www.yzeeed.com

1

www.yzeeed.com

الخطية- المعادلاتالمعادلات-

: تحتوي- التي الرياضية الجملة المعادلةإشارة بينهما يفصل جبريتين عبارتين على

المساواة)=(تجعل- التي المتغير قيم إيجاد عملية

. المعادلة حل تسمى صحيحة المعادلةحلول- أحد منها قيمة كل تمثل

تسمى. الحلول هذه ومجموعة المعادلة. الحل مجموعة

تكتب: أعداد أو اشياء تجمع هي المجموعةمنها { } كل بين ويفصل القوسين بين غالبا

. ) ( عنصرا منها عدد كل ويسمى ،الأعداد- مجموعة فهي التعويض مجموعة

لتحديد المتغير قيمة عن بها نعوض التي. الحل مجموعة

2

www.yzeeed.com

قيم- لجميع تكون التي المعادلة تسمى . مجموعة حلها ويكون متطابقة فيها المتغير

. الحقيقية الأعداد

المعادلات- حلالذي - المتغير قيمة إيجاد هو المعادلة حل

. صحيحة يجعلها. نفسة- الحل لها المتكافئة المعادلةالعدد- وطرح صحيحة المعادلة كانت إذاالمكافئة المعادلة فإن طرفيها كلا من نفسة

. صحيحة ايضا هي الناتجةالمساواة- في الضرب خاصية

كلاهما وضرب صحيحة المعادلة كانت إذا ) المعادلة ) فإن الصفر غير نفسة العدد في

. ايضا صحيحة الناتجة المكافئةالقسمة- خاصية

من كل وقسم صحيحة المعادلة كانت إذا ) فإن ) الصفر غير نفسة بالعدد طرفيها

. ايضا صحيحة الناتجة المكافئة المعادلة

3

www.yzeeed.com

الخطوات- المتعددة المعادلات حلخطوة - من أكثر تتطلب التي المعادلة

. الخطوات متعددة معادلة تسمى لحلها مفهومأساسي

المتتالية الصحيحة الأعداد

اللفظي النوع مثالالرموزالتعبيرصحيحة أعدادمتتالية

العد بترتيب مرتبة ،ن+1ن،ن+أعداد2...،

0 ،1 ،2... ،

صحيحة أعدادمتتالية زوجية

العدد يتبعة زوجي صحيح عددالأتي الزوجي الصحيح

،ن+2ن،ن+4...،

عدد ن حيثزوجي

2 4 6، ،....،

صحيحة أعدادمتتالية فردية

العدد يتبعة فردي صحيح عددالأتي الفردي الصحيح

،ن+2ن،ن+4...،

عدد ن حيثفردي

1 3 6، ،....،

في - متغيرا تحتوي التي المعادلات حلطرفيها

: المسألة حل خطوات

4

www.yzeeed.com

طرفي - 1 في الموجودة العبارات بسطإن التوزيع خاصية واستعمل المعادلة

. ذلك إلى احتجتالطرح- 2 خاصية أو الجمع خاصية استعمل

مكافئة معادلة على للحصول المساواة فيوالأعداد طرفيها أحد في المتغيرات تكون

. بسط ثم ، الآخر الطرف في الثابتةخاصية- 3 أو الضرب خاصية استعمل

. المعادلة لحل المساواة في القسمة

القيمة- تتضمن التي المعادلات حلالمطلقة.

المطلقة- القيمة معادلاتهناك مطلقة قيما تتضمن معادلات حل عند

الاعتبار بعين أخذهما يجب حالتانموجبة- 1 المطلقة القيمة رمز داخل العبارة

. صفرا أوالمطلقة- 2 القيمة رمز داخل العبارة

سالبة.5

www.yzeeed.com

الرموز كانت إذا ،ب أ حقيقين عددين |لأي ب=|أ

. ب = = - أ أو ب أ فإن= 10= |د| د د = -10إذن 10أو

الخطية- الدوالالعلاقات-

6

www.yzeeed.com

الإحداثي - خطي: النظام تقاطع من يتكون. الرأسي والمحور الأفقي المحور هما أعداد

-: المرتب الصورة الزوج على يكتبان عددان) ص) س،

السيني،وتمثل- لإحداثي با س قيمة تسمىللنقطة المسقط .الأفقي

وتمثل- الصادي لإحداثي با ص قيمة تسمى.المسقط للنقطة الرأسي

المرتبة- الأزواج مجموعة تسمىبعدة علاقة العلاقة هذه وصف ،ويمكن

مرتبة،تمثيل طرائق : أزواج. سهمي بياني،جدول،مخطط

ترتبط- كيف السهمي المخطط ويوضحعلى ويطلق بالمدى، المجال عناصر

المرتبة الأزواج في الأولى الأعداد مجموعة7

-3024

532

-1

www.yzeeed.com

الثانية الأعداد مجموعة وعلى المجالالمدى.

مخرجات- قيم يحدد الذي المتغير يسمى . الذي المتغير أما المستقل المتغير العلاقة

فيسمى المتغير قيم على قيمتة تعتمد. التابع المتغير

الدوال -بالمخرجات،: الداله- المدخلات تربط علاقة

فقط واحدة مخرجة هناك يكون أن على. مدخلة لكل

مجالها- في عنصر كل تربط علاقة الدالةالمدى من فقط واحد بعنصر

8

ص

س

ص

س

ص

س

دالة دالة دالةليست

www.yzeeed.com

بنقاط - بيانيا تمثل التي الدالة تسمىمتصلة غير

. منفصلة دالةدون- أومنحنى بخط تمثل التي الدالة

فتسمى انقطاع. متصلة دالة

الرأسي- الخط اختبار استعمال يمكنأم دالة يمثل البياني التمثيل كان إذا لتتحقق

البياني التمثيل الرأسي الخط قطع فإذا لا،. دالة يمثل لا فإنه نقطة من أكثر في

العدد- عن متغيرها أس يختلف التي 1الدالةليسخطا البياني خطية،وتمثيلها غير تسمى

مستقيما.

