第一章微分方程式緒論 - chenlee.com.t · 因變數y 及導數y(n) 相乘之項。範例7...

陳立工數上冊 ch1~6 筆記-1

第一章

微分方程式緒論

(1) 定義：

(2) 微分方程式之類型：

1常微分方程式(O﹒D﹒E﹒）：

2偏微分方程式( P﹒D﹒E﹒)：

What is the difference

ordinary differential equation

partial differential equation?

【94 台科化工】

3. 階(order)： 4. 次(degree)：

(1) 0dd2

3

3

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛y

dxy

dxy

(2) ( ) 1d)cos(d 4433

3 +++=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xxe

dxyxe

dxyx xx 【元智電機】

5. 線性(linear)：註 1：線性方程式一定可以寫成

)()()()( 0)1(

1)( xryxayxayxa nn

nn =+++

−− L

註 2：線性方程式必無因變數 y 及導數 )(ny 相乘之項。

範例 7

範例 1


(1) 0dd2

3

3

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛y

dxy

dxy

(2) ( ) 1d)cos(d 4433

3 +++=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xxe

dxyxe

dxyx xx 【元智電機】

6. 解(solution)之種類： (1) 通解 (general solution)： (2) 特解 (particular solution)： (3) 奇解（singular solution）：

(a) Show that 221 xcxcy +=

general solution of 0222 =+′−′′ yyxyx .

(b) Find particular solution

3)1( =y and 5)0( =y .【95 中央機械】

是非題： ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫

xd

xxy

1

sin11)( τττ

is the solution of xxyyx sin'2 =+ , 1)1( =y ,

(2%)【95 交大電控】

是非題： 0)(sin5')(cos2" =+− yxyxy

has a solution )(xy satisfying

,0)0(,1)0( =′= yy and Cy =′′ )0(

if and only if 0=C .(2%)【95 交大電控】

範例 7

範例 4

P2-79習題 7

P4-6範例 2


)0,1(

是非題： )(1 xy and )(2 xy be particular solutions

xeyeyxy xx cos)(cos =+′+′′

0)0(',1)0( == yy

xeyeyxy xx sin)(cos =+′+′′

1)0(',0)0( == yy

Then )()( 21 xyxy + is a particular solution

)sin(cos)(cos xxeyeyxy xx +=+′+′′ ,

1)0(',1)0( == yy (2%)【95 交大電控】

指數函數 xey =

(0,1)

指數函數之基本性質(指數律)：

(1) nmnm eee +=× (2) nmnm

eee −=

指數函數之微分：

(1) xx eedxd

= (2) )()()( xfeedxd xfxf ′⋅=

對數函數 xy ln=

範例 5


對數函數之基本性質：

(1) 01ln = (2) xyyx lnlnln =+ )0,0( >> yx

(3) yxyx lnlnln =− )0,0( >> yx

(4) xyx y lnln = )0( >x 對數函數之微分：

(1) x

xdxd 1ln = (2)

)()()(ln

xfxfxf

dxd ′

=

指數與對數之關係：

(1) xe x =ln (2) xe x =ln


第二章

一階常微分方程式

命題型式：(1) 導數型

(2) 微分型解法：分歧整合 shit 您,貝,嚷您娘

(1) 分離變數法

(2) 齊次方程式

(3) 正合方程式

(4) 合併積分法

(5) 線性方程式

(6) 李卡迪，白努力 linear方程式

▒ 2-1 分離變數法 ),( yxfy =′ )()( 21 yfxf= dx

dy )()( 21 yfxf= dxxfyfdy )(

)( 12=

各加一個積分常數 2112

)()(

cdxxfcyf

dy+=+ ∫∫

321

c

ccdxxfyf

dy

常數另一個

1212

)()(

−+= ∫∫

故使用『分離變數法』，只要加一個積分常數就夠了！

由積分之連鎖律可推導出一個特殊公式：

∫ ∫ +==′

cxfxfxdfdx

xfxf )(ln

)()(

)()(

口訣：『分母』微分變『分子』，積分必得 ln。

例如 (1) ∫ ++=+ cxdxxx )1ln(

12 2

2 範例 5


(2) cxdxxxxdx +== ∫∫ sinlnsin

coscot p2-21習題 13

(3) cd +−=−∫ θθθ

θ cos1lncos1

sin 範例 4

(4) cydyy

ydyyy

+== ∫∫ lnlnln

1

ln1

範例 6

題型 1：直接可分離型

下列一階 O.D.E.，何者可以用分離變數法？

(1) yxy sincos ⋅=′ (2) )cos( yxy +=′

(3) yxey +=′ (4) )ln(xyy =′

0)0( ;0)cos( ==−′ − yxey y

(10%)【95 台科電子】

22xydxdy

=

for 1)0( =y . (10%)【95 交大光電】

32 yey x=′ , 5.0)0( =y

(10%)【95 成大電機、電通、微電子】

範例 1

範例 3

範例 2

範例


θθθ drdr sin)cos1( =− .

