mesmo é valido para
a função tangente. Além disso, temos
1o) O dominio da função tangente é D ={x ∈ R : x 6= π
2+ kπ
}.
2o) A imagem da função tangente é R.
3o) A função tangente é periódica e seu periodo é π.
0.7.19 Grá�co
Fazendo um diagrama com x em abcissas e tanx em ordenadas, podemos construir o
grá�co da função seno, demominado senóide, que nos diz como varia a função f(x) = tan x.
49
x y = tanx
0 0
π/2 @
π 0
3π/2 @
2π 0
Desse modo, temos
0.7.20 Exercícios
Exercício 0.7.29 Determine o periodo e a imagem e faça o grá�co das funções dadas por
a) f(x) = − sinx b) f(x) = 2 sinx c) f(x) = −2 sinx d) f(x) = | sinx|
e) f(x) = |3 sinx| f) f(x) = sin(2x) g) f(x) = sin(x2) h) f(x) = sin(3x)
i) f(x) = 1 + sinx j) f(x) = 1 + 2 sinx , l) f(x) = sin(x− π4) m) f(x) = sin(x+ π
3)
Exercício 0.7.30 Determine o periodo da função y = 3 sin(
2πx+π
2
).
Exercício 0.7.31 Construa o grá�co de um periodo da função f : R −→ R tal que
f(x) = 1− 2 sin(
2x− π
3
).
Exercício 0.7.32 Determine o periodo e a imagem e faça o grá�co das funções dadas por
a) f(x) = − cosx b) f(x) = 2 cosx c) f(x) = −2 cosx d) f(x) = | cosx|
50
e) f(x) = |3 cosx| f) f(x) = cos(2x) g) f(x) = cos(x2) h) f(x) = cos(3x)
i) f(x) = 1 + cosx j) f(x) = 1 + 2 cos x , l) f(x) = cos(x− π4) m) f(x) = cos(x+ π
3)
Exercício 0.7.33 Determine a imagem e o periodo da função dada por
g(x) = −1 + 2 cos(
3x− π
4
).
Exercício 0.7.34 Para que valores de t existe x satisfazendo a igualdade cosx =t+ 2
2t− 1?
Exercício 0.7.35 Qual é o dominio da função real tal que f(x) = tan(2x)?
Exercício 0.7.36 Qual é o dominio das funções reais abaixo:
a) f(x) = tan 3x b)g(x) = tan(
2x− π
3
)Exercício 0.7.37 Para que valores de α existe x tal que tanx =
√α2 − 5α + 4?
Exercício 0.7.38 Esboçe o grá�co, dê o dominio e o periodo da função real f(x) = tan(x− π
4
).
51
Transformações
Queremos nessa aula deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma
(a + b) e da diferença (a − b) de dois números reais quaisquer a e b, conhecidas as funções
circulares de a e b.
0.7.21 Cosseno da soma
Sejam P,Q e R os pontos do ciclo associados aos números a, a+ b e −b, respectivamente.
Em relação ao sistema cartesiano uOv, as coordenadas desses pontos são: P (cos a, sin a),
Q(cos(a+ b), sin(a+ b)) e R(cos b,− sin b).
Os arcos AQ e RP tem a mesma medida, portanto as cordas AQ e PR tem medidas iguais.