9

www.yzeeed.com

- بيانيا الخطية المعادلات تمثيلتمثل - التي المعادلة هي الخطية المعادلة

أ مستقيم بخط مستقيم،وتكتب بخط بيانياجـ + = ص ب س

، الخطية للمعادلة القياسية الصورة وتسمىب س، أ وتمثل ، الثابت الحد جـ ويسمى

. الجبرية الحدود صهي- الخطية للمعادلة القياسية الصورة

أ + = جـ ص ب س و 0≥أ أ قيما تكون ولا . صحيحة أعداد جـ ، ب ، أ صفرا معا ب

لها الأكبر المشترك 1والعامل- بيانيا الخطية المعادلات حلبيانيا - تمثل دالة هي الخطية الدالة

بمستقيم.10

www.yzeeed.com

=) ( -، س س د هي خطية دالة وابسط ) لمجموعة ) الأم المولدة الدالة وتسمى

. الخطية الدوال ) لمجموعة- ) الأم المولدة (= الدالة س) س د

مستقيم- خط البياني التمثيل نوعالحقيقية- الأعداد جميع المجال

الحقيقية- الأعداد جميع المدى

الجذر حل- أو تجعل المعادلة قيمة أي هو . جذر الخطية وللمعادلة صحيحة المعادلة

. الأكثر على واحد = ) ( س- د تجعل التي س قيم 0تسمى

الدالة .أصفاروالميل - التغير معدل- : تغير معدل تصف نسبة هو التغير معدل

. أخرى كمية لتغير بالنسبة كميةالتغير معدل

11

www.yzeeed.com

وص ، المستقل المتغير هي كانتس إذافإن التابع المتغير

فيص = التغير التغير معدلفيس التغير

. خطية- كدوال الحسابية المتتابعاتمن : - مرتبة مجموعة الحسابية المتتابعات

. حدا فيها عدد كل ويسمى ، الأعدادأو- يزيد عددي نمط الحسابية المتتابعة

. المتتابعة أساس يسمى ثابت بمقدار ينقصحسابية- متتابعة في النوني الحد

12

www.yzeeed.com

حدها حسابية لمتتابعة النوني الحد عن يعبرأ أ : 1الأول بالصيغة د -1أ=نوأساسها ن+)

1. موجب( صحيح عدد ن حيث ، د

الخطية - الدوال تحليلالميل- بصيغة المكتوبة المعادلات تمثيل

بيانيا والمقطع - : الميل صيغة والمقطع الميل صيغة

= مس : ص هي الخطية للمعادلة والمقطعب+

13

ص

س

(س،ص)

( 1،ص1س )

www.yzeeed.com

الصادي = = المقطع ب ، الميل مب = = الصادي المقطع م الميل

والمقطع - الميل بصيغة المعادلات كتابةتنبوءات - لإجراء الخطية المعادلة استعمال

مدى تتجاوز التي القيم حولالتنبوء العمليه هذه البيانات،وتسمى

الخطي.ونقطة - الميل بصيغة المعادلات كتابة - - ص ص الخطية المعادلة -1تعبر س = ) مالرأسي( 1س غير المستقيم معادلة عن

س ) ونقطة،حيث الميل نقطة( 1،ص1بصيغةهذا ميل المستقيم،م على تقع معطاة

المستقيمص- - 1ص س = ) س (1م

والمستقيمات- المتوازية المستقيماتالمتعامدة

-: المستقيمان المتوازيان المستقيمانيقطع ولا نفسه المستوى في الواقعان

14

www.yzeeed.com

مستقيمين الآخر،يسميان أحدهما. نفسه الميل لهما متوازيين،ويكون

: المستقيمان- المتعامدان المستقيمانقوائم زوايا مكونين يتقاطعان اللذان

ميل متعامدين،ويكون مستقيمين يسميان. الآخر مقلوب معكوس منهما كل

والمستقيمات- المتوازية المستقيماتالمتعامدة

15

www.yzeeed.com

الخطية - المتبايناتالطرح- أو بالجمع المتباينات حل

للمتباينات - الجمع خاصيةطرفي من كل إلى نفسة العدد أضيف إذا

تبقى الناتجة المتباينة فإن صحيحة متباينةلأيه . صحيحتان الآتيتان العبارتان صحيحة

جـ : ، ب ، أ أعداد1 + > + جـ- < ب جـ أ فإن ب أ كانت إذاجـ- > + > + 2 ب جـ أ فإن ب أ كانت إذا

للمتباينات- الطرح خاصيةطرفي من كل إلى نفسة العدد طرح إذا

تبقى الناتجة المتباينة فإن صحيحة متباينةلأيه . صحيحتان الآتيتان العبارتان صحيحة

جـ : ، ب ، أ أعداد1 - > - جـ- < ب جـ أ فإن ب أ كانت إذاجـ- > - > - 2 ب جـ أ فإن ب أ كانت إذا

