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等分正多邊形面積的研究

論文題目: 等分正多邊形面積的研究

城市: 香港

學校名稱: 中華基督教會銘基書院

姓名(班別): 王治心(中二甲)

指導老師姓名:張家驍老師

等分正多邊形面積的研究

2

目錄

一、導論 3 - 5

二、探究如何等分正方形 6 -17

三、探究如何等分正三角形 18- 21

四.、探究任意等分正 n 邊形 22-27

五、總結 28

參考資料 29

3

一、導論

(1) 研究動機

「幾何」的原文是”geometria”(英文 geometry)原意為測地術，發祥於埃及。在古埃及，每

年尼羅河氾濫後，耕地需要重新丈量地界，而埃及人的測量是僅限於用手或簡單的工具。而

在這份研習，我們將會探討如何不透過用任何量度工具，只運用幾何定理去等分正多邊形。

利用摺紙，我們一定試過將一張正方形摺紙對摺平分、四分、甚至八分。但在沒有任何

量度工具下，如何能夠將正方形三分、五分、六分呢？甚至將一個正方形分為任意等分呢？

除了正方形外，還有其他的正多邊形，包括正三角形、正五邊形、正六角形等，可有一

個方法能讓我們去等分不同的正多邊形？如果有，又有多少種不同的等分正多邊形方法？

在這個研習，我將會探究如何運用正多邊形的特性，對稱性及幾何定理，透過摺紙的方法去

探究如何等分正多邊形為任意等分。在這份報告，我只考慮所得的等份形狀為凸多邊形 (所

得的等份為凹多邊形或邊界為曲線的，不在這次討論範圍之內) 。

為了解開以上的謎團，現在開始這個等分正多邊形之旅。

(2) 研究策略

正多邊形是等邊等角的圖形，有着不同的對稱性，如旋轉及反射對稱。在這個報告我會

利用正多邊形的特性，全等三角形、等底等高三角形及不同的幾何定理去探究如何等分正多

邊形：

(I)利用旋轉對稱

例：

若沿對稱角線 AC 可平分正方形 ABCD，當 AC 以圖形的中心順時針旋轉 90O時，所得對角線

BD 同樣可平分正方形。(圖 1.1)

圖 1.1

圖形的中心

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

M

N

P

Q

4

(II) 利用正多形的特性

例：

ABCDE 為正五邊形，其每一條邊長都是相等的，F 為圖形的中心，以各頂點連接中心點 F，便

得五個全等三角形，它們的面積必然相同。(圖 1.2)

圖 1.2

(iii 利用邊界上的等分點——分割成等底等高三角形

例：

P1P2為 AB 的三等分點，即 AP1= P1P2= BP2，則 CP1及 CP2將 ΔABC分割為三個等底等高三角形，

其面積必然相等。(圖 1.3a)

圖 1.3a

同理，若以(n-1)個 n 等分點將 AB 等分 n 等個線段，並以各 n 等分點 ( 1P , 2P , …, 1nP )連接至

頂點 C，便能將 ΔABC 分為 n 等分。(圖 1.3b)

圖 1.3b

A B

C

1P 2P 3P

2nP

1nP

……

A B

C

1P 2P

5

(3)探究流程

我會首先探究如何等分正方形，因為一般的摺紙都是正方形的，而且正方形有不同的對

稱性。接着，再探究如何等分正三角形，其實不同的正多邊形都是由三角形(包括正三角形及

等腰三角形)組成的。我們可以運用從等分正方形及正三角形的方法去等分任意的正多形。

等分正方形

等分正三角形

等分任意正多邊形

6

二、探究如何等分正方形

(1) 二分、四分正方形

(i) 二分正方形

ABCD 為正方形，則 AB=BC=CD=AD

圖 2.1

設 M、N、P、Q 分別為 AB、BC、CD 及 AD 的中點。經頂點、中點的對摺線能將正方

形 ABCD 分為兩等分。

二分正方形有不同的方法，最常用的包括利用對邊中點(圖 2.2a) 及對角線(圖 2.2b)。

圖 2.2a

圖 2.2b

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

M

N

P

Q

7

除以上的方法外，任何經過正方形中心的摺線均能二分正方形：

首先找出正方形的中心：正方形對角線相交於點 G，點 G 為正方形 ABCD 的中心(圖

2.3a)。接着，任何經過正方形中心的摺線如 XY 均能二分正方形。(圖 2.3b)

圖 2.3a 圖 2.3b

証明：任何經過正方形中心的摺線均能二分正方形

點 G 為正方形 ABCD 的中心，已知 PM(穿過 CD 和 AB 這兩條對邊的中點)能二分正方形

ABCD。X、Y 分別為 CD 及 AB 的任意兩點，且 XY 穿過 G。(圖 2.4)

