konvolucijski kodovi

13.11.2008 Konvolucijski kodovi 1/23

TFE

O

Zavod za komunikacijeZavod za komunikacije

Informacija i informacijski sustaviInformacija i informacijski sustavi

SveuSveuiliilite J. J. Strossmayera u Osijekute J. J. Strossmayera u OsijekuElektrotehniElektrotehniki fakultetki fakultet

Kneza Trpimira 2b, 31 000 OSIJEKKneza Trpimira 2b, 31 000 OSIJEKTel. 031 224 600 Tel. 031 224 600 -- FaxFax. 031 224 605. 031 224 605

http://www.etfos.hrhttp://www.etfos.hr

Akademska godina 2008./2009. Akademska godina 2008./2009.

7. 7. KonvolucijskiKonvolucijski kodovikodovi


TFE

O


Paralelno s blok kodovima postoji i grupa kodova koje nazivamo stablovni (tree) ili trelis kodovi od posebnog su interesa konvolucijski kodovi

Kod blok koda se kodira k-bitni blok u n-bitnu kodnu rije, tako da svaka kodna rije titi svoje vlastite k-bitne blokove podataka:

t

t

k k k k

n n n n

Izvorni bitovi

Kodni simboli

Primjer blok koda s k=4, n=7, F=4/7.


TFE

O


Kod konvolucijskog kodiranja koristi se drukiji nain preslikavanja podatkovnih u kodne simbole koristi se koncept slian pominom prozoru irine m-bita podataka koji se preslikavaju u grupu od n- kodnih simbola koji se prenose za trajanja samo jednog podatkovnog bita. Nakon to se prozor pomakne udesno za jedno mjesto, obnovljeni m-bitni blok se preslikava u sljedeu n-bitnu grupu simbola itd.

t

mIzvorni bitovi

Kodni simboli n nn t


TFE

O


Za razliku od blok koda ne kodiramo pojedinane kodne rijei odvojene u vremenu ve imamo kontinuiranu struju kodnih simbola u kojoj je svaka n-bitna grupa simbola odgovorna za zatitu trenutnog bita podataka, zajedno s m-1 prethodnih


TFE

O


Konvolucijske kodove je mogue prouavati razliitim pristupom: Polinomske matrice Skalarne matrice Pomani registri Dijagrami stanja Kodne reetke Kodna stabla


TFE

O


Naziv Konvolucijski dolazi iz postupka kojim se dobivaju:

Ako imamo dva binarna slijeda {an} i {bn} njihova je konvolucija slijed {cn} definirana kao:

=

nnn bac


TFE

O


Ako definiramo generatorske funkcije kao:

Tada je c(x)=a(x) b(x), tj. mnoenje generatorskih funkcija odgovara konvolucijisljedova binarnih simbola

==n n

nn

nn xbxxaxa )(b i )(


TFE

O


Polinomske matrice

Svaki binarni linearni kod je odreen s kxn generatorskom matricom G iznad polja F2

Konvolucijski kod je takoer odreen kxn generatorskom matricom G; razlika je u tome to su elementi generatorske matrice gij polinomi iznad polja F2

PrimjerG={x2+1, x2+x+1} (*) je generatorska matrica (2,1) KKSlino:

1 0 x+1G= ($)

0 1 x

je generatorska matrica (3,2) KK


TFE

O


Polinomske matrice

Tri vane veliine pridruene konvolucijskimkodovima: Memorija M=maxij [deg(gij)] Ograniena duljina N=M+1 Kodna (prijenosna) brzina F=k/n

Primjer:KK s generatorskom matricom (*) ima M=2, N=3 i

F=1/2,

a KK s gen. matricom ($) ima M=1, N=2 i F=2/3


TFE

O


Polinomske matrice

Informacijski bitovi se preslikavaju u koeficijente k-torke polinoma i:i={i0(x), i1(x), , ik-1(x)}

Kodna rije c={c0(x), c1(x), , cn-1(x)}, e biti odreena na sljedei nain:

c=iG, tj. umnokom matricaPrimjer: Konvolucijski kod s G (*), ako je

i={x3+x+1} biti e kodirana u polinomnu kodnu rije c={x5+x2+x+1, x5+x4+1}

Za G ($) i za polinomnu informaciju i={x2+x, x3+1}daje polinomnu kodnu rije c{x2+x, x3+1, x4+x3}


TFE

O


Pomani registri

Neka je zadan generatorski polinom: G={x2+1, x2+x+1}

Treba nainiti sklop za kodiranje:na ulazu informacijski bitovi i={i0,i1, }na izlazu kodirani slijed c={c00,c01,c10,c11,}

Odnos ulaz/izlaz za dani primjer:c0(x)= c00 + c01x + = (x2+1) (i0 + i1x +)= (x2+1) i(x) c1(x)= c10 + c11x + = (x2+x+1) (i0 + i1x +)= (x2+x+1) i(x) Koder mora imati mogunost mnoenja ulaznog slijeda

s dva polinoma (x2+1) i (x2+x+1).


