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4STEP 数学Ⅰを解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp

1

図形と計量 7 三角形の面積三角形の面積 1

△ABC の面積を S とすると， CabBcaAbcS sin21sin

21sin

21

===

解説

B から直線 AC に下ろした垂線の足を H とすると，

Ac sinBH = より， AbcbS sin21BH

21

=×=

A

B C

c b

A

a

B C

A

B C

H

c b

A


2

B から直線 AC に下ろした垂線の足を H とすると，

( ) AcAc sin180sinAH =-°= より， AbcbS sin21AH

21

=×=

同様にして， BcaS sin21

= ， CabS sin21

= も成り立つ。

よって， CabBcaAbcS sin21sin

21sin

21

===

三角形の面積 2 ヘロンの公式 3 辺の長さが cba ,, である三角形の面積 S は

( )( )( )csbsassS ---= ただし，2

cbas ++=

導き方

Acb

Abc

SS

222

2

2

sin41

sin21

=

÷øö

çèæ=

=

　

　

ここで， 1cossin 22 =+ AA より， AA 22 cos1sin -=

また，△ABC において，余弦定理より，bc

acbA2

cos222 -+

=

よって，

( )bc

acbbcbc

acbbc

bcacb

bcacb

bcacbA

22

22

21

21

21sin

222222

222222

22222

-+-×

-++=

÷÷ø

öççè

æ -+-÷÷

ø

öççè

æ -++=

÷÷ø

öççè

æ -+-=

　　　

　　　

A

B C

H

c b

A


3

( ) ( )

( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( )( )( )( )22

2222

222222

4

22

22

22

22

cbcbacbacbacba

bccbacba

bcacbacbbc

cbabc

acbbc

cbcbabc

acbcb

+--+++-++=

---+×

-+++=

--×

-+=

×+--

×-++

=

　　　

　　　

　　　

　　　

ゆえに，

( )( )( )( )

( )( )( )( )

÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++++=

-+×

+-×

++-×

++=

-++-++-++=

-++-++-++×=

=

ccbabcbaacbacba

cbacbacbacba

cbacbacbacbacb

cbacbacbacbacb

AcbS

2222

2222

16

441

sin41

2222

222

　

　

　

したがって，2

cbas ++= とおけば， ( )( )( )csbsassS ---= と表せる。

三角形の内接円と面積

△ABC＝△ABI＋△BCI＋△CAI より， ( )cbarbrarcrS ++=++=21

21

21

21

A

B CD

EF

I

a

b c

r

r r


4

288

(1)

△ABC≡△CDA より，平行四辺形 ABCD の面積は△ABC の面積の 2 倍である。

よって，平行四辺形 ABCD の面積を S とすると，

2

31560sin53212 =°××××=S

(2)

6ADBC == より，△ABC の面積は ( ) 2645sin1245180sin12135sin6421

=°=°-°=°××

よって，平行四辺形 ABCD の面積は 212

A

B C

D

3

5

60°

A

B C

D

4

6

135°


5

289

(1)

△ABD の面積

( )

21

21

22

45sin22

45180sin22

135sin2121AADsinAB

21

=

×=

°=

°-°=

°××=Ð×

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

△BCD の面積

23

21

223

45sin2321CCDsinCB

21

=

×=

°××=Ð×

　　　　　　　

　　　　　　　

よって，四角形 ABCD の面積は 223

21

=+

A

B C

D

1

3

2

2 °135

°45


6

(2)

△ABC の面積

( )

4315

23

215

60sin2

15

60180sin2

15

120sin5321BBCsinBA

21

=

×=

°=

°-°=

°××=Ð×

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

△ACD の面積

( )1DcosDsin,0DsinDcos110

Dsin5421DDCsinDA

21

222 =Ð+Ð>ÐÐ-=

Ð××=Ð×

　　　　　　　　　

ここで，△ABC において，余弦定理より，

( )( )

7213034

60cos3034

60180cos532259

BCcos120BA2BCBAAC 22

=

÷øö

çèæ-×-=

°-×-=

°-°××-+=

°××-+=

　　

　　

　　

　　