:

圖 2.4

∠XGP = ∠YGM (vert. opp. ∠s)

∠PXG = ∠MYG (alt. ∠s，CD // AB)

PG = MG (G 為中心點)

∴ ΔXGP ΔYGM (AAS)

∴ 四邊形 AYXD 的面積與四邊形 BYXC 的面積相等。

∴任何經過正方形中心的摺線均能二分正方形，因此有無限種方法二分正方形。

A B

C D X P

G

Y

A B

C D X P

G

Y

A B

C D

M

N

P

G

M

8

(ii) 四分正方形

四分正方形與二分正方形相似，其中的方法包括利用對邊中點、對角線及考慮正方形

的旋轉對稱性：

- 利用對邊中點、對角線將正方形均分為 4 個大小形狀相同的等分。(圖 2.2a)

- 利用頂點及中點將正方形均分為 4 個大小形狀相同的等分。(圖 2.2b)

圖 2.2a

圖 2.2b

除此之外，將原先的分割線以圖形的中心順時針(或逆時針)任意旋轉，亦能將正方形均分為四

個大小形狀相同的等分(圖 2.3a, 2.3a)。

圖 2.3a 圖 2.3b

圖形的中心

因此，有無限種方法去二分或四分正方形。

A B

C D

M

N

P

Q

x

Q

x

Q

x

Q

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

a

b

b

a

b

b

a

a

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

M

N

P

Q

9

(2) 三分正方形

去均分正方形為三個面積相等的部分，就要先討論如何去找出每條邊的三等分點。

(i) 找出三等分點

ABCD 是一個正方形，M 為 AB 的中點，為 AC 及 MD 的相交於點 T。

證明 AT : AC=1:3

∠ATM = ∠CTD (vert. opp. ∠s)

∠MAT = ∠DCT (alt. ∠s，AB // DC)

∠TMA = ∠TDC (alt. ∠s，AB // DC)

∴ ΔATM ~ ΔCTD (AAA)

2

1

CT

AT

CD

AM (corr. Sides, ~ s )

∴ AT : AC = 1 : 3 ，即線段 AT 佔線段 AC 的 1/3，點 T 為 AC 的三等分點。

作 XY 過點 T 且 XY⊥CD，證明3

ABAX

ΔAXT ~ ΔCYT,

2

1

CT

AT

CY

AX (corr. Sides, ~ s ) ，

因 XB=CY， 2

1

BX

AX

，所以3

ABAX

點 X 為 AB 的三等分點。

圖 2.5

10

同理及利用正方形的對稱性，可找出正方形每條邊的所有三等分點，如下：

圖 2.6

為三等分點

(2) 在上文已討論如何在正多邊形的邊界線段上找出三等分點，下文探究如何利用三等分點

將正方形三等分。

方法一：

連接對邊上的三等分點 ，所得每個小矩形的面積均為正方形 ABCD 的三分之一。

如圖 2.7a 及圖 2.7b

圖 2.7a

或

圖 2.7b

11

方法二

先取任意一個頂角，如頂角 A

圖 2.8

在上圖中，P1 、P2、 P3、P4分別為 BC 及 CD 的三等分點，在圖中的六個三角形面積都相等(因

這些三角形的底部及高都相同)，因此這三個正方形已經等於被六等分了。

因此，我們得 ΔAB P2的面積=四邊形 A P2 C P3的面積=ΔA P3D 的面積(見下圖 2.9)。

圖 2.9

這樣透過一個頂點及 2 個三等分點 P3和 P2就把正方形 ABCD 三等分了。

12

如圖 2.10，P 為 AB 的中點，作 AC

及 PD，其相交點 T 乃 AC 的三等

分點。最後得X為AB的三等分點。

(3) 任意等分的探究

探究如何將一個正方形分為任意等分：

在前部分已探究如何從一段的中點找出其三等分點，並透過三等分點去均分正方形三等分。

圖 2.10

其實，同樣用相同方法可以把正方形 ABCD 的邊(例: AB)分為三等分、四等分甚至是任意等

分：

首先，利用二等分點得三等分點；

跟着，利用三等分點得四等分點；

接着，利用四等分點得五等分點；

如此類推，可得 n 等分點，即將邊 AB 分為四等任意等分；

證明 ：

若 P 為 AB 的三等分點，即3

ABAP ，証明 X 為 AB 的四等分點。(圖 2.10)

