calculus 2010

HANDOUT :

KALKULUS DASAR

Oleh : Tony Hartono Bagio

2010

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

Sistem Komputer & Sistem Informasi

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio

i

KATA PENGANTAR

Kalkulus Dasar adalah salah satu mata diskusi di Fakultas Ilmu Komputer Universitas Narotama, buku ini merupakan modul untuk menunjang mata kuliah tersebut, diharapkan buku ini menjadi buku pegangan bagi mahasiswa sebagai modul (hand out) untuk melengkapi isi dari modul ini, saya harap para mahasiswa membaca buku-buku lain yang sejenis, karena modul (hand out) ini sangat jauh dari sempurna.

Modul / hand out dari http://blog.uad.ac.id/aris_thobirin/files/2008/11/xxx.pdf, xxx.pdf : terdiri dari 7 files, yakni :

kalkulus1-diktat1.pdf = Bab 1. Pendahuluan. kalkulus1-diktat2.pdf = Bab 2. Fungsi dan Limit (Sub bab 2.1 s/d 2.3) kalkulus1-diktat2a.pdf = Bab 2. Fungsi dan Limit (Sub bab 2.4 s/d 2.7) kalkulus1-diktat3.pdf = Bab 3. Turunan Fungsi. kalkulus2-diktat1.pdf = Bab 4. Integral kalkulus2-diktat2.pdf = Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5.1 s/d 5.2.5) kalkulus2-diktat3.pdf = Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5.2.6)

Dari ke 7 files diatas, digabung menjadi satu, dan dapat di download langsung dari http://tonyhartonobagio.blogspot.com/2010/11/modul-mata-kuliah.html, pilih Kalkulus Dasar, mudah-mudahan modul/hand out ini dapat berguna bagi semua mahasiswa,

Pembagian diskusi ini dibagi dalam 14 kali pertemuan, yang terdiri dari : I. PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real Operasi Bilangan Urutan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

II. FUNGSI dan LIMIT Fungsi dan Grafik Operasi pada Fungsi Pengertian Limit

III. FUNGSI dan LIMIT Teorema Limit Limit Kiri dan :Limit Kanan Limit Tak Hingga Kekontinuan Fungsi

IV. TURUNAN FUNGSI Pengertian Turunan Fungsi Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat

V. TURUNAN FUNGSI


ii

Sifat - Sifat Turunan Aturan Rantai

VI. TURUNAN FUNGSI Turunan Fungsi Invers Turunan Fungsi Implisit Turunan Tingkat Tinggi

VII. TURUNAN FUNGSI Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden Turunan Fungsi Parameter

VIII. UJIAN TENGAH SEMESTER IX. INTEGRAL

Rumus Dasar Integral dengan Subsitusi

X. INTEGRAL Integral Parsial Integral Arcus Tangen dan Logaritma

XI. INTEGRAL Fungsi Pecah Rasional Keadaan N(x) = D(x) Keadaan derajat N(x) derajat D(x) Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x)

XII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri Rumus-rumus Sederhana Bentuk R(sin x) cos x dx dan R(cos x) sin x dx Integral dengan memperhatikan rumus-rumus

XIII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri Substitusi y = tan (x/2) Integral R(tan x) Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri

XIV. INTEGRAL Fungsi Irrasional Rumus Penting Bentuk Irrasional Satu Suku Satu-satunya Bentuk Irrasional Subsitusi Trigonometri

XV. INTEGRAL TERTENTU Pengertian Integral Tertentu Aplikasi Integral

XVI. UJIAN AKHIR SEMESTER


iii

Angka Romawi diatas, merupakan jadwal pertemuan, termasuk jadwal Ujian, baik UTS (Ujian Tengah Semester) maupun UAS (Ujian Akhir Semester), sedang jadwal tugas tidak tercantum diatas, melainkan tergantung dari situasi.

Bila para pembaca sekalian ingin memberi tambahan, koreksi atau penyempurnaan, penulis menghaturkan terima kasih sebelumnya, karena modul ini pasti akan menjadi lebih bermanfaat.

Atas perhatiannya dalam membaca modul ini, penulis mengucapkan terima kasih.

Narotama, 20 November 2010

Tony Hartono Bagio

Dosen Fakultas Ilmu Komputer Universitas Narotama Surabaya


iv

DAFTAR ISI Hal

Kata Pengantar ............................................................................................................ i

Daftar Isi ........................................................................................................................ iv

1. PENDAHULUAN ................................................................................................. 1 1.1 Sistem Bilangan Real ................................................................................ 1 1.2 Operasi Bilangan ....................................................................................... 3 1.3 Urutan .......................................................................................................... 3 1.4 Pertidaksamaan ......................................................................................... 4 1.5 Nilai Mutlak .............................................................................................. 7

2. FUNGSI dan LIMIT ............................................................................................... 12

2.1 Fungsi dan Grafik ...................................................................................... 12 2.2 Operasi pada Fungsi ................................................................................. 15 2.3 Pengertian Limit ........................................................................................ 16 2.4 Teorema Limit ........................................................................................... 23 2.5 Limit Kiri dan :Limit Kanan .................................................................... 31 2.6 Limit Tak Hingga ...................................................................................... 32 2.7 Kekontinuan Fungsi ................................................................................. 34

3. TURUNAN FUNGSI ............................................................................................ 38

3.1 Pengertian Turunan Fungsi ..................................................................... 38 3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat ..................................... 39 3.3 Sifat - Sifat Turunan .................................................................................. 40 3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) ............................ 41 3.5 Turunan Fungsi Invers ............................................................................. 42 3.6 Turunan Fungsi Implisit .......................................................................... 42 3.7 Turunan Tingkat Tinggi ........................................................................... 43 3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden ............................... 44

3.8.1 Turunan Fungsi Rasional ............................................................... 44 3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional ............................................................. 44 3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri ....................................................... 45 3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri ............................................................ 46 3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma ............................................................ 47 3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial ....................................................... 49 3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik ........................................................... 50


v

3.9 Turunan Fungsi Parameter ...................................................................... 50

4. INTEGRAL ............................................................................................................. 53 4.1 Rumus Dasar ............................................................................................. 54 4.2 Integral dengan Subsitusi ........................................................................ 55 4.3 Integral Parsial .......................................................................................... 57 4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma ............... 59 4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional ............................................................... 62

4.5.1 Keadaan N(x) = D(x) ....................................................................... 62 4.5.2 Keadaan derajat N(x) derajat D(x) .............................................. 62 4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x) ............................................ 63

4.6 Integral Fungsi Trigonometri .................................................................... 70 4.6.1 Rumus-rumus Sederhana ................................................................ 70 4.6.2 Bentuk R(sin x) cos x dx dan R(cos x) sin x dx ........................ 70 4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus ......................... 71 4.6.4 Substitusi y = tan (x/2) .................................................................... 71 4.6.5 Integral R(tan x) ................................................................................ 73 4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri ............... 73

4.7 Integral Fungsi Irrasional ......................................................................... 74 4.7.1 Rumus yang perlu dihafal ............................................................. 74 4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku .......................................................... 75 4.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional ..................................................... 75 4.7.4 Subsitusi Trigonometri ................................................................... 75

5. INTEGRAL TERTENTU ...................................................................................... 77

5.1 Pengertian Integral Tertentu ................................................................... 77 5.2 Aplikasi Integral ........................................................................................ 83

5.2.1 Luas Daerah ..................................................................................... 83 5.2.2 Volume Benda Putar ....................................................................... 86 5.2.3 Panjang Kurva .................................................................................. 93 5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar ....................................................... 97 5.2.5 Usaha atau Kerja .............................................................................. 101 5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat) ......................................... 104

PENDAHULUAN

1

1.1 Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memahami bahasan tentang system bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, ... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya buku yang kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi

N = {1, 2, 3, 4, } Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua

negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi

Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam hal ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan

bilangan-bilangan rasional, seperti 2

19,52,

43 , dan

87 . Bilangan rasional

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan ba dengan a dan b

keduanya bilangan bulat dan b 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional

sebab 3 dapat ditulis sebagai 26 . Himpunan semua bilangan rasional biasa

dinotasikan dengan Q. Jadi

Q = {ba a Z, b Z, b 0}

Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masih tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut.

1

1

1

Gambar 1 Dengan menggunakan bilangan irrasional maka hal tersebut di atas tidak menjadi

masalah. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 2 . Bilangan

irrasional yang lain antara lain 3 7,5,3 , e dan . Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan

N Z Q R dan digambarkan dengan diagram venn berikut.

NZ

Q

R

Gambar 2 Masih terdapat sistem bilangan yang lebih luas dari system bilangan real

yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a + b 1 dengan a dan b keduanya bilangan bulat, atau a + bi dengan i = 1 . Bilangan demikian dinamakan bilangan kompleks dan himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C.

2

Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebih lanjut. Jadi, apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun dimaksudkan adalah bilangan real. 1.2 Operasi Bilangan Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x dan y bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian x dan y ditulis x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada R adalah sebagai berikut. 1) Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx. 2) Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z. 3) Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz. 4) Elemen-elemen identitas:

Terhadap penjumlahan: 0 sebab x + 0 = x. Terhadap perkalian: 1 sebab x.1 = x.