(10%)【95 台大土木】

123

+=

xxy

dxdy

I.C. 3,0 == yx

(15%)【95 台科電機】

(1) 試解 x

yyy ln=′ 【90 台大應力】

題型 2：變換再分離型

step1 找到共同項 (最複雜項)

step2 換掉共同項 (最複雜項)

step3 分離變數法

32613−+−+

=yxyx

dxdy

(10%)【95 台科化工】

01sec 23 =+

yxy

dxdy

(20%)【90 中央環工】

令最複雜項 21y

u =

範例 4

範例 5

範例 6

範例 10

範例 13


題型 3 應用問題

溫度 C90o 之物體，置於 C60o 環境中 10 分鐘後，冷卻至 C88o 。若再放 10 分鐘，溫度變為多少 Co ?(10%)【94 北科光電】

【詳解】由牛頓冷卻定律知：

)60( −−= TkdtdT

)20(T = C68 o

▒2-2 齊次方程式

(1) 導數型

(2) 微分型

(1) 222 yxdxdyxy +=

(2) x

yxydxdy −

=2

(3) 02)( 22 =−+ xydydxyx

(4) 02)( 33 =−+ xydydxyx

題型 1 齊次方程式

step1 找到共同項xy

step2 換掉共同項xyu =

即 xuy = ，則 udxxdudy +=

step3 分離變數法

P2-22習題 24

範例 2


023 22 =+−dxdyxyyx ,

(20%)【95 北科通訊】

曲線上之每一點均與向量 )2,( 22 xyyx −− 相切，求此曲線。 (10%)【94 中山環工】

【詳解】由題意可知： 222

yxxy

dxdy

−−

= 0)(2 22 =−+ dyyxxydx

同除以 2x ： 0])(1[2 2 =−+ dyxydx

xy

令xyu = ，即 uxy = ，則 xduudxdy +=

代入 0])(1[2 2 =−+ dyxydx

xy

，得 0))(1(2 2 =+−+ xduudxuudx

0)1()3( 23 =−+− xduudxuu

由分離變數法 0311

3

2

=−−

+ duuu

udxx

0)3)(3(

11 2=

−+−

+ duuuu

udxx

0)3

31

331

31

(1 =−

++

++ duuuu

dxx

0)3

13

11(3 =−

++

++ duuuu

dxx

積分得 0)3

13

11(3 =−

++

++ ∫∫ duuuudxx

cuuux ln3ln3lnlnln3 =−++++

cuux ln)3(ln 23 =− cuux =− )3( 23

cxy

xyx =− ]3)[( 23 cxyy =− )3( 22

範例 3

範例 6


題型 2：座標平移型

0)642()352( =−+−+− dyyxdxyx 【95 台大土木、92 北科冷凍】

▒2-3正合方程式與積分因子說明：『正合』就是『全微分』：

若 cyx =),(φ ，則 dcyxd =),(φ

x∂

∂φ+dx

y∂∂φ 0=dy

),( yxM +dx ),( yxN 0=dy

∵

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

=

∂∂

=

yyxN

xyxM

φ

φ

),(

),(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂

=∂∂

∂∂∂

=∂∂

xyxN

yxyM

φ

φ

2

2

特徵： xN

yM

∂∂

=∂∂

口訣：交換微分會相等

題型 1 正合方程式

0)()( 22 =++− dyyyxdxxxy

(16%)【95 台大化工】

yeyxxy

dxdy

+−−

= 223

322 .

(20%)【95 北科通訊】

範例 7

範例 1

範例 2


02 22 =−+′ xyyxy

(10%)【95 中央光電】

cxxyyx =−=3

),(3

2φ

0)2()322( 223 =+−+−− dyxyxdxyxyx

(5%)【95 交大土木】

32)(

+−+−

=′yxyxxy

(15%)【95 台科營建】

0)1()sin(cos 22 =−+− dyxydxxyxx

(10%)【95 成大水利】

題型 2 積分因子以 cyx =23 來命題

0)(2323

23 =∂

∂+

∂∂

= dyyyxdx

xyxyxd

得 O.D.E. 023 322 =+ ydyxdxyx

∵ yxyxx

yxy

2322 6)2()3( =∂∂

=∂∂

正合

積回去得到答案 cyx =23 將上式同 yx 2÷ 023 =+ xdyydx ﹙非正合，不可積分﹚ 除非將上式同乘上 yx 2 才會恢復正合可否積分的關鍵因子 yx 2 為積分因子。

範例 6

範例 4

範例 5

範例 3


O.D.E. .032 =′+ yxy (a) Show not exact.

(b) integrating factor of ba yx .

(c) general solution.【90 海洋機械】

xyxyxy

dxdy

++

−= 223

(A) nonexact second order (B) has x-dependent integrating factor. (C) has an y-dependent integrating factor. (D) has an xy-dependent integrating factor. (5%)【94 中山機電】

條件證明在 p2-37 積分因子

)(xfN

xN

yM

=∂∂−

∂∂

∫=

dxxfeI

)(

)(yfM

xN

yM

=∂∂−

∂∂

∫=

− dyyfeI

)(

)( yxfNM

xN

yM

+=−∂∂−

∂∂

∫=

++− )()( yxdyxfeI

)(xyfyNxM

xN

yM

=−∂∂−

∂∂

∫=

− )()( xydxyfeI

02)3( 2 =++ xydydxyex .

(15%)【95 北科環境】

範例 7

範例 14

範例 9


0)coscos4()cossin3sin2(

23

4

=+−

+

dyxxydxxxyxy

(10%)【95 北科有機】

0)sincos(sincos =−++ dyyyxxdx

(5%)【95 清大電機】

0)1( =−+ ydxdyx 【95 台大生機電、交大機械】

0dyxyyxxdxyxxy1y 2222 =−++− )()( 【93 清大原子】

xyxyxy

dxdy

++

−= 223

(A) nonexact second order (B) has x-dependent integrating factor. (C) has an y-dependent integrating factor. (D) has an xy-dependent integrating factor. (5%)【94 中山機電】

範例 13

範例 10

範例 12

範例 11

範例 14


▒2-4 合併積分法證明在 p2-56 1. )( yxddydx ±=±

2. )(21 22 yxdydyxdx ±=±

3. )(xydydxxdy =+

4. )(2xydxydxxdy =− )(2

yxdy−=

)(tan)( 122xydyx −+= )(ln

xyxyd=

0)2( =−− xdydxyxy

(6%)【95 交大機械】

=dxxy2 ydxxdy +

=dxxy2 )(xyd

0)1( =−+ ydxdyx 【95 台大生機電、交大機械】

【詳解】 (+dy ydxxdy − 0) = +dyxydx2 0=

【另解】 (+dy ydxxdy − 0) = dyyxdy2− 0=

0dxdyxxy1yxy =−++ )()1( 【93 北科自動化】

( ydxxdy + () xy= ydxxdy − )

