เฉลยแบบฝึกหัด calculus 2 เจษฎา ห่อ...

เฉลยแบบฝกหด Calculus 2 เจษฎา หอไพศาล (พแบงค) www.clipvidva.com

1

แบบฝกหด 3.1

1. จงเขยนกราฟในปรภมสามมต แสดงต าแหนงของจด 1.1. A (3, 0, 0), B (3, 7, 0), C (3, 7, 5), D (0, 7, 0) และ E (0, 0, 5)

1.2. A (5, 0, 0), B (0, –6, 0), C (5, –6, 0), D (5, –6, 7) และ E (0, 0, 7)

2. จงหาพกดฉากของภาพฉายของจด P บนระนาบ XY, YZ, XZ

2.1. P (2, –1, 3) ตอบ XY (2, –1, 0), YZ (0, –1, 3), XZ (2, 0, 3)

2.2. P (4, 3, –5) ตอบ XY (4, 3, 0), YZ (0, 3, –5), XZ (4, 0, –5) 3. จงหาพกดฉากของภาพฉายของจด P บนแกน X, Y, Z

3.1. P (6, –1, 4) ตอบ X (6, 0, 0), Y (0, –1, 0), Z (0, 0, 4)

3.2. P (3, 7, –12) ตอบ X (3, 0, 0), Y (0, 7, 0), Z (0, 0, –12)


2

แบบฝกหด 3.2

1. ก าหนดให A 2 i j , B i j 2k , C i 2 j 2k , และ D 2 i j k จงหา

1.1. 2A 3B

วธท า 2A 3B 2(2 i j) 3( i j 2k) i j 6k

2 2 22A 3B 1 ( 1) ( 6) 38

1.2. เวกเตอรหนวยในทศทางของ A C

วธท า A C 2 i j ( i 2 j 2k ) i j 2k

เวกเตอรหนวยในทศทางของ A C คอ

2 2 2

i j 2kA C 1 ( i j 2k)A C 61 ( 1) (2)

1.3. โคไซนแสดงทศทางของ B D

วธท า B D ( i j 2k) ( 2 i j k ) i 2 j k

2 2 2B D ( 1) 2 1 6

ให B D ท ามม , , กบแกน x, y และ z ทางดานบวกตามล าดบ เราจะได

1cos 6

นนคอ 65.91

2cos 6

นนคอ 35.26

1cos 6

นนคอ 114.09

1.4. (A C)D 2B วธท า (A C)D 2B (2, 1, 0) (1, 2, 0){( 2, 1, 1)} 2(1, 1, 2)

4( 2, 1, 1) 2(1, 1, 2)

( 8, 4, 4) (2, 2, 4)

( 6, 6,0) 6 i 6 j 1.5. มมระหวาง B กบ D

วธท า B D B D cos

2 2 2 2 2 2 (1, 1, 2) ( 2, 1, 1) ( 1 1 2 )( ( 2) 1 ( 1) )cos

2 1 2 ( 6 )( 6 )cos

1cos 2

2 3

1.6. (B C) D

วธท า i j k 1 2 1 2 1 1

B C 1 1 2 i j k2 2 1 2 1 21 2 2


3

( 4 2) i ( 2 2) j ( 1 2)k

6 i 4 j k

i j k 4 1 6 1 6 4

(B C) D 6 4 1 i j k1 1 2 1 2 12 1 1

( 4 1) i (6 2) j (8 6)k

5 i 8 j 2k

1.7. ภาพฉายสเกลารของ D บน C และ ภาพฉายเวกเตอรของ D บน C

วธท า ภาพฉายสเกลาร C DD cos C

2 2 2

(1, 2, 2) ( 2, 1, 1)1 2 ( 2)

2 2 2

2 2 21 2 ( 2)

23

ภาพฉายเวกเตอร C C D CD cos C C C

(1, 2, 2)23 3

2 (1, 2, 2)9

1.8. B C A

วธท า 1 1 2

B C A 1 2 22 1 0

(2)(2)(2) (2)(1)(1) 0 0 (1)( 2)(2) (2)(1)(1)

8 2 4 2

8 1.9. เวกเตอรหนวยทตงฉาก A และ D

วธท า i j k 1 0 2 0 2 1

A D 2 1 0 i j k1 1 2 1 2 12 1 1

( 0 1) i (0 2) j (2 2)k

i 2 j 4k

เพราะฉะนน เวกเตอรหนวยทตงฉาก A และ D คอ A DA D

2 2 2

A D 1 ( i 2 j 4k)A D ( 1) 2 4


4

1 ( i 2 j 4k)21

2. จงหาวาเวกเตอรคใดบางในเวกเตอรตอไปนทตงฉากกน

A (1 2, 3), , B (2 1, 2), , C (4 2, 0), , D (1 6, 2),

วธท า A B (1 2, 3) (2 1, 2) 2 2 6 2, ,

A C (1 2, 3) (4 2, 0) 4 4 0 0, ,

A D (1 2, 3) (1 6, 2) 1 12 6 17, ,

B C (2 1, 2) (4 2, 0) 8 2 0 6, ,

B D (2 1, 2) (1 6, 2) 2 6 4 0, ,

C D (4 2, 0) (1 6, 2) 4 12 0 16, , ดงนน เวกเตอรทตงฉากกน คอ A กบ C และ B กบ D

3. จงหาพนทของรปสามเหลยมซงมจดมมเปน A(2, 1, 3), B(1, 2, 2), C(3, 3, 2)

วธท า AB B A (1, 2, 2) (2, 1, 3) ( 1, 1, 1)

AC C A (3, 3, 2) (2, 1, 3) (1, 2, 1) เพราะฉะนนพนทรปสามเหลยมทม A, B และ C เปนมมคอ

พ.ท. ABC = 1 AB AC2

= i j k 1 1 1 1 1 11 11 1 1 i j k2 1 1 1 1 22 21 2 1

= 1 ( 1 2) i (1 1) j ( 1 2)k2

= 1 i 2 j 3k2

= 2 2 21 1 ( 2) ( 3)2

= 142 ตารางหนวย

4. จงแสดงวารปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน และหาพนทของรปสเหลยมรปนดวย โดยท A, B, C และ D มพกดฉากเปน

(1, 1, 2), (2, 0, 3), (3, 0, 0) และ (2, 1, –1) ตามล าดบ

วธท า AB B A (2, 0, 3) (1, 1, 2) (1, 1, 1)

BC C B (3, 0, 0) (2, 0, 3) (1, 0, 3)

CD D C (2, 1, 1) (3, 0, 0) ( 1, 1, 1)

DA A D (1, 1, 2) (2, 1, 1) ( 1, 0, 3) เนองจาก AB CD DC และ BC DA AD

ดงนน AB CD// และ BC DA//

สรปไดวา ABCD เปนสเหลยมดานขนาน


5

พ.ท. ABCD = AB AD

= i j k 1 1 1 1 1 11 1 1 i j k0 3 1 3 1 01 0 3

= (0 3) i ( 1 3) j (1 0)k

= 3 i 4 j k

= 2 2 23 4 1

= 26 ตารางหนวย

5. จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน ซงมดานประชดเปน A , B และ C เมอ A i j k , B 2 i j k และ

C 2 j k

วธท า 1 1 1

A B C 2 1 10 2 1

0 (2)(1)(1) ( 1)(2)( 1) (1)(1)( 1) 0 (1)(2)(2)

2 2 1 4 1 เพราะฉะนนปรมาตรรปทรงสเหลยมหนาขนานนคอ A B C 1 ลกบาศกหนวย

6. จงแสดงวา (3, 16, 11) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 2, 3), (1, 4, 2) และ (2, 0, 1) วธท า ให a, b, c R โดยท (3, 16, 11) = a(1, 2, 3) + b(1, 4, 2) + c(2, 0, 1) จะได a + b + 2c = 3 … (1) a + 2b = 8 … (2) 3a + 2b + c = 11 … (3) เพราะฉะนน a = 2, b = 3 และ c = –1 ดงนน (3, 16, 11) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 2, 3), (1, 4, 2) และ (2, 0, 1)

7. จงแสดงวา (–8, –17, 37) เปนการรวมเชงเสนของ (2, –1, 4), (3, –2, 5) และ (4, 2, –3) วธท า ให a, b, c R โดยท (–8, –17, 37) = a(2, –1, 4) + b(3, –2, 5) + c(4, 2, –3) จะได 2a + 3b + 4c = –8 … (1) –a – 2b + 2c = –17 … (2) 4a + 5b – 3c = 37 … (3) เพราะฉะนน a = 3, b = 2 และ c = –5 ดงนน (–8, –17, 37) เปนการรวมเชงเสนของ (2, –1, 4), (3, –2, 5) และ (4, 2, –3)

8. จงแสดงวา (9, 29, 11) เปนการรวมเชงเสนของ (2, 5, 0), (1, 4, 5) และ (1, 2, 1) วธท า ให a, b, c R โดยท (9, 29, 11) = a(2, 5, 0) + b(1, 4, 5) + c(1, 2, 1) จะได 2a + b + c = 9 … (1) 5a + 4b + 2c = 29 … (2) 5b + c = 11 … (3) เพราะฉะนน a = 5, b = 3 และ c = –4


6

ดงนน (9, 29, 11) เปนการรวมเชงเสนของ (2, 5, 0), (1, 4, 5) และ (1, 2, 1)

9. จงพจารณาวาเวกเตอรตอไปนเปนอสระเชงเสนหรอไม

9.1. (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) วธท า สมมต a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(0, 1, 1) = (0, 0, 0) จะได a + b = 0 … (1) a + c = 0 … (2) b + c = 0 … (3) จาก (1), (2) และ (3) จะได a = b = c = 0

เพราะฉะนน (1, 1, 0), (1, 0, 1) และ (0, 1, 1) เปนอสระเชงเสน

9.2. (1, 2, 3), (0, 1, 1), (0, 0, 1) วธท า สมมต a(1, 2, 3) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0) จะได a = 0 … (1) 2a + b = 0 … (2) 3a + b + c = 0 … (3) จาก (1), (2) และ (3) จะได a = b = c = 0 เพราะฉะนน (1, 2, 3), (0, 1, 1) และ (0, 0, 1) เปนอสระเชงเสน

9.3. (2, 0, 1), (2, 0, 3), (6, 0, 12) วธท า สมมต a(2, 0, 1) + b(2, 0, 3) + c(6, 0, 12) = (0, 0, 0) จะได 2a + 2b + 6c = 0 … (1) a + 3b + 12c = 0 … (2) เนองจากม 3 ตวแปรใน 2 สมการ แสดงวาม a 0 , b 0 และ c 0 ทท าให a(2, 0, 1) + b(2, 0, 3) + c(6, 0, 12) = (0, 0, 0)

เพราะฉะนน (2, 0, 1), (2, 0, 3) และ (6, 0, 12)ไมเปนอสระเชงเสน

9.4. (5, 2, 1), (4, 5, 2), (0, 0, 0) วธท า สมมต a(5, 2, 1) + b(4, 5, 2) + c(0, 0, 0) = (0, 0, 0) จะได 5a + 4b = 0 … (1) 2a + 5b = 0 … (2) a + 2b = 0 … (3) จาก (1), (2) และ (3) จะได a = b = 0 แตสามารถม c 0 ทท าให a(5, 2, 1) + b(4, 5, 2) + c(0, 0, 0) = (0, 0, 0) เพราะฉะนน (5, 2, 1), (4, 5, 2 ) และ (0, 0, 0) ไมเปนอสระเชงเสน

9.5. (1, 1, 2), (3, 2, –4 ), (4, 1, 5) วธท า สมมต a(1, 1, 2) + b(3, 2, –4) + c(4, 1, 5) = (0, 0, 0) จะได a + 3b + 4c = 0 … (1) a + 2b + c = 0 … (2) 2a – 4b + 5c = 0 … (3) จาก (1), (2) และ (3) จะได a = b = c = 0

เพราะฉะนน (1, 1, 2), (3, 2, –4 ) และ (4, 1, 5) เปนอสระเชงเสน


7

แบบฝกหด 3.3.1

1. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด 0P และขนานกบ A เมอก าหนด 1.1. 0P (2, 1, 1) และ A (2, 3, 4)

ตอบ สมการเวกเตอร คอ (x, y, z) (2, 1, 1) (2, 3, 4)t เมอ t เปนจ านวนจรงใดๆ สมการองตวแปรเสรม คอ x 2 2t , y 1 3t , z 1 4t

และสมการสมมาตร คอ y 1x 2 z 12 3 4

1.2. 0P (0, 2, 3) และ A (1, 0, 2) ตอบ สมการเวกเตอร คอ (x, y, z) (0, 2, 3) (1, 0, 2)t เมอ t เปนจ านวนจรงใดๆ สมการองตวแปรเสรม คอ x t , y 2 , z 3 2t

และสมการสมมาตร คอ z 3x 2

, y = 2

2. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด 1P และ 2P เมอก าหนด 2.1. 1P (2, 0, 1) และ 2P (0, 1, 3)

วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนเสนตรงน เนองจากจด 1P และ 2P อยบนเสนตรงน ดงนน 1 2P P เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงน 1 2 2 1P P P P (0, 1, 3) (2, 0, 1) ( 2, 1, 2) สมการเวกเตอร คอ (x, y, z) (2, 0, 1) ( 2, 1, 2)t เมอ t เปนจ านวนจรงใดๆ สมการองตวแปรเสรม คอ x 2 2t , y t , z 1 2t

และสมการสมมาตร คอ x 2 z 1y2 2

2.2. 1P ( 1, 2, 3) และ 2P (1, 1, 0) วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนเสนตรงน เนองจากจด 1P และ 2P อยบนเสนตรงน ดงนน 1 2P P เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงน 1 2 2 1P P P P (1, 1, 0) ( 1, 2, 3) (2, 3, 3) สมการเวกเตอร คอ (x, y, z) ( 1, 2, 3) (2, 3, 3)t เมอ t เปนจ านวนจรงใดๆ สมการองตวแปรเสรม คอ x 1 2t , y 2 3t , z 3 3t


2.3. 1P (2, 1, 1) และ 2P (5, 3, 0) วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนเสนตรงน เนองจากจด 1P และ 2P อยบนเสนตรงน ดงนน 1 2P P เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงน 1 2 2 1P P P P (5, 3, 0) (2, 1, 1) (3, 2, 1) สมการเวกเตอร คอ (x, y, z) (2, 1, 1) (3, 2, 1)t เมอ t เปนจ านวนจรงใดๆ สมการองตวแปรเสรม คอ x 2 3t , y 1 2t , z 1 1t

และสมการสมมาตร คอ y 1x 2 z 13 2

2.4. 1P (6, 4, 2) และ 2P (4, 2, 1) วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนเสนตรงน เนองจากจด 1P และ 2P อยบนเสนตรงน ดงนน 1 2P P เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงน


8

1 2 2 1P P P P (4, 2, 1) (6, 4, 2) ( 2, 2, 1) สมการเวกเตอร คอ (x, y, z) (6, 4, 2) ( 2, 2, 1)t เมอ t เปนจ านวนจรงใดๆ สมการองตวแปรเสรม คอ x 6 2t , y 4 2t , z 2 t



9


1. จงพจารณาวาจด (1, 2, –3) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม

1.1. x = 3 – 2t, y = 3 + t, z = 1 – 4t

วธท า จาก x = 3 – 2t เมอ x = 1 จะได t = 1

y = 3 + t เมอ y = 2 จะได t = 1

และ z = 1 – 4t เมอ z = –3 จะได t = –1

เนองจากคา t ทไดจากการแทนคา (1, 2, –3) ลงในสมการองตวแปรเสรม ไมเทากน

ดงนน (1, 2, –3) ไมอยบนเสนตรง x = 3 – 2t, y = 3 + t, z = 1 – 4t

1.2. 2x = 3 + 2t, y = 1 – 2t, 3z = –7 + 4t

วธท า จาก 2x = 3 + 2t เมอ x = 1 จะได t = –0.5

y = 1 – 2t เมอ y = 2 จะได t = –0.5

และ 3z = –7 + 4t เมอ z = –3 จะได t = –0.5

เนองจากคา t ทไดจากการแทนคา (1, 2, –3) ลงในสมการองตวแปรเสรม เทากน

ดงนน (1, 2, –3) อยบนเสนตรง 2x = 3 + 2t, y = 1 – 2t, 3z = –7 + 4t

1.3. y 2 z2x 1 2 3

วธท า สมการองตวแปรเสรม คอ 2x = 1 + t, y = –2 +2t, z = 3t

จาก 2x = 1 + t เมอ x = 1 จะได t = 1

y = –2 +2t เมอ y = 2 จะได t = 2

และ z = 3t เมอ z = –3 จะได t = –1

เนองจากคา t ทไดจากการแทนคา (1, 2, –3) ลงในสมการองตวแปรเสรม เทากน

ดงนน (1, 2, –3) ไมอยบนเสนตรง y 2 z2x 1 2 3

1.4. x 7 z 94 y4 3

วธท า แทนคา (1, 2, –3) ลงในสมการสมมาตร

จะไดวา 2 = 2 = 2 ซงเปนจรง

ดงนน (1, 2, –3) อยบนเสนตรง x 7 z 94 y4 3

2. จงพจารณาวาจดสามจดตอไปน อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

2.1. A (1, 2, –1), B (2, 4, –4), C (4, 8, –10)

วธท า AB B A (2, 4, 4) (1, 2, 1) (1, 2, 3)

ไดสมการสมมาตร คอ y 2 z 1x 1 2 3

แทนคา C (4, 8, –10) ลงในสมการจะไดวา 3 = 3 = 3 ซงเปนจรง

ดงนน A, B และ C อยบนเสนตรงเดยวกน


10

2.2. A (0, –1, 2), B (2, 1, 1), C (4, 3, –1)

วธท า AB B A (2, 1, 1) (0, 1, 2) (2, 2, 1)

