cap. iv interferenza

Cap. IV InterferenzaCap. IV Interferenza

1. L’interferenza

2. Il principio di Huygens

3. L’esperienza di Young

4. L’interferometro di Michelson

5. Interferenza su lamine sottili

frange scure

1801 L’esperimento di Young1801 L’esperimento di Young

esperimenti di interferenzaesperimenti di interferenza

diaframma

fenditure

D

luce + luce = buio!luce + luce = buio!

S

sorgentepuntiforme

S

sorgentepuntiforme

schermo2 fenditureaperte

1. L’interferenza1. L’interferenza ovvero: il trionfo dell’ottica ondulatoria (Young, 1802)

il trionfo dell’ottica ondulatoria (Young, 1802)

Considerazioni introduttive

per il principio di sovrapposizione:

) (z, ) (z, ) (z, ) (z, 21ris tttt EEEE

) cos() cos( ) (z, 2220211101 tzkEtzkEtrisE

ovvero:

) cos( ) (z, 111011 tzkEtE

) cos( ) (z, 222022 tzkEtE

Consideriamo due onde piane monocromatiche:

si noti,riguardo al periodo temporale

)cos( )( 11011 tEtE

)cos( )( 22022 tEtE

T1

T2

)( )( )( 21 tttris EEE

T = m.c.m.(T1, T2)

2

T

l’interferenza - dimostrazionel’interferenza - dimostrazione

Si può dimostrare che se 1 2 l'integrale si annulla:

quindi l’intensità luminosa associata a Eris è:

tt dZ

E

TdtS

TSI

TT

T

1 )(

1

0

2

0 T = m.c.m.(T1, T2)

ovvero:

2

1

11

)(

1

0

21

0

22

0

21

0

221 tttt dEE

TdE

TdE

TZd

Z

EE

TI

TTTT

tdtzktzkT

EE

ZII

T

) cos( ) cos( 2

0

2221110201

21

21 III se 1 2


poniamo: 1 1 dell'ondafasetkz

2 tkzovvero:

e ivafase relattkztkz 1212

prendiamo invece 1 = 2 = (segue: k1= k2 = k)l’interferenza - dimostrazionel’interferenza - dimostrazione

avremo quindi:

cos ) cos( ) (z, 111011 tzkEtE


Tdtdtd 2

inoltre:

) cos( ) cos( 2

0

2221110201

21 tdtzktzkT

EE

ZIII

T

l’integrale per l’intensità luminosa diventa:

dEE

ZII )cos( cos

2

2

2

0

020121

con le sostituzioni:



Tdtdtd 2


l’interferenzal’interferenza

dEE

ZIII )cos( cos

2

2

2

0

020121

sviluppando il cos(A+B) e considerando che:

21 αcos , 0 sinα cosα 2

TT

si ha:

cos cos 020121

020121

Z

E

Z

EII

Z

EEIII

ovvero:

cos 2 2121 IIIII

12 con

interferenza didue onde

monocromatiche

interferenza didue onde

monocromatiche

l’interferenzal’interferenza

si noti: cos 2 2121 IIIII 21 II

in particolare, se I1 = I2 = I0 si ha:

)cos 1(2 cos 2 2 000 IIIIinterferenza didue onde con

uguale ampiezza

interferenza didue onde con

uguale ampiezza

I

-5 -3 - 53

4I0

2I0

I = Imax = 4I0 se = ±2m

I = Imin = 0 se = ±(2m+1)

onde in fase

onde in opposizione di fase

I = 2Io se = ±(2m+1/2)onde in quadratura

l’interferenzal’interferenza )cos 1(2 cos 2 2 000 IIII

= 0onde in fase

= /2onde in quadratura

= onde in opposizione di fase

E1

E2

Eris

4I0 2I0 I = 0

interferenza costruttivainterferenza costruttiva interferenza distruttivainterferenza distruttiva

t

t

t


importante!

onde incoerenti onde incoerenti = variabile in t

altrimenti, se:

no interferenzano interferenza 21 III

onde mutuamente coerenti (coerenza temporale)

onde mutuamente coerenti (coerenza temporale)

si ha interferenza

si ha interferenza l’intensità si ridistribuisce l’intensità si ridistribuisce

tctkztkz in ostante 12


variabile in t significa 1 2 ovvero:

1) Radiazione con due o più frequenze diverse: 1 2 3 ….