よって，△ACD において，余弦定理より，

51

542492516

DC2DAACDCDADcos

222

-=

××-+

=

×-+

=Ð

　　　　

　　　　

ゆえに，

64

51110

Dcos110DDCsinDA21

2

2

=

÷øö

çèæ--=

Ð-=Ð×

　　　　　　　　

　　　　　　　　

よって，四角形 ABCD の面積は 644

315+


7

補足

△ACD の面積をヘロンの公式を使って求めると， 4DA5,CD7,AC === より，

64

431842

45752

45772

4572

457

=

×××=÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++×

++

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ヘロンの公式 3 辺の長さが cba ,, である三角形の面積 S は

( )( )( )csbsassS ---= ただし，2

cbas ++=

A

B C

D

°120

3

4

5

5


8

290

(1)

△ABC において，余弦定理より，

Bcos422164

BBCcos2ABBCABAC 222

Ð××-+=Ð×-+=

　　　

Bcos1620 Ð-= ・・・①

△ACD において，余弦定理より，

Dcos1213Dcos32294

DCDcos2DACDDAAC 222

Ð-=Ð××-+=

Ð×-+=

　　　

　　　

ここで，四角形 ABCD は円に内接しているから，

( )Bcos

B180cosDcosÐ-=

Ð-°=Ð　　　　

よって， Bcos1213AC 2 Ð+= ・・・②

①，②より， Bcos1213Bcos1620 Ð+=Ð- 41Bcos =Ð\

これを①に代入すると， 16AC 2 = 4AC =\ (2)

△ABC の面積

15

4114

Bcos14221BsinBCBA

21

2

2

=

÷øö

çèæ-=

Ð-××=Ð×

　　　　　　　　

　　　　　　　　

または

ヘロンの公式より，

15

1135

42

44242

44222

4422

442

CA2

CABCABBC2

CABCABAB2

CABCAB2

CABCAB

=

×××=

÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++++=

÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++×

++

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　


9

△ACD の面積

4153

4113

Dcos13221DsinDCDA

21

2

2

=

÷øö

çèæ--=

Ð-××=Ð×

　　　　　　　　

　　　　　　　　

または

ヘロンの公式より，

4153

22

23432

23442

2342

234

DA2

DACDACCD2

DACDACAC2

DACDAC2

DACDAC

=

÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++++=

÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++×

++

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　

よって，四角形 ABCD の面積は4157

415315 =+

A

B C

D

2

4

3

2


10

291

(1)


( )

1360cos610

60180cos610120cos13219

BBCcos2ABBCABAC 222

=°+=

°-°-=°××-+=

Ð×-+=

　　　

　　　

　　　

　　　

これより，△ACD において，余弦定理より，

( )

3DADA9

60cos6DADA9

B180cosDA32DA9

DDAcos2CDDACD13

2

2

2

22

-+=

°-+=

Ð-°××-+=

Ð×-+=

　　

　　

　　

よって， 043DADA 2 =-- すなわち ( )( ) 04DA1DA =-+

ゆえに， 0DA > より， 4DA =

四角形 ABCD の面積は△ABC の面積と△ACD の面積の和と等しいから，

求める面積は

( )

4315

23

215

60sin2

1223

60sin2

1260180sin23

60sin3421120sin13

21DDCsinDA

21BBCsinBA

21

=

×=

°÷øö

çèæ +=

°+°-°=

°×××+°×××=Ð×+Ð×

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　


11

A

B C

D

3

1

3

°120


12

(2)


Bcos223

Bcos21221

BBCcos2ABBCABCA 222

Ð-=

Ð××-+=

Ð×-+=

　　

　　

△ACD において，余弦定理より，

( )Bcos249

B180cos122218

DDAcos2CADACDAC 222

Ð+=

Ð-°××-+=

Ð×-+=

　　

　　

よって， Bcos249Bcos223 Ð+=Ð- 2

1Bcos -=Ð\

これより， °=Ð 135B

また， °=Ð-°=Ð 45B180D

四角形 ABCD の面積は△ABC の面積と△ACD の面積の和と等しいから，求める面積は

23

21221

21

2121

21DCcos45DA

21BCcos135BA

21

=×××+×××=°×+°××

A

B C

D

1

2

22

1


13

292

内接する正 n 角形の面積

正 n 角形は，外接円の中心 O と頂点を結ぶことにより，

合同な n 個の二等辺三角形に分割できる。

よって，その 1 つの二等辺三角形を△OAB とすると，

n°

=Ð360AOB ， r== OBOA の頂角は

n°360より，△OAB の面積は

nr °360sin

21 2

ゆえに，求める面積はn

nrn

rn °=

°´

360sin21360sin

21 22

BA

O

n°360

r r


14

外接する正 n 角形の面積

正 n 角形は，内接の中心 O と頂点を結ぶことにより，

頂角がn°360の n 個の合同な二等辺三角形に分割できる。

そこで，その 1 つの二等辺三角形を△OAB，

O から辺 AB に下ろした垂線の足を H とすると，

AB⊥OH より，H は辺 AB と内接円の接点だから， r=OH

また，二等辺三角形の性質より，

AB21AH = 2AHAB =\

nn°

=°

×=Ð=Ð180360

21AOB

21AOH

よって，△OAB の面積は

nr

n°

=°

×=×=××=×180tan180tanOHOHAHOHAH2OH

21ABOH

21 2

ゆえに，求める面積はn

rn °180tan2

O

BA H

n°180

r


15

293

(1)

△ABC の面積を S とすると，

( )

( )

r

r

cbarS

215

6542121

=

++=

++=

　

　

また，

4715

542362516110

2110

cos15421

sin21

2

2222

2

=

÷øö

çèæ

××-+

-=

÷÷ø

öççè

æ -+-=

-××=

=

　

　

　

　

abcba

C

CabS

よって，4

7152

15=r

27

=\r

補足

ヘロンの公式から S を求めると，

4715

23

25

27

215

62

1552

1542

152

15

2222

=

×××=

÷øö

çèæ -÷øö

çèæ -÷øö

çèæ -=

÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++++=

　

　

　

ccbabcbaacbacbaS


16

(2)


( )

( )

( )r

r

r

Abccbr

ar

cbarS

14

151321

15218726449

21

15cos221

872121

22

=

+=

÷÷ø

öççè

æ+÷

øö

çèæ-×××-+=

÷øöç

èæ +-+=

++=

++=

　

　

　

　

　

また，

3142328

120sin8721

sin21

=

×=

°××=

=

　

　

　

AbcS

よって， 31414 =r 3=\r


17

294

(1)

3102320

60sin5821

sin21

=

×=

°×××=

=

　

　

　

CabS

(2)

余弦定理より，

749

218089

60cos5822564

cos222

==

×-=

°××-+=

-+=

　

　

　

　

Cabbac

(3)

( )

( )r

r

cbarS

10

7582121

=

++=

++=

　

　

(1)より， 310=S だから， 31010 =r 3=\r (4)

正弦定理より， RC

c 2sin

=

337

37

232

760sin2

7sin2

=

=

×

=

°=

=\

　　

　　

　　

　　

CcR


18

295

△ABC＝△ABD＋△ACD であるから， x=AD とおくと，

°×××+°×××=°×× 30sin152130sin10

2160sin1015

21 xx より，

2115

21

2110

21

231015

21

×××+×××=××× xx

両辺を 4 倍し，整理すると， x253150 = 36=\x

ゆえに， 36AD =

A

B CD

15

10 x

°30 °30


19

296

△OAB の面積= °× 45sinOBOA21

△OBC の面積= °×=°× 45sinOCOB21135sinOCOB

21

△OCD の面積= °× 45sinODOC21

△ODA の面積= °×=°× 45sinOAOD21135sinOAOD

21

よって，四角形 ABCD の面積は

°× 45sinOBOA21

°×+ 45sinOCOB21

°×+ 45sinODOC21

°×+ 45sinOAOD21

( )

( ) ( ){ }

( )( )

27

7442

BDAC42

ODOBOCOA42

OCOAODOCOAOB42

OAODODOCOCOBOBOA245sin

=

××=

×=

++=

+++=

×+×+×+×°

=

O

A

B C

D

4

7 45°


20

297

(1)

正弦定理より，C

cA

asinsin

=

( ){ }

( )BAAc

BAAc

CAca

+=

+-°=

=\

sinsin180sin

sinsinsin

　　

　　

(2)

( )

( )BABAc

BcBA

Ac

BacS

+=

×+

×=

=

sin2sinsin

sinsin

sin21

sin21

2　

　

298

(1)

底面を△OBC とすると，

底面積= 22221

=××

高さ OA=2

よって，3422

31

=××=V

(2)

△ABC は 1 辺の長さが 22 の正三角形であるから，

3260sin222221

=°××=S

(3)

OH31

×= SV ，34

=V ， 32=S より，

3323OH ==

SV


21

299

△ABH は °=Ð 90AHB の直角二等辺三角形だから， AH2AB =

よって，正方形 ABCD の面積は 22 2AHAB =

したがって，正四角錐の体積をV とすると， 22 AHPH322AHPH

31

×=×=V

これと， °=Ð 90AHP の直角三角形 PAH において， qsinAH a= ， qcosPH a= より，

qqqq cossin32sincos

32 2322 aaaV =×=

P

A B

CD

H

q

a


22

300

(1)

正三角形 BCD の面積=4

3960sin3321

=°×× ・・・①

A から正三角形 BCD に下ろした垂線の足を H とすると，△ABH，△ACH，△ADH は斜

辺の長さが等しく AH を共有する直角三角形だから，合同である。よって， DHCHBH ==

これより，H は正三角形 BCD の外接円の中心，BH は外接円の半径ということになり，

正弦定理より， BH260sin3

=°

360sin2

3BH =°

=\

よって，△ABH において，三平方の定理より， 639BHABAH 22 =-=-= ・・・②

ゆえに，①，②より，正四面体 ABCD の体積=4

2964

3931

=××

これと，正四面体 ABCD の体積= V4 より，16

29=V

補足：H は△BCD の重心でもある。

H が外心であるということは，H は各辺の垂直二等分線の交点である。

二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は，頂点を通るから，頂点から底辺に引いた中線

でもある。したがって，正三角形の場合，垂直二等分線の交点すなわち外心と中線の

交点すなわち重心が一致する。ということは，H は△BCD の重心でもある。

すると，上図において，2

33BC23BM == 3BM

32BH ==\

A

B

C

D

H

3

M

3

3

3

3

3


23

(2)

△BCD を四面体 OBCD の底面にとると，底面積は4

39，高さは内接球の半径 r だから，

rrV4

334

3931

=××=

また，(1)より，16

29=V

よって，16

294

33=r

46

=\r

これより，球の表面積= pp234 2 =r ，球の体積= pp

86

34 3 =r

解説：「正四面体 ABCD の体積＝4×四面体 OBCD の体積」の導き方

導き方 1

内接球と各面との接点を 321 E,E,EH, とすると，

321 OE,OE,OEOH, は内接球の中心 O から各面に下ろした垂線かつ内接球の半径だから，

それぞれ O を頂点としたときの四面体 OECD, OACD, OABD, OABC の高さは内接球の半

径と等しい。よって，4 つの四面体はいずれも底面が合同で高さが等しい。

ゆえに，「正四面体 ABCD の体積＝4×四面体 OBCD の体積」が成り立つ。

O

A

B

C

D

H

E1

E2

E3r r

r

r


24

導き方 2

△AHM と直線 BE において，メネラウスの定理より， 1EAME

BMHB

OHAO

=×× ・・・①

H，E はそれぞれ△BCD，△ACD の重心だから，BH：HM = AE：EM = 2：1

よって，32

122

BMHB

=+

= ・・・② 21

EAME

= ・・・③

①～③より， 121

32

OHAO

=×× \AO：OH = 3：1

ゆえに，AH：OH = 4：1 すなわち 4OHAH =

したがって，底面を△BCD とすると，

正四面体 ABCD の高さは四面体 OBCD の高さの 4 倍だから，

正四面体 ABCD の体積＝4×四面体 OBCD の体積

O E

A

B

C

DH

M

OE

A

B

H

M


25

301

(1)

球の半径を r とし，立体を底面と平行に球の中心を通るように切断すると，

その断面は，3 辺の長さが 5,6,7 である三角形に半径 r の円が内接している図になる。


( ) rrS 976521

=++= ・・・①

56215

652756115

Bcos115

Bsin6521

2222

2

×=

÷÷ø

öççè

æ

××-+

-=

Ð-=

Ð××=

　

　

　

S

66= ・・・②

①，②より， 669 =r 3

62=\r

ゆえに，球の表面積 pp3

322

6242

=÷÷ø

öççè

æ×= ，球の体積 pp

27664

262

34

3

=÷÷ø

öççè

æ×=

A

B C

I

6

7

5

r

r

r


26

補足

S をヘロンの公式から求めると，

66

72

76562

76552

7652

765

=

÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++++=

　

S

(2)

表面積 = 側面積＋2×底面積

( )

636

662183

64

27652

=

×+×=

+++= Sr

体積 = 底面積×高さ

483

6466

2

=

×=

×= rS

(3)

球の表面積：三角柱の表面積＝ p3

32： 636

＝ p8 ： 627 (4)

球の体積：三角柱の体積＝ p27

664：48

＝ p8 ： 627 ＝球の表面積：三角柱の表面積

補足

球の表面積＝ 24 rp ，三角柱の表面積＝側面積＋2×底面積＝ ( ) ( ) ( )cbarcbarcbar ++=+++++ 32

よって，球の表面積：三角柱の表面積＝ rp4 ： ( )cba ++3

球の体積＝ 3

34 rp

三角柱の体積＝底面積×高さ＝ ( ) ( )cbarrcbar ++=×++ 2221

よって，球の体積：三角柱の体積＝ rp4 ： ( )cba ++3

ゆえに，球の体積：三角柱の体積＝球の表面積：三角柱の表面積


27

302

三平方の定理より， ( ) 6452OB 22=+=

よって， 3OP =

O

PA

B

4

52

4 //

//


28

直円錐の側面を母線 OB から切り開いてできる扇形をOBB' とすると，

弧BB'の長さは，直円錐の底面の円周の長さと等しいから， pp 842 =×

一方，扇形の中心角の大きさを °x とすると，弧BB'の長さは pp30360

62 xx=

°°

´×

よって， pp 830

=x

より， 240=x

したがって，側面図は下図のようになる。

ゆえに，△AOP において，余弦定理より，

73

1845

120cos36236AP 22

=

+=

°××-+=

　　

　　

P

B’

A

B

O

3

6 °120

°120


29

303

(1)

142124762

65352

65332

6532

653=×××=÷

øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++++

(2)

4153

21

23

25

294

24323

24322

2432

2432

=×××=÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++++

ヘロンの公式 3 辺の長さが cba ,, である三角形の面積 S は

( )( )( )csbsassS ---= ただし，2

cbas ++=

導き方

Acb

Abc

SS

222

2

2

sin41

sin21

=

÷øö

çèæ=

=

　

　

ここで， 1cossin 22 =+ AA より， AA 22 cos1sin -=

また，△ABC において，余弦定理より，bc

acbA2

cos222 -+

=

A

B C

c b

A

a

B C


30

よって，

( )bc

acbbcbc

acbbc

bcacb

bcacb

bcacbA

22

22

21

21

21sin

222222

222222

22222

-+-×

-++=

÷÷ø

öççè

æ -+-÷÷

ø

öççè

æ -++=

÷÷ø

öççè

æ -+-=

　　　

　　　

( ) ( )

( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( )( )( )( )22

2222

222222

4

22

22

22

22

cbcbacbacbacba

bccbacba

bcacbacbbc

cbabc

acbbc

cbcbabc

acbcb

+--+++-++=

---+×

-+++=

--×

-+=

×+--

×-++

=

　　　

　　　

　　　

　　　

ゆえに，

( )( )( )( )

( )( )( )( )

÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ -

++++=

-+×

+-×

++-×

++=

-++-++-++=

-++-++-++×=

=

ccbabcbaacbacba

cbacbacbacba

cbacbacbacbacb

cbacbacbacbacb

AcbS

2222

2222

16

441

sin41

2222

222

　

　

　

したがって，2

cbas ++= とおけば， ( )( )( )csbsassS ---= と表せる。

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