ไดสมการสมมาตร คอ y 1x z 22 2 1

แทนคา C (4, 3, –1) ลงในสมการจะไดวา 2 = 2 = 3 ซงไมเปนจรง

ดงนน A, B และ C ไมไดอยบนเสนตรงเดยวกน

3. จงหาระยะทางจากจด B (1, –1, 2) ไปยงเสนตรงตอไปน

3.1. y z 24 x 2 2

วธท า สมการองตวแปรเสรม x = 4 – t, y = 2t, z = –2 + 2t

เพราะฉะนนจด (4, 0, –2) อยบนเสนตรง แทนจดนดวย P0

0 0P B B P (1, 1, 2) (4, 0, 2) ( 3, 1, 4)

และ A ( 1, 2, 2)

ให M เปนจดซงมเสนลากจากจด B มาตงฉาก

ดงนน 0P B A

BM A

2 2 2

i j k1 3 1 4 ( 1) 2 2 1 2 2

1 4 3 4 3 11 i j k 2 2 1 2 1 23

1 10 i 2 j 7k3

2 2 2 1 ( 10) 2 ( 7)3

17 หนวย 3.2. x 6 4t , y 2 t , z 3 3t

วธท า เพราะฉะนนจด (6, 2, 3) อยบนเสนตรง แทนจดนดวย P0

0 0P B B P (1, 1, 2) (6, 2, 3) ( 5, 3, 1)

และ A (4, 1, 3)


ดงนน 0P B A

BM A

2 2 2

i j k1 5 3 1 4 1 3 4 1 3

3 1 5 1 5 31 i j k 1 3 4 3 4 126


11

1 8 i 11 j 7k26

2 2 2 1 ( 8) ( 11) 726

3 หนวย 4. จงหาพกดของจดบนเสนตรงตอไปน ทอยใกลจดก าเนดมากทสด

4.1. x 9 4t , y t , z 3 2t

วธท า ให M คอ จดบนเสนตรงทใกลจดก าเนดมากทสด

จด (9, 0, 3) อยบนเสนตรง แทนจดนดวย P0

0 0P O O P (0, 0, 0) (9, 0, 3) ( 9, 0, 3)

และ A (4, 1, 2)


ดงนน 00 2

P O AM P [ ]AA

2 2 2( 9, 0, 3) (4, 1, 2) (9, 0, 3) [ (4, 1, 2)

4 1 2]

42 (9, 0, 3) [ (4, 1, 2)21 ]

(9, 0, 3) 2(4, 1, 2)

(1, 2, 1)

4.2. y 2x 8 z 86 1 9

วธท า ให M คอ จดบนเสนตรงทใกลจดก าเนดมากทสด

จด (8,–2, –8) อยบนเสนตรง แทนจดนดวย P0

0 0P O O P (0, 0, 0) (8, 2, 8) ( 8, 2, 8)

และ A ( 6, 1, 9)


ดงนน 00 2

P O AM P [ ]AA

2 2 2( 8, 2, 8) ( 6, 1, 9) (8, 2, 8) [ ( 6, 1, 9)

( 6) ( 1) 9]

48 2 72 (8, 2, 8) [ ( 6, 1, 9)118 ]

(8, 2, 8) ( 6, 1, 9)

(2, 3, 1)


12


ก าหนดสมการของเสนตรง 1L และ 2L จงพจารณาวาเสนตรงทงสองตดกนหรอไม ถาตดกนจงหาจดตด

1. 1L : x 2 s, y 1 3s, z 2 3s 2L : x 4 t, y 5 3t, z t

วธท า สมมต 1L ตดกบ 2L เพราะฉะนนมจด 0P จดหนง ซงอยบนทงบน 1L และ 2L ใหจด 0P มพกดเปน 0 0 0(x , y , z ) เพราะฉะนนคา 0 0 0x , y , z ยอมตองสอดคลองทงสมการของ 1L และ 2L นนคอ

0 00

y 1 2 zx 2 3 3

... (1)

และ 00 0

y 5x 4 z3

... (2)

จาก (1) เราได 00

2 zx 2 3

หรอ 0 03x z 8 ... (3) จาก (2) เราได 0 0x 4 z หรอ 0 0x z 4 ... (4) จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0z จะได 0x 3 และ 0z 1 แทนคา 0x ใน (1) และ(2) จะไดคา 0 y ทเทากนคอ 0 y 2 แสดงวา 1L ตดกบ 2L ทจด (3, 2, –1)

2. 1x 1L : 2 y z2

22x 1L : y z 23


00 0

x 1 2 y z2

... (1)

และ 00 0

2x 1 y z 23

... (2)


x 1 2 y2

หรอ 0 0x 2y 5 ... (3)


2x 1 y3

หรอ 0 02x 3y 1 ... (4)

จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0y จะได 013x 7 และ 0

11y 7

แทนคา 0x ใน (1) และ(2) จะไดคา 0z ดงน คอ

จาก (1) ได 03z 7 ในขณะท จาก (2) ได 0

25z 7

แสดงวา 1L ตดกบ 2L ไมตดกน


13

3. 1L : x 2t, y 2 t, z 5 3t

2x 4L : y z 12


0 00

x z 5y 22 3

... (1)

และ 00 0

x 4 y z 12

... (2)

จาก (1) เราได 0 0x z 52 3

หรอ 0 03x 2z 10 ... (3)


x 4 z 12

หรอ 0 0x 2z 6 ... (4) จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0z จะได 0x 2 และ 0z 2 แทนคา 0x ใน (1) และ(2) จะไดคา 0y ทเทากนคอ 0 y 1 แสดงวา 1L ตดกบ 2L ทจด (–2, 1, 2)


14


1. ก าหนดสมการของเสนตรง 1L และ 2L จงหามมระหวาง 1L กบ 2L

1.1. 1z 1L : 1 x y

2

2y 1x zL : 22 2

วธท า เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A ( 1, 1, 2 ) เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A ( 2 , 2 , 2) ให เปนมมระหวาง 1A กบ 2A

1 2

1 2

A Acos A A

2

( 1, 1, 2 ) ( 2 , 2 , 2) ( 1) 1 2 2 2 4

1 2

เพราะฉะนน 3

ดงนน มมระหวาง 1L และ 2L คอ 3 และ 2

3

1.2. 1L : x s, y 1 s, z 3 s 2L : x 2 t, y 3 2t, z 3t วธท า เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A ( 1, 1, 1) เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A (1, 2, 3) ให เปนมมระหวาง 1A กบ 2A

1 2

1 2

A Acos A A

( 1, 1, 1) (1, 2, 3) 1 1 1 1 4 9

4 42

เพราะฉะนน 4 arccos( )42

ดงนน มมระหวาง 1L และ 2L คอ 4arccos( )42

และ 4arccos( )42

2. จงพจารณาวาเสนตรงทมสมการเปน x 1 zy2 3

จะตงฉากกบเสนตรงใดบาง

12x 1L : y z2

เวกเตอรแสดงทศทาง คอ 1A (1, 1, 1)

2L : x 2 t, y t, 2z 1 2t เวกเตอรแสดงทศทาง คอ 2A ( 1, 1, 1)

31 x 2z 1L : y 24 6

เวกเตอรแสดงทศทาง คอ 3A ( 4, 1, 3)

4L : x 1 t, y 2 5t, z t เวกเตอรแสดงทศทาง คอ 4A (1, 5, 1)

5y 12 x 2z 1L : 5 2 4


วธท า x 1 zy2 3

มเวกเตอรแสดงทศทาง คอ A (2, 1, 3)


15

1 A A (1, 1, 1) (2, 1, 3) 2 1 3 2 2 A A ( 1, 1, 1) (2, 1, 3) 2 1 3 0 3 A A ( 4, 1, 3) (2, 1, 3) 8 1 9 0 4 A A (1, 5, 1) (2, 1, 3) 2 5 3 0 5 A A ( 5, 2, 2) (2, 1, 3) 10 2 6 6

เพราะฉะนน เสนตรง x 1 zy2 3

ตงฉากกบ 2 3 4L , L , L

3. จงหาสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจดก าเนด ซงตดและตงฉากกบเสนตรงทมสมการเปน y 4x 2 z2

วธท า ให 1L เปนเสนตรงทมสมการเปน y 4x 2 z2

ดงนน 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (1, 2, 1) ให 2L เปนเสนตรงทผานจดก าเนด (O) ซงตดและตงฉากกบ 1L ทจด M (a, b, c) เนองจากจด O และ M อยบน 2L ดงนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ

OM M O (a, b, c) เนองจาก 1L ตงฉากกบ 2L ดงนน 1A OM 0 จะได (1, 2, 1) (a, b, c) 0 a 2b c 0 ... (1) เนองจากจด M อยบน 1L ดงนน พกดของจด M ยอมสอดคลองกบสมการของ 1L

นนคอ b 4a 2 c2

จะไดวา a 2 c และ b 8 2c ... (2) แทนคา a, b ใน (1) ได 2 c 2(8 2c) c 0

2 c 16 4c c 0 c 3 แทนคา c ใน (2) ได a 1 และ b 2 ดงนน พกดของจดตด คอ ( 1, 2, 3) 2L เปนเสนตรงทผานจด O (0, 0, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง OM ( 1, 2, 3)

เพราะฉะนนเสนตรง 2L มสมการเปน y zx 2 3


16


1. จงพจารณาวาเสนตรงทมสมการเปน y 1x z2

จะขนานกบเสนตรงใดบาง

1L : 2x t, y 3 t, 4z 3 2t เวกเตอรแสดงทศทาง คอ 11 1A ( , 1, )2 2

2y1 x 3z 1L : 2 4 6


32 y2x 1 1 4zL : 3 3 6

เวกเตอรแสดงทศทาง คอ 33 3A ( , 3, )2 2

42 yx z 1L : 3 3 3

เวกเตอรแสดงทศทาง คอ 4A (3, 3, 3)

5L : x 2 t, 3y 1 2t, z t เวกเตอรแสดงทศทาง คอ 52A ( 1, , 1)3

วธท า y 1x z2

มเวกเตอรแสดงทศทาง คอ A (1, 2, 1)

เราสามารถเขยนไดวา 1 2 3 3A 2A 2A A2

เพราะฉะนน เสนตรง x 1 zy2 3

ขนานกบ 1 2 3L , L , L 2. จงหาสมการสมมาตรขอแงเสนตรงทผานจดทก าหนดให และขนานกบเสนตรงทก าหนดให

2.1. 0P (1, 0, 2), L : 2x 1 4t, y 3 t, z 2 3t วธท า L มเวกเตอรแสดงทศทาง A ( 2, 1, 3) ให L1 เปนเสนตรงทผานจด (1, 0, –2) และขนานกบ L เนองจาก L ขนานกบ L1 ดงนนเวกเตอรแสดงทศทางของ L1 ขนานกบ A แสดงวา A กเปนเวกเตอรแสดงทศทางของ L1 ดวย

ดงนน L1 มสมการเปน x 1 z 2y2 3

2.2. 0P (2, 1, 1), 2 y3 2xL : z2 3

วธท า L มเวกเตอรแสดงทศทาง A ( 1, 3, 1) ให L1 เปนเสนตรงทผานจด (2, –1, 1) และขนานกบ L เนองจาก L ขนานกบ L1 ดงนนเวกเตอรแสดงทศทางของ L1 ขนานกบ A แสดงวา A กเปนเวกเตอรแสดงทศทางของ L1 ดวย

ดงนน L1 มสมการเปน y 1x 2 z 1

1 3 1

2.3. 0P ( 3, 2, 4), y1 2x z 1L : 6 2 2

วธท า L มเวกเตอรแสดงทศทาง A ( 3, 2, 2) ให L1 เปนเสนตรงทผานจด (–3, –2, 4) และขนานกบ L เนองจาก L ขนานกบ L1 ดงนนเวกเตอรแสดงทศทางของ L1 ขนานกบ A แสดงวา A กเปนเวกเตอรแสดงทศทางของ L1 ดวย

ดงนน L1 มสมการเปน y 2x 3 z 4

3 2 2


17


ก าหนดสมการของเสนตรง 1L และ 2L จงพจารณาวาเสนตรงทงสองเปนเสนไขวตางระนาบหรอไม

1. 13 y zL : x 1 2 4

2

y 1 z 4L : 2 x 2 4

วธท า L1 มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (1, 2, 4) L2 มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A ( 1, 2, 4) จะเหนวา ไมมจ านวนจรง k ทท าให 1 2A kA หรอ 2 1A kA แสดงวา 1A ไมขนานกบ 2A นนคอ L1 ไมขนานกบ L2 สมมต L1 ตดกบ L2 เพราะฉะนนมจด P0 อยท งบน L1 และ L2 ใหจด P0 มพกดเปน (x0, y0, z0) ดงนน คา x0, y0, z0 ยอมตองสอดคลองทงสมการของ L1 และ L2

นนคอ 0 00

3 y zx 1 2 4

... (1)

0 0

0y 1 z 42 x 2 4

... (2)

จาก (1) เราได

0 04x z 4 ... (3) จาก (2) เราได

0 04x z 12 ... (4)

จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0y จะได จะได 0x 2 และ 0y 4 แทนคา 0x ใน (1) และ (2) จะได 0z 4 และ 0z 4 ตามล าดบ แสดงวา L1 ตดกบ L2 ดงนน จงสรปไดวา L1 และ L2 ไมเปนเสนไขวตางระนาบ

2. 1x 4L : y z 12

2

y 1x zL : 3 2 4

วธท า L1 มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (2, 1, 1) L2 มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A (3, 2, 4) จะเหนวา ไมมจ านวนจรง k ทท าให 1 2A kA หรอ 2 1A kA แสดงวา 1A ไมขนานกบ 2A นนคอ L1 ไมขนานกบ L2 สมมต L1 ตดกบ L2 เพราะฉะนนมจด P0 อยท งบน L1 และ L2 ใหจด P0 มพกดเปน (x0, y0, z0) ดงนน คา x0, y0, z0 ยอมตองสอดคลองทงสมการของ L1 และ L2

นนคอ 00 0

x 4 y z 12

... (1)

0 0 0x y 1 z

3 2 4

... (2)


0 0x 2y 4 ... (3) จาก (2) เราได

0 02x 3y 3 ... (4)

จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0y จะได จะได 0x 6 และ 0y 5


18

แทนคา 0x ใน (1) และ (2) จะได 0z 6 และ 0z 8 ตามล าดบ ซงเปนไปไมได แสดงวา L1 ไมตดกบ L2 ดงนน จงสรปไดวา L1 และ L2 เปนเสนไขวตางระนาบ

3. 1L : 2x 1 4s, y 2 s, z s

2L : x 4t, y 1 2t, 3z 1 6t

วธท า L1 มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (2, 1, 1) L2 มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A ( 4, 2, 2) จะเหนวา 1 2A 2A แสดงวา 1A ขนานกบ 2A นนคอ L1 ขนานกบ L2 ดงนน L1 และ L2 ไมเปนเสนไขวตางระนาบ

4. 1L : x 1 s, y 2 s, z 1 3s

2L : x t, y 5 2t, z 6 t

วธท า L1 มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (1, 1, 3) L2 มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A (1, 2, 1) จะเหนวา ไมมจ านวนจรง k ทท าให 1 2A kA หรอ 2 1A kA แสดงวา 1A ไมขนานกบ 2A นนคอ L1 ไมขนานกบ L2 สมมต L1 ตดกบ L2 เพราะฉะนนมจด P0 อยท งบน L1 และ L2 ใหจด P0 มพกดเปน (x0, y0, z0) ดงนน คา x0, y0, z0 ยอมตองสอดคลองทงสมการของ L1 และ L2

นนคอ 0 00

y 2 z 1x 1 1 3

... (1)

0

0 0y 5x z 62

... (2)


0 03x z 2 ... (3) จาก (2) เราได

0 0x z 6 ... (4)

จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0y จะได จะได 0x 4 และ 0z 10 แทนคา 0x ใน (1) และ (2) จะได 0y 1 และ 0y 3 ตามล าดบ แสดงวา L1 ไมตดกบ L2 ดงนน จงสรปไดวา L1 และ L2 เปนเสนไขวตางระนาบ


19


ก าหนดสมการของเสนตรง 1L และ 2L จงหาระยะทางระหวางเสนตรงทงสอง

1. 1x 4 zL : y 27 3

2

z 6L : 3 x , y 52

วธท า จากสมการของ L1 และ L2 จะไดวา L1 ผานจด P1 (0, 2, 4) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (7, 1, 3)

L2 ผานจด P2 (3, 5, 6) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 2A ( 1, 0, 2)

จะเหนวา ไมมจ านวนจรง k ทท าให 1 2A kA หรอ 2 1A kA ดงนน 1A ไมขนานกบ 2A นนคอ L1 ไมขนานกบ L2

แสดงวาระยะทางระหวาง L1 กบ L2 1 2 1 2

1 2

P P (A A ) A A

1 2A A i j k

7 1 31 0 2

1 3 7 3 7 1

i j k0 2 1 2 1 0

2 i 11 j k

เพราะฉะนน 1 2 1 2

1 2

P P (A A )A A

2

(3, 3, 2) (2, 11, 1)

4 ( 11) 1

6 33 2

126

25126

ดงนน ระยะทางระหวาง L1 กบ L2 มเทากบ 25126

หนวย

2. 1y 3 6 zL : x 5 4 9

2

4 y z 1L : 2 x 4 9

วธท า จากสมการของ L1 และ L2 จะไดวา L1 ผานจด P1 (–5, –3, 6) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (1, 4, 9)

L2 ผานจด P2 (2, 4, –1) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 2A ( 1, 4, 9)