Aplicando, a fórmula da distância entre dois pontos vista em Geometria Analitica, teremos:
d2AQ = (xQ − xA)2 + (yQ − yA)2
= [cos(a+ b)− 1]2 + [sin(a+ b)− 0]2
= cos2(a+ b)− 2 cos(a+ b) + 1 + sin2(a+ b)
= 2− 2 cos(a+ b)
d2RP = (xP − xR)2 + (yP − yR)2
= [cos a− cos b]2 + [sin a+ sin b]2
= cos2 a− 2 cos a cos b+ cos2 b+ sin2 a+ 2 sin a sin b+ sin2 b
= 2− 2 cos a cos b+ 2 sin a sin b
Como dAQ = dRP , temos
2− 2 cos(a+ b) = 2− 2 cos a cos b+ 2 sin a sin b
52
assim,
cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b
0.7.22 Cosseno da diferença
Tomando b = −b na formula do cosseno da soma e usando o fato do cosseno ser uma
função par e o seno uma função impar, temos
cos(a− b) = cos[a+ (−b)] = cos a cos(−b)− sin a sin(−b)
= cos a cos b− sin a(− sin b)
Logo
cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b
0.7.23 Seno da soma
Note que
sin(a+ b) = cos[π
2− (a+ b)
]= cos
[(π2− a)− b]
= cos(π
2− a)
cos b+ sin(π
2− a)
sin b
Daí
sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a
0.7.24 Seno da diferença
Temos que
sin(a− b) = sin[a+ (−b)] = sin a cos(−b) + sin(−b) cos a
= sin a cos b+ (− sin b) cos a
assim
sin(a− b) = sin a cos b− sin b cos a
53
0.7.25 Tangente da soma
Observe que
tan(a+ b) =sin(a+ b)
cos(a+ b)=
sin a cos b+ sin b cos a
cos a cos b− sin a sin b
=
sin a cos b+ sin b cos a
cos a cos bcos a cos b− sin a sin b
cos a cos b
=
sin a cos b
cos a cos b+
sin b cos a
cos a cos bcos a cos b
cos a cos b− sin a sin b
cos a cos b
Desse modo, segue
tan(a+ b) =tan a+ tan b
1− tan a tan b
Essa fórmula só é aplicavél se:
a 6= π
2+ kπ, b 6= π
2+ kπ e a+ b 6= π
2+ kπ
De maneira bem fácil chegamos as seguintes fórmulas:
0.7.26 Tagente da diferença
tan(a− b) =tan a− tan b
1 + tan a. tan b
0.7.27 Cotangente da soma
cot(a+ b) =cot a. cot b− 1
cot a+ cot b
0.7.28 Cotangente da soma
cot(a− b) =cot a. cot b+ 1
cot a− cot b
54
0.7.29 Exercícios
Exercício 0.7.39 Calcule os valores de:
a) cos 15◦ b) sin 105◦ c) tan 75◦ d) sec 285◦
Exercício 0.7.40 Calcule cot 165◦, sec 255◦ e csc 15◦.
Exercício 0.7.41 Se tanA = 2 e tanB = 1, encontre tan(A−B).
Exercício 0.7.42 Calcule o valor da expressão
sin 105◦ − cos 75◦.
Exercício 0.7.43 Dados sinx =3
5e cosx =
5
1, calcule o cos(x+ y), sabendo que 0 < x <
π
2
e3π
2< x < 2π.
Exercício 0.7.44 Estude a variação das seguintes funções:
a) f(x) = sin 2x cosx+ sinx cos 2x
b) f(x) =
√2
2cosx+
√2
2sinx
c) f(x) =1 + tanx
1− tanx
55
Números Complexos
0.7.30 Introdução
A criação dos números complexos teve estimulo na necessidade, sentida pelos matemá-
ticos, de ampliar o campo númerico de seu trabalho, dando signi�cado, principlamente, as
raizes quadradas de números negativos.
Porque razão, quando se trabalha com números reais, algumas equações do segundo grau
tem duas raizes, enquanto que outras não tem nenhuma?
Como sabemos, isso ocorre porque não existe, entre os reais, um número que elevado ao
quadrado dê um número negativo:
(?)2 = −9
(?)2 = −2
9
e isso aparece quando a equação do segundo grau ax2 + bx+ c = 0 é escrita da forma:(x+
b
2a
)2
=b2 − 4ac
4a2
onde vemos que não existe valor real para x capaz de satisfazer a equação no caso em que o
discriminante 4 = b2 − 4ac é negativo.