5) Invers (balikan): Setiap bilangan real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) x yang memenuhi x + x = 0 dan setiap bilangan real x yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu x1 yang memenuhi x. x1 = 1.

Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan

x y = x + (y) dan

yx = x. y1

1.3 Urutan Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan terpisah yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < (dibaca kurang dari) yang didefinisikan dengan:

x < y jika dan hanya jika y x positif. x < y mempunyai arti yang sama dengan y > x. 3

Sifat-sifat urutan: 1) Trikotomi: Jika x dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku salah satu di

antara yang berikut: x < y atau x = y atau x > y.

2) Transitif: jika x < y dan y < z maka x < z. 3) Penambahan: x < y x + z < y + z 4) Perkalian:

Jika z positif maka x < y xz < yz Jika z negatif maka x < y xz > yz

Relasi urutan (dibaca kurang dari atau sama dengan) didefinisikan dengan:

x y jika dan hanya jika y x positif atau nol. Sifat-sifat ini adalah: 1) Transitif: jika x y dan y z maka x z. 2) Penambahan: x y x + z y + z 3) Perkalian:

Jika z positif maka x y xz yz Jika z negatif maka x y xz yz

1.4. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi , atau . Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan interval-interval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut.

Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = {x a < x < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = {x a x b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.

4

Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan

(a, b) {x a < x < b} a b [a, b] {x a x b} a b [a, b) {x a x < b} a b (a, b] {x a < x b} a b

(, b) {x x < b} a b (, b] {x x b} a b (a, ) {x x > a} a b [a, ) {x x a} a b

(, ) R Contoh Pertidaksamaan

1) 2x 7 < 4x 2 2) 5 2x + 6 < 4 3) x2 x 6 < 0 4) 3x2 x 2 > 0

5) 1252

xx

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x 7 < 4x 2. Penyelesaian: 2x 7 < 4x 2 2x < 4x + 5 2x < 5 x > 25 Hp: interval ( 2

5 , ) = {x x > 25 }

5

Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5 2x + 6 < 4. Penyelesaian: 5 2x + 6 < 4 11 2x < 2 211 x < 1 Hp: interval [ 2

11 , 1) = {x 211 x < 1} Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 x 6 < 0. Penyelesaian: x2 x 6 < 0 (x 3)(x + 2) < 0 + + + + 2 3 Hp: interval (2, 3) = {x 2 < x < 3} Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2 x 2 > 0 Penyelesaian: 3x2 x 2 > 0 (x 1)(3x + 2) > 0 + + + +

32 1

Hp: interval (, 32 ) (1, ) = {x x < 32 atau x > 1} Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1252

xx

Penyelesaian: 252

xx 1

252

xx 1 0

2

)2(52

x

xx 0

6

23

xx 0

(x 3)(x 2) 0 dengan syarat x 2 (mengapa?)

+ + + +

2 3 Hp: interval (2, 3] = {x 2 < x 3} 1.5 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. Definisi: Nilai mutlak bilangan real x, ditulis x didefinisikan dengan

x < a atau x > a.

Secara fisis x dapat menyatakan jarak x ke 0, sehingga x yang memenuhi ax < menyatakan x yang jaraknya ke 0 kurang dari a. Secara fisis cx dapat menyatakan jarak x ke c, sehingga x yang memenuhi

acx

Contoh 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 53 x 1. Penyelesaian: 53 x 1 3x 5 1 atau 3x 5 1

3x 4 atau 3x 6 x

34 atau x 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x yang memenuhi x 34 atau x 2. Gambarkan pada

garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. Contoh 4 Andaikan (epsilon) adalah bilangan positif. Tunjukkan bahwa

52

Secara mundur dapat dilihat bahwa 0 26. 15

3 +x 4

12. 3x2 11x 4 0 27. 72+x > 2

13. 2x2 + 7x 15 0 28. 5

31 x 4

14. 0125

+x

x 29. x52 + > 1

15. 0132 >+

xx 30. 31

x > 6.

10

Buktikan bahwa implikasi yang ditunjukkan adalah benar

31. 5,03

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

2

2.1 Fungsi dan Grafiknya

Definisi

Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B.

A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil). f

A B

Gambar 2.1 Fungsi

Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real.

Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F), maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x) = x3 4, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 12

f(2) = 23 4 = 4 f(1) = (1)3 4 = 5 f(a) = a3 4 f(a + h) = (a + h)3 4 = a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 4

Contoh 1

Untuk f(x) = x2 2x, carilah dan sederhanakan: a. f(4) b. f(4 + h) c. f(4 + h) f(4)

d. h

fhf )4()4( + dengan h 0.

Penyelesaian: Contoh 2

Untuk f(x) = x2 2x dengan daerah asal {1, 0, 1, 2, 3}, carilah daerah hasil fungsi f.

Penyelesaian:


Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah asal fungsi tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Contoh 3

a. Daerah asal f(x) = 3

1x adalah {x R x 3}.

b. Daerah asal g(t) = 29 t adalah {t R 9 t2 0}.

Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x). Contoh 4

Buatlah sketsa grafik dari: (a) f(x) = x2 4

(b) g(x) = x1

(c) h(x) = x Penyelesaian:


2.2 Operasi pada Fungsi

Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f g, hasil kali fg, hasil bagi f/g dan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.

(f + g)(x) = f (x) + g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) (f g)(x) = f (x) g(x)

(f / g)(x) = )()(

xgxf asalkan g(x) 0

Contoh 5

Jika f(x) = x2 2x dan g(x) = x 1, tentukan f + g, f g, fg, f/g dan f 3. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.

Penyelesaian:


Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.

Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka

komposisi g o f memenuhi (g o f)(x) = g (f(x))

Contoh 6

Jika f(x) = x2 2x dan g(x) = x 1, tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.

Penyelesaian:

(g o f)(x) = g (f(x)) = g (x2 2x) = x2 2x 1

(f o g)(x) = f (g(x)) = f (x 1) = (x 1)2 2(x 1) = x2 2x + 1 2x + 2 = x2 4x + 3 Gambar grrafik dibiarkan untuk latihan. 2.3 Pengertian Limit Perkataan limit berarti mendekati, seperti Saya sudah menahan sampai mendekati batas kesabaran saya, atau Janganlah kamu mendekati zina. Untuk memahami pengertian limit fungsi kita awali dengan fungsi berikut.

f(x) = 113

xx

Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berbentuk 00 . Tetapi

dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f(x) dapat dilihat pada gambar berikut.


x y = f(x)

1,25 3,813 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 1 ? 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 0,75 2,313

Gambar 2.2 Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati 3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskan dengan

11lim

3

1

xx

x = 3

dan ini dibaca limit (x3 1)/ (x 1) untuk x mendekati 1 adalah 3. Dalam contoh ini kita menghubungkan limit dengan perilaku fungsi dekat dengan 1, bukannya di 1. Contoh 1

Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan x tentukan x

xx

sinlim0


Penyelesaian:

x y = x

xsin

1 0,84147 0,5 0,95885 0,1 0,99833 0,01 0,99998 0 ? 0,01 0,99998 0,1 0,99833 0,5 0,95885 1 0,84147

Jadi, x

xx

sinlim = 1. 0

Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika adalah sembarang bilangan positif,

maka jarak f(x) ke bilangan L kurang dari dapat dinyatakan dalam bentuk: Lxf )( <

dan ini ekuivalen dengan L < f(x) < L +

yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L , L + ) seperti terlihat pada gambar 2.3 (a). Selanjutnya misalkan adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c sehingga jarak x ke c kurang dari , tetapi x c maka

0 < cx < dan ini ekuivalen dengan

c < x < c + yang berarti x terletak dalam interval terbuka (c , c + ) dan dapat digambarkan seperti terlihat pada gambar 2.3 (b).


f(x) L + L L x

0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx < berlaku Lxf )( < .


Untuk setiap > 0 terdapat bilangan > 0 sedemikian sehingga

apabila 0 < cx < berlaku Lxf )( <

Gambar 2.4 Contoh 2 Buktikan bahwa 5)73(lim

4= xx

Analisis pendahuluan: Misalkan > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < 4x < berlaku 5)73( x < . Perhatikan 5)73( x < 123 x < )4(3 x < 43 x < 4x <

3


Oleh karena itu dapat dipilih = 3 . Tentu saja dapat dipilih bilangan yang kurang

dari 3 .

Bukti:

Ambil sembarang bilangan > 0. Kita pilih > 0, yaitu = 3 . Apabila 0 < 4x <

maka berlaku 5)73( x = 123 x = )4(3 x = 43 x = 3 4x

< 3 = 3.3 = .

Jadi, terbukti . 5)73(lim4

= xx Contoh 3

Buktikan bahwa 52

232lim2

2=

x

xxx

Analisis pendahuluan: Misalkan > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < 2x < berlaku 5

2232 2

x

xx < .

