1 Los Nmeros Complejos

Observacin

1.- Recordemos que

2. Se sabe que , si y slo si, y

Definicin

Dado el conjunto Se definen en dicho conjunto las siguientes operaciones La suma y el producto donde : Dados ,

1. Suma : 2. Producto :

Observacin se le llama el conjunto de los Nmeros Complejos y

tiene estructura de cuerpo, al igual que y lo denotaremos por Observacin

1.- 2.- Dados se cumple que

i.- ii.-

Es decir es cerrado respecto a la suma y el producto y se tiene que sumar o multiplicar en es como sumar o multiplicar en ,por ello podemos asociar a :

2 3.- se cumple queDado

4.- Sea

5.- Con lo cual, se tiene que

por ello , podemos asociar a :

Notacin

Si se tendra que o bien

Ejemplo

1.-

2.-

3.-

Notacin

Entenderemos que corresponde a

Observacin

1.-

2.- La ecuacin cuadrtica , que no tiene solucin en , pero si la miramos como una ecuacin en , se tiene que el nmero complejo es una solucin, pues . Observacin

Como tiene estructura de cuerpo, se tiene que

3Teorema

Dados , se cumple que:

1. + +

2.

3. + +

4.

5.

6. +

7.

8.

9.

Observacin

1.- y es llamado el neutro aditivo

2.- y es llamado neutro multiplicativo

3.- si se tiene que y es llamado el inverso aditivo de

4.- si = se tiene que y es llamado el inverso multiplicativo de

4Ejemplo

1.- Determinar si

Solucin

se tiene que :

con lo cual

luego

Definicin

Dado 1.- Llamaremos de y se denota por al nmeroparte real

real Es decir

2.- Llamremos de y se denota por ,al parte imaginaria nmero real Es decir

Con lo cual , se tendra que :

5Ejemplo

Determinar si

Solucin

luego , con lo cual se tiene que

Ejemplo

Sean , tales que y . Determine: 1.- ; 2.- ; Solucin

como se tiene que 1.- ;

2.- ;

Definicin Sea , llamaremos de al complejo que conjugado

denotaremos por ,donde

6

Ejemplo

Sean , tales que y . Determine: 1.- ;

2.- ;

3.- ; Solucin

se tiene que . con lo cual

1.- ;

2.- ;

3.- ;

Teorema Si , se cumple que:

1.

1. + +

2.

3. ; si

7Ejemplo

Sean , , , tales que Determine:

1.- + ; 2.- ; 3.- 3

4.- ; 5.-

6.- ; 7.- ; 8.-

Solucin

1.- +

2.-

3.- 3

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

Observacin

Dado se tiene que

8

Ejemplo

Sean , , tales que

Determine si:

Solucin

se tiene que

luego

Ejercicio Sean , , tales que

Determine que cumple la siguiente igualdad.

9 Interpretacin geomtrica de un nmero complejo

Un nmero complejo puede representarse geomtricamente mediante un punto en el plano, o por una flecha que una el origen con el punto . Por ello, al plano ,al representar a los nmeros complejos se le llama plano complejo. Donde se dice que el eje es el eje real ; y el eje es el eje imaginario.

Definicin Sea Llamaremos , al real que denotaremos por , donde:mdulo de

= la distancia de al origen , es decir

Grficamente:

10

Ejemplo

En cada caso, calcule si:

1.-

2.- 3.-

Solucin

1.-

2.- como luego con lo cual

3.- como con lo cual

Teorema Si , se cumple que:

1. , para todo

2.

11

3. ;

4. , si

5. 1

6.

7.

Ejemplo

Determine todos los tales que:

1.- ; 2.-

3.- ; 4.-

Solucin

Sea , se tendra que :

1.- circunferencia centrada en el origen y de radio

2.- disco centrado en el origen y de radio

3.- circunferencia centrada en el punto y de radio

4.-

disco centrado en el punto y de radio

12

Observacin

Con la introduccin de los nmeros complejos es posible resolver la

ecuacin cuando .

En este caso existen races complejas, a saber

;

Ejemplo

Resuelva en la siguientes ecuaciones:

1.-

2.-

3.-

Solucin

1.- se tiene que luego, las raices son

2.- se tiene que luego, las raices son

3.- se tiene que

13

luego, las raices son

FORMA POLAR DE UN NMERO COMPLEJO

Sea , se tiene que

en donde , es un punto de la circunferencia de radio 1

por ello, existe tal que cos( ) y

con lo cual

forma polar de un complejo)

es decir, se tiene que

Ejemplos

1.- si

2.- si

3.- si

14

4.- si

5.- si

6.- si

Teorema Moivre)

Sea

se cumple que

1.-

2.-

3.-

Demostracin

1.

2.-

15

3.- se tiene que, considerando el punto 1.- para

se tiene que, considerando el punto 1.- para

ver caso general

Ejemplo

Determinar si

Solucin

si

luego

si

luego

si

luego

16

con lo cual

Ejemplo

Determinar si

Solucin

si

luego

si

luego

si

luego

con lo cual

17

Problema

Sea . Determinar los tal que

Solucin

sea tal que

luego

son las soluciones de la ecuacin

Ejemplo

Determinar los tal que

Solucin

Se tiene que

18

es decir

Ejemplo

Determinar los tal que

Solucin

Se tiene que

es decir

Ejemplo

Determinar los tal que 3 2

Solucin

Se tiene que 3 2

19

Ejemplos

I.- En cada caso, realice la operacin indicada. De su respuesta en la forma .

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

Solucin

1.-

2.-

3.-

4.-

20

5.-

6.-

II.- En cada caso, determine el valor de e .

1.-

2.-

3.-

Solucin

1.-

luego:

2.-

En el sistema de ecuaciones:

Luego:

21

3.-

Luego:

III.- 1.- Determine un nmero complejo tal que . 2.- Determine un nmero complejo tal que .

Solucin

1.- Seas como

Resolviendo el sistema, tenemos como primera solucin: , por lo tanto

y como segunda solucin: por lo tanto

2.- sea como

Resolviendo el sistema, tenemos como primera solucin:

22

es decir

Y como segunda solucin:

es decir

IV.- Sean , , tales que

Determine que cumple la siguiente igualdad.

Solucin

Sea . Luego:

23

Luego

V.- Sean tales que

Determine , si

Solucin

se tiene que

, , , luego

con lo cual , reemplazando en se tiene

24

por lo tanto

VI.- Sean tales que

.

Determine , si

Solucin

se tiene que , ,

sea ,luego

con lo cual

25

es decir

VII.- Determinar los tal que :

Solucin

donde :

por lo tanto, se tendra que :

es decir :

26