Ora, como todo número negativo pode ser escrito como o produto de seu simétrico por −1:
−9 = 9.(−1) = 32.(?)2
−2
9=
2
9· (−1) =
[√2
3
]2.(?)2
56
a questão de ampliar o campo númerico reside, portanto, em criar algum ente que veri�que
a igualdade:
(?)2 = −1
Observa-se, assim, a necessidade de ampliação do universo númerico.
Essa necessidade não é nova: Diofante de Alexandria (cerca de 250 d.C) esteve as voltas com
o seguinte questionamento:
Determinar os lados de um triângulo retângulo de perimetro 12 e área 7.
A montagem desse problema remete a equação
6x2 − 43x+ 84 = 0
onde x é a medida de um dos catetos.
Uma vez que o discriminante dessa equação é negativo, nos leva a concluir que não existe
o triângulo procurado. Não teria Diofante despertado sua atenção para equações que, como
essa, têm 4 < 0?
Suponha-se então, que convencidos da necessidade, resolvamos inventar um número cujo qua-
drado seja −1.
Imediatamente surge a pergunta: como operar com esse novo número?
É claro que essa criaçao nos será util apenas se pudermos usar os mesmos processos opera-
cionais a que estamos acostumados.
Desse momo, sem ter, por enquanto, a preocupação de formalizar uma estrutura númerica
nova, procurando apenas ganhar intimidade com a ideia, consideremos um novo número que,
por falta de outro melhor, representaremos pelo simbolo i, e formularemos duas hipóteses:
a) i2 = −1
b) i obedece as principais propriedades operacionais da Álgebra.
Diante disso, podemos completar as igualdades questionadas no inicio:
−9 = 9.(−1) = 32.i2 (5)
−2
9=
2
9· (−1) =
[√2
3
]2.(i)2. (6)
57
0.7.31 Operações com pares ordenados
Em matemática, existe mais de um modo de de�nir, formalmente, número complexo.
Vamos preferir adotar aqui a de�nição:
De�nição 0.7.10 Chama-se número complexo a qualquer par ordenado (x, y) de números
reais.
Usualmente indicamos um número complexo pela letra z. Assim, z1 = (−2, 3), z2 = (0,−1)
e z3 = (√
2, π) são exemplos de números complexos.
Com o objetivo de introduzir uma estrutura operatoria aos números complexos, vamos es-
tambeler também, as seguintes de�nições, onde a, b, c e d são números reais:
a) Igualade de número complexos
(a, b) = (c, d)⇐⇒ a = c e b = d
b) Adição de números complexos
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
c) Multiplicação de números complexos
(a, b).(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
0.7.32 O Conjunto dos números complexos
Com a de�nição de número complexo, seguida dos conceitos de igualdade, adição e multi-
plicação, dados anteriormente, podemos agora de�nir conjuntos dos númros complexos como
sendo o conjunto C de todos os pares ordenados de núemros reais:
C = {z = (x, y) : x ∈ R e y ∈ R}
Desse modo, estamos de�nindo o conjunto dos números complexos como o produto cartesiano
do conjunto dos números reais por ele mesmo, a saber:
C = R× R = R2
Tendo de�nidas em C a igualdade, adição e multiplicação, é bastante simples provar que
nesse novo conjunto são válidas as seguintes propriedades:
58
Propriedade 0.7.8 (Comutativa da adição)
z1 + z2 = z2 + z1, ∀z1, z2 ∈ C
Propriedade 0.7.9 (Associativa da adição)
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, ∀z1, z2, z3 ∈ C
Propriedade 0.7.10 (Existência do elemento neutro da adição)
∃e ∈ C : z + e = z, ∀z ∈ C
Propriedade 0.7.11 (Existência do elemento simétrico da adição)
∃z′ ∈ C : z + z′ = e, ∀z ∈ C
Propriedade 0.7.12 (Comutativa da multiplicação)
z1.z2 = z2.z1 ∀z1, z2 ∈ C
Propriedade 0.7.13 (Associativa da multiplicação)
z1.(z2.z3) = (z1.z2).z3 ∀z1, z2, z3 ∈ C
Propriedade 0.7.14 (Existência do elemento neutro da multiplicação)
∃em ∈ C : z.em = z, ∀z ∈ C
Propriedade 0.7.15 (Existência do elemento inverso)
∃z−1 ∈ C : z.z−1 = em, ∀z ∈ C∗
59
Forma algébrica dos números complexos
0.7.33 Descobrindo que os reais são complexos
Comecemos por considerar o subconjunto Cr de C, formado pelos complexos da forma
(x, y), ou seja,
Cr = {(x, y) : x ∈ R e y = 0}
Assim, (0, 0), (1, 0) e (√
5, 0) são exemplos de elementos em Cr.