16

www.yzeeed.com

متباينة- على تدل التي العباراتمتباينة على تدل التي العبارات

<>≥≤

من أقلمن أصغر

من أكبرمن أكثر

يساوي أو من أقليزيد الأكثر،لا على

على

يساوي أو من أكبريقل ،لا الاقل على

عن

المتباينات - حلللمتباينات- الضرب خاصية

صحيحة- 1 متباينة طرفي من كل ضرب إذاالناتجة المتبايتة تكون موجب عدد في

أيضا صحيحةموجب عدد ولأي ب ، أ حقيقين عددين لأي

جـ جـ < < ب جـ أ فإن ب أ كانت إذا

صحيحة- 2 متباينة طرفي من كل ضرب إذاالمتباينة اتجاة تغيير يتعين سالب عدد في

أيضا صحيحة الناتجة المتباينة لجعلموجب عدد ولأي ب ، أ حقيقين عددين لأي

جـ < > ، جـ ب جـ أ فإن ب أ كانت إذا

جـ > < ب جـ أ فإن ب أ17

www.yzeeed.com

للمتباينات- القسمة خاصيةصحيحة- 1 متباينة طرفي من كل قسم إذا

الناتجة المتباينة تكون موجب عدد على أيضا صحيحة

حقيقي عدد وأي ب ، أ حقيقين عددين لأي > فأن ب أ كان إذا جـ جبـ < جـأموجب

فأن> ب جبـ < جـأأمتباينة- - 2 طرفي من كل قسم إذا

اتجاه تغيير يجب سالب عدد على صحيحةالناتجة المتباينة لجعل المتباينة إشارة

صحيحة حقيقي عدد وأي ب ، أ حقيقين عددين لأي

فأن < ب أ كان إذا جـ جبـ > جـأسالبفأن> ب جبـ < جـأأ

الخطوات - المتعددة المتباينات حل

18

www.yzeeed.com

المركبة- المتباينات حل- ) و ) الربط أداة تحتوي التي المتباينات

ح المتباينات ح 13≥تشكل متباينة 27≤أو معاكانت إذا فقط صحيحة وتكون ، مركبة

ويتكون ، صحيحتين لها المكونتان المتبايناتالتمثيلين تداخل منطقة البياني تمثيلهما

تقاطع هذا للمتباينتين،ويسمى البيانيين. البيانين التمثيلين

-) أو ) الربط أداة تحتوي التي المتبايناتكلمة المركبة المتباينات من آخر نوع يحتوي

) تحتوي) التي المركبة المتباينة وتكون أو ) إحدى ) كانت إذا صحيحة أو الربط أداة

صحيحة الأقل على لها المكونتين المتباينتينتمثيل. اتحاد من البياني تمثيلها ويتكون

المتباينتين.القيمة - تتضمن التي المتباينات حل

المطلقة

19

www.yzeeed.com

الخطية - المعادلات أنظمة - بيانيا خطيتين معادلتين من نظام حل

الأقل - على واحد حل للنظام كان إذاتمثيلاته وتتقاطع متسقا، نظاما يسمى

مستقيما تشكل أو واحدة نقطة في البيانيةواحدا.

يسمى- ، فقط واحد حل للنظام كان إذانهائي لا عدد له كان وإذا ، مستقلا نظاما

وهذا مستقل، غير نظاما يسمى الحلول منالحلول من محدود غير عدد وجود يعني

نظاما- يسمى ، حل أي للنظام يكن لم إذاالبيانية تمثيلاتة وتشكل ، متسق غير

. متوازية مستقيمات

20

www.yzeeed.com

خطيتين - معادلتين من نظام حلبالتعويض- الحل

الأقل- 1 على المعادلتين إحدى حلذلك كان إذا المتغيرين أحد باستعمال

ضروريا.الخطوة- )2 من الناتج المقدار في( 1عوض

. حلها ثم الثانية المعادلةالخطوة- )3 من الناتجة القيمة في( 2عوض

المتغير قيمة لإيجاد وحلها المعادلتين من أي. مرتب كزوج الحل الثاني،واكتب

بالحذف- خطيتين معادلتين من نظام حل. الطرح أو الجمع باستعمال

21

www.yzeeed.com

بالحذف - الحلالحدان- 1 يكون أن على النظام اكتب

معكوس أحدهما معامل اللذان المتشابهان. بعض: فوق بعضها خر للآ

للتخلص- 2 اطرحهما أو المعادلتين اجمعالمعادلة حل ثم ، المتغيرين أحد من

الخطوة- 3 في الناتجة القيمة في 2عوضالثاني المتغير لإيجاد وحلها المعادلتين إحدى

. مرتب كزوج الحل واكتب ،

بالحذف- خطيتين معادلتين من نظام حلالضرب باستعمال

بالحذف- الحلفي- 1 الأقل على المعادلتين إحدى اضرب

فيهما معادلتين على للحصول ثابت عدد. للآخر معكوس أحدهما حدان

للتخلص- 2 اطرحهما أو المعادلتين اجمع. حلها ثم ، المتغييرين أحد من

في- 3 الناتجة المتغير قيمة عن عوضوحلها( 2الخطوة ) ، المعادلتين إحدى في

22

www.yzeeed.com

الحل واكتب ، الثاني المتغير قيمة لإيجاد. مرتب زوج صورة على

من- المكون النظام على تطبيقات. خطيتين معادلتين

خطيتين معادلتين من مكون نظام حللاستعمالها الطريقة حالة أفضل

البياني في التمثيل يعطي لا البياني الحلول،فالتمثيل لتقديردقيقا حلا الغالب

من التعويض كل في المتغيرين أحد معامل كان إذا1أو -1المعادلتين

باستعمال الحذفالجمع

في المتغيرين أحد معاملي من كل كان إذا. للآخر جمعيا معكوسا المعادلتين

باستعمال الحذفالطرح

المعادلتين في المتغيرين أحد معاملا كان إذامتساويتين.