Perhatikan 52

232 2

xxx < 5

2)2)(12(

+x

xx <

5)12( +x < )2(2 x < 22 x < 2x <

2

Oleh karena itu dapat dipilih = 2 atau yang lebih kecil dari

2 .


Bukti:

Ambil sembarang > 0 dipilih = 2 sehingga 0 < 2x < berlaku

52

232 2

xxx = 5

2)2)(12(

+x

xx

= 5)12( +x = )2(2 x = 22 x = 2x

< = 2 <

Berarti terbukti bahwa 52

232lim2

2=

x

xxx

. Contoh 4 Buktikan bmcbmx

cx+=+ )(lim

Analisis Pendahuluan:

Untuk setiap > 0, akan dicari bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x c < berlaku (mx + b) (mc + b) < . Perhatikan: (mx + b) (mc + b) < mx mc < mx c < x c <

m asalkan m 0

Dapat dipilih = m .

Bukti: Untuk m = 0, bukti cukup jelas.

Misal m 0. Untuk setiap > 0 dipilih = m . Oleh karenanya jika 0 < x c <

maka berlaku (mx + b) (mc + b) = (mx + b) (mc + b) = mx mc


= mx c < m

m = .


EugeneNoteUnmarked set by Eugene

EugeneNoteUnmarked set by Eugene

EugeneCross-Out

EugeneReplacement Text22

EugeneNoteAccepted set by Eugene

EugeneInserted Text22

EugeneCross-Out

Contoh 5 Buktikan, jika c > 0, maka cx

cx=lim

Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x c < berlaku

cx < untuk setiap > 0. Perhatikan:

cx = cx

cxcx+

+ ))((

= cx

cx+

= cx

cx+

ccx

Dapat dipilih = c Bukti:

Ambil sembarang > 0 dipilih = c . Oleh karenanya jika 0 < x c < maka berlaku cx

ccx

< cc < .

2.4 Teorema Limit

Teorema 2.4.1 Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

1) kkcx

=lim2) cx

cx=lim

3) )(lim)(lim xfkxkfcxcx =


4) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf

cxcxcx +=+ 5) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf

cxcxcx = 6) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxf

cxcxcx =

7) )(lim

)(lim

)()(lim

xg

xf

xgxf

cx

cxcx

= , asalkan 0 )(lim xgcx

8) n

cxn

cxxfxf

= )(lim)]([lim

9) ncx

ncx

xfxf )(lim)(lim = , asalkan untuk n bilangan genap. 0)(lim > xfcx

Bukti teorema 2.4.1 ini dibiarkan untuk latihan. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai limit suatu fungsi akan menjadi lebih mudah. Contoh 6

Carilah 235lim x

xPenyelesaian: = 5 teorema 2.2.1 3) 2

35lim x

x2

3lim xx

= 5 teorema 2.2.1 8) 2

3lim

xx = 5(3)2 teorema 2.2.1 2) = 45. Contoh 7

Carilah )205(lim 23

xx

Penyelesaian: = teorema 2.2.1 5) )205(lim 23

xx 20lim5lim 32

3 xx x = 45 20 teorema 2.2.1 1)

Fungsi dan Limit Fungsi 24 = 25.


ontoh 8

Carilah

C

xx

x

205lim2

3

= x

x

x

x

3

23

lim

205lim

xx

x

205lim2

3

Penyelesaian: teorema 2.2.1 7)

= 3

205lim 23

xx teorema 2.2.1 2) dan 9)

=325 dari contoh 7.

= 35

gat, bentuk disebut polinom dan hasil bagi

polinom

nn xaxaxaaxf ++++= ...)( 2210

disebut fungsi rasional, mm

nxa+...In

n

xb+... .

eorema 2.4.2 ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.4.1.

engan adanya teorma 2.4.2 maka penentuan nilai limit fungsi polinom atau fungsi

xbxbbxaxaa++++++

2210

2210

Teorema 2.4.2

olinom maka = f(c)

2) Jika f fungsi rasional maka = f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol.

1) Jika f fungsi p )(lim xfcx

)(lim xfcx

T Drasional menjadi sangat mudah, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenuhi.

Contoh 9

Tentukan 613107lim 452

+ xxxxPenyelesaian: = 7(2)5 10(2)4 13(2) + 6 = 44 613107lim 45

2+ xxxx

Contoh 10

Tentukan 863

613107lim 245

2 +

xxxxx

x

Penyelesaian: 863

613107lim 245

2 +

xxxxx

x =

8)2(6)2(36)2(13)2(10)2(7

2

45

+ =

844 = 2

11 .

Contoh 11

Tentukan 1273lim 2

3

1 +++

xxxx

x = 2

3

1 )1(73lim

++ x

xxx

Penyelesaian: Teorema 2.4.2 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di x = 1 adalah nol

dan teorema 2.4.1 bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena limit penyebut nol. Tetapi, karena limit pembilang 11, maka selama x mendekati 1 terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan x cukup dekat dengan 1. Dalam hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain. Contoh 12

Tentukan 6103lim 2

2

2 ++

xxxx

x

Penyelesaian: Sebelum mencoba mengambil limitnya terlebih dahulu diadakan

penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi.

6103lim 2

2

2 ++

xxxx

x =

)3)(2()5)(2(lim

2 ++

xxxx

x

= 35lim

2 ++

xx

x

= 57


Teorema 2.4.3 (Teorema Apit) Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f(x) g(x) h(x) untuk setiap x di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika = = L, )(lim xf

cx )(lim xhcxmaka = L. )(lim xg

cx

Bukti: Diberikan bilangan > 0 Karena = L, berarti terdapat bilangan 1 > 0 sedemikian hingga )(lim xf

cx0 < x c < 1 f(x) L < L < f(x) < L + .

Karena = L, berarti terdapat bilangan 2 > 0 sedemikian hingga )(lim xhcx

0 < x c < 2 h(x) L < L < h(x) < L + Dipilih = min{1, 2} Apabila 0 < x c < maka berlaku

L < f(x) g(x) h(x) < L + L < g(x) < L + g(x) L <

Terbukti = L. )(lim xgcx

Contoh 13

Dapat diselidiki bahwa 1 6

2x x

xsin 1 untuk semua x yang mendekati tetapi

tidak 0. Tunjukkan bahwa x

xx

sinlim0 = 1.


Penyelesaian:

Misalkan f(x) = 1 6

2x , g(x) = x

xsin , dan h(x) = 1, maka = )(lim0

xfx 6

1lim2

0

xx

= 1 dan = 1, sehingga diperoleh )(lim

0xh

x

61lim

2

0

xx

xx

x

sinlim0 1lim0x

1 x

xx

sinlim0 1

Berdasarkan teorema 2.4.3 maka dapat disimpulkan x

xx

sinlim0 = 1.

SOAL 2

1. Untuk fungsi f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai a. f(1) c. f( 21 )

b. f(6) d. f(x1 )

2. Untuk fungsi g(t) = 21 tt

+ , hitunglah masing-masing nilai a. f(1) c. f( 41 )

b. f(9) d. f(4

1

x)

3. Gambarlah grafik fungsi

a. b.

>

+=

1,3

1,4)(

2

xx

xxxf

+

a. (f g)(x) d. (f o g)(x)


+ g 4(x)

c. (g o f)(x)

alam soal nom it-limit tersebut.

b. (f / g)(x) e. f 4(x)

D or 6 10, buktikan lim

2)73(lim3

= xx 6. 8)42(lim

2= xx 7.

8. 10525lim

2

5=

x

xx

71

65lim2

1=

+ x

xxx

9.

10. 22lim2

= xx 11. Buktikan bahwa jika )(lim xf

cx = L dan )(lim xfcx = M, maka L = M.

Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0 F(x) G(x) mua x dekat dengan c,

12.untuk se kecuali mungkin di c, buktikan bahwa jika

= 0 maka = 0.

k soal-soa erikut (no. 13 s.d. 20), tentukan nilai limit fungsi berikut 3.

4.

5.

6.

)(lim xGcx )(lim xFcx

Untu l b

)47(lim3

xx 1

)52(lim 31

xxx

1

)27)(34(lim 320

xxxx

+ 1

2483lim 3

4

2 +

xx

x 1

17. 4

2lim 22

2

uuu

u

18. 5477lim 2

2

1 ++

tttt

t


9. 44

)6)(2(lim 22

2 +++

wwwww

w 1

20. 12

)32)(1(lim 22

1 ++

yyyyy

y

2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan

Definisi

Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis

)(lim xfcx

= L

jika untuk setiap bilangan > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < c x < , maka berlaku Lxf )( < . Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis

)(lim xfcx +

= L

jika untuk setiap bilangan > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x c < , maka berlaku Lxf )( < .