Quando fazemos a adição e multiplicação de dois elementos (a, 0) e (c, 0) de Cr, temos
(a, 0) + (c, 0) = (a+ c, 0 + 0) = (a+ c, 0)
e
(a, 0).(c, 0) = (a.c− 0.0, a.0 + 0.c) = (ac, 0)
Notamos que as segundas componentes dos resultados é zero e as primeiras componentes são
obtidas como se tivessemos usado a adição e multiplicação de números reais.
Desse modo, vemos que os elementos de Cr, obedecendo as de�nições de iualdade, adição e
multiplicação de números números complexos, tem comportamento idêntico aos dos núemros
reais.
Uma vez que podemos operar com os complexos da forma (x, 0) do mesmo modo que operamos
com o real x, vamos adotar a notação:
(x, 0) = x
para todo x real.
Podemos assim, escrever (0, 0) = 0, (1, 0) = 1, (−1, 0) = −1.
60
Admitida a igualdade (x, 0) = x, é evidente que Cr = R, vamos passar, então, a considerar
o conjunto dos números reais como subcojunto do conjunto dos números complexos:
R ⊂ C
a�rmando assim, que todo número real é complexo.
0.7.34 Unidade imaginária
A igualdade (1, 0) = 1 de�ne, em C, o número complexo (1, 0) como unidade real.
De�nimos como unidade imaginária o número complexo (0, 1), que passamos a indicar pelo
simbolo i:
i = (0, 1)
Era nosso objetivo conseguir um núemro cujo quadrado desse negativo. Observe que
i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (0.0− 1.1, 0.1 + 1.0) = (−1, 0)
e utilizando a notação adotada, otemos a propriedade fundamental da unidade imaginária
i2 = −1
Todos os números complexos da forma (0, y) com y 6= 0, são ditos imaginários puros.
0.7.35 Forma algébrica
Diante das novas notações e de�nições, podemos representar um número complexo qual-
quer z = (x, y) numa outra forma que, como será vista, tornará bem prática e mais simples
as operações.
Note que sempre podemos escrever
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y)
como (x, 0) = x e (0, y) = yi, teremos
z = x+ yi
61
que é a chamada forma algébrica de z.
Os números reais x e y são, respectivamente, denominados parte real de z e parte imaginária
de z. Usualmente, representamos por
x = Re(z) e y = Im(z)
Vejamos como se aplicam com a forma x + yi a igualdade, a adição e multiplicação de
complexos
Propriedade 0.7.16 (Igualdade de números complexos) Sejam z = a+bi e w = c+di então
z = w ⇐⇒ a+ bi = c+ di⇐⇒ a = c e b = d
Propriedade 0.7.17 (Adição de números complexos) Sejam z = a+ bi e w = c+ di então
z + w ⇐⇒ (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (c+ d)i
Propriedade 0.7.18 (multiplicação de números complexos) Sejam z = a+ bi e w = c+ di
então
z.w ⇐⇒ (a+ bi).(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
0.7.36 Exercícios resolvidos
Exercício 0.7.45 Sendo z1 = 1 + 4i, z2 = 3− 3i e z3 = 5i, efetue:
a) z1 + z2 − z3b) z1z2 + z3
c) (z1 + z2)2
Resolução: Temos
a) z1 + z2 − z3 = (1 + 4i) + (3− 3i)− 5i = 4− 4i
b) z1z2 +z3 = (1+4i)(3−3i)+5i = (3−3i+12i−12i2)+5i = 3−3i+12i+12+5i = 15+14i
c) (z1 + z2)2 = (1 + 4i+ 3− 3i)2 = (4 + i)2 = 16 + 8i+ i2 = 16 + 8i− 1 = 15 + 8i
Exercício 0.7.46 Calcule (1− i)6.
