calculus 2 notesamling

Michael E. Stassen 17-01-2014 Side 1 af 26

Calculus 2 notesamling En løsningsorienteret gennemgang af diverse typeopgaver i Calculus 2 for kemistuderende på Aarhus Universitet

Jeg har samlet en række opgaver, som typisk vil blive set til eksamen. Jeg har forsøgt at give et enkelt svar, som kan bruges som en umiddelbar hjælp til at løse en opgave der volder problemer. Jeg har så vidt muligt undladt at nævne anvendte teorier, men som sagt bare givet redskaber til opgaveløsning. Alle eksempler tager udgangspunkt i øvelsesopgaver til Calculus 2.

1: Opgaver i gradienter og retningsafledede:

1.1: Gradienten til en funktion er defineret ved:

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥(𝑥, 𝑦); 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦))

For at finde gradienten differentieres en given funktion altså både med hensyn til x og y.

Eksempel 1.1:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 4𝑦3 ⟹

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 2𝑦

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 12𝑦2 ⟹

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 2𝑦; 2𝑥 + 12𝑦2 Typisk vil man blive spurgt om at udlede dette, gennem 1-3 spørgsmål:

1.1: Udregn fx og udfyld det manglende tal


1.2: Udregn fy og udfyld det manglende tal

Opsummering:

Når der tales om gradient, udled da fx og fy og sæt dem ind i (fx,fy)

1.2: En funktions retningsafledte er defineret ved:

𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) = ∇𝑓(𝑥, 𝑦) ∗ �⃑� Altså: produktet mellem gradienten til funktion og en enhedsvektor u.

Typisk vil du først blive bedt om at finde en enhedsvektor i en bestemt retning.

En retningsvektor er en vektor der har længde 1. Hvis en given vektor ikke har længden 1, bliver du nødt til at dividere vektoren med dens længde. Husk at der altid er gode hints at hente i opgaven (Hvis der bliver spurt om vinkel, kan man for det meste ignorere dette):

Eksempel 1.2:

Her gælder det om at lægge mærke til parentesen (1,1), som er den vektor vi opbygger vores enhedsvektor omkring:

Om at finde en retningsvektor:

Eksempel fra opgavesæt 3030


Her er løsningen bare længden af den vektor over brøken, altså norm(6;5). (OBS: Det giver en kvadratrod, men det er det inden i kvadratroden, som skal skrives, da svaret altid er et helt tal)

For at finde længden af en vektor (a,b) tager du

For at finde en enhedsvektor til vektoren (a,b) tager du

Vi kan altså af opgaven se, at vi skal finde længden af (1,1) = √2 Når

vi har en enhedsvektor kan vi udregne den retningsaflede til f(x,y):

Eksempel 1.3:

𝟐𝒃+𝟐𝒂√


Opsummering:

Find produktet mellem gradienten og den udregnede enhedsvektor. HUSK! Gradienten er en vektor, men den retningsaflede er et tal.

1.3: Typiske følgespørgsmål:

Eksempel 1.4:

Her går man altså den anden vej: Man bruger en kendt gradient og en kendt retningsafledt, til at finde en enhedsvektor. Igen er der masser af hints at hente i opgaven. Hvis vi husker den generelle form for en enhedsvektor:

Vi kan af opgaven se at:

Det giver intuitivt god mening at √865 = ‖𝑥, −17‖, så vi ”regner baglæns” for at finde x:

Den største retningsaflede af f findes i samme retning som f, og med samme længde som f. Værdien af den største retningsafledede findes ved ‖𝛻𝑓(𝑥, 𝑦)‖

Eksempel 1.5:


Vi skal i sådanne tilfælde blot finde længden af gradienten. I dette tilfælde (der bruges samme funktion, som fra eksempel 1.4) finder vi altså:

Igen; kig på opgavens svarmuligheder. Det ses klart at √3460 er større end √865, så mon

ikke svaret er [3] 2√865? (jo, det er det).

Opsummering på gradienter og retningsaflede:

- Differentier den givne funktion mht. x og y, for at få gradienten.