ΔAPT ~ ΔCDT ，有3

1

CD

AP

CT

AT

又 ΔAXT ~ ΔCYT，得 3

1

CT

AT

CY

AX

因 BX=CY，3

1

BX

AX，所以

4

ABAX

因此，利用以上方法，我們由 3 等分點得 4 等分點。

同理，我們可以由四等分點去得五等分點，由五等分得等六等分，如此類推。將正方形的邊(例:

AB)分為任意等分。

13

接着，我將會證明如何由 n 等分點得(n+1)等分點。

證明：

若點 P 為 AB 的 n 等分點(n

ABAP ) ，則

1

n

ABAX

圖 2.11

P 為 AB 的 n 等分點，即n

ABAP

因 ΔAPT ~ ΔCDT

又 ΔAXT ~ ΔCYT，得 nCT

AT

CY

AX 1

因 XB=CY， ，所以1

n

ABAX

即 X 為 AB 的(n +1) 等分點

∴ 矩形 AXYD 的面積為正方形 ABCD 的面積的1

1

n

因此，理論上我們可以分 AB 為任意等分，即用以上方法摺得 AB 線段上的 n 等分點，n 為任

何整數。但實際上，當 P 點很接近 A 點時，我們無法再用摺紙方法得點 X 的，而所得的 n 等

分點，其中 n 的最大可能值與紙的大小厚薄相關。

D C

T

Y

A B P X

14

接着，我們可以利用 n 等分點去 n 分正方形。

方法一：連接對邊上的 n 等分點。

(n-1)個 n 等分點

或

圖 2.12

方法二：利用一個正方形上任意一個頂角，將正方形均分成 n 等分。

情況(1)：當 n 為偶數

例：n=2，利用對角線將正方形分為兩等分。(圖 2.13)

圖 2.13

15

例：n=4

先利用對角線，分為兩個全等三角形，然後再利用中分點分別平分這兩個三角形成

2 個等底等高三角形。上下兩個三角形共分為 422 等分。(圖 2.14)

圖 2.14

為 2 等分點

例：n =6

先利用對角線，分為兩個全等三角形，然後再利用三等分點分別三分這兩個三角形成 3

個等底等高三角形。上下兩個三角形共分為 623 等分。(圖 2.15)

圖 2.15

為 3 等分點

若 n=2m，m 為任意整數

先利用對角線，分為兩個全等三角形，然後再利用 m 等分點分別 m 分這兩個三角形成 m 個

等底等高三角形。上下兩個三角形共分為 mm 22 等分。(圖 2.16)

圖 2.16

為 m 等分點

16

情況二：當 n 為奇數

例：n=1：即原正方形

例：n=3：

先用對角線將正方形分為兩個全等三角形，然後再利用三等分點分別三分這兩個三角形

成 3 個等底等高三角形(圖 2.17a)。

圖 2.17a 包括 3x2 =6 個面積相等的三角形，將相鄰的兩個三角形組合，便能 3 分這個正

方形了。(圖 2.17b)

圖 2.17a 圖 2.17b

註： 為三等分點

例：n=5

先用對角線將正方形分為兩個全等三角形，然後再利用五等分點分別五分這兩個三角形

成 5 個等底等高三角形(圖 2.18a)。

圖 2.18a 包括 5x2 =10 個面積相等的三角形，將相鄰的兩個三角形組合，便能 5 分這個正

方形了。(圖 2.18b)

圖 2.18a 圖 2.18b

為 5 等分點

17

當 n = 2m + 1

圖 2.18c

同理，若要均分正方形為(2m + 1) 等分，沿着對角線將正方形分為兩等分。然後將上下兩個

三角形利用等分點各自分為(2m +1)等分，得(4m +2)個等底等高(即面積相等)的三角形。

將倆倆相鄰的三角形組合，便成功將正方形分為(2m +1)等分。

18

三、探究如何等分正三角形

(1) 二分正三角形

ABC 為正三角形，則 AB=BC=AC

圖 3.1

若 D 為 BC 的中點，則 BCAD ，我們有 ABD 的面積 = ACD 的面積。

考慮正三角形的對稱性，平分有以下的方法：

圖 3.2

(2) 三分及六分正三角形

ABC 為正三角形，點 D、E、F 分別為 BC、AB 及 AC 的中點，則 G 為的重心，亦是正

三角形的垂心。

以下我將討論如何利用 重心 G 三分及六分正三角形 ABC 。

A B

C

D F

E

G

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

D

19

證明中線 AD、BF 及 CE 平分 ABC 為六等分

圖 3.3

在 ABG ，

AGE 及 BGE 為等底等高三角形，因此 AGE 的面積= BGE 的面積，

設 AGE 的面積= BGE 的面積=a (如圖 3.3)