Solução: Note que
(1−i)6 = [(1−i)2]3 = (1−2i+i2)3 = (1−2i−1)3 = (−2i)3 = −8i3 = −8i2.i = −8.(−1).i = 8i
62
Exercício 0.7.47 Determine o real x para que o número complexo z = 2 + (x− 4i)(2 + xi)
seja: a) real
b) imaginário
c) imaginário puro.
Resolução: Vamos primeiro escrever z na forma a+ bi, assim
z = 2 + (x− 4i)(2 + xi) = 2 + 2x+ x2i− 8i− 4xi2 = 2 + 2x+ x2i− 8i+ 4x
Assim
z = (2 + 6x) + (x2 − 8)i
(a) Para que z seja real é necessário que sua parte imaginária seja nula, isto é,
Im(z) = 0⇐⇒ x2 − 8 = 0⇐⇒ x = ±2√
2.
(b) Para que z seja imaginário é necessário que sua parte imaginária seja não nula, logo
Im(z) 6= 0⇐⇒ x2 − 8 6= 0⇐⇒ x⇐⇒ ±2√
2.
(c) Para que z seja imaginário puro é necessário que sua parte real seja nula, assim
Re(z) = 0⇐⇒ 2 + 6x = 0⇐⇒ x = −1
3.
0.7.37 As pontências de i
Consideremos as pontências do tipo in, onde n é natural. Vejamos alguns exemplos
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = i2.i = (−1).i = −i
i4 = i2.i2 = (−1)(−1) = 1
i5 = i4.i = 1.i = i
i6 = i5.i = i.i = i2 = −1
i7 = i6.i = (−1).i = −i
63
Começamos a perceber que a medida que n cresce, os valores de in vão-se repetindo periodi-
camente, assumindo sempre um dos valores da sequência:
1, i,−1,−i
sendo de 4 unidades o periodo de repetição, isso nos sugere que para calcular o valor de in,
basta elevar i ao resto da divisão euclidiana de n por 4.
De fato, se dividirmos n por 4 encontramos quociente q e resto r, temos
n = 4q + r e r < 4
Assim
in = i4q+r = i4q.ir = (i4)q.ir = (1)q.ir
e portanto,
in = ir.
Exemplo 0.7.1 Calcule i67.
Resolução: Note que o resto da divisão de 67 por 4 é r = 3, logo
i67 = i3 = −i
Exemplo 0.7.2 Calcule i726.
Solução: Dividindo 726 por 4 teremos resto r = 2, assim
i726 = i2 = −1
Quando o expoente n é maior que 99, podemos facilitar a regra acima usando um resultado
da Aritmética que diz:
O resto da divisão euclidiana de um número natural n(n > 100) por 4 pode ser obtido
dividindo por 4 apenas o número formado pelos dois ultimos algarismos de n.
Assim, no exemplo 2 acima, poderiamos apenas dividir 26 por 4 e obter resto r = 2.
Exemplo 0.7.3 Calcule i836753.
Resolução: Como o número formado pelos dois últimos algarismos do expoente é 53, didi-
vindo 53 para 4 temos resto r = 1, logo
i836753 = i1 = i
64
0.7.38 Conjugado de um número compexo
Seja z = a+ bi um número complexo. Chama-se conjugado de z o número
z = a− bi
Exemplo 0.7.4 a) Se z = 5 + 11i, seu conjugado é z = 5− 11i.
b) Se z = 1− 6i, seu conjugado é z = 1 + 6i.
Um resultado importante é dado pelo produto de um número complexo pelo seu conjugado,
isto é,
zz = (a+ bi)(a− bi) = a2 − b2i2 = a2 + b2
ou seja, o produto zz é sempre um número real não negativo.