- Husk at enhedsvektoren skal have længde=1. Hvis ikke det, så dividerer du bare vektoren med dens længde.

- Den retningsafledede er et tal, gradienten er en vektor.

- Hvis du er i tvivl om, hvad du skal finde, så led efter hints i opgaven. Hvis det du bliver bedt om står i en nævner eller under kvadratrod, så skal du højst sandsynligt finde længden af enten enhedsvektor eller gradient. Hvis det du bliver bedt om at finde står i en tæller, eller ved siden af en brøk, så skal du højst sandsynligt finde produktet mellem gradient og enhedsvektor (typisk skal du altså finde fx u∙ 1+ fy u∙ 2).

- Lad dig ikke skræmme ad funktioner med cos, sin eller sammensatte funktioner. Du får typisk givet de sværeste udregninger af opgaven.

2: Opgaver i matricer, egenværdier og egenvektorer (og egenrum): 2.1: En egenværdi, , er et tal, som også er en rod til det karakteristiske polynomium, 𝑃(𝜆). Det karakteristiske polynomium er defineret ved:

𝑃(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆 ∙ 𝐼)

Hvor I er enhedsmatricen; en matrix med 1 i diagonalen og 0 alle andre steder.

Eksempel 2.1:


For at finde egenværdierne udregner du determinanten af ovenstående og løser P( )=0

I eksempel 2.1 får vi altså:

For at finde egenværdierne sætter vi nu 𝑃(𝜆) = 0 ⟹ −𝜆3 + 12𝜆2 − 44𝜆 + 48 = 0

Enten løs 3. gradsligningen eller prøv at faktoriser udtrykket: −𝜆3 + 10𝜆2 − 24𝜆 = −𝜆(𝜆2 − 10𝜆 + 24) og så kan man straks nemmere se at den første egenværdi 1 = 0, og ved at løse andengradsligningen

2 − 10𝜆 + 24 = 0 fås 𝜆2 = 4 ∧ 𝜆3 = 6

Enhver egenværdi har en (eller flere) tilhørende egenvektor, for hvilken det gælder at:

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑋 = ⃑0 For at finde egenvektoren(e), indsættes den relevante egenværdi i (𝐴 − 𝜆𝐼) og matricen reduceres til Echelon-form. Derefter kan du aflæse egenvektoren(e).

Eksempel 2.2:

Vi bruger matricen A fra eksempel 2.1

Nu kan vi aflæse vores egenvektor. Det der reelt står er at:

Men vi kan tolke det lidt anderledes, for nemhedens skyld:

I vores reducerede matrix har vi tre rækker; Disse repræsenterer hver en ligning. Samtidig er der tre søjler, som hver står for en variabel. Egentligt så siger vores første række os at 1𝑥1 + 0𝑥2 − 1𝑥3 = 0.

Dette burde klart vise at x1=x3 (som vi også ser i opgaven). Den anden række betyder egentligt at 1𝑥1 + 1𝑥2 + 0𝑥3 = 0, så vi har altså x1=-x2. Den nederste række med 0’er er en nulrække. Den giver os en fri


variabel. Vi må altså selv bestemme hvad en af variablene skal være. Jeg vælger x1 til at være fri, fordi denne kan vi bruge til at udtrykke x2 og x3. Det hele burde gerne vise at:

Hvis vi her sætter t=-2 får vi som netop er vores egenvektor.

Et egenrum er en samling af egenvektorer. For at finde en egenværdis tilhørende egenrum, finder vi alle egenvektorerne (som i eksempel 2.2) og samler dem. Reelt hedder det at egenværdien har et egenrum udspændt af de tilhørende egenvektorer, og vi skriver det således:

𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑋1,𝑋2, 𝑋3}

Her er X1,… egenvektorerne til en bestemt egenværdi. Typisk er der i opgaverne kun én enkelt (max 2 i det her fag) egenvektorer.