)(xyd xy= )ln(xyxyd

範例 6

範例 2

範例 3


32

32

yyxxxxyyy

++−−

=′

【交大運輸】

( ydxxdy − )(() 22 yx ++ ydyxdx + 0) =

xydyx 122 tan)( −+ )( 22 yx ++ )(

21 22 dydx + 0=

5. 11)(

−−=+ nmnm

yxyxdnxdymydx

0)2( 223 =′−+ yxyxy (10%)【92 北科高分子】

(2y xdyydx 2− 0) 2 =+ dyx

2y 32

−

−

ydxy 02 =+ dyx

▒2-5 一階線性常微分方程式

題型 1：標準型題型： )()( xQyxPy =+′

步驟：1 積分因子 ∫=dxxP

exI)(

)(

2 通解 ∫ += cdxxQxIyxI )()()(

)()( xQyxPy =+′

(1) Prove ∫= dxxPexI )()(

(2) general solution. 【92 交大電子、清大光電、91 北科電機、90 北科光電、中興機械】

範例 9

範例 8

範例 1


xeyxdxdy sin)(tan =−

【95 北科能源與冷凍】

)2sin(tan xxyy =+′ 【95 北科土木、93 清大原子、91 北科冷凍、台科化工、90 台大造船】

xxydx

xdyx 2)()( =−

(5%)【95 成大資源】

xxydxdyx sin3 2=+

【95 台大生環】

1)1()1(3)2( =

+−

−− yxx

dxdyx

(20%)【95 北科通訊】

題型 2：非線性 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯變數變換

線性

xyxyy 2)sin()cos( =+′ 【93 中央電機】

範例 11

範例 2(2)

範例 6

範例 5

範例 4

範例 8


x2y

x2y

1y1 1

2 =+′+−tan

【93 中央光電】

題型 3：顛倒型 )()( yQxyPdydx

=+

0)3( 2 =−+ − dyexdx y .

【95 交大機械、92 淡江土木】

▒ 2-6白努力、李卡迪

題型 1：白努力(Bernoulli)

αyxQyxPdxdy )()( =+ ( 1,0≠α )

222 yxyyx −=+′

(10%)【95 交大電子】

曲線 )21,1(),( 而xy 為該曲線上之一點

切線均與 y 軸相交於 22xy

【90 台科營建】

範例 12

範例 14

範例 6

範例 5


題型 2 李卡迪(Riccati)常微分方程式

題型： 2)()()( yxRxQyxPy +=+′

解法：1 已知解 ay =1 或baxy =1 或

bxaey =1

2 令 1yzy += 白努力方程式

222 xyxyyx =−+′

(10%)【95 台科自控】

x

xc

xx

xzy ++−

=+=ln

1

另解：

1已知解 ay =1 或baxy =1 或

bxaey =1

2令 11 yz

y += (O’Neil版本)

代入 2)()()( yxRxQyxPy +=+′ 可得第 2-5節『線性方程式』。

範例 8


▒2-7 參數變更法

(Variation of Parameters) 定義： 1. 齊性(homogenous)方程式

=+′ yxPy )( 0 2. 非齊性(nonhomogenous)方程式

=+′ yxPy )( )(xQ 解法 1先求『齊性解』：

0)( =+′ yxPy

cyh = ∫− dxxPe )( c= )(xh

2再求 =+′ yxPy )( )(xQ 『通解』：由參數變更法令通解為 )()( xhxy φ= ，代入 )()( xQyxPy =+′ ，得 )()()( xQxhx =′φ

)()()(

xhxQx =′φ

cdxxhxQx += ∫ )()()(φ

故通解為齊性解 hy +特解 py

)()( xhxy φ= ph yydxxhxQxhxhc +=+⋅= ∫ )()()()(

xxydx

xdyx 2)()( =− ?

(5%)【95 成大資源】

範例 1


第三章

二(高)階常係數命題型式：

1.二階常係數線性常微分方程式 )(xrcyybya =+′+′′ ( cba ,, 均為常數)

2.高階常係數線性常微分方程式 )(01)1(

1)( xryayayaya nn

nn =+′+++

−− LL

( 1a , 2a ,．．．．．．, na 均為常數)

superposition principle 【92 中央大氣】

1y and 2y are solutions of linear homogeneous equation 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa .

Then 2211 ycyc + the linear combinations also the solutions of the equation.

是非題： )(1 tx and )(2 tx are solutions of =++− )()(cos)(2

2

txedt

tdxtdt

txd t te−

then )()( 2211 txctxc + is also a solution. (3%)【92 交大電機】

是非題： )(1 tx and )(2 tx are solutions of =++− )()(cos)(2

2

txedt

tdxtdt

txd t 0

then )()( 2211 txctxc + is also a solution.

p3-11範例 1

p3-11範例 2

類似題


▒3-1 線性獨立與Wronskian行列式

線性獨立：

)}(,),(),({ 21 xxx nφφφ LL n 個函數，令 0)()()( 2211 =+++ xcxcxc nnφφφ LL ，

(1) 021 === nccc LL （唯一零解），則稱『線性獨立』(Linear Independent., L.I.)。

(2)若存在非零解，則稱『線性相依』(Linear Dependent., L.D.)。

是非題：

0)(')()( 1)1(

1)( =++++ −

− yxPyxpyxpy nnnn L non-trivial Tncccc ],,[ 21 L= satisfying

0)()()(

0)()()(0)()()(

)1()1(22

)1(11

2211

2211

=+++

=′++′+′=+++

−−− aycaycayc

aycaycaycaycaycayc

nnn

nn

nn

nn

L

M

L

L

then linearly independent. (2%)【95 交大電控】

【詳解】非! ∵

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≠

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

00

2

1

MM

nc

cc

(non-trivial) (非零解)

