３章 開水路における急変流 不等流(２)

３－１開水路流れに対する運動量の適用と比力

【１】流れにおける運動量

•運動量(Momentum) = 質量×速度（ベクトル）•流速 vを持つ流体が、断面積 Aをδt時間通過するときの質量は、

x

A

v

2

Av t vAv t

ρ δ

ρ δ

→

=

=

i （ベクトル）　（同一の向きについて考えれば

　　　　　　スカラー的に扱ってもよい）

Av tρ δ=

•この流体のもつ•運動量は、

【２】運動量の変化

1v 1A

1v tδ 2v 2A

2v tδ

運動量変化2 2

2 2 1 12 2

2 2 1 1

2 1

( )( )

A v t A v t

A v A v tQ v v t

ρ δ ρ δ

ρ δρ δ

= −

= −= −

ところで、Newtonの第２法則

: : dVm F m Fdt

= 　　　 質量　　 外力

について、両辺を ( , )t t tδ+ の間で積分すると、

[ ] [ ]t t t t

t t t t

t tt t

dVm dt Fdt m V F tdt

δ δδ δ

+ ++ += → =∫ ∫ i　

{ }( ) ( ) ( )m V t t V t F t t tδ δ+ − = + −i

( ) ( )mV t t mV t F tδ δ+ − = i

運動量の差 力積

流体では

運動量の差2 2

2 2 1 1( )A v A v t F tρ δ δ= − = =

2 1( )Q v v Fρ − =

力積

または、

外力 Fがゼロであれば 2 1Qv Qvρ ρ= となり運動量は保存される。

外力 Fを受けると運動量はその分だけ変化する。

【３】開水路への適用

①運動量の差（変化量）2 2

2 2 1 1( )A v A v tρ δ= −ここで、

1 1

2 2

,

,

v v A Av Av v x A A xx xδ δ

= =⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨∂ ∂

= + = +⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩とおくと、 x

v

xδ

v xxδ∂

∂

22A vA x v x Av t

x xρ δ δ δ⎧ ⎫∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞= + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

運動量の変化

2 22 22 v v vv v x x v x

x x xδ δ δ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2 22 2 2 2( )v A A vAv A x v x x Av t

x x x xρ δ δ δ δ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂

= + + + −⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

2 2)2 (v A AvA v x t x t

x x xρ δ δ ρ δ δ⎧ ⎫∂ ∂ ∂

= + =⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭i i

開水路の運動量変化量

•次に外力による力積を考える 外力＝重力＋圧力

①重力の流下方向成分による力積

x

AAA xxδ∂

+∂

xδ θ1 sin2

Ag A A x x tx

ρ δ δ θ δ⎧ ∂ ⎫⎛ ⎞+ + ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎩ ⎭

体積

21 sin2

Ag A x x tx

ρ δ δ θ δ∂⎧ ⎫= + ⋅ ⋅⎨ ⎬∂⎩ ⎭

singA t xρ θ δ δ= ⋅ ⋅ ⋅

zgA t xx

ρ δ δ∂= − ⋅ ⋅ ⋅

∂

(1)

(2)

coshh xxδ θ∂⎛ ⎞+⎜ ⎟∂⎝ ⎠

②圧力の差による力積

xδ θ

h

cosh θ

1P

cosghρ θ1

1 cos2

P gh hρ θ= ⋅

2P

coshg h xx

ρ δ θ∂⎛ ⎞+⎜ ⎟∂⎝ ⎠2

22

1 1cos 2 cos2 2

h h h hP g h x h x g h h x xx x x x

ρ δ θ δ ρ δ δ θ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + = + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

2 21 2

1 1cos cos cos2 2

hP P gh gh gh xx

ρ θ ρ θ ρ δ θ∂⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

y

dy断面全体の圧力差 coshg h dy x

xρ θ δ∂

= − ⋅ ⋅∂∫

A=断面全体の圧力による力積

coshgA x tx

ρ θ δ δ∂= − ⋅ ⋅ ⋅

∂(3)