Matrixprodukter: Husk altid at gå fra venstre mod højre, når du ganger matricer sammen. Hvis du er usikker, så husk at det altid skal gælde at en 𝑚 × 𝑛-matrix kun kan ganges sammen med en 𝑛 × 𝑚.

Opsummering på matricer, egenværdier og egenvektorer:

- Egenværdier findes som rødder i det karakteristiske polynomium (dvs. løs 𝑃(𝜆) = 0)

- En egenvektor findes ved at sætte egenværdien ind i 𝐴 − 𝜆𝐼, hvorefter matricen bringes på Echelon-form

- Egenrum er en udspænding (span) af alle egenvektorer til en tilhørende egenværdi

3: Opgaver i itererede (dobbelte) integraler:

3.1: I calculus er itererede integraler, når man integrerer en funktion af flere variable. I Calculus 2 er det funktioner af to variable, hvor man så integrer mht. x og y. Typisk vil man først blive bedt om at definere et område:

Eksempel 3.1:

Typisk er der angivet 4 forskellige tegninger, hvor man så skal vælge en af dem, men her tager vi det lige fra start af.


I dette tilfælde kigger vi på grænserne. Det er en god idé at prøve at opskrive et område, for hvor funktion giver mening. Dette er typisk også en af opgaverne:

I dette tilfælde har vi givet at x=0 og x=π afgrænser området D. Samtidig har vi at y=0 og 𝑦 = sin𝑥 også afgrænser området. Vi kan derfor skrive: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑦 ≤ sin 𝑥}

nb: Man skal ikke forvirres over måden at opskrive et område på, det kan godt se vanskeligt ud, men det er relativt simpelt:

det første stykke (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ betyder bare at x og y er reelle tal. Stykket efter den lodrette streg | beskriver hvilket område x og y må ligge i.

Når vi skal tegne dette, indsætter vi teoretisk set forskellige (x,y) punkter og tegner kurven. Det er tit en god idé at bruge grænseværdierne;

Først holder vi den ene grænse for y fast og kigger på de to grænseværdier for x, og derefter omvendt.

I dette tilfælde kan vi bruge (0,0) og (π,0) til at se, hvor på x-aksen området skærer. Da der her er tale om en

sinus-funktion, burde det være klart at den største y-værdi findes ved da vi så får .

Det ser altså ud til at kurven starter i (0,0), bevæger sig opad indtil vi når , hvorefter den går ned igen,

til den skærer x-aksen igen i (π,0). En skitse ville altså se således ud:

Nu vil man typisk blive bedt om at opstille et dobbelt integral for funktionen. Grænserne på integralerne er de samme, som grænserne i vores område. I det her tilfælde skal vi altså bruge integralerne:

Disse to kan samles, men så er det vigtigt vi husker at holde de rigtige grænser. Her kunne det se ud på disse to måder:

𝜋 sin𝑥∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝒅𝒚𝑑𝑥 0 0


Her er dy først, fordi det er det inderste integral.

Og her er dx først, fordi det er det inderste integral.

Herefter er det ”bare” at integrere de givne problemer og angive værdien, der bliver spurgt efter.

nb: Når der er tale om cosinus- eller sinusfunktioner, hvor de kommer i 2. potens, så kan der bruges følgende hints:

Når der er tale om polære koordinater:

Nogle gange kan man blive bedt om at beskrive et område i polære koordinater, ud fra ”normale” x’er og y’er:

Eksempel 3.2:

Her skal man bruge at 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, og så burde det typisk være til at se, hvad r skal gå fra og til. Hvis vi kigger på eksempel 3.2 ses det at:

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 16 ⇔ 𝑟2 ≤ 16 ⇔ 𝑟 ≤ 4

Såv vi får altså her 0≤r≤4.