باستعمال الحذفالضرب

المعاملات ) من أي يكن لم وليس( 1أو( )-1إذابجمع المتغيرين أحد من التخلص السهل من

. طرحها أو المعادلتين

23

www.yzeeed.com

الحدود - كثيراتالحد- وحيدات ضرب

24

www.yzeeed.com

اجمع- ، نفسه الأساس لهما قوتين لضربأسيهما

، م صحيحين عددين وأي ، حقيقيأ عدد لأيفإن ن

ب+أ = بأ × مأ م

القوة- قوةالأسس اضرب ، القوة قوة لإيجاد

صحيحين عددين وأي أ حقيقي عدد لأيفإن ن ، م

ن×أ = ن(مأ ) م

الضرب- حاصل قوةكل قوة أوجد ، الضرب حاصل قوة لإيجاد

اضرب . ثم عاملصحيح عدد وأي أ،ب حقيقين عددين لأي

فإن ، ن ) ب ) .نبن أ = نأ

العبارات- تبسيط25

أم=أن ن- أم

www.yzeeed.com

لها مكافئة عبارة اكتب ، حد وحيدة لتبسيط: أن على

مرة أساس صورة على متغير كل يظهر. فقط واحدة

. قوة قوة العبارة تتضمن لا. صورة أبسط في الكسور جميع تكون

الحد - وحيدات قسمةالقوى - قسمة

نفسه الأساس لهما قوتين قسمة عند) المقام ) – أس البسط أس أسيهما اطرح

أ عدد م،ن 0 ≠لأي صحيحين عددين وأي ، فإن

26

أمبم

1ن- 1أ

أن

www.yzeeed.com

القسمة- قوىقوة من كلا أوجد ، قسمة ناتج قوة لإيجاد

. المقام وقوة البسطب ، أ حقيقين عددين عدد 0 ≠لأي ،وأي

فإن م صحيح ( بأ = م (

الصفري- الأس خاصيةصفر للقوة مرفوع الصفر غير عدد أي

1يساوي أ فإن صفرا يساوي لا أ حقيقي عدد 0لأي

=1السالبة- الأسس خاصية

ولأي ، الصفر يساوي لا أ حقيقي عدد لأيأ مقلوب فإن ن صحيح أ نعدد ن-هو

أ أ ن- ومقلوب .نهووأي ، الصفر يساوي لا أ حقيقي عدد لأي

فإن ن صحيح عددأ = = ن-أ ن،

27

www.yzeeed.com

المقادير- لمقارنة المقدار رتبه تستعمل. وتعبر بسرعة وإجرائها الحسابات وتقدير

العشرة قوى أقرب إلى مقربا العدد عنأقرب 95000000000فمثلا إلى مقربا

هو العشرة 100000000000أو 1011قوىالمقدار رتبة فإن لذا هي 95000000000،

1011

الحدود- كثيراتهي : - الحدود كثيرة الحدود كثيرات درجة

حد، وحيدات مجموعة أو حد وحيدةكثيرة في حدا منها حد وحيدة كل تسمى

تحمل. الحدود كثيرات وبعض الحدودمجموع هي الحد فثنائية خاصة أسماوثلاثية شكل أبسط في حد وحيدتي

في حد وحيدات ثلاث مجموع هي الحدود. شكل أبسط

: القياسية- بالصورة الحدود كثيراتولا . ترتيب بأي الحدود كثيرة كتابة يمكنك

الحدود لكثيرة القياسية الصورة ستخدامتنازلي بترتيب الحدود اكتب ، واحد بمتغيرالحدود . كثيرة تكتب وعندما درجتها حسب

28

www.yzeeed.com

حد أول معامل فإن ، القياسية بالصورة. الرئيس المعامل يسمى

وطرحها- الحدود كثيرات جمعالحدود - بجمع حدود كثيرتي جمع يتم

الحدود تجميع ويمكن المتشابهة،أو الأفقية الطريقة باستعمال المتشابهة

الرأسية.حدود - كثيرات في حد وحيدة ضرب

لإيجاد- التوزيع خاصية استعمال يمكن. حدود كثيرة في حد وحيدة ضرب ناتج

الحدود - كثيرات ضرب : التوزيع- خاصية تستعمل حد ثنائي ضربثنائيتي ضرب حد،ويمكنك ثنائيتي لضرب

. رأسيا أو أفقيا الحدلخاصية- المختصرة الصيغة تسمىبطريقة حد ثنائيتي فيضرب التوزيع

. بالترتيب التوزيعبالترتيب- التوزيع طريقة

29

www.yzeeed.com

كل جمع ناتج أوجد ، حد ثنائيتي لضربوضرب : ، الأولين الحدين ضرب منالحدين الطرفين،وضرب في الحدينالأخيرين الحدين وضرب ، الأوسطين

بالترتيب.