故 )(,),(),( 21 xyxyxy nL 為線性相依(linearly dependent)。

xxx 2cos,sin,cos 22 linearly dependent or independent? 【90 南台機械】

線性相依或線性獨立：

xxx xeee 33 ,, −−

【90 台科化工】

範例 1

範例 2

範例 7


Wronskian行列式)()()()()()()()()(

),,(

321

321

321

321

xxxxxxxxx

Wφφφφφφφφφ

φφφ′′′′′′′′′≡

若 )}(),(),({ 321 xxx φφφ 為『線性相依』

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nc

cc

M2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≠

0

00

M 0=W

反之，若 0≠W 則 )}(,),(),({ 21 xxx nφφφ LL 為『線性獨立』。

(1) 0 and xtan (2) )ln(x and )ln( 4x

(3) x2sin and ( )2sin x

(4) xx and 2x 【94 北科自動化、92 中原醫工】

0)()(22

=++ yxQdxdyxP

dxyd

)()()()()()()()(

)( 122121

21 xyxyxyxyxyxyxyxy

xW ′−′=′′

= .

(a) )()()( xWxPxW −=′ .

(b) ∫=− dxxP

kexW)(

)( (Abel’s formula )

0)2(22 =−+′+′′ yxyxyx ,2)1(,1)1(,0)1( 211 ==′= yyy and 3)1(2 =′y Find Wronskian )(xW . (10%)【台科電機】

範例 3

範例 4

範例 6


▒3-2 二(高)階齊性解

題型 0=+′+′′ cyybya

解法令 mxey =

得 02 =++ cbmam (特徵方程式) 21 , mmm =

由疊加法(superposition principle)

特徵值齊性解

21 mm ≠ (相異實根) xmxm

h ececxy 21 21)( +=

21 mm = (二重根) xmxm

h xececxy 11 21)( +=

iqpm ±= (共軛複根) ]sincos[)( 21 qxcqxcexypx

h +=

02 =−′+′′ yyy (10%)【95 台大土木】

044 =+′−′′ yyy 【95 北科土木、成大電機、94 成大水利、93 交大土木、清大原子】

05222

=++ ydxdy

dxyd (10%)【94 台大生環】

　

0=+′+′′ byyay B.C. Ay =)0( , By =′ )0(

妮可積慢看錯了常數 b 跟 B，得到 ( )xxey x 3sin23cos2 += −妮可

麥克積快看錯了常數 a 跟 A，得到 xx eey 323 +−=麥克【改編自 90 台大電機】

範例 5

習題 6

範例 9

範例 11

範例 4


0'" =++ ByAyy , 042


constant coefficient, homogeneous, linear )3cos(2 xxy = as a particular solution.

Let n be the order of the highest derivative

(a) smallest possible value of n?

(b) general solution. (10%)【95 台大機械】

A linear homogeneous constant coefficients has a solution xx cos3 .

its order at least (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 【93 交大電控】

是非題：homogeneous linear 0'" 012)1(

1)( =+++++ −− yayayayaya

nn

nn L

Let r be a root with multiplicity k . If 0)( )1( =+kxu , then rxexuxy )()( = is a solution. 【95 交大電控】

範例 15

範例 16


▒3-3特解

題型： =+′+′′ cyybya )(xr

step1『齊性解』 )(xyh

step2『特解』 )(xyp

step3『通解』 )()()( xyxyxy ph +=

求特解 )(xyp ，四種方法:

1.待定係數法 2.參數變更法 3.積分公式法 4.逆算子法

題型 1：待定係數法

forcing term )(xr 特解 py

axe axAe )cos( φ+ωx )sin( φ+ωx

)sin()cos( φ+ω+φ+ω xBxA

)cosh( φ+ωx )sinh( φ+ωx

)sinh()cosh( φ+ω+φ+ω xBxA

nx ( Nn∈ ) 011

1 AxAxAxAn

nn

n ++++−

− LL

以上各項之和以上各項之和

以上各項之積以上各項之積

xeyyyy −=+−′′−′′′ 644 . (10%)【95 成大電機、電通、微電子】

12410 =+′+′′ yyy 【93 雲科電機】

範例 2

範例 3


x10y2yy cos'" =−− . (15%)【93 暨南電機】

xyy 4cosh283 =′+′′ . (10%)【91 成大造船】

xydx

yd 22

2

cos=+ (5%)【95 成大環工】

)2cos1(21sin2 xx −= )2cos1(

21cos2 xx +=

xyyy 2sinh212 =−′−′′ (10%)【91 成大微電子】

【分析】 )(cosh21sinh 1x2x2 −= )(cosh

21cosh 1x2x2 +=

【詳解】由待定係數法，令 CxBxAyp ++= 2cos2cosh

,3222

+=++ xydxdy

dxyd

(20%)【94 成大工科】

forcing term )(xr 特解 py

以上各項之和以上各項之和

以上各項之積以上各項之積

xeyyy x cos2 −=+′+′′ . (15%)【95 成大系船】

令 =pyxe− )sincos( xBxA +

範例 4

範例 9

範例 10

範例 8

習題 7

範例 11


待定係數法的缺點 1 24. xyy tan=+′′

【94 北科機械插大三、93 淡江化工、92 海洋導航、91 北科化工】

25. xydx

yd sec22

=+

【95 中興化工、北科土木、94 台科化工、92 中央物理、91 暨南電機】 26. xyy 3csc364 =+′′ 【95 元智機械】

27. xex

yyy −=+′+′′ 12 【94 台科機械】

28. xx

eeyy+

=−′′1

【91 北科高分子】

31. )(23 322

tt eeydtdy

dtyd cos=+− 【90 淡江機械】

待定係數法的缺點 2

xeyyy 83'2" =−+ (20%)【93 台科機械】

1齊性解 xxh ececy 23

1 +=−

2特解：由待定係數法，令 Ayp = xxe

teyyy −=+′+′′ 2 , 【94 成大系統、93 中山海工】

齊性解 tth tececy−− += 21

特解：由特定係數法

令 Ayp =2t te−

　　　