Måden at finde vinklen på er ganske simpel; ud fra området beskrevet ved x≤0 og y≥0, kan vi tegne følgende skitse:


Da vi kan se at vi befinder os i 2. kvadrant (øverste venstre hjørne af ”krydset” mellem akserne), må det

altså gælde at

Eksempel 3.3:

Her kan vi se at vi befinder os i 1. og 2. kvadrant, da 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Til gengæld er det lidt sværere med at

bestemme radius, da r begrænses af √2𝑠𝑖𝑛𝜃, men vi får en figur der ser således ud:

her er det svært at komme med en huskeregel, så der er man nødt til at vide hvordan funktionen ser ud på

forhånd, eller simpelthen plotte den ind i en graf på lommeregner/computer HUSK! Når vi har med polære

koordinater så skal der integreres efter følgende:

∬ 𝑓(𝑟, 𝜃) 𝒓 ∙ 𝒅𝒓𝒅𝜽 𝐷Så hvis ikke der står noget r i forvejen, skal det ganges med.

Eksempel på dobblet integral fra opgavesæt 9090:

(OB: man har i tidligere opgaver fundet ud af hvad det dobblete integral er, nu skal det bare regnes)


Her skal man bare aflæse den numeriske koefficient for pi, som i dette tilfælde er 1.Opsummering på itererede (dobbelte) integraler:

- Definer det pågældende område. - Skitsér det pågældende område. - Saml de to enkelte integraler. - Start med at integrere det inderste integrale, og husk at bruge de rigtige grænser til den rigtige

variabel. - Husk rdr når der er tale om polære koordinater.


4: Afstande og projektioner mellem vektorer:

I (stort set) alle af denne type opgaver, vil man blive bedt om at finde nogle af følgende: Afstande mellem to vektorer, skalar(/prik)produktet, projektion af en vektor, samt korteste afstand fra en vektor til et underrum. Følgende viser, hvordan du skal håndtere sådan en type opgave:

Afstanden mellem to vektorer er givet ved:

‖𝑥 − 𝑦‖ = √(𝑥1 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑦2)2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛)2

Skalarproduktet (prikprodukt/indre produkt) mellem to vektorer er givet ved:

𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥1 ∙ 𝑦1 + 𝑥2 ∙ +𝑦2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∙ 𝑦𝑛

Eksempel 4.2:

Vi bruger samme vektorer, som i eks. 4.1

𝑢1 ∙ 𝑢2 = 3 ∙ 1 + 1 ∙ 3 + (−2) ∙ 3 = 3 + 3 − 6 = 0

bliver: 1Afstanden mellem x og u

Eksempel 4.1:


Hvis skalarproduktet mellem to vektorer er lig 0, så er står vektorerne ortogonalt (vinkelret) på hinanden.

Projektion af en vektor x, udspændt på et underrum af 1 eller flere vektorer er givet ved:

Underrum udspændt af en enkelt vektor

Altså prikproduktet mellem x og u delt med dem kvadrerede længde af u, hvorefter der ganges med u.

Underrum udspændt af 2 vektorer

Korteste afstand fra en vektor x til et underrum U, er givet ved:

‖𝑥 − 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑈(𝑥)‖

Dette skyldes at projektionen står vinkelret på underrummet, og markerer derfor stedet hvor der er kortest fra U til x. Se nedenstående figur:

Figur 4.1

Afstanden findes altså som en længde og udregnes helt præcist sådan her (vi kalder for nemheds skyld projU(x) for v):

‖𝑥 − 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑈(𝑥)‖ = ‖𝑥 − 𝑣‖ = √(𝑥1 − 𝑣1)2 + (𝑥2 − 𝑣2)2 + ⋯

HUSK! Afstande og skalarprodukter er tal, mens en projektion er en vektor.

Særtilfælde:

I enkelte tilfælde kan du blive spurgt ind til det ortogonale komplement til underrummet U:


Der vil (for det meste) følge en hjælp med i form af en skitse såsom denne:

Som tidligere: LÆS hvad der bliver spurgt om. Her er nøgleordet ortogonale (vinkelrette). Som skitsen viser så står x-v vinkelret på U, så det burde gerne være klart at denne vektor kan bruges. Hvis man som i dette tilfælde tidligere har beregnet den korteste afstand fra x til U, så er det bare at aflæse hvad der står inde i

parentesen fra: , hvor i er den efterspurgte koordinat. 5: Lagrange-ligninger (under bibetingelsen g(x,y)=k)

5.1: Man bruger i calculus Lagrange-ligninger til at bestemme min- og max-værdier for en funktion f, under bibetingelsen at g(x,y)=k. Når vi har to funktioner f(x,y) og g(x,y) opstilles Lagrange-ligningen således:

𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆(𝑔(𝑥, 𝑦) − 𝑘)

Derefter differentierer vi L mht. x, y og og sætter disse lig 0.