同理，

在 BCG ，

B D G 的面積= CDG 的面積，

設 BDG 的面積= CDG 的面積= b (如圖 3.3)

在 ACG ，

AFG 的面積= CFG 的面積，

設 AFG 的面積= CFG 的面積= c (如圖 3.3)

又因 AEC 及 BEC 為等底等高三角形，

a+c+c = a + b+ b

c= b

另 ADC 及 ADB 為等底等高三角形，

b+c+c = b + a+ a

c= a

因此，a = b = c

A B

C

D F

E

G

a a

b

b c

c

20

跟據以上結果，利用重心 G，三條中線 AD、BF、CE，我們可以 6 分正三角形如下：

圖 3.4

利用重心，三分正三角形如下:

方法一 方法二

圖 3.5

(3) 四分正三角形：

若點 D、E、F 分別為正三角形的 BC、AB 及 AC 上中點，(如圖)

圖 3.6

則 BCEF2

1 (中點定理)

所以 EF=BD=CD，

同理 DE=CF=AF 及 FD=AE=BE

AE=BE=BD=CD=CF=AF=DE=EF=DF

AEF 、 BDE 、 FDC 、及 DEF 均為正三角形，且為全等三角形(SSS)。

A B

C

D F

E

A B

C

G

21

因此，利用正三角形邊界上的中點，連接 EF、DE 及 DF，可以將正三角形 ABC 分為四

等分。

(4) 討論如何 n 分正三角形

圖 3.7

在第二部，我們已經討論如何將一條線分為 n 等，而利用這些等分點，我們可以把一個正三

角形分為任意等分。

設 P1、P2、P3……Pn-1為 BC 上的 n-1 個等分點，則 1CAP 、 21PCP 、……、 12 nn PCP 、 1 nBCP

等為面積相等的等底等高三角形，所以它們的面積相等，且每個小三角形的面積都是原本正

三角形 ABC 面積的 1/n。

總括而言，可以將正三角形及正方形分為任意等分。但其他的正多邊形又能否被均分為任意

等分呢？如果能，又有多少種不同的等分法？

接着的部分，將會探究如何等分任意正多邊形為任意等分。

A B

C

D F

1P 2P 3P

2nP

1nP

……

22

四.、探究任意等分正 n 邊形

(1) 二分正多邊形

若利用正多邊形的頂、中點，我們可以容易地去二分多邊形如下：

當 n 為奇數

連接頂點與對邊的中點，將正多邊形分為兩等分。

例：正五邊形

或 或

圖 4.1

當 n 為偶數

沿對對邊的中點( 或相對的頂點)對摺，可以將正多邊形分為兩等分。

例：正六邊形

或 或

或 或

圖 4.2

23

與第三部的討論相似，其實任何經過正多邊形中心點的摺線均能二分正多邊形，如圖 4.3a 及

圖 4.3b。

圖 4.3a 圖 4.3b

因此，除了可以亘接連接圖形的頂點、中點和中心點去二分任何正多邊形外，還可以利用經

過正多邊形中心點的摺線去二分正多邊形，其實有無限種二分的方法。

接着，我會討論如何利用圖形的中心點及頂點去將一個正 n 邊形分別均分為 n 等分及三等分。

(2) 探究如何 n 分及三分正 n 邊形

去 n 分一個正 n 邊形，只需將每個頂點及正多邊形中心點連摺。利用旋轉對稱，更可得

無限個方法去 n 分它的方法。

例：正五邊形

其中 F 點為正五邊形的中心點，分別連接 5 個頂點與中心點 F，便能 5 分正五邊形。每

個等分均為全等的三角形。(圖 4.4a)

每條原本的分割線一齊以圖形中心 F 旋轉一個相同的度數，而所得的新分割線(以虛線表

示)同樣能五分這個五邊形。(圖 4.4b)

圖 4.4a 圖 4.4b

24

接著，用第三部份討論的方法，利用每個三角形的重心，分別將每個三角形分成六等分。

這樣，我們便將正五邊形共分為 5x6=30 等分。(如圖 4.5 a)

那麽，每個 10 分(=30/3 )佔原本正五角形的 1/3 。(如圖 4.5b)