12 tkztkz

2) Radiazione con uno spettro continuo di frequenze I()

I()

quindi:

1212 tkztkz

Inoltre, si noti che abbiamo assunto:

le onde però possono provenire da origini diverse:

12121122 zzktkztkz

S1 S2 z2

z1

z

sktkztszk 12112

ovvero, presentare una differenza di cammino geometrico s:

s

S1 S2 z2

z1

z

sktkztszk 12112

Si noti che, data la differenza di cammino geometrico s:

sskl 2

si definisce cammino ottico il termine:

z

) 'cos( ) (z, 0 tzkEtE

n

] ) ('cos[ ) (z, 0 t szkEtE

s

Considerazioni sul cammino ottico

z

) cos( ) (z, 0 tkzEtE ] ) (cos[ ) (z, 0 t szkEtE

ssks l

0λ

2

nel vuoto:

sss kl n0λ

2

λ'

2 ' '

nel mezzo:

per un’onda la fase in un certo punto dipende dal cammino ottico:

frange scure

3. L’esperimento di Young3. L’esperimento di Young

effetti di interferenzaeffetti di interferenza

diaframma

fenditure

D

luce + luce = buio!luce + luce = buio!

S

sorgentepuntiforme

S

sorgentepuntiforme

schermo1 fendituraaperta

2 fenditureaperte

L’esperimento di YoungL’esperimento di Young

Onda piana

diaframma

D

l’interpretazione ondulatorial’interpretazione ondulatoria

mutuamentecoerenti

S1

S2

onde sferiche

schermo

P

in opposizione di fase

BUIO


Onda piana

diaframma

S1

S2

D


schermo

P

in fase

LUCE


Onda piana

diaframma

S1

S2

D


s = s’ - s Dsin se << 1s = s’ - s Dsin se << 1

le due onde arrivano in P con una differenza di percorso geometrico s:

schermo

P

s

s

s’

l’esperimento di Youngl’esperimento di Young

diaframma

S1

S2

s

s

s’

D

s = s’ - s = Dsin

E1

E2

) 'cos( ) cos( )( )( '00

21 tksE

tksE

ttss

EEE

) 'cos( ) cos( 0 tkstksL

EE l = k(s - s’)

ovvero: sinθ 2

Dl

Eluce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

)cos 1(2 cos2 2 000 lIlIII

onde sferiche

“cammino ottico”“cammino ottico”


diaframma

S1

S2

s

ss’

D

E

1 E

2

Eluce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

Ionde sferiche


sinθ cos4 sinθ 2

cos 12 )cos 1(2 2000 DIDIlII

y

S1

S2

s

s

s’D

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

L

s = Dsin

2D

D

2

3

D

2

D

2

5

D

0

04I

I

sin

I = 4I0 se 2

2 ms

I = 0 se 2

2( )1 ms

. . . . 3, 2, 1, 0, m

sinθD

m

2

)12(sinθ

D

m


y

S1

S2

s

s

s’D

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

L

DLy λ

2D

L

D

L

2

3

D

L

2

D

L

2

5

D

L0

04I

I

D

L

si noti la distanza fra due massimi (minimi) consecutivi sullo schermo:

λ

)(sinD

sin Ly

y


y

S1

S2

s

s

s’D

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

L

DLy λ

2D

L

D

L

2

3

D

L

2

D

L

2

5

D

L0

04I

I

D

Lad esempio:

y

mm 0.5 10

10500.01

3

6

DLy

m 1 L

nm 500λ

mm 1 D


diaframma

S1

S2

s

s’