Eksempel 5.1:

Helt generelt får vi her følgende Lagrange-ligninger:

Ved at løse disse tre ligninger kan vi finde ekstremumspunkter. Ovenstående kan endda simplificeres ved at ”rykke lidt rundt”; Det vil altid gælde at ekstremumspunkter kan

udledes ud fra disse tre tilstande:

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝜆𝑔𝑥(𝑥, 𝑦)

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝜆𝑔𝑦(𝑥, 𝑦)

Michael E. Stassen 17-01-2014 Side 15 af 26 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑘

Herfra kan vi finde de x- og y-værdier der giver ekstremum (samt Lagrange-multiplikatoren , hvis det bliver nødvendigt):

Vi kan altså se at k=-6 og y=3, hvilket gør det nemt at løse ligningerne, og finde x:

Det ses at de to venstresider er det samme, så højresiderne sættes her lig hinanden

Nu gælder det om at putte disse respektive værdier for x og y ind i vores funktion f:

x=1:(x,y)=(1,3):

𝑓(1,3) = ln(1 + 3) = ln 4

x=3:(x,y)=(3,3):

𝑓(3,3) = ln(3 + 3) = ln 6

Her er det klart at (1,3) er minimum for funktionen og (3,3) er maksimum.

Opsummering på Lagrange:

Vi bruger altså Lagrange til at finde de største og mindste værdier, som f kan antage, under en vis betingelse (nemlig g(x,y)=k). Hvis man husker at det skal gælde at:

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝜆𝑔𝑥(𝑥, 𝑦)

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝜆𝑔𝑦(𝑥, 𝑦)

𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑘

Så burde det være lige til. Det gælder simpelthen bare om at indsætte den/de værdier man får opgivet i ovenstående ligningssystemer og isolere for x og y. Typisk får man opgivet en k-værdi. Dette betyder at de to første ligninger bruges til at finde et forhold mellem x og y (isoler for den ene variabel), og så kan disse indsættes i den nederste ligning til løsning af den respektive variabel.

Derefter vil man oftest blive bedt om at angive min- og/eller max-værdier for funktionen f. For at finde disse sættes de fundne (x,y)-værdier ind i den originale funktion.


6: Undersøgelser af kritiske punkter og bestemmelse af arten heraf:

I disse type opgaver vil du blive stillet en variabel af typisk to variable. Du vil blive bedt om at finde et eller flere kritiske punkter, samt om at bestemme arten af dette/disse.

Et kritisk punkt er et vendepunkt for en kurve. Altså et sted hvor en kurve ”bølger”. Se evt. figur 6.1:

Figur 6.1

Tallene 1-6 viser eksempler på kritiske punkter. Vi kan meget simpelt udregne kritiske punkter; Da kurven vender i det kritiske punkt, må det gælde at hældningen er lig 0 (hældningen findes ved tangenten, som for et vendepunkt vil være vandret). Derfor må de afledte til funktionen (fx og fy) også være lig 0. Vi finder altså et kritisk punkt for funktionen f ved fælles nulpunkter for fx og fy:

Vi differentierer altså først funktionen både mht x og y (og sætter de afledte=0):

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 18𝑥2 − 8𝑦2 = 0 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −16𝑥𝑦 + 32𝑦 = 0

Da vi har to ligninger med to ubekendte, kan vi altså løse systemet, og vi får bl.a.:

Eksempel 6.1:


Nu har vi altså fundet de kritiske punkter, og vil nu bestemme arten. Et kritisk punkt kan både være et min- eller maksimumspunkt eller et saddelpunkt (se evt. figur 6.1 punkt 4) For at bestemme arten er det nødvendigt at kigge på følgende teststørrelse:

D=f xx ( x , y )∗f yy ( x , y )−( f xy ( x , y ) )2Vi skal altså til at finde de dobbelte afledte. Vi kigger igen på eksempel 6.1:

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 18𝑥2 − 8𝑦2 ⟹ 𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = 36𝑥 𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = −16𝑦

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −16𝑥𝑦 + 32𝑦 ⟹ 𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = −16𝑥 + 32

Med disse får vi: 𝐷 = 36𝑥(−16 + 32) − (16𝑦)^2

Hvad kan vi så bruge det til? For at undgå det bliver for teoretisk så bare brug følgende regler:

D<0: Der er tale om et saddelpunkt1 D>0 og fxx>0: Der er tale om en minimumspunkt

D>0 og fxx<0: Der er tale om et maksimumspunkt

D=0: Vi kan ikke sige noget entydigt.

For at bestemme arten af et kritisk punkt finder vi altså bare de dobbelte afledte, indsætter de gældende x- og y-værdier og ser på størrelsen af D og fxx

1 For saddelpunkter kan man endda nøjes med at se om 𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) < 0


I eksempel 6.1 får vi f.eks. med det kritiske punkt (3,2) at D<0, så der er det altså tale om et saddelpunkt.

HUSK! Man kan blive bedt om at udregne funktionsværdierne for det kritiske punkt. Sæt da det fundne punkts værdier ind i den originale funktion f.

Opsummering på undersøgelser af kritiske punkter:

- Et kritisk punkt findes hvor de afledte begge er lig 0 - Arten af et kritisk punkt findes ud fra teststørrelsen D (de dobbelte afledte) - Indsæt kritiske punkter (x,y) i f(x,y) for at finde den kritiske værdi af funktionen f

7: Potens-, Taylor- og Maclaurinrækker.

Formel for konvergensradius R:

7.1: En Taylorrække er en metode inden for calculus til at approksimere (tilnærme) en funktion. Taylorrækken repræsenterer en funktion som en uendelig sum beregnet ud fra funktionens afledte omkring et enkelt punkt. Approksimationen af funktionen f(x) omkring punktet a er givet ved:

Eller lidt mere kompakt:

En Maclaurinrække er en Taylorrække i det specielle tilfælde, hvor a=0. Det generelle udtryk for en Maclaurinrække bliver altså:

Typisk vil opgaven omhandle Maclaurinrækker, men i enkelte tilfælde kan man blive spurgt til en Taylorrække. Det kan nogen gange være svært at vide, hvad der bliver spurgt om, så jeg har her prøvet at koge det lidt ned. Jeg er umiddelbart kun stødt på den her type opgave:

Eksempel 7.1:


Her er det rigtige svar 1). Hvis man ikke umiddelbart kan se en trend, kan man alternativt prøve at sætte

n=1 i de 4 muligheder og se, hvilke(n) der passer med ). Her passer 1), 2) og 4), mens 3) giver

. Herefter sættes n=2, og man kan så se

at det kun er 1) der passer (da . Kort sagt; du kan finde ud af hvilken trend der gælder ved at differentiere funktion mens du lader n gå mod uendeligt.

nb: Når der står f(n) betyder n antallet af gange der skal differentieres; så f(1)=f’ og f(2)=f’’ osv.

Her bliver du bedt om det generelle udtryk for en Taylorrække som er:

1−𝑛)2−��(1 =𝑛∞

𝑛2 ∙𝑛 1 −𝑛)1−(∙𝑛∑ med at vi ganger udtrykket med n:tidig , sam1)-Dette giver os potensen (n

6.3: .udtrykket fra spm. Vi skal altså bare differentiere ��ln er den afledte til Det burde være klart at

indlysende at svaret er 2), så det burde være , hvor n=2mening at vælge 3)

giver det intuitivt heller ikke defineret). Derimod 1) og 4), da vi ikke kan sætte n=0 (ln0 er ikke

Vi kan umiddelbart udelukke svar . 2��ln=)��(��hvor Her skal vi specificere Taylorrækken til tilfældet,


Man kan altså slippe fint uden om svære udregninger, hvis bare man sørger for at tænke sig om, og ellers bruge slavearbejde til at udelukke.

