Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez

Departamento de Matemáticas. Mate 4009. Ecuaciones de Cauchy-Euler.

Preparado por: Dr. Eliseo Cruz Medina

Una ecuación diferencial de la forma 1 1 '

1 1 0... +a ( )n n n n

n na x y a x y x y a y g x− −−+ + + = , donde los coeficientes son

constantes, es conocida como una ecuación diferencial de Cauchy-Euler. Note que el exponente de la x es igual

al orden de la derivada.

Comenzaré la discusión de dicha ecuación con la ecuación de segundo orden: 2 '' ' 0a x y bxy cy+ + = homogénea; luego podemos resolver la ecuación no homogénea una vez que hallamos

determinado la función complementaria.

Método de solución:

Nosotros tratamos una solución de la forma y = mx , donde m debe ser determinado. La primera y segunda

derivadas son respectivamente y’ = 1 2, " ( 1) , sustituyendo en la ecuacionm mmx y m m x− −= − tenemos: 2 2 2 1" ' ( 1) m m max y bxy cy ax m m x bxmx cx− −+ + = − + + = m( ( 1) ), asi xmx am m bm c− + + es solución de la ecuación

diferencial cuando m es solución de la ecuación auxiliar am(m-1) + bm + c =0 ó 2 ( ) 0 (1)am b a m c+ − + =

Tenemos tres diferentes casos que debemos considerar, dependiendo si las raíces de la ecuación cuadráticas son

reales y distintas, reales e iguales o complejas, que como sabemos aparecen en pares conjugadas

Caso 1. Sean m 1 y m 2 las raíces reales de la ecuación (1) y supongamos que son diferentes. Entonces

1 2

1 , forman un conjunto fundamental de soluciones. Por lo tanto la solucion general es m my x y x= =

1 2

1 2

m my c x c x= +

Caso 2. Si las raíces de (1) son repetidas, esto es m 1= 2m , entonces tenemos solamente una solución, digamos

y = x 1m ¿ Cómo podemos obtener la otra? Sabemos que cuando las raíces de la ecuación cuadráticas 2 ( ) 0am b a m c+ − + = son iguales el discriminante de los coeficientes es necesariamente cero. Por lo tanto de la

fórmula cuadrática obtenemos que la raíz debe ser 12

b am

a

−= − . Podemos ahora construir una segunda solución

y 2 usando la fórmula obtenida en el caso ya estudiado de reducción de orden. Para esto debemos escribir la

ecuación de Cauchy con coeficiente 1, es decir, debemos dividir primeramente por el coeficiente ax 2 y

obtenemos: 2

2 20

d y b dy cy

dx ax dx ax+ + = . Haciendo la identificación P(x) =

b y ln

ax

b bdx x

ax a=∫ . Sustituyendo en la

fórmula obtenemos: 1 1 1 1 1 1

1

ln

2

2 2ln

bx

b b b aam m m m m ma a a

m

e dxy x dx x x x dx x x x dx x x x

x x

− −− −−= = = = =∫ ∫ ∫ ∫

Caso 3. Cuando las raíces de (1) son los pares conjugados 1 2, m , y 0 son realesm i i dondeα β α β α β= + = − >

entonces la solución es y = 1 2

i ic x c xα β α β+ −+ . Después de realizar algunas operaciones y haciendo uso de la

fórmula de Euler concluimos que dichas soluciones se pueden escribir 1 2cos( ln ), y ( ln )y x x x sen xα αβ β= =

Por lo tanto la solución general es y = [ ]1 2cos( ln ) ( ln )x c x c sen xα β β+

Veamos ahora algunos ejemplos que te capacitarán para resolver cualquier ecuación diferencial de este tipo.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación diferencial x 2 " 5 ' 3 0y xy y+ + =

Solución: Hacemos y = x m . Después de derivar y sustituir obtenemos la ecuación auxiliar

( 1) 5 3 0m m m− + + = , equivalente a m 2 +4m+3 = 0 , (m+3)(m+1) = 0 , de aquí

m 3 1

1 2 1 23, m 1, la solucion sera y = c x c x− −= − = − +

Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial 3 2

3 2

3 22 4 4 0

d y d y dyx x x ydx dx dx

− + − =

Solución. La ecuación auxiliar es m(m-1)(m-2)-2m(m-1)+4m – 4 = 0 . Después de multiplicar se reduce a 3 25 8 4 0m m m− + − = . Podemos ver que al evaluar el polinomio para m = 1 obtenemos 0. De acuerdo al

Teorema del Residuo, esto no dice que el polinomio es divisible por m-1.Haciendo la división por el método de

división sintética obtenemos 3 2 25 8 4 ( 1)( 4 4) ( 1)( 2)( 2) 0m m m m m m m m m− + − = − − + = − − − = . De aquí 2 2

1 2 3 1 2 31, 2, 2 La solucion gerenal sera y=c lnm m m x c x c x x= = = + +

Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial 2 " 7 ' 41 0x y xy y− + =

Solución: La ecuación auxiliar es m(m-1)-7m + 41 = 0, equivalente a m 2 8 41 0m− + = . Aplicando la fórmula

cuadrática obtenemos m = 4

1 2

8 104 5 . La solucion gerenral sera y=x ( cos(5ln ) (5ln ))

2

ii c x c sen x

±= ± +

Una ecuación de Cauchy-Euler puede ser transformada por la sustitución x= e t en una ecuación diferencial con

coeficientes constantes y puede ser resuelta por el procedimiento conocido para resolver este tipo de ecuaciones.

Te daré un ejemplo que ilustra lo que te a cabo de decir.

Ejemplo 4. Resolver la ecuación diferencial 2 2 t" 10 ' 8 mediante la sustitucion x=ex y xy y x+ + =

Solución:

Hagamos x =e t

2

2

( )d

entonces , t

t

dy dy d dy

dy dy ydt dt dt dxedx dxdx e dt dx

dt dt

−= = = = =

2

222

2

( )

( )

t t t

t

t t

d dy d y dye e e

d y dydt dt dt dt ee e dt dt

− − −

−−

= = −

=2

2

2( )d y dy

xdt dt

− − .Sustituyendo ahora en la ecuación resulta:

2 22 2 1 2 2

2 2( ) 10 8 , 9 8t td y dy dy d y dy

x x xx y e y edt dt dt dt dt

− −− + + = + + = , que es una ecuación diferencial con coeficientes

constantes, hacemos y = e mt , la ecuación característica es m 2 +9m+8 = 0 cuya solución es 8 8 1

1 2 1 2 1 28, 1, t t

cm m y c e c e c x c x− − − −= − = − = + = + . La solución particular la podemos encontrar por coeficientes

indeterminados haciendo 2 2 21 1, resultando como solucion y=

30 30

t ty Ae e x= = ¡ Verifíquelo!