,222

xxeydxdy

dxyd −=++ 【95 交大土木、92 台大土木】

1齊性解 xxh xececy−− += 21

2特解：由待定係數法令 )( BAxy p +=2x xe−

範例 21

範例 20

範例 13


共振 xyy ωω cos2 =+′′

xxydx

xyd 4cos)(16)(22

=+ (5%)【95 成大資源】

xcxcyh 4sin4cos 21 += 由待定係數法，令 Ayp = x Bx +4cos x x4sin

共振(Resonance)現象？ (10%)【94 台科營建】

超共振

xyy ωω cos2 =+′′ 共振

xxyy ωω cos2 =+′′ 超共振

xxyy sin=+′′ 【95 交大電子】

xcxcyh sincos 21 +=

由待定係數法令 )( 11 BxAyp += x xcos )( 22 BxA ++ x xsin

範例 14

範例 16

立即練習 14


題型 2 參數變更法

)()()()( 012 xryxayxayxa =+′+′′ variation of parameters )()()( 2211 xhcxhcxyh +=

DERIVE the particular solution.(10%)【95 台科光電】

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′ )(

)(0

22

1

21

21

xaxr

hhhh

φφ

由 Cramer rule

)()()(

)(0)(

)()()()(

22

2

121

21

xhxaxr

xhx

xhxhxhxh

′=′′′φ

)()()(

0)()(

)()()()(

21

1

221

21

xaxrxh

xhx

xhxhxhxh

′=′′′φ

xydx

yd sec22

=+ 【95 中興化工、北科土木、94 台科化工、92 中央物理、91 暨南電機】

三階 )()()()()( 0123 xryxayxayxayxa =+′+′′+′′′

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′′′′′′′′

)()(

00

)()()(

)()()()()()()()()(

33

2

1

321

321

321

xaxrx

xx

xhxhxhxhxhxhxhxhxh

φφφ

【註】又稱為『降階法』(reduction of order)。

範例 25

範例 23


是非題：

)(,),(),( 21 xyxyxy nL homogeneous 0)()( 0)1(

)1()( =+++ −− yxpyxpy

nn

n L

Suppose )(,),(),( 21 xuxuxu nL

)(

)()(

)1()1(22

)1(11

2211

2211

xfyuyuyu

xfyuyuyuxfyuyuyu

nnn

nn

nn

nn

=′++′+′

=′′++′′+′′=′++′+′

−−− L

M

LLL

LLL

then nn yuyuyu +++ L2211 particular solution

)()()( 0)1(

)1()( xfyxpyxpy nn

n =+++ −− L . (2%)【95 交大電控】

非!

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡′′′

−−− )(

00

2

1

)1()1(2

)1(1

21

21

xfu

uu

yyy

yyyyyy

nn

nnn

n

n

MM

L

O

L

L

即

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′++′+′

=′′++′′+′′=′++′+′

−−− )(

00

)1()1(22

)1(11

2211

2211

xfyuyuyu

yuyuyuyuyuyu

nnn

nn

nn

nn

L

M

LLL

LLL

才對!

題型 3 逆算子法 (輔助代定係數法求特解)： O.D.E. )(xrcyybya =+′+′′

定義微分算子(the differential operator) dxdD ≡ , 2

22 )()(

dxd

dxd

dxdDDD === ,

簡代成 )()( 2 xrycbDaD =++

線性多項式算子(linear polynomial operator)

cbDaDDL ++= 2)(

O.D.E. )()( xryDL =

範例 29


優點 1 令 0)( =mL 特徵方程式 02 =++ cbmam 21,mmm = 可得齊性解

優點 2 特解為 )()(

1 xrDL

y p =

其中)(

1DL

稱為逆算子(invers operator)

公式群 1 陳立(爺爺)

公式群 2 陳正賢(兒子)

陳妤旋(女兒)

公式群 3 陳多項(孫子)


公式群 1 陳立(爺爺)

遮住法 axax eaL

eDL )(

1)(

1= )0)(( ≠aL

惡霸公式法 )()(

1)()(

1 xfaDL

exfeDL

axax

+=

積蛋公式法 )(1)(1 0 xfexfeaDaxax =

−

1遮住法 axax eaL

eDL )(

1)(

1= )0)(( ≠aL

xeyyyy −=+−′′−′′′ 644 . (10%)【95 成大電機、電通、微電子】

12410 =+′+′′ yyy 【93 雲科電機】

xeyyy 83'2" =−+ (20%)【93 台科機械】

2惡霸公式法 )()(

1)()(

1 xfaDL

exfeDL

axax

+=

xeyyy 83'2" =−+ (20%)【93 台科機械】

3積蛋公式法 )(1)(1 0 xfexfeaDaxax =

−

xeyyy x cos2 −=+′+′′ . (15%)【95 成大系船】

範例 2

範例 3

範例 13

範例 13

範例 11


xxeyyy =+′−′′ 23 【93 中山機電】

xeyyy 83'2" =−+ (20%)【93 台科機械】

teyyy −=+′+′′ 2 , 【94 成大系統、93 中山海工】

　　　