Teorema 2.5.1

Lxfcx

= )(lim jika dan hanya jika = = L )(lim xfcx )(lim xfcx +

Contoh 14

f(x) =

0

sehingga dxcbxx ++ 212 = dxpbx ++ 22)( 1 dan dengan menggunakan (4.4.1)

dapat diperoleh

dxcbxx ++ 212 = p bxp +arctan1 + C (4.4.2)

dengan p = 2bc

Thobirin, Kalkulus Integral 59

Integral

Contoh 9

Tentukan + dxx 23 1 Penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh + dxx 23 1 = 31 arc tan

3x + C

Contoh 10

Tentukan + dxx 912 Penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh + dxx 23 1 = = 31 arc tan 3x + C Contoh 11

Tentukan ++ dxxx 5212 Penyelesaian:

b = 1 c = 5

p = 2415 2 == Dengan rumus (4.4.2) diperoleh ++ dxxx 5212 = 21 arc tan 2 1+x + C

Atau secara langsung dengan cara berikut:

++ dxxx 5212 = ++ dxx 4)1( 12 = 21 arc tan 2 1+x + C

Selanjutnya ingat: dxx1 = ln x + C Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa

dxxg xg )( )(' = ln )(xg + C (4.4.3)


Integral

Contoh 11

Tentukan ++ + dxxx x 42 222 Penyelesaian:

Dengan rumus (4.4.3) diperoleh ++ + dxxx x 42 222 = 42ln 2 ++ xx + C

Contoh 12

Tentukan ++ + dxxx x 136 52 Penyelesaian:

++ + dxxx x 136 52 = ++ ++ dxxx x 136 2)62(221

= ++ + dxxx x 136 )62(221

+ ++ dxxx 13622 = 136ln

21 2 ++ xx + ++ dxx 4)3( 12 2

= 136ln21 2 ++ xx +

21.2 arc tan

23+x + C

= 136ln21 2 ++ xx + arc tan

23+x + C

SOAL

Tentukan:

1. ++ + dxxx x 1310 52 5. ++ + dxxx x 74 232 2. + + dxxx x 115 53

2

6. ++ + dxxx x 136 152 3. = dxxxdxx cossintan 7. + + dxxx x 136 142 4. ++ dxxx 7452 8. + dxxx x 74 232


Integral

4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional Pn(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn dengan an 0 dinamakan polinomial (fungs

suku banyak) berderajat n. Fungsi konstan Po(x) = ao dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol.

Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk )()(

xDxN dengan N(x) dan D(x) polinomial-

polinomial. Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut.

4.5.1 Keadaan N(x) = D(x)

Jika N(x) = D(x) maka berdasarkan rumus (4.4.3) diperoleh:

dxxD xN )( )( = ln )(xD + C dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang.

4.5.2 Keadaan derajat N(x) derajat D(x)

Lakukan pembagian N(x) oleh D(x) sehingga diperoleh bentuk

)()()(

)()(

xDxRxQ

xDxN += dengan derajat R(x) < derajat D(x)

Q(x) adalah polinom, sehingga integralnya sangat mudah.

Contoh 13

1. + dxx x 123

= + dxxxx

12 = ...

2. ++ + dxxx xxx 136 604819224

= +++++ dxxx

xxx136

8646 22 = ...

Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penyelesaian kedua contoh dalam contoh 13 di atas. Dengan demikian yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana

derajat N(x) < derajat D(x) dan N(x) D(x)


Integral

4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x) Pada pembahasan ini N(x) D(x). Tanpa mengurangi umumnya pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu. Untuk

menghitung dxxD xN )( )( , terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahan-pecahan parsialnya. Contoh 14

6466

23

2

+++

xxxx dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut

315

210

11

6466

23

2

+++=+++

xxxxxxx

Jadi

++ + dxxxx x 64 66 232

= +++ dxxdxxdxx 31521011

= +++ dxxdxxdxx 3115211011 = Cxxx ++++ 3ln152ln101ln Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan

)()(

xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari

cara memisah )()(

xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut.

Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial

Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: 1) derajat N(x) < derajat D(x) 2) koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu 3) N(x) dan D(x) tidak lagi mempunyai faktor persekutuan


Integral

Menurut keadaan faktor-faktor D(x), dalam memisahkan )()(

xDxN menjadi pecahan-

pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, yaitu: a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang) c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama.

a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x a, x b, x c, dan x d, maka D(x) = (x a) (x b) (x c) (x d).

Dibentuk )()(

xDxN =

dxD

cxC

bxB

axA

+++ (1) sebagai suatu identitas dalam x, sehingga untuk setiap nilai x yang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam (1) sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta yang masih akan dicari nilainya.

Contoh 15

Pisahkan 64

6623

2

+++

xxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian: 64 23 ++ xxx = 0 (x 1) (x + 2) (x + 3) = 0

Dibentuk

32164

6623

2

++++=+++

xC

xB

xA

xxxx (2)

)3)(2)(1(

)2)(1()3)(1()3)(2(64

6623

2

++++++++=++

+xxx

xxCxxBxxAxxx

x

)2)(1()3)(1()3)(2(66 2 ++++++=+ xxCxxBxxAx untuk x = 1 )4)(3(12 A= A = 1 untuk x = 2 30 = B(3)(1) B = 10 untuk x = 3 60 = C(4)(1) C = 15 Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam (2) maka diperoleh

315

210

11

6466

23

2

+++=+++

xxxxxxx


Integral

sehingga

++ + dxxxx x 64 66 232

= +++ dxxdxxdxx 31521011 = Cxxx ++++ 3ln152ln101ln

Pada bagian ini dijumpai bentuk dxax 1

b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang) Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x a, x b, x c, x c, x d, x d, dan x d, maka D(x) = (x a) (x b) (x c)2 (x d)3. Selanjutnya dibentuk

)()(

xDxN = 322 )()()( dx

Gdx

Fdx

Ecx

Dcx

Cbx

Bax

A++++++ (3)

Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama yang sesuai dengan akar sama c dan d.

Contoh 16

Pisahkan 3)1)(2( + xxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

Dibentuk

323 )1()1(12)1)(2( ++++++=+ xD

xC

xB

xA

xxx (4)

)2()1)(2()1)(2()1( 23 ++++++= xDxxCxxBxAx untuk x = 1 1 = 3D untuk x = 2 2 = 27A untuk x = 0 0 = A 2B 2C 2D untuk x = 1 1 = 8A 4B 2C D Dari keempat persamaan tersebut diperoleh:

272=A ,

272=B ,

276=C ,

31=D

Jadi 323 )1(31

)1(276

1272

2272

)1)(2( +++

++

+=+ xxxxxxx


Integral

Selanjutnya dapat dicari integral + dxxx x 3)1)(2( + dxxx x 3)1)(2( = ++++++ dxxdxxdxxdxx 33

1

2276

272

272

)1()1(12

= ...

Pada bagian ini dijumpai bentuk dxax 1 dan dxax n)( 1 n = 2, 3, ...

c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan Ingat teorema dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real

sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a + bi suatu akar maka a bi juga akar persamaan itu

Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a + bi akar persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a bi, sehingga salah satu faktor D(x) adalah {x (a + bi)}{ x (a bi)} = (x a)2 + b2 yang definit positif. Misal D(x) = (x p) (x q) 2 {(x a)2 + b2}{(x c)2 + d2} maka perlu dibentuk

)()(

xDxN = 22222 )()()( dcx

GFxbax

EDxqx

Cqx

Bpx

A+

+++++++ (5)

Contoh 17

Pisahkan 1

33 x

x atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

133 x

x = )1)(1(

32 ++ xxxx

Dibentuk 111

323 ++

++= xxCBx

xA

xx

)1)(()1(3 2 ++++= xCBxxxAx untuk x = 1 3 = 3A untuk x = 0 0 = A C untuk x = 1 3 = A + 2B 2C Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh 1=A , 1=B , dan , sehingga 1=C


Integral

11

11

13

23 ++++= xx

xxx

x

Jadi ++ ++= dxxx xdxxdxx x 111113 23 = ... = ...

Pada bagian ini dijumpai bentuk dxax 1 , dxax n)( 1 n = 2, 3, ... , dan + + dxbax BAX 22)(

d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama

Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a + bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a bi, dan faktor-faktor dari D(x) yang sesuai dengan akar-akar ini adalah {(x a)2 + b2}k. Misal D(x) = (x p) (x q) 2 {(x a)2 + b2}{(x c)2 + d2}3 maka perlu dibentuk

)()(

xDxN = 22222222 }){()()()( dcx

JHxdcx

GFxbax

EDxqx

Cqx

Bpx

A++++

+++++++

322 }){( dcxLKx+

++

Contoh 18

Pisahkan 2223

)1)(2(1523

++

xxxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

Dengan cara seperti yang telah diberikan sebelumnya didapatkan

22

23

)1)(2(1523

++

xxxxx = 222 )1(1

12

1++

xx

xx

x


Integral

Jadi + + dxxx xxx 2223

)1)(2(1523 = ++ dxx xdxxxdxx 222 )1(1121

Pada bagian ini dapat muncul bentuk + + dxbax BAX n}){( 22 , n = 2, 3, ... , dan

Dalam mencari dxxD xN )( )( kita dihadapkan kepada empat jenis integral yang berbentuk:

(1) dxax 1 (2) dxax n)( 1 n = 2, 3, ... (3) + + dxbax BAX 22)( (4) + + dxbax BAX n}){( 22 , n = 2, 3, ...