الحدود- كثيرات ضرب خاصة حالات ) + حاصل- ) مثلي زائد أ مربع هو ب أ مربع

ب مربع إليه مضافا ب في أ ضرب) ب) + (= 2أ + () أ= ) + ب أ ب + 2+2أ ب 2أب

حدين- بين الفرق مربع ) - مثلي- ) ناقص أ مربع هو ب أ مربع

ب مربع إليه مضافا ب في أ ضرب حاصل) - ب) (= 2أ - () - أ= ) ب أ ب ب + 2 -2أ 2أب

الفرق- في حدين مجموع ضرب ناتجبينهما

) - ( ) + أ ) مربع هو ب أ ، ب أ ضرب ناتج. ب مربع ناقص

=) + () - ( =) - () + أ ) ب أ ب أ ب أ ب 2ب - 2أ30

www.yzeeed.com

التربيعية - والمعادلات التحليلالحد- وحيدات تحليل

- : الأعداد تحليل يشبه الحد وحيدات تحليلبالصيغة. الحد وحيدة وتكون الكلية

أعداد ضرب بحاصل عنها عبر إذا التحليليةبأس ومتغيرات .1أولية

) . . ( لعددين- أ م ق الأكبر المشترك القاسممن لكل عاملا يكون عدد أكبر هو أكثر أو

القاسم إيجاد ،ويمكن الأعداد هذهأكثر أو حد لوحيدتي الأكبر المشترك

. مشابهة بطريقةالتوزيع- خاصية استعمال

31

www.yzeeed.com

بتجميع - الحدود كثيرة تحليل يمكن: الآتية الشروط توافرت إذا ، الحدود

حدود أربعة من الحدود كثيرة تتكون. أكثر أو

معا تجميعها يمكن التي للحدود يوجد. مشتركة عوامل

أو متساويان مشتركان عاملان يوجدللآخر جمعي نظير أحدهما أن

الصفري- الضرب خاصيةيساوي عاملين ضرب حاصل كان إذا

الاقل على أحدهما يكون أن صفرا،فيجبصفرا.

ب = أ كان إذا أ،ب حقيقين عددين 0لأيأ = ب = 0فإن .0أو صفرا يساوي كليهما أو

الحدود- ثلاثية تحليلس- : التربيعة + = 2المعادلات جـ+ س 0ب

س - الصورة على حدود ثلاثية ب+ 2لتحليلجـ + س

32

www.yzeeed.com

مجموعهما ن ، م صحيحين عددين أوجداكتبس ثم ، جـ ضربهما وناتج ، ب+ 2ب

) + ( ) ن + ) + س م س الصورة على جـ س( 2س + ( ) ن+ + = ) + س م س جـ بس

جـ + = = ن م ، ب ن م حيثس : - أ التربيعة + = 2المعادلات جـ+ س 0ب

س أ الصورة على حدود ثلاثية ب+ 2لتحليلجـ + س

مجموعهما ن ، م صحيحين عددين أوجدس أ اكتب ثم ، جـ أ ضربهما وناتج ، ب+ 2ب

س + أ الصورة على جـ ن + + 2س س مالحدود + بتجميع حلل ثم جـ س

: مربعين- بين الفرق التربيعية المعادلاتمربعين - بين الفرق(2ب- 2أ + () - ( =) - () ب= ) + أ ب أ ب أ ب أ

: الكاملة- المربعات التربيعية المعادلاتمربعا- تشكل التي الحدود ثلاثية تحليل

كاملاب + 2 + 2أ ب ( = ) +2أ + ( ) أ =) + ب أ ب أ

2ب(

33

www.yzeeed.com

ب + 2 - 2أ ب ( = ) -2أ - ( ) أ =) - ب أ ب أ2ب(

التحليل- طرق1) . . أ- ) م ق بإخراج حللبين- 2 فرقا تشكل الحدود كثيرة هل تحقق

مربع صورة على حدود ثلاثية أنها أم مربعينكامل.

لـ- 3 التحليل أنماط طبقس + + 2س أ أو جـ س جـ + + 2ب س ب

) بتجميع) حلل أو عامة بصورة حدود كثيرةالحدود.

التربيعي- الجذر خاصيةس الصورة على التربيعية المعادلة =2لحل

طرف لكل التربيعي الجذر خذ نن حقيقي عدد كانس 0 ≥لأي فإنس= = 2إذا ∓ن

ن√

التربيعية - الدوال - بيانيا التربيعية الدوال تمثيل

34

= ) ( ) س ) س د الأم المولدة 2الدوال =) ( أس س د القياسية جـ + + 2الصورة س ب

مكافئ قطع التمثيل شكلس التماثل - = محورجـ الصادي المقطع

www.yzeeed.com

أشكال - تختلف خطية غير دوال هي التربيعية الدوال . خطية غير دوال هي مثلا التربيعية فالدوال البيانية تمثيلاتها

الصورة على كتابتها ويمكن =) ( س أ س صفر + + 2د يساوي لا أ حيث ، جـ س ب

ويسمى التربيعية للدالة القياسية الصورة هذه وتسمىوتتماثل . مكافئا قطعا التربيعية للدالة البياني التمثيل

التماثل محور يسمى يتوسطها خط حول المكافئة القطوع. الرأس تسمى واحدة نقطة في القطع يقطع

التربيعية- الدوال

للدالة- البياني التمثيل يكونس = أ + 2ص جـ + بس

35

www.yzeeed.com

أ < كان إذا الأعلى إلى 0مفتوحاالقيمة فيه نقطة أدنى وتمثل

إلى مفتوحا ويكون الصغرى،< أ كان إذا أعلى 0أسفل وتمثل

، العظمى القيمة فية نقطةأو العظمى القيمة نقطتا وتمثل

. القطع رأس الصغرى القيمةالدوال - بين عامة فروق هناك

التربيعية ..... والدوال الخطيةالخطية التربيعية الدوال الدوال

الصورةالقياسية

ب = + س أ س= ص أ بس+ 2صجـ+

المتغيرات الدرجة جميعالأولى الدرجة من

المستقلس المتغيرهو الأول الحد في

الثانية، الدرجة منأن يمكن لا أ ومعامل

صفرا،والا يساويخطية الدالة اصبحت

س=6س+2ص=مثال 4س-5+2ص التمثيلالبياني

مستقيم مكافئ خط قطع

36

www.yzeeed.com

الصغرى- والقيم العظمى القيم =) ( س أ س د للدالة البياني التمثيل بس+ +2يكون

. صفر تساوي لا أ جـ> أ عندما صغرى قيمة وله الأعلى إلى 0مفتوحا< أ عندما عظمى قيمة وله الأسفل إلى 0مفتوحا الحقيقية الأعداد جميع هو التربيعية الدالة مدى