65
Forma trigonométrica dos números
complexos
0.7.39 Argumento de um número complexo
Seja z = a+ bi um número complexo não-nulo e P o ponto que o representa.
A medida θ do ângulo formado pelo semi-eixo positivo Ox e pelo segumento OP é chamado
argumento principal do número complexo z, e é indicado por arg(z),
θ = arg(z).
No caso que b = 0 e a > 0, ou seja, quando o ponto P está sobre o semi-eixo positivo dos x,
adotamos θ = 0. Vemos, então, que
0 6 arg(z) < 2π
OBS: Damos o nome de argumento principal a θ pelo fato de também serem considerados
como argumentos do número complexo z = a + bi todos os côngruos de θ, ito é, os arcos de
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medidas:
θk = θ + 2kπ
onde k ∈ Z. Desse modo, se θ = pi2é o argumnto principal de um complexo z, também são
argumentos de z:5π
2,9π
2,13π
2,−3π
2, ...
0.7.40 Forma trigonométrica
As de�nições de módulo e argumento de z nos permitem escrever z em uma nova forma,
além das já citados anteriormente. Assim, considere um número complexo z = a+ bi.
Daí,
sinθ =b
ρe cos θ =
a
ρ
Logo,
b = ρ sin θ e a = ρ cos θ
Desse modo, escrevemos
z = a+ bi = ρ cos θ + (ρ sin θ)i
donde segue
z = ρ(cos θ + i sin θ)
que é a forma trigonométrica do número complexo z.
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Exemplo 0.7.5 a) Seja z = −5, então ρ = 5 e θ = π. Assim
z = −5(cosπ + i sin π)
b) Considere z = 1 +√
3i, assim ρ = 2 e θ =π
3. Então,
z = 2(
cosπ
3+ i sin
π
3
)
0.7.41 Operações na forma trigonométrica
Sejam os números complexos não-nulos z1 = ρ1(cos θ1 + i sin θ1) e z2 = ρ2(cos θ2 + i sin θ2).
Queremos calcular z1.z2:
z1.z2 = z1 = ρ1(cos θ1 + i sin θ1).ρ2(cos θ2 + i sin θ2)
= ρ1ρ2(cos θ1 cos θ2 + i cos θ1 sin θ2 + i sin θ1 cos θ2 + i2 sin θ1 sin θ2)
= ρ1ρ2[(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)]
Como das relações trigonométricas, sabemos que
cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 = cos(θ1 + θ2)
sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 = sin(θ1 + θ2)
Assim, temos
z1.z2 = ρ1ρ2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)].
Isso nos mostra que para multiplicar números complexos na forma trigonométrica, basta
multiplicarmos seus módulos e somarmos seus argumentos.
De maneira inteiramente ánaloga, chegamos que
z1z2
=ρ1ρ2
[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]
Desse modo, vemos que para dividir números complexos na forma trigonométrica, basta
dividir os seus módulos e subtrair os seus argumentos.
Exemplo 0.7.6 Sejam z1 = 6(
cosπ
4+ i sin
π
4
)e z2 = 2
(cos
3π
2+ i sin
3π
2
). Então, para
calcular z1.z2 fazemos
ρ1ρ2 = 6.2 = 12
θ1 + θ2 =π
4+
3π
2=
7π
4
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Logo,
z1z2 = 12
(cos
7pi
4+ i sin
7π
4
)De maneira ánaloga, temos
z1z2
= 3
(cos
3π
4+ i sin
3π
4
)
0.7.42 Potenciação de números complexos
Com base na multiplicação,na forma trigonométrica, vamos veri�car como se dar o cálculo
de potências da forma zn = (a+ bi), n ∈ Z∗, sem que utilizemos os métodos exaustivos, como
o binômio de Newton.
Para isso temos segguinte
Teorema 0.7.6 (Primeria fórmula de Moivre) Dado o número complexo z = ρ(cos θ +
i sin θ), não-nulo, e o número inteiro n, temos
zn = ρn[cos(nθ) + i sin(nθ)].