Tiga bentuk yang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori yang sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan substitusi y = x a sebagai berikut.

+ + dxbax BAX n}){( 22 = + ++ dyby BaAAy n}{ 22 = +++++ dyby BaAby bydA nn }{}{ )(2 2222

22

Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk

nudu , n = 2, 3, ... Sedangkan integral pada suku keduanya dapat diubah menjadi ++ dyby BaA n}{ 22 =

+

+nn

by

dyb

BaA22

1

= { } ++ nn t

dtb

BaA212 1

dengan byt =

Untuk menghitung integral { } + ntdt

21dapat digunakan rumus reduksi berikut


Integral

{ } + ntdt

21 = { } +

++ 1212 12232

)1)(22( nn tdt

nn

tnt

Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut.

Contoh 19

Selesaikan ++ + dxxx x 22 )134( 3 . Penyelesaian:

++ + dxxx x 22 )134( 3 = ++ ++ dxxx x 2221

)134(1)42(

= +++++ + dxxxdxxx x 222221 )134( 1)134( 42 = +++++ ++ dxxxx xxd 2222

2

21

}9)2{(1

)134()134(

= +++++ ++ dxxxx xxd 22222

21

}9)2{(1

)134()134(

= [ ]{ } +++++ dxxxx 22221 13/)2(9 11341 = [ ]{ } +++++ dxxxx 22811221 13/)2( 11341

Untuk [ ]{ } ++ dxx 22811 13/)2( 1 substitusikan dxdtxt 31,3 2 =+= sehingga

[ ]{ } ++ dxx 22811 13/)2( 1 = { } + dtt 22271 11 = { }

+++ dtttt 1122.2 32.2)1)(22.2(271 2

= { }

+++ dtttt 1121)1(2271 2 =

++ tt

t arctan21

)1(2271


Integral

=

+++

++ 3

2arctan21

)1(2.32

271

32

xxx

=

++++

+3

2arctan21

)2(262

271 x

xx

= 3

2arctan541

1022

271 +++

+ xxx

Jadi ++ + dxxx x 22 )134( 3 = [ ]{ } +++++ dxxxx 22811221 13/)2( 11341 =

1341

221

++ xx + 32arctan

541

1022

271 +++

+ xxx + C.

LATIHAN

1. + dxxx x 432 4. + dxxx x )1()1( 222 2. + + dxxx x )4()1( 32 5. + dxxx xxx 2

234 2322

3. + dxx x 22 )1( 6. ++ dxx xx 3223

)2(14

4.6 Integral Fungsi Trigonometri

4.6.1 Rumus-rumus Sederhana

dxxcos = sin x + C dxxtan = ln cos x+ C dxxsin = cos x + C dxxcot = ln sin x+ C dxx2sec = tan x + C dxxx tansec = sec x + C dxx2csc = cot x + C dxxx cotcsc = csc x + C dxxsec = ln sec x + tan x + C dxxcsc = ln csc x + cot x + C

4.6.2 Bentuk dxxxR cos)(sin dan dxxxR sin)(cos Jika R fungsi rasional maka dxxxR cos)(sin = )(sin)(sin xdxR = dyyR )(


Integral

dxxxR sin)(cos = )(cos)(cos xdxR = dttR )(

Dengan mengingat rumus cos2 x + sin2 x = 1, maka:

dxxxxR cos)cos,(sin 2 = dyyyR )1,( 2 dxxxxR sin)sin,(cos 2 = dtttR )1,( 2

Contoh 20

1. + dxxxx cos)7sincos2( 22. dxx3sin

4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus

sin x sin y = )}cos(){cos(21 yxyx + sin x cos y = )}sin(){sin(21 yxyx ++ cos x cos y = )}cos(){cos(21 yxyx ++ sin2 x = }2cos1{21 x cos2 x = }2cos1{21 x+

Contoh 21 Carilah

1. dxxx 2sin3sin2. dxxx 2cos3sin3. dxxx 2cos3cos4. dxx2sin5. dxx4sin

4.6.4 Substitusi xy 21tan=

Jika R(sin x, cos x) fungsi rasional dalam sin x dan cos x, maka

dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam y dengan

menggunakan substitusi

dxxxR )cos,(sinxy 21tan= .


Integral

xy 21tan= x = 2 arc tan y dyydx 212+=

Selanjutnya perhatikan

21 y+

x21

y

1 Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa

x21sin = 21 yy+

dan x21cos = 211

y+

sin x = ).2sin( 21 x

= xx 2121 cossin2 = 2 21 yy+

21

1y+

= 212

yy

+

Jadi sin x = 212

yy

+ .

Dengan menggunakan rumus cos x = ).2cos( 21 x diperoleh

cos x = 22

11

yy

+

tan x = 212

yy

cot x = yy

21 2

Contoh 22

Carilah: 1. + xdxsin1 2. + xxdxcossin 3. + xdxcos1 4. dxxcsc


Integral

4.6.5 Integral R(tan x) Jika integran fungsi rasional dalam tan x saja, maka dapat dijadikan integral fungsi rasional dalam y dengan substitusi y = tan x, sehingga x = arc tan y dan

21 ydydx += .

Jadi += dyyyRdxxR 21 )()(tan Contoh 23

Carilah: 1. 2. dxxtan + xdxtan1

4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Jika n bilangan bulat positif, maka:

=+ dyydxx nn )1(sin 212 dengan y = cos x =+ dttdxx nn )1(cos 212 dengan t = sin x Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus:

+= dxxnnn xxdxx nn

n 21

cos1cossincos

+= dxxnnn xxdxx nn

n 21

sin1sincossin

+= dxxn xdxx nn

n 21

tan1

tantan

= dxxn xdxx nn

n 21

cot1

cotcot

+= dxxnnn xxdxx nn

n 21

sec12

1secsinsec

+= dxxnnn xxdxx nn

n 21

csc12

1csccoscsc

Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini.


Integral

LATIHAN

4.7 Integral Fungsi Irrasional

Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarnya integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri.

4.7.1 Rumus yang perlu dihafal

1) dxxa 22

1 = Cax +arcsin

2) dxaxx

a 22 = arc sec Cax +

3) dxax + 22

1 = Caxx +++ 22ln

4) dxax 22

1 = Caxx ++ 22ln

5) dxxa 22 = Caxaxax ++ arcsin222

22

6) dxax + 22 = Caxxaaxx +++++ 22222 ln22 7) dxax 22 = Caxxaaxx +++ 22222 ln22 Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan

substitusi axy = . Sedangkan rumus-rumus yang lain dapat dibuktikan dengan

menggunakan metode yang akan diterangkan pada bagian 4.7.4.


Integral

4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku

ntuk irrasional dari satu macam suku, misalnya x, Jika integran hanya memuat be

maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi n xy = dimana n kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar.

Contoh 24

+ dxxx3

6 xy =1

diambil substitusi , sehingga dan

.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional

6yx = dyydx 56=

cbxax ++2 Dalam hal ini

4

cbxax ++2 se tubagai satu-sa nya bentuk irrasional di dalam tegran dapat dintegran, maka in ijadikan rasional dengan substitusi

cbxax ++2 = yax + , jika a > 0 atau

cbx cxy +ax 2 ++ = , jika c 0 Dengan substitusi yang pertama diperoleh

baycyx

=2

)( 2 dan dx dapat dinyatakan

ke dalam bentuk rasional dalam y kali dy.

Contoh 25

+ dxxxx 26)3(1 yxxx +=+ 2622

diambil substitusi , sehingga

)3(2)2( 2

+=

yyx dan dy

yyydx 2

2

)3(26

21

+++= . Selanjutnya dapat diselesaikan seperti

integral raasional

.7.4 Substitusi Trigonometri mus trigonometri

+ tan2 x = sec2 x bentuk-bentuk irra rasional fungsi

4Dengan memperhatikan ru

cos2 x + sin2 x = 1 dan 1sional berikut dapat dijadikan bentuk

trigonometri.


Integral


entuk Substitusi Diferensial B22 xa x = a sin dx = a cos d 22 ax x = a sec dx = a sec tan d 22 xa + x = a tan dx = a sec2 d

Contoh 26

= Caxaxax ++ arcsin

22

222 dxxa 221. Buktikan

dxx 29

1 2. Gunakan substitusi x = a sin untuk menentukan

dxxxx + 26)3(

12

3. Carilah

ATIHAN 4.7 L

1. d 1 xxx 22 1 2. dx

xx 21

dxxxx + 14)2(

12

3.

dxxxx + 84)2(

12

4.

Integral Tertentu


INTEGRAL TERTENTU

5.1 Pengertian Integral Tertentu Definisi 5.1.1

Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, , xn} dari

[a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < < xn = b. Jika P = {x0, x1, x2, , xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan

sebagai P = max{xi xi-11 = 1, 2, 3, , n}. a = x0 x1 x2 xn = b. Contoh 1:

Pada interval [3, 3], suatu partisi P = {3, 211 , 21 , 31 , 2, 3}mempunyai norm:

P = max{ 211 (3), 21 ( 211 ), 31 ( 21 ), 2 31 , 3 2}

= max{ 23 , 1, 65 , 35 , 1}

= 35 .

Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, , xn} suatu partisi pada

[a,b], wi [xi-1, xi], dan xi = xi xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada

[a,b].

=

n

iii xwf

1)(

w1 w2 w3 w4 wi wn x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1

y = f(x)

5

Integral Tertentu


Contoh 2: Fungsi f pada [3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 1 dan P = {3, 211 , 21 , 31 , 2, 3} partisi

pada [3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = 2, w2 = 21 , w3 = 0, w4 = 211 , w5 = 322 .

w1 = 2 f(w1) = 3 x1 = 23 f(w1).x1 = 29 w2 = 21 f(w2) = 43 x2 = 1 f(w2).x2 = 43 w3 = 0 f(w3) = 1 x3 = 65 f(w3).x3 = 65 w4 = 211 f(w4) = 45 x4 = 35 f(w4).x4 = 1225 w5 = 322 f(w5) = 955 x5 = 1 f(w5).x5 = 955 Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas

adalah = =

5

1)(

iii xwf 9

100 .

Jika P = {3, 211 , 1, 21 , 31 , 2, 2 21 , 3} partisi pada [3, 3] dan w1 = 2, w2 = 1, w3 = 21 , w4 = 0, w5

= 211 , w6 = 31 , serta w7 =2 43 tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [3, 3]

bersesuaian dengan partisi P ini. 2

Definisi 5.1.2

1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: Lxwfn

iiiP=

= 10)(lim jika dan hanya jika

untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan positif sehingga untuk setiap partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b] dengan P < , berlaku

=

n

iii Lxwf

1)( < .

2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan =

n

iiiP

xwf10

)(lim ini ada, maka limit tersebut

dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f

dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis . b

a

dxxf )(

Jadi = ba

dxxf )( =

n

iiiP

xwf10

)(lim

3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. = ab

dxxf )( ba

dxxf )(

b. Jika a = b maka = = 0 ba

dxxf )( aa

dxxf )(

Integral Tertentu


Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka

=

0)( >xf

ba

dxxf )( =

n

iiiP

xwf10

)(lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva

, di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b. )(xfy = Contoh 3:

Jika f(x) = x + 3, tentukan .

+3

2

)3( dxx

Penyelesaian: -3 -2 -1 0 1 2 3

Y f(x) = x + 3

3

Buat partisi pada [2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang

setiap interval bagian adalah x = n5 .

Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.

Akan dicari nilai =

n

iiiP

xwf10

)(lim .

X x0 = 2

x1 = 2 + x = 2 + n5

x2 = 2 + 2x = 2 + 2( n5 )

x3 = 2 + 3x = 2 + 3( n5 )

. : xi = 2 + i.x = 2 + i( n

5 )

. : xn = 2 + n.x = 2 + n( n

5 ) = 3

Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, , n dipilih wi = xi maka wi = 2 + i( n5 )= 2 +

ni5 , sehingga

Integral Tertentu


f(wi) = wi + 3

= (2 + ni5 ) + 3

= 1 + ni5

Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah

=

n

iii xwf

1

)( = =

+n

i nni

1

551

= =

+n

i ni

n 1515

= ==

+n

i

n

i ni

nn 115515

= ==

+n

i

n

ii

nn 1212515

= )}1({25)(5 212 ++ nnnnn

= 5 +

+n11

225

Jika P 0 maka n , sehingga:

=

n

iiiP

xwf10

)(lim =

++ nn11

2255lim

= 2117

Jadi =

+3

2

)3( dxx 2117 .

Contoh 4:

Tentukan . ba

dx

Penyelesaian:

Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b] dan sembarang titik wi [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, , n, maka

Integral Tertentu


=

n

iii xwf

1)( = dan xi = xi xi-1

=

n

iix

1.1

= =

n

iii xx

11 )(

= (x1 x0) + (x2 x1) + (x3 x2) + + (xn xn-1)

= xn x0

= b a

Jadi =

n

iiiP

xwf10

)(lim = )(lim0

abP

= b a

Dengan demikian = b a. ba

dx

Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)

Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b]

(atau F(x) = f(x) untuk setiap x [a,b]), maka : = F(b) F(a) ba

dxxf )(

F(b) F(a) biasa ditulis [ ]baxF )( Bukti:

Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b]. Karena F(x) = f(x) untuk setiap

x [a,b] maka F(x) = f(x) untuk setiap x [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, , n. Berdasarkan teorema nilai rata-rata maka terdapat wi [xi-1, xi] sehingga F(xi) F (xi-1) = F(wi) (xi xi-1)

= f(wi) (xi xi-1) i = 1, 2, 3, , n

Diperoleh:

=

n

iii xwf

1)( =

=

n

iiii xxwf

11 ))((

= =

n

iii xFxF

11 )}()({

= {F(x1) F(x0)} + {F(x2) F(x1)} + {F(x3) F(x2)} + + {F(xn) F(xn-1)}

= F(xn) F(x0)

= F(b) F(a)

Integral Tertentu


=

n

iiiP

xwf10

)(lim = )}()({lim0

aFbFP

= F(b) F(a).

Jadi = F(b) F(a) ba

dxxf )(

Contoh 5

+3

2

)3( dxx = [ ]3 2221 3 + xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 221221 ++ = 2117 . Contoh 6

Tentukan integral berikut.

1.

2

2

3dxx

2.

dxxsin

Teorema 5.1.4

Jika f integrable pada [a,b] dan c (a,b) maka = + ba

dxxf )( ca

dxxf )( bc

dxxf )(

Teorema 5.1.5

1. k konstanta = ba

b

a

dxxfkdxxkf )()(

2. +=+ ba

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({

3. Jika f(x) 0 untuk setiap x [a,b] maka 0. ba

dxxf )(

4. Jika f(x) g(x) untuk setiap x [a,b] maka ba

dxxf )( ba

dxxg )(

Integral Tertentu


5.2 Aplikasi Integral

5.2.1 Luas Daerah

Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan

uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris

menyatakan luas daerah di antara kurva

0)( >xf

)(x

ba

dxxf )(

fy = dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis x = a dan x = b. Jadi

=b

a

dxxfA )(

Contoh 7

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = 2 dan

garis x = 3.

Penyelesaian:

A = =

+3

2

)3( dxx [ ]3 2221 3 + xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 221221 ++ = 2117 .

Contoh 8

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = 2 dan garis

x = 2.

3xy =

Penyelesaian:

Integral Tertentu


Y

)(xfy =

)(xgy =

a b X

Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(xfy = dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut

)(xgy =

{ } =b

a

dxxgxfA )()(

b

Contoh 9

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan . 4xy = 22 xxy =Penyelesaian:

Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan

yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.

24 2 xxx =

sehingga luasnya adalah A = = 1

0

42 )2( dxxxx1

0

532

51

31

xxx = 157

51

311 = .

22 xxy =

Y

4xy =

X 0

Integral Tertentu


Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(yx = dan )(yx = serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini, maka luas daerahnya adalah sebagai

berikut

{ } =d

c

dyyyA )()(

Y

d x = (y) x = (y)

c

X 0

Contoh 10

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan xy 42 = 434 = yx . Penyelesaian:

434 = yx

Menentukan batas-batas dengan mencari akar-akar persamaan yang

diperoleh y = 1 dan y = 4.

432 += yy

xy 42 = ekuivalen dengan 241 yx = dan 434 = yx ekuivalen dengan )43(

41 += yx

Y

0

xy 42 =

X

Integral Tertentu


sehingga luasnya adalah A =

+

4

1

2

41)43(

41 dyyy = {

+

4

1

24341 dyyy } =

24125

.

5.2.2 Volume Benda Putar

a. Metode Cincin

Y

0

y = f(x)

a b

X 1ix ix wi

f(wi)

Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis-garis x = a dan x = b diputar

mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari

sebagai berikut.

Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, , n dipilih satu

titik wi [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan lebar xi = xi xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu X, maka diperoleh silinder hampiran dengan volume

{ } iii xwfV = 2)( f(xi)

xi

Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann

{ }==

= ni

ii

n

ii xwfV

1

2

1)(

Apabila P 0 maka diperoleh volume benda putar yang dimaksud, yaitu

Integral Tertentu


{ }=

= ni

iiPXxwfV

1

2

0)(lim

= = { }b

a

dxxf 2)( { }b

a

dxxf 2)(Jadi Jadi

{ }=b

aX dxxfV

2)( { }=b

aX dxxfV

2)(

Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva )(xfy )(xfy

= dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

)(xgy =

{ } { }[ ] = ba

X dxxgxfV22 )()(

0 Xa b

Y y = f(x)

y = g(x)

Dengan cara sama, jika daerah yang dibatasi kurva x = (y), sumbu Y, garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang

terjadi adalah.