,222

xxeydxdy

dxyd −=++ 【95 交大土木、92 台大土木】

xexyyy 2)1(4'4" +=+− 【94 台科高分子、93 北科化工、91 北科製造】

公式群 2 陳正賢(兒子)陳妤旋(女兒)

1遮住法)sin()cos(

).(1

)sin()cos(

),(1

22 φωφω

ωφωφω

++

−=

++

xx

DLxx

DDL

xyyyy cos64 =+′+′′−′′′ 【91 台大機械】

xyyy cos168 =+′′+′′′′ . (10%)【92 交大機械】

xyy 2cos10−=′−′′′ 【91 暨南電機】

x10y2yy cos'" =−− . (15%)【93 暨南電機】

範例 13

範例 12

範例 21

範例 20

範例 22

範例 7

範例 6

範例 4

範例 5


)sinh()cosh(

).(1

)sinh()cosh(

),(1

22 φωφω

ωφωφω

++

=++

xx

DLxx

DDL

xyy 4cosh283 =′+′′ . (10%)【91 成大造船】

xxydx

xyd 4cos)(16)(22

=+ ? (5%)【95 成大資源】

2共振

ωωω

ω

ωωω

ω

2cossin1

2sincos1

22

22

xxxD

xxxD

−=

+

=+

ωωω

ω

ωωω

ω

2coshsinh1

2sinhcosh1

22

22

xxxD

xxxD

=−

=−

)sin(cos11 2222 xixDe

aDxi ωω

ωω +

+=

+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=+

xxxD

xxxD

ωω

ωω

ωω

ωω

cos2

sin1

sin2

cos1

22

22

x

x

ωω

ωω

sin4

1

cos4

1

2

2

+

+

(最後一項可能會與齊性解 L.D.，往往可以刪去！)

xxydx

xyd 4cos)(16)(22

=+ ? (5%)【95 成大資源】

範例 8

範例 14

範例 14

範例 15


3超共振 xDL

xDL

xxxDL

ω′+ω=ω sin))(

1(sin)(

1sin)(

1

xDL

xDL

xxxDL

ω′+ω=ω cos))(

1(cos)(

1cos)(

1

4 2

2

222 8sinsin

)(1

ωωω

ωxxx

D−=

+ 2

2

222 8coscos

)(1

ωωω

ωxxx

D−=

+

.sin xxyy =+′′ 【95 交大電子】

particular solution =y 2x )3cos( x n be the highest order . (10%)【95 台大機械】

(a) homogeneous 6=n

(b) nonhomogeneous 2=n

公式群 3 陳多項(孫子)

升冪長除法

)(1DL

=nx )( 2210 nnDaDaDaa L+++nx )( Nn∈

計算到與多項式 nx 的次方相同為止。

,3222

+=++ xydxdy

dxyd (20%)【94 成大工科】

範例 19

範例 16

範例 10


題型 4 積分公式法 ∫ −=− dxxfeexfmDmxmx )()(1

)(23 322

tt eeydtdy

dtyd cos=+− 【90 淡江機械】

題型 5 綜合觀念

second-order xbaey x cos+= (10%)【92 台大化工】

second-order )(xfcyybya =+′+′′ homogeneous solution 1)(1 =xy and

xexy 32 )(−=

particular solution xxy p +=2

(15%)【95 元智光電】

ph yyy +=xxxx execxecec 2233

22

21 10

7+++= − 【台大化工】

範例 32

範例 33

範例 31

範例 34


第四章

二(高)階變係數微分方程式 ▒ 4-1 尤拉-柯西等維

題型 1 齊性等維方程式 02 =+′+′′ cyybxyax

令 mxy = 得特徵方程式 0)1( =++− cbmmam 因式分解 21 , mmm =

1 21 mm ≠ (相異實根) 21 21)(mm

h xcxcxy +=

2 21 mm = (二重根) 11 ln)( 21mm

h xxcxcxy ⋅+=

3 iqpm ±= (共軛複根) )](lnsin)(lncos[)( 21 xqcxqcxxyp

h +=

0)(3)(5)(2 22

2 =+− xydx

xdyxdx

xydx (15%)【94 台大化工】

01352 =+′+′′ yyxyx (15%)【95 台大生機電】

題型 2 二階非齊性 Euler-Cauchy等維方程式

(a) 02 =−′+′′ yyxyx

(b) xyyxyx =−′+′′2 (20%)【92 淡江機械】

Euler-Cauchy Equations can be transformed into Constant-Coefficient Equations

【93 中興機械、92 中央大氣】

範例 1

範例 4

範例 8

範例 9


xxyyxyx 264 22 +=+′−′′ (10%)【95 台科自控】

題型 3 三階 )(23 xrfyycxybxyax =+′+′′+′′′

令 tex = ， xt ln= ，dtdD ≡

得 )(})1()2)(1({ tryfcDDbDDDaD =++−+−−

xyyxyxyx 22223 =+′−′′+′′′ (16%)【95 交大機械】

題型 4 座標平移型

xyyxyx =+′−+′′− )2(3)2( 2 (15%)【94 北科電機】

範例 14

範例 16

P4-51習題 4


▒4-2 相命

解法齊性解 )(xh 參數變更法令 )()( xhxy φ= 『降階法』

題型 1

題目給齊性解型

(算命仙之言)

Given homogeneous x and xxe 32 2)2()2( xyxyxxyx =++′+−′′

using the Method of Variation of Parameter.(15%)【93 成大電機】

xxy1

sin= 02 =+′+′′ xyyyx 【93 雲科機械】

題型 2

自己觀察型

(要自己找齊性解)