D

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

avvicinamento dello schermo e struttura compatta tramite l’uso di una lente

avvicinamento dello schermo e struttura compatta tramite l’uso di una lente


diaframma

s

s’

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

effetto di uno spostamento della sorgente puntiforme

effetto di uno spostamento della sorgente puntiforme

S0

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buiosorgenti estese non danno interferenza alla Young

sorgenti estese non danno interferenza alla Young

S2

S3

S4

la radiazione da sorgenti estese non ha coerenza spaziale

la radiazione da sorgenti estese non ha coerenza spaziale

S1

s’


effetto di una sorgente puntiforme non monocromatica


1

D

2 1

D

0

04II = 4I0 se

22

ms

I = 0 se 2

2( )1 ms

. . . . 3, 2, 1, 0, m

I

sin 2

D

2 2

D

la posizione e larghezza delle frange dipende dalla lunghezza d’onda

la posizione e larghezza delle frange dipende dalla lunghezza d’onda

sinθ cos4 )cos 1(2 2

00 DIlII

l’esperimento di Youngl’esperimento di Youngeffetto di una sorgente puntiforme

non monocromatica


S1

S2

s

D

sinθ cos4 )cos 1(2 2

00 DIlII

sorgentebianca

S

frangiabianca

4I0

2I0

1

D

2 1

D

0

I

sin 2

D

2 2

D

solo se << c’è interferenza alla Young

solo se << c’è interferenza alla Young

la radiazione deve avere sufficiente coerenza temporale

la radiazione deve avere sufficiente coerenza temporale

4. L’interferometro di Michelson4. L’interferometro di Michelson

S

specchiosemiriflettente

s

s’

)'(2 sss

)cos 1(2 0 lII

sl

2

specchiofisso

specchiomobile

I = I0

2

2 ms

I = 0

2

2( )1 ms

2

λ

2

λ3 2λ

2

λ50

0I

I

s

quello che conta è il cammino ottico

quello che conta è il cammino ottico

S

specchiosemiriflettente

s

s’

specchiofisso

)'(2 ssAs

I = I0

2

2( )1 msA

linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson

])('[2 nllssBs n

I 0

2

2( )1 msB

l

considerazioni sul cammino ottico

z

) cos( ) (z, 0 tkzEtE ] ) (cos[ ) (z, 0 t szkEtE

ssks l

0λ

2

nel vuoto:

sss kl n0λ

2

λ'

2 ' '

nel mezzo:

z

) 'cos( ) (z, 0 tzkEtE

n

] ) ('cos[ ) (z, 0 t szkEtE

s

per un’onda monocromatica la fase dipende dal cammino ottico:


S

specchio(mobile)

diga

interferometro

applicazioni all’ingegneria ambientale e civileapplicazioni all’ingegneria ambientale e civile

controllo di posizione con risoluzione x < 4

x


applicazioni all’ingegneria ambientale e civileapplicazioni all’ingegneria ambientale e civile

Dal sito del’ESA:...Quando nel '95 ERS-1 è stato raggiunto da ERS-2, ci siamo trovati in orbita due satelliti identici e ne abbiamo approfittato per mettere a punto una tecnica del tutto nuova per l'osservazione della Terra: una tecnica basata sull'interferometria. I due satelliti hanno a bordo uno strumento, il SAR, che permette di "mappare" la superficie terrestre con grande accuratezza, fino ad arrivare a scoprire spostamenti verticali del terreno dell’ordine di qualche millimetro, per esempio nel caso di terremoti, aree vulcaniche e aree di subsidenza. In pratica, il SAR è un'antenna che manda delle microonde (radiazione di lunghezza d'onda di circa 6 cm) verso la Terra e ne acquisisce l'eco.

