ayt_mod5

57lgebra y trigonometra

El nmero es una conquista del pensamiento humano.

2Potenciacin yradicacin

Mdulo 5 Leyes de los exponentes y los radicales Racionalizacin

EjerciciosCaptulo 2, mdulo 5

Captulo 2

Presentacin

En lgebra es esencial manejar cierto tipo de operaciones con el fin de cambiar oreducir determinadas expresiones algebraicas.

Se entender por expresin algebraica una expresin que est formada por constan-tes y variables y por operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicacin, divi-sin, potenciacin y radicacin.

Se entender por constante cualquier smbolo que se utiliza para nombrar exacta-mente una cosa; una variable es cualquier smbolo usado como concepto vlidopara constantes tomadas de un conjunto de referencia.

En este captulo se definirn los conceptos de exponenciacin y radicacin en losnmeros reales.

Contenido breve


Leyes de los exponentes y los radicales Racionalizacin

Introduccin

En este mdulo se le dar significado a expresiones como ,pqa

donde a, p, q sonnmeros, y se enunciarn las leyes que los rigen. Esta nueva notacin nos permiteobtener economa de smbolos al expresar grandes nmeros. Con esta notacin,

10010 es una representacin breve para un nmero que en la notacin usual requierede 101 cifras. Se estudiar tambin el concepto de racionalizacin.

Objetivos

1. Definir el concepto de base y exponente en los nmeros reales.2. Establecer las propiedades de los exponentes.3. Definir el concepto de raz ensima.4. Definir el concepto de racionalizacin.

Preguntas bsicas1. Qu significa racionalizar una expresin?2. Qu es la raz cuadrada de un nmero?3. Qu es base y qu es exponente?4. Cules son las principales leyes de los exponentes?

Contenido

5.1 Exponentes5.2 Propiedades de los exponentes5.3 Raz ensima5.4 Exponentes racionales5.5 Radicales5.6 Racionalizacin5.7 Factor racionalizador

Vea el mdulo 5 delprograma de televisin

lgebra y trigonometra

Visite el sitio

http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

5Alejandra

Por el ao 300 a. C. la ciudad griega de Alejandra, fundadapor Alejandro Magno en la costa mediterrnea de Egipto,era la urbe ms grande del mundo. Tena avenidas de 30metros de ancho, un magnfico puerto y un gigantesco faropara anunciar a los marinos que all se dirigan que seacercaban a su destino. El faro fue una de las siete maravillasdel mundo antiguo.

Alejandra era una ciudad cosmopolita donde convivan enpaz ciudadanos de muchas nacionalidades; era el lugar idealpara un centro internacional de investigacin. Ese centroera la biblioteca y museo de Alejandra. El museo, un lugardedicado a las especialidades de las nueve musas, era elcentro de investigaciones propiamente dicho. La bibliotecase guiaba por el ideal de reunir una coleccin de libros delmundo con obras griegas y traducciones al griego de obrasescritas originalmente en otras lenguas del Mediterrneo,el Medio Oriente y la India.

60

5.1 Exponentes

Sean a un nmero real y n un entero positivo, entonces:1. ... ,na a a a a n= veces.

2. 0 1a = , con 0,a 00 no est definido.

3. 1 ,nn

aa

= con 0.a

5.2 Propiedades de los exponentes

Si m y n son enteros y a y b son nmeros reales, entonces:1. .m n m na a a +=

2. ( ) . .mn n ma a=3. , con 0.

m m

m

a a bb b

=

4. ( ) .m m ma b a b=

5. , con 0.1

m nm

n

n m

aa

aa

a

=

Para que las definiciones anteriores sean razonables, no se define 00 . Si se tratara dedefinir se llegara a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo:

0 2 0 2 20 0 0 0 0 0 0.+= = = = O sea que como 20 0,= entonces 00 podra ser cual-quier nmero real y por tanto no estara determinado de forma nica.

Ejemplo 1

24 = 2 2 2 2 = 16; 230 = 1.