1 2

P P (A A ) A A

1 2A A i j k

1 4 91 4 9

4 9 1 9 1 4

i j k4 9 1 9 1 4


20

72 i 18 j


1 2

P P (A A )A A

2 2

(7, 7, 7) ( 72, 18, 0)( 72) 18

504 126

5508

378 215508 17


หนวย

3. 1L : x 5 4s, y 2 s, z 4 3s

2L : x 2 8t, y 1 2t, z 1 6t

วธท า จากสมการของ L1 และ L2 จะไดวา L1 ผานจด P1 (5, 2, 4) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (4, 1, 3)

L2 ผานจด P2 (2, 1, –1) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 2A ( 8, 2, 6)

จะเหนวา 1 21A A2 ดงนน 1A ขนานกบ 2A นนคอ L1 ขนานกบ L2

แสดงวา ระยะทางระหวาง L1 กบ L2 = ระยะทางจากจด P1 ไปยง L2

2 1 2

2

P P A A

2 1 2

2

P P AA

2 2 2

i j k1 3 1 5 ( 8) 2 6) 8 2 6(

1 5 3 5 3 11 i j k 2 6 8 6 8 2104

1 16 i 22 j 14k104

2 2 2 1 ( 16) ( 22) 14104

936104

3 ดงนน ระยะทางระหวาง L1 กบ L2 มเทากบ 3 หนวย

4. 1L : x 1 s, y 2, z 1 2s

2L : x 2 t, y 3 4t, z 2t

วธท า จากสมการของ L1 และ L2 จะไดวา L1 ผานจด P1 (–1, 2, –1) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (1, 0, 2)

L2 ผานจด P2 (2, 3, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 2A ( 1, 4, 2)



1 2

P P (A A ) A A


21

1 2A A i j k

1 0 21 4 2

0 2 1 2 1 0

i j k4 2 1 2 1 4

8 i 4 j 4k


1 2

P P (A A )A A

2 2 2

(3, 1, 1) ( 8, 4, 4)( 8) ( 4) 4

24 4 4

96

6 ดงนน ระยะทางระหวาง L1 กบ L2 มเทากบ 6 หนวย


22


1. จงหาสมการของระนาบทผานจด P0 และมเวกเตอรแนวฉาก N เมอก าหนด 1.1. 0P (2, 1, 3) และ N (2, 3, 4)

วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบน สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด 0P (2, 1, 3) และมเวกเตอรแนวฉาก N (2, 3, 4) คอ 0(P P ) N 0 หรอ {(x, y, z) (2, 1, 3)} (2, 3, 4) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

2(x 2) 3(y 1) 4(z 3) 0 หรอ 2x 3y 4z 5

1.2. 0P (0, 1, 1) และ N (1, 2, 3) วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบน สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด 0P (0, 1, 1) และมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 2, 3) คอ 0(P P ) N 0 หรอ {(x, y, z) (0, 1, 1)} (1, 2, 3) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

x 2(y 1) 3(z 1) 0 หรอ 2x 2y 3z 5

1.3. 0P ( 1, 2, 4) และ N 2 i 3k วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบน สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด 0P ( 1, 2, 4) และมเวกเตอรแนวฉาก N 2 i 3k คอ 0(P P ) N 0 หรอ {(x, y, z) ( 1, 2, 4)} (2, 0, 3) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

2(x 1) 3(z 4) 0 หรอ 2x 3z 14

1.4. 0P (3, 1, 2) และ N 3 i j 2k วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบน สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด 0P (3, 1, 2) และมเวกเตอรแนวฉาก N (3, 1, 2) คอ 0(P P ) N 0 หรอ {(x, y, z) (3, 1, 2)} (3, 1, 2) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

3(x 3) (y 1) 2(z 2) 0 หรอ 3x y 2z 4

2. จงหาสมการของระนาบทผานจด P0, P1 และ P2 เมอก าหนด 2.1. 0P (1, 2, 3) , 1P (2, 1, 1) และ 2P (0, 1, 2)

วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบใดๆ เนองจาก 0P , 1P , 2P อยบนระนาบ ดงนน 0 1P P และ 0 2P P ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ


23

แสดงวา 0 1 0 2P P P P ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ ดงนนเราจะไดวา 0 1 0 2N P P P P เปนเวกเตอรแนวฉากเวกเตอร หนงของระนาบ 0 1 0 2N P P P P 1 0 2 0 (P P ) (P P ) ((2, 1, 1) (1, 2, 3)) ((0, 1, 2) (1, 2, 3)) (1, 3, 2) ( 1, 1, 1)

i j k

1 3 21 1 1

3 2 1 2 1 3

i j k1 1 1 1 1 1

i 3 j 4k ดงนน ระนาบทตองการผานจด 0P (1, 2, 3) และมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 3, 4) จะมสมการเปน (x 1) 3(y 2) 4(z 3) 0 หรอ x 3y 4z 5

2.2. 0P ( 1, 3, 4) , 1P (0, 1, 2) และ 2P (2, 2, 3) วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบใดๆ เนองจาก 0P , 1P , 2P อยบนระนาบ ดงนน 0 1P P และ 0 2P P ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ แสดงวา 0 1 0 2P P P P ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ ดงนนเราจะไดวา 0 1 0 2N P P P P เปนเวกเตอรแนวฉากเวกเตอร หนงของระนาบ 0 1 0 2N P P P P 1 0 2 0 (P P ) (P P ) ((0, 1, 2) ( 1, 3, 4)) ((2, 2, 3) ( 1, 3, 4)) (1, 2, 2) (3, 1, 1)

i j k

1 2 23 1 1

2 2 1 2 1 2

i j k1 1 3 1 3 1

5 j 5k ดงนน ระนาบทตองการผานจด 0P ( 1, 3, 4) และมเวกเตอรแนวฉาก N (0, 5, 5) จะมสมการเปน 5(y 3) 5(z 4) 0 หรอ y z 5

2.3. 0P (0, 1, 2) , 1P (2, 1, 1) และ 2P (1, 1, 0) วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบใดๆ เนองจาก 0P , 1P , 2P อยบนระนาบ ดงนน 0 1P P และ 0 2P P ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ แสดงวา 0 1 0 2P P P P ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ ดงนนเราจะไดวา 0 1 0 2N P P P P เปนเวกเตอรแนวฉากเวกเตอร หนงของระนาบ


24

0 1 0 2N P P P P 1 0 2 0 (P P ) (P P ) ((2, 1, 1) (0, 1, 2)) ((1, 1, 0) (0, 1, 2)) (2, 2, 3) (1, 2, 2)

i j k

2 2 31 2 2

2 3 2 3 2 2

i j k2 2 1 2 1 2

2 i j 2k ดงนน ระนาบทตองการผานจด 0P (0, 1, 2) และมเวกเตอรแนวฉาก N (2, 1, 2) จะมสมการเปน 2x (y 1) 2(z 2) 0 หรอ 2x y 2z 3


25


จงเขยนกราฟของระนาบทมสมการตอไปน 1. 2x + y + 4z = 4 วธท า แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 2 ดงนน จดตดของระนาบกบแกน x คอ (2, 0, 0) แทน x = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได y = 4 ดงนน จดตดของระนาบกบแกน y คอ (0, 4, 0) แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได z = 1 ดงนน จดตดของระนาบกบแกน z คอ (0, 0, 1) ระนาบทตองการ คอ ระนาบดงรปท 1 พจารณารอยตดของระนาบน กบระนาบพกดฉาก ระนาบนตดกบระนาบ XY ตามแนวเสนตรง 2x + y = 4, z = 0 ระนาบนตดกบระนาบ YZ ตามแนวเสนตรง y + 4z = 4, x = 0 ระนาบนตดกบระนาบ ZX ตามแนวเสนตรง x + 2z = 2, y = 0 ดงนน ระนาบทตองการกคอ ระนาบทผานเสนตรงทงสามน ดงแสดงในรปท 1

x

y

z

(0, 4, 0)(0, 0, 1)

(2, 0, 0)

รปท 1 แสดงระนาบ 2x + y + 4z = 4

2. 6x + y – 3z = 0 วธท า แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 0 ดงนน ระนาบตดกบจดก าเนด คอ (0, 0, 0) พจารณารอยตดของระนาบน กบระนาบพกดฉาก ระนาบนตดกบระนาบ YZ ตามแนวเสนตรง x – 3y = 0, x = 0 ระนาบนตดกบระนาบ XZ ตามแนวเสนตรง 2x – z = 0, y = 0 ดงนน ระนาบทตองการกคอ ระนาบทผานเสนตรงทงสามน ดงแสดงในรปท 2

x

y

z

y – 3z = 0, x = 02x – z = 0, y = 0

รปท 2 แสดงระนาบ 6x + y – 3z = 0


26

3. x – 2y – z = 0 วธท า แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 0 ดงนน ระนาบตดกบจดก าเนด คอ (0, 0, 0) พจารณารอยตดของระนาบน กบระนาบพกดฉาก ระนาบนตดกบระนาบ XY ตามแนวเสนตรง x – 2y = 0, z = 0 ระนาบนตดกบระนาบ XZ ตามแนวเสนตรง x – z = 0, y = 0 ดงนน ระนาบทตองการกคอ ระนาบทผานเสนตรงทงสามน ดงแสดงในรปท 3

x

y

z

x – 2y = 0, z = 0

x – z = 0, y = 0

รปท 3 แสดงระนาบ x – 2y – z = 0

4. y + 2z = 2 วธท า แทน x = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได y = 2 ดงนน จดตดของระนาบกบแกน y คอ (0, 2, 0) แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได z = 1 ดงนน จดตดของระนาบกบแกน z คอ (0, 0, 1) แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได 0 = 2 ซงเปนไปไมได แสดงวา ระนาบไมตดกบแกน x พจารณารอยตดของระนาบน กบระนาบพกดฉาก ระนาบนตดกบระนาบ XY ตามแนวเสนตรง y = 2, z = 0 ระนาบนตดกบระนาบ XZ ตามแนวเสนตรง z = 1, y = 0 ระนาบนตดกบระนาบ YZ ตามแนวเสนตรง y + 2z = 2, x = 0 ดงนน ระนาบทตองการกคอ ระนาบทผานเสนตรงทงสามน ดงแสดงในรปท 4

x

y

z

y = 2, z = 0

z = 1, y = 0y + 2z = 2, x = 0(0, 0, 1)

(0, 2, 0)

รปท 4 แสดงระนาบ y + 2z = 2

5. 3x + z = 3 วธท า แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 1 ดงนน จดตดของระนาบกบแกน x คอ (1, 0, 0) แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได z = 3 ดงนน จดตดของระนาบกบแกน z คอ (0, 0, 3)


27

แทน x = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได 0 = 3 ซงเปนไปไมได แสดงวา ระนาบไมตดกบแกน y พจารณารอยตดของระนาบน กบระนาบพกดฉาก ระนาบนตดกบระนาบ XY ตามแนวเสนตรง x = 1, z = 0 ระนาบนตดกบระนาบ XZ ตามแนวเสนตรง 3x + z = 3, y = 0 ระนาบนตดกบระนาบ YZ ตามแนวเสนตรง z = 3, x = 0 ดงนน ระนาบทตองการกคอ ระนาบทผานเสนตรงทงสามน ดงแสดงในรปท 1

x

y

z

x = 1, z = 0

z = 3, x = 0

3x + z = 3, y = 0

(1, 0, 0)

(0, 0, 3)

รปท 5 แสดงระนาบ 3x + z = 3

6. x = 2 วธท า ระนาบ x = 2

x

y

z

x = 2, z = 0

x = 2, y = 0

(2, 0, 0)

รปท 6 แสดงระนาบ x = 2


28


1. จงพจารณาวา จด 4 จด ตอไปนอยบนระนาบเดยวกนหรอไม

1.1. 0P (1, 1, 1) , 1P ( 2, 4, 1) , 2P (3, 1, 2) และ 3P (5, 1, 3)

วธท า ให M เปนระนาบทผานจด , 0 1P P และ 2P

0 1 1 0P P P P ( 2, 4, 1) (1, 1, 1) ( 3, 3, 0)

0 2 2 0P P P P (3, 1, 2) (1, 1, 1) (2, 0, 1)

0 1 0 2

i j kP P P P 3 3 0

2 0 1

3 0 3 0 3 3

i j k0 1 2 1 2 0

3 i 3 j 6k

จะไดวา M เปนระนาบทผานจด 0P และมเวกเตอรแนวฉาก 0 1 0 2P P P P จะมสมการเปน จะมสมการเปน 3(x 1) 3(y 1) 6(z 1) 0 หรอ x y 2z 0

แทน x = 5, y = 1, z = 3 ในสมการของระนาบ M จะได

5 1 2(3) 0 ซงเปนจรง แสดงวาพกดของ 3P สอดคลองกบสมการระนาบของ M ดงนนจด 3P อยบนระนาบ M เราจงสรปไดวา จด

, , 0 1 2P P P และ 3P อยบนระนาบเดยวกน

1.2. 0P (1, 2, 7) , 1P ( 1, 1, 2) , 2P (2, 0, 7) และ 3P (1, 1, 2)

วธท า ให M เปนระนาบทผานจด , 0 1P P และ 2P

0 1 1 0P P P P ( 1, 1, 2) (1, 2, 7) ( 2, 1, 5)

0 2 2 0P P P P (2, 0, 7) (1, 2, 7) (1, 2, 0)

0 1 0 2

i j kP P P P 2 1 5

1 2 0

1 5 2 5 2 1

i j k2 0 1 0 1 2

10 i 5 j 5k

จะไดวา M เปนระนาบทผานจด 0P และมเวกเตอรแนวฉาก 0 1 0 2P P P P จะมสมการเปน จะมสมการเปน 10(x 1) 5(y 2) 5(z 7) 0 หรอ 2x y z 3

แทน x = 1, y = 1, z = 2 ในสมการของระนาบ M จะได

2 1 2 3 1 3


29

ซงไมเปนจรง แสดงวาพกดของ 3P ไมสอดคลองกบสมการระนาบของ M ดงนนจด 3P ไมอยบนระนาบ M เราจงสรปไดวา จด , , 0 1 2P P P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน

2. จงหาระยะทางระหวางจดกบระนาบทก าหนดให 2.1. (1, – 2, 3); 3x + 2y – z = 10

วธท า ให D เปนระยะทางระหวางจด (1, – 2, 3) กบระนาบ 3x + 2y – z = 10

ดงนน 2 2 2

3(1) 2( 2) 1(3) 10D 3 2 ( 1)

3 4 3 10 14

14 หนวย 2.2. (–1, 1, 2); 4x – 3y + 5z = 8

วธท า ให D เปนระยะทางระหวางจด (–1, 1, 2) กบระนาบ 4x – 3y + 5z = 8

ดงนน 2 2 2

4( 1) 3(1) 5(2) 8D 4 ( 3) 5

4 3 10 8 50

1 2

หนวย

3. จงหาจดบนระนาบ x – 2y + 3z = 4 ซงอยใกลจด (2, 3, –2) มากทสด

วธท า ระนาบทก าหนดใหมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 2, 3) ใหจด P คอ (2, 3, –2) และจด Q (x0, y0, z0) เปนจดทตองการ ดงนน PQ ขนานกบ N นนคอ ม t R ทท าให PQ N

Q P tN 0 0 0(x , y , z ) (2, 3, 2) t(1, 2, 3) 0 0 0(x 2, y 3, z 2) (t, 2t, 3t) จะได x0 = 2 + t, y0 = 3 – 2t, z0 = –2 + 3t ... (1) เนองจาก Q (x0, y0, z0) อยบนระนาบ x – 2y + 3z = 4 ดงนน x0 – 2y0 + 3z0 = 4 ... (2) จาก (1) แทนคา x0, y0, z0 ใน (2) จะได (2 + t) – 2(3 – 2t) + 3(–2 + 3t) = 4 14t = 14 t = 1 แทนคา t 1 ใน (1) จะได x0 = 3, y0 = 1, z0 = 1 ดงนน จดบนระนาบ x – 2y + 3z = 4 ซงอยใกลจด (2, 3, –2) มากทสดคอ (3, 1, 1)


30


1. จงพจารณาวา เสนตรง L กบระนาบ M ทก าหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตดและมมระหวางเสนตรงกบระนาบ ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยในระนาบหรอไม และจงหาระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ

1.1. x z 1L : y6 2

M : x 2y 2z 4 วธท า จากสมการของเสนตรงจะไดวา เสนตรงผานจด Q(0, 0, 1) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A (6, 1, 2) จากสมการของระนาบจะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 2, 2) จะเหนวา A N (6, 1, 2) (1, 2, 2) 6 2 4 0 แสดงวา A ตงฉากกบ N ดงนน เสนตรงขนานกบระนาบ แทน x = 0, y = 0, z = 1 ในสมการของระนาบ จะได 0 – 2(0) + 2(1) = 4 2 = 4 ซงไมเปนจรง แสดงวาจด Q ไมอยบนระนาบ ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบกคอ ระยะทางระหวางจด Q กบระนาบ

ซงเทากบ 2 2 2

1(0) 2(0) 2(1) 4 2 31 2 2

หนวย

1.2. yxL : z2 2

M : 5x 4y 3z 15 วธท า จากสมการของเสนตรงจะไดวา เสนตรงผานจด Q(0, 0, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A (2, 2, 1) จากสมการของระนาบจะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N (5, 4, 3) จะเหนวา A N (2, 2, 1) (5, 4, 3) 10 8 3 15 0 แสดงวา A ไมตงฉากกบ N ดงนน เสนตรงไมขนานกบระนาบ นนคอ เสนตรงตดกบระนาบ

