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Questo Bnus 01:

Calcule a integral +

2 2 25dx

x x.

Lembrando das substituies trigonomtricas disponveis conforme a famlia do radical (C = Constante, V = Varivel):

Famlia Estrutura Identidade Trigonomtrica Substituio

C V 2 2a x 2 2cos 1 senx x= senx a=

C + V 2 2a x+ 2 2sec 1 tgx x= + tgx a=

V C 2 2x a 2 2tg sec 1x x= secx a=

No caso, o radical 2 25x + do tipo C + V e, portanto, requer a substituio tgx a= . Comeamos identificando o valor de a: 2 25 5a a= = Em seguida, utilizamos a substituio sugerida e imediatamente derivamos a equao de substituio

para obter a expresso de d : 2 25tg 5sec 5secdxx dx dd

= = =

A partir da, substitumos! (Observao: como sempre, no incio vai parecer que est piorando...)

2 2

125

dxx x +

( ) ( )

2

2 2

1 5sec5tg 5tg 25

d= +

(substituindo)

5

=2sec

25

d 2 2tg 25tg 25 +

(expandindo potncias e simplificando)

2

2 2

sec15 tg 25tg 25

d =

+ (constante atravessando a integral)

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Trabalhando separadamente com a simplificao da raiz, obtemos: 225tg 25+

( )225 tg 1= + (colocando em evidncia) 225sec= (trocando 2 por 1 conforme a sugesto da caixinha!) 5sec= (finalmente eliminando o radical) Voltando ao desenvolvimento da integral, temos:

2

2 2

sec15 tg 25tg 25

d

+

2sec1

5

= 2tg 5 secd

(substituindo e simplificando)

2

sec125 tg

d =

(constante atravessando a integral)

Trabalhando separadamente com as funes trigonomtricas resultantes, obtemos:

2

2 2 2

sec 1 cos costg cos sen sen

= =

Essa converso nos permite atacar a integral por intermdio de uma substituio u simples:

2

sec125 tg

d

(constante atravessando a integral)

2cos1

25 send

= ( sen , cosu du d= = )

2125

duu

= (integrando a expresso algbrica resultante)

1 125

Cu

= +

(retomando a substituio)

1 125 sen

C= +

(convertendo a razo trigonomtrica)

1 cossec25

C= + (beleza!)

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Para expressar a integral em funo de x, construimos um tringulo retngulo compatvel com a substituio utilizada e, a partir dele, determinamos cossec :

cateto oposto5tg tg5 cateto adjacentexx = = =

Por Pitgoras, 2hipotenusa 25 x= +

21 hipotenusa 25cossec

sen cateto opostox

x+

= = =

Portanto, a resposta da questo

2 2

2 2

1 1 25 2525 2525

x xdx C Cx xx x+ +

= + = ++

5

225 x+x

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Questo Bnus 02. a) 2 8 6 1 0y x y+ + + =

( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

6 8 16 9 8 1 9

3 8 8

3 8 1 1, 3

4 8 2

y y xy y x

y x

y x V

p p

+ =

+ + = +

+ = +

+ =

= =

Logo, temos uma parbola com concavidade para a esquerda (p

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c) 2 24 8 4 8 0x y x y+ + =

( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

22

22

22

2

2

2 2 2

4 8 4 8

4 2 4 8

4 2 1 4 4 8 4 4

4 1 2 16

24 1 1616 16 16

211 1, 2

4 1616 44 2

2 3

32

x x y y

x x y y

x x y y

x y

yx

yxC

a ab b

a b c c

ce ea

+ + =

+ + =

+ + + + = + +

+ + =

++ =

++ =

= =

= =

= + =

= =

Logo, temos uma elipse com eixo maior vertical. Pontos sobre esse eixo tm o mesmo x!

A partir da, temos ( )1 1, 6A , ( )2 1,2A , ( )1 1, 2 2 3F , ( )2 1, 2 2 3F + , ( )1 1, 2B e ( )2 3, 2B .

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