TFE

O


Pomani registri

To mogu izvesti sljedei sklopovi:


TFE

O


Pomani registri

Na ovaj nain se moe nainiti sljedei koder:c0j= ij + ij-2c1j= ij + ij-1 + ij-2

to je konvolucija ulaznog informacijskog slijeda s pridruenim polinomom:

1


TFE

O


Pomani registri

Koder mora pamtiti dva prethodna bita, pa je M=2, a ograniena duljina N=M+1=3Za svaki bit na ulazu generiraju se dva bita kodnog slijeda na izlazu te je F=1/2Openito za (n,k) konvolucijski kod biti e potrebno k pomanih registara, svaki za jedan informacijski slijed i0, i1, , ik, pa e i-ti pomani registar izvoditi konvoluciju i-tog informacijskog slijed sa svakim od n polinoma gi 0(x), gi 1(x),, gi n-1(x)Izlazni slijed na j-tom izlazu se oblikuje zbrajanjem j-tog izlaznog slijeda sa svakog pomanog registra


TFE

O


Dijagrami stanja

Za objanjenje pristupa s dijagramima stanja koristiti emo proli primjerStanje kodera u promatranom vremenskom trenutku se moe definirati kao sadraj memorijskog elementa pomanog registra, tj. stanje je odreeno parom {ij-1, ij-2}etiri su mogua stanja: 00, 01, 10 i 11Svakim pomakom koder prima novi informacijski bit {ij}, nakon ega se pomie u novo stanje {ij, ij-1} i na izlazu se generiraju dva izlazna bita c0j i c1jOvakvo ponaanje se moe opisati dijagramom stanja


TFE

O


Dijagrami stanja

puna crta ulazni inf. bit nula (0)Crtkano - ulazni inf. bit jedan (1)Oznake u zagradama kodni bitovi dobiveni prijelazomNpr. prijelaz iz stanja C, 10 u stanje D, 11, predstavlja vrijednost inf. bita {ij, ij-1, ij-2} = {110}. Crta je isprekidana jer je trenutni ulaz {ij}=1Izraunavamo c0j=1; c1j=0, pa je oznaka prijelaza (10)

Za ulazni slijed: {110100} slijedimo put ACDBCBA i izlazni kod jest {111010000111}


TFE

O


Kodna reetka

Primjenom dijagrama stanja prolazimo mnogo puta istim putom (prijelazima), te je teko uoiti sva prethodna vremenska stanja kroz koja smo proli

Uvodimo vremensku dimenziju rezultat je reetkasta struktura koju nazivamo reetkasti (trellis) dijagram


TFE

O


Kodna reetka

Za prethodni primjer:

Debelom crtom je oznaen put za primjer inf. slijeda {110100}, koji glasi A0C1D2B3C4


TFE

O


Kodna reetka Za praktinu primjenu je prikladniji kod s L-tim

ogranienjem, npr. za L=6 :


TFE

O


Kodna reetka

Ogranienje ulaznog slijeda na L=6 , {i5, i4, i3, i2, i1, i0}daje duljinu puta kroz dijagram 8 grananja zbog dva memorijska elementa

Primjena za dekodiranje Pretpostavimo da se kod u prethodnom primjeru koristi za

prijenos binarnim simetrinim kanalom s Pg


TFE

O


Dekodiranje pomou kodne reetke

Svakoj od 64 mogue kodne rijei odgovara poseban put kroz dijagram od A0 do A8

Radi analize postupka dekodiranja prikazati emo reetkasti dijagram u prikladnijem obliku

Oznake uz grane prijelaza umjesto vrijednosti izlaza prikazuju Hammingovu distancu izmeu te vrijednosti i odgovarajua dva bita primljene rijei

Npr. prijelaz A2C3 dobiva oznaku dH(00, 11)=2


TFE

O




TFE

O



Ako oznake uz grane promatramo kao njihove duljine, Hammingova distanca e biti jednaka duljini puta kroz reetkasti dijagram

Primjer: Hammingova distanca izmeu r={1011001110111100} i kodne rijei {0000110100101011} kojoj je pridruen put A0A1A2C3B4C5D6B7A8 jeste: 1+2+2+1+1+1+1+2=11

Moemo zakljuiti: problem nalaenja kodne rijei, koja je najslinija primljenom slijedu se svodi na problem nalaenja najkraeg puta

konvolucijski kodovi

Documents