เราจงได 0 00

x y z2 2 ... (1)

และ 0 0 05x 4y 3z 15 ... (2)

จาก (1) เราได 0 0x y และ 00

yz 2 ... (3)

แทน (3) ใน (2) ได 00 0

y5y 4y 3( ) 152

0 y 2 แทนคา y0 = 2 ใน (3) ได x0 = 2 และ z0 = 1 ดงนน จดตดของเสนตรงกบระนาบ คอ (2, 2, 1) ให เปนมมระหวาง A กบ N

A N 15 1cos A N (3)( 50 ) 2

จะไดวา 4

ดงนน มมระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ 2 4 4

1.3. L : x 3 t, y 1 3t, z 1 2t M : 2x y 3z 5 วธท า จากสมการของเสนตรงจะไดวา เสนตรงผานจด Q(3, –1, 1) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A (1, 3, 2)


31

จากสมการของระนาบจะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N (2, 1, 3) จะเหนวา A N (1, 3, 2) (2, 1, 3) 2 3 6 5 0 แสดงวา A ไมตงฉากกบ N ดงนน เสนตรงไมขนานกบระนาบ นนคอ เสนตรงตดกบระนาบ


y 1 z 1x 3 3 2

... (1)

และ 0 0 02x y 3z 5 ... (2) จาก (1) เราได 0 0y 3x 10 และ 0 0z 2x 5 ... (3) แทน (3) ใน (2) ได 0 0 0 2x (3x 10) 3(2x 5) 5 0 0 02x 3x 6x 10 0 x 2 แทนคา x0 = 2 ใน (3) ได y0 = –4 และ z0 = –1 ดงนน จดตดของเสนตรงกบระนาบ คอ (2, –4, –1) ให เปนมมระหวาง A กบ N

A N 5cos 14A N

จะไดวา 5 arccos( 14 )

ดงนน มมระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ 5arccos(2 14 )

1.4. L : x 1 t, y 2t, z 2 t M : 3x y z 5 วธท า จากสมการของเสนตรงจะไดวา เสนตรงผานจด Q(1, 0, 2) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A ( 1, 2, 1) จากสมการของระนาบจะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N (3, 1, 1) จะเหนวา A N ( 1, 2, 1) (3, 1, 1) 3 2 1 0 แสดงวา A ตงฉากกบ N ดงนน เสนตรงขนานกบระนาบ แทน x = 1, y = 0, z = 2 ในสมการของระนาบ จะได 3(1) + 0 + 2 = 5 5 = 5 ซงเปนจรง แสดงวาจด Q อยบนระนาบ แสดงวา เสนตรงอยบนระนาบ ดงนน ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบกคอ 0 หนวย

2. จงหาสมการของระนาบซง

2.1. ผานจด Q(1, 0, 2) และเสนตรง y 1xL : 4 z2 5

วธท า เสนตรง L มเวกเตอรทศทาง A (2, 5, 1) และผานจด P(0, 1, 4)

PQ Q P (1, 0, 2) (0, 1, 4) (1, 1, 2) เนองจาก PQ และ A อยบนระนาบ ดงนน เราสามารถหาเวกเตอรแนวฉากไดจาก

N A PQ

i j k

2 5 11 1 2

5 1 2 1 2 5

i j k1 2 1 2 1 1


32

9 i 3 j 3k

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด Q(1, 0, 2) และมเวกเตอรแนวฉาก N (9, 3, 3) คอ (P Q) N 0 หรอ {(x, y, z) (1, 0, 2)} (9, 3, 3) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

9(x 1) 3(y 0) 3(z 2) 0 หรอ 3x y z 5

2.2. ผานเสนตรง L1 และ L2 เมอก าหนด

1x 2L : y 1 z2

21 xL : y z 12

วธท า เสนตรง L1 มเวกเตอรทศทางคอ 1A (2, 1, 1) และผานจด P1(2, –1, 0) เสนตรง L2 มเวกเตอรทศทางคอ 2A ( 2, 1, 1) และผานจด P2(1, 0, –1) เนองจาก 1A และ 2A ขนานกน ดงนนเราจงตองใช 1 2P P ชวยในการหาเวกเตอรแนวฉากของระนาบ ดงนน 1 2 2 1P P P P (1, 0, 1) (2, 1, 0) ( 1, 1, 1) เนองจาก 1 2P P และ 1A อยบนระนาบ ดงนน เราสามารถหาเวกเตอรแนวฉากไดจาก 1 1 2N A P P

i j k

2 1 11 1 1

1 1 2 1 2 1

i j k1 1 1 1 1 1

3 j 3k

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P1(2, –1, 0) และมเวกเตอรแนวฉาก N (0, 3, 3) คอ 1(P P ) N 0 หรอ {(x, y, z) (2, 1, 0)} (0, 3, 3) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

3(y 1) 3(z) 0 หรอ y z 1

2.3. ผานจด Q (2, 1, –3) และขนานกบเสนตรง L1 และ L2 เมอก าหนด

1x zL : y2 3

2zL : x 1 y 1 2

วธท า เสนตรง L1 มเวกเตอรทศทางคอ 1A (2, 1, 3) เสนตรง L2 มเวกเตอรทศทางคอ 2A (1, 1, 2) เนองจาก 1A และ 2A มทศทางขนานกบระนาบ ดงนน เราสามารถหาเวกเตอรแนวฉากไดจาก 1 2N A A


33

i j k

2 1 31 1 2

1 3 2 3 2 1

i j k1 2 1 2 1 1

i j k

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด Q(2, 1, –3) และมเวกเตอรแนวฉาก N ( 1, 1, 1) คอ (P Q) N 0 หรอ {(x, y, z) (2, 1, 3)} ( 1, 1, 1) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

(x 2) (y 1) (z 3) 0 หรอ x y z 6

2.4. ผานเสนตรง L1 และ L2 เมอก าหนด 1L : x 3 2t, y t, z 2t 2L : x 2 s, y 1 2s, z 3 s วธท า เสนตรง L1 มเวกเตอรทศทางคอ 1A (2, 1, 2) และผานจด P1(3, 0, 0) เสนตรง L2 มเวกเตอรทศทางคอ 2A (1, 2, 1) และผานจด P2(2, –1, –3) เนองจาก 1A และ 2A อยบนระนาบ ดงนน เราสามารถหาเวกเตอรแนวฉากไดจาก 1 2N A A

i j k

2 1 21 2 1– –

1 2 2 2 2 1

i j k2 1 1 1 1 2

5 i 4 j 3k

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P1(3, 0, 0) และมเวกเตอรแนวฉาก N (5, 4, 3) คอ 1(P P ) N 0 หรอ {(x, y, z) (3, 0, 0)} (5, 4, 3) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

5(x 3) 4(y 0) 3(z 0) 0 หรอ 5x 4y 3z 15

2.5. ผานจด Q(2, –1, 0) และตงฉากกบเสนตรง yxL : z2 3

วธท า เนองจากระนาบตงฉากกบเสนตรง L ดงนน เวกเตอรแนวฉากของระนาบ คอ N (2, 3, 1) สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด Q(2, –1, 0) และมเวกเตอรแนวฉาก N (2, 3, 1) คอ (P Q) N 0 หรอ {(x, y, z) (2, 1, 0)} (2, 3, 1) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

2(x 2) 3(y 1) (z 0) 0


34

หรอ 2x 3y z 1

2.6. ผานจด P0 (1, 2, 3), P1 (2, 0, 2) และขนานกบเสนตรง zL : x y 1 2

วธท า เสนตรง L มเวกเตอรทศทางคอ A (1, 1, 2) และผานจด Q(0, 1, 0) ดงนน 0 1 1 0P P P P (2, 0, 2) (1, 2, 3) (1, 2, 1) เราสามารถหาเวกเตอรแนวฉากไดจาก 0 1N A P P

i j k

1 1 21 2 1

1 2 1 2 1 1

i j k2 1 1 1 1 2

3 i 3 j 3k

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P1 (2, 0, 2) และมเวกเตอรแนวฉาก N (3, 3, 3) คอ 1(P P ) N 0 หรอ {(x, y, z) (2, 0, 2)} (3, 3, 3) 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

3(x 2) 3(y 0) 3(z 2) 0 หรอ x y z 0


35


1. จงหาสมการของระนาบทผานจด P0 และขนานกบระนาบ M เมอก าหนด 1.1. P0(1, –2, –1) และ M : 2x + y – 3z = 1

วธท า เวกเตอรแนวฉากของ M คอ N (2,1, 3) สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P0(1, –2, –1) และมเวกเตอรแนวฉาก N (2,1, 3)

{(x, y, z) (1, 2, 1)} (2, 1, 3) 0 หรอ 2(x 1) (y 2) 3(z 1) 0

2x y 3z 3

1.2. P0(2, 1, –3) และ M : x – y + z = 4 วธท า เวกเตอรแนวฉากของ M คอ N (1, 1, 1) สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P0(2, 1, –3) และมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 1, 1)

{(x, y, z) (2, 1, 3)} (1, 1, 1) 0 หรอ (x 2) (y 1) (z 3) 0

x y z 2

2. จงหาระยะทางระหวางระนาบ M1 และ M2 เมอก าหนด 2.1. M1 : x + 2y – z = 1 และ M2 : x + 2y – z = 13

วธท า ระนาบทงสองขนานกน ให D เปนระยะทางระหวางระนาบทงสอง

ดงนน 1 22 2 2

d dD

a b c

2 2 2

1 13

1 2 ( 1)

2 6 หนวย

2.2. M1 : x – 2y + 3z = 2 และ M2 : 2x – 4y + 6z = 3 วธท า ระนาบทงสองขนานกน ให D เปนระยะทางระหวางระนาบทงสอง

ดงนน 1 22 2 2

d dD

a b c

2 2 2

4 3

2 ( 4) 6

12 14

หนวย

3. จงหาสมการของระนาบทขนานกบระนาบ 2x + 2y – z = 4 และระยะทางระหวางระนาบทงสองเทากบ 1 หนวย วธท า เนองจากระนาบทตองการขนานกบระนาบ 2x + 2y – z = 4 ดงนน ระนาบทตองการมสมการเปน 2x + 2y – z = d เนองจากระยะทางระหวางระนาบทงสองเทากบ 1 หนวย ดงนน

2 2 2

d 41

2 2 ( 1)

จะไดวา d 4 3 ดงนน d 7, 1 แสดงวาระนาบทตองการมสมการเปน 2x + 2y – z = 1, 2x + 2y – z = 7


36


จงหาสมการสมมาตรของเสนตรงทเปนรอยตดของระนาบ M1 และ M2 เมอก าหนด 1. M1 : x + y + z = 2 และ M2 : 2x - y + z = 1 วธท า M1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (1, 1, 1) M2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (2, 1, 1) จะเหนวา 1N ไมขนานกบ 2N ดงนน M1 ตดกบ M2 ให L เปนเสนตรงทเปนรอยตดของ M1 กบ M2 แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L ดงนน 1 2N N ขนานกบเวกเตอรทศทางของ L จะไดวา 1 2A N N เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L

และ i j k

A 1 1 12 1 1

1 1 1 1 1 1

i j k1 1 2 1 2 1

2 i j 3k

แทนคา z = 0 ในสมการของ M1 และ M2 จะได x + y = 2 … (1) และ 2x – y = 1 … (2) แกสมการ (1) และ (2) ได x = 1, y = 1 นนคอ จด (1, 1, 0) อยบน L เพราะฉะนนเสนตรง L มสมการสมมาตรเปน

x 1 zy 12 3

2. M1 : x + y - 3z = 4 และ M2 : x - y + 2z = 2 วธท า M1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (1, 1, 3) M2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (1, 1, 2) จะเหนวา 1N ไมขนานกบ 2N ดงนน M1 ตดกบ M2 ให L เปนเสนตรงทเปนรอยตดของ M1 กบ M2 แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L ดงนน 1 2N N ขนานกบเวกเตอรทศทางของ L จะไดวา 2 1A N N เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L

และ i j k

A 1 1 21 1 3

1 2 1 2 1 1

i j k1 3 1 3 1 1

i 5 j 2k

แทนคา z = 0 ในสมการของ M1 และ M2 จะได x + y = 4 … (1) และ x – y = 2 … (2) แกสมการ (1) และ (2) ได x = 3, y = 1 นนคอ จด (3, 1, 0) อยบน L เพราะฉะนนเสนตรง L มสมการสมมาตรเปน


37

y 1 zx 3 5 2

3. M1 : x - y + 2z = 4 และ M2 : x + y - z = 2 วธท า M1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (1, 1, 2) M2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (1, 1, 1) จะเหนวา 1N ไมขนานกบ 2N ดงนน M1 ตดกบ M2 ให L เปนเสนตรงทเปนรอยตดของ M1 กบ M2 แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L ดงนน 1 2N N ขนานกบเวกเตอรทศทางของ L จะไดวา 2 1A N N เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L

และ i j k

A 1 1 21 1 1

1 2 1 2 1 1

i j k1 1 1 1 1 1

i 3 j 2k

แทนคา z = 0 ในสมการของ M1 และ M2 จะได x - y = 4 … (1) และ x + y = 2 … (2) แกสมการ (1) และ (2) ได x = 3, y = -1 นนคอ จด (3, 1, 0) อยบน L เพราะฉะนนเสนตรง L มสมการสมมาตรเปน

y 1x 3 z1 3 2


38


1. จงหามมระหวางระนาบ M1 และ M2 เมอก าหนด

1.1. M1 : 2x - 5y - 5z = 1 และ M2 : x + 2y - 7z = 2 วธท า M1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (2, 5, 5) M2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (1, 2, 7)

ให เปนมมระหวาง 1N กบ 2N

1 2

1 2

N Ncos N N

2 2 2 2 2 2

(2, 5, 5) (1, 2, 7) 2 ( 5) ( 5) 1 2 ( 7)

2 10 35 54

1 2

จะได 3

ดงนน มมระหวาง M1 กบ M2 คอ 3 หรอ 2

3

1.2. M1 : 2x + 2y + z = 3 และ M2 : 4x + 5y - 3z = 4 วธท า M1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (2, 2, 1) M2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (4, 5, 3)


1 2

1 2

N Ncos N N

2 2 2 2 2 2

(2, 2, 1) (4, 5, 3) 2 2 1 4 5 ( 3)

8 10 3 15 2

1 2

จะได 4


4

1.3. M1 : x + y - z = 0 และ M2 : x - y - z = 1 วธท า M1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (1, 1, 1) M2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (1, 1, 1)



39

1 2

1 2

N Ncos N N

2 2 2 2 2 2

(1, 1, 1) (1, 1, 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)

1 1 1 3

1 3

จะได 1 arccos( 3)

ดงนน มมระหวาง M1 กบ M2 คอ 1arccos( 3) หรอ 1arccos( 3)

2. จงหาสมการของระนาบทผานจด (1, 2, 3), (2, 0, 1) และตงฉากกบระนาบ x + y – z = 3 วธท า ใหจด P และ Q คอ (1, 2, 3) และ (2, 0, 1) ตามล าดบ

PQ Q P (2, 0, 1) (1, 2, 3) (1, 2, 2) และระนาบ x + y – z = 3 มเวกเตอรแนวฉาก คอ A (1, 1, 1) ให N คอ เวกเตอรแนวฉากของระนาบทตองการ เนองจาก PQ และ A นนขนานกบระนาบทตองการ จะไดวา N PQ A

และ i j k

N 1 2 21 1 1

2 2 1 2 1 2

i j k1 1 1 1 1 1

4 i j 3k

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P(1, 2, 3) และมเวกเตอรแนวฉาก N (4, 1, 3)

{(x, y, z) (1, 2, 3)} (4, 1, 3) 0 หรอ 4(x 1) (y 2) 3(z 3) 0

4x y 3z 11


40

แบบฝกหดระคน

1. จงหาสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจดก าเนด และตงฉากกบระนาบ x + 2y + z = 12 พรอมทงหาจดตดของเสนตรงกบระนาบดวย วธท า ก าหนดใหเสนตรงทตองการ คอ L1 และ L1 ตดระนาบ x + 2y + z = 12 ทจด P(a, b, c) และ L1 ผานจดก าเนด (0, 0, 0) ดงนน เวกเตอรทศทางของ L1 คอ

A OP P O (a, b, c) เวกเตอรแนวฉากของระนาบ x + 2y + z = 12 คอ N (1, 2, 1) เนองจาก L1 ตงฉากกบ ระนาบ ดงนน A//N เพราะฉะนน เราสามารถเขยนความสมพนธไดวา A kN (a, b, c) k(1, 2, 1) … (1) เนองจาก จด P อยบนระนาบ ดงนน a 2b c 12 … (2) แทน (1) ใน (2) จะได

k 2(2k) k 12 เพราะฉะนน k 2

ดงนน สมการสมมาตรของเสนตรง คอ yx z2 และเสนตรงตดกบระนาบทจด (2, 4, 2)

2. ให L เปนเสนตรงซงเปนรอยตดของระนาบ 4x – y – z = 0 กบระนาบ 2x – 2y + z = 6 จงหาระยะทางจากจด (2, 1, –1) ไปยงเสนตรง L วธท า เวกเตอรแนวฉากของระนาบ 4x – y – z = 0 คอ 1N (4, 1, 1) เวกเตอรแนวฉากของระนาบ 2x – 2y + z = 6 คอ 2N (2, 2, 1) เพราะฉะนน เวกเตอรทศทางของเสนตรงรอยตดระนาบ ( A ) คอ 1 2N N 1 2 A N N

i j k

4 1 12 2 1

1 1 4 1 4 1

i j k2 1 2 1 2 2

3 i 6 j 6k แทนคา z = 2 ในสมการของระนาบทงสอง จะได

4x – y – 2 = 0 … (1) และ x – y + 1 = 3 … (2) แกสมการ (1) และ (2) ได x = 0, y = -2 แสดงวาจด P(0, -2, 2) อยบนระนาบทงสอง ก าหนดให B คอ จด (2, 1, –1) ดงนน