33

17 .7

= ; 5 7 5 7 21

.a a aa

= =

55

1.a

a

= ; ( ) 32 61 .a a

=

( )3 3 3 .a b a b= ;7 7

7 .a a

b b

=

5.3 Raz ensima

La raz cuadrada de un nmero b es un nmero r tal que r2 = b. La raz cbica de unnmero b es un nmero r tal que r3 = b. Se dir, en general, que r es una raz ensimade b si rn = b.

Capitulo 2: Potenciacin y radicacin

Escuche La historia deAlejandra en su multimedia de

lgebra y trigonometra


Mdulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - RacionalizacinEjemplo 2

2 y 2 son dos races cuartas de 16.

4 no tiene raz cuadrada real porque no existe ningn nmero real a que cumplaque 2 4.a =

Si n N y ,b R se dice que 1/ nb en una raz ensima de b.

Si n es par y b es positivo, entonces 1/ nb representa la raz ensima real positiva deb, y 1/ nb representa la raz ensima real negativa de b. Hay que hacer notar que

1/( ) nb no representa un nmero real.

Si n es impar y b es positivo o negativo, entonces 1/ nb representa la raz ensima realde b. Para todo n perteneciente a los enteros positivos, 1/0 0.n =

Ejemplo 3

Cmo podra definirse un smbolo como 2/ 37 ?

Solucin

Como las propiedades de los exponentes son vlidas para exponentes racionales,se tiene que:

( )22 / 3 1/ 37 7 .=O sea que la expresin anterior representa el cuadrado de la raz cbica de 7. Loanterior motiva la siguiente definicin:

5.4 Exponentes racionales

Sean m y n enteros positivos y b cualquier nmero real, con excepcin de que b nopuede ser negativo cuando n es par, entonces:

1. ( ) ( )1/1/ .m m nn mnb b b= =2.

1.

m

nm

n

bb

=

5.5 Radicales

Para n mayor que 1 y entero y b nmero real, excepto que b sea negativo cuando nes par, se define la raz ensima de b como b1/n y se denota como

.

n b

62


El smbolo se llama radical.El smbolo n se llama ndice.El smbolo b se llama radicando.

De lo anterior se concluye que:

1. ( )1 .m nm mn nb b b= =

2. ( )1 .m

mm

nn nb b b

= = Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades:

1..

n nx x=

2. .nn nxy x y=

3. .n

nn

x x

y y=

4. ..

m n m nx x=

Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedadde expresiones algebraicas que contienen radicales a formas equivalentes. Se diceque una expresin algebraica que contiene radicales est simplificada o en la formaradical ms simple, si se satisfacen las siguientes condiciones:

1. El radicando no contiene ningn factor con exponente mayor o igual alndice del radical.

2. El exponente del radicando y el ndice del radical no tienen otro factor comnaparte del 1.

3. No aparece ninguna fraccin dentro del radical.4. No aparece ningn radical en el denominador.

Ejemplo 4

Escriba en la forma radical ms simple la expresin 3 5 212 .x y z

Solucin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 5 2 2 4 2 2 2 212 4 3 2 3 2 3 2 3 .x y z x y z xy xy z xy xy z xy xy z xy= = = =

5.6 Racionalizacin

Racionalizar una expresin algebraica que contiene radicales en un denominadorconsiste en eliminar los radicales en un denominador.


Mdulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalizacin

Escuche Los grandes nmeros ensu multimedia de lgebra y

trigonometra

Las expresiones algebraicas que contienen denominadores se suman, se restan ymultiplican siguiendo las mismas reglas empleadas para las operaciones con frac-ciones de nmeros reales, es decir:

,

a c a d b cb d bd

++ = con b y d diferentes de cero.

,

a c a c

b d b d= con b y d diferentes de cero.

,

a c a db d b c

= con b y c diferentes de cero.

.

a ca d b c

b d= =

,

k a ak b b

= con k diferente de cero.