{ }=d

cY dyyV

2)(

Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx = dan )(yx = serta garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka

volume benda yang terjadi adalah

Integral Tertentu


{ } { }[ ] = dc

Y dyyyV22 )()(

Contoh 11

Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva

xy = , sumbu X dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X. Penyelesaian:

xy =

Y

X 0

4

{ }= 40

2dxxVX = 82

1 4

0

24

0

=

= xdxx

Contoh 12

Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva

, sumbu Y dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu Y. 3xy =

Penyelesaian:

3 yx =

Y

X 0

3

Karena maka3xy = 3 yx = , sehingga

{ } 5

9953 33

53

0

3

0

23 3

2 =

=== ydyydyyVY

Integral Tertentu


Contoh 13

nda putar yang terjadi apabila daeTentukan volume be rah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva

diputar mengelilingi sumbu X.

Penyel

Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah di (0, 0) dan (2, 4). Jika

aka

2xy = dan y x82 =esaian:

xy 82 = xy 8=m . Perhatikan gambar berikut.

{ } { }[ ] [ ] 481488 2522 42 222 = === xxdxxxdxxxV entukan pula apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y.

benda pejal (ruang antara tabung besar dan kecil)

adalah

55 000 XT

b. Metode Kulit Tabung

Perhatikan gambar di samping.

Volume

h)rrV ( 212

2 = hrr )( 21

22 =

hrrrr ))(( 1212 +=

Integral Tertentu


hrrrr 12 += )(2

2 12

Rumusan ini dapat ditulis sebagai

V rhr = 2 dengan

212 rrr += dan 12 rrr =

Misalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X serta garis-garis x = a

dan x = b. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putarnya,

maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.

titik

Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, , n dipilih satu

21+= iii xxw [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan

dan lebar xi = xi xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu Y, maka diperoleh tabung hampiran dengan volume

iiii xwfwV = )(2 Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann

Apabila

= nn == i

iiii

i xwfwV11

)(2

P 0 maka diperoleh volume benda putar yang dim ksud, yaitu a

=

= fni

iiiPYxwwV

10)(lim2

Integral Tertentu


=

Jadi

a kurva

b

a

dxxfx )(2

=Y dxxfxV )(2 b

a

Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh du )(xfy = dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputa

sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

]

serta garis-garis y = c dan y = d i

sumbu putarnya, maka volume

)(xgy = r mengelilingi

[ =b

Y dxxgxfxV )()(2 a

oleh kurva x = (x), sumbu Y

Dengan cara sama, misalkan diketahui daerah dibatasi

Y

. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebaga

benda putar yang terjadi adalah

=d

cX dyyyV )(2

y = f(x)

y = g(x)

0 Xa b xi

c

d

Y

X 0

y = (x)

Integral Tertentu


Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx = dan )(yx = serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X

sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

Tentukan volum dibatasi oleh kurva

[ ] =d

cX dyyyyV )()(2

c

d

Y

0

x =

X

(y) x

Contoh 14

e benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang

xy 1= , sumbu X, dan garis x = 1 diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian:

328

322212

4

1

234

1

214

1

=

=== xdxxdxxxVY

Contoh 15

Diketahui suatu daerah tertutup dibatasi oleh kurva garis xt

Dalam hal ini 0>

ry = , sumbu X, dan garis x = t. r dan 0>t . Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X, tentukan

olume benda yang terjadi dengan dua cara. v

= (y)

Integral Tertentu


aian:

Dengan metode cincin

Penyeles

Cara I

=

t

X dxxtrV

0

2

X

xtry =

Y

0 t

r =t

dxxtr

0

22

2

t

xtr

0

32

2

31

=

tr 231=

Cara II

Dengan metode kulit tabung. Karena xtry = y

rtx = , maka

=r

X dyyrttyV

0

)(2

=r

dyyr

yt0

2 )1(2 r

yr

yt0

32

31

212

=

= 2231

212 rrt

tr 231=

5.2.3 P

n parameter x = f(t), y = g(t),

a t b. Panjang kurva tersebut dapat dicari sebagai berikut.

X

anjang Kurva

Misalkan suatu kurva mulus diberikan oleh persamaa

yrtx =

Y

0 t

r x = t

yt rt

Integral Tertentu


Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, , tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < < tn = b, maka kurva akan terbagi menjadi n bagian oleh titik-titik Q0, Q1, Q2, , Qn-1, Qn. Perhatikan gambar

berikut.

Pada bagian ke i, panjang busur Qi-1Qi , yaitu is dapat didekati oleh . Dengan Pythagoras kita peroleh

iw

iw = 22 )()( ii yx + [ ] [ ]2121 )()()()( += iiii tgtgtftf

Selanjutnya berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata pada Derivatif tentu terdapat ),( 1 ii ttt dan demikian sehingga ),( 1 ii ttt

))((')()( 11 = iiiii tttftftf ))((')()( 11 = iiiii tttgtgtg

atau

iiii ttftftf = )(')()( 1 iiii ttgtgtg = )(')()( 1

dengan . 1= iii tttOleh karena itu diperoleh

[ ] [ ]22 )(')(' iiiii ttgttfw += [ ] [ ] iii ttgtf += 22 )(')('

Integral Tertentu


dan panjang polygon dari segmen garis

[ ] [ ]==

+= ni

iii

n

ii ttgtfw

1

22

1)(')('

Apabila P 0 maka diperoleh panjang kurva seluruhnya adalah

[ ] [ ] [ ] [ ] +=+==

b

a

n

iiiiP

dttgtfttgtfL 221

22

0)(')(')(')('lim

Jadi

[ ] [ ] +=b

a

dttgtfL 22 )(')('

atau

+

=b

a

dtdtdy

dtdxL

22

Jika persamaan kurvanya adalah y = f(x) dengan a x b, maka

+=b

a

dxdxdyL

2

1

dan jika persamaan kurvanya adalah x = (y) dengan c y d, maka

+=

d

c

dydydxL

2

1

Contoh 16

Hitunglah keliling lingkaran . 222 ryx =+Penyelesaian:

Lingkaran tersebut dapat ditulis dalam persamaan parameter sebagai

x = r cos t, y = r sin t dengan 20 t , sehingga trdtdx sin= dan tr

dtdy cos= .

Akibatnya [ ] rtrdtrdtt 20

2 = rtrL

2cossin 202

0

222 ==+= Contoh 17

Menggunakan integral hitunglah panjang ruas garis yang menghubungkan titik P(0, 1) dan

Q(5, 13).

Integral Tertentu


Penyelesaian:

Persamaan ruas garis PQ adalah 15

12 += xy , sehingga 5

12=dxdy

. Oleh karena itu

135

135

135

1215

0

5

0

5

0

2

=

==

+= xdxdxL

Contoh 18

Menggunakan integral hitunglah panjang kurva 23

xy = dari (1, 1) dan (4, 8). Penyelesaian:

23

xy = , maka 21

23 x

dxdy = . Oleh karenanya

63,78

1310278

491

278

491

231

23

23

4

1

23

4

1

4

1

2

21

=

+=+=

+= xdxxdxxL

Diferensial Panjang Busur

Misalkan f suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a, b]. Untuk setiap ),( bax didefinisikan s(x) sebagai

+=x

a

duufxs 2)]('[1)(

maka s(x) adalah panjang kurva y = f(u) dari titik (a, f(a)) ke titik (x, f(x)), sehingga

22 1)]('[1)('

+=+==

dxdyxf

dxdsxs

a

Y

X 0

s(x)

x

(x, f(x))

(a, f(a))

Integral Tertentu


Oleh karenanya diferensial panjang kurva ds dapat ditulis sebagai

dxdxdyds

2

1

+=

Selanjutnya hal ini dapat ditulis dalam bentuk-bentuk

dydydxds

2

1

+= atau dt

dtdy

dtdxds

22

+

=

Untuk keperluan mengingat, dapat pula ditulis dalam bentuk: 222 )()()( dydxds +=

5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar

Kita mulai dengan mencari rumus untuk luas permukaan (selimut) kerucut terpancung.

Misalkan jari-jari lingkaran alas kerucut terpancung adalah r1 dan jari-jari lingkaran atasnya r2

sedangkan panjang ruas garis pada pembangun kerucut antara dua lingkaran itu (rusuk kerucut

terpancung) l, maka luas selimut kerucut terpancung itu adalah

lrrA

+=2

2 21

Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang

itu, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaan dapat dicari sebagai

berikut.

Integral Tertentu


Pemutaran terhadap sumbu X

Misalkan suatu kurva mulus pada kuadran pertama diberikan oleh persamaan parameter

x = f(t), y = g(t), a t b. Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, , tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < < tn = b, maka kurva terbagi menjadi n bagian. Misalkan panjang kurva bagian ke i dan ordinat sebuah titik pada bagian ini. Apabila kurva itu diputar mengelilingi

sumbu X, maka ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian ini akan membentuk

permukaan bagian. Luas permukaan bagian ini dapat dihampiri oleh luas kerucut terpancung,

yaitu

isiy

is

ii sy 2 .