PB B P (2, 1, 1) (0, 2, 2) (2, 3, 3) ให M คอ จดบนเสนตรงทอยใกลจด B มากทสด ดงนน

i j kPB A 1BM 2 3 3 3A 1 2 2

(ใช A เปน (1, 2, 2) แทน (-3, -6, -6))

3 3 2 3 2 31 i j k 2 2 1 2 1 23


41

1 (12, 7, 1)3

1943 หนวย

3. ให L เปนเสนตรงผานจด (1, 2, -1) และ (2, 0, 1) จงหาจดเชงเสนตงฉากของจด (1, -4, 2) บนเสนตรง L

วธท า เวกเตอรทศทางของ L คอ A = (2, 0, 1) – (1, 2, -1) = (1, -2, 2)

ก าหนดใหจด P คอ (2, 0, 1), จด B คอ (1, -4, 2) และ M คอจดเชงเสนตงฉากของจด B บน L

ดงนน 2PB AM P [ ] A

A

( 1, 4,1) (1, 2, 2) (2, 0, 1) [ ](1, 2, 2)1 4 4

1 8 2 (2, 0, 1) [ ](1, 2, 2)9

(2, 0, 1) (1, 2, 2)

(3, 2, 3)

4. จงหาสมการของระนาบทขนานกบเสนตรง 2y 1x z4

และผานจด (1, -1, 0) และ (-3, -5, -1)

วธท า ก าหนดใหจด P คอ (1, -1, 0) และจด Q คอ (-3, -5, -1)

PQ Q P ( 3, 5, 1) (1, 1, 0) ( 4, 4, 1)

เวกเตอรทศทางของเสนตรง 2y 1x z4

คอ A (1, 2, 1)

เนองจาก P และ Q อยระนาบ และระนาบขนานกบเสนตรง L ดงนน เวกเตอรแนวฉากของระนาบ คอ

N PQ A

i j k

4 4 11 2 1

4 1 4 1 4 4

i j k2 1 1 1 1 2

( 2, 3, 4)

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P(1, -1, 0) และมเวกเตอรแนวฉาก N ( 2, 3, 4)

{(x, y, z) (1, 1, 0)} ( 2, 3, 4) 0 หรอ 2(x 1) 3(y 1) 4(z) 0

2x 3y 4z 5 5. จงหาจดบนระนาบ x – y + 3z = 10 ทอยใกลจด (3, -2, -2) มากทสด วธท า เวกเตอรแนวฉากของระนาบ x – y + 3z = 10 คอ N (1, 1, 3) สมมตใหเสนตรง L เปนเสนตรงทตงฉากกบระนาบและผานจด (3, -2, -2)

เพราะฉะนน สมการสมมาตรเสนตรง L คอ y 2 z 2x 3 1 3

ก าหนดให (a, b, c) คอจดตดระหวางระนาบ กบเสนตรง L

ดงนน b 2 c 2a 3 1 3

… (1)


42

และ a – b + 3c = 10 … (2) จาก (1) จะได b = 1 – a, c = 3a – 11 … (3) แทน (3) ใน (2) ไดวา a – (1 – a) + 3(3a – 11) = 10 a = 4 แทน a = 4 ใน (3) ได b = -3, c = 1 เพราะฉะนนจดบนระนาบทใกลจด (3, -2, -2) มากทสด คอ (4, -3, 1)

6. จงหาสมการของระนาบทผานเสนตรง z 2x 1 y 2

และเสนตรง 2 z1 x y 1 2

วธท า ให L1 คอ z 2x 1 y 2

มเวกเตอรทศทาง คอ 1A ( 1, 0, 2) ผานจด P(-1, 0, 2)

ให L2 คอ 2 z1 x y 1 2

มเวกเตอรทศทาง คอ 2A ( 1, 1, 2) ผานจด Q(1, -1, 2)

เนองจากเสนตรงขนานกบระนาบ ดงนนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ คอ 1 2N A A

i j k

1 0 21 1 2

0 2 1 2 1 0

i j k1 2 1 2 1 1

( 2, 4, 1)

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P(-1, 0, 2) และมเวกเตอรแนวฉาก N ( 2, 4, 1)

{(x, y, z) ( 1, 0, 2)} ( 2, 4, 1) 0 หรอ 2(x 1) 4(y) (z 2) 0

2x 4y z 0

7. จงพจารณาวาเสนตรง y 2x 1 z 12 4 3

และเสนตรง y 7x 1 z 15 3 2

เปนเสนไขวตางระนาบหรอไม

วธท า ให L1 คอ y 2x 1 z 1

2 4 3

มเวกเตอรทศทาง คอ 1A (2, 4, 3)

ให L2 คอ y 7x 1 z 1

5 3 2

มเวกเตอรทศทาง คอ 2A (5, 3, 2) เพราะฉะนน เสนตรง L1 ไมขนานกบ L2

สมมตให P(a, b, c) เปนจดตดของเสนตรงทงสอง

เพราะฉะนน a 1 b 2 c 12 4 3

… (1)

และ a 1 b 7 c 15 3 2 … (2)

จาก (1) และ (2) จะไดวา 2a + b = -4, 3a – 5b = -32 … (3) แก (3) จะได a = -4, b = 4 แทนคา a หรอ b ลงใน (1) และ (2) ได c = 5.5 และ c = -3 ตามล าดบ แสดงวา L1 ไมตดกบ L2

ดงนน เสนตรง y 2x 1 z 12 4 3

และเสนตรง y 7x 1 z 15 3 2

เปนเสนไขวตางระนาบ


43

8. จงหามมระหวางเสนตรง y zx 2 7 กบเสนตรง y 7x 1 z 22 5 5

วธท า ให L1 คอ y zx 2 7 มเวกเตอรทศทาง คอ 1A (1, 2, 7)

ให L2 คอ y 7x 1 z 2

2 5 5

มเวกเตอรทศทาง คอ 2A (2, 5, 5)

1 2

1 2

A Acos A A

(1, 2, 7) (2, 5, 5) 1 4 49 4 25 25

1 2

เพราะฉะนน 3

ดงนน มมระหวาง 1L และ 2L คอ 3 และ 2

3

9. จงหาระยะทางระหวางระนาบ x – 2y – 2z = 1 กบระนาบ 2x – 4y – 4z = 3 วธท า ระนาบทงสองขนานกน ให D เปนระยะทางระหวางระนาบทงสอง

ดงนน 1 22 2 2

d dD

a b c

2 2 2

2 3

2 ( 4) ( 4)

16 หนวย

10. จงหาจดบนแกน z ซงระยะทางระหวางจดนกบระนาบ 2x – y + 2z = 1 เทากบ 3 หนวย วธท า สมมตใหจดทอยบนแกน z ดงกลาว คอ P(0, 0, c) เนองจากระยะทางระหวางระนาบกบจด P เทากบ 3 หนวย ดงนน ระยะทางระหวางเสนตรงกบจด P กคอ

2 2 2

2(0) (0) 2(c) 1 32 1) 2(

2c 1 9

ดงนน c 5, 4 เพราะฉะนน จดบนแกน z ดงกลาวคอ (0, 0, 5) และ (0, 0, -4)

11. จงหาสมการของระนาบทผานเสนตรง x 2 zy 13 2

และตงฉากกบระนาบ 2x + 3y + z = 2

วธท า ให L คอ x 2 zy 13 2

มเวกเตอรทศทาง คอ A (3, 1, 2) ผานจด P(2, 1, 0) และ ระนาบ 2x + 3y + z = 2 มเวกเตอรแนวฉาก คอ 1N (2, 3, 1) เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากของระนาบทเราตองการ คอ 1N N A

i j k

2 3 13 1 2


44

3 1 2 1 2 3

i j k1 2 3 2 3 1

( 7, 7, 7)

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด P(2, 1, 0) และมเวกเตอรแนวฉาก N ( 7, 7, 7)

{(x, y, z) (2, 1, 0)} ( 7, 7, 7) 0 หรอ 7(x 2) 7(y 1) 7(z) 0

x y z 1

12. จงหามมระหวางระนาบ 2x + 2y + z = 1 กบระนาบ 5x + 4y – 3z = 0 วธท า M1 คอระนาบ 2x + 2y + z = 1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (2, 2, 1) M2 คอ 5x + 4y – 3z = 0 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (5, 4, 3) ให เปนมมระหวาง 1N กบ 2N

1 2

1 2

N Ncos N N

2 2 2 2 2 2

(2, 2, 1) (5, 4, 3) 2 2 1 5 4 ( 3)

10 8 3 15 2

1 2

จะได 4


4

13. จงหาจดตดของเสนตรง x – 1 = y + 1 = z – 3 กบเสนตรง y 3x z2 3 4

และหาสมการของระนาบทผานเสนตรงทงสอง

วธท า สมมต 1L : x – 1 = y + 1 = z – 3 ตดกบ 2L y 3x z2 3 4:

เพราะฉะนนมจด 0P จดหนง ซงอยบนทงบน 1L และ 2L ใหจด 0P มพกดเปน 0 0 0(x , y , z ) เพราะฉะนนคา 0 0 0x , y , z ยอมตองสอดคลองทงสมการของ 1L และ 2L นนคอ 0 0 0x 1 y 1 z 3 ... (1)

และ 0 0 0x y 3 z2 3 4

... (2)

จาก (1) เราได 0 0x 1 z 3 หรอ 0 0x z 2 ... (3)

จาก (2) เราได 0 0x z2 4

หรอ 0 02x z 0 ... (4) จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0z จะได 0x 2 และ 0z 4 แทนคา 0x ใน (1) และ(2) จะไดคา 0 y ทเทากนคอ 0 y 0 แสดงวา 1L ตดกบ 2L ทจด (2, 0, 4) เวกเตอรแนวฉากของระนาบทเราตองการ คอ 1 2N A A


45

i j k

1 1 12 3 4

1 1 1 1 1 1

i j k3 4 2 4 2 3

(1, 2, 1)

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด (2, 0, 4) และมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 2, 1)

{(x, y, z) (2, 0, 4)} (1, 2, 1) 0 หรอ (x 2) 2(y) (z 4) 0

x 2y z 6

14. ให L เปนเสนตรงทตดและตงฉากกบเสนตรง y zx 2 3 และผานจด (6, 1, 2) จงหาจดตดของ L กบระนาบ XY

วธท า ให L1 คอ y zx 2 3 มเวกเตอรทศทาง คอ 1A (1, 2, 3)

ใหจดตดระหวางเสนตรงทงสอง คอ P(a, b, c) และจด Q คอ (6, 1, 2) เวกเตอรทศทางของ L คอ 2 A PQ Q P (6, 1, 2) (a, b, c) (6 a, 1 b, 2 c) เนองจาก L1 ตงฉากกบ L ดงนน 1 2A A (1, 2, 3) (6 a, 1 b, 2 c) 0 (6 a) 2(1 b) 3(2 c) 0 a 2b 3c 14 … (1) และ P เปนจดตดของเสนตรงทงสอง แสดงวา แทนคา P ไปใน L1 ยอมเปนจรง จะไดวา

b ca 2 3 … (2)

จาก (2) b 2a, c 3a … (3) แทน (3) ใน (1) a 2(2a) 3(3a) 14

a 1 แทน a ใน (3) จะได b = 2, c = 3

ดงนน สมการสมมาตรเสนตรง L คอ y 1x 6 z 25 1 1

หาจดตดระนาบ XY โดยการแทน z = 0 ลงในสมการสมมาตร เพราะฉะนน จดตดระนาบ XY คอ (16, –1, 0)

15. ใหระนาบ M1 : x + y – z = 1 และระนาบ M2 : x – y + 2z = 2 จงหาสมการของระนาบทผานจดก าเนดและตงฉากกบ M1 และ M2 วธท า M1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (1, 1, 1) M2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (1, 1, 2) ให N คอ เวกเตอรแนวฉากของระนาบทตองฉากกบ M1 และ M2 ดงนน 1 2N N N

i j k

1 1 11 1 2

1 1 1 1 1 1

i j k1 2 1 2 1 1


46

(1, 3, 2)

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจดก าเนด และมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 3, 2)

{(x, y, z) (0, 0, 0)} (1, 3, 2) 0 หรอ x 3y 2z 0

16. จงหามมระหวางเสนตรง yx z2

กบระนาบ x 2y z 1

วธท า จากสมการของเสนตรงจะไดวา เสนตรงผานจด Q(0, 0, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A (1, 2 , 1) จากสมการของระนาบจะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 2 , 1) จะเหนวา A N (1, 2 , 1) (1, 2 , 1) 1 2 1 2 0 แสดงวา A ไมตงฉากกบ N ดงนน เสนตรงไมขนานกบระนาบ นนคอ เสนตรงตดกบระนาบ


yx z2

... (1)

และ 0 0 0x 2y z 1 ... (2) จาก (1) เราได 0 0y 2x และ 0 0z x ... (3) แทน (3) ใน (2) ได 0 0 0 x 2x x 1

0 1x 2

แทนคา x0 = 0.5 ใน (3) ได y0 = 12

และ z0 = 12

ดงนน จดตดของเสนตรงกบระนาบ คอ ( 12 , 1

2, 1

2 )

ให เปนมมระหวาง A กบ N

A N 1 1cos (2)(1) 2A N

จะไดวา 3

ดงนน มมระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ 2 3 6

17. ใหเสนตรง xL : y z2 ตดกบระนาบ M : 2x – y + z = 4 ทจด P0 จงหาสมการองตวแปรเสรมของเสนตรงทตดและตงฉากกบ

เสนตรง L ทจด P0 และอยในระนาบ M วธท า จากสมการของเสนตรงจะไดวา เสนตรงผานจด Q(0, 0, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A (2, 1, 1)

จากสมการของระนาบจะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N (2, 1, 1) จะเหนวา A N (2, 1, 1) (2, 1, 1) 4 1 1 4 0 แสดงวา A ไมตงฉากกบ N ดงนน เสนตรงไมขนานกบระนาบ นนคอ เสนตรงตดกบระนาบ


x y z2 ... (1)

และ 0 0 02x y z 4 ... (2) จาก (1) เราได 0 0x 2y และ 0 0z y ... (3) แทน (3) ใน (2) ได 0 0 0 2(2y ) y y 4 0 y 1 แทนคา y0 = 1 ใน (3) ได x0 = 2 และ z0 = 1 ดงนน จดตดของเสนตรงกบระนาบ คอ P0 (2, 1, 1)


47

ก าหนดให เสนตรงทตดและตงฉากกบเสนตรง L ทจด P0 และอยในระนาบ M คอ L1 มเวกเตอรทศทาง 1A จากเงอนไขดงกลาว เราไดวา

1A N A

i j k

2 1 12 1 1

1 1 2 1 2 1

i j k1 1 2 1 2 1

( 2, 0, 4)

เพราะฉะนนเสนตรงทผานจด P0 (2, 1, 1) และมทศทางเดยวกบเสนตรง (1, 0, 2)

x 2 t, y 1, z 1 2t

18. จงหาสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด (1, - 2, 0 ) และขนานกบระนาบ x + y – 2z = 1 และระนาบ x – y + z = 2 วธท า M1 : x + y – 2z = 1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (1, 1, 2)

M2 : x – y + z = 2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (1, 1, 1) ให L เปนเสนตรงทขนานกบ M1 และ M2 และผานจด (1, - 2, 0 ) แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L ดงนน 1 2N N ขนานกบเวกเตอรทศทางของ L จะไดวา 1 2A N N

และ i j k

A 1 1 21 1 1

1 2 1 2 1 1

i j k1 1 1 1 1 1

i 3 j 2k

เพราะฉะนนเสนตรงทผานจด (1, -2, 0) และมทศทางเดยวกบเสนตรง (1, 3, 2) y 2 zx 1 3 2

19. จงหาระยะทางระหวางเสนตรง z 1x y 2

กบเสนตรง x = -y = z + 1

วธท า จากสมการของ L1 z 1: x y 2

และ L2 : x = -y = z + 1 จะไดวา

L1 ผานจด P1 (0, 0, 1) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 1A (1, 1, 2)

L2 ผานจด P2 (0, 0, -1) และมเวกเตอรแสดงทศทาง 2A (1, 1, 1)



1 2

P P (A A ) A A

1 2A A i j k

1 1 21 1 1

1 2 1 2 1 1

i j k1 1 1 1 1 1


48

i 3 j 2k


1 2

P P (A A )A A

2 2 2

(0, 0, 2) ( 1, 3, 2)( 1) ( 3) ( 2)

414


หนวย

20. จงหาสมการของระนาบทผานเสนตรง x = y – 1 = z – 2 และขนานกบเสนตรง x z 3y 12 2

วธท า ให L1 คอ x = y – 1 = z – 2 มเวกเตอรทศทาง คอ 1A (1, 1, 1) และผานจด (0, 1, 2)

ให L2 คอ x z 3y 12 2

มเวกเตอรทศทาง คอ 2A ( 2, 1, 2)

เนองจากเสนตรง L1 และ L2 ขนานกบระนาบ ดงนนเวกเตอรแนวฉากของระนาบหาไดจาก 1 2N A A

i j k

1 1 12 1 2

1 1 1 1 1 1

i j k1 2 2 2 2 1

(1, 4, 3)

สมการเวกเตอรของระนาบทผานจด (0, 1, 2) และมเวกเตอรแนวฉาก N (1, 4, 3)