Riepilogo: l’interferenza Riepilogo: l’interferenza

cos 2 2121 IIIII 1222110

)(λ

2

snsncon

diaframma

S1

S2

s

s1

s2D

PI

1) l’esperienza di Young1) l’esperienza di Young

I = 0 se 2

2( )1 ms

IMAX se 2

2

ms

sinλ

2 )(

λ

2

λ

2

021

00

Dsss

sIII 21


cos 2 2121 IIIII 1222110

)(λ

2

snsncon

s

s1

s2

P

più in generale:

interferenza tra due sorgenti puntiformiinterferenza tra due sorgenti puntiformi

S1

S2

D

sinλ

2 )(

λ

2

λ

2

021

00

Dsss

sIII 21

I = 0 se 2

2( )1 ms

IMAX se 2

2

ms


cos 2 2121 IIIII 1222110

)(λ

2

snsncon

2) l’interferometro di Michelson2) l’interferometro di Michelson

S

s1

s2

I = 0 se 2

2( )1 ms

IMAX se 2

2

ms

λ

2

0

s )(2λ

2 21

0

ss

4 021

III

S1

S2

s

s1

s2

PI l’esperienza di Young l’esperienza di Young

D

L

Esercizio numericoEsercizio numerico

5.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda 0 = 0.632 m e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.

5.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda 0 = 0.632 m e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.


5.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con 0 = 0.6 m che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.

5.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con 0 = 0.6 m che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.

S1

S2

s1

s2

OD

s1

s2

DO

s


5.3 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.

5.3 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.

S

L

Prova di esame del corso di Fisica 4 A.A. 2002/3

5.4 In un esperimento di interferenza alla Young effettuato con un’onda piana con lunghezza d’onda nel vuoto 0 = 632 nm, si pone una lastra di vetro a facce piane e parallele di spessore t e indice di rifrazione n = 1.45 davanti a una delle due fenditure. Calcolare il più piccolo valore di t affinché si abbia in O un minimo di intensità.

O

t

Modello di interferenza su lamina sottileModello di interferenza su lamina sottile

’

A

B

C

D

dn

n1

luce monocromatica

sin'sin 2 2 sin 2 111 nABnABnACnABnADABCs n

'cos d2 'cos 2 )'sin1( 2 'sin 'sin 2 2 22 nnABnABnABnAB

quindi: )'cos d2(λ

2

λ

2

00

ns

n1

+ +

ma:

vedi cap. 3(incidenza quasi-normale)

θθsin

θθsin

0

0

ri

ri

i

'i

E

E

(7)

relazione di Fresnel per i campi

relazione di Fresnel per i campi

E’i sfasato di

rispetto a Ei

se n2 > n1

E’i sfasato di

rispetto a Ei

se n2 > n1

θθtg

θθtg

0

0

ri

ri

i

'i

EE

////

(8)

E’i sfasato di rispetto a Ei

se n2 < n1

per (i + r)</2

E’i sfasato di rispetto a Ei

se n2 < n1

per (i + r)</2

’

A

B

C

D

dn

a d costante non dipendono dalla posizione sulla lamina

a d costante non dipendono dalla posizione sulla lamina

luce monocromatica

linterferenza su lamina sottilelinterferenza su lamina sottile

interferenzacostruttiva

frangiachiara2

)1(2 'cos2 d mn

frange di uguale inclinazionefrange di uguale inclinazione

interferenzadistruttiva

frangiascura2

2 'cos2 d mn

quindi, diversamente dal solito:

dn

non dipende dalla posizione ma da :funziona anche con sorgenti estese

non dipende dalla posizione ma da :funziona anche con sorgenti estese

n1

n1

interferenza su lamine sottili: d costanteinterferenza su lamine sottili: d costante

frangia

scura

frangia

chiara2

)1(2 'cos2 d mn

2 2 'cos2 d mn

chia

ra

chia

ra

scur

aluce monocromatica

dd 2 'cos2 nns

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottilifissando : incidenza quasi-normalefissando : incidenza quasi-normale