En las anteriores igualdades, a , b, c, d representan expresiones algebraicas.

Ejemplo 5

Racionalice la expresin 2

3

6.

9x

x

Solucin

32 2 2

3 3 3 2

6 6 3

9 9 3x x x

x x x=

(Por qu?).

( )3 3 32 2 2 2 2 2

3 3 33

6 3 6 3 6 3

327 3

x x x x x x

xx x

= = =

3 22 3 .x x=

Ejemplo 6

Simplifique 4 43 3 5 327 3 .a b a b

64

Capitulo 2: Potenciacin y radicacinSolucin

( )( )

( )( )

( )

4 43 3 5 3 3 3 5 34

4 8 6

42 24

4 42 24

1/ 442 2 2 2

2

27 3 27 3

81

3

3

3 3

3

a b a b a b a b

a b

a b b

a b b

a b b a b b

a

=

=

=

=

= =

=1/ 2

2

3 .b b

a b b=

5.7 Factor racionalizador

Una expresin con radicales se llama factor racionalizador de otra expresin conradicales, si su producto es libre de radicales.

Ejemplo 7

3 1 es factor racionalizador de 3 1+ porque ( )( )3 1 3 1 2. + =a x b y+ es factor racionalizador de a x b y (Por qu?).

Ejemplo 8

3 3x y es factor racionalizador de 3 2 23 33x x y y+ + porque su producto es

.x y

Ejemplo 9

Racionalice la siguiente expresin: .a ba b

+

Solucin

Notemos que a b+ es un factor racionalizador del denominador, pues

( )( ) .a b a b a b+ =

Multiplicando el numerador y el denominador por el factor racionalizador se obtiene:

( )( ) 2.

( )( )a b a b a b a a b b

a ba b a b a b+ + + + +

= =

+


Ejemplo 10

Simplifique y exprese con exponentes positivos111

2 432

2 2 2 .ay bx yx y a b

Solucin

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 21 1 1 2 2 23 3 32 2 2 4 4 4

1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 13 2 3 2 2 3 22 2 6 6 3

13

16

1112 432

2 2 2

.

ay bx ya y x b x y y a b

x y a b

a b x y b x y

y

xb

+

= = =

=

Ejemplo 11


2 1 4

1 3.

n n

n

a a ba ab

+

+

Solucin31 31 34 84 1 3 11

8 82 21 1 1

4 4

2 1 2

1 3.

n n

n

n

n

a a b a a a baa b a b

a ab a baa

+

+

= = =

Ejemplo 12

Simplifique y exprese con exponentes positivos

( )1

2 2

2

2

.

ab

a b

b

a b

ab b

x y

x

y

+

+

Solucin

( ) 21 2 2

2 2

2

22 2

.

aab bb

a b

a ba b

a b

bba b a b b b

a b ba b

ab b

x y x y y x y y x xyx yxx

y

++

+ +

+

= = = =


66

Ejemplo 13


1

2 2 7 3 9.

2 2 1 9 27

n n a a

an n a a

+

+

+ +

+ +

Solucin

( )( )

( )( )

( )

1

1

3 3

1 1

3

2 2 7 3 9 2 2 7 9 272 2 1 9 27 2 2 1 3 9

2 2 1 7 9 1 32 2 1 1 3 1 3

7 2 1 9 7 3 21.32 1

a

a

n n a a n n a a

an n a a n n a a

n a a

n a a

n

n

+ +

+ +

+ + + + =

+ + + +

+ + = + +

+= = =

+

Ejemplo 14

Simplifique y exprese con exponentes positivos

( ) ( )( )

2 2

22

.