{(x, y, z) (0, 1, 2)} (1, 4, 3) 0 หรอ x 4(y 1) 3(z 2) 0

x 4y 3z 2

21. จงหาสมการองตวแปรเสรมของเสนตรงทผานจด (-1, -2, 3) และขนานกบเสนตรงทเปนรอยตดของระนาบ x + 2y – z = 1 กบระนาบ

x – y + 2z = 2

วธท า M1 : x + 2y – z = 1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (1, 2, 1) M2 : x – y + 2z = 2 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (1, 1, 2) จะเหนวา 1N ไมขนานกบ 2N ดงนน M1 ตดกบ M2 ให L เปนเสนตรงทเปนรอยตดของ M1 กบ M2 แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L ดงนน 1 2N N ขนานกบเวกเตอรทศทางของ L จะไดวา 1 2A N N

และ i j k

A 1 2 11 1 2

2 1 1 1 1 2

i j k1 2 1 2 1 1

3 i 3 j 3k

เพราะฉะนนเสนตรงทผานจด (-1, -2, 3) และมทศทางเดยวกบเสนตรง (3, 3, 3)


49

x 1 t, y 2 t, z 3 t

22. จงหาจดบนเสนตรง x = y – 1 = z ซงระยะทางระหวางจดนกบระนาบ 2x + y – 2z = 1 เทากบ 1 หนวย วธท า ให L คอ เสนตรง x = y – 1 = z และจดทอยหางกบระนาบ 2x + y – 2z = 1 เทากบ 1 หนวย คอ P(a, b, c) เนองจากระยะทางระหวางระนาบกบจด P เทากบ 1 หนวย ดงนน ระยะทางระหวางเสนตรงกบจด P กคอ

2 2 2

2(a) (b) 2(c) 1 12 1 ( 2)

2a b 2c 1 3 …(1) เนองจาก P อยบน L ดงนน a = b – 1 = c …(2) จาก (2) จะไดวา a = b – 1, a = c ...(3) แทน (3) ใน (1) ได 2a a 1 2a 1 3 เพราะฉะนน a 3, 3 เมอ a = 3 ได b = 4 และ c = 3 เมอ a = -3 ได b = -2 และ c = -3 เพราะฉะนนจด P คอ (3, 4, 3) และ (–3, –2, –3)

23. จงหาสมการสมมาตรของเสนตรงทเปนรอยตดของระนาบ x + y + z = 1 กบระนาบ x – y + 2z = 3 วธท า M1 : x + y + z = 1 มเวกเตอรแนวฉาก 1N (1, 1, 1)

M2 : x – y + 2z = 3 มเวกเตอรแนวฉาก 2N (1, 1, 2) จะเหนวา 1N ไมขนานกบ 2N ดงนน M1 ตดกบ M2 ให L เปนเสนตรงทเปนรอยตดของ M1 กบ M2 แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L ดงนน 1 2N N ขนานกบเวกเตอรทศทางของ L จะไดวา 1 2A N N เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L

และ i j k

A 1 1 11 1 2

1 1 1 1 1 1

i j k1 2 1 2 1 1

3 i j 2k

แทนคา z = 0 ในสมการของ M1 และ M2 จะได x + y = 1 … (1) และ x – y = 3 … (2) แกสมการ (1) และ (2) ได x = 2, y = -1 นนคอ จด (2, -1, 0) อยบน L เพราะฉะนนเสนตรง L มสมการสมมาตรเปน

y 1x 2 z3 1 2


50

24. ใหระนาบ M1 : x + y – z = 1 และระนาบ M2 : x – y + z = 3 จงหาจดบนเสนตรง x = y = z ทท าใหระยะทางระหวางจดนกบระนาบ M1 และ M2 มคาเทากน

วธท า ให L คอ เสนตรง x = y = z และจดทตองการหา คอ P(a, b, c) ระยะทางระหวางระนาบ M1 กบจด P กคอ

2 2 2

(a) (b) (c) 1 D1 1 ( 1)

a b c 1 3D …(1) ระยะทางระหวางระนาบ M2 กบจด P กคอ

2 2 2

(a) (b) (c) 3 D1 ( 1) 1

a b c 3 3D …(2) เนองจาก P อยบน L ดงนน a = b = c …(3) จาก (3) จะไดวา a = b , a = c …(4) แทน (4) ใน (1) และ (2) ได a 1 3D …(5) และ a 3 3D …(6) เนองจาก (5) = (6) จะได a 1 a 3 a 1 (a 3), (3 a) (กรณ a – 3 ไมเปนจรง) เพราะฉะนน a 2 เมอ a = 2 ได b = 2 และ c = 2 จด P คอ (2, 2, 2)

25. ให L1 เปนเสนตรงทผานจดก าเนดและจด (2, -7, 1) M1 เปนระนาบทผานจด (5, 0, -1), (1, 2, -6) และ (0, 3, -6) M2 เปนระนาบทตงฉากกบเสนตรง L1 และผานจด (2, -3, 1) L2 เปนเสนตรงทตงฉากกบ M1 และผานจด (0, 1, 0) M3 เปนระนาบทผานจด (2, 3, 4) และขนานกบเสนตรง L1 และ L2 L3 เปนเสนตรงทผานจดก าเนดและตงฉากกบเสนตรง L1 และ L2 จงหา

25.1. สมการสมมาตรของเสนตรง L1

ตอบ yx z2 7

25.2. สมการของระนาบ M1 วธท า ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบใดๆ ก าหนดให 0P , 1P , 2P คอ (5, 0, -1), (1, 2, -6) และ (0, 3, -6) ตามล าดบ เนองจาก 0P , 1P , 2P อยบนระนาบ ดงนน 0 1P P และ 0 2P P ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ แสดงวา 0 1 0 2P P P P ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ ดงนนเราจะไดวา 1 0 1 0 2N P P P P เปนเวกเตอรแนวฉากเวกเตอร หนงของระนาบ 1 0 1 0 2N P P P P


51

1 0 2 0 (P P ) (P P ) ((1, 2, 6) (5, 0, 1)) ((0, 3, 6) (5, 0, 1)) .

( 4, 2, 5) ( 5, 3, 5)

i j k

4 2 55 3 5

2 5 4 5 4 2

i j k3 5 5 5 5 3

(5, 5, 2) ดงนน ระนาบทตองการผานจด 0P (5, 0, 1) และมเวกเตอรแนวฉาก 1N (5, 5, 2) จะมสมการเปน 5(x 5) 5(y) 2(z 1) 0 หรอ 5x 5y 2z 27

25.3. จดตดของเสนตรง L1 กบระนาบ M1 วธท า จากสมการของเสนตรงจะไดวา เสนตรงมเวกเตอรแสดงทศทาง 1 A (2, 7, 1) จากสมการของระนาบจะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก 1 N (5, 5, 2) จะเหนวา 1 1A N (2, 7, 1) (5, 5, 2) 10 14 2 6 0 แสดงวา 1A ไมตงฉากกบ 1N ดงนน เสนตรงไมขนานกบระนาบ นนคอ เสนตรงตดกบระนาบ


x y z2 7 ... (1)

และ 0 0 05x 5y 2z 27 ... (2)

จาก (1) เราได 0 07y x2 และ 0

0xz 2 ... (3)

แทน (3) ใน (2) ได 0 0 0355x x x 272

0 x 2 แทนคา x0 = –2 ใน (3) ได y0 = 7 และ z0 = –1 ดงนน จดตดของเสนตรงกบระนาบ คอ (–2, 7, –1)

25.4. มมระหวางเสนตรง L1 กบระนาบ M1 วธท า ให เปนมมระหวางเสนตรง L1 กบระนาบ M1

1 12 2 2 2 2 21 1

A N (2, 7, 1) (5, 5, 2) 1cos 2A N ( 2 ( 7) 1 )( 5 5 ( 2) )

จะไดวา 2 3

ดงนน มมระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ 2 2 3 6

25.5. สมการของระนาบ M2 วธท า เนองจากระนาบ M2 ตงฉากกบเสนตรง L1 ดงนน เวกเตอรแนวฉากของระนาบ M2 ( 2N ) มทศทางเดยวกบ 1A ระนาบทตองการผานจด (2, 3, 1) และมเวกเตอรแนวฉาก 2 1N A (2, 7, 1) จะมสมการเปน 2(x 2) 7(y 3) (z 1) 0 หรอ 2x 7y z 26


52

25.6. สมการองตวแปรเสรมของเสนตรง L2 วธท า เนองจาก L2 ตงฉากกบ M1 เพราะฉะนนมเวกเตอรทศทาง คอ 2 1A N (5, 5, 2) สมการองตวแปรเสรมเสนตรงทผานจด (0, 1, 0) และมเวกเตอรทศทาง 2A (5, 5, 2) คอ x 5t, y 1 5t, z 2t

25.7. สมการของระนาบ M3 วธท า เนองจากระนาบ M3 ขนานกบ L1 และ L2 เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากของ M3 หาไดจาก 3 1 2N A A 3 1 2 N A A

i j k

2 7 15 5 2

7 1 2 1 2 7

i j k5 2 5 2 5 5

(9, 9, 45)

ระนาบทตองการผานจด (2, 3, 4) และมเวกเตอรแนวฉาก 3N (9, 9, 45) จะมสมการเปน 9(x 2) 9(y 3) 45(z 4) 0 หรอ x y 5z 25

25.8. ระยะทางระหวางจด (0, 1, 3) กบระนาบ M3 วธท า ให D เปนระยะทางระหวางจด (0, 1, 3) กบระนาบ M3

ดงนน 2 2 2

0 1 5(3) 25D 1 1 25

9 27

3 หนวย

25.9. จดบนระนาบ M3 ทอยใกลจด (6, 7, -3) มากทสด วธท า ระนาบ M3 มเวกเตอรแนวฉาก 3N (1, 1, 5) ใหจด P คอ (6, 7, -3) และจด Q (x0, y0, z0) เปนจดบนระนาบทตองการ ดงนน PQ ขนานกบ N นนคอ ม t R ทท าให PQ N

Q P tN 0 0 0(x , y , z ) (6, 7, 3) t(1, 1, 5) 0 0 0(x 6, y 7, z 3) (t, t, 5t) จะได x0 = 6 + t, y0 = 7 + t, z0 = –3 + 5t ... (1) เนองจาก Q (x0, y0, z0) อยบนระนาบ M3 ดงนน x0 + y0 + 5z0 = 25 ... (2) จาก (1) แทนคา x0, y0, z0 ใน (2) จะได (6 + t) + (7 + t) + 5(–3 + 5t) = 25 27t = 27 t = 1


53

แทนคา t 1 ใน (1) จะได x0 = 7, y0 = 8, z0 = 2 ดงนน จดบนระนาบ M3 ซงอยใกลจด (6, 7, -3) มากทสดคอ (7, 8, 2)

25.10. สมการสมมาตรของเสนตรง L3 วธท า เนองจาก L3 ตงฉากกบ L1 และ L2 ดงนนเวกเตอรทศทางของ L3 หาไดจาก 3 1 2A A A 3 N สมการเสนตรงทผานจดก าเนด และมเวกเตอรแนวฉาก 3N (9, 9, 45)

zx y 5


54


1. จงหาคาลมตตอไปน

1.1.

32

t 1t 1lim (2t, , 1 t )t 1

วธท า เพระวา t 1

lim 2t 2,

32

t 1 t 1t 1lim lim (t t 1) 3t 1

,

2

t 1lim (1 t ) 2

เพราะฉะนน

32

t 1t 1lim (2t, , 1 t ) (2, 3, 2)t 1

1.2. t 0

lim (1 2t, 2 4t, 4 3t)


lim (1 2t) 1,

t 0

lim (2 4t) 2

, t 0

lim (4 3t) 4

เพราะฉะนน t 0

lim (1 2t, 2 4t, 4 3t) (1, 2, 4)

1.3. t 4

lim (sin t, cos t, tan t)


1lim (sin t) ,2

t 4

1lim (cos t) ,2

,

t 4

lim (tan t) 1

เพราะฉะนน t 4

1 1lim (sin t, cos t, tan t) ( , , 1)2 2

2. จงหาคาของ F (t) เมอก าหนดให

2.1. F(t) (1 2t, 2 t, 3 4t)

ตอบ F (t) (2, 1, 4)

2.2. F(t) (4sin 2t, 3cos 2t, 1 t)

ตอบ F (t) (8cos 2t, 6sin 2t, 1)

2.3. t t tF(t) (e , te , t 2e )

ตอบ t t t tF (t) (e , te e , 1 2e )

3. จงหาคาตอไปน

3.1. 1

0

(1 t, 1 3t, 1 5t)dt

วธท า 1 1 1 1

0 0 0 0

(1 t, 1 3t, 1 5t)dt ( (1 t)dt, (1 3t)dt, (1 5t)dt)

1 1 12 2 2

t = 0 t = 0 t = 0

t 3t 5t ({t } , {t } , {t } )2 2 2

1 (3, 5, 7)2

3.2. 2

0

(sin t, cos t, 2)dt

วธท า 2 2 2 2

0 0 0 0

(sin t, cos t, 2)dt ( (sin t)dt, (cos t)dt, (2)dt)


55

2 2 2t = 0 t = 0 t = 0 ( {cos t} , {sin t} , {2t} )

(1, 1, )

3.3. 1

0

t2

1 1( , e , )dt1 t 1 t

วธท า 1 1 1 1

0 0 0 0

t t2 2

1 1 1 1( , e , )dt ( ( )dt, (e )dt, ( )dt)1 t 1 t1 t 1 t

11 1t

t = 0 t = 0t = 0 ({ln(1 t)} , {e } , {arctan t} )

(ln 2, e 1, )4

4. ก าหนดให F(t) (1, 2, t) และ 2G(t) (3, 2, t ) จงหาคาของ (F G)(t) และ (F G)(t)

วธท า 2

i j k(F G)(t) 1 2 t

3 2 t

2 2 2 t 1 t 1 2

i j k3 22 t 3 t

2 2 (2t 2t) i (t 3t) j 4k

2(F G)(t) (1, 2, t) (3, 2, t ) 3 3 3 4 t t 7

5. ก าหนดให 2 3t tF(t) (t 4, t , )2 3 และ

2tG(t) ( , 4 2t, 3)2 จงหาคาของ (F G )(t) และ (F G )(t)

วธท า เนองจาก 2F (t) (1, 1 t, t ) และ G (t) (t, 2, 0)

2i j k

(F G )(t) 1 1 t tt 2 0

2 2

1 1 t1 t t 1 ti j kt 22 0 t 0

2 3 2 2t i t j (2 t t )k

2(F G )(t) (1, 1 t, t ) (t, 2, 0) t 2 2t 3t 2

6. ก าหนดให B ไมใชเวกเตอรศนย และก าหนดฟงกชนคาเวกเตอร F ซง F(t) B t ส าหรบทกคา t และมมระหวาง F (t) กบ B เปนมมคงตว จงพสจนวา F (t) ตงฉากกบ F (t)

วธท ำ จาก F(t) B t ดงนน dt(F(t) B) dt

F(t) B F (t) B 1 เนองจาก B เปนเวกเตอรคงตว (โจทยไมไดก าหนดเปนฟงกชนคาเวกเตอร) เพราะฉะนน F (t) B 1 และโจทยก าหนดวา มมระหวาง F (t) กบ B เปนมมคงตว แสดงวา F (t) มคาคงตว ก าหนดให F (t) k ส าหรบทก t


56

จงไดวา 2 F (t) F (t) k

2

dk(F (t) F (t)) dt

F (t) F (t) F (t) F (t) 0 2F (t) F (t) 0 F (t) F (t) 0 ดงนน F (t) ตงฉากกบ F (t) ส าหรบทก t

7. ให A และ B เปนเวกเตอรคงตวใน R3 และ 4t 4tF(t) e A e B จงพสจนวา F (t) มทศทางเดยวกบ F(t) วธท า 4t 4tF(t) e A e B 4t 4t F (t) 4e A 4e B (จากทฤษฎบท 3.5.2)

4t 4t F (t) 16e A 16e B 4t 4t 16(e A e B) 16F(t) เนองจาก F (t) 16F(t) เพราะฉะนน F (t) มทศทางเดยวกบ F(t)

8. จงพสจนวา ถา F (t) 0 ส าหรบทกคา t ในชวง [0, 1] แลวเวกเตอรคงตว C ซงท าให F(t) C ส าหรบทกคา t ในชวง [0, 1]

วธท า 0

t

F (t)dt F(t) F(0) เมอ 0 t 1

0

t

F(t) F (t)dt F(0)

0

t

0 dt F(0)

F(0)

เนองจาก F(0) เปนเวกเตอรคาคงตว เพราะฉะนน F(t) F(0) C

9. ถา A (2, 4, 6) และ B (1, 3, 5) และ F เปนฟงกชนคาเวกเตอร ซง F (t) tA B จงหา F(t) เมอ F(0) (1, 1, 4) และ

F (0) (0, 0, 0) วธท ำ F (t) tA B t(2, 4, 6) (1, 3, 5) (1 2t, 3 4t, 5 6t)

0

t

F (t)dt F (t) F (0)

0

t

F (t) F (t)dt F (0)

0 0 0

t t t

( (1 2t)dt, (3 4t)dt, (5 6t)dt)

0 0 0

t t t2 2 2t t t ( (t t ) , (3t 2t ) , (5t 3t ) )

2 2 2 (t t , 3t 2t , 5t 3t )

0

t

F (t)dt F(t) F(0)


57

0

t

F(t) F (t)dt F(0)

0 0 0

t t t2 2 2 ( (t t )dt, (3t 2t )dt, (5t 3t )dt) (1, 1, 4)