範例 1

立即練習 4


)()()()( 012 xryxayxayxa =+′+′′ 齊性解 (1) 0012 =++ aaa 0012 =+− aaa

00122 =++ amaam

xexh =)( xexh −=)(

mxexh =)(

(2) 001 =+ xaa 0)( 01 =++ amxa

xxh =)( mxxh +=)(

(3) 0tan 012 =−+ axaa 0cot 012 =−− axaa

xxh cos)( =xxh sin)( =

證明 (1) 若已知 xexy =)( 為一齊性解，

代入 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa

得 0)()()( 012 =++xxx exaexaexa

0)()()( 012 =++ xaxaxa (2) 若已知 xexy −=)( 為一齊性解，

代入 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa

得 0)()()( 012 =+−−−− xxx exaexaexa

0)()()( 012 =+− xaxaxa (3) 若已知 mxexy =)( 為一齊性解，

代入 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa

得 0)()()( 0122 =++ mxmxmx exaexmaexam

0)()()( 0122 =++ xaxmaxam

(4) 若已知 xxy =)( 為一齊性解，

代入 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa

得 0)(1)(0)( 012 =⋅+⋅+⋅ xxaxaxa

0)()( 01 =+ xxaxa

(5) 若已知 mxxy +=)( 為一齊性解，

代入 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa

得 0)()(1)(0)( 012 =+⋅+⋅+⋅ mxxaxaxa

0)()()( 01 =++ xamxxa

(6) 若已知 xxy cos)( = 為一齊性解，

代入 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa

得 0)(cos)(sin)(cos 012 =⋅+⋅−⋅− xaxxaxxax

0)()(cossin)( 012 =−⋅+ xaxax

xxa


0)()(tan)( 012 =−⋅+ xaxaxxa

(7) 若已知 xxy sin)( = 為一齊性解，

代入 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa

得 0)(sin)(cos)(sin 012 =⋅+⋅+⋅− xaxxaxxax

0)()(sincos)( 012 =−⋅− xaxax

xxa

0)()(cot)( 012 =−⋅− xaxaxxa

0 ,)12()22( ≠−=′−+′′ xyx

yx

y (20%)【95 中央土木】

0)()1( =+′−′′− xyyxyx . 【95 清大工系、90 台科自控】

double root 11,mmm =xmxm xececy 11 21 += 【中興機械】

022)1( 2 =+′−′′+ yyxyx (15%)【95 台科機械】

02)12( =+′+−′′ yytyt (20%)【92 台大應力】

xeyxdxdyx

dxydx =++ )sin(3)cos(2)sin( 2

2

(13%)【95 北科自動】

令 )(cos xxy φ⋅= 得 xexxxx =′−+′′ φφ )sin(cos2cossin 22 xexx 22cos42sin =′+′′ φφ

範例 9

範例 7

範例 5

範例 10

範例 14

範例 8


xe

xx x

2sin2

2sin2cos4 =′+′′ φφ 降為一階 O.D.E.

xe

xx

dxd x

2sin2

2sin2cos4 =′+

′φφ

1 積分因子： xexIdx

xx

2sin)( 22sin2cos22

=∫=

2 通解： ∫∫ =⋅=′ xdxedxxexxxI x

x

2sin22sin

22sin)()( 2φ 1)2cos22(sin52 cexx x +−=

x

cx

exxxx

2sin2sin)2cos22(sin

52)( 2

12 +

−=′φ xce

xxe

xxx 2csc

2sin2cos2

2sin1

52 2

12 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

d

x

x

ex

x

ex

2sin2cos2

2sin1

2−

∫

xcdxexxdxe

xx xx 2cot

21

2sin2cos2

2sin1

52)( 12 −⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ −= ∫∫φ

xcdxexxdxe

xxe

xxxx 2cot

2sin2cos2

2sin2cos2

2sin1

52

122∗+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∫∫

21 2cot2sin1

52 cxce

xx ++= ∗ xe

xcxc

2sin1

522cot 21 ++=

∗

)2sin

1522cot(cos 21

xex

cxcxy ++⋅= ∗

xex

xxcxxcy2sin

1cos52cos2cotcos 21 ⋅++⋅=

∗

xexx

xxcxxccossin2

1cos52cos2cotcos 21 ⋅++⋅=

∗

xexcxxc

x

sin51cos2cotcos 21 ++⋅=

∗


▒4-3 高階正合方程式

02)1( 2 =′+′′+ yxyx 【93 台大電機】

題型 )()()()( 012 xryxayxayxa =+′+′′

條件若 0210 =′′+′− aaa 正合降為一階

02)1( 2 =′+′′+ yxyx 【93 台大電機】

xyyxyx =+′−+′′− )2(3)2( 2 (15%)【94 北科電機】

4-1 更快

題型 )()()()()( 0123 xryxayxayxayxa =+′+′′+′′′

條件若 03210 =′′′−′′+′− aaaa 正合降為一階

)(0123 xryayayaya =+′+′′+′′′

第 92 對基因(92共識)，

通關密語：『3階正合 O.D.E.』

03210 =′′′−′′+′− aaaa

▒4-4 因變數變更(參數變更) 題型 )()()( xRyxQyxPy =+′+′′

(1) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=′−−2

2

21

41

xCC

PPQ

範例 5

習題 4

範例 4

範例 4


(2) 取 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= ∫ dxxPxh )(2

1exp)(

令 )()( xhxy φ=hR

xCC

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+′′ φφ2

0)46(6 22 =−+′+′′ yxyxyx (15%)【94 台大生機電】

範例 1


▒4-5 自變數變更

題型 )()()( xRyxQyxPy =+′+′′

BxQt )(=′ B( 為任取之一個常數 )

check : At

tPt?)( 2=

′′+′′ (常數)