إذا الصغرى القيمة تساوي أو على تزيد التي> أ تقل 0كانت التي الحقيقية الأعداد جميع أو

< أ كانت إذا العظمى القيمة تساوي أو 0عن

37

www.yzeeed.com

بيانيا- التربيعية الدوال تمثيل1.. التماثل محور معادلة أوجدنقطة .2 يمثل كان إذا وحدد الرأس أوجد

. عظمى نقطة أم صغرى3.. الصادي المقطع أوجدعلى .4 أخرى نقاط لإيجاد التماثل استعمل

. الضرورة عند للدالة البياني التمثيل5.. بمنحنى النقاط بين صل

. - بيانيا التربيعية المعادلات حل : أ هي التربيعية للمعادلة القياسية الصورة

جـ+ + = 2س س صفر، 0ب لاتساوي أ حيثصورة على التربيعية الدالة ولكتابة

) ( وتذكر ، بصفر س د أو ص معادلة،استبدلتحديدها يمكن جذورها أو المعادلة حلول أن

البياني للتمثيل السينية المقاطع بإيجادالتربيعية للمعادلة المرتبطة،ويوجد للدالة

لها يوجد لا واحد،أو حل أو حقيقيان حلا. حقيقية حلول

38

www.yzeeed.com

المربع- بإكمال التربيعية المعادلات حلالمربع - إكمال

على تربيعية عبارة أي في المربع لإكمالس الآتيه+ 2الصورة الخطوات أتبع س ب

1) معاملس- ) ب نصف أوجدالخطوة- 2 في الناتج 2ربعالخطوة- 3 من الناتج ب+2إلىس 2أضفس

س ببس+ + ) 2الرموزبس = ) + 2 (2

2) 2

القانون - باستعمال التربيعية المعادلة حلالعام

39

جـ 4 – 2ب أ ب -

أ2 = س

www.yzeeed.com

العام - القانونأس : التربيعية المعادلة جـ+ + 2حل س ب

أ العام 0≠حيث بالقانون عنه يعبر

التربيعية- المعادلات حلاستعمالها الطريقة يفضل متى

إلى التحليلعوامل

الثابتصفرا،أو الحد كان إذا تستعملالعوامل تحديد السهل من كان إذا

. للتحليل قابلة المعادلات جميع فليست التمثيلالبياني

التقريبي الحل يكون عندما تستعملمقبولا.

الجذور استعمالالتربيعية

على مكتوبة المعادلة كانت إذا تستعملكانت= 2الصورةس إذا تستعمل أي ن،

. سفقط الحد على تحتوي لا المعادلةالمربع على إكمال معادلة لأيه استعمالها يمكن

الصورة جـ + + = 2أس الأسهل 0بس من أنه إلا ،

40

www.yzeeed.com

وأ = زوجيا عددا ب كان إذا 1استعمالهاالعام على القانون معادلة لأية استعمالها يمكن

الصورة : جـ+ + = 2أس 0بس: العبارة المميز- تسمى العام القانون في

ب ) الجذر تحت ( 4- 2التي ويمكن المميز جـ أالحقيقية الحلول عدد لتحديد استعماله

. التربيعية للمعادلة

والمثلثات- الجذرية الدوالالجذرية- العبارات تبسيط

التربيعية - الجذور ضرب خاصية41

www.yzeeed.com

كالجذر جذرا الجذرية العبارات تتضمنالتربيعي الجذر تحت ما ويكون مثلا التربيعي

: الآتيه الشروط حقق إذا صورة أبسط في عدا كاملا مربعا عوامله من أي يكون لا

1.. كسورا يتضمن لا. الكسر مقام في جذر أي يظهر لا

التربيعية- الجذور ضرب خاصيةعددين لأي ب أ للمقدار التربيعي الجذر

يساوي ، ب ، أ سالبين غير حقيقينفي مضروبا أ للمقدار التربيعي الجذر

ب للمقدار التربيعي الجذرب√ = √ أ أ ب√ × أ كانت 0≥،ب 0 ≥إذا

التربيعية- الجذور قسمة خاصيةأ حيث ب ، أ حقيقين عددين ، 0 ≥لأي

للمقدار 0ب < التربيعي بأالجذرأ للبسط التربيعي الجذر يساوي

ب للمقام التربيعي الجذر على مقسوما42

www.yzeeed.com

√ √= بأ أ ب√

الجذر- خصائص استعمال يمكنعلى وكتابته المقام لإنطاق التربيعي

وهذا ، جذرا كان إذا نسبي عدد صورةوالمقام البسط من كل ضرب يتضمن

من الجذر حذف إلى يؤدي عامل فيالمقام.

الحد- ثنائي من ، د√أ + ب√كل جـحيث د√أ - ب√ للأخرى مرافقة ،تسمى جـ

حاصل ، نسبية أعداد ، د ، جـ ، ب ، أعدد هو المترافقين العددين ضرب

الفرق باستعمال إيجاده ويمكن نسبي. مربعين بين

الجذرية - العبارات على العملياتالجذرية - العبارات على العمليات

الرموزالعملية ب ( ب√جـ + ب√أ 0 ≥الجمع + جـ = ) ب√أ

متشابهه الجذرين تحت ما43

www.yzeeed.com

ب ( ب√جـ - ب√أ 0 ≥الطرح - جـ = ) ب√أمتشابهه الجذرين تحت ما

الضرب 0 ≥جـ 0 ≥ب

√د () ب√أ) ( جـ . د (= ) ب√أ جـتشابهه الضرورة من تحت ليس ما

الجذرين.