1

x x x x

x xx x

x x

a a a a

a aa a

a a

+

+

+

Solucin

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2222

22

2 22 2

1

4 2 2.2 1

x x x x x x x x

x x x xx x

x xx x

x x x x

x

x x xx x

x x

a a a a a a a a

a a a aa a a aa aa a a a

a

a a aa a

a a

+ + + + =

+ + + ++ + +

= = =

+ +++

Ejemplo 15

Simplifique y exprese con exponentes positivos2 2

2 2

2.

a b a b a ba b

a b a b a b + +

+ +



Solucin

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 22 2

2 2

2

.

a b a b a b a a b b a b a ba b

a b a b a b a b a b a ba ba a b b a b a b

a b a bb b a b

a ba b

+ + + + + = +

+ + +

+ + =

+

= =

Ejemplo 16

Simplifique y exprese con exponentes positivos3 2 5

23 3 5 7

2 18 50 32.

5a b a b a

aab ab b b

+ +

Solucin

3 2 5 2 2 22

3 3 5 7 2 3

2

2 2 2

2

2 18 50 32 2 3 2 5 2 4 25 5

2 3 2 2 4 2

2 3 2 2 4 2

2 2.

a b a b a a a a b a a b aa

ab ab b b b b b ab b b ab ba a a a a a

b b b ab b b b ba a a a

b aba ab

bb ab

+ + = + +

= + +

+ + =

= =

Ejemplo 17

Racionalice2 2

2 2

1 1.

1 1x x

x x

+

+ +

Solucin. La frmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factorracionalizador:

2 21 1x x+ .


68

Entonces,

( ) ( )( )( )

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

4 4

2 2

1 1 1 11 11 1 1 1 1 1

1 1 2 (1 )(1 )1 (1 )

2 2 1 1 1.

2

x x x xx x

x x x x x x

x x x x

x x

x x

x x

+ + + =

+ + + + +

+ + + =

+

= =

Ejemplo 18

Racionalice2

2

9 3.

9 3x

x

+

+ +

Solucin. La frmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factorracionalizador:

29 3x+ .

Entonces,

( )( )( )( )

2 22

2 2 2

2 2 2 2

2 2

9 3 9 39 39 3 9 3 9 3

9 9 6 9 6 9 18.

9 9

x xx

x x x

x x x x

x x

+ + + =

+ + + + +

+ + + + += =

+

Ejemplo 19

Racionalice

2 6.

2 3 5+

Solucin. Utilizando como factor racionalizador ( 2 3) 5+ + se obtiene:



( )( ) ( ) ( )2

2 6 2 3 52 6 4 3 6 2 2 302 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5

4 3 6 2 2 30 4 3 6 2 2 302 3 2 6 5 2 6

4 18 6 12 2 180 12 2 12 3 12 5 2 3 5.12 12

+ + + += =

+ + + + +

+ + + += =

+ +

+ + + += = = + +

Ejemplo 20

Racionalice

3 2 23

1.

x y+

Solucin. En este caso para hallar el factor racionalizador se utiliza la frmula de lasuma de cubos:

( ) ( )3 3 2 2 .a b a b a ab b+ = + +En ocasiones tambin es necesario usar la frmula de la diferencia de cubos:

( ) ( )3 3 2 2 .a b a b a ab b = + +Utilizando entonces como factor racionalizador:

( )3 34 2 2 43 3 ,x x y y +se obtiene

( )( ) ( )

3 34 2 2 43 3

3 2 2 3 3 32 2 4 2 2 43 3 3 3

3 4 2 2 43 3

2 2

1

.

x x y y

x y x y x x y y

x x y yx y

+=

+ + +

+=

+


70

1. Simplifique ( ) 163 1 2 1 2 4 .ab c a b c RTA: 12a .2. Simplifique

1 1

1 13 2

.

2 3

+

3. Simplifique ( )2 212 1 .nnn n n n nx x x xx

+ + +

RTA: 1.

4. Simplifique 12 1 1

2 1 1

.

a a ba a b

+

5. Simplifique

1

9 27.

3 9

nn n

n n

+ + RTA: 3.

6. Simplifique ( ) ( )1 1

1 11

2 4.

2 2

n n

n nn n

+ +

+

7. Simplifique 1

2 2

3 2

3( ).

a

n

a ba b

a a ab

xa

x

+

RTA: 3 ( )n a ba + .