(1)=(2)+(3)ゆえに

2)(Av x tx

ρ δ δ∂=

∂i zgA t x

xρ δ δ∂

− ⋅ ⋅ ⋅∂

coshgA x tx

ρ θ δ δ∂− ⋅ ⋅ ⋅

∂

21 ( ) cos 0Av z hgA x x x

θ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂【重要】開水路の運動量の式

ここで、もしも流線が連続であれば が存在する。このとき/v x∂ ∂2( ) ( )Av Av v Q vv Av v Av

x x x x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=0

212

vAx

∂=

∂21 1 cos 0

2v z hA

gA x x xθ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

緩勾配の場合は 1≈2

02

d vz hdx g

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

21 02

v z hg x x x∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

ベルヌイの式に一致！

2

02

d vz hdx g

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ベルヌイの式 が成立するのは、あくまでも

/v x∂ ∂ が存在するとき、すなわち流線が連続しているとき。

不連続流に対しては、運動量の式を用いなければならない。

21 ( ) cos 0Av z hgA x x x

θ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

【４】比力の定義と性質

21 ( ) cos 0Av z hgA x x x

θ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂において、

, cos 1, const.A Bh Bθ= ≈ = とすると。

21 ( ) 0Bhv z hgBh x x x

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂1 ( ) 0qv z hh hg x x x∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

q hv=

212

hx

∂∂

21 ( ) 1 02

qv z hhg x x x∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

2

02

d qv h dzhdx g dx

⎧ ⎫+ + =⎨ ⎬

⎩ ⎭

xのみの関数

2 2

02

d q h dzhdx gh dx

⎧ ⎫+ + =⎨ ⎬

⎩ ⎭【重要】長方形断面の運動量式

2 2

2q hFgh

≡ + 比力(Specific Force)

/ 0z x∂ ∂ = のとき、比力は一定に保たれる。

2 2

2q hFgh

= + qが一定のとき Fと hの関係を調べる。極値を調べる。

2

2 0F q hh gh

∂= − + =

∂

2 23 3

q qh hg g

= → = ch≡ :限界水深

このとき、2

2 223

2

3

1 32 2c c

v qF hgqg

g

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

F

h

232c cF h=

212

F h=

cF

ch

F

subh

superh

2 2

2q hFgh

= +

•限界水深は流量 qが一定のとき比力 Fを最小にする水深である。

• のとき をとるch h= 232c cF h=

•同一の Fに対して同一の qを与える常流水深と射流水深が存在する

常流水深

射流水深

重要

2 2

2q hFgh

= +次に を変形して、3

2 2 2 31 1( )2 2 2

ghghF q q gh F h ghF gh= + → = − = −

ConstF = において極値を調べる。

223 0

2q gF ghh

∂= − =

∂3

23ch F= このとき、

3322 2 322 1 2 2 2 2 ( )

3 2 3 3 3 3 c cq g F F F g F F g F g h gh⎧ ⎫ ⎛ ⎞= − ⋅ = ⋅ = = =⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠

3c cq gh∴ =

q

h3

c cq gh=

cq

ch

2Fsubh

superh

q

0 at 0 and 2q h h F= = =

•限界水深は比力 Fが一定のとき流量 qを最大にする水深である。

• において最大流量 をとる。

•あるいは において

ch h= 3c cq gh=

23ch h F= =

322

3cq q F⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

同一の流量 q に対して同じ Fの値をとる常流水深と射流水深が存在する。

まとめ

【５】不連続流への運動量式の適用

流線が不連続な流れに対してはベルヌイ式を用いることが出来ない。

このような場合は運動量の式を不連続点（面）をまたいで必要な区間積分する。

x

1 2

不連続なので微分は出来ないが積分は可

能

面積は存在する。

0zx∂

=∂

の場合は特に簡単で、

1 2

x22 2 2

2 2

1 1

2 22 2

2 12 1

1 12 2

1 1 02 2

q qh dx hx gh gh

q qh hgh gh

⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂+ = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

（定積分ゆえゼロとなる。）

ゆえに

2 22 2

2 12 1

1 12 2

q qh hgh gh

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠2h が与えられれば 1h を求めることができ、その逆も言える。

2 22 2

2 12 1

2 2

2 12 22 1

1 12 2

2 2

q qh hgh gh

q qh hgh gh

+ = +

+ = +　

明らかに違う！！！

運動量保存（比力保存）

エネルギー保存（比エネルギー）

開水路の運動量保存則は流線連続の条件のもとでベルヌイ式（比エネルギー）に一致するが、不連続の場合は積分を通じて全く別の式となる。

この両者の関係を用いてエネルギー損失量を求めることができる。

2 2

2 12 22 12 2

q qh h Egh gh

+ = + −∆　

E−∆

損失エネルギー

2

1 2 2 21 2

1 1( )2qE h hg h h

∆ = − + −