الجذرية - المعادلاتالمساواة - طرفي تربيع خاصية

فإن ، صحيحة معادلة طرفي ربعت إذاصحيحة تبقى الناتجة المعادلة

أ = فإن ب أ كانت إذ 2ب = 2الرموزفيثاغورس- نظرية

مربع - فإن الزاوية قائم المثلث كان إذاضلعية مربع مجموع يساوي الوتر

) ساقيه) جـ 2ب+ 2أ = 2الرموز

فيثاغورس - نظرية معكوستحقق مثلث لأضلاع أ،ب،جـ الأطوال كانت إذا

جـ الزاوية 2ب+2أ = 2المعادلة قائم المثلث فإن ، جـ كانت وإذا قائم 2ب + 2أ ≠ 2، المثلث يكون لا

الزاوية.أعداد- : ثلاثة من مجموعة فيثاغورس ثلاثية

جـ المعادلة تحقق موجبة 2ب+2أ = 2صحيحة44

) = ف 1س- 2س ) 2(1ص- 2ص+)2

www.yzeeed.com

على الامثلة ومن ، الأعداد هذه أكبر جـ حيث3ذلك " 4 5، ،" "،5 12 13، مضاعفات" ، وتحقق

نظرية معكوس أيضا فيثاغورس ثلاثياتفإن " لذا 6فيثاغورس 8 10، ثلاثيات" ، من أيضا

فيثاغورس.نقطتين - بين المسافةنقطتين - بين المسافة

إحداثياتها نقطتين بين ف المسافةس( )1،ص1س) عنها( 2،ص2، يعبر

بالقانون

-

: المنتصف- نقطة النقطة قانون تسمىطرفي من متساويين بعدين على الواقعةالقطعة هذه إلى وتنتمى ، مستقيمة قطعة

45

2س + 1س 2

2ص + 1ص 2 = م

www.yzeeed.com

إحداثي . إيجاد ويمكنك المنتصف نقطة. المنتصف قانون باستعمال المنتصف نقطة

المنتصف- نقطة قانونالقانون يستعمل

القطعة منتصف نقطة إحداثيات لإيجادالنقطتان نهايتاها التي المستقيمة

س( )1،ص1س) ( 2،ص2و

المتشابهة - المثلثات46

www.yzeeed.com

: فإن ، مثلثان تشابه إذا اللفظي التعبير ، متساوية المتناظرة زواياهما قياسات. متناسبة المتناظرة وقياساتأضلاعهما

المثلثية - النسببين : - العلاقة دراسة هو المثلثية النسب

. هي المثلثية والنسبه وأضلاعه المثلث زوايامن ضلعين طولي بين تقارن التي النسبة

. المثلثية والنسب القائم المثلث أضلاعوجيب الجيب، هي شيوعا الأكثر الثلاث

والظل ، التمام

47

www.yzeeed.com

المثلثية - الدوال معكوس -: وكان حادة أ زاوية كانت إذاورمزه- = 1 جيبس معكوس فإن س أ جـا

أ 1-جـا زاوية قياس يساوي سجـا : = فإن ، س أ جـا كان إذا س 1-الرموز

أ= قمعكوسجيب- 2 فإن ، س يساوي أ جتا

جتا وزمره س أ 1-تمام قياس يساوي سجتا: = فإن س أ جتا كان إذا س =1-الرموز

. أ قمعكوسظلس- 3 س،فإن يساوي أ ظا

ظا .1-ورمزه أ قياس يساوي سظا: = فإن ، س أ ظا كان إذا س =1-الرموز

. أ ق

48

www.yzeeed.com

والاحتمال - الإحصاء

مسحية- دراسة تصميم - : جزءا العينة تعد المسحية الدراسة تصميم

. المجتمع تسمى أكبر مجموعة منالبيانات- جمع اساليبالاستعمال/الأسلوب التعريف

المسحية من الدراسة البيانات تؤخذمن عينة أفراد استجابات

المجتمع. استنتاجات إلى للتوصل

. المجتمع حول عامةعلى القائمة الدراسةالملاحظة

بعد البيانات تسجيلمشاهدة أو ملاحظة

العينة. الأفعال ردود لمقارنة

استنتاجات إلى والتوصيل. المجتمع استجابات حول

تغيير التجربة بعد البيانات تسجيل49

www.yzeeed.com

العينة. استنتاجات إلى للتوصل

أن يمكن ما حول عامة. ما حادثة خلال يحدث

. العشوائية- العيناتمثالالتعريفالنوع العينة

العشوائ ية

البسيطة

فرصة لها التي العينةكأي نفسها الاختيار

من أخرى عينةالمجتمع.

مئة أرقام سحبمن طالب،وإخضاع كيسالطلاب هؤلاء

. مسحية لدراسة العينة

العشوائية

الطبقية

إلى المجتمع يقسمغير متماثلة فئات

اختيار يتم متداخلة،ثممن واحدة كل من عينة

. الفئات هذه

الباحث يختارصفوف من عينات

من مختلفةعلى بناء الطلاب

المئوية النسبةفي الصفوف لهذه

ليعكس المدرسةصفوف في التنوعالمدرسة.

العينةالعشوائ

ية

يختارها التي العينةلزمن تبعا أفرادها

زمنية فترة أو معين

من قطعة تفحصكل إنتاج خط

دقائق،أو عشر

50

www.yzeeed.com

المنتظمة

من محددة. قطعة تفحص.50كل قطعة

المسحية - الدراسة نتائج تحليلالمركزية- النزعة مقاييس

يفضل الوصفالنوع متىاستعمالة؟

المتوسطالحسابي

البيانات مجموععلى مقسوما

عددها.