MacLaurinrækker:

I disse typer opgaver får du givet en funktion af en eller anden slags, som du vil blive bedt om at opstille en Maclaurinrække for. Det handler i bund og grund om at manipulere funktionen til en form du kender, og så opstille potensrækken for denne funktion. En liste over simple funktioners Taylorrække kan ses i bilag 1.

Først vil man blive bedt om at finde en Maclaurinrække, enten for en specifik funktion, eller også får et generelt tilfælde:

Her kigger man i bilag 1, og ser at svaret er:

startende med positivt

kan se at funktionen har alternerende (skiftende) fortegn, 1−𝑛)1−(Dette skyldes at vi af at det korrekte svar er 1).

Igen, meget lavpraktisk: Det burde gerne være indlysende

svar 3).i udtrykket fra spm 6.3. Det burde være klart at dette giver Her kan vi gå meget lavpraktisk til værks: Indsæt n=1,2,3,4


Her er svaret ALTID!

Nu vil man så typisk blive spurgt om at angive begyndelsen på rækken. Man kigger igen i bilag 1 og kigger efter den form, der ligner den givne funktion:

f(x) er her lig så vi får2:

Svaret bliver altså her 2.

1 − 2𝑥2 + 2𝑥4 − ⋯

2 Det kan være svært lige at gennemskue hvad f(x) kan være, så der gælder det om at tænke sig lidt om; I det givne

eksempel kan man se at 1 − 2𝑥2 + [ ]𝑥4 + ⋯ minder om den række vi kender for så start ud med det, og så kig på, hvad der giver mening at gøre for at få det der ligner det ønskede resultat; her har jeg set at det går op, hvis jeg ganger med (1-x2)

Derefter kigger du på din række:

I dette tilfælde 4. afledte:Et godt trick til den her type opgave: Se på hvilken afledte du skal finde.

I dette tilfælde fås 48.

funktionen 4 gange, og derefter sætte x=0.Her gælder det om at differentiere

:)0()𝑛(��Næste opgave er typisk at beregne


Der er kun et sted, hvor der står noget med 4. potens, så det er alt det du skal bruge. Alle led der er opløftet i en lavere eller højere potens bliver altid lig 0, når du differentierer funktionen 4 gange. Her differentierer du så 2x4 fire gange og der fås 48 (2*4*3*2).

Nu vil du typisk blive spurgt om at finde et led i rækken til den afledte f’(x) eller til stamfunktionen F(x). Her er det bare at differentiere eller integrere rækken, som du tidligere har fundet. Typisk vil du allerede have givet rækken, så den her måde er næsten nemmere, end at differentiere/integrere funktion og ”starte forfra”. Hvis vi kigger på samme række som før:

Slutteligt bliver der ofte spurgt om noget á la følgende:

Her gælder det om at benytte det faktum at F’(x)=f(x), så derfor får vi:

𝐹(3)(0) = 𝑓(2)(0)

Vi benytter os af samme trick som tidligere og ser kun på de led der er opløftet i 2. potens. Med ovenstående række kigger vi altså kun på -2x2 og svaret ville så her blive (-)4.

Eksempel på opgave:

Her skrev jeg bare funktionen f i Maple og højre-klikkede på den: Series -> Series -> x, og da der søges koefficienten for x^4, skal man skrive 5 i ”Series order” og enter.

Opsummering:

Det gælder altså oftest om at manipulere den givne funktion til en form man kender, fx:

: Gang x på rækken for altså

: Benyt at sin(2𝑥) = 2 ∙ sin(𝑥) ∙ cos(𝑥) og få:

!


Bilag 1:


8: Areal eller rumfang af delmængder.

calculus 2 notesamling

Documents