Apabila kita jumlahkan luas-luas ini dan kemudian mengambil limitnya dengan membuat

0P , kita akan memperoleh hasil yang kita definisikan sebagai luas permukaan benda putar tersebut. Jadi luasnya adalah

===

**

*10

22lim dsysyAn

iiiP

Dengan menggunakan rumus A tersebut di atas, kita harus memberi arti yang tepat pada y, ds,

dan batas-batas pengintegralan * dan **.

Misalkan apabila permukaan itu terbentuk oleh kurva )(xfy = , a x b, yang diputar mengelilingi sumbu X, maka kita peroleh untuk luasnya:

dxxfxfdsyAb

a +== 2

**

*

)]('[1)(22 Contoh 19

Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva xy = , 0 x 4, diputar mengelilingi sumbu X.

Integral Tertentu


Penyelesaian:

Misalkan xxf =)( maka x

xf2

1)(' = , sehingga

18,36)117(6

)14(32

4114

2112 2

34

0

234

0

4

0

2

=

+=+=

+= xdxxdxxxA

Apabila persamaan kurva yang bersangkutan diketahui dalam bentuk persamaan

parameter x = f(t), y = g(t), a t b, maka rumus untuk luas permukaan menjadi:

dttgtftgdsyAb

a +== 22

**

*

)]('[)]('[)(22 Contoh 20

Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila suatu busur dari sikloid

20),cos1(),sin( == ttayttax diputar mengelilingi sumbu X. Penyelesaian:

Y

0 X 2

Misalkan dan )sin()( ttatf = )cos1()( tatg = , maka )cos1()(' tatf = dan , sehingga: tatg sin)(' =

dttatataA +=

2

0

2222 sin)cos1()cos1(2

dttta =

2

0

2 cos22)cos1(2

dtta =

2

0

23

2 )cos1(22

Integral Tertentu


dtta

=

2

0

32

2sin8

dttta

=

2

0

22

2sin

2cos18

Dengan substitusi

=2

cos tu maka dttdu

=2

sin21

Untuk t = 0 u = 1 Untuk t = 2 u = 1

Jadi 21

1

321

1

22

364

3116)1(16 auuaduuaA =

==

Pemutaran terhadap sumbu Y

Analog:

Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sumbu Y, maka hasilnya

berupa permukaan benda putar dengan luas permukaannya adalah:

=**

*

2 dsxA Contoh 21

Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila kurva ayayax = ,22 diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian:

Misalkan 22)( yaygx == maka 22

)('ya

yyg

= a

a

X

X 0 sehingga

+==

a

a

dyya

yyadsxA 222

22**

*

122

[ ]

===a

a

aa ayadya

2422

Dengan demikian luas permukaan bola dengan jari-jari a adalah 4a2.

Integral Tertentu


5.2.5 Usaha atau Kerja

Dalam fisika kita tahu bahwa apabila ada gaya F yang konstan menggerakkan suatu

benda sehingga bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dengan arah gaya dan gerakan benda

sama, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah

W = F . d

Apabila satuan untuk F adalah pond an satuan jarak adalah kaki maka satuan kerja

adalah kaki pond. Apabila gaya diukur dengan satuan dyne dan jarak dengan satuan sentimeter

maka satuan kerja adalah dyne cm atau erg. Apabila gaya diukur dengan satuan Newton dan

jarak dengan satuan meter maka satuan kerja adalah Newton meter atau joule.

Pada kenyataannya biasanya gaya itu tidak konstan. Misalkan sebuah benda digerakkan

sepanjang sumbu X dari titik x = a ke titik x = b. Misalkan gaya yang menggerakkan benda

tersebut pada jarak x adalah F(x) dengan F suatu fungsi kontinu. Untuk menentukan kerja yang

dilakukan gaya tersebut dapat dicari sebagai berikut.

Interval [a,b] dibagi dengan menggunakan partisi P = {x0, x1, x2, , xn}. Pada setiap

interval bagian [xi-1, xi] gaya F dapat dihampiri oleh gaya konstan F(wi), dengan wi [xi-1, xi] untuk setiap i = 1, 2, , n. Jika xi = xi xi-1, maka kerja yang dilakuka gaya F pada interval bagian [xi-1, xi] adalah

Wi = F(wi) xi. Jika dijumlahkan kemudian dicari limitnya untuk 0P maka diperoleh kerja yang dilakukan gaya F pada interval [a, b], yaitu

===

b

a

n

iiiP

dxxFxwFW )()(lim10

Jadi

=b

a

dxxFW )(

a. Aplikasi pada Pegas

Dengan menggunakan hokum Hooke yang berlaku dalam fisika, gaya F(x) yang

diperlukan untuk menarik (atau menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami adalah

F(x) = k.x

Di sini, k adalah konstanta dan disebut konstanta pegas yang nilainya positif dan tergantung

pada sifat fisis pegas. Semakin keras pegas, maka semakin besar nilai k.

Integral Tertentu


Contoh 22

Apabila panjang alami sebuah pegas adalah 10 inci. Untuk menarik dan menahan pegas sejauh

2 inci diperlukan gaya 3 pon. Tentukan kerja yang dilakukan gaya untuk menarik pegas itu

sehingga panjang pegas 15 inci.

Penyelesaian:

Menurut hokum Hooke gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x inci

adalah F(x) = k.x. Dari sini dapat dicari nilai konstanta k. Diketahui bahwa F(2) = 3, sehingga

3 = k.2 atau 23=k . Oleh karena itu xxF

23)( = .

Apabila pegas dalam keadaan alami sepanjang 10 inci menyatakan x = 0, maka pegas dengan

panjang 15 inci menyatakan bahwa x = 5, sehingga

75,18475

235

0

=== dxxW Jadi, kerja untuk menarik pegas itu adalah 18,75 inci pond.

b. Aplikasi pada Pemompaan Cairan

Dengan menggunakan prinsip-prinsip yang sama dapat dihitung kerja yang dilakukan

pada pemompaan cairan.

Contoh 23

Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Apabila tinggi tangki 10

kaki dan jari-jari lingkaran atasnya 4 kaki,

a. tentukan kerja untuk memompa air sehingga sampai tepi tangki

b. tentukan kerja untuk memompa air sehingga mencapai 10 kaki di atas tepi tangki.

10 y

y

X

Y Y

y10 y

y

y

(4, 10)

y104

xy 104=X

Integral Tertentu


Penyelesaian:

a. Letakkan tangki dalam system koordinat seperti tampak dlam gambar. Buatlah sketsa

yang berdimensi tiga dan juga sketsa penampang dimensi dua. Misalkan air dimasukkan ke

dalam kerucut-kerucut terpancung (horizontal),

Air ini harus diangkat sehingga mencapai tepi tangki. Perhatikan sebuah kerucut terpancung ke

i dengan tinggi yang berjarak y dari puncak kerucut (puncak kerucut berada di bawah),

memiliki jari-jari

y

y104

, maka ia mempunyai volume hampiran yyV

=2

104 dan

beratnya (gaya berat) yyF

=2

104 , dengan = 62,4 adalah kepadatan air dalam satuan

pon/kaki kubik. Gaya yang diperlukan untuk mengangkat air tersebut adalah sama dengan

beratnya dan harus diangkat sejauh 10 y. Jadi kerja W adalah

)10(104 2 yyyW

=

Karenanya, apabila dijumlahkan kemudian dicari limitnya diperoleh

138,2641

310

254)10(

254 10

0

4310

0

32

== yydyyyW Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 26,138 kaki pond.

b. Seperti dalam a, sekarang air dalam kerucut terpancung harus diangkat 20 y,

sehingga

69,13041

320

254)20(

254)20(

104 10

0

4310

0

3210

0

2

==

= yydyyydyyyW Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 130,690 kaki pond.

Integral Tertentu


5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat)

Misalkan ada dua benda masing-masing memiliki massa sebasar m1 dan m2 yang

diletakkan pada papan berimbang dengan jarak berturut-turut d1 dan d2 dari titik penyangga

pada bagian-bagian yang berbeda. Keadaan tersebut akan seimbang jika dipenuhi

d1 m1 = d2 m2.

d1 d2 m1 m2

Suatu model amtematis yang baik diperoleh apabila papan tersebut kita letakkan pada

suatu system bandmil yang titik asalnya kita impitkan dengan titik penyangga papan, maka

koordinat x1 dari massa m1 adalah x1 = d1 dan dari massa m2 adalah x2 = d2. Jadi syarat

keseimbangan adalah

x1 m1 + x2 m2 = 0

m1 m2

x1 x1 0

Hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen

partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang

menghasilkan suatu putaran pada titik tersebut. Syarat supaya dua massa pada sebuah garis

berimbang adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol.

Keadaan tersebut dapat diperluas untuk sejumlah n benda (partikel). Jumlah momen M

(terhadap titik asal) suatu system yang terdiri atas n massa, yaitu m1, m2, , mn yang berbeda

pada x1, x2, , xn pada sumbu X adalah jumlah momen masing-masing massa, yaitu

M = x1 m1 + x2 m2 + + xn mn = =

calculus 2010

Documents