unidad ii función trigonométrica

Matemáticas 3

Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 20

Unidad II

Función Trigonométrica

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Tema 1. Medición de ángulos

Los ángulos son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica).

Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una

recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano

Forma geométrica: Se denomina ángulo a la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.

Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), se considera el ángulo positivo. Si (el angulo es definitivo) la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades) Grado centesimal Grado sexagesimal

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Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc. y el lapiz.

Clasificación de ángulos

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Ángulo cóncavo y convexo

Radián (conversiones)

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es

rad.

Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en a la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en la Física, el cálculo infinitesimal, la trigonometría, la

goniometría, etc.

Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco de igual longitud al radio del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián y equivale a 57.296º.

El uso de radianes en vez de grados ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

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1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por π y se divide entre 180º; y se simplifica. Es decir:

2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre π; y se simplifica. Es

decir:

Ejemplos:

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Tema 2. Circunferencia unitaria

La circunferencia goniomética, trigonométrica, unitaria o unidad es una circunferencia de radio

unitario, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas, de un plano euclídeo.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de

Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

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Definición y representación geométrica de las funciones trigonométricas

La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones, para el

desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones, que han sobrepasado su fin original, convirtiendo en muchos casos en elementos matemáticos estudiados en sí mismos, y con aplicaciones en los campos más diversos.

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Identidades elementales

En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones

trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

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Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-

trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

A continuación se mencionan algunas de las fundamentales:

Identidades pitagóricas

Fórmulas de ángulo doble

Identidades con signo

Ley de senos y ley de cosenos

Seguramente tú sabes encontrar el seno o el coseno de un ángulo, y aplicarlo a encontrar el lado de un

triángulo rectángulo, o la hipotenusa; sin embargo, ¿podrías encontrar el lado o ángulo de un triángulo que no sea recto? ¿De un triángulo acutángulo? o ¿Un obtusángulo?

La Ley de Senos y la Ley de Cosenos te permiten precisamente resolver para triángulos que no son

rectos, y eso es lo que haremos. Se presentará cada una de estas leyes; y luego se aplicará a la solución de triángulos obtusángulos y acutángulos. También se explica cómo y cuando usar la Ley de Senos, o la Ley de Cosenos; y por cuál ángulo o lado resolver primero para evitar ambigüedad en la solución.

Ley de senos. Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver triángulos generales. El siguiente es un triángulo donde el ángulo A se escribe en el vértice de A, el ángulo B se escribe en el vértice de B y el ángulo C se escribe en el vértice de C. Los

lados que están opuestos a los vértices ABC y los escribimos con una letra minúscula abc.

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La fórmula para la ley de senos es:

c

senC

b

senB

a

senA

Ley de cosenos. Otro de los resultados comúnmente utilizado es el caso de la ley de cosenos, dicha relación es útil cuando el análisis a realizar no es para el caso de los triángulos que no son rectángulos,

mediante dicho teorema se puede obtener un lado, dado el conocimiento de los otros lados y estrictamente el ángulo formado por los lados conocidos, o bien conocer cualquiera de las variables que

intervienen en dicha ley. Dado dos lados y el ángulo entre estos dos lados tendremos la siguiente relación

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 · 𝐶𝑜𝑠[𝜃]

Nota. Desde luego, si el ángulo es precisamente el de un ángulo recto correspondiente al del triángulo rectángulo tenemos el teorema de Pitágoras ya que Cos [90º] = 0.

Resolución de triángulos rectangulos y oblicuángulos

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas

que se cortan, denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.

Ahora nos concentraremos en problemas que tienen que ver con triángulos rectángulos. El propósito

será hallar todas las desconocidas de un triángulo rectángulo, dadas las unidades de los lados o la

unidad de un ángulo agudo y la de un lado. Las funciones trigonométricas juegan un papel importante en este proceso. La trigonometría en sus inicios, se concreto al estudio de los triángulos. Por varios siglos se empleo en

topografía, navegación y astronomía. Para establecer las razones trigonométricas en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Por ejemplo:

Los ángulos A y B son agudos, y el ángulo C es recto. Puede notarse que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y un cateto y los del ángulo recto son catetos.