nm

2 0d frangia

scura

nm

4)1(2 0d

frangiachiara

lamine a spessore variabile: frange di ugual spessorelamine a spessore variabile: frange di ugual spessore

n0

4

5

n0

4

3

n0

4

1 0

n

n1

n1

una frangia ogni /2 una frangia ogni /2

misure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici piane

misure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici piane

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili

misure di riscontro superfici pianemisure di riscontro superfici piane

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale

si ottiene R < 0.1%si ottiene R < 0.1%

Applicazioni: rivestimenti anti-riflessoApplicazioni: rivestimenti anti-riflesso

n0

4

1

n1 = 1

n2 < n < n1

n2 > n

Attenzione!condizione di frangia scura

perché n2 > n

Attenzione!condizione di frangia scura

perché n2 > n

interferenza distruttiva

interferenza distruttiva

per obiettivi fotografici, occhiali, celle solari (nSi = 3.5)

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale

0

n1

n1

n

pellicole a spessore variabilepellicole a spessore variabile

sorgenti non monocromatiche (luce bianca)sorgenti non monocromatiche (luce bianca)

nm

4)1(2 0d

frangiachiara aria

acqua

olio, benzinai colori dell’iride in sequenza

aria

acqua saponata

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili

aria

acqua

olio, benzina

aria


cos 2 2121 IIIII 1222110

)(λ

2

snsncon

3) lamine sottili3) lamine sottili

’

A

B

C

D

dn2

n1

luce monocromatica

n1

+ +

'cos2 d2 nsI = 0 se

2

2(2 )1'cos2

mdnsIMAX se

2

22 'cos2

mdns

21, nn

n0

4

1

n2

n1

n1


cos 2 2121 IIIII 1222110

)(λ

2

snsncon

3b) lamine sottili - incidenza normale3b) lamine sottili - incidenza normale

B

luce monocromatica

dd 22 2 'cos2 nns

n0

4

3 n0

4

5

I = 0 se

4

λ12(

2

)1n

md IMAX se

21, nn

2

λ1

2

n

md


esperimento di Youngdue sorgenti puntiformidue onde pianeinterferometro di Michelson

riflessione su lamine sottili

I = 0 se

2

λ2(2 0)1'cos

2 mdnsIMAX se

2

λ22 0'cos

2mdns

21, nnI = 0 se

4

λ12( 0

2

)1n

md IMAX se

2

λ1 0

2

n

md incidenza normale

cos 2 2121 IIIII 120

λ

2

scon

I = 0 se 2

λ2( sin 0)1 mDs

IMAX se 2

λ2 sin 0mDs

coerenza temporalecoerenza temporale

Cioè con radiazione con sufficiente coerenza temporale

I()

con: tc tempo di coerenzatm tempo di osservazione (misura)

mc tt

1 1 ω

mc tt

1 1 ω

Attenzione! Si ricordi che:alcuni degli effetti descritti si verificano solo per luce monocromatica, ovvero a condizione che:

spettro di potenza


5.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda 0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo .

5.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda 0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo .


5.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.

5.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.

5.7 In un esperimento di interferenza su lamine sottili sul modello degli anelli di Newton il raggio di curvatura della lente è R =5.0 m e il suo diametro è D = 20 mm. Sul sistema incide normalmente luce con = 589 nm. Calcolare quanti anelli (frange) luminosi si producono (a) in aria, e (b) se tutto il sistema è immerso in acqua.

5.7 In un esperimento di interferenza su lamine sottili sul modello degli anelli di Newton il raggio di curvatura della lente è R =5.0 m e il suo diametro è D = 20 mm. Sul sistema incide normalmente luce con = 589 nm. Calcolare quanti anelli (frange) luminosi si producono (a) in aria, e (b) se tutto il sistema è immerso in acqua.

rd

cap. iv interferenza

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