2 3 2 3 2

3t t 3t 2t 5t ( , , t ) (1, 1, 4)2 3 2 3 2

3 2 3 2 2

3t t 2t 3t 5t ( 1, 1, t 4)3 2 3 2 2

10. จงหาคา 0

3sin t, 3cos t,4) dt(

วธท ำ 2 2

0 0

3sin t, 3cos t,4) dt 9sin t 9cos t 16 dt(

0

9 16 dt

0

5 dt 5

11. ก าหนดC (2, 3, 6) และ F(t) (2t, 1 4t, 1 6t) จงหาคาของ 1

0

C F(t)dt และ1

0

C F(t)dt

วธท า 1 1

0 0

F(t)dt (2t, 1 4t, 1 6t)dt

1 1 1

0 0 0

(2 t dt, (1 4t)dt, (1 6t)dt)

1 1 12 2 2

0 0 0 t t ( t , (t 2t ) , (t 3t ) )

(1, 3, 2)

ดงนน 1

0

C F(t)dt (2, 3, 6) (1, 3, 2) 1

และ 1

0

C F(t)dt (2, 3, 6) (1, 3, 2)

i j k 2 3 6

1 3 2

3 6 2 6 2 3

i j k3 2 1 2 1 3

( 24, 10, 3)


58


1. จงเขยนรอยทางเดนของการเคลอนท ตอไปน 1.1. r(t) (t, 3t 4) เมอ 0 t 4

1.2. 2r(t) (t, 4 t ) เมอ 0 t 2

1.3. r(t) (2 3t, 3 5t) เมอ 0 t 5

1.4. r(t) (1 t, 2 t, 3 t) เมอ 0 t 4

1.5. 2r(t) (1, t, t ) เมอ 0 t 2

1.6. r(t) (sin t, cos t, 4) เมอ 0 t 2


59

1.7. r(t) (3sin 2t, 4cos 2t, t) เมอ 0 t 2

1.8. r(t) (sin t, cos t, t) เมอ 0 t 4

2. จงหาเวกเตอรต าแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอก าหนดสมการการเคลอนทและเวลาทก าหนดตอไปน 2.1. r(t) (1 t, 2 3t) เมอ t = 2

วธท า จากฟงกชนคาเวกเตอรของการเคลอนท r(t) (1 t, 2 3t) เมอ t = 2 ต าแหนงของการเคลอนท คอ (3, –4) เวกเตอรความเรว V(t) r (t) (1, 3) เมอ t = 2 เวกเตอรความเรว เทากบ (1, –3) อตราเรว คอ (1, 3) = 1 9 10 เวกเตอรความเรง A(t) V (t) (0, 0) เมอ t = 2 เวกเตอรความเรง เทากบ (0, 0) อตราเรง คอ (0, 0) = 0

2.2. 2r(t) (t, t ) เมอ t = 1 วธท า จากฟงกชนคาเวกเตอรของการเคลอนท 2r(t) (t, t ) เมอ t = 1 ต าแหนงของการเคลอนท คอ (1, 1) เวกเตอรความเรว V(t) r (t) (1, 2t) เมอ t = 1 เวกเตอรความเรว เทากบ (1, 2) อตราเรว คอ (1, 2) = 1 4 5 เวกเตอรความเรง A(t) V (t) (0, 2) เมอ t = 1 เวกเตอรความเรง เทากบ (0, 2) อตราเรง คอ (0, 2) = 0 4 2

2.3. r(t) (sin 2t, cos 2t) เมอ t = 2 วธท า จากฟงกชนคาเวกเตอรของการเคลอนท r(t) (sin 2t, cos 2t) เมอ t = 2 ต าแหนงของการเคลอนท คอ (0, 1) เวกเตอรความเรว V(t) r (t) (2cos 2t, 2sin 2t) เมอ t = 2 เวกเตอรความเรว เทากบ (2, 0) อตราเรว คอ (2, 0) = 4 0 2 เวกเตอรความเรง A(t) V (t) ( 4sin 2t, 4cos 2t)


60

เมอ t = 2 เวกเตอรความเรง เทากบ (0, – 4) อตราเรง คอ (0, 4) = 0 16 4

2.4. r(t) (3sin t, 4cos t, 2) เมอ t = วธท า จากฟงกชนคาเวกเตอรของการเคลอนท r(t) (3sin t, 4cos t, 2) เมอ t = ต าแหนงของการเคลอนท คอ (0, –4, 2) เวกเตอรความเรว V(t) r (t) (3cos t, 4sin t, 0) เมอ t = เวกเตอรความเรว เทากบ (–3, 0, 0) อตราเรว คอ ( 3, 0, 0) = 9 0 0 3 เวกเตอรความเรง A(t) V (t) ( 3sin t, 4cos t, 0) เมอ t = เวกเตอรความเรง เทากบ (0, 4, 0) อตราเรง คอ (0, 4, 0) = 0 16 0 4

2.5. 2r(t) (4, 2 t, 3 t ) เมอ t = 1 วธท า จากฟงกชนคาเวกเตอรของการเคลอนท 2r(t) (4, 2 t, 3 t ) เมอ t = 1 ต าแหนงของการเคลอนท คอ (4, 3, 4) เวกเตอรความเรว V(t) r (t) (0, 1, 2t) เมอ t = 1 เวกเตอรความเรว เทากบ (0, 1, 2) อตราเรว คอ (0, 1, 2) = 0 1 4 5 เวกเตอรความเรง A(t) V (t) (0, 0, 2) เมอ t = 1 เวกเตอรความเรง เทากบ (0, 0, 2) อตราเรง คอ (0, 1, 2) = 0 0 4 2

2.6. 2t t 2r(t) (2 e , 3e 1 t ), เมอ t = 0 วธท า จากฟงกชนคาเวกเตอรของการเคลอนท 2t t 2r(t) (2 e , 3e 1 t ), เมอ t = 0 ต าแหนงของการเคลอนท คอ (3, 3 1), เวกเตอรความเรว 2t tV(t) r (t) (2e , 3e 2t), เมอ t = 0 เวกเตอรความเรว เทากบ (2, 3, 0) อตราเรว คอ (2, 3, 0) = 4 9 0 13 เวกเตอรความเรง 2t tA(t) V (t) (4e , 3e 2), เมอ t = 0 เวกเตอรความเรง เทากบ (4, 3, 2) อตราเรง คอ (4, 3, 2) = 16 9 4 29

2.7. 2r(t) (sin 2t, cos 2t, t ) เมอ t = 0 วธท า จากฟงกชนคาเวกเตอรของการเคลอนท 2r(t) (sin 2t, cos 2t, t ) เมอ t = 0 ต าแหนงของการเคลอนท คอ (0, 1 0), เวกเตอรความเรว V(t) r (t) (2cos 2t, 2sin 2t, 2t) เมอ t = 0 เวกเตอรความเรว เทากบ (2, 0, 0) อตราเรว คอ (2, 0, 0) = 4 0 0 2 เวกเตอรความเรง A(t) V (t) ( 4sin 2t, 4cos 2t, 2) เมอ t = 0 เวกเตอรความเรง เทากบ (0, –4, 2) อตราเรง คอ (0, 4, 2) = 0 16 4 2 5


61

2.8. 2 2r(t) (sin t, cos t, t) เมอ t = วธท า จากฟงกชนคาเวกเตอรของการเคลอนท 2 2r(t) (sin t, cos t, t) เมอ t = ต าแหนงของการเคลอนท คอ (0, 1, ) เวกเตอรความเรว V(t) r (t) (sin 2t, sin 2t, 1) เมอ t = เวกเตอรความเรว เทากบ (0, 0, 1) อตราเรว คอ (0, 0, 1) = 0 0 1 1 เวกเตอรความเรง A(t) V (t) (2cos 2t, 2cos 2t, 0) เมอ t = เวกเตอรความเรง เทากบ (2, –2, 0) อตราเรง คอ (2, 2, 0) = 4 4 0 2 2


62


จงหา เวกเตอรสมผสหนวย T(t) เวกเตอรแนวฉากหนวย N(t) เวกเตอรแนวฉากค B(t) สวนประกอบแนวสมผสของ A(t) และ สวนประกอบแนวฉากของ A(t) ของเสนโคง r(t) ณ จดทก าหนดให 1. r(t) (sin t, cos t, 0) เมอ t วธท า r(t) (sin t, cos t, 0)

r (t) (cos t, sin t, 0) r (t) ( sin t, cos t, 0)

เวกเตอรสมผสหนวย 2 2

(cos t, sin t, 0)rT(t) (cos t, sin t, 0)r cos t sin t

T( ) ( 1, 0, 0)

T (t) ( sin t, cos t, 0) T ( ) (0, 1, 0) และ T ( ) 1

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T ( )N( ) (0, 1, 0)T ( )

และ เวกเตอรฉากแนวค B( ) T( ) N( )

i j k 1 0 0

0 1 0

0 0 1 0 1 0

i j k1 0 0 0 0 1

k

เพราะวา r (t) (cos t, sin t, 0) r(t) r (t) 1 ดงนน r (t) 0 สวนประกอบแนวสมผส คอ r ( ) 0 สวนประกอบแนวฉาก คอ r( ) T ( ) 1

2. r(t) (sin 2t, cos 2t, 0) เมอ t 4

วธท า r(t) (sin 2t, cos 2t, 0)

r (t) (2cos 2t, 2sin 2t, 0) r (t) ( 4sin 2t, 4cos 2t, 0)

เวกเตอรสมผสหนวย 2 2

(2cos 2t, 2sin 2t, 0)rT(t) (cos 2t, sin 2t, 0)r 4cos 2t 4sin 2t

T( ) (0, 1, 0)4

T (t) ( 2sin 2t, 2cos 2t, 0)

T ( ) ( 2, 0, 0)4

และ T ( ) 24


63

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T ( )4N( ) ( 1, 0, 0)4 T ( )4

และ เวกเตอรฉากแนวค B( ) T( ) N( )4 4 4

i j k 0 1 0

1 0 0

1 0 0 0 0 1

i j k0 0 1 0 1 0

k

เพราะวา r (t) (2cos 2t, 2sin 2t, 0) r(t) r (t) 2 ดงนน r (t) 0

สวนประกอบแนวสมผส คอ r ( ) 04

สวนประกอบแนวฉาก คอ r( ) T ( ) 44 4

3. 2r(t) (1 3t, 3 4t, t ) เมอ t 0 วธท า 2 r(t) (1 3t, 3 4t, t )

r (t) (3, 4, 2t)

เวกเตอรสมผสหนวย 2

(3, 4, 2t)rT(t) r 25 4t

3 4T(0) ( , , 0)5 5

2 3/21T (t) ( 12t, 16t, 50)

(25 4t )

2T (0) (0, 0, )5 และ 2T (0) 5

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T (0)N(0) (0, 0, 1)T (0)

และ เวกเตอรฉากแนวค B(0) T(0) N(0)

i j k 0.6 0.8 0

0 0 1

0.8 0 0.6 0 0.6 0.8

i j k0 1 0 1 0 0

0.8 i 0.6 j เพราะวา r (t) (3, 4, 2t)

2 r(t) r (t) 25 4t

ดงนน 2

4tr (t) 25 4t


64

สวนประกอบแนวสมผส คอ r (0) 0

สวนประกอบแนวฉาก คอ r(0) T (0) 2

4. 2r(t) (1, t, t ) เมอ t 1 วธท า 2 r(t) (1, t, t )

r (t) (0, 1, 2t)


(0, 1, 2t)rT(t) r 1 4t

1 2T(1) (0, , )5 5

2 3/21T (t) (0, 4t, 2)

(1 4t )

4 2T (1) (0, , )5 5 5 5

และ 2T (1) 5

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T (1) 2 1N(1) (0, , )5 5T (1)


i j k1 0 1 25 0 2 1

i เพราะวา r (t) (0, 1, 2t)

2 r(t) r (t) 1 4t

ดงนน 2

4tr (t) 1 4t

สวนประกอบแนวสมผส คอ 4r (1) 5

สวนประกอบแนวฉาก คอ 2r(1) T (1) 5

5. tr(t) (sin t cos t, sin t cos t, e ) เมอ t 0 วธท า t r(t) (sin t cos t, sin t cos t, e )

t r (t) (cos t sin t, cos t sin t, e )

เวกเตอรสมผสหนวย t

2t(cos t sin t, cos t sin t, e )rT(t)

r 2 e

1 1 1T(0) ( , , )3 3 3

2t 2t tt 3/2

1T (t) ( 2sin t 2(1 e )cos t, 2cos t 2(1 e )sin t, 2e )(2 e )

4 2 2T (0) ( , , )3 3 3 3 3 3

และ 2 2T (0) 3

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T (0) 2 1 1N(0) ( , , )6 6 6T (0)


65


i j k1 1 1 13 2 2 1 1

1 1 1 1 1 11 i j k1 1 2 1 2 13 2

1 1j k2 2

เพราะวา t r (t) (cos t sin t, cos t sin t, e )

2t r(t) r (t) 2 e

ดงนน 2t

2t er (t)

2 e

สวนประกอบแนวสมผส คอ 1r (0) 3

สวนประกอบแนวฉาก คอ 2r(0) T (0) 2 3

จงหาสมการของ เสนสมผส เสนแนวฉาก และเสนแนวฉากค ของเสนโคง r(t) ณ จดทก าหนดให

6. r(t) ((sin t)(cos t), sin t cos t, t) เมอ t 0 วธท า r(t) ((sin t)(cos t), sin t cos t, t)

r(0) (0, 1, 0) r (t) (cos2t, cos t sin t, 1)


(cos2t, cos t sin t, 1)rT(t) r 2 cos 2t sin2t

1 1 1T(0) ( , , )3 3 3

เนองจากเสนสมผสผานจด (0, 1, 0) สมการของเสนสมผส คอ x y 1 z

2 3/2 2 3/22 (8sin2t cos4t 3) 6sin t 3sin3t sin5t 6cos t 3cos3t cos5tT (t) ( ,

(2 cos 2t sin2t) (2 cos 2t sin2t)

2 3/2

2 2 (sin4t cos2t), )(2 cos 2t sin2t)

1 2 1T (0) ( , , )3 3 3 3 3 3

และ 2T (0) 3


เนองจากเสนแนวฉากผานจด (0, 1, 0) สมการของเสนแนวฉาก คอ y 1x z2


i j k1 1 1 13 2 1 2 1

1 1 1 1 1 11 i j k1 2 1 1 1 23 2


66

1 1i k2 2

เนองจากเสนแนวฉากคผานจด (0, 1, 0) สมการของเสนแนวฉากค คอ x z, y 1

7. 2 2r(t) (sin t, cos t, t) เมอ t วธท า 2 2 r(t) (sin t, cos t, t)

r( ) (0, 1, ) r (t) (sin2t, sin2t, 1)


(sin2t, sin2t, 1)rT(t) r 1 2sin 2t

T( ) (0, 0, 1) เนองจากเสนสมผสผานจด (0, 1, ) สมการของเสนสมผส คอ x 0, y 1, z t

2 3/2 2 3/2 2 3/22cos2t 2cos2t 2sin4tT (t) ( , , )

(1 2sin 2t) (1 2sin 2t) (1 2sin 2t)

T ( ) (2, 2, 0) และ T ( ) 2 2

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T ( ) 1 1N( ) ( , , 0)2 2T ( )

เนองจากเสนแนวฉากผานจด (0, 1, ) สมการของเสนแนวฉาก คอ x 1 y, z และ เวกเตอรฉากแนวค B( ) T( ) N( )

i j k1 0 0 12 1 1 0

0 1 0 1 0 01 i j k1 0 1 0 1 12

1 1i j2 2

เนองจากเสนแนวฉากคผานจด (0,1, )สมการของเสนแนวฉากค คอ x y 1, z

8. 2r(t) (t, t, t ) เมอ t 1 วธท า 2 r(t) (t, t, t )

r(1) (1, 1, 1) r (t) (1, 1, 2t)


(1, 1, 2t)rT(t) r 2 4t

1 1 2T(1) ( , , )6 6 6

เนองจากเสนสมผสผานจด (1, 1, 1) สมการของเสนสมผส คอ z 1x 1 y 1 2

2 3/2 2 3/2 2 3/24t 4t 4T (t) ( , ,

(2 4t ) (2 4t ) (2 4t )

2 2 2T (1) ( , , )

3 3 3 3 3 3 และ 2T (1) 3



67

เนองจากเสนแนวฉากผานจด (1, 1, 1) สมการของเสนแนวฉาก คอ y 1x 1 z 11 1


i j k1 1 1 23 2 1 1 1

1 2 1 2 1 11 i j k1 1 1 1 1 13 2

1 1i j2 2

เนองจากเสนแนวฉากคผานจด (1, 1, 1) สมการของเสนแนวฉากค คอ y 1x 1 , z 11

9. 2 2r(t) (1 t , 1 t , t 2) เมอ t 1 วธท า 2 2 r(t) (1 t , 1 t , t 2)

r(1) (2, 0, 1) r (t) (2t, 2t, 1)


(2t, 2t, 1)rT(t) r 1 8t

2 2 1T(1) ( , , )3 3 3

เนองจากเสนสมผสผานจด (2, 0, -1) สมการของเสนสมผส คอ yx 2 z 12 2

2 3/2 2 3/2 2 3/22 2 8tT (t) ( , ,

(1 8t ) (1 8t ) (1 8t )

2 2 8T (1) ( , , )27 27 27 และ 2 2T (1) 9

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T (1) 1 1 4N(1) ( , , )3 2 3 2 3 2T (1)

เนองจากเสนแนวฉากผานจด (2, 0, -1) สมการของเสนแนวฉาก คอ y z 1x 2 1 4


i j k1 2 2 19 2 1 1 4

2 1 2 1 2 21 i j k1 4 1 4 1 19 2

1 1i j2 2

เนองจากเสนแนวฉากคผานจด (2, 0, -1) สมการของเสนแนวฉากค คอ x 2 y, z 1

10. r(t) (sin t, 2cos t, sin t) เมอ t 2

วธท า r(t) (sin t, 2cos t, sin t)

r( ) (1, 0, 1)2

r (t) (cos t, 2sin t, cos t)