8. Simplifique

12 1

.2 1

mmx

mx

9. Simplifique 1413 2 2 2

52 3 2 2 .

a b b ab a a b

RTA: 1 15 5

.a b

10. Racionalice la siguiente expresin:2

.

3m

m n+

11. Simplifique ( ) ( )1 1

1 11

2 4.

2 2

n n

n nn n

+ +

+

RTA:

1.

4

12. Racionalice la siguiente expresin: 31

.

0.008

13. Simplifique 4 1

23 6 3

.

7 3

n n

n

+ +

+

RTA: 1.

14. Racionalice la siguiente expresin: 2

.

3 2

Captulo 3: Potenciacin y radicacin

Ejercicios del captulo 2 (mdulo 5)


15. Simplifique ( )1 4 322 4 3 36 2 4 .163 8 81x x x

x x

x x

+

+

RTA: 6 33

.

2 x+

16. Efecte las siguientes operaciones y escrbalas en la forma ms simple:2

13 2 4 2

.

2 2

n n

n n

17. Simplifique ( ) ( )( )

( ) ( )11 22 24 4

2 22 .x xx x

x x x x x x x x

e eae ae

e e ae ae e e e e

+ +

+ + RTA: 2.

18. Efecte las siguientes operaciones y escrbalas en la forma ms simple:( )

( )2 2 2

12

.

x y x y

x y

+

19. Simplifique ( ) ( )

( )1 22 ( 1)

1 11

3 81 243.

3 27

a aa a a a

a aa

+ +

RTA: 9.

20. Efecte las siguientes operaciones y escrbalas en la forma ms simple:4 1

23 6 3

.

7 3

n n

n

+ +

+

21. Simplifique ( )

( )( )

( )( )( )

2

2

2 12 2 1

1 3 1 22

5 5 3 5.

3225 5 3 3

nn n n n

n n nn n

+

+

RTA: 2.025.

22. Simplifique completamente ( ) ( )( ) ( )

1 1

1 1 .m n m n

m n m n

+

+ +

23. Simplifique y racionalice ( )

2 23

23

( )( ).

b c b c

b c

+ RTA:

( )22 23.( )

b cb c

+

24. Demuestre que .1 1n nn n

nx x

+ =

25. Simplifique y racionalice 3 3

.

3 3x y x yx y x y

++

+ RTA:

2 2

2 2

2 9.

9x x yx y

26. Demuestre que 2 1 4 14 6 1

.

44 2

n

nn n+ +

=

+

27. Racionalice 2

2 2.

y

x x y+ RTA: 2 2

.x x y

28. Demuestre que 3

12 2 7 7.2 2 1

n n

n n

+

+

+=

+

72

29. Racionalice 2 3

.

2a b a ba b a b+ +

+ RTA:

( )2 27 8.

3 5

a b a b

a b

+ +

+

30. Racionalice 2 5 7

.

2 5 7

+ +


.

1 2 3+

+ + RTA: 1 2 3. +

32. Demuestre que 1 1 1.

1 1m n n mx x + =

+ +

33. Racionalice 3 6

.

5 3 2 12 32 50+

+ RTA: 3.

34. Simplifique completamente 3 8 5 18 .2

+


.

2 3 5 +

+ RTA:

6 15.

3+

36. Simplifique completamente 4 4

2 2 .

m n

m n

x x

x x

+

37. Racionalice 31

.

2 3 RTA: 3 32(4 3 9)

.

5+ +

38. Simplifique completamente 1 1

1 1( ) ( )

.( ) ( )m n m n

m n m n

+

+ +


1.

x xy y+ + RTA:

3 3

.

x yx y

40. Escriba en la forma ms simple

11.

49 3 3.

3 3

n nn

n

+

41. Racionalice 33 31

.

9 6 4+ + RTA: 33 3 2.

42. Demuestre que

11 2 2

. .

p q p q p p q pp qp q p q

+ + = + +

ayt_mod5

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