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Considerando uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo e identificada previamente la hipotenusa, es necesario diferenciar los catetos.

Cateto adyacente. Es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto. Es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra en frente de este.

Obsérvense los siguientes triángulos:

Nótese que los lados de los triángulos se representan con las dos letras mayúsculas que corresponden a

sus puntos extremos, colocando sobre ellas una línea horizontal, o bien con una sola letra minúscula. Las razones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.

En el siguiente cuadro se observan las seis razones trigonométricas que se pueden establecer, para cualquiera de los ángulos agudos, en un triángulo rectángulo.

Para nuestros fines solo analizaremos las funciones trigonométricas fundamentales, que son seno, coseno y tangente:

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Recuerda que un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de 90 grados.

En este tema se resolverán algunos ejercicios prácticos que pueden encontrarse cotidianamente y que corresponden a los temas precedentes.

Ejercicio 1. Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte más alta bajo un ángulo de 45º.

𝑇𝑎𝑛 45° =𝐴

25 𝑚

𝐴 = 25 𝑚 · 𝑇𝑎𝑛 45

𝐴 = 25 𝑚 · (1)

𝐴 = 25 𝑚

Ejercicio 2. Halla la longitud desconocida c de acuerdo al siguiente diagrama.

A

45º 25 m

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Solución: Conoces la longitud del lado opuesto al ángulo de 25° y deseas hallar la longitud de la hipotenusa. Por consiguiente, puedes usar la razón seno.

Ejercicio 3. Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60o con respecto al piso.

Solución: Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.

Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.

Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.

Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos.

Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.

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Dar solución al problema.

c = longitud de la escalera. Por lo tanto, la escalera mide 5 m.

Ejercicio 4. Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Ahora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del ángulo.

Solución: Trazar un triángulo rectángulo anotando en él los datos, tal como se ve en el dibujo anterior.

Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo.

Sustituir las literales por sus valores numéricos.

Efectuar la división indicada.

Cos B = 0.5454

Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo.

Dar respuesta al problema. El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56o 57'.

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Por otro lado, se llama triángulo oblicuángulo cuando el triángulo no tiene un ángulo interior recto (90°). Los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Para resolver problemas de este tipo de triángulos se tendrá que conocer las siguientes dos leyes:

Ley de senos

Ley de cosenos

Para resolver problemas de este tipo de triángulos vamos a utilizar 3 enfoques principalmente, los cuales veremos a continuación.

Resolución de triángulos oblicuángulos (dados los tres lados), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangentes.

En esta clase de ejercicios, cuando nos dan los tres lados y, por consiguiente, debemos hallar los tres ángulos, utilizamos la "Ley del coseno". Y, procedemos de la siguiente manera:

1. Utilizamos la "Ley del coseno"

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 · 𝐶𝑜𝑠[𝐴]

2. Despejamos Cos[A], y luego A:

Cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐 ⇛ 𝐴 = 𝐶𝑜𝑠−1

𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

3. Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en la fórmula anterior, realizamos las operaciones indicadas; y, hallamos el valor del ángulo A

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4. Mediante “Ley de los senos" hallamos el valor del ángulo B:

𝑆𝑒𝑛[𝐵]

𝑏=

𝑆𝑒𝑛[𝐴]

𝑎 ⇛ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =

𝑏 · 𝑠𝑒𝑛[𝐴]

𝑎 ⇛ 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1


𝑎

5. Como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°, el ángulo C lo hayamos mediante la fórmula:

𝐶 = 180 − (𝐴 + 𝐵)

A continuación veremos algunos ejemplos de resolución.