68


(cos t, 2sin t, cos t)rT(t) r 2 2sin t

T( ) (0, 1, 0)2

เนองจากเสนสมผสผานจด (1, 0, 1) สมการของเสนสมผส คอ x 1, y t, z 1

2 3/2 2 3/2 2 3/24sin t 4cos t 4sin tT (t) ( , ,

(2 2sin t) (2 2sin t) (2 2sin t)

1 1T ( ) ( , 0, )2 2 2

และ 1T ( ) 2 2

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T ( ) 1 12N( ) ( , 0, )2 2 2T ( )2

เนองจากเสนแนวฉากผานจด (1, 0, 1) สมการของเสนแนวฉาก คอ x 1 z 1, y 0

และ เวกเตอรฉากแนวค B( ) T( ) N( )2 2 2

i j k1 0 1 02 1 0 1

1 0 0 0 0 11 i j k0 1 1 1 1 02

1 1i k2 2

เนองจากเสนแนวฉากคผานจด (1, 0, 1) สมการของเสนแนวฉากค คอ z 1x 1 y 01 ,

จงหาสมการของ ระนาบสมผสประชด ระนาบแนวฉาก และระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากคของเสนโคง r(t) ณ จดทก าหนดให 11. r(t) (sin t, cos t, 2t) เมอ t วธท า r(t) (sin t, cos t, 2t) r (t) (cos t, sin t, 2)

เวกเตอรสมผสหนวย (cos t, sin t, 2)rT(t) 5r

1 2T( ) ( , 0, )5 5

1T (t) ( sin t, cos t, 0)5

1T ( ) (0, 1, 0)

5 และ 1T ( )

5

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T ( )N( ) (0, 1, 0)T ( )

และ เวกเตอรฉากแนวค B( ) T( ) N( )

i j k1 1 0 25 0 1 0

0 2 1 2 1 01 i j k1 0 0 0 0 15


69

2 1i k5 5

เมอเวลา t จะไดวา r( ) (0, 1, 2 ) เพราะวา 2 1B ( , 0, )

5 5 ตงฉากกบระนาบประชดสมผส และระนาบสมผสประชดผานจด (0, 1, 2 )

เพราะฉะนน สมการของระนาบสมผสประชด คอ

2 1(x) 0(y 1) (z 2 ) 05 5

2x z 2

เพราะวา 1 2T ( , 0, )5 5

ตงฉากกบระนาบแนวฉาก และระนาบสมผสประชดผานจด (0, 1, 2 )

เพราะฉะนน สมการของระนาบแนวฉาก คอ

1 2(x) 0(y 1) (z 2 ) 05 5

x 2z 4 เพราะวา N (0, 1, 0) ตงฉากกบระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค และระนาบสมผสประชดผานจด (0, 1, 2 ) เพราะฉะนน สมการของระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค คอ

0(x) (y 1) 0(z 2 ) 0 y 1

12. t t 2tr(t) (e , e , e ) เมอ t 0 วธท า t t 2t r(t) (e , e , e ) t t 2t r (t) (e , e , 2e )


2t(1, 1, 2e )rT(t)

r 2 4e

1 1 2T(0) ( , , )6 6 6

2t 2t t

2t 3/2 2t 3/2 2t 3/24e 4e 4eT (t) ( , , )

(2 4e ) (2 4e ) (2 4e )

2 2 2T (0) ( , , )3 3 3 3 3 3

และ 2T (0) 3



i j k1 1 1 23 2 1 1 1

1 2 1 2 1 11 i j k1 1 1 1 1 13 2

1 1i j2 2

เมอเวลา t 0 จะไดวา r(0) (1, 1, 1) เพราะวา 1 1B ( , , 0)

2 2 ตงฉากกบระนาบประชดสมผส และระนาบสมผสประชดผานจด (1, 1, 1)


70


1 1(x 1) (y 1) 0(z 1) 02 2

x y 0

เพราะวา 1 1 2T ( , , )6 6 6

ตงฉากกบระนาบแนวฉาก และระนาบสมผสประชดผานจด (1, 1, 1)


1 1 2(x 1) (y 1) (z 1) 06 6 6

x y 2z 4

เพราะวา 1 1 1N ( , , )3 3 3

ต งฉากกบระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค และระนาบสมผสประชดผานจด

(1, 1, 1) เพราะฉะนน สมการของระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค คอ

1 1 1(x 1) (y 1) (z 1) 03 3 3

x y z 1

13. 2 2r(t) (1 sin t, 1 cos t, sin 2t) เมอ t 0 วธท า 2 2 r(t) (1 sin t, 1 cos t, sin 2t) r (t) (sin 2t, 2sin 2t, 2cos 2t)


(sin 2t, 2sin 2t, 2cos 2t)rT(t) r 4 sin 2t

T(0) (0, 0, 1)

2 3/2 2 3/2 2 3/28cos 2t 16cos 2t 20sin 2tT (t) ( , , )

(4 sin 2t) (4 sin 2t) (4 sin 2t)

T (0) (1, 2, 0) และ T (0) 5

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T (0) 1 2N(0) ( , , 0)5 5T (0)


i j k1 0 0 15 1 2 0

0 1 0 1 0 01 i j k2 0 1 0 1 25

2 1i j5 5

เมอเวลา t 0 จะไดวา r(0) (1, 2, 0) เพราะวา B (2, 1, 0) ตงฉากกบระนาบประชดสมผส และระนาบสมผสประชดผานจด (1, 2, 0) เพราะฉะนน สมการของระนาบสมผสประชด คอ

2(x 1) (y 2) 0(z) 0 2x y 4 เพราะวา T (0, 0, 1) ตงฉากกบระนาบแนวฉาก และระนาบสมผสประชดผานจด (1, 2, 0)


71


0(x 1) 0(y 2) z 0 z 0

เพราะวา 1 2N ( , , 0)5 5 ตงฉากกบระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค และระนาบสมผสประชดผานจด (1, 2, 0)

เพราะฉะนน สมการของระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค คอ

1 2(x 1) (y 2) 0(z) 05 5

x 2y 3

14. tr(t) (1, t, e ) เมอ t 0 วธท า t r(t) (1, t, e ) t r (t) (0, 1, e )


2t(0, 1, e )rT(t)

r 1 e

1 1T(0) (0, , )2 2

2t t

2t 3/2 2t 3/2e eT (t) (0, , )

(1 e ) (1 e )

1 1T (0) (0, , )2 2 2 2

และ 1T (0) 2

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากหนวย T (0) 1 1N(0) (0, , )2 2T (0)


i j k1 0 1 12 0 1 1

1 1 0 1 0 11 i j k1 1 0 1 0 12

i

เมอเวลา t 0 จะไดวา r(0) (1, 0, 1) เพราะวา B (1, 0, 0) ตงฉากกบระนาบประชดสมผส และระนาบสมผสประชดผานจด (1, 0, 1) เพราะฉะนน สมการของระนาบสมผสประชด คอ

(x 1) 0(y) 0(z 1) 0

x 1 เพราะวา 1 1T (0, , )

2 2 2 2 ตงฉากกบระนาบแนวฉาก และระนาบสมผสประชดผานจด (1, 0, 1)


1 10(x 1) (y) (z 1) 02 2 2 2

y z 1

เพราะวา 1 1N (0, , )2 2

ตงฉากกบระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค และระนาบสมผสประชดผานจด (1, 0, 1)


72

เพราะฉะนน สมการของระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค คอ

1 10(x 1) (y) (z 1) 02 2

y z 1

15. tr(t) (sin t, cos t, e ) เมอ t 0 วธท า t r(t) (sin t, cos t, e ) t r (t) (cos t, sin t, e )


2t(cos t, sin t, e )rT(t)

r 1 e

1 1T(0) ( , 0, )2 2

2t 2t 2t 2t t

2t 3/2 2t 3/2 2t 3/2e cos t (e 1)sin t e sin t (e 1)cos t eT (t) ( , , )

(1 e ) (1 e ) (1 e )

1 1 1T (0) ( , , )2 2 2 2 2

และ 3T (0) 2



i j k1 1 0 12 3 1 2 1

0 1 1 1 1 01 i j k2 1 1 1 1 22 3

1 1i k3 3

เมอเวลา t 0 จะไดวา r(0) (0, 1, 1) เพราะวา 1 1B ( , 0, )

3 3 ตงฉากกบระนาบประชดสมผส และระนาบสมผสประชดผานจด (0, 1, 1)


1 1(x) 0(y 1) (z 1) 03 3

x z 1 เพราะวา 1 1T ( , 0, )

2 2 ตงฉากกบระนาบแนวฉาก และระนาบสมผสประชดผานจด (0, 1, 1)


1 1(x) 0(y 1) (z 1) 02 2

x z 1 เพราะวา 1 2 1N ( , , )

6 6 6 ต งฉากกบระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค และระนาบสมผสประชดผานจด

(0, 1, 1) เพราะฉะนน สมการของระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค คอ


73

1 2 1(x) (y 1) (z 1) 06 6 6

x 2y z 1


74


จงหาความยาวของเสนโคงทก าหนดดวยฟงกชนคาเวกเตอร r(t) บนชวงทก าหนดให

1. r(t) (sin 4t, cos 4t, 4) บนชวง [0, 2 ] วธท า r(t) (sin 4t, cos 4t, 4) r (t) (4cos 4t, 4sin 4t, 0) v(t) r (t)

2 2 16cos 4t 16sin 4t

4 ความยาวของเสนโคง C บนชวง [0, 2 ] มคาเทากบ

2 2

0 0

r (t) dt (4)dt 8

หนวย

2. r(t) (1 2t, 2 3t, 1 6t) บนชวง [0, 4] วธท า r(t) (1 2t, 2 3t, 1 6t) r (t) (2, 3, 6)

v(t) r (t)

4 9 36 7 ความยาวของเสนโคง C บนชวง [0, 4] มคาเทากบ

4 4

0 0

r (t) dt (7)dt 28 หนวย

3. r(t) (3sin 2t, 3cos 2t, 8t) บนชวง [0, ]4

วธท า r(t) (3sin 2t, 3cos 2t, 8t) r (t) (6cos 2t, 6sin 2t, 8)

v(t) r (t)

2 2 36cos 2t 36sin 2t 64

10 ความยาวของเสนโคง C บนชวง [0, ]4

มคาเทากบ

0 0

4 4

5r (t) dt (10)dt 2

หนวย

4. 325r(t) (1 3t, 3 4t, 1 t )3 บนชวง [0, 5]

วธท า 32 5r(t) (1 3t, 3 4t, 1 t )3

5r (t) (3, 4, t )2

v(t) r (t)

259 16 t4


75

5 4 t2 ความยาวของเสนโคง C บนชวง [0, 5] มคาเทากบ

5 5

0 0

5r (t) dt ( 4 t )dt2

53

2

t 0

5 (4 t)3

5 95(27 8) 3 3 หนวย

5. 3 3 32 2 2r(t) (1 2t , 2 3t , 3 6t ) บนชวง [0, 4]

วธท า 3 3 32 2 2 r(t) (1 2t , 2 3t , 3 6t )

9r (t) (3 t , t , 9 t )2

v(t) r (t)

819t t 81t4

21 t2 ความยาวของเสนโคง C บนชวง [0, 4] มคาเทากบ

4 4

0 0

21r (t) dt ( t )dt2

43

2

t 0 7(t)

7(8) 56 หนวย

จงหาความโคง รศมความโคง และการบดของเสนโคง ณ จดทก าหนดให เมอก าหนดใหเสนโคงมสมการเปน

6. 2 3r(t) (t, t , t ) เมอ t 0 วธท า จาก 2 3 r(t) (t, t , t ) , r(0) (0, 0, 0) จะไดวา 2 V(t) r (t) (1, 2t, 3t ) , V(0) (1, 0, 0) A(t) V (t) (0, 2, 6t) , A(0) (0, 2, 0) A (t) (0, 0, 6) , A (0) (0, 0, 6)

i j k

V(0) A(0) 1 0 00 2 0

0 0 1 0 1 0

i j k2 0 0 0 0 2

2k V(0) A(0) 2

V(0) A(0) A (0) (0, 0, 2) (0, 0, 6) 12 v(0) V(0) 1


76

เพราะฉะนน ความโคง 3V(0) A(0)k(0) 2

v (0)

รศมความโคง คอ 1 1(0) k(0) 2

และ การบด 2V(0) A(0) A (0)(0) 3

V(0) A(0)

7. 2r(t) (sin 2t, cos 2t, t ) เมอ t 0 วธท า จาก 2 r(t) (sin 2t, cos 2t, t ) , r(0) (0, 1, 0) จะไดวา V(t) r (t) (2cos 2t, 2sin 2t, 2t) , V(0) (2, 0, 0) A(t) V (t) ( 4sin 2t, 4cos 2t, 2) , A(0) (0, 4, 2) A (t) ( 8cos 2t, 8sin 2t, 0) , A (0) ( 8, 0, 0)

i j k

V(0) A(0) 2 0 00 4 2

0 0 2 0 2 0

i j k4 2 0 2 0 4

4 j 8k V(0) A(0) 4 5

V(0) A(0) A (0) (0, 4, 8) ( 8, 0, 0) 0 v(0) V(0) 2

เพราะฉะนน ความโคง 3V(0) A(0) 5k(0) 2v (0)


และ การบด 2V(0) A(0) A (0)(0) 0

V(0) A(0)

8. r(t) (sin t, cos t, t) เมอ t 4

วธท า จาก r(t) (sin t, cos t, t) , 1 1r( ) ( , , )4 42 2

จะไดวา V(t) r (t) (cos t, sin t, 1) , 1 1V( ) ( , , 1)4 2 2

A(t) V (t) ( sin t, cos t, 0) , 1 1A( ) ( , , 0)4 2 2

A (t) ( cos t, sin t, 0) , 1 1A ( ) ( , , 0)4 2 2

i j k1V( ) A( ) 1 1 24 4 2 1 1 0

1 11 2 1 21 i j k1 11 0 1 02

1 1i j k2 2


77

V( ) A( ) 24 4

1 1 1 1V( ) A( ) A ( ) ( , , 1) ( , , 0) 14 4 4 2 2 2 2

v( ) V( ) 24 4

เพราะฉะนน ความโคง 3

V( ) A( )4 4 1k( ) 4 2v ( )4

รศมความโคง คอ 1( ) 24 k( )4

และ การบด 2

V( ) A( ) A ( ) 14 4 4( ) 4 2V( ) A( )4 4

9. 3r(t) (sin t, cos t, t) เมอ t 0 วธท า จาก 3 r(t) (sin t, cos t, t) , r(0) (0, 1, 0) จะไดวา 2 V(t) r (t) (3(sin t)(cos t), sin t, 1) , V(0) (0, 0, 1)

3A(t) V (t) ( (3sin3t sin t), cos t, 0)4 , A(0) (0, 1, 0)

3A (t) ( (9cos 3t cos t), sin t, 0)4 , A (0) (6, 0, 0)

i j k

V(0) A(0) 0 0 10 1 0

0 1 0 1 0 0

i j k1 0 0 0 0 1

i V(0) A(0) 1

V(0) A(0) A (0) (1, 0, 0) (6, 0, 0) 6 v(0) V(0) 1

เพราะฉะนน ความโคง 3V(0) A(0)k(0) 1

v (0)

รศมความโคง คอ 1(0) 1k(0)

และ การบด 2V(0) A(0) A (0)(0) 6

V(0) A(0)

10. 2r(t) ( t , t, t ) เมอ t 1 วธท า จาก 2 r(t) ( t , t, t ) , r(1) (1, 1, 1)

จะไดวา 1V(t) r (t) ( , 1, 2t)2 t

, 1V(1) ( , 1, 2)2

3 1A(t) V (t) ( , 0, 2)4( t )

, 1A(1) ( , 0, 2)4


78

5 3A (t) ( , 0, 0)8( t )

, 3A (1) ( , 0, 0)8

i j k

V(1) A(1) 0.5 1 20.25 0 2

1 2 0.5 2 0.5 1

i j k0 2 0.25 1 0.25 0

3 12 i j k2 4

101V(1) A(1) 4

3 1 3 3V(1) A(1) A (1) (2, , ) ( , 0, 0) 2 4 8 4

21v(1) V(1) 2

เพราะฉะนน ความโคง 3V(1) A(1) 202k(1)

21 21v (1)

รศมความโคง คอ 1 21 21(1) k(1) 202

และ การบด 2V(1) A(1) A (1) 12(1) 101V(1) A(1)

11. t t tr(t) (e sin t, e cos t, e ) เมอ t 0 วธท า จาก t t t r(t) (e sin t, e cos t, e ) , r(0) (0, 1, 1) จะไดวา t t t V(t) r (t) (e (sin t cos t), e (cos t sin t), e ) , V(0) (1, 1, 1) t t t A(t) V (t) (2e cos t, 2e sin t, e ) , A(0) (2, 0, 1) t t t A (t) (2e (cos t sin t), 2e (sin t cos t), e ) , A (0) (2, 2, 1)

i j k

V(0) A(0) 1 1 12 0 1

1 1 1 1 1 1

i j k0 1 2 1 2 0

i j 2k V(0) A(0) 6

V(0) A(0) A (0) (1, 1, 2) (2, 2, 1) 2 v(0) V(0) 3

r (0) 1 1 1T(0) ( , , )

3 3 3r (0)

เพราะฉะนน ความโคง 3V(0) A(0) 2k(0) 3v (0)


และ การบด 2V(0) A(0) A (0) 1(0) 3V(0) A(0)

เฉลยแบบฝึกหัด calculus 2 เจษฎา ห่อ...

Documents