Universidad Técnica de Manabí

Facultad de Ciencias Matemáticas Físicas y Químicas

Redes Eléctricas I

Tema:

Números Complejos

Estudiante:

Lider Eduardo Pilligua Menéndez

Docente:

Ing. William Moreano

Carrera:

Ing. Eléctrica

Nivel:

V

Números Reales

• El cuerpo de los números reales se compone de los

correspondientes a los números racionales e irracionales.

Números Imaginarios

• La raíz cuadrada de un número real negativo es un número

imaginario.

Números Complejos

• Un número complejo 𝐳 es de la forma 𝒙 + 𝒋𝒚.

La Unidad Imaginaria

• La unidad imaginaria de los números complejos es −𝟏 que

la representamos con la letra 𝒊.

• De esta manera, 𝒊 = −𝟏 → 𝒊² = −𝟏𝟐= −𝟏

• Con la unidad imaginaria 𝒊 se pueden realizar operaciones como

suma, resta, multiplicación, etc.

Distintas formas de expresar un número

complejo

Forma binómica 𝒛 = 𝒙 + 𝒋𝒚

Forma polar 𝒛 =

Forma exponencial 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝜽

Forma trigonométrica 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋𝒔𝒆𝒏𝜽)

Forma binómica (𝒂 + 𝒃𝒊)

• El número 𝒂 es la parte real del número complejo.

• El número 𝒃𝒊 es la parte imaginaria del número complejo.

• Los números complejos se representan en los ejes cartesianos;

donde :

o El 𝒆𝒋𝒆 𝒙 se llama eje real.

o El 𝒆𝒋𝒆 𝒚, se llama eje imaginario.

o El número complejo 𝒂 + 𝒃𝒊 se representa:

o Por el punto 𝒂 ; 𝒃 .

Representación Grafica

Tener en cuenta para todas las expresiones

que:

• 𝒓 es el argumento o módulo del numero complejo, se estima

usando Pitágoras.

𝒓 = 𝒂² + 𝒃²

• 𝜶 es el argumento del número complejo, se estima a partir de la

siguiente fórmula.

𝜶 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈𝒃

𝒂

Dependiendo del cuadrante al que

pertenece el número obtenemos.

Forma Polar 𝒁 = 𝒓𝜶

• Analizamos un ejemplo:

Forma Exponencial 𝒁 = 𝒓𝒆𝜶𝒊

• Como pueden observar poseen los mismo parámetros que en

la forma polar. Ejemplo:

Forma Trigonométrica 𝒁 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜶𝒊

• Ejemplo:

Conjugado de un número complejo

• El conjugado del número complejo 𝒛 = 𝒙 + 𝒋𝒚 es elcomplejo 𝒛∗ = 𝒙 − 𝒋𝒚.

• Las cuatro formas de escribir un número complejo 𝒛 y suconjugado correspondiente son:

Forma binómica 𝒛 = 𝒙 + 𝒋𝒚 𝒛∗ = 𝒙 − 𝒋𝒚

Forma polar 𝒛 = 𝒛∗ =

Forma exponencial 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝜽 𝒛∗ = 𝒓𝒆−𝒋𝜽

Forma trigonométrica 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋𝒔𝒆𝒏𝜽) 𝒛∗ = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒋𝒔𝒆𝒏𝜽)

Operaciones de números complejos.

Suma y Resta de números complejos

• Para sumar dos números complejos, tenemos que sumar por

separado las partes reales y las partes imaginarias. Ejemplo:

• Y restamos por un lado las partes Reales, y por el otro las

imaginarias. Ejemplo:

𝟑 − 𝟐𝒊 𝑦 𝟓 + 𝟔𝒊

𝟒 − 𝟕𝒊 − (𝟔 − 𝟓𝒊)

Multiplicación de números complejos

• El producto de dos números complejos, escritos en forma

exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de

la potenciación.

𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒓𝟏𝒆𝒋𝜽𝟏 𝒓𝟐𝒆

𝒋𝜽𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐𝒆𝒋(𝜽𝟏+𝜽𝟐)

• Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que.

• Si los complejos vienen dados en forma binómica se

multiplican como si fueran polinomios.

División de números complejos

• El cociente de dos números complejos, escritos en forma

exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de

la potenciación.

𝒛𝟏𝒛𝟐

=𝒓𝟏𝒆

𝒋𝜽𝟏

𝒓𝟐𝒆𝒋𝜽𝟐

=𝒓𝟏𝒓𝟐

𝒆𝒋(𝜽𝟏−𝜽𝟐)

• Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que.

• Si los complejos vienen dados en forma binómica se multiplica

el numerador y denominador por el conjugado del

denominador.

Radicación

• Si calculamos la raíz cuadrada de un número complejo,

obtenemos dos resultados diferentes; si calculamos una cubica,

obtendremos tres; y así sucesivamente

Calculo de la raíz 𝒏 (𝒂 + 𝒃𝒊)

• La raíz enésima de un número complejo es otro número

complejo tal que:

o El módulo es la raíz enésima del módulo 𝒓` = 𝒏 𝒓.

o El argumento

o K= 0, 1, 2, 3 . . . (n – 1)

Ejemplo:

Logaritmo de un número complejo

• El logaritmo natural de un número complejo se halla muy

fácilmente se este se escribe en forma exponencial.

𝐥𝐧 𝒛 = 𝐥𝐧 𝒓𝒆𝒋(𝜽+𝟐𝝅𝒏) = 𝐥𝐧𝒓 + 𝐥𝐧 𝒆𝒋(𝜽+𝟐𝝅𝒏) = 𝐥𝐧𝒓 + 𝒋(𝜽 + 𝟐𝝅𝒏)

• El resultado que se obtiene, pues, no es único. Se llama valor

principal del logaritmo al que corresponde a 𝒏 = 𝟎, y es el que

se considera con más frecuencia.

Gracias