قيم توجد لا عندمافي متطرفة

. البيانات مجموعةأو الوسيط الأوسط العدد

العددين متوسطفي الأوسطتين

. المرتبة البيانات

قيم توجد عندمافي متطرفةالبيانات مجموعةتوجد لا ولكن

في كبيرة فجوات. البيانات وسط

الأعداد المنوال أو أعداد عند العدد يوجد ما51

www.yzeeed.com

في تكرارا الأكثر. البيانات مجموعة

في متكررة. البيانات مجموعة

المجتمع- ومعالم العينة إحصائياتالمجتمع - ومعالم العينة تستعمل:إحصائيات

للتوصل العينة إحصائيات الموقف هذا في . ما وهو كاملا المجتمع حول استنتاجات إلى

. الاستدلالي الإحصاء يسمىخصائص: الاحصائي- إحدى يصف مقياس

العينة.خصائص: المعلمة- إحدى يصف مقياس

المجتمع.

الإحصائي - التي: التحليل البيانات تسمىوحيدة بيانات واحد متغيرا تتضمن

البيانات. هذه عن التعبير ويمكن المتغيرالمتوسط مثل المركزية النزعة بمقياس

. يمكن كما والمنوال والوسيط الحسابيمثل التشتت بمقاييس أيضا عنها التعبير. الربيعي والمدى والربيعات المدى

يفضل الوصفالمقياس متى52

www.yzeeed.com

استعماله؟أكبر المدى بين الفرق

في قيمة وأصغر. البيانات مجموعة

الأعداد لوصفتشملها التي

. البيانات مجوعةتقسم الربيعات التي القيم

إلى البيانات مجموعةمتساوية أجزاء أربعة

القيم لتحديدالجزء في الواقعة

الجزء أو الأعلىمن الأسفل

. البيانات مجموعة المدىالربيعي

الأوسط النصف مدىمجموعة من

الفرق وهو ، البياناتالأعلى الربيعين بين

والأدنى

القيم لتحديدفي الواقعةالأوسط النصف

مجموعة منالبيانات.

المتوسط- الانحرافكل بين للفرق المطلقة القيم متوسط هو

لمجموعة الحسابي والمتوسط قيمةالبيانات

: المتوسط- الانحراف53

www.yzeeed.com

1. الحسابي- المتوسط أوجدبين- 2 للفرق المطلقة القيم مجموعة أوجد

والمتوسط البيانات مجموعة في قيمة كلالحسابي.

في- 3 القيم عدد على المجموع هذا اقسم. البيانات مجموعة

المعياري - والانحراف التباينالحسابي- 1 المتوسط أوجدفي- 2 قيمة كل بين الفرق مربع أوجد

ثم الحسابي، والمتوسط البيانات مجموعةالمجموع واقسم ، المربعات هذه اجمع

لتحصل البيانات مجموع في القيم عدد على. التباين على

الجذر- 3 بإيجاد المعياري الانحراف أوجد. للتباين التربيعي

54

!ن ( ر- =نلر ! (ن

!ن ( ر- =نقر ! (ن

www.yzeeed.com

والتوافيق- التباديلالاشياء - أو الأشخاص جميع قائمة تسمى

. العينة فضاء معينة مجموعة فيترتيبها- يكون بحيث العناصر تنظم عندما

لهذه الممكنة التراتيب جميع وتكتب مهما. تبديلا التراتيب هذه من كل العناصر،يسمى

المضروب- ضرب ناتج هو ن الموجب الصحيح العدد

ن عن تقل التي الموجبة الصحيحة الأعداد. تساويه أو- ن! = ) ن -1ن -2ن() ن 1(....×3ن() 1!=0أيضا 1≥،

: التباديل- قانون) د )) مأخوذة ن عددها لعناصر التباديل عدد

! على ن قسمة ناتج هو مرة كل في عنصرا!) - ر) ن

الرموز

التوافيق- قانون) ر ) مأخوذة ن عددها لعناصر التوافيق عدد

! على ن قسمة ناتج يساوي مرة كل عنصرا! ر) – (! ر ن

55

أ ب

) ب ) و أ ح

www.yzeeed.com

المركبة - الحوادث احتمالاتغير - والحوادث المستقلة الحوادث

المستقلةحادثتين- من تتكون المركبة الحادثة

. أكثر أو بسيطتين : تؤثر- لا إحدهما نتيجة مستقلتين حادثتان

. الأخرى نتيجة فيالمستقلة- الحوادث احتمال

فإن ، مستقلتين ب و أ الحادثتان كانت إذاضرب حاصل يساوي معا وقوعهما احتمال

. ب الحادثة احتمال في أ الحادثة احتمال) ( ×) ( = ) ب) ح أ ح ب و أ ح

56

بأ

ب) ( أو أ ح

www.yzeeed.com

المستقلة- غير الحوادث احتمالفإن ، مستقلتين غير ب و أ الحادثتان كانت إذا

احتمال ضرب حاصل يساوي معا وقوعهما احتمالبعد ب الحادثة وقوع احتمال في أ الحادثة وقوع

أ الحادثة وقوع.) ( × ) ( = ) أ : ) بعد ب ح أ ح ب و أ ح الرموز

المتنافية- الحوادثوقوع احتمال فإن متنافيتين وب أ الحادثتان كانت إذا

احتمالي مجموع مجموع يساوي ب وقوع أو أالحادثتين.

) ( + ) ( = ) ( ب: ح أ ح ب أو أ ح الرموز

المتنافية- غير الحوادثاحتمال متنافيتين،فإن غير ب و أ الحادثتان كانت إذا

ناقص احتماليهما مجموع يساوي ب وقوع أو أ وقوع. معا الحادثتين وقوع احتمال

) ( -) ( +) ( =) ب: ) و أ ح ب ح أ ح ب أو أ ح الرموز57

أ ب

) ب ) و أ ح

www.yzeeed.com

58