Problema 1De la siguiente elipse:

x2+4 y2−4 x−8 y−92=0Determine:

a. Centrob. Fococ. Vértices

Encontrar la ecuación canónica:

(x¿¿2−4 x+4)+(4 y2−8 y+4)−100=0¿

(x¿¿2−4 x+4)+4( y2−2 y+1)−100=0¿

(x−2)2+4 ( y−1)2=100

(x−2)2

100+4 ( y−1)2

100=1

(x−2)2

100+( y−1)2

25=1

Ecuación canónica:(x−2)2

102+( y−1)2

52=1

x0=2 ; y0=1 ;a=10 ;b=5a. Centro:

C (xo , y0 )=C (2 ,1)b. Focos:

c2=a2−b2=100−25=75

c=√75

F (xo±c , y0)

F (2+√75 ,1 )F ' (2−√75 ,1 )

c. Vértices:A(xo±a , y0)

A(2±10 ,1)

A (12 ,1 )A '(−8 ,1)

B(xo , y0±b)

B(2 ,1±5)

B (2,6 )B' (2 ,−4)

Problema 2De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación:

√(x−c)2+ y2+√(x+c )2+ y2=2a

En la ecuación:x2

a2+ y

2

b2=1

Reordenando:

√(x−c)2+ y2=2a−√(x+c)2+ y2

Elevando al cuadrado:

(√(x−c )2+ y2 )2=(2a−√(x+c )2+ y2)2

(x−c)2+ y2=4 a2−4a√(x+c)2+ y2+(x+c )2+ y2

x2−2 xc+c2+ y2=4 a2−4 a√(x+c )2+ y2+x2+2xc+c2+ y2

Simplificando:

−4 xc=4 a2−4a√(x+c )2+ y2

Reordenando:

4 a2+4 xc=4 a√(x+c)2+ y2

Simplificando:

a2+xc=a√(x+c)2+ y2

Elevando al cuadrado:

(a2+ xc)2=(a√( x+c )2+ y2 )2

a4+2 xca2+x2 c2=a2 ((x+c)2+ y2 )

a4+2 xca2+x2 c2=a2 (x2+2xc+c2+ y2 )

a4+2 xca2+x2 c2=a2 x2+2xc a2+a2c2+a2 y2Reorganizando:

a2 x2−x2 c2+a2 y2+2 xca2−2xc a2=a4−a2c2

x2 (a2−c2 )+a2 y2=a2 (a2−c2 )Simplificando:

x2 (a2−c2 )a2 (a2−c2 )

+ a2 y2

a2 (a2−c2 )=1

x2

a2+ y2

(a2−c2 )=1

Siendob2=a2−c2

Tenemos:

x2

a2+ y

2

b2=1

Problema 3De la siguiente hipérbola:

−x2+4 y2−2x−16 y+11=0

Determine:a. Centrob. Focosc. Vértices

Reagrupando:

−x2−2 x−1+4 y2−16 y+16−4=0

−(x2+2 x+1)+4( y2−4 y+4)−4=0Factorizando:

−(x+1)2+4 ( y−2)2=4Simplificando:

( y−2)2

1−

(x+1)2

4=1

k=2 ;h=−1 ;a=1 ;b=2a. Centro:

C (h , k )=C (−1 ,2)b. Focos:

c2=a2+b2=1+4=5

c=√5

F (h , k ± c )

F (−1 ,2±√5)

F (−1 ,2+√5 )F ' (−1 ,2−√5 )

c. Vértices:

V (h ,k ±a)

V (−1 ,2±1)

V (−1 ,3 )V '(−1 ,1)

Problema 4Deducir la ecuación de la hipérbola:

x2

a2− y2

b2=1

A partir de la ecuación:

√(x−c)2+ y2−√(x+c)2+ y2=±2a`Reordenando:

−√(x+c )2+ y2=±2a−√(x−c)2+ y2

Elevando al cuadrado:

(−√(x+c)2+ y2 )2=(±2a−√(x−c)2+ y2 )2

(x+c )2+ y2=4 a2±4 a√(x−c )2+ y2+(x−c )2+ y2

x2+2xc+c2+ y2=4a2±4 a√(x−c )2+ y2+x2−2 xc+c2+ y2

Simplificando:

4 xc=4 a2±4a√(x−c)2+ y2

Reordenando:

4 xc−4 a2=±4 a√(x−c)2+ y2

Simplificando:

xc−a2=±a√(x−c)2+ y2

Elevando al cuadrado:

(xc−a2 )2=(±a√( x−c )2+ y2 )2

x2 c2−2xc a2+a4=a2 ((x−c)2+ y2 )

x2 c2−2xc a2+a4=a2 (x2−2 xc+c2+ y2 )

x2 c2−2xc a2+a4=a2 x2−2 xc a2+a2 c2+a2 y2Reorganizando:

x2 c2+a4=a2 x2−2 xc a2+a2 c2+a2 y2+2xc a2

x2 c2+a4=a2 x2+a2c2+a2 y2

x2 c2−a2 y2−a2 x2=a2 c2−a4

x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2 (c2−a2 )Simplificando:

x2 (c2−a2 )a2 (c2−a2 )

− a2 y2

a2 (c2−a2 )=1

x2

a2− y2

(c2−a2 )=1

Siendob2=c2−a2

Tenemos:

x2

a2− y2

b2=1

Problema 5Demostrar que la ecuación:

x2+ y2+6 x−2 y+6=0

Es una circunferencia. Determinar:

a. Centrob. Radio

Reescribiendo la ecuación y agrupando:

(x2+6 x+9 )+( y2−2 y+1 )−4=0

Factorizando:

( x+3 )2+( y−1 )2−4=0

Reordenando:

( x+3 )2+( y−1 )2=4

a. Centro

( x+3 )2=0

x+3=0

x=−3

( y−1 )2=0

y−1=0

y=1

( x , y )=(−3 ,1)

b. Radio

r2=4

r=2

Problema 6De la siguiente parábola:

y=2x2+4 x−6

Determine:a. Vérticeb. Fococ. Directriz

Encontrar la ecuación canónica:

y=2x2+4 x+2−8

y=2 (x2+2 x+1 )−8

y=2 ( x+1 )2−8

y+8=2 (x+1 )2

12

( y+8 )=( x+1 )2

Ecuación canónica:

4∗18

( y+8 )=( x+1 )2

4∗p ( y−k )= (x−h )2

h=−1 ;k=−8; p=18

a. Vértice:V (h , k )=V (−1 ,−8)

b. Foco:F (h , k+ p)

F (−1 ,−8+ 18)

F (−1 ,−638 )c. Directriz:

D=k−p

D=−8−18

D=−658

Problema 7Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3), y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2). Escribir la ecuación de la recta de la forma general.

Ecuación canónica:y=mx+q

m=y2− y1x2−x1

Paralela a la recta entre los puntos p1 (4, 1) y p2 (-2, 2), debe tener la misma pendiente:

p1=(x1 , y1)=(4 ,1 )

p2=(x2 , y2 )=(−2 ,2 )

m= 2−1−2−4

= 1−6

=−16

Pasando por el punto (2, -3):

y=mx+q

−3=(−16 )∗2+q

−3=−13

+q

q=−3+ 13=−83

Ecuación de la recta buscada:

y=(−16 ) x−83y=−x

6−83=−x−16

6

6 y=−x−16

6 y+x+16=0

Problema 8Calcular las siguientes sumatorias:a.

∑k=1

5

(−1)k+1(2k+1)2

[(−1)1+1(2∗1+1)2 ]+ [(−1)2+1(2∗2+1)2 ]+…+ [(−1)5+1(2∗5+1)2 ]

[(−1)2(2+1)2 ]+[(−1)3(4+1)2 ]+…+[(−1)5(8+1)2 ]+[(−1)6(10+1)2 ]

[(1)(3)2 ]+[(−1)(5)2 ]+[(1)(7)2 ]+[(−1)(9)2 ]+ [(1)(11)2 ]

[9 ]+[−25 ]+ [49 ]+ [−81 ]+ [121 ]

73

b.

∑k=1

4 (−2)k +1

k

[ (−2)1+11 ]+[ (−2)2+12 ]+[ (−2)3+13 ]+[ (−2)4+14 ][ (−2)21 ]+[(−2)32 ]+[(−2)43 ]+[ (−2)54 ]=[ 41 ]+[−82 ]+[ 163 ]+[−324 ]

4∗12−8∗6+16∗4−32∗312

=48−48+64−9612

=−3212

−83

Problema 9Calcular las siguientes productorias:a.

∏i=−2

4

2 i+5

[2 (−2 )+5 ]∗[2 (−1 )+5 ]∗[2 (0 )+5 ]∗…∗[2 (3 )+5 ]∗[2 (4 )+5 ]

[−4+5 ]∗[−2+5 ]∗[0+5 ]∗[2+5 ]∗[4+5 ]∗[6+5 ]∗[8+5 ]

[1 ]∗[3 ]∗[5 ]∗[7 ]∗[9 ]∗[11 ]∗[13 ]

135,135

b.

∏i=1

3i

(i+1)+2

∏i=1

3i

(i+1 )+2=[ 1

(1+1 )+2]∗[ 2

(2+1 )+2]∗[ 3

(3+1 )+2]

[ 12 +2]∗[ 23+2]∗[ 34 +2]=[ 1+42 ]∗[ 2+63 ]∗[ 3+84 ][ 52 ]∗[ 83 ]∗[ 114 ]=5∗8∗112∗3∗4

=44024

553