Exemplo 0.7.7 Calcule(−1
2+ i
√32
)100.
Resolução: Temos que
ρ =
√(−1
2)2 + (
√3
2)2 = 1
cos θ = −1
2
sin θ =
√3
2
Logo, o complexo z na forma trginométrica é
z = 1.
(cos
2π
3+ i sin
2π
3
)Usando a primeira fórmula de Moivre, teremos
z100 = 1100
(cos
200π
3+ i sin
200π
3
)=
(cos
2π
3+ i sin
2π
3
)= −1
2+ i
√3
2
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0.7.43 Exercícos
Exercício 0.7.48 Calcule as potências de i: a) i76 b) i110 c) i503
Exercício 0.7.49 Prove que (1− i)2 = −2i e calcule (1− i)96 + (1− i)97.
Exercício 0.7.50 Se i2 = −1, calcule o valor de (1 + i)12 − (1− i)12.
Exercício 0.7.51 Qual é o resultado da simpli�cação de
(2 + i)101(2− i)50
(−2− i)100(i− 2)49?
Exercício 0.7.52 Determine x e y para que se tenha:
a) 3+5ix = y−5i b) (x+yi)(2+3i) = 1+8i c)(3+yi)+(x−2i)−7−5i d)(x+yi)2 = 2i
Exercício 0.7.53 Coloque na forma a+ bi os seguintes números complexos:
a)1
ib)
1
1 + ic)
3 = 4i
2− id
1 + i
1− ie)
i11 + 2.i13
i18 − i37
Exercício 0.7.54 Determine o cojungado de1 + i
i.
Exercício 0.7.55 Calcule o conjugado do inverso do número complexo z =(1+i1−i
)−1.
Exercício 0.7.56 Se u = x+ iy e v =1
2− i√
3
2, calcule a parte real e imaginária do número
complexo v.u.
Exercício 0.7.57 Determine x de modo que o número z =2− xi1 + 2xi
seja imaginário puro.
Exercício 0.7.58 Determine a de modo que o número z =1 = 2i
2 + aiseja real.
Exercício 0.7.59 Determine os números complexos z tais que zz + (z − z) = 13 + 6i.
Exercício 0.7.60 Determine z ∈ C tal que z3 = z.
Exercício 0.7.61 Determine z ∈ C tal que z2 = i.
Exercício 0.7.62 Determine z ∈ C tal que z2 = 1 + i√
3.
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Exercício 0.7.63 Calcule o módulo dos seguintes números:
a) 3− 4i b)√
2 + i√
2 c) 12 + 5i d) cos θ + i sin θ
Exercício 0.7.64 Sendo x2 + y2 = 1, prove que1 + x+ iy
1 + x− iy= x+ iy.
Exercício 0.7.65 Calcule o módulo dea+ bi
a− bi, com a e b reais.
Exercício 0.7.66 Coloque na forma trigonométrica os seguintes números:
a) 3 + 3i b) 5− i5√
3 c) −√
3 + i d) i3
Exercício 0.7.67 Escreva o número complexo1
1− i− 1
ina forma a + bie na forma trigo-
nométrica.
Exercício 0.7.68 Escreva na forma trigonométrica os números;
a)5 + 5i
2− 2ib)
1
i+ (2− i) c)
1 + i
i
Exercício 0.7.69 Dado o número complexo z = 1 + i, determine o módulo e o argumento
do complexo z4.
Exercício 0.7.70 a) Determine o número complexo z tal que iz + 2z + 1− i = 0, em que i
é a unidade imaginária e z o conjugado de z.
b) Qual é o módulo e o argumento desse complexo?
c) Determine a potência de expoente 1004 desse complexo.
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Bibliogra�a
[1] Iezzi,Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, Trigonometria. Atual Editora.
1993.
[2] Iezi,Gelson. Fundamentos de Matematica Elementar, Complexos, Polinômios, equações.
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