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Solución de triángulos oblicuángulos (dados dos lados y el ángulo comprendido), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangentes

En esta clase de ejercicios, cuando nos dan dos lados y el ángulo comprendido, utilizamos la "Ley del coseno". Y, procedemos de la siguiente manera:

1. Utilizamos la "Ley del coseno"

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 · 𝐶𝑜𝑠[𝐴]

2. Despejamos, por ejemplo, a:

𝑎 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 · 𝐶𝑜𝑠[𝐴]

3. Sustituimos los valores numéricos de A, b y c en la fórmula anterior, realizamos las operaciones indicadas; y, hallamos el valor de a.

4. Mediante “Ley de los senos" hallamos, por ejemplo, el valor del ángulo B:

𝑆𝑒𝑛[𝐵]

𝑏=

𝑆𝑒𝑛[𝐴]

𝑎 ⇛ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =


𝑎 ⇛ 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1


𝑎

5. Como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°, el ángulo, por ejemplo, C lo hayamos mediante la fórmula:

𝐶 = 180° − (𝐴 + 𝐵)

Veamos algunos ejemplos.

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Resolución de triángulos oblicuángulos (dados un lado y dos ángulos), ley de los senos, ley del coseno,

ley de las tangente

En esta clase de ejercicios, cuando nos dan un lado y dos ángulos, utilizamos la "Ley del seno". Y, procedemos de la siguiente manera:

1. Como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°, el ángulo, por ejemplo, C lo hayamos mediante la fórmula:

𝐶 = 180° − (𝐴 + 𝐵)

2. Mediante “Ley de los senos" hallamos, por ejemplo, el valor del lado b:

𝑆𝑒𝑛[𝐵]

𝑏=

𝑆𝑒𝑛[𝐴]

𝑎 ⇛ 𝑏 =

𝑎 · 𝑠𝑒𝑛[𝐵]

𝑠𝑒𝑛[𝐴]

3. De igual manera utilizando la "Ley de los senos", hallamos el valor del tercer lado.

Veamos algunos ejemplos.

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Representación cartesiana de las funciones trigonométricas

El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se

cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas no cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la

necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el que edificar todo el conocimiento.

Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida», el sistema de

referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se

cortan en un punto denominado «origen de coordenadas», ideando las denominadas coordenadas cartesianas.

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Al graficar las diferentes funciones trigonométricas elementales se obtienen diferentes gráficos. Para el caso de la función trigonométrica seno, se observa lo siguiente.

Si la función es: y = seno(x)

Si es y = seno(2x)

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Si la función es: y = cos (x)

Si la función es: y = cos (6x)

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Si la función es: y = Tan (x)

Si la función es: y = Tan (5x)

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Amplitud, periodo y continuidad

La amplitud, es el máximo alejamiento en valor absoluto de la curva medida desde el eje

x.

El periodo, es el menor conjunto de valores de x que corresponden a un ciclo completo de

valores de la función; en este sentido toda función de una variable que repite sus valores en un ciclo completo es una función periódica.

En las gráficas de las funciones seno-coseno, secante-cosecante el período es 2π,

mientras que para la tangente y cotangente el período es π.

Continuidad. La continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica

sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de

curva.

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”. En la figura 2.6,

aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x

= a de su dominio (fig. 2.6. (a) y 2.6. (b)) y la otra (fig. 2.6. (c)) continua en todo su

dominio.

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A continuación se dan algunos ejemplos para unas funciones típicas que podemos encontrar en la literatura.

La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.

Características de la función seno:

1. El período de la función seno es 2 π.

2. El valor máximo de sen(x) es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función

y=senx es 1.

La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.

Características de la función coseno.

1. Es una función periódica, y su período es 2 π.

2. El valor máximo de cos (x) es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la

función y = cos(x) es 1.

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La función tangente es la función definida por: f(x)= tan (x)

Características de la función tangente

1. La función tangente es una función periódica, y su período es π.

2. La función Tan (x) tiene una amplitud infinita.

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