常係數 22

2

)(tRBy

dtdyA

dtyd

′=++

041

21

=+′+′′ yx

yx

y (10%)【95 清大電機】

(A) ∑ ∑∞

=

∞

=

−

+−

+−

=0 0

21

21 )!12()1(

)!2()1(

n n

nnnn

xn

cxn

cy

(B) ∑ ∑∞

=

∞

=

+

+−

+−

−=

0 0

21

21 )!12()1(

)!12()1(

n n

nnnn

xn

cxn

cy

(C) ∑ ∑∞

=

∞

=

+

+−

+−

=0 0

21

21 )!12()1(

)!2()1(

n n

nnnn

xn

cxn

cy

024 =−′+′′ yyyx . 【成大電機】

柯南誤喝了劉德滑的忘情水在柯南的媽媽柯媽媽的奔走下政府終於通過第三責任險，

只要柯南化名為第三者柯西，就可以相等的維度(等維)解開忘情水的等維方程式，

恢復原來的身高，我們稱該方程式為柯西等維方程式： 02 =+′+′′ yyxyx

假如你是他的叔叔柯四海，你如何利用本單元的自變數變更法，來說明令 xt ln= ，柯南身高就可以

變成長係數(常係數)方程式： 022

=+ ydx

yd

範例 5

範例 2

範例 1


▒4-6 缺項型微分方程式

題型 1 因變數 y缺項

O.D.E. ),( yxfy ′=′′

令 py =′ ，則 py ′=′′

降為一階 O.D.E. ),( pxfp =′

01)( 222

=++dxdy

dxyd (13%)【95 北科自動】

題型 2 自變數 x缺項

O.D.E. ),( yyfy ′=′′ 令 py =′ ，則dydP

dxdPy ==′′

dydPP

dxdy

=

可降為一階 O.D.E. ),( PyfdydPP =

Find the general solution of 2)(2 yyyy ′=′+′′ . (10%)【96 台大化工】

【詳解】令 py =′ ，則dydpp

dxdy

dydp

dxdp

dxydy ===′

=′′

代入 O.D.E.得 22 ppdydpyp =+ 2−= p

dydpy

由分離變數法 y

dypdp

=− 2

積分得 cycyp lnlnln2ln =+=− )2(2 1 +=+= yccyp

可降為一階 O.D.E. )2(1 += ycdxdy

，

由分離變數法 dxcydy

12=

+

積分得 221 lnlnln2ln 1 cecxcyxc +=+=+ xcec 12ln=

xcecy 122 =+

範例 1

類題 7


第五章聯立 O.D.E.

1. 微分算子消去法 (第五章)

2. Laplace變換 (第八章)

3. 矩陣法 (第二十四章)

⎩⎨⎧

++=′

++=′texxx

xxx3

212

211

45

833 (20%)【94 台科機械】

第六章拉卜拉斯

(Laplace)變換預備理論 ▒6-1『微積分第一定理』與『萊布尼茲法則』

題型 1 微積分第一定理

∫=x

x

y dyedxdxf

3 2)( 【91 成大工科】

題型 2 『萊布尼茲法則』(Leibnitz’s Rule)

?)2cos(0

2

=∫∞ − dtxte t 【91 師大機電】

範例 1

範例 1

範例 4


101−

a

dxx

xI ∫=2 sin)(

α

α

αααd

dI【中興環工所】

▒ 6-2 Unit Step Function (Heavside function)

1. 定義：

(1) ⎩⎨⎧

≡01

)(tu 00

<>

tt

1

0

(2) ⎩⎨⎧

=−01

)( atu aa

tt<>

1

2. 性質：

(1) ⎩⎨⎧

=−01

)1( 2xu 0101

2

2

−

xx

1

⎩⎨⎧

=01

11or

11 2

− ab

a b

範例 7


∫ − dttut )1(3

【95 北科機電】

▒6-3 Delta Function(Unit Impluse Function)

1. 定義﹕

(1) ⎩⎨⎧∞

=0

)(xδ 00

≠=

xx

∫∞

∞−=1)( dxxδ

(2) ⎩⎨⎧∞

=−0

)( axδ axax

≠=

∫∞

∞−=− 1)( dxaxδ

2. (1) )()0()()( xfxxf δδ =

(2) )()()()( axafaxxf −=− δδ

9. 0)( =xxδ

3. (1) )()( xxu δ=′

(2) )()( axaxu −=−′ δ

範例 1

範例 4


4. (1) ∫∞

∞−dxxgx )()(δ ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−== dxxgdxgx )()0()0()( δδ )0(g=

(2) ∫∞

∞−=− )()()( agdxxgaxδ

7. ∫∞

∞−= )0(1)()( f

adxxfaxδ

10. )()( xx δδ =−

8. )(1)( xa

ax δδ =

11. )()()()()]()([ xxfxxfxxf δδδ ′+′=′

)()0()()0()()( xfxfxxf δδδ ′−′=′

)()()( 00 tfdttttf =−∫∞

∞−δ (10%)【93 中山海下】

∫∞

∞−− dttxbat )()(δ 【台科電子】

▒ 6-4 Gamma Function

1. 定義： dttex xt∫∞ −−≡Γ

0

1)( )0( >x

2. 特性： (1) )()1( xxx Γ=+Γ

(2) π=Γ )21(

(3) 1)1( =Γ

(4) !)1( nn =+Γ )( Nn∈∀

範例 1

範例 2


(1) )()1( xxx Γ=+Γ (2) π=Γ )21( 【95 中山光電】

(3) 1)1( =Γ (4) !)( n1n =+Γ 【94 台大生機電】

(1) )5(Γ (2) )27(Γ (3) )

27(−Γ (4)

)(7

)(3

41143

Γ

Γ 【91 中山光電】

範例 4

範例 5

第一章 微分方程式緒論 - chenlee.com.t · 因變數y 及導數y(n) 相乘之項。 範例7...

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第一章微分方程式緒論 - chenlee.com.t · 因變數y 及導數y(n) 相乘之項。範例7...