圖 4.5a 圖 4.5b

(3) 探究如何 p 分正 n 邊形，p 為任意整數

設 n 為該正多邊形的邊數，且設 p 為要等分的數量

圖 4.6

首先將正 n 邊形的每一條邊分為 p 等分，

然後以連續(n+1)個 p 等分點的首尾兩點及圖形的中點連在一起，構成的 p 個三角形或四

邊形，每個構成的三角形或四邊形佔原本正多邊形面積的 1/p。

註：利用 p 等分點，將正多邊形等分為 np 個面積相等三角形，每個小三角形面積為原

來正 n 邊形面積的np

1，組合 n 個小三角形的面積

p

1 正 n 邊形面積 (

pnpn

11

)，

即 p 等分正 n 邊形。

(p-1)個 p 等分點

25

以下演示如何利用 p 等分點去 p 分正 n 邊形：

例：把正三角形分成五等分(即 p=5，n=3)

圖 4.7a

例：把正六邊形分成四等分(即 p=4，n=6)

圖 4.7b

備註：

若以每條分割線以圖形的中心旋轉一個相同的度數，可得無限種方法去五分正三角形及

四分正六邊形。

總結來說，利用 p 等分點可以將任何正 n 邊形分成任意等分，若張每條原本 p 分正 n 邊

形的 p 條割線一齊以圖形中心旋轉一個相同的度數，經旋轉所得的 p 條新分割線同樣能

p 分這個正 n 邊形。 因此，有無限種不同方法將正 n 邊形分為任意等分。

接着，我會討討論如何將正多邊形的等邊等分為任意等分，

26

(4) 以下將討論如何將正多邊形的等邊等分為任意等分

把五邊形三等分為例，解釋如何透過摺出五邊形等邊上的三等分點。

(i) 把頂點依中線向下摺疊 3 次，

得三條互相平行的線段。(圖 4.8a)

圖 4.8a

(ii).把最下線近中線的那端及左端的那頂點連接(圖 4.8b)

圖 4.8b

(iii) 把第二步中出現的角複製到最頂層(依橙線摺疊頂層) (圖 4.8c)

圖 4.8c

27

(iv). 最後得 PM//EO，點 P 為得到的綠點就是邊的 1/3 點

構作 AE 的三等分點的証明如下：

PM//EO (corr. ∠s, equal)

∠APM =∠AEO (corr. ∠s, PM//EO)

∠AMP =∠AOE (corr. ∠s, PM//EO)

∠PAM=∠EAO (common ∠)

ΔAPM~ΔAEO (AAA)

AM=MN=NO (by construction)

3

1

AO

AM

AO

AM

AE

AP (corr. sides, ~ s )

3

1

AE

AP

28

五、總結

在日常生活中，總有需要把一些物件的面積或體積均分為若干等分，例如：摺紙時把紙張

均分，在切蛋糕時把蛋糕均分等(對於角柱/圓柱的立體，若能夠將它的底面積分成等分，就能

把立體分成等分了)。在這個專題研習，我探討了如何在不用工具的情況下，均分不同的正多

邊形。

將正 n 邊形面積分成二等分，我們一般會將圖形對摺。當 n 為奇數，只需連接頂點與對

邊的中點便可以二分正 n 邊形； 當 n 為偶數，只需沿對對邊的中點(或相對的頂點)對摺，便

可以二分正 n 邊形。透過幾何方法，我知道原來任何經過正多邊形中心點的摺線均能二分正

邊形。因此二分正多邊形的方法有限多呢﹗

除二分法外，原來所有的正多邊形均能分成任意等分。跟據今次研究的結果，我得出了

能分正多邊形為任意等分的方法，當考慮圖形的對稱性，更發現原來有無限個方法均分正多

邊形為任意等分﹗

經過這次研習正多邊形之旅，我領略學習幾何的樂趣，多去思考，並利用數學定理去驗

證自己的想法是否正確。

29

參考資料

1. “幾何學”，維基百科，

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%AD%A6#.E7.B0.A1.E5.8F.B

2，2016 年 4 月 2 日下載。

2. “實用幾何學”，國立自然科學館，

http://exresource.nmns.edu.tw/ShowObject.aspx?id=0b81dd15320b81db11860b81db11a30b81d7

922c，2016 年 4 月 2 日下載。

3. “正多边形”，百度百科，

http://baike.baidu.com/view/793578.htm，2016 年 4 月 2 日下載。

4. “尋找等分的故事”，香港青少年數學建模論文比賽，

http://www.imohkc.org.hk/UPFILE/Editorfile/f，

iles/2013%C3%96%C3%90%C2%B6%C3%BE%C2%B9%C3%9A%C3%9C%C5%A0%20%2

0%C5%92%C2%A4%C3%95%C3%92%C2%B5%C3%88%C2%B7%C3%9D%C2%B5%C3%

84%C2%B9%C3%8A%C3%8A%C3%82.pdf ，2016 年 4 月 2 日下載。

5. “生日快樂切蛋糕之正多邊形等分問題”， 中華民國 第 49